精品解析：四川雅安市名山区第三中学2025-2026学年高二下学期期中考试数学试题

雅安市名山区第三中学高二年级学年下期 期中检测数学试卷 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题（40分） 1. 设数列是等差数列，，，则这个数列的前9项和等于（ ） A. 12 B. 24 C. 36 D. 48 2. 下列求导运算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，某小区的花园分为5个不同区域，现在花园内种植花朵，要求相邻区域不得种植相同颜色的花朵，已知有4种颜色的花朵可供选择，则不同的种植方法种数是（ ） A. 24 B. 72 C. 20 D. 48 4. 设 则的单调递增区间为（ ） A. B. C. D. 5. 在等比数列中，，是方程的两个根，则（ ） A. 6 B. 9 C. 12 D. 6或12 6. 已知数列满足，，则（ ） A. 511 B. 1023 C. 1024 D. 2047 7. 已知曲线在点处的切线方程为，则实数的值为（   ） A. 1 B. 2 C. 0 D. 8. 若函数有两个不同的零点，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选题（18分） 9. 已知是公比为的等比数列的前项和，若，，则（ ） A. B. C. D. 为定值 10. 某学生在物理，化学，生物，政治，历史，地理这六门课程中选择三门作为选考科目，则下列说法正确的是（ ） A. 若任意选择三门课程，则总选法为 B. 若物理和历史至少选一门且不能同时选，则总选法为 C. 若物理和历史不能同时选，则总选法为 D. 若物理和历史至少选一门，则总选法为 11. 函数的导函数的图象如图所示，则下列结论正确的是（ ） A. 是的极值点 B. 是 的极大值点 C. 的单调递减区间是 D. 三、填空题（15分） 12. （1）已知，那么______； （2）已知，那么______； （3）已知，那么______． 13. 设数列满足3．数列的通项公式为________． 14. 函数的图象如图所示，为函数的导函数，则不等式的解集为______________． 四、解答题 15. 包含甲乙丙在内的7人站成一排. （1）一共有多少种不同的排法？ （2）甲、乙两人必须站在两端的不同排法有多少种？ （3）甲、乙、丙三人必须排在一起的不同排法有多少种？ （4）甲、乙、丙三人均不相邻的不同排法有多少种？ （5）甲、乙、丙三人从左到右顺序是“甲、乙、丙”的不同排法有多少种？ 16. 设数列是各项均为正实数的等比数列，且. （1）求数列的通项公式； （2）令，求数列的前项和. 17. 已知函数 在 处取得极大值10． （1）求的值； （2）求函数 在区间 上的最大值和最小值． 18. 已知等比数列的前项和为，且. （1）求数列的通项公式； （2）设，数列的前项和为，证明：． 19. 已知函数. （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）讨论函数的单调性； （3）若不等式恒成立，求a的最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 雅安市名山区第三中学高二年级学年下期 期中检测数学试卷 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题（40分） 1. 设数列是等差数列，，，则这个数列的前9项和等于（ ） A. 12 B. 24 C. 36 D. 48 【答案】C 【解析】 【分析】设等差数列的公差为，根据题意列出方程组求出，再结合等差数列的前项和公式求解. 【详解】设等差数列的公差为， 因为，，所以，， 解得， 则数列的前9项和为. 故选：C 2. 下列求导运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】借助导数运算法则逐项计算即可得. 【详解】对A：，故A错误； 对B：，故B错误； 对C：，故C正确； 对D：，故D错误. 3. 如图，某小区的花园分为5个不同区域，现在花园内种植花朵，要求相邻区域不得种植相同颜色的花朵，已知有4种颜色的花朵可供选择，则不同的种植方法种数是（ ） A. 24 B. 72 C. 20 D. 48 【答案】B 【解析】 【分析】按照的序号分步选择颜色，在4号区域选颜色时根据它与2号区域是否同色分类. 【详解】由题意第一步1号区域有4种方法，第二步2号区域有3种方法，第三步3号区域有2种方法，第四步4号区域有2种方法：与2号相同颜色的一种，则第五步有2种方法，与2号不同颜色的一种，则第五步有1种方法， 所以方法数为. 4. 设 则的单调递增区间为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先求出导函数，再根据导函数为正得出单调增区间即可. 【详解】的定义域为，， 由，可得，所以的单调递增区间为. 5. 在等比数列中，，是方程的两个根，则（ ） A. 6 B. 9 C. 12 D. 6或12 【答案】D 【解析】 【分析】由韦达定理、等比数列通项公式的下标和性质求解即可. 【详解】因为，是方程的两个根，所以， 在等比数列中，有， 所以，所以或， 所以或． 6. 已知数列满足，，则（ ） A. 511 B. 1023 C. 1024 D. 2047 【答案】B 【解析】 【分析】由数列递推公式，通过累加法即可求得通项，代入即可. 【详解】由题可知：， 当时，，…， 累加得：， 所以，即，又也适合， 则. 7. 已知曲线在点处的切线方程为，则实数的值为（   ） A. 1 B. 2 C. 0 D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据导数的几何意义求出切点横坐标，再将切点坐标代入切线方程即可求解的值. 【详解】设切点 ，由导数的几何意义可知，曲线在点处切线的斜率等于函数在该点的导数值， 对 求导得，因此， 已知切线方程为，其斜率为，故 ，解得， 即切点坐标为，将切点坐标代入切线方程得 ，解得. 8. 若函数有两个不同的零点，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由函数有两个不同的零点，转化为函数的图象与直线有两个交点，利用求导判断函数单调性和图象趋势，分析即得参数范围. 【详解】函数有两个不同的零点， 则方程有两个不同的实根，也即函数的图象与直线有两个交点. 由求导得，当时，，当时，， 即函数在上单调递减，在上单调递增，且当时，， 当时，，且，当时，取得极小值. 作出函数的图象： 由图可知，当且仅当时，函数与直线有两个交点， 故实数的取值范围是. 二、多选题（18分） 9. 已知是公比为的等比数列的前项和，若，，则（ ） A. B. C. D. 为定值 【答案】ACD 【解析】 【分析】由等比数列的通项公式结合条件可得，进而求出数列的通项公式与前项和，依此分别判断四个选项即可. 【详解】对于A，由得，即，由得， 代入得，联立，且，解得，故A正确； 对于B，，故B错误； 对于C，，故C正确； 对于D，， 则为定值，故D正确. 故选：ACD 10. 某学生在物理，化学，生物，政治，历史，地理这六门课程中选择三门作为选考科目，则下列说法正确的是（ ） A. 若任意选择三门课程，则总选法为 B. 若物理和历史至少选一门且不能同时选，则总选法为 C. 若物理和历史不能同时选，则总选法为 D. 若物理和历史至少选一门，则总选法为 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据题意及组合数的求法判断A；先从物理和历史中选择一门，再从剩余的四门中选择两门判断B；先求出六门中任意选择三门课程的方法，再求出物理和历史同时选择的求法判断C；分别分析物理和历史选择一门及选择两门两种情况，计算分析判断D. 【详解】A：从六门中任意选择三门课程，总选法为，故A正确； B：物理和历史中选择一门，有种方法， 再从剩余的四门中选择两门，有种方法，则总选法为，故B正确； C：从六门中任意选择三门课程，总选法为， 物理和历史同时选择，有种方法，则总选法为，故C正确； D：若物理和历史选择一门，则有种方法， 若物理和历史全部选择，有种方法，则总选法为，故D错误. 11. 函数的导函数的图象如图所示，则下列结论正确的是（ ） A. 是的极值点 B. 是 的极大值点 C. 的单调递减区间是 D. 【答案】BC 【解析】 【分析】根据给定的函数图象，求出函数的单调区间，结合极值点的意义逐项判断. 【详解】观察导函数的图象，当或时，，当且仅当时取等号， 当时，， 因此函数在上单调递增，在上单调递减， 所以是的极大值点， 但在两侧符号不变，所以不是的极值点，所以A错误，B正确； 的单调减区间是，所以 C正确； 函数在上单调递增，所以，所以D错误. 三、填空题（15分） 12. （1）已知，那么______； （2）已知，那么______； （3）已知，那么______． 【答案】 ①. ②. ③. 【解析】 【分析】利用排列数的计算公式即可求解. 【详解】（1）由， 则， 即，解得. （2）由， 则，解得. （3）由， 则且， 解得或（舍）. 故答案为： ； ； 13. 设数列满足3．数列的通项公式为________． 【答案】 【解析】 【详解】由可得， 两式相减可得，即可得， 当时可得，所以满足， 因此可得， 即数列的通项公式为. 14. 函数的图象如图所示，为函数的导函数，则不等式的解集为______________． 【答案】 【解析】 【分析】根据图象得出函数的单调区间，进而得出以及的解，即可得出答案. 【详解】由图可知，函数在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增. 所以，当时，；当时，；当时，；当时，. 当时，由可得，此时； 当时，由可得，此时. 综上所述，解集为. 故答案为：. 四、解答题 15. 包含甲乙丙在内的7人站成一排. （1）一共有多少种不同的排法？ （2）甲、乙两人必须站在两端的不同排法有多少种？ （3）甲、乙、丙三人必须排在一起的不同排法有多少种？ （4）甲、乙、丙三人均不相邻的不同排法有多少种？ （5）甲、乙、丙三人从左到右顺序是“甲、乙、丙”的不同排法有多少种？ 【答案】（1）5040 （2）240 （3）720 （4）1440 （5）840 【解析】 【小问1详解】 7人站成一排，共有种不同的排法. 【小问2详解】 先排甲、乙两人，共有种不同的排法， 再排其他人，共有种不同的排法， 所以共有种不同的排法. 【小问3详解】 把甲、乙、丙三人看成一个整体，再与其他人一起排队， 所以共有种不同的排法. 【小问4详解】 先排其余4人，再把甲乙丙插入4人形成的5个空位（含两端），保证均不相邻， 所以共有种不同的排法. 【小问5详解】 7人的全排列中，甲乙丙的相对顺序共种，仅1种符合要求， 所以共有种不同的排法. 16. 设数列是各项均为正实数的等比数列，且. （1）求数列的通项公式； （2）令，求数列的前项和. 【答案】（1） （2）. 【解析】 【分析】（1）利用等比数列的通项公式求解等比数列的公比，求得通项公式. （2）利用等比数列的前项和公式和等差数列的前项和公式求解. 【小问1详解】 设等比数列的公比为， 或. 【小问2详解】 ， . 17. 已知函数 在 处取得极大值10． （1）求的值； （2）求函数 在区间 上的最大值和最小值． 【答案】（1）； （2）最大值为10，最小值为2. 【解析】 【分析】（1）求导，即可根据函数值以及导数值列方程求解， （2）根据函数的单调性，求解极值以及端点处函数值，即可作答. 【小问1详解】 ， 故且，解得， 则， 令，则， 当时，，当时，，当时，， 故在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， 故在处取到极大值，故满足题意. 【小问2详解】 由（1）知：在和单调递增，在单调递减， 且极大值为, 极小值为，又因为 故函数  在区间  上的大值为10，最小值为2. 18. 已知等比数列的前项和为，且. （1）求数列的通项公式； （2）设，数列的前项和为，证明：． 【答案】（1） （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）利用与关系化简可得，结合等比数列的通项公式求解即可； （2）由（1）可得，利用错位相减法求出即可证明结论. 【小问1详解】 因为在数列中，，当时，， 两式相减得，可得， 又因为时，，可得， 所以数列是以为首项，为公比的等比数列， 故； 【小问2详解】 由（1）知， 所以数列的前n项和为，① ，② ① ②得 ， 所以. 又因为，所以，所以. 19. 已知函数. （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）讨论函数的单调性； （3）若不等式恒成立，求a的最大值. 【答案】（1） （2）当时，在上单调递增， 当时，在上单调递增，在上单调递减， 当时，在上单调递增，在上单调递减. （3） 【解析】 【分析】（1）利用导数的几何意义求出切线斜率，再由点斜式方程求解即得； （2）分，和，通过导函数的符号判断函数的单调性即可； （3）依题意将问题转化为不等式恒成立问题，设，利用求导得出该函数的最大值为，解对数不等式即可求得参数的范围. 【小问1详解】 当时，，， ，， 故曲线在点处的切线方程为，即. 【小问2详解】 的定义域为， ， 当时，，故在上单调递增， 当时，，令，可得：， 当时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 当时，，令，可得， 当时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 综上所述：当时，在上单调递增， 当时，在上单调递增，在上单调递减， 当时，在上单调递增，在上单调递减. 【小问3详解】 由可得， ，即在上恒成立， 设，即证明在上恒成立， ， 当时，，故在上单调递增，无最大值； 当时，令，可得， 当时，，当时，， 在上单调递增，在上单调递减， 所以， 解得：，故a的最大值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $