精品解析：安徽阜阳市太和县部分学校2026 年初中学业水平考试质量监测卷(二) 数 学

2026年初中学业水平考试质量监测试卷（二） 数学 注意事项： 1．全卷满分150分，答题时间为120分钟． 2．请将各题答案填写在答题卡上． 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1. 的倒数是（ ） A. B. C. 2 D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：的倒数是． 2. 据国家文物局统计，2026年春节假期全国博物馆接待观众8951.12万人次，同比增长27.6%，创历史新高．数据“8951.12万”用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】科学记数法的表示形式为，其中，正整数． 【详解】解：数据“8951.12万”用科学记数法表示为． 3. 将两本相同的课本按如图所示的方式进行叠放，得到一个几何体，则它的俯视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】结合俯视图是从一个图形的上面看到的图形进行分析，即可作答． 【详解】解：依题意，该图形的俯视图是． 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了积的乘方、同底数幂的乘法、同底数幂的除法、幂的乘方． 根据积的乘方、同底数幂的乘法、同底数幂的除法、幂的乘方的运算法则逐一判断选项的正误即可． 【详解】解：≠，故A选项错误； ≠，故B选项错误； ≠，故C选项错误； ，故D选项正确； 故选：D． 5. 一次函数的图象过点，，则和的大小关系是（ ） A. B. C. D. 无法确定 【答案】A 【解析】 【分析】先根据一次项系数判断函数增减性，再比较两点横坐标大小，即可推出纵坐标的大小关系． 【详解】∵一次函数中，一次项系数， ∴y随x的增大而减小， ∵两点横坐标满足， ∴． 6. 如图，点A，B，C在上，且为直径，若，，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由圆周角定理，求出所对圆心角的度数，再根据弧长的计算公式求解即可． 【详解】解：如图，连接， ∵， 由圆周角定理，可知， ∴ ． 7. 如图，在中，，，高与相交于点，连接．若，则的长为（ ） A. B. C. 2 D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】由含直角三角形性质、勾股定理、等腰三角形的判定与性质及解三角形等知识求出相关线段长度，最后在中，由勾股定理求解即可． 【详解】解：在中，，则， ， ，则由勾股定理可得， ， ， 在中，，则， 在中，，则， ， 在中，，，则， ， 则， 在中，，则，由勾股定理可得， ， 在中，由勾股定理可得． 8. 已知反比例函数（）的图象在第一、三象限，则二次函数的图象大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先由反比例函数图象与性质确定参数范围，再由二次函数图象与性质判断选项中的图象即可． 【详解】解：反比例函数（）的图象在第一、三象限， ， 则对于二次函数，由知图象开口向上、对称轴为轴、且与轴交点在负半轴上， 观察四个选项中的图象，只有B选项符合要求． 9. 已知实数a，b，c满足，，则下列判断错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用消元法，通过已知等式将变量用其他变量表示，代入不等式得到基础关系，再化简各选项判断正误. 【详解】解：∵ ， ∴ ，， 将代入 得： ， 化简得 ，即 ，选项A正确； 将代入 得： ， 化简得，选项B正确； 化简选项C： ， ∵ ， ∴ ，即 ，选项C错误； 化简选项D： ， ∵ ， ∴ ，选项D正确. 10. 如图，正方形的边长为4，点E，F分别在边上，且与相交于点G，连接，则下列结论错误的是（ ） A. 的最小值为 B. 的最小值为 C. 的最小值为 D. 当最大时， 【答案】D 【解析】 【分析】根据正方形的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，圆的切线的判定和性质，直径定理等，逐项进行判断即可． 【详解】解：四边形是正方形， ． 设，则． 在中，． ∵， ∴， ∴当时，的值最小， ， 的最小值为．故A正确，不符合题意； 在和中， ， ． ， ， ， 如图，取的中点O，即点G在以点O为圆心，2为半径圆上， 当为位置，即正方形对角线交点位置时，的值最小， 的最小值为，故B正确，不符合题意； 如图所示， ∵，点为线段的中点， ∴， 由勾股定理得， 当点在同一条直线上时，可取最小值， 即点与点重合时，的值最小， 的最小值为．故C正确，不符合题意； 当与相切时，最大． ，是的半径， 是的切线， ． 连接，交于点M． ，， 垂直平分， ， ， ． ， ， ． ， ， ．故D错误，符合题意． 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11. 若二次根式有意义，则x的取值范围是___． 【答案】 【解析】 【详解】解：根据题意，使二次根式有意义，即x﹣2≥0， 解得：x≥2． 故答案为：x≥2． 【点睛】本题主要考查使二次根式有意义的条件，理解二次根式有意义的条件是解题关键． 12. 已知关于的一元二次方程有两个实数根，则实数的取值范围是______ ． 【答案】 【解析】 【分析】利用判别式的意义得到，然后解不等式即可． 【详解】解：根据题意得， 解得：． 故答案为：． 【点睛】本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根． 13. 如图，在所给的电路图中，同时闭合两个开关，能让小灯泡发光的概率为____________． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与能够让灯泡发光的情况，然后利用概率公式求解即可求得答案． 【详解】解：设、、、分别用1、2、3、4表示， 画树状图得： ∵共有12种等可能的结果，能够让灯泡发光的有2种结果， ∴能够让灯泡发光的概率为：， 14. 小磊喜欢研究数学问题，他设计了如下两种变换： A变换：首先对实数取算术平方根，然后减去1； B变换：首先对实数取立方根，然后取不超过该立方根的最大整数． 例如：实数7经过一次A变换得到，实数10经过一次B变换得到2． （1）实数100先经过一个B变换得到的数，再经过一次A变换得到的数是____________． （2）实数x经过一次A变换得到的数是a，实数x经过一次B变换得到的数是b，若，则所有满足条件的x的值之和为____________． 【答案】 ①. 1 ②. 13 【解析】 【分析】（1）根据算术平方根和立方根的定义列式求解即可； （2）根据题意，列出x的方程求解即可得出结论． 【详解】解：（1）∵， ∴， ∴100经变换结果为． ∵对进行变换，， ∴得到的数是1． （2）变换：（算术平方根有意义，故）， 变换：为整数，且． 当时，即等于的整数部分． ∴ ，即． ① 当时： 此时，即． 代入方程：，解得． ∵ 不满足， ∴ 这种情况无解． ② 当时： 此时，即． 代入方程：，解得． ∵ ，符合条件， ∴ 是一个解． ③ 当时： 此时，即． 代入方程：，解得． ∵ ，符合条件， ∴ 是一个解． ④ 当时： 此时，即． 代入方程：，解得． 但当时，，而， ∴ ，即，不成立，这种情况无解． ⑤ 当时： 此时，即，与矛盾，这种情况无解． 综上，满足条件的为和， 所有满足条件的的值之和为． 三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 15. 解方程：． 【答案】， 【解析】 【分析】可考虑使用配方法、公式法或因式分解法求解．若选择配方法，把常数项移项到等号右边，再配方，开平方求解． 【详解】解：∵， ， ∴， ∴ 则， ，． 16. 如图，在由边长为个单位长度的小正方形组成的网格中建立平面直角坐标系，点均在格点（网格线的交点）上． （1）将先向左平移个单位长度，再向下平移个单位长度，得到（点的对应点分别为），画出； （2）求出的面积； （3）在轴上求作点，使的值最小． 【答案】（1）作图见解析 （2） （3）作图见解析 【解析】 【分析】（1）将的三个顶点按照题中要求平移得到，即可得到； （2）在网格中，数形结合表示的面积即可； （3）作点关于轴的对称点，连接，与轴的交点即为所求． 【小问1详解】 解：如图所示： 即为所求； 【小问2详解】 解：如图所示： 的面积为； 【小问3详解】 解：作点关于轴的对称点，连接，如图所示： ， 则， 即当三点共线时，有最小值，为， 点即为所求． 四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 17. 徽墨与歙砚自古便是文房绝配，二者均为徽州文化的代表性载体，至今仍是书画界的高端用品与收藏界的热门藏品，某文房斋计划分两批采购徽墨和歙砚，第一批购进1锭徽墨、4方歙砚，共花费1100元；第二批购进2锭徽墨、3方歙砚，共花费950元求徽墨和歙砚的单价． 【答案】徽墨的单价为100元，歙砚的单价为250元 【解析】 【分析】设徽墨的单价为x元，歙砚的单价为y元，根据题意列出二元一次方程组，解方程组即可得出结果． 【详解】解：设徽墨的单价为x元，歙砚的单价为y元． 由题意得， 解得， 答：徽墨的单价为100元，歙砚的单价为250元． 18. 图1是安装在倾斜屋顶上的热水器，图2是热水器的侧面示意图，已知屋面的倾斜角，真空管与水平线的夹角，真空管的长度为米，安装热水器的铁架竖直管的长度为米，求水平横管的长．（结果精确到米，参考数据：，，，，，） 【答案】水平横管的长约为米 【解析】 【分析】过点作于点，解直角三角形求解即可得到答案． 【详解】解：过点作于点，如图所示： 在中，，， （米），（米）， 由题意得米， （米）， 在中，，则（米）， （米）， 答：水平横管的长约为米． 五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分） 19. 数学兴趣小组开展探究活动，研究了“多边形数规律”的问题： 古希腊毕达哥拉斯学派的数学家常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究各种多边形数． 比如：他们研究过图1中的1，3，6，10，由于这些数能够表示成三角形，将其称为“三角形数”；类似的，称图2中的这样的数为“正方形数”． （1）第n个“三角形数”可表示为．第n个“正方形数”可表示为____________．既是三角形数又是正方形数且大于1的最小正整数为____________． （2）可以发现：任意两个连续“三角形数”之和等于一个“正方形数”，即第个“三角形数”与第n个“三角形数”之和等于第n个“正方形数”，其中n为大于1的整数，请通过计算证明． （3）通过进一步的研究发现：第n个“五边形数”可表示为，第n个“六边形数”可表示为，则推测第n个“七边形数”可表示为____________． 【答案】（1）；36 （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）理解题意，结合图中信息，得出第n个“正方形数”可表示为，再把三角形数和正方形数从小到大写出来，即可得出既是三角形数又是正方形数且大于1的最小正整数为36，即可作答． （2）理解题意，列式得出即第个“三角形数”与第n个“三角形数”之和为，再整理得出，即可作答． （3）研究三角形数，正方形数，五边形数，总结规律得边形数公式：，最后把代入计算，即可作答． 【小问1详解】 解：观察图中信息，得第n个“正方形数”可表示为； 依题意，三角形数： 正方形数： ∴既是三角形数又是正方形数且大于1的最小正整数为． 【小问2详解】 解：∵第n个“三角形数”可表示为， ∴第个“三角形数”可表示为，其中 则第个“三角形数”与第n个“三角形数”之和等于， 由（1）得第n个“正方形数”可表示为； 即第个“三角形数”与第n个“三角形数”之和等于第n个“正方形数”，其中n为大于1的整数． 【小问3详解】 解：依题意，三角形数，； 正方形数，； 五边形数，； 以此类推：边形数公式：， ∴当（七边形数）时： ． 20. 如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，AD与过点C的切线互相垂直，垂足为点D，AD交⊙O于点E，连接CE，CB． （1）求证：CE=CB； （2）若AC=，CE=，求AE的长． 【答案】(1)证明见解析；（2）3. 【解析】 【分析】（1）连接OC，利用切线的性质和已知条件推知OC∥AD，根据平行线的性质和等角对等边证得结论； （2）AE=AD﹣ED，通过相似三角形△ADC∽△ACB的对应边成比例求得AD=4，DC=2．在直角△DCE中，由勾股定理得到DE==1，故AE=AD﹣ED=3． 【详解】（1）证明：连接OC， ∵CD是⊙O的切线，∴OC⊥CD． ∵AD⊥CD，∴OC∥AD， ∴∠1=∠3． 又OA=OC， ∴∠2=∠3， ∴∠1=∠2，∴CE=CB； （2）解：∵AB是直径， ∴∠ACB=90°， ∵AC=，CB=CE=， ∴AB= = =5． ∵∠ADC=∠ACB=90°，∠1=∠2，∴△ADC∽△ACB， ∴，即， ∴AD=4，DC=2． 在直角△DCE中，DE==1， ∴AE=AD﹣ED=4﹣1=3． 六、（本题满分12分） 21. 综合与实践 【项目背景】 中国是拥有世界级非物质文化遗产数量最多的国家，某学校开展了“弘扬中国文化，增强文化自信”的主题活动．为了解这次活动的效果，学校组织全校学生进行了中国非物质文化遗产相关知识测试（测试成绩满分为分，且成绩均为整数），测试结束后分别从七、八年级随机抽取了名学生的成绩（单位：分）进行整理和分析（成绩共分成五组：．，．，．，．，．．得分在分及以上为优秀）． 【收集、整理数据】 七年级学生测试成绩分别为： ， 八年级学生测试成绩在组和组的分别为：，并绘制了不完整的统计图： 【分析数据】 两组样本数据的平均数、中位数和众数如表所示： 年级 平均数 中位数 众数 七年级 85 88.5 八年级 81.8 74 【问题解决】 请根据上述信息，解答下列问题： （1）上述表中____________，____________，八年级学生成绩组在扇形统计图中所占扇形的圆心角的度数为____________． （2）根据以上数据，你认为此次测试该校七年级学生成绩好，还是八年级学生成绩好？请说明理由． （3）如果该校七年级有名学生，八年级有名学生参加此次测试，请估计七、八年级学生本次测试成绩达到优秀的总人数． 【答案】（1） （2）七年级学生成绩好，理由见解析 （3）七、八年级学生本次测试成绩达到优秀的总人数为 【解析】 【分析】（1）由众数、中位数及某项占扇形统计图扇形圆心角度数求法求解即可； （2）从平均数、中位数、众数的意义比较即可作出决策； （3）由样本中优秀人数占比估计七、八年级学生本次测试成绩达到优秀的总人数即可． 【小问1详解】 解：七年级学生测试成绩分别为： ， 则众数； 八年级抽取了名学生的成绩，组和组共有名学生的成绩，组和组共有名学生的成绩， 由于中位数是第名同学成绩的平均数，且八年级学生测试成绩在组和组的分别为：， 则中位数； ．， 八年级学生测试成绩在组的为：， 则八年级学生成绩组在扇形统计图中所占扇形的圆心角的度数为； 【小问2详解】 解：七年级学生成绩好． 理由如下： 七年级学生成绩的平均数、中位数、众数比八年级学生成绩的平均数、中位数、众数更高， 七年级学生成绩更好； 【小问3详解】 解：（人）， 答：七、八年级学生本次测试成绩达到优秀的总人数为． 七、（本题满分12分） 22. 如图1，在直角梯形中，， ，点E在边上，，F为边的中点，连接． （1）求证：． （2）如图2，若，与相交于点M，连接． ①求证：． ②如图3，若N为的中点，连接，求 的值． 【答案】（1）见解析 （2）①见解析；② 【解析】 【分析】（1）先求出，根据，证明四边形是平行四边形，即可证明结论； （2）①证明四边形为菱形，再证明，从而证明垂直平分．再根据四边形为菱形，即可证明；②由①可知垂直平分，点N即为与的交点．如图2，过点N作于点P．利用直角三角形的性质求出，，勾股定理求出，进而求出，最后根据正弦的定义即可求解． 【小问1详解】 证明： ，F为边的中点， ， ． 又， ∴四边形是平行四边形， ∴． 【小问2详解】 ①证明：如图1，连接． ， ， 四边形为平行四边形． ， 四边形为菱形， ， ， ∴ ． ，， ∴， ∴， ， ． 在与中，， ， ， 垂直平分． 又四边形为菱形， ， ． ②由①可知垂直平分，点N即为与的交点． 如图2，过点N作于点P． 在中， ， ∴， ． 在中， ，， ∴， ． ． 在中，，， ， ． 八、（本题满分14分） 23. 在平面直角坐标系中，抛物线的对称轴与轴交于点，抛物线与轴交于点． （1）求抛物线的函数表达式； （2）若，是抛物线上不同的两点，且，． ①求证：； ②已知直线与抛物线无交点，过点作直线的垂线，垂足为，点在对称轴上，且点的纵坐标比抛物线的顶点的纵坐标大．若，求的值． 【答案】（1） （2）①证明见解析；② 【解析】 【分析】（1）由待定系数法求抛物线的函数表达式即可； （2）①由抛物线上两个纵坐标相等的点关于对称轴对称得到，并将，代入函数表达式，代入要证等式左边恒等变形得到右边即可证明；②由抛物线的图象与性质，结合题意表示出和，由等量关系列方程求解即可． 【小问1详解】 解：抛物线的对称轴与轴交于点， ，解得， 抛物线与轴交于点， 将点代入，得， 抛物线的函数表达式为； 【小问2详解】 ①证明：，是抛物线上不同的两点， 点，关于对称轴对称， ，，且， 则 ， ； ②解：， 抛物线顶点坐标为，且开口向上， 直线与抛物线无交点， 直线位于抛物线下方，且， ， 抛物线的顶点纵坐标为，点在对称轴上，且点的纵坐标比抛物线的顶点的纵坐标大， 点的坐标为， ， ， ， ，， ，解得． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年初中学业水平考试质量监测试卷（二） 数学 注意事项： 1．全卷满分150分，答题时间为120分钟． 2．请将各题答案填写在答题卡上． 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1. 的倒数是（ ） A. B. C. 2 D. 2. 据国家文物局统计，2026年春节假期全国博物馆接待观众8951.12万人次，同比增长27.6%，创历史新高．数据“8951.12万”用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 将两本相同的课本按如图所示的方式进行叠放，得到一个几何体，则它的俯视图是（ ） A. B. C. D. 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 一次函数的图象过点，，则和的大小关系是（ ） A. B. C. D. 无法确定 6. 如图，点A，B，C在上，且为直径，若，，则的长为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在中，，，高与相交于点，连接．若，则的长为（ ） A. B. C. 2 D. 3 8. 已知反比例函数（）的图象在第一、三象限，则二次函数的图象大致是（ ） A. B. C. D. 9. 已知实数a，b，c满足，，则下列判断错误的是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，正方形的边长为4，点E，F分别在边上，且与相交于点G，连接，则下列结论错误的是（ ） A. 的最小值为 B. 的最小值为 C. 的最小值为 D. 当最大时， 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11. 若二次根式有意义，则x的取值范围是___． 12. 已知关于的一元二次方程有两个实数根，则实数的取值范围是______ ． 13. 如图，在所给的电路图中，同时闭合两个开关，能让小灯泡发光的概率为____________． 14. 小磊喜欢研究数学问题，他设计了如下两种变换： A变换：首先对实数取算术平方根，然后减去1； B变换：首先对实数取立方根，然后取不超过该立方根的最大整数． 例如：实数7经过一次A变换得到，实数10经过一次B变换得到2． （1）实数100先经过一个B变换得到的数，再经过一次A变换得到的数是____________． （2）实数x经过一次A变换得到的数是a，实数x经过一次B变换得到的数是b，若，则所有满足条件的x的值之和为____________． 三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 15. 解方程：． 16. 如图，在由边长为个单位长度的小正方形组成的网格中建立平面直角坐标系，点均在格点（网格线的交点）上． （1）将先向左平移个单位长度，再向下平移个单位长度，得到（点的对应点分别为），画出； （2）求出的面积； （3）在轴上求作点，使的值最小． 四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 17. 徽墨与歙砚自古便是文房绝配，二者均为徽州文化的代表性载体，至今仍是书画界的高端用品与收藏界的热门藏品，某文房斋计划分两批采购徽墨和歙砚，第一批购进1锭徽墨、4方歙砚，共花费1100元；第二批购进2锭徽墨、3方歙砚，共花费950元求徽墨和歙砚的单价． 18. 图1是安装在倾斜屋顶上的热水器，图2是热水器的侧面示意图，已知屋面的倾斜角，真空管与水平线的夹角，真空管的长度为米，安装热水器的铁架竖直管的长度为米，求水平横管的长．（结果精确到米，参考数据：，，，，，） 五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分） 19. 数学兴趣小组开展探究活动，研究了“多边形数规律”的问题： 古希腊毕达哥拉斯学派的数学家常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究各种多边形数． 比如：他们研究过图1中的1，3，6，10，由于这些数能够表示成三角形，将其称为“三角形数”；类似的，称图2中的这样的数为“正方形数”． （1）第n个“三角形数”可表示为．第n个“正方形数”可表示为____________．既是三角形数又是正方形数且大于1的最小正整数为____________． （2）可以发现：任意两个连续“三角形数”之和等于一个“正方形数”，即第个“三角形数”与第n个“三角形数”之和等于第n个“正方形数”，其中n为大于1的整数，请通过计算证明． （3）通过进一步的研究发现：第n个“五边形数”可表示为，第n个“六边形数”可表示为，则推测第n个“七边形数”可表示为____________． 20. 如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，AD与过点C的切线互相垂直，垂足为点D，AD交⊙O于点E，连接CE，CB． （1）求证：CE=CB； （2）若AC=，CE=，求AE的长． 六、（本题满分12分） 21. 综合与实践 【项目背景】 中国是拥有世界级非物质文化遗产数量最多的国家，某学校开展了“弘扬中国文化，增强文化自信”的主题活动．为了解这次活动的效果，学校组织全校学生进行了中国非物质文化遗产相关知识测试（测试成绩满分为分，且成绩均为整数），测试结束后分别从七、八年级随机抽取了名学生的成绩（单位：分）进行整理和分析（成绩共分成五组：．，．，．，．，．．得分在分及以上为优秀）． 【收集、整理数据】 七年级学生测试成绩分别为： ， 八年级学生测试成绩在组和组的分别为：，并绘制了不完整的统计图： 【分析数据】 两组样本数据的平均数、中位数和众数如表所示： 年级 平均数 中位数 众数 七年级 85 88.5 八年级 81.8 74 【问题解决】 请根据上述信息，解答下列问题： （1）上述表中____________，____________，八年级学生成绩组在扇形统计图中所占扇形的圆心角的度数为____________． （2）根据以上数据，你认为此次测试该校七年级学生成绩好，还是八年级学生成绩好？请说明理由． （3）如果该校七年级有名学生，八年级有名学生参加此次测试，请估计七、八年级学生本次测试成绩达到优秀的总人数． 七、（本题满分12分） 22. 如图1，在直角梯形中，， ，点E在边上，，F为边的中点，连接． （1）求证：． （2）如图2，若，与相交于点M，连接． ①求证：． ②如图3，若N为的中点，连接，求 的值． 八、（本题满分14分） 23. 在平面直角坐标系中，抛物线的对称轴与轴交于点，抛物线与轴交于点． （1）求抛物线的函数表达式； （2）若，是抛物线上不同的两点，且，． ①求证：； ②已知直线与抛物线无交点，过点作直线的垂线，垂足为，点在对称轴上，且点的纵坐标比抛物线的顶点的纵坐标大．若，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $