四川省射洪中学校2025-2026学年高一下学期5月期中考试数学试题

**基本信息** 射洪中学高一下期期中数学试卷，涵盖复数、向量、立体几何、解三角形等，解答题如四棱锥线面平行证明、解三角形综合题，注重空间观念与推理能力考查。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|复数虚部、向量共线、直观图周长|基础巩固，如正方体线线角考查空间观念| |多选题|3/18|复数性质、窗花向量应用|文化情境（窗花设计）与数学语言结合| |填空题|3/15|解三角形、舰艇补给实际应用|现实问题模型化，如舰艇最短时间对接| |解答题|5/77|向量运算、立体几何证明、解三角形综合|梯度分布，从基础运算到创新应用（如正四面体球体积）|

数学试题参考答案 考试时间：120分钟满分：150分 1.C2.C3.A4.B5.B6.A7.B8.A9.AC10.ACD11.BCD 12.0.25.13.元>-且元≠214.55 21 14 8.在正四面体A-BCD中，设棱长为a,高为h,O为正四面体A-BCD内切球的球心， 延长AO交底面BCD于E,E是等边三角形BCD的中心，BE延长线交CD于F,连接AF, 则点F是CD的中点，OE为正四面体A-BCD内切球的半径， AF BF=3 a,BE=BF5g=点，h==VF-BF_6 a, 2 3 3 6 3 由正四面体ABCD的体积为85，得！5a.6,=85,解得a=26, 34 3 由oE=BO-BE=MB-0B-BE,，解得OE=64=h, 12 4 则h-26=4,聚大球半径发==1， 3 因此最大球的体积为y=4红×1=4红； 3 3； 小球也可看作一个小的正四面体的内切球，则小正四面体的高h=h-2r=4-2=2, 因此最小球半径-，=2 1 1 2 因此最小球的体积为=4红×日 所以5个球的体积之和为4红+4×亚=2π11.BCD 6 3 6 11.【详解】对于A,因为acos B+bcosA=c(4cosA-I),所以sin Acos B+sin B cos A=sinC(4cosA-1), 所以sin(A+B)=sinC(4cosA-l),又A+B=π-C,即sin(A+B)=sin(π-C)=sinC, 则sinC=sinC(4cosA-1),又sinC≠0，所以1=4cosA-1, 解得eo4子又0<4K,放4-育故A错碳： 对于B,因为1-骨△BC外接圆的半径为2， 第1页共4页 所以a=2Rsin4=4x5-25,故B正确： 2 对于C,因为b2+c2-a2=2 becos A,即b2+c2=12+bc, 又b2+c2≥2bc,所以12+bc≥2bc,得bc≤12，当且仅当b=c=25时，取等号， 所以S-nA=9es12=35,即△1BC面积的级大首为3N5,放C正痛 4 4 对于D,由b-c=2,结合b2+c2=12+bc,解得b=4,c=2, 由Sc=S.m+SAa:即x2x4sin-号x2 x4Dxsin+x4×4 Dxsin. 32 62 6 解得AD=4V ,故D正确 3 15.【解析】(1)因为d=(1,2),b=（-2,3), 所以a=d=5,62=6=13, 所以(a+b)(a-6)=a2-b2=5-13=-8, 一—一一6分 wa66-1以2+236 -13分 V5×13 65 16.【答案】证明：(1)如图，取PA的中点G,连接BG,EG, 在△PAD中，因为E,G分别为所在边的中点，所以BG/AD,且EG=1A, 2 又因为底面ABCD为平行四边形，F为BC的中点， 所以BF∥AD,且BF=1A,所以EGMB邵，且EG=B那 2 所以四边形BFEG为平行四边形， 所以EF∥BG, -一4分 因为ER风平面PAB,BGC平面PAB,所以EF∥平面PAB. 7分 (2)如图，连接BD,交AC于点H,连接EH, 因为PB∥平面ACE,PBC平面PBD,平面PBDn平面ACE=EH, 所以PB∥EH, -12分 在△PBD中，H为BD的中点，所以E为PD的中点. ----15分 17.【解析】(1)略 一一7分 (2)由(1)知BD⊥平面AACC,所以直线BC,在平面AACC的射影为DC, 所以∠DCB即为所求的线面角， 在△ABC中，AB=BC=2,AB⊥BC,D为AC的中点， 所以8D=4C=25=5, 第2页共4页 在直角三角形DCC中，DC=√CC2+CD2=√4+2=√6， 故在直角三角形DCB中，an∠DCB=BD-N5 DC.3 又∠DCB∈ 所以∠DC,B=亚， 6 所以直线BC与平面AACC所成角为 一—一15分 18.【解析】(1)由E,F分别为CD,BC的中点，则EF11BD,EF=BD, 2 2、1 由图可得F=D丽=西-D)=m孤+n而，则m= 所以mm=- -一一5分 （2)由①可知环0-0，元}孤+0， 由AD LAB,则AD·AB=0, c-}孤+而)（}而-}而4而-2， 可得4-)AD=2,解得4D=2 .一一一一10分 3)由图可将店=网+而+0死=-+而+-任小西+而， PF-PB+BF-(1-x)4B+BC(1-)B+(BA+4D+DC) ---}+0+-食西+分0。 压所[好j丽+o度+好话扣 -(6+r小n6+分4=16r-16r5=16fx-1 由0≤x≤1，则PE.PF∈[，5]. 一一17分 19、【解析】(1)因为acosC+3 asinC-b-c=0, 由正弦定理知可得sin AcosC+V3 sin AsinC-sinB-sinC=0, 而sinB=sin[元-(A+C)】=sin(A+C)=sin AcosC+cosAsinC, .sin Acos C+3 sin Asin C-(sin Acos C+cos Asin C )-sin C=0, 即√3 sin AsinC-cos AsinC-sinC=0,又sinC≠0， 第3页共4页 5m41-24--l,即4引》 又0<A<元，则-元<A-亚<5n 6 66 ——5分 [besinA=3 bc=4 (2)由(1)及题设可得 cosA=6+c2-a21,即 b2+c2=8 2be 2 将b=4代入62+c2=8,整理得c-8c2+16=0,则c2=4, 即c=2(负值舍去)，故b=2. 一一一一10分 (3》因为D为BC的中点，所以D=(B+C) 两边平方得D=B+AC=B+AC+2BACe2+b+c), 在△ABC中，由余弦定理得a2=b2+c2-2 bccos A=b2+c2-bc,即b2+c2=3+bc, 所以而-0+)-c. b a5-2 在△ABC中，由正弦定理得sinB sinC sinA√3， 2 所以b=2sinB,c=2sinC 所以bc=4 sin Bsin C=4 sin Bsin 2v3sin Bcos B+2sinB=3sin2B+1-cos2B=2sin2+1 因为△ABC为能角三角形，所以0<B<号且0<牙-B<子，解得管B< 3 6 所以g<28-名<g,所以sm20-君引s1则2<cs3. 66 所以7<D≤9， 4 所以中线AD的取值范围是 √73 2’2 --17分 第4页共4页 射洪中学高2025级高一下期期中考试 数学试题 （考试时间：120分钟 满分：150分） 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3.回答非选择题时，将答案写在答题卡对应题号的位置上。写在本试卷上无效。 4.考试结束后，将答题卡交回。 第I卷（选择题） 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1．复数的虚部为（ ） A． B．0 C．1 D．6 2．已知向量，若，则实数（ ） A．1 B． C． D． 3．如图正方形的边长为，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的周长是（ ） A． B． C． D． 4．在正方体中，点为棱的中点，则与的夹角为（ ） A． B． C． D． 5．如图所示，P为矩形ABCD所在平面外一点，矩形对角线交点为M为PB的中点，下列结论正确的个数为（ ） ①平面PBC        ②平面PCD     ③平面PDA ④平面PBA A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 6．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则（ ） A． B． C．1 D．3 7．如图，在中，已知，，P是线段与的交点，若，则的值为（ ） A． B． C．1 D． 8．如图，在正四面体中，放置1大、4小共个球，其中，大球为正四面体的内切球，小球与大球及正四面体三个面均相切，若正四面体的体积为，则个球的体积之和为（ ） A． B． C． D． 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.） 9．已知复数，，则（ ） A．是纯虚数 B．在复平面内对应的点位于第二象限 C． D． 10．窗花是贴在窗户玻璃上的贴纸，它是中国古老的传统民间艺术之一．在2026年马年新春，有人设计了一种由外围四个大小相等的半圆和中间正方形所构成的剪纸窗花（如图1）．已知正方形ABCD的边长为2，四个半圆的圆心均为正方形ABCD各边的中点（如图2），若E，F分别为弧BC，弧CD的中点，则（ ） A． B．与的夹角为 C．在方向上的投影向量为 D． 11．在中，角的对边分别为外接圆的半径为2，且，则下列结论正确的是（ ） A． B． C． 面积的最大值为 D．若，角的平分线交于点，则 第II卷（非选择题） 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12．若△ABC中，，那么cosC=__________． 13．已知，且与的夹角为锐角，则实数的取值范围是__________． 14．海军某登陆舰队在一次海上训练中，雷达兵在处发现在北偏东50°方向，相距30公里的水面处，有一艘舰艇发出液货补给需求，它正以每小时50公里的速度沿南偏东70°方向前进，这个雷达兵立马协调在处的舰艇以每小时70公里的速度，沿北偏东方向与舰艇对接并进行横向液货补给．若舰艇要在最短的时间内实现横向液货补给，则__________． 四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15．（13分）已知向量，． （1）求； （2）求． ▲ 16．（15分）如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为平行四边形，E是PD上的点． (1)若E，F分别是PD和BC的中点，求证：EF∥平面PAB； (2)若PB∥平面AEC，求证：E是PD的中点． ▲ 17．（15分）如图，在三棱柱中，侧棱底面，，为的中点，. (1)求证：； (2)求直线与平面所成角的大小． ▲ 18．（17分）如图，在梯形中，，，，E、F分别为、的中点，且，P是线段上的一个动点． (1)若，求的值； (2)求的长； (3)求的取值范围． ▲ 19．（17分）已知，，分别为三个内角，，的对边， (1)求角； (2)若，的面积为，求，； (3)若，且为锐角三角形，为的中点，求中线的取值范围． ▲ 高一强实班数学 第 1 页 共 4 页 学科网（北京）股份有限公司 $