贵州省毕节市金沙县实验高级中学2024-2025学年高二下学期第一次月考数学模拟题

高二下学期第一次月考模拟题解析版 一、单选题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题绐岀的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．设全集，集合，，则（    ） A． B． C． D． 【分析】利用集合交集、补集的运算直接求解即可. 【详解】由题知，， 又，所以. 故选：A 2．一个三层书架，分别放置语文类读物7本，政治类读物8本，英语类读物9本，每本图书各不相同，从每层各取出1本，则不同的取法共有（     ） A．504种 B．304种 C．24种 D．12种 【分析】由分步乘法计数原理求解即可. 【详解】根据分步乘法计数原理，不同的取法共有种. 故选：A. 3．直线过点，且与直线垂直，则直线的方程为（     ） A． B． C． D． 【分析】根据给定条件，求出直线的斜率，再利用直线的点斜式方程求解. 【详解】由直线与直线垂直，得直线的斜率，又直线过点， 所以直线的方程为，即. 故选：B 4．从4名男生、3名女生中选2人分别担任班长和副部长，要求选出的2人中至少有一名男生，则不同的方法数为（    ） A．18 B．24 C．30 D．36 【分析】用总的情况数减去全是女生的情况数即可求解. 【详解】由题意从4名男生、3名女生中选2人分别担任班长和副部长的方法数有， 从3名女生中选2人分别担任班长和副部长的方法数有， 所以选出的2人中至少有一名男生方法数为. 故选：D. 5．点在直线上，且，则的最小值为（     ） A．4 B．6 C．8 D．10 【分析】由题意求得，再利用常值代换法和基本不等式即可求得最小值. 【详解】因为点在直线上，可得. 则 因，则，当且仅当时等号成立. 即当时，取得最小值为. 故选：C. 6．10件产品中有3件次品，任取2件，恰有1件次品的概率为（     ） A． B． C． D． 【分析】利用组合数的性质求出符合条件的事件数和基本事件数，再利用古典概型概率公式求解即可. 【详解】由题意得10件产品中有3件次品，任取2件， 则取得产品的基本事件有个， 恰有1件次品的事件有，且设恰有1件次品的概率为， 则由古典概型概率公式得，故A正确. 故选：A 7．已知角的终边过点，则（     ） A． B． C． D． 【分析】根据三角函数的定义，求得，再由正弦二倍角及同角三角函数的基本关系，可将原式化简为，代入求值即可. 【详解】因为角的终边过点，所以， 所以. 故选：B． 8．在正方体中，下列说法不正确的是（ ） A．正方体的8个顶点可以确定28条不同的线段 B．以正方体的顶点为顶点的直三棱柱有12个 C．以正方体的顶点为顶点的三棱锥有64个 D．以正方体的顶点为顶点的四棱锥有48个 【分析】利用几何组合计数问题，结合正方体，直三棱柱，三棱锥，四棱锥的结构特征，列式计算即可. 【详解】对于A，每两点确定一条线段， 则正方体的8个顶点可确定不同的线段有条，A正确； 对于B，直三棱柱的两个底面三角形平行并且全等， 因此直三棱柱两底面在正方体相对面上， 以正方形的顶点为顶点的三角形有4个， 从而正方体的一组相对面对应的直三棱柱有4个， 因此以正方体的顶点为顶点的直三棱柱有个，B正确； 对于C，正方体顶点任取4个点，共有种选法， 其中四点共面的共有6个面和6个对角面共12种， 因此三棱锥共有个，C错误； 对于D，由选项C，知正方体四点共面的情况有12种， 每一种情况，余下每个点对应1个四棱锥，因此四棱锥共有，D正确. 故选：C. 二、多选题(本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得3分，有选错的得0分) 9．已知平面向量，，且，则（    ） A． B． C． D． 【分析】根据即向量、的坐标，求出，验证C选项，解出，再根据向量数量积的运算验证A选项，向量平行的坐标表示验证B选项，利用坐标求模长验证D选项即可求解. 【详解】因为，， 所以， 所以 ， 所以， 因为，所以， 整理得：，解得，故C错误； 所以，，故A正确； 因为，，所以，所以，故B正确； ，故D正确. 故选：ABD 10．下列关于的二项展开式，说法正确的是（    ） A．展开式共有10项 B．展开式的二项式系数之和为1024 C．展开式的常数项为8064 D．展开式的第6项的二项式系数最大 【分析】由二项展开式及性质可知A错误，B正确.利用二项展开式的通项公式求常数项和第6项可知C错误，D正确. 【详解】由题意可知，展开式共有11项，故A错误； 展开式的二项式系数之和为，故B正确； 展开式的通项为， 令，得，所以展开式的常数项为，故C错误； 当时，二项式系数最大，所以展开式的第6项的二项式系数最大，故D正确. 故选：BD. 11．下列说法正确的是（    ） A．将5封信投入3个邮筒，不同的投法共有种 B．有三张参观券，要在5人中确定3人去参观，不同方法的种数是60 C．从6男4女中选4人参加比赛，若4人中必须有男有女，则共有194种选法 D．甲、乙、丙、丁四人排成一排，则甲、乙两人不相邻共有12种排法 【分析】对于A，每封信均有3种投法，计算可判断；从5人中选3人，计算可判断B；分3种情况，即1男3女，2男2女，3男1女，计算可判断C；利用插空法求得方法数判断D. 【详解】对于A，将5封信投入3个邮筒，每封信均有3种投法，故不同的投法共有种，故A正确； 对于B，参观卷相同，只需从5人中选出3人即中，方法数为种，故B错误； 对于C，从6男4女中选4人参加比赛，若4人中必须有男有女， 包含的类别有1男3女，2男2女，3男1女，即，故C正确； 对于D，先将丙丁两人全排列有种，排好后有3个空位，再将甲乙两人安排到两人的空位中有种，由分步计数原理可得总的方法数为种，故D正确. 故选：ACD. 三、填空题(本题共3小题，每小题5分，共计15分) 12．已知复数满足：，则 . 【分析】利用复数的除法运算法则可求得，进而可求的值. 【详解】由已知，得，所以. 故答案为：. 13． 现有一组数据:3，4，6，8，9，10，12，13，其第 60 百分位数为 . 【分析】根据百分位数的求法，即可求得答案. 【详解】数据:3，4，6，8，9，10，12，13，已按从小到大排列， 由于， 故第 60 百分位数为9， 故答案为：9 14． 已知函数为偶函数，且当时，，则不等式的解集为 ． 【分析】由函数的单调性奇偶性得到，平方求解即可； 【详解】当时, ， 因为，所以，所以， 所以当时，单调递增； 又函数为偶函数，所以当时，函数单调递减， 所以， 等价于， 等价于， 平方可得：， 解得：或， 所以解集为：， 故答案为： 四、解答题(本题共5小题，共计77分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15．已知为等差数列，且，. (1)求的通项公式； (2)求的前项和及的最大值. 【分析】（1）设公差，得出关于的方程组即可求； （2）利用等差数列的前项和公式求，再结合二次函数的单调性即可求最值. 【详解】（1）设数列的公差为， 则，，解得， 则数列的通项公式为. （2），， 因二次函数在处取最大值，故的最大值为. 16．2024年奥运会在巴黎举行，中国代表团获得了40枚金牌，27枚银牌，24枚铜牌，共91枚奖牌，取得了境外举办奥运会的最好成绩，运动员的拼搏精神给人们留下了深刻印象．为了增加学生对奥运知识的了解，弘扬奥运精神，某校组织高二年级学生进行了奥运知识能力测试．根据测试成绩，将所得数据按照分成6组，其频率分布直方图如图所示． (1)求该样本的第75百分位数； (2)试估计本次奥运知识能力测试成绩的平均分； (3)该校准备对本次奥运知识能力测试成绩不及格（60分以下）的学生，采用按比例分配的分层随机抽样方法抽出5名同学，再从抽取的这5名同学中随机抽取2名同学进行情况了解，求这2名同学分数在各一人的概率． 【分析】（1）根据频率和为1求得，再由百分位数的定义求第75百分位数； （2）由频率直方图的平均数求法求平均分； （3）根据分层抽样确定5人中的人数分布，再应用列举法求古典概型的概率. 【详解】（1）由题设，可得， 由，， 所以样本的第75百分位数位于区间，设为，则， 所以分. （2）由题设分； （3）由题设，的频率比为， 故抽取的5人中有2人为、有3人为， 任抽2人有，共10种情况， 其中分数在各一人有，共6种情况， 所以这2名同学分数在各一人的概率. 17．已知动点到点的距离比它到直线的距离小2，记动点的轨迹为. (1)求的方程； (2)直线与交于，两点，若线段的中点坐标为，求直线的方程. 【分析】（1）设，根据条件得出，化简即可. （2）设直线方程，与抛物线方程联立，得出和，再利用中点坐标公式即可求得. 【详解】（1）设，则由题意可得， 化简得，故的方程为. （2）由题意可知，直线的斜率不为0， 故设直线，， ，得， 则， 则， 因线段的中点坐标为， 则，， 解得，经检验，满足， 则直线的方程为. 18．如图，长方体底面是边长为2的正方形，高为4，为线段的中点，为线段的中点. (1)证明：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值. (3)求直线到平面的距离. 【分析】（1）建立空间直角坐标系，求出平面的法向量与直线的方向向量，即可得证； （2）求出平面的法向量，再由空间向量法计算可得； （3）首先证明平面，则直线到平面的距离即为点到平面的距离，再由空间向量法计算可得. 【详解】（1）如图建立空间直角坐标系，则，，，， 又为线段的中点，所以， 所以，又平面的法向量可以为， 所以，即，又平面，所以平面. （2）由（1）可得，所以，， 设平面的法向量为，则，取， 设直线与平面所成角为，则， 所以直线与平面所成角的正弦值为； （3）因为，平面，平面， 所以平面， 所以直线到平面的距离即为点到平面的距离， 又， 所以点到平面的距离， 即直线到平面的距离为. 19．已知函数． (1)求曲线在点处的切线方程； (2)当时，求函数的单调区间； (3)若，求的取值范围． 【分析】（1）由函数解析式求得切点坐标，再由导数求得切线斜率，根据点斜式，可得答案； （2）由函数解析式求导，根据导数与函数单调性的关系，可得答案； （3）利用参变分离整理不等式，并构造函数，由导数与隐零点的思想求得函数的最小值，可得答案. 【详解】（1）由，则， 求导可得，则， 所以切线方程为， 整理可得. （2）由，则，求导可得， 令，求导可得， 当时，，当时，， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 则，即， 故函数单调减区间为，无单调增区间. （3）由不等式，整理可得， 令，求导可得， 令，,函数在上单调递增， 由，，则存在，使得，即， 当时，，当时，， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 故， 可得. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 高二下学期第一次月考模拟题 一、单选题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题绐岀的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．设全集，集合，，则（    ） A． B． C． D． 2．一个三层书架，分别放置语文类读物7本，政治类读物8本，英语类读物9本，每本图书各不相同，从每层各取出1本，则不同的取法共有（     ） A．504种 B．304种 C．24种 D．12种 3．直线过点，且与直线垂直，则直线的方程为（     ） A． B． C． D． 4．从4名男生、3名女生中选2人分别担任班长和副部长，要求选出的2人中至少有一名男生，则不同的方法数为（    ） A．18 B．24 C．30 D．36 5．点在直线上，且，则的最小值为（     ） A．4 B．6 C．8 D．10 6．10件产品中有3件次品，任取2件，恰有1件次品的概率为（     ） A． B． C． D． 7．已知角的终边过点，则（     ） A． B． C． D． 8．在正方体中，下列说法不正确的是（ ） A．正方体的8个顶点可以确定28条不同的线段 B．以正方体的顶点为顶点的直三棱柱有12个 C．以正方体的顶点为顶点的三棱锥有64个 D．以正方体的顶点为顶点的四棱锥有48个 二、多选题(本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得3分，有选错的得0分) 9．已知平面向量，，且，则（    ） A． B． C． D． 10．下列关于的二项展开式，说法正确的是（    ） A．展开式共有10项 B．展开式的二项式系数之和为1024 C．展开式的常数项为8064 D．展开式的第6项的二项式系数最大 11．下列说法正确的是（    ） A．将5封信投入3个邮筒，不同的投法共有种 B．有三张参观券，要在5人中确定3人去参观，不同方法的种数是60 C．从6男4女中选4人参加比赛，若4人中必须有男有女，则共有194种选法 D．甲、乙、丙、丁四人排成一排，则甲、乙两人不相邻共有12种排法 三、填空题(本题共3小题，每小题5分，共计15分) 12．已知复数满足：，则 . 13．现有一组数据:3，4，6，8，9，10，12，13，其第 60 百分位数为 . 14．已知函数为偶函数，且当时，，则不等式的解集为 ． 四、解答题(本题共5小题，共计77分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15．（13分）已知为等差数列，且，. (1)求的通项公式； (2)求的前项和及的最大值. 16．（15分）2024年奥运会在巴黎举行，中国代表团获得了40枚金牌，27枚银牌，24枚铜牌，共91枚奖牌，取得了境外举办奥运会的最好成绩，运动员的拼搏精神给人们留下了深刻印象．为了增加学生对奥运知识的了解，弘扬奥运精神，某校组织高二年级学生进行了奥运知识能力测试．根据测试成绩，将所得数据按照分成6组，其频率分布直方图如图所示． (1)求该样本的第75百分位数； (2)试估计本次奥运知识能力测试成绩的平均分； (3)该校准备对本次奥运知识能力测试成绩不及格（60分以下）的学生，采用按比例分配的分层随机抽样方法抽出5名同学，再从抽取的这5名同学中随机抽取2名同学进行情况了解，求这2名同学分数在各一人的概率． 17．（15分）已知动点到点的距离比它到直线的距离小2，记动点的轨迹为. (1)求的方程； (2)直线与交于，两点，若线段的中点坐标为，求直线的方程. 18．（17分）如图，长方体底面是边长为2的正方形，高为4，为线段的中点，为线段的中点. (1)证明：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值. (3)求直线到平面的距离. 19．（17分）已知函数． (1)求曲线在点处的切线方程； (2)当时，求函数的单调区间； (3)若，求的取值范围． 学科网（北京）股份有限公司 $$