精品解析：上海市奉贤中学2024-2025学年高一下学期期中考试数学试题

奉贤中学2024-2025学年第二学期高二年级数学期中 2025.4 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 1. 直线的倾斜角为_________． 【答案】## 【解析】 【分析】根据直线倾斜角的定义即可求解． 【详解】由题得，， 所以直线的倾斜角为， 故答案为：． 2. 若双曲线的一个焦点为，则_________． 【答案】 【解析】 【分析】根据双曲线即可求解． 【详解】由题得，， 故答案为：4． 3. 已知数列为等差数列，其前项和为，若，，则_________． 【答案】 【解析】 【分析】由已知得出，进而得出，再根据等差数列求和公式即可求解． 【详解】因为，，所以， 所以，则， 故答案为：217． 4. __________. 【答案】 【解析】 【分析】由等比数列的前项和公式结合数列的极限，即可得出答案. 【详解】. 故答案为： 5. 若函数，则_________． 【答案】 【解析】 【分析】由导数的运算可得结果. 【详解】由，，则. 故答案为：. 6. 已知，，则_________． 【答案】##0.125 【解析】 【分析】根据条件概率公式即可求解． 【详解】， 故答案为：． 7. 极限__________． 【答案】## 【解析】 【分析】根据导数的定义结合题意直接求解即可. 【详解】 . 故答案为： 8. 如图1，西安航天基地揽月阁是一座融合了古代文化与现代科技的标志性建筑，可近似的视为一个正四棱台，现有一个揽月阁模型（如图2）、下底面边长为，上底面边长为，侧棱长为，则该模型的高为_________． 【答案】 【解析】 【分析】连接，，由正四棱台性质得和的长，过作，过作，得，，最后在直角三角形中，由勾股定理得到结果. 【详解】由正四棱台，，，， 连接，得，， 过作，过作， 所以，， 在直角三角形中，， 所以正四棱台的高. 故答案为：. 9. 现有来自两个班级的考生报名表，分装2袋，第一袋有6名男生和4名女生的报名表，第二袋有7名男生和5名女生的报名表，随机选择一袋，然后从中随机抽取2份.则恰好抽到男生和女生的报名表各1份的概率是______. 【答案】 【解析】 【分析】设“抽到第一袋”，“抽到第二袋”，“随机抽取2份，恰好抽到男生和女生的报名表各1份”，根据题意求出.，，，，然后利用全概率公式可求出结果. 【详解】设抽“到第一袋”，“抽到第二袋”，“随机抽取2份，恰好抽到男生和女生的报名表各1份”， 则，，． 由全概率公式得． 故答案为：. 10. 已知随机变量的分布为，则_________． 【答案】 【解析】 【分析】根据分布列的性质求出a的值，即可求出X的期望，由此可得答案. 【详解】随机变量的分布为, 故， 故， 故， 故答案为：32 11. 正方形草地边长到距离为到距离为，有个圆形通道经过，且经过上一点，求圆形通道的周长_______.（精确到） 【答案】 【解析】 【分析】利用给定条件求解圆的半径，再求周长即可. 【详解】如图，以为原点建系，易知，连接， 不妨设中点为，直线中垂线所在直线方程为， 化简得，所以圆心为，半径为，且经过点 即，化简得， 解得， 结合题意可得，故圆的周长为. 故答案为： 12. 已知函数，如果且，则的取值范围为_________． 【答案】 【解析】 【分析】利用导数可得函数单调性，从而可得的范围，再构造函数，结合三次函数交点式即可得、，再结合的范围即可得解. 【详解】， 则当时，， 当时，， 故在、上单调递增，在上单调递减， 则有极大值， 有极小值， 由，则可设， 令，则， 即有， 则， 故，， 则， 故答案为：. 二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分）． 13. 已知数列是等比数列，、、为正整数，则“”是“”的（ ）. A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 既非充分又非必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】结合等比数列的性质判断“”和“”之间的逻辑推理关系，即可判断出答案. 【详解】由题意知数列是等比数列，设其公比为q， 则，， 当时，显然成立； 当时，不妨取，此时，满足， 但不成立， 故“”是“”的充分非必要条件， 故选：A 14. 函数的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】对求导，可得的单调性进而排除AC；当趋近，故小于可排除D，即可得出答案. 【详解】的定义域为， 所以，所以在单调递增，故A，C错误； 当趋近，故小于，故D错误. 故选：B. 15. 一张矩形纸的边长分别为、，把它作为一个圆柱的侧面，再添加圆柱的两个底，可以得到高分别为和的两个圆柱体，其体积为和，则和的大小关系是（ ）. A. B. C. D. 不确定 【答案】C 【解析】 【分析】根据圆柱的体积公式即可求解． 【详解】当高为时，底面周长为，则底面半径为， 所以， 同理可得当高为时，， 因为，所以， 故选：C． 16. 足球运动被誉为“世界第一运动”，深受青少年的喜爱．为推广足球运动，某学校成立了足球社团，社团中的甲、乙、丙三名成员将进行传球训练，从甲开始随机地将球传给其他两人中的任意一人，接球者再随机地将球传给其他两人中的任意一人，如此不停地传下去，且假定每次传球都能被接到．记开始传球的人为第1次触球者，第次触球者是甲的概率为，即．给出下列2个结论：①，②．则下列说法正确的是（ ） A. ①成立，②不成立 B. ①不成立，②成立 C. ①②都成立 D. ①②都不成立 【答案】A 【解析】 【分析】根据给定条件，直接求出；求出的关系，再求出通项公式，进而作差判断. 【详解】由乙或丙传球给其他两个人，得，①正确； 依题意，第次触球者是甲，则第次触球的不能是甲，且第次触球的人， 有的概率将球传给甲，于是，， 而，因此是以为首项，为公比的等比数列， 则，即，则， ，，②错误. 故选：A 三、解答题（本大题共有5题，满分78分）． 17. 如图，在三棱锥中，，，．为的中点，且，平面平面． （1）求证：平面； （2）求直线与平面所成角的大小． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）先由等腰三角形的性质得出，再根据面面垂直的性质即可证明； （2）设点到平面的距离为，根据等体积法求得，即可用反三角函数得出直线与平面所成角． 【小问1详解】 因为，为的中点， 所以， 又平面平面，平面平面，平面， 所以平面． 【小问2详解】 同理（1）得，平面，又平面， 所以， 在中，，所以， 在中，， 在中，， 在中，，所以， 则， ， 设点到平面的距离为，则， 设直线与平面所成角为，则， 所以直线与平面所成角为． 18. 已知数列的各项均为正数，，且． （1）求证：数列是等差数列； （2）若数列满足求数列中的最大项与最小项． 【答案】（1）证明见解析； （2）最大项，最小项. 【解析】 【分析】（1）利用倒数法化简得到，从而得证； （2）先计算得到，从而分析的单调性可得结果. 【小问1详解】 证明：由，两边取倒数，可得， 即，，所以数列是以3为首项，2为公差的等差数列. 【小问2详解】 由（1），所以， 由则当时，， 所以的最大项为， 又当时，随着n增大，减小，故单调递增，故的最小项为. 19. 某大学在一次公益活动中聘用了10名志愿者，他们分别来自于、、三个不同的专业，其中专业2人，专业3人，专业5人，现从这10人中任意选取3人参加一个访谈节目． （1）求3个人来自两个不同专业的概率; （2）设表示取到专业的人数，求的分布列及数学期望． 【答案】（1） （2）分布列见解析，. 【解析】 【分析】（1）求出3个人来自于同一个专业和3个人来自于三个不同专业的概率，再利用对立事件能求出3个人来自两个不同专业的概率． （2）随机变量可能取值为0，1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出的分布列及数学期望． 【小问1详解】 解：令事件表示3个来自于两个不同专业， 表示3个人来自于同一个专业，表示3个人来自于三个不同专业， ，， ． 【小问2详解】 解：随机变量可能取值为0，1，2，3， ，， ，， 的分布列为： 0 1 2 3 所以. 20. 已知椭圆：，、分别为左、右焦点，直线过交椭圆于、两点. （1）求椭圆的离心率； （2）当，且点在轴上方时，求、两点的坐标； （3）若直线交轴于，直线交轴于，是否存在直线，使得？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由. 【答案】（1） （2）； （3）存在直线或满足题意 【解析】 【分析】（1）根据椭圆方程直接求，即可得离心率； （2）由垂直的向量表示化简，结合点在椭圆上即可求出点坐标，再联立直线与椭圆可得B点坐标； （3）由直线方程得出，分别求出三角形面积，根据面积相等建立方程求出即可得解. 【小问1详解】 由椭圆方程知，，， 所以， 所以离心率. 【小问2详解】 ，，设，且. 所以，， ，， 又在椭圆上，满足，即， ，解得，即. 所以直线：， 联立，解得或， 所以； 【小问3详解】 设，，，， 直线：， 联立，得 则，. 直线的方程：，令得纵坐标； 直线的方程：，令得的纵坐标. 则， 若，即， ， ，， 代入根与系数的关系，得，解得. 存在直线或满足题意. 【点睛】方法点睛：圆锥曲线中求解三角形面积的常用方法: （1）利用弦长以及点到直线的距离公式，表示出三角形的面积; （2）根据直线与圆锥曲线的交点，利用公共底或者公共高的情况，将三角形的面积表示为或的形式求解. 21. 在平面直角坐标系中，将函数的图象绕坐标原点逆时针旋转后所得曲线仍然是某个函数的图象，则称函数为“函数”. （1）判断函数是否是“函数”，并说明理由； （2）已知函数是“函数”，求该函数的极值； （3）已知函数是“函数”，求实数的取值范围． 【答案】（1）不是，理由见解析. （2）；当时，有极大值；当时，有极小值. （3） 【解析】 【分析】（1）将该直线绕坐标原点逆时针旋转后的曲线方程写出来，然后判断其是否是函数来确定是否为“函数”； （2）首先根据题意构造函数和方程，然后分情况讨论的取值，判断方程是否至多只有1个解求解的值，然后得到原函数的表达式，求导判断单调性，从而求出该函数的极值； （3）先根据题意构造函数，然后对函数求导，分情况讨论的值，判断函数是否单调来进行求解. 【小问1详解】 函数是一条过原点、斜率为1的直线，倾斜角为. 其图像绕原点O逆时针旋转后，所得的曲线是， 不满足函数定义，所以函数不是“函数”. 【小问2详解】 因为函数是“函数”，所以该函数与直线至多只有1个交点. 即方程最多只有1个根，化简方程得： . 当时，方程最多只有1个根，符合题意； 当时，方程的判别式不恒成立，不符合题意. 所以要使得该函数为“函数”，则. 所以函数表达式变. 对函数求导得：. 当时，，此时函数在和上单调递减； 当或时，，此时函数在和上单调递增； 结合单调性可知函数在处取极大值，在处取极小值. 计算可得函数的极大值为-2，函数的极小值为2. 【小问3详解】 因为函数是“函数”，所以该函数与直线至多只有1个交点. 即方程最多只有1个根，即方程至多一个实数根， 故只需函数是单调函数，求导得. 设，则，其中. ①当时， 当时，，在上单调递减； 当时，，在上单调递增； 则， 即且，； 故在必不单调； ②当时， 同理可得，上单调递增，在上单调递减； ，且；， 故恒成立不可能， 所以要使函数是单调函数，则只需恒成立，则只需， 解得，则； ③当时，，符合题意； 综上，若使函数是“函数”，则， 则实数的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 奉贤中学2024-2025学年第二学期高二年级数学期中 2025.4 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 1. 直线的倾斜角为_________． 2. 若双曲线的一个焦点为，则_________． 3. 已知数列为等差数列，其前项和为，若，，则_________． 4 __________. 5. 若函数，则_________． 6. 已知，，则_________． 7. 极限__________． 8. 如图1，西安航天基地揽月阁是一座融合了古代文化与现代科技的标志性建筑，可近似的视为一个正四棱台，现有一个揽月阁模型（如图2）、下底面边长为，上底面边长为，侧棱长为，则该模型的高为_________． 9. 现有来自两个班级的考生报名表，分装2袋，第一袋有6名男生和4名女生的报名表，第二袋有7名男生和5名女生的报名表，随机选择一袋，然后从中随机抽取2份.则恰好抽到男生和女生的报名表各1份的概率是______. 10. 已知随机变量分布为，则_________． 11. 正方形草地边长到距离为到距离为，有个圆形通道经过，且经过上一点，求圆形通道的周长_______.（精确到） 12. 已知函数，如果且，则的取值范围为_________． 二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分）． 13. 已知数列是等比数列，、、为正整数，则“”是“”的（ ）. A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 既非充分又非必要条件 14. 函数的图象可能是（ ） A. B. C. D. 15. 一张矩形纸的边长分别为、，把它作为一个圆柱的侧面，再添加圆柱的两个底，可以得到高分别为和的两个圆柱体，其体积为和，则和的大小关系是（ ）. A. B. C. D. 不确定 16. 足球运动被誉为“世界第一运动”，深受青少年的喜爱．为推广足球运动，某学校成立了足球社团，社团中的甲、乙、丙三名成员将进行传球训练，从甲开始随机地将球传给其他两人中的任意一人，接球者再随机地将球传给其他两人中的任意一人，如此不停地传下去，且假定每次传球都能被接到．记开始传球的人为第1次触球者，第次触球者是甲的概率为，即．给出下列2个结论：①，②．则下列说法正确的是（ ） A. ①成立，②不成立 B. ①不成立，②成立 C. ①②都成立 D. ①②都不成立 三、解答题（本大题共有5题，满分78分）． 17. 如图，在三棱锥中，，，．为的中点，且，平面平面． （1）求证：平面； （2）求直线与平面所成角的大小． 18. 已知数列的各项均为正数，，且． （1）求证：数列等差数列； （2）若数列满足求数列中的最大项与最小项． 19 某大学在一次公益活动中聘用了10名志愿者，他们分别来自于、、三个不同的专业，其中专业2人，专业3人，专业5人，现从这10人中任意选取3人参加一个访谈节目． （1）求3个人来自两个不同专业的概率; （2）设表示取到专业的人数，求的分布列及数学期望． 20. 已知椭圆：，、分别为左、右焦点，直线过交椭圆于、两点. （1）求椭圆的离心率； （2）当，且点在轴上方时，求、两点的坐标； （3）若直线交轴于，直线交轴于，是否存在直线，使得？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由. 21. 在平面直角坐标系中，将函数的图象绕坐标原点逆时针旋转后所得曲线仍然是某个函数的图象，则称函数为“函数”. （1）判断函数是否是“函数”，并说明理由； （2）已知函数是“函数”，求该函数极值； （3）已知函数是“函数”，求实数的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $