精品解析：广东深圳市龙华区2025-2026学年高二下学期5月期中考试数学试题

深圳市龙华区2025—2026学年第二学期期中试卷 高二数学 本试卷共4页，19小题，满分150分.考试用时120分钟. 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息. 2．请将答案正确填写在答题卡上. （试卷正文） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若函数，则（ ） A. 0 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】由，得，所以. 2. 对四组数据进行统计，获得如图散点图，其中线性相关性比较强且负相关的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】对于AC，散点图分布总体是斜向上，故AC中对应的两个变量之间是正相关； 对于BD，散点图分布总体是斜向下，但B中散点分布较为集中， 而D中散点分布较为分散，故B中对应的两个变量相关性较强且为负相关. 3. 设随机变量X的概率分布列为 则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据随机变量的概率和为，即可求得的值，再将的概率相加，即可得解. 【详解】， 则. 故选：B． 4. 已知函数的导函数的图象如图所示，则下列选项中正确的是（ ） A. 函数在处取得极小值 B. 函数在处取得极大值 C. 在区间上单调递增 D. 当时，函数的最大值是 【答案】D 【解析】 【分析】直接根据导数的正负判断函数的单调性及极值和最值可得. 【详解】对于A，由图可知当时，；当时，，所以函数在处取得极大值，故A错误； 对于B，由图可知当时，；当时，，所以不是函数的极值点，故B错误； 对于C，由图可知时，，所以函数在区间上单调递减，所以C错误； 对于D，当时，，所以函数在区间上单调递减，因此函数的最大值是，所以D正确. 5. 将甲乙丙丁戊5名志愿者全部分配到A，B，C三个地区参加公益活动，要求每个地区都要有志愿者且最多不超过2人，则不同的分配方案有（ ） A. 90种 B. 180种 C. 60种 D. 120种 【答案】A 【解析】 【分析】先将5名志愿者按要求分成三组，再将分得的三组分配到A，B，C三个地区，按分组分配方法计算即可得解. 【详解】由题先将5名志愿者分成三组有种分法， 再将分得的三组分配到A，B，C三个地区参加公益活动有种分法， 所以所求的不同的分配方案有种. 故选：A. 6. 某种植园种植的脐橙单果质量（单位：g）近似服从正态分布，现有12000个该种植园种植的脐橙，估计其中单果质量不低于210g的脐橙个数约为（ ） 附：若，则，，. A. 130 B. 273 C. 1631 D. 1804 【答案】B 【解析】 【详解】设，则，. 所以. 所以估计12000个该种植园种植的脐橙中，单果质量不低于210g的脐橙个数约为： （个）. 7. 为弘扬我国古代的“六艺文化”，某夏令营主办单位计划利用暑期开设“礼”“乐”“射”“御”“书”“数”六门体验课程，每周一门，连续开设六周，则下列选项中不正确的是（ ） A. 课程“礼”“乐”“射”排在相邻的三周，共有144种排法 B. 课程“礼”排在“乐”的后面（可以不相邻），共有360种排法 C. 课程“射”“御”排在不相邻的两周，共有240种排法 D. 课程“乐”不排在第一周，课程“御”不排在最后一周，共有504种排法 【答案】C 【解析】 【详解】对A：利用“捆绑法”，满足条件的排法有种，故A正确； 对B：因为课程“礼”排在“乐”的后面和课程“乐”排在“礼”的后面的情况一样多，所以满足条件的排法有种，故B正确； 对C：利用“插空法”，满足条件的排法有种，故C错误； 对D：满足条件的排法可分为两类： 第一类，“御”排在第一周，这样的排法有种； 第二类，“御”不排在第一周，这样的排法有种. 所以满足条件的排法种.故D正确. 8. “杨辉三角”是二项式系数在三角形中的一种几何排列，在中国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中就有出现．如图，在“杨辉三角”中，除每行两边的数都是1外，其余每个数都是其“肩上”的两个数之和，如第4行的6为第3行中两个3的和．则下列命题正确的是（ ）． A. 在“杨辉三角”第9行中，从左到右第7个数是86 B. 第9行所有数字之和为256 C. 记第20，21行数字的最大值分别为a，b，则 D. 在“杨辉三角”中，从第2行起到第12行，每一行的第3列的数字之和为286 【答案】D 【解析】 【分析】由杨辉三角及二项式定理、组合数性质求对应行列数字及相关行的数字之和. 【详解】在“杨辉三角”第9行中，从左到右第7个数是，A错误； 由二项式系数的性质知，第n行各数的和为，所以第8行所有数字之和为，则第9行数字之和必大于256，B错误； 第20行数字的最大值为，第21行数字的最大值为，所以，C错误； 在“杨辉三角”中，当时，从第2行起，每一行的第3列的数字之和为，D正确． 故选：D 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列结论正确的是（ ） A. 若随机变量X服从二项分布，，则 B. 若随机变量X服从正态分布，且，则 C. 样本数据12，13，15，18，19，21，23，24，26，27的第70百分位数为23 D. 若一组样本数据，，…，的方差，则这组样本数据的总和为60 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用二项分布的期望公式及期望的性质计算判断A；利用正态分布的对称性求出概率判断B；求出第70百分位数判断C；利用方差的定义计算判断D. 【详解】对于A，由随机变量X服从二项分布 ，得 ， 又，则 ，A正确； 对于B，随机变量X服从正态分布 ，则 ， 因此 ，B正确； 对于C，由，得所求第70百分位数为，C错误； 对于D，依题意，样本数据的平均数，因此这组样本数据的总和为 ，D正确. 10. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据二项式定理和赋值法逐项判断即可. 【详解】对于A，令，则， 即，所以A正确； 对于B，令，则， 即，所以B错误； 对于C，令，则， 即①， 令，则， 即②， ①-②得， 所以，所以C正确； 对于D，将原等式变形得， 令，则，由A项可知， 所以，所以D正确. 11. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. 是函数的极大值点 B. 的对称中心为 C. 在上恒有 D. 若与在有唯一交点，则或 【答案】BD 【解析】 【分析】利用函数的单调性求出极值点判断A；利用函数对称中心的意义判断B；利用函数的单调性判断C；构造函数利用函数的单调性和极值判断D. 【详解】对于A，函数定义域为R，求导得， 当或时，；当时，， 函数在上单调递增，在上单调递减，为的极小值点，A错误； 对于B， ，因此是函数的对称中心，B正确； 对于C，由选项A得函数在上单调递减，当时，， 且，因此，C错误； 对于D，由，得，令函数， 求导得，当时，；当时，， 函数在上单调递减，函数值集合为 ；在上单调递增，函数值集合为， 当，即时，在上有唯一解， 当，即时，在上有唯一解， 因此当与在有唯一交点时，或，D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 的展开式中，的系数为______．（用数字作答） 【答案】120 【解析】 【详解】从个因式中依次选择个，个，个， 则结果为， 故的系数为 13. 已知函数在区间上为增函数，则实数m的取值范围为_________． 【答案】 【解析】 【分析】先求导，进而得，即，进而求解. 【详解】由题意得：，所以 在恒成立， 所以，即 ，所以. 14. 如图，某城市A，B两地间有整齐的道路网，每两条线的交点处为一个路口，小林要从出发到处，若每次只能向右或向上走一个路口，P，Q两处实行交通管制，不准通行，则从到的走法共有____________种．（用数字作答） 【答案】24 【解析】 【分析】根据分类加法和分步乘法计数原理，以及组合与组合数的概念和计算方法，列出所有可能的情况，计算结果即可. 【详解】由题意可知，从出发到处，需要向上4次，向右4次，所以不同的情况有种， 从出发到处，需要向上3次，向右1次，从出发到处，需要向上1次，向右3次， 则从出发经过到处，共有不同情况种， 从出发到处，需要向上1次，向右2次，从出发到处，需要向上3次，向右2次， 则从出发经过到处，共有不同情况种， 则从出发不经过到达处，共有不同情况种. 故答案为：24. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知的展开式中第3项和第4项的二项式系数相等． （1）求n； （2）求展开式中所有的有理项． 【答案】（1）5 （2） 【解析】 【分析】（1）利用二项式系数及组合数计算即可； （2）利用二项式展开式的通项计算即可. 【小问1详解】 展开式中的第3项和第4项的二项式系数相等， ，即， 解得，所以； 【小问2详解】 二项式展开式的通项为， 当时，对应项是有理项， 所以展开式中所有的有理项为． 16. 已知函数． （1）求曲线在点处的切线方程； （2）求函数在区间内的最值 【答案】（1） （2）最大值是2，最小值 【解析】 【分析】（1）求出函数的导数，结合切点和斜率求出切线方程； （2）求出函数的导数，解关于导函数的方程，求出函数的单调区间，求出函数的极值，最值. 【小问1详解】 函数，则，切点是， ，，故切线方程是. 【小问2详解】 令，解得或， 当时，； 当时，；当时，， 在和上单调递增，在单调递减， ，，，， 函数在区间内的最大值是2，最小值. 17. （1）袋中装有4个红球，5个白球，从中不放回地任取两次，每次取一球． ①求在第一次取出红球的条件下，第二次取出红球的概率． ②求第二次才取到红球的概率． （2）同一种产品由甲、乙、丙三个厂供应.由长期的经验知，三家的正品率分别为0.95、0.90、0.80，三家产品数所占比例为．从中任取一件，求此产品为正品的概率． 【答案】（1）①;②. （2） 【解析】 【分析】（1）①先使用古典概型计算公式计算出第一次取出红球概率，再使用条件概率计算公式计算在第一次取出红球的条件下，第二次取出红球的概率； ②第二次才取到红球，说明第一次取到白球，第二次才取到红球，再使用古典概型计算公式直接计算. （2）利用全概率公式计算产品为正品的概率. 【详解】（1）①设事件：第一次取出红球，事件：第二次取出红球,那么 ; ②设事件: 第二次才取到红球,那么 . （2）设事件:此产品为正品,事件,,分别代表产品由甲、乙、丙三个厂供应，那么 . 18. 中国民间传统文化丰富多彩，涵盖了生活的方方面面，从节庆习俗、民间艺术、传统技艺到宗教信仰和民间文学等.某文化公司在某地开展中国民间传统文化宣传活动，活动期间调查了参加活动的市民对中国民间传统文化的了解程度，前5天调查情况数据如下： 宣传天数 1 2 3 4 5 不了解的人数 108 100 92 80 70 （1）若对中国民间传统文化不了解的人数与宣传天数之间满足线性回归关系，求变量关于变量的回归方程； （2）从前5天的调查表中随机抽取100份调查表，整理得如下列联表： 性别 对中国民间传统文化了解的程度 合计 了解 不了解 老年 40 10 50 青年 30 20 50 合计 70 30 100 （i）依据显著性水平进行独立性检验，能否认为是否了解中国民间传统文化与年龄有关？ （ii）按分层随机抽样的方式，在上述“了解”的调查表中，随机抽取7份调查表，再从这7份调查表中任意抽取3份，记为抽到的调查表来自青年调查表的份数，求的分布及期望． 附：回归方程中斜率和截距的最小二乘法公式分别为，， 独立性检验常用小概率值和相应的临界值：， 0.05 0.01 0.005 3.841 6.635 7.879 【答案】（1）； （2）（i）是否了解中国民间传统文化与年龄有关； （ii） 0 1 2 3 . 【解析】 【分析】（1）结合题干和最小二乘法求解回归方程即可； （2）（i）计算独立性检验的统计量，对比题干显著水平做出判断； （ii）根据分层抽样确定来自青年调查表的份数，列举随机变量的可能取值，求解对应概率，进而列出分布列并求解期望. 【小问1详解】 根据题干可知， ，，， ， ， ， ， 所以关于的回归方程为： 【小问2详解】 （i）假设：是否了解中国民间传统文化与年龄无关； 由题知显著性水平：，即； 统计量： ， 因为，故拒绝原假设，即是否了解中国民间传统文化与年龄有关； （ii）按分层抽样抽取老年调查表4份，青年调查表3份， , . 所以的分布列为： 0 1 2 3 期望： 19. 已知函数． （1）讨论的单调性； （2）当时，存在不相等的、，满足，证明：； （3）对任意的，恒成立，求a的取值范围． 【答案】（1）当时，在上单调递增；当时，在单调递减，在单调递增. （2）证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）对进行求导，然后分和两种情况确定的单调性； （2）当时，由（1）可知在上单调递增，转化为证明，然后利用极值点偏移证明； （3）将问题转化为来求解. 【小问1详解】 的定义域为，. （i）当时，，此时在上单调递增. （ii）当时，令，得. 当时，；当时，. 在单调递减，在单调递增. 综上，当时，在上单调递增； 当时，在单调递减，在单调递增. 【小问2详解】 当时，由（1）可得，在上单调递减，在上单调递增. 不妨设，要证，即证，即证. ，即证. 令， 在上单调递增，，. ，，，证毕. 【小问3详解】 ，. 分离参数可得：，对都成立，即求右侧函数最小值. 令，则. 令，则， 在上单调递增，又，， 故存在唯一的，使得，. 令，，在上单调递增， ，，. 当时，，在上单调递减， 当时，，在上单调递增. ， . 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 深圳市龙华区2025—2026学年第二学期期中试卷 高二数学 本试卷共4页，19小题，满分150分.考试用时120分钟. 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息. 2．请将答案正确填写在答题卡上. （试卷正文） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若函数，则（ ） A. 0 B. C. D. 2. 对四组数据进行统计，获得如图散点图，其中线性相关性比较强且负相关的是（ ） A. B. C. D. 3. 设随机变量X的概率分布列为 则（ ） A. B. C. D. 4. 已知函数的导函数的图象如图所示，则下列选项中正确的是（ ） A. 函数在处取得极小值 B. 函数在处取得极大值 C. 在区间上单调递增 D. 当时，函数的最大值是 5. 将甲乙丙丁戊5名志愿者全部分配到A，B，C三个地区参加公益活动，要求每个地区都要有志愿者且最多不超过2人，则不同的分配方案有（ ） A. 90种 B. 180种 C. 60种 D. 120种 6. 某种植园种植的脐橙单果质量（单位：g）近似服从正态分布，现有12000个该种植园种植的脐橙，估计其中单果质量不低于210g的脐橙个数约为（ ） 附：若，则，，. A. 130 B. 273 C. 1631 D. 1804 7. 为弘扬我国古代的“六艺文化”，某夏令营主办单位计划利用暑期开设“礼”“乐”“射”“御”“书”“数”六门体验课程，每周一门，连续开设六周，则下列选项中不正确的是（ ） A. 课程“礼”“乐”“射”排在相邻的三周，共有144种排法 B. 课程“礼”排在“乐”的后面（可以不相邻），共有360种排法 C. 课程“射”“御”排在不相邻的两周，共有240种排法 D. 课程“乐”不排在第一周，课程“御”不排在最后一周，共有504种排法 8. “杨辉三角”是二项式系数在三角形中的一种几何排列，在中国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中就有出现．如图，在“杨辉三角”中，除每行两边的数都是1外，其余每个数都是其“肩上”的两个数之和，如第4行的6为第3行中两个3的和．则下列命题正确的是（ ）． A. 在“杨辉三角”第9行中，从左到右第7个数是86 B. 第9行所有数字之和为256 C. 记第20，21行数字的最大值分别为a，b，则 D. 在“杨辉三角”中，从第2行起到第12行，每一行的第3列的数字之和为286 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列结论正确的是（ ） A. 若随机变量X服从二项分布，，则 B. 若随机变量X服从正态分布，且，则 C. 样本数据12，13，15，18，19，21，23，24，26，27的第70百分位数为23 D. 若一组样本数据，，…，的方差，则这组样本数据的总和为60 10. 已知，则（ ） A. B. C. D. 11. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. 是函数的极大值点 B. 的对称中心为 C. 在上恒有 D. 若与在有唯一交点，则或 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 的展开式中，的系数为______．（用数字作答） 13. 已知函数在区间上为增函数，则实数m的取值范围为_________． 14. 如图，某城市A，B两地间有整齐的道路网，每两条线的交点处为一个路口，小林要从出发到处，若每次只能向右或向上走一个路口，P，Q两处实行交通管制，不准通行，则从到的走法共有____________种．（用数字作答） 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知的展开式中第3项和第4项的二项式系数相等． （1）求n； （2）求展开式中所有的有理项． 16. 已知函数． （1）求曲线在点处的切线方程； （2）求函数在区间内的最值 17. （1）袋中装有4个红球，5个白球，从中不放回地任取两次，每次取一球． ①求在第一次取出红球的条件下，第二次取出红球的概率． ②求第二次才取到红球的概率． （2）同一种产品由甲、乙、丙三个厂供应.由长期的经验知，三家的正品率分别为0.95、0.90、0.80，三家产品数所占比例为．从中任取一件，求此产品为正品的概率． 18. 中国民间传统文化丰富多彩，涵盖了生活的方方面面，从节庆习俗、民间艺术、传统技艺到宗教信仰和民间文学等.某文化公司在某地开展中国民间传统文化宣传活动，活动期间调查了参加活动的市民对中国民间传统文化的了解程度，前5天调查情况数据如下： 宣传天数 1 2 3 4 5 不了解的人数 108 100 92 80 70 （1）若对中国民间传统文化不了解的人数与宣传天数之间满足线性回归关系，求变量关于变量的回归方程； （2）从前5天的调查表中随机抽取100份调查表，整理得如下列联表： 性别 对中国民间传统文化了解的程度 合计 了解 不了解 老年 40 10 50 青年 30 20 50 合计 70 30 100 （i）依据显著性水平进行独立性检验，能否认为是否了解中国民间传统文化与年龄有关？ （ii）按分层随机抽样的方式，在上述“了解”的调查表中，随机抽取7份调查表，再从这7份调查表中任意抽取3份，记为抽到的调查表来自青年调查表的份数，求的分布及期望． 附：回归方程中斜率和截距的最小二乘法公式分别为，， 独立性检验常用小概率值和相应的临界值：， 0.05 0.01 0.005 3.841 6.635 7.879 19. 已知函数． （1）讨论的单调性； （2）当时，存在不相等的、，满足，证明：； （3）对任意的，恒成立，求a的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $