精品解析：广东深圳市福田区红岭中学2025-2026学年第二学期第一学段考试高二数学试卷

红岭中学2025－2026学年度第二学期第一学段考试 高二数学试卷 （说明：本试卷考试时间为120分钟，满分为150分） 命题人：荣红莉 审题人：王磊 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 下列求导数运算正确的是（ ） A. B. C. D. 2. 若的二项展开式中，有且仅有第5项是二项式系数最大的项，则（ ） A. 8 B. 9 C. 10 D. 11 3. 已知等差数列的前项和为，，则（ ） A. 10 B. 15 C. 20 D. 25 4. 曲线在点处的切线方程为，则（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 5. 若三对夫妻坐成一排照相，则同性别的人均不相邻的排法数为（ ） A. 288 B. 144 C. 72 D. 36 6. 函数的零点所在的区间是（ ） A. B. C. D. 7. 已知随机变量满足，若，则（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 8. 对任意的正数，都存在两个不同的正数，使成立，则实数的取值范围为（    ） A. B. C. D. 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 函数的导函数的图象如图所示，以下命题正确的是（ ） A. 是函数的极值点 B. 是函数的极值点 C. 在区间上单调递增 D. 是函数的极值点 10. 已知函数，是的一个极值点，则（ ） A. B. 若方程只有一个解，则 C. 的图象关于点对称 D. 对 11. 设正整数，其中，定义．设集合，从中随机选取一个元素，记为，则（ ） A. B. 中的元素个数为36 C. D. 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分．把答案填在题中横线上） 12. 的展开式中，的系数是________. 13. 投掷一枚均匀的骰子（六面分别标有点）．规则如下：若某人投出点，则本轮得分；若投出其他点数，则本轮得分为该点数．投掷一次为一轮，共进行三轮．记此人的总得分为随机变量，则_____． 14. 已知函数，若存在，使得成立，则实数的最小值是________. 四、解答题（本大题共5小题，共77分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 已知函数． （1）求函数的极值； （2）求函数在上的值域． 16. 已知数列满足，且． （1）证明为等差数列，并求出数列的通项公式； （2）设，求数列的前项和． 17. 甲、乙两人参加某高校的入学面试，入学面试有2道难度相当的题目，甲答对每道题目的概率都是，乙答对每道题目的概率都是，每位面试者共有两次机会，若答对第一次抽到的题目，则面试通过，结束答题；否则继续第2次答题，答对则面试通过，未答对则面试不通过，甲、乙两人对抽到的不同题目能否答对是独立的，且两人答题互不影响， （1）求甲、乙两人有且只有一人通过面试的概率； （2）设面试过程中甲、乙两人答题的次数之和为，求的分布列与期望. 18. 在某工厂的产品质量检测中，设随机变量表示从一批产品中随机抽取的不合格产品数量.已知抽取到个不合格产品的分布列为： 0 1 2 3 每个不合格产品需要进行返工处理，返工成功（即将不合格产品修复为合格产品）的概率均为，且各个产品返工是否成功相互独立.事件表示抽取的产品中有个不合格产品（），事件表示抽取的产品中返工成功的数量比返工失败的数量多. （1）若，求，并根据全概率公式求； （2）是否存在值且，使得，请说明理由. 19. 已知函数． （1）讨论在其定义域上的单调性； （2）当时，若，求实数的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 红岭中学2025－2026学年度第二学期第一学段考试 高二数学试卷 （说明：本试卷考试时间为120分钟，满分为150分） 命题人：荣红莉 审题人：王磊 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 下列求导数运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】，故A错误； ，故B正确； ，故C错误； ，故D错误． 2. 若的二项展开式中，有且仅有第5项是二项式系数最大的项，则（ ） A. 8 B. 9 C. 10 D. 11 【答案】A 【解析】 【分析】根据二项式系数的性质确定二项展开式的项数即可求得答案. 【详解】由题意知，二项式系数中只有第5个最大，即最大， 由二项式系数的性质可知，展开式共有9项，故. 故选：A. 3. 已知等差数列的前项和为，，则（ ） A. 10 B. 15 C. 20 D. 25 【答案】B 【解析】 【详解】在等差数列中，， 所以. 4. 曲线在点处的切线方程为，则（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 【答案】C 【解析】 【详解】由题可知， 且曲线在点处的切线方程为，即， 所以，所以 5. 若三对夫妻坐成一排照相，则同性别的人均不相邻的排法数为（ ） A. 288 B. 144 C. 72 D. 36 【答案】C 【解析】 【分析】可以先分男女男女男女和女男女男女男两种情况，再根据排列数公式求解. 【详解】若男女间隔排列，则有两种情况，男女男女男女 或女男女男女男， 若男女男女男女的情况，先排男生有种方法，再排女生也有种方法，所以共有, 第二种女男女男女男的情况也有种方法， 综上可知，共有种方法. 6. 函数的零点所在的区间是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】求导，判断函数的单调性，计算端点处的函数值，结合零点存在性定理即可求解. 【详解】由于，，且中， 故，在单调递增， 因此至多一个零点， ,,， 因此的零点所在的区间是， 故选：C 7. 已知随机变量满足，若，则（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】B 【解析】 【分析】利用期望和方差公式将数学期望和方差用概率表述出来，然后比较大小即可． 【详解】∵，同理， 由已知，∴， ∵，而， ∴，同理，且有， ∴，故． 8. 对任意的正数，都存在两个不同的正数，使成立，则实数的取值范围为（    ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，化简方程为，令，得到，设，求得，得到的单调性及最大值，画出函数图象，结合图象，即可求得的取值范围. 【详解】由，可得，可得， 令，可得， 设，可得， 当时，，在单调递增； 当时，，在单调递减， 且时，，时，， 当时，取得最大值，最大值为 可得函数的图象，如图所示， 由图，当时，直线与的图象有两个交点， 即方程有两个实数根， 即正数，都存在两个不同的正数，使成立， 所以实数的取值范围为. 故选：A 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 函数的导函数的图象如图所示，以下命题正确的是（ ） A. 是函数的极值点 B. 是函数的极值点 C. 在区间上单调递增 D. 是函数的极值点 【答案】AC 【解析】 【分析】由导函数图象的正负即可判断原函数的增减，依次判断即可. 【详解】对于AC，根据导函数图像可知当时，； 当时，，当且仅当时，， 所以函数在上单调递减； 在上单调递增，故是极值点，故A、C正确； 对于B，因为左右两侧导函数均大于，故不是极值点，故B错误； 对于D，因为左右两侧导函数均大于，故不是极小值点，故D错误； 10. 已知函数，是的一个极值点，则（ ） A. B. 若方程只有一个解，则 C. 的图象关于点对称 D. 对 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用极值点的定义可判断A；利用三次函数图像的特点可判断B；利用可判断C；代入作差，可判断D. 【详解】求导得 ， 由题意得，解得或， 由得，故A错误； 令，得或， 当时，，所以函数单调递增， 当时，，所以函数递减， 当时，，所以函数递增. 所以的极大值为， 的极小值为. 为三次函数，要使只有一个解， 只需的极小值或的极大值. 所以或，故B正确； 因为函数，所以， ，故， 则的图象关于点对称，故C正确； 易知， 则 ， 即 恒成立，故D 正确. 11. 设正整数，其中，定义．设集合，从中随机选取一个元素，记为，则（ ） A. B. 中的元素个数为36 C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用新定义判断AB；结合列举法利用古典概型概率公式求解判断C；求出所有满足的n，然后求平均值即可判断D. 【详解】对于A，因为，所以，所以，正确； 对于B，中的元素个数为，错误； 对于C，设，中满足元素如下： 因为，所以以的大小作为分类依据， 时，，，，， ，，，共有7个， 同理时有8个，时有9个，所以，正确； 对于D，集合中所有元素和为， 所以，正确. 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分．把答案填在题中横线上） 12. 的展开式中，的系数是________. 【答案】80 【解析】 【详解】，令，解得， 故的系数为. 13. 投掷一枚均匀的骰子（六面分别标有点）．规则如下：若某人投出点，则本轮得分；若投出其他点数，则本轮得分为该点数．投掷一次为一轮，共进行三轮．记此人的总得分为随机变量，则_____． 【答案】 【解析】 【分析】假设某人在第轮投掷的得分为随机变量，先求出某人第一轮投掷的得分期望，分析可知、、相互独立，且，再利用期望的可加性可求得结果. 【详解】假设某人在第轮投掷的得分为随机变量， 先求某人第一轮投掷的得分期望， 投掷一枚均匀骰子，结果为点的概率为，得分； 结果为、、、、点的概率均为，分别得对应分数． 由离散型随机变量的期望公式得， 共进行三轮，此人总得分， 且、、相互独立，且， 由期望的可加性可得. 14. 已知函数，若存在，使得成立，则实数的最小值是________. 【答案】 【解析】 【详解】由，得， 当时，，故在上单调递减， 当时，，故在上单调递增， 故当时，， 而存在实数，使得成立，故，即实数的最小值是. 四、解答题（本大题共5小题，共77分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 已知函数． （1）求函数的极值； （2）求函数在上的值域． 【答案】（1）极小值，无极大值； （2） 【解析】 【分析】利用导数判断函数单调性求解函数的极值及所在区间的值域即可. 【小问1详解】 已知函数的定义域为，， ​因，故，令得. 当时，，单调递增； 当时，，单调递减， 因此只有极小值，无极大值，且极小值为，无极大值. 【小问2详解】 由（1）的单调性可知在单调递减，在单调递增， 因此最小值为. 计算区间端点值， ， 因为，所以， 故最大值为. 因此在上的值域为. 16. 已知数列满足，且． （1）证明为等差数列，并求出数列的通项公式； （2）设，求数列的前项和． 【答案】（1）证明见解析，． （2） 【解析】 【分析】（1）先用作差法，得到，从而得证为公差为的等差数列，先求出的通项，再反推； （2）先利用（1）的结论写出的表达式，将其拆分为两个分式之差的形式，再通过累加抵消中间项，仅保留首尾两项，最终求出前项和． 【小问1详解】 因为，所以， 又，所以是以为首项，为公差的等差数列， 所以，解得． 【小问2详解】 由（1）得， 所以． 17. 甲、乙两人参加某高校的入学面试，入学面试有2道难度相当的题目，甲答对每道题目的概率都是，乙答对每道题目的概率都是，每位面试者共有两次机会，若答对第一次抽到的题目，则面试通过，结束答题；否则继续第2次答题，答对则面试通过，未答对则面试不通过，甲、乙两人对抽到的不同题目能否答对是独立的，且两人答题互不影响， （1）求甲、乙两人有且只有一人通过面试的概率； （2）设面试过程中甲、乙两人答题的次数之和为，求的分布列与期望. 【答案】（1） （2）分布列见解析， 【解析】 【分析】（1）根据相互独立事件概率公式直接计算可得结果； （2）易知随机变量的可能取值为2，3，4，分别计算出对应概率可得分布列，计算出期望值. 【小问1详解】 设事件为“甲通过面试”，事件为“乙通过面试”， （或） （或） 所以甲、乙两人有且只有一人通过面试的概率 . 【小问2详解】 随机变量的可能取值为2，3，4. ，，， 随机变量的分布列为 2 3 4 所以随机变量的期望为. 18. 在某工厂的产品质量检测中，设随机变量表示从一批产品中随机抽取的不合格产品数量.已知抽取到个不合格产品的分布列为： 0 1 2 3 每个不合格产品需要进行返工处理，返工成功（即将不合格产品修复为合格产品）的概率均为，且各个产品返工是否成功相互独立.事件表示抽取的产品中有个不合格产品（），事件表示抽取的产品中返工成功的数量比返工失败的数量多. （1）若，求，并根据全概率公式求； （2）是否存在值且，使得，请说明理由. 【答案】（1）， （2）不存在，理由见解析 【解析】 【分析】（1）利用所给分布列，根据概率之和为1求出，再由条件概率公式及全概率公式求解即可； （2）根据分布列由期望公式求出得出方程，令，再由导数判断函数的最大值小于0，即可判断方程无解. 【小问1详解】 当时，， 则，解得， 由题意，得， ， . 由全概率公式，得 . 【小问2详解】 假设存在，使 又. 得， 化简得 即 令 则 因为，所以在上存在，使得 所以即 且在为正，在为负 从而在为增函数，在为减函数 所以当时， 即不存在值，使得 19. 已知函数． （1）讨论在其定义域上的单调性； （2）当时，若，求实数的取值范围． 【答案】（1）答案见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）求出函数导数，再利用导数研究导函数的极值，判断的符号即可得解； （2）转化为，构造函数，利用导数，分类讨论函数的最大值即可得解. 【小问1详解】 的定义域为求导有， 令，则， 当时，在上单调递增， 当时，在上单调递减， 所以，则有，所以在单调递减； 【小问2详解】 当时，等价于， 即， 令，则， ①若，即，则，在上单调递减，所以，满足题意； ②若，即，令，得， 当时，，在单调递增， 当时，在单调递减， 所以， 令，是减函数， 又，所以，与条件矛盾， 综上，所以． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $