精品解析：2026年安徽省合肥市合肥新站高新技术产业开发区中考二模数学试题

2026年初中毕业学业考试模拟试卷 数学试题卷 2026.5 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分；每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的．） 1. 下列实数中，无理数是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】无限不循环小数是无理数，整数和分数统称为有理数．先化简零指数幂、负整数指数幂及绝对值，再根据定义逐一判断即可． 【详解】解：A．是无限不循环小数，是无理数，符合题意， B．，是整数，属于有理数，不符合题意， C．，是整数，属于有理数，不符合题意， D．，是分数，属于有理数，不符合题意． 2. 是一款基于混合专家架构的大语言模型，它的参数量巨大，截止2025年1月，的参数量已经高达6710亿，将6710亿用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据科学记数法的方法进行解题即可．本题主要考查了用科学记数法表示较大的数，一般形式为，其中，为正整数，确定a与n的值是解题的关键． 【详解】解：依题意，6710亿， 故选：B 3. 某几何体的三视图如图所示，这个几何体是（    ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了由三视图判定几何体的形状，熟练掌握相关概念是解题关键． 根据主视图、左视图、俯视图的概念即可求解． 【详解】解：根据某几何体的三视图可知这个几何体是： 故选：． 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：A、， A错误； B、， B错误； C、 ， C正确； D、， D错误． 5. 实数最接近下列哪一个整数（ ） A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 【答案】B 【解析】 【分析】可求出 ，进而得到 ，据此可得答案． 【详解】解：∵， ∴ ， ∴ ， ∴实数最接近8． 6. 如图是一个圆柱形饮料罐，底面半径是5，高是12，上底面中心有一个小圆孔，则一条长的直吸管露在罐外部分a的长度（罐壁的厚度和小圆孔的大小忽略不计）范围是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先分别求出吸管在罐内长度的最大值和最小值，然后求出在罐外部分的最大值和最小值即可． 【详解】解：当吸管底部在底面圆心时吸管在罐内部分b最短，此时b就是圆柱形的高， 即； ∴此时， 当吸管底部在饮料罐的壁底时吸管在罐内部分b最长， 此时， ∴此时， ∴． 7. 如图，四边形和四边形都是平行四边形，点R为的中点，连接分别交，于点P、Q，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由题意易得，，，则有，，，然后可得，进而根据相似三角形的性质进行求解即可． 【详解】解：∵四边形和四边形都是平行四边形， ∴，，， ∴，，， ∵点R为的中点， ∴， ∵， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∴． 8. 化学兴趣小组的同学整理了四种常见的物质：①氧气，②二氧化碳，③铜片，④高锰酸钾溶液．从中随机抽取两种物质，则抽到的两种物质均为无色的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】画树状图，共有种等可能的结果，其中抽到的两种物质均为无色的结果有种，再由概率公式求解即可． 【详解】解：∵①氧气为无色，②二氧化碳为无色，③铜片为紫红色，不是无色，④高锰酸钾溶液为紫红色，不是无色， 将①氧气，②二氧化碳，③铜片，④高锰酸钾溶液分别记作、、、， 画树状图如下： 共有种等可能的结果，其中抽到的两种物质均为无色的结果有种，即、， ∴抽到的两种物质均为无色的概率是． 9. 如图，五边形是的内接正五边形，连接，若，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用圆周角定理求出相关角度，证明等腰三角形，再通过相似三角形得到边长关系，进而求出． 【详解】解：设正五边形的边长为，对角线长为，则， 五边形是的内接正五边形， ， 它们所对的圆心角度数为， ， ，， ， 中，， ， ， 在中，为与的交点， ，， ， ， ，， 为等腰三角形，， ， ，即， ， 同理，为与的交点，可得，， 在与中， ，， ， ，且相似比为， ， ， 在与中， ，， ， ，即， ， ， ， 解得（取正值）， ， ． 10. 已知代数式，，，若，且z为方程的一个实根，则的值为（ ） A. 2026 B. 2028 C. 4052 D. 4054 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意可求出，由方程的解的定义得到，进而得到，据此可得答案． 【详解】解：∵， ∴，，， ∴， ∵z为方程的一个实根， ∴， 当时，，不符合题意， ∴， ∴， ∴ ∴． 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11. 因式分解：_____． 【答案】 2 【解析】 【分析】先提取公因式，再利用平方差公式完成二次分解. 【详解】解：原式. 12. 化简：后结果是_________． 【答案】 【解析】 【详解】解： ． 13. 如图是一段圆弧，点O是这段弧所在圆的圆心，C为上一点，于点D，若，，则的长为__________（结果保留）． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了垂径定理、解直角三角形、弧长公式，熟练掌握相关知识点是解题的关键．利用垂径定理得到，设，在中利用勾股定理求出的值，得到，利用三角函数的知识得出，再利用弧长公式即可求解． 【详解】解：，， ， 设，则， 在中，， ， 解得：， ， ， ， ，， ， ． 故答案为：． 14. 如图，在矩形中，，，E、F分别为上的点，且， （1）点B到的距离是_________； （2）连接，交于点G，则的最小值是_________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】（1）先利用勾股定理求出的长，再利用面积法求解即可； （2）由点A，B，F，E共圆得，设的外心为点O，连接 ，作于点H，设 ，则，当最小时，取得最小值．由 可知当最小时，取得最小值，根据垂线段最短求出r的最小值即可求解． 【详解】解：（1）∵在矩形中， ∴， ∵，， ∴． 设点B到的距离是h， ∵， ∴， ∴； （2）∵， ∴， ∴， ∴点A，B，F，E共圆， ∴． 设的外心为点O，连接 ，作于点H，设 ， ∴ ，， ∴当最小时，取得最小值．． ∵ ， ∴ ， ∴ ， ， ∴当最小时，取得最小值．． ∵点B到的距离是， ∴， ∴， ∴r的最小值为． 当时，，， ∴的最小值是． 三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 15. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了实数的运算， 根据，再根据二次根式的加减法计算即可. 【详解】解：原式, . 16. 图①、图②均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1．的顶点均在格点上，只用无刻度的直尺按下列要求画图，保留作图痕迹． （1）在图①中作边上的中线； （2）在图②中的边上找到一点F，使． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】（1）先根据矩形的性质得到线段的中点，然后问题可求解； （2）根据相似三角形的性质可进行作图． 【小问1详解】 解：如图①，连接格点P、Q与交于点D，连接． 由于四边形是矩形，则点D为的中点， 为边上的中线； 【小问2详解】 解：如图②，取格点S、T，连接交于点F， ， ， ，即． 四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 17. 在国家的宏观调控下，某市主城区的商品新房成交均价由今年1月份的24000元下降到3月份的20000元，如果房价继续回落，按此降价的百分率，你预测到5月份该市的商品房成交均价是否会跌破16000元？请说明理由． 【答案】5月份该市的商品房成交均价不会跌破16000元，理由见解析 【解析】 【分析】设月平均降价的百分率为x，根据题意得，则有，然后问题可求解． 【详解】解：设月平均降价的百分率为x，根据题意得： ， 可得：， 所以， 因为． 答：5月份该市的商品房成交均价不会跌破16000元． 18. 如图，矩形的顶点A，C分别在x轴和y轴上，点B的坐标为，双曲线的图象经过的中点D，且与交于点E，连接． （1）求k的值及点E的坐标； （2）若F是边上一点，且，求点F的坐标． 【答案】（1），E （2） 【解析】 【分析】（1）先利用D为的中点得到，再利用待定系数法确定反比例函数解析式为，接着利用E点的横坐标为6得到； （2）证明，根据相似三角形的性质，利用相似比可求出，然后计算出的长，从而得到点F坐标． 【小问1详解】 解：在矩形中，，D为的中点， 边中点D的坐标为， 曲线的图象经过点， ． 双曲线解析式， 点E在上， 点E的横坐标为6， 反比例函数的图象经过点E， 点E纵坐标为． 点E坐标为； 【小问2详解】 解：由（1）得，，，． 四边形为矩形， ． ， ． ∴． ∵， ． ，即． ． ， ，即点F的坐标为． 五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分） 19. 如图，是我市某小区的“垃圾分类定时定点投放点”，采用的是智能化按键式开启投放门的投放方式，让市民的垃圾投放变得更智能更环保，图是投放门开启后的侧面示意图，投放口挡板长，挡板底部距地面高度为，，，三点共线，挡板开启后，张角的最大值为． （1）求投放门前端到的最大距离； （2）求投放门前端到地面的最大距离．（参考数据：，，） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查解直角三角形的应用及矩形的判定与性质，正确构造直角三角形是解题关键． （1）过点作于点，在中，利用即可求得答案； （2）过点作于点，得出四边形是矩形，得出，在中，利用，结合即可求得答案． 【小问1详解】 解：如图，过点作于点， ∵挡板开启后，张角的最大值为， ∴在中，，，， ， 答：投放门前端到的最大距离约为． 【小问2详解】 解：如（1）中图，过点作于点， 依题意 ， 四边形是矩形， ， 在中，，，， ， ， ， 答：投放门前端距地面的最大距离约为 20. 如图，是的直径，弦于点E，G为上一点，延长交于点F，连接和． （1）若，，求的半径； （2）求证：． 【答案】（1）5 （2）见解析 【解析】 【分析】（1）由垂径定理可得，如图：连接，设圆的半径为r，则 ，再利用勾股定理构造方程求解即可； （2）如图：连接AC，易得，即，再利用圆的内接四边形的性质即可证明结论． 【小问1详解】 解：∵是的直径，弦于点E，， ∴， 如图：连接，设圆的半径为r，则 ， ∴，即，解得：， ∴的半径为5． 【小问2详解】 证明：如图：连接， ，是的直径， ， ， 四边形为圆的内接四边形， ， ． 六、（本题满分12分） 21. 已知b为实数，是关于x的二次函数，其函数表达式为． （1）当时，通过配方法求该函数的顶点坐标； （2）无论b取何值，抛物线必过定点，求出该定点坐标； （3）当b的值变化时，二次函数的顶点在另一个二次函数图象上，试求出二次函数的函数表达式． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）通过配方法确定函数图像的顶点坐标即可； （2）整理表达式并令含参项系数（关于的一次项系数）为零来求解； （3）设原函数顶点坐标为  ，先用含  的代数式表示出顶点的横坐标  和纵坐标  ，再通过代入法消去参数  ，即可得到  与  的函数关系式，即为所求的二次函数表达式． 【小问1详解】 解：当时， 顶点坐标为． 【小问2详解】 当时，即， 定点坐标为． 【小问3详解】 顶点坐标为 设 ， ， ． 七、（本题满分12分） 22. 如图1，E、F分别是正方形边上的点，且，连接交于点P，连接交于点Q． （1）求证：； （2）当E为中点时，则的值为_________； （3）如图2，过点F作于点G，连接，若，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）证明，推出，即可求得； （2）延长交延长线于点M，证明，，求得， ，据此求解即可； （3）过点G作于点M，交于点N，证明，推出为等腰直角三角形，据此求解即可． 【小问1详解】 证明：∵正方形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ ， ∴； 【小问2详解】 解：延长交延长线于点M， ∵正方形，且E为BC中点，且， ∴F为的中点，，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ， ∵， ，， ， ， ， ， ， ； 【小问3详解】 解：过点G作于点M，交于点N， ∵正方形， ∴，，， ∵，， ∴，、、均为等腰直角三角形， 四边形和都是矩形， 令，则 ， ， ， ，， ∵， ， ∴，， ∴ ， ∴为等腰直角三角形， ． 八、（本题满分14分） 23. 【综合与实践】：排队问题 发现问题：某校是一个有3000位学生的寄宿制学校，但只有一个窗口办理校园卡补卡和充值业务，同学们普遍反映等待时间较长，校数学兴趣小组决定利用所学知识尝试解决这个问题． 任务一：获取学生平均等待时间 【收集数据】 同学们随机对m名同学的等待时间进行了调查统计，把数据分为5组（等待时间用x表示，单位为秒）：A：，B：，C：，D：，E：，并整理绘制了如图所示的统计图． 根据图中给出的信息，完成下列问题． （1）问题1：_________；_________； （2）问题2：根据调查，大部分学生期望的等待时间为100秒以内，请你估算全校有多少人认为等待时间过长？ 任务二：进行数据分析构建数学模型 数学兴趣小组通过查阅资料，找到了可以让数据既精准，还可以预计增加窗口后的方法． 在增加调查的次数后得到了工作人员的效率、初始排队的人数和排队人数的增速的最终数据如下： 工作人员平均服务一位学生的时间 平均初始等待人员的数量 平均多久有一位新学生到达 23秒 16人 41秒 设，，，表示当窗口开始工作时已经在等待的16位学生，，，…，表示在窗口开始工作以后，按先后顺序到达的“新学生”，且当离开后，排队现象就此消失了，即为第一位到达后不需要排队的“新学生”（这里假设，，，的到达时间为0）． 学生 … … 到达时间（秒） 0 0 0 … 0 … 41n ? 服务开始时间（秒） 0 23 … … 服务结束时间（秒） 23 … … ? 等待时间（秒） 0 23 … … ? （3）问题3：的到达时间是_________，服务结束时间是_________，的等待时间是_________（用含n的代数式表示）； （4）问题4：若服务结束时间小于或等于的到达时间，则排队现象消失．你能否求出n的最小值和平均等待时间？（精确到1秒） 【答案】（1）， （2）全校有1500人认为等待时间过长 （3），，秒； （4）n的最小值为19，平均等待时间约为168秒 【解析】 【分析】(1) 由B组人数及其所占百分比可求总人数，再由组所占百分比求． (2) 等待时间过长即等待时间不少于100秒，对应、、三组，用样本比例估计总体． (3) 观察表格，找到的到达时间的规律，服务结束时间与序号成正比，等待时间等于服务开始时间减到达时间． (4) 根据排队消失的条件列不等式求，再计算所有等待学生的总等待时间求平均． 【小问1详解】 解：由频数直方图知组有15人，由扇形统计图知组占， ， 由柱状图可知， ， ． 【小问2详解】 解：∵等待时间过长即等待时间在100秒及以上，对应、、三组， 样本中等待时间过长的人数为 ， 全校认为等待时间过长的人数约为 人． 【小问3详解】 解：由表格规律可知， 的到达时间为秒， 前面共有人， 的服务开始时间为秒， 服务结束时间为秒， 的等待时间为秒． 【小问4详解】 解：由题意得， ， ， ， 为正整数， 的最小值为19． 16位初始学生的等待时间分别为， 其和为秒． 19位新学生的等待时间分别为， 即， 其和为秒． 总等待时间为秒， 总人数为人， 平均等待时间为秒． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年初中毕业学业考试模拟试卷 数学试题卷 2026.5 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分；每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的．） 1. 下列实数中，无理数是（ ） A. B. C. D. 2. 是一款基于混合专家架构的大语言模型，它的参数量巨大，截止2025年1月，的参数量已经高达6710亿，将6710亿用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 某几何体的三视图如图所示，这个几何体是（    ） A. B. C. D. 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 实数最接近下列哪一个整数（ ） A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 6. 如图是一个圆柱形饮料罐，底面半径是5，高是12，上底面中心有一个小圆孔，则一条长的直吸管露在罐外部分a的长度（罐壁的厚度和小圆孔的大小忽略不计）范围是（　　） A. B. C. D. 7. 如图，四边形和四边形都是平行四边形，点R为的中点，连接分别交，于点P、Q，则的值为（ ） A. B. C. D. 8. 化学兴趣小组的同学整理了四种常见的物质：①氧气，②二氧化碳，③铜片，④高锰酸钾溶液．从中随机抽取两种物质，则抽到的两种物质均为无色的概率是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，五边形是的内接正五边形，连接，若，则的值为（ ） A. B. C. D. 10. 已知代数式，，，若，且z为方程的一个实根，则的值为（ ） A. 2026 B. 2028 C. 4052 D. 4054 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11. 因式分解：_____． 12. 化简：后结果是_________． 13. 如图是一段圆弧，点O是这段弧所在圆的圆心，C为上一点，于点D，若，，则的长为__________（结果保留）． 14. 如图，在矩形中，，，E、F分别为上的点，且， （1）点B到的距离是_________； （2）连接，交于点G，则的最小值是_________． 三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 15. 计算：． 16. 图①、图②均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1．的顶点均在格点上，只用无刻度的直尺按下列要求画图，保留作图痕迹． （1）在图①中作边上的中线； （2）在图②中的边上找到一点F，使． 四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 17. 在国家的宏观调控下，某市主城区的商品新房成交均价由今年1月份的24000元下降到3月份的20000元，如果房价继续回落，按此降价的百分率，你预测到5月份该市的商品房成交均价是否会跌破16000元？请说明理由． 18. 如图，矩形的顶点A，C分别在x轴和y轴上，点B的坐标为，双曲线的图象经过的中点D，且与交于点E，连接． （1）求k的值及点E的坐标； （2）若F是边上一点，且，求点F的坐标． 五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分） 19. 如图，是我市某小区的“垃圾分类定时定点投放点”，采用的是智能化按键式开启投放门的投放方式，让市民的垃圾投放变得更智能更环保，图是投放门开启后的侧面示意图，投放口挡板长，挡板底部距地面高度为，，，三点共线，挡板开启后，张角的最大值为． （1）求投放门前端到的最大距离； （2）求投放门前端到地面的最大距离．（参考数据：，，） 20. 如图，是的直径，弦于点E，G为上一点，延长交于点F，连接和． （1）若，，求的半径； （2）求证：． 六、（本题满分12分） 21. 已知b为实数，是关于x的二次函数，其函数表达式为． （1）当时，通过配方法求该函数的顶点坐标； （2）无论b取何值，抛物线必过定点，求出该定点坐标； （3）当b的值变化时，二次函数的顶点在另一个二次函数图象上，试求出二次函数的函数表达式． 七、（本题满分12分） 22. 如图1，E、F分别是正方形边上的点，且，连接交于点P，连接交于点Q． （1）求证：； （2）当E为中点时，则的值为_________； （3）如图2，过点F作于点G，连接，若，求的长． 八、（本题满分14分） 23. 【综合与实践】：排队问题 发现问题：某校是一个有3000位学生的寄宿制学校，但只有一个窗口办理校园卡补卡和充值业务，同学们普遍反映等待时间较长，校数学兴趣小组决定利用所学知识尝试解决这个问题． 任务一：获取学生平均等待时间 【收集数据】 同学们随机对m名同学的等待时间进行了调查统计，把数据分为5组（等待时间用x表示，单位为秒）：A：，B：，C：，D：，E：，并整理绘制了如图所示的统计图． 根据图中给出的信息，完成下列问题． （1）问题1：_________；_________； （2）问题2：根据调查，大部分学生期望的等待时间为100秒以内，请你估算全校有多少人认为等待时间过长？ 任务二：进行数据分析构建数学模型 数学兴趣小组通过查阅资料，找到了可以让数据既精准，还可以预计增加窗口后的方法． 在增加调查的次数后得到了工作人员的效率、初始排队的人数和排队人数的增速的最终数据如下： 工作人员平均服务一位学生的时间 平均初始等待人员的数量 平均多久有一位新学生到达 23秒 16人 41秒 设，，，表示当窗口开始工作时已经在等待的16位学生，，，…，表示在窗口开始工作以后，按先后顺序到达的“新学生”，且当离开后，排队现象就此消失了，即为第一位到达后不需要排队的“新学生”（这里假设，，，的到达时间为0）． 学生 … … 到达时间（秒） 0 0 0 … 0 … 41n ? 服务开始时间（秒） 0 23 … … 服务结束时间（秒） 23 … … ? 等待时间（秒） 0 23 … … ? （3）问题3：的到达时间是_________，服务结束时间是_________，的等待时间是_________（用含n的代数式表示）； （4）问题4：若服务结束时间小于或等于的到达时间，则排队现象消失．你能否求出n的最小值和平均等待时间？（精确到1秒） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $