精品解析：贵州金沙县第五中学2025-2026学年高二下学期第一次月考数学试卷

2026年春季学期第一次月考 高二数学 考生注意： 1.满分150分，考试时间120分钟. 2.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效. 3.本卷命题范围：人教A版必修第一册、第二册，选择性必修第一册、第二册. 一、选择题；本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若集合，，则 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】通过解不等式得出集合B，可以做出集合A与集合B的关系示意图，可得出选项. 【详解】因为，解不等式即，所以 或， 所以集合，作出集合A与集合B的示意图如下图所示： 所以：， 故选A． 【点睛】本题考查集合间的交集运算，属于基础题. 2. 在复平面内，复数对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】A 【解析】 【分析】利用复数除法法则得到，从而确定所在象限. 【详解】，故在复平面内对应的点坐标为，位于第一象限. 故选：A 3. 若，则有（ ） A. 最小值1 B. 最小值2 C. 最大值1 D. 最大值2 【答案】B 【解析】 【分析】根据基本不等式即可求解. 【详解】解：∵， ∴， 当且仅当，时取等号． 因此的最小值为2． 故选：B． 4. 已知等差数列的前n项和为，若，则=（ ） A. 8 B. 10 C. 13 D. 26 【答案】C 【解析】 【分析】根据等差数列的性质求得正确答案. 【详解】由题可得，即，所以. 5. 如图是函数的导函数的图象，下列结论中正确的是（ ） A. 在上是增函数 B. 当时，取得最小值 C. 当时，取得极大值 D. 在上是增函数，在上是减函数 【答案】D 【解析】 【分析】根据导函数的图象判断出函数的单调区间、极值、最值，由此确定正确选项. 【详解】根据图象知： 当，时，函数单调递减； 当，时，函数单调递增. 所以在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，故选项A不正确，选项D正确； 故当时，取得极小值，选项C不正确； 当时，不是取得最小值，选项B不正确； 故选：D. 6. 若函数是偶函数，则（ ） A. 8 B. C. 4 D. 【答案】A 【解析】 【详解】因为是偶函数， 所以 ， 所以. 7. 某中学的“信息”“足球”“摄影”三个社团考核挑选新社员，已知高一某新生对这三个社团都很感兴趣，决定三个考核都参加，假设他通过“信息”“足球”“摄影”三个社团考核的概率依次为，m，n，且他是否通过每个考核相互独立，若他三个社团考核都通过的概率为，三个社团考核都没有通过的概率为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意结合独立事件以及对立事件概率求法，列式求解. 【详解】因为他三个社团考核都通过的概率为，则，即， 又因为三个社团考核都没有通过的概率为，则， 整理可得，所以. 故选：B. 8. 设，分别是椭圆的焦点，点P在椭圆C上，线段的中点在x轴上，若，则椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据中位线、椭圆的定义求得的关系式，从而求得椭圆的离心率. 【详解】设线段的中点为， 由于是线段的中点，所以， 所以， 依题意可知，三角形是等腰直角三角形， 所以， 所以 . 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 以下求导运算正确的是（） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【详解】选项A：是常数，可知，故A错误. 选项B：根据幂函数求导公式，可得，故B正确. 选项C：根据指数函数求导公式，可得，故C正确. 选项D：根据对数函数求导公式，可得，故D正确. 10. 已知直线，圆，则下列结论正确的有（ ） A. 若，则直线恒过定点 B. 若，则圆可能过点 C. 若，则圆关于直线对称 D. 若，则直线与圆相交所得的弦长为2 【答案】ACD 【解析】 【分析】A.验证即可；B. 将点代入求解即可；C. 由直线恒过圆的圆心判断；D.由弦长公式求解判断. 【详解】当时，点恒在上，故选项正确； 当时，将点代入，得，该方程无解，故选项错误； 当时，直线恒过圆的圆心，故选项C正确； 当时，与相交所得的弦长为2，故选项D正确. 故选：ACD 11. 定义在上的函数，已知是它的导函数，且恒有成立，，则有（ ） A. B. C. D. 【答案】CD 【解析】 【分析】研究题中所给函数的性质，利用导数除法法则求出，由题得推出在单调递减，再根据自变量大小比较、、的大小，代入余弦值化简整理，进而判断选项正误. 【详解】已知，根据商的求导法则求导得： . 由题知，因此在上单调递减. 因为，结合单调递减性得： . 由，即， 整理得. 由，即， 整理得. 综上，选项A、B错误，选项C、D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知平面向量,若,则________. 【答案】 【解析】 【详解】平面向量, 因为,所以 ,解得. 13. 已知点是抛物线：（）上一点，若点到抛物线焦点的距离为10，且点到轴的距离为6，则______． 【答案】2或18 【解析】 【分析】由抛物线的定义求得坐标，代入抛物线方程即可求解. 【详解】由题意，，则． 又点在抛物线上，所以，将和代入可得，解得或18． 故答案为：2或18 14. 如图所示，在上、下底面均为正方形的四棱台中，已知，则该四棱台外接球的体积为__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据正四棱台的性质和球的性质，结合球的体积公式进行求解即可. 【详解】由已知可知正四棱台的外接球的球心在轴线上，如图所示，，设， 当球心在线段延长线上时， 有，解得， 显然不可能， 当球心在线段上时， 有，解得，则， 所以正四棱台的外接球的体积为． 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知函数的最小正周期为． （1）求的值； （2）中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，，，面积，求． 【答案】（1）1；（2） 【解析】 【分析】（1）根据辅助角公式化简,由周期求出; （2）由，求出角，代入面积公式，即可求出 【详解】（1） 故函数的最小正周期 （2）由（1）知，.由，得（）.所以（）.又，所以. 的面积，解得. 【点睛】本题考查两角和正弦公式,三角函数性质及三角形面积公式,着重考查计算能力,属于基础题. 16. 如图，在四棱锥中，平面，，. (1)求证：； (2)求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析；(2). 【解析】 【分析】（1）由平面，得，由，得，由，得，从而平面，由此能证明． （2）在平面作于，连结，作于，连结，由平面，得，由，得平面，从而平面平面，进而平面，是直线与平面所成角，由此能求出直线与平面所成角的正弦值． 【详解】(1)由平面，得， 由，得， ∵，∴， ∵，∴平面， ∵平面，∴. (2)在平面作于，连结，作于，连结， 由平面，得， 又，∴平面， 又平面，得平面平面， 结合，得平面， ∴是直线与平面所成角， 在四边形中，可得， 在中，可得， 在中，可得， 在中，， ∴直线与平面所成角的正弦值为. 【点睛】本题考查线线垂直的证明、线面角的正弦值的求法、空间中线线、线面、面面间的位置关系等知识，考查转化与化归思想，考查空间想象能力和运算求解能力． 17. 已知双曲线的一条渐近线方程为，且经过点． （1）求双曲线的方程； （2）直线与双曲线相交于，两点，若线段的中点坐标为，求直线的方程． 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）根据渐近线方程及双曲线所过的点列方程求参数，即可得方程； （2）设，应用点差法得，结合中点坐标及点斜式写出所求直线方程. 【小问1详解】 由题意，知，解得，故双曲线的方程为． 【小问2详解】 设， 则，两式相减，得， 整理得． 因为线段的中点坐标为，所以， 所以直线的斜率， 故直线的方程为，即． 经检验，直线与双曲线相交，所以直线的方程为. 18. 已知数列的前项和为，且. （1）求数列的通项公式； （2）设，且数列的前项和为，求. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】(1)利用求出数列首项,再通过与作差得到递推关系,判定为等比数列,进而求出通项公式并验证首项符合. (2)由得出,利用错位相减求和即可. 【小问1详解】 因为①， 当时,可得，即， 当时，②. 由①②得，即， 即是以1为首项，为公比的等比数列，所以, 当时满足上式，所以. 【小问2详解】 因为， 所以， ， 两式相减得， 即，则 故. 19. 已知函数． （1）当时，求的单调区间； （2）当时，若函数的最小值为，证明：曲线在处的切线平行于轴； （3）若函数在上有两个极值点，求实数的取值范围． 【答案】（1）的单调递减区间为，单调递增区间为． （2）证明见解析 （3）． 【解析】 【分析】（1）先求出导函数，再根据导数的正负得出单调区间； （2）根据导函数得出函数的单调性，再代入计算得出切线即可证明； （3）先求出导函数，再构造函数，再结合单调性得出参数范围. 【小问1详解】 当时，， 当时，，当时，， 所以的单调递减区间为，单调递增区间为． 【小问2详解】 ，则， 令，得， 当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以， 由题意可知，，解得． 所以，则， 又，则， 所以曲线在处的切线方程为， 故曲线在处的切线平行于轴． 【小问3详解】 在上有两个零点，即方程在上有2个根． 设，则， 令，则，所以在上单调递增， 即在上单调递增， 又，则当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 则，当时，，当时，， 由题意可知，直线与曲线有两个交点，则， 故实数的取值范围为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年春季学期第一次月考 高二数学 考生注意： 1.满分150分，考试时间120分钟. 2.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效. 3.本卷命题范围：人教A版必修第一册、第二册，选择性必修第一册、第二册. 一、选择题；本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若集合，，则 A. B. C. D. 2. 在复平面内，复数对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 若，则有（ ） A. 最小值1 B. 最小值2 C. 最大值1 D. 最大值2 4. 已知等差数列的前n项和为，若，则=（ ） A. 8 B. 10 C. 13 D. 26 5. 如图是函数的导函数的图象，下列结论中正确的是（ ） A. 在上是增函数 B. 当时，取得最小值 C. 当时，取得极大值 D. 在上是增函数，在上是减函数 6. 若函数是偶函数，则（ ） A. 8 B. C. 4 D. 7. 某中学的“信息”“足球”“摄影”三个社团考核挑选新社员，已知高一某新生对这三个社团都很感兴趣，决定三个考核都参加，假设他通过“信息”“足球”“摄影”三个社团考核的概率依次为，m，n，且他是否通过每个考核相互独立，若他三个社团考核都通过的概率为，三个社团考核都没有通过的概率为，则（ ） A. B. C. D. 8. 设，分别是椭圆的焦点，点P在椭圆C上，线段的中点在x轴上，若，则椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 以下求导运算正确的是（） A. B. C. D. 10. 已知直线，圆，则下列结论正确的有（ ） A. 若，则直线恒过定点 B. 若，则圆可能过点 C. 若，则圆关于直线对称 D. 若，则直线与圆相交所得的弦长为2 11. 定义在上的函数，已知是它的导函数，且恒有成立，，则有（ ） A. B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知平面向量,若,则________. 13. 已知点是抛物线：（）上一点，若点到抛物线焦点的距离为10，且点到轴的距离为6，则______． 14. 如图所示，在上、下底面均为正方形的四棱台中，已知，则该四棱台外接球的体积为__________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知函数的最小正周期为． （1）求的值； （2）中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，，，面积，求． 16. 如图，在四棱锥中，平面，，. (1)求证：； (2)求直线与平面所成角的正弦值. 17. 已知双曲线的一条渐近线方程为，且经过点． （1）求双曲线的方程； （2）直线与双曲线相交于，两点，若线段的中点坐标为，求直线的方程． 18. 已知数列的前项和为，且. （1）求数列的通项公式； （2）设，且数列的前项和为，求. 19. 已知函数． （1）当时，求的单调区间； （2）当时，若函数的最小值为，证明：曲线在处的切线平行于轴； （3）若函数在上有两个极值点，求实数的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $