精品解析：四川成都市石室中学2025-2026学年高二下学期期中数学试题

2025-2026学年度下期高2027届期中考试 数学试题 （满分150分，考试时间120分钟） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．作答时，务必将答案写在答题卡上，写在试卷及草稿纸上无效． 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列求导结果正确的是（ ） A. B. C. D. 2. 直线与圆相交于A，B两点，则（ ） A. B. C. 2 D. 4 3. 已知数列中，，则（    ） A. B. 1 C. D. 2 4. 已知数列是首项为4，公比为的等比数列，若成等差数列，则（ ） A. 4 B. 8 C. -4 D. -8 5. 如图，在三棱锥中，和是边长为2的等边三角形，平面平面，则（ ） A. B. 2 C. D. 6. 某校从2名女生和4名男生中选出3人参加一项创新大赛，则选出的3人中至少有1名女生的概率为（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数的图象与轴恰有两个公共点，则（ ） A. 0或4 B. 3或4 C. 0或2 D. 2或3 8. 已知椭圆的左、右焦点分别为，．M是椭圆C上一点，直线与y轴负半轴交于点N，若，且，则椭圆C的离心率为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 记数列的前项和为，若，则（ ） A. 若为等比数列，则 B. 若为等差数列，则 C. 若，则 D. 若，则数列的周期为3 10. （多选）已知双曲线的左，右焦点分别为F1，F2，则下列选项正确的是（　　） A. 若a＝2，，则双曲线的任一焦点到渐近线的距离为 B. 若点P在双曲线C上，则直线PF1与PF2的斜率之积为 C. 以线段F1F2为直径的圆与双曲线C在第一象限交于点P，且，则双曲线C的离心率 D. 若过的直线l与x轴垂直且与渐近线交于两点，，则双曲线C的渐近线方程为 11. 已知函数的定义域为，为的导函数，满足且，则以下结论正确的是（ ） A. B. 过原点且与相切的直线方程为 C. 不等式的解集是 D. 若恰有两个整数解，则k的取值范围是 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 3名学生和2名老师站成一排合影，则3名学生相邻的排法共有_______种（数字作答） 13. 已知抛物线的焦点为，直线与在第一象限的交点为，若，则直线的斜率为__________. 14. 若对任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围为___________． 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知函数. （1）求的单调递减区间； （2）求的最大值. 16. 记各项均为正数的数列的前项和为，已知． （1）证明：数列为等差数列； （2）记，数列的前项和为，若存在正整数，使得，求的取值范围． 17. 如图1所示，在平面四边形ABCD中，已知，，将沿直线AC翻折至（如图2），使得． （1）证明：平面平面ACD； （2）点F在线段DE上，且二面角的大小为60°． （ⅰ）若，求的值； （ⅱ）求CD与平面ACF所成角的正弦值． 18. 已知点与定点的距离和它到定直线的距离之比为． （1）求的轨迹方程； （2）过点的直线与交于两点(其中不共线），记（为坐标原点）的面积为，过线段的中点作直线的垂线，垂足为，设直线的斜率分别为． （i）求的取值范围； （ii）求证：为定值． 19. 给出以下三个材料： ①若函数可导，我们通常把导函数的导数叫做的二阶导数，记作．类似的，函数的二阶导数的导数叫做函数的三阶导数，记作，函数的三阶导数的导数叫做函数的四阶导数……， 一般地，函数的阶导数的导数叫做函数的阶导数，记作，； ②若，定义； ③若函数在包含的某个开区间上具有任意阶的导数，那么对于任意有 ， 我们将称为函数在点处的泰勒展开式．比如在处的泰勒展开式为： ， 由此当时，可以非常容易得到不等式，，，… 请利用上述公式和所学知识完成下列问题： （1）直接写出与 在处的泰勒展开式； （2）证明：对任意正整数，有，其中，． （3）若，恒成立，求的范围；（参考数据） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度下期高2027届期中考试 数学试题 （满分150分，考试时间120分钟） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．作答时，务必将答案写在答题卡上，写在试卷及草稿纸上无效． 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列求导结果正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】对于A，，故A错误； 对于B，，故B错误； 对于C，，故C错误； 对于D，，故D正确. 2. 直线与圆相交于A，B两点，则（ ） A. B. C. 2 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】由圆的标准方程得到圆心和半径，再根据圆的半径、圆心到直线的距离、半弦长的关系求解. 【详解】由，可得标准方程：， 则圆心坐标为，圆的半径. 由直线的方程为，得圆心到直线的距离：， 所以. 3. 已知数列中，，则（    ） A. B. 1 C. D. 2 【答案】B 【解析】 【详解】已知， 令，， 令，， 令，， 令，， 令，． 4. 已知数列是首项为4，公比为的等比数列，若成等差数列，则（ ） A. 4 B. 8 C. -4 D. -8 【答案】A 【解析】 【详解】由数列是首项为4，公比为的等比数列，得， 由成等差数列，得，即， 则，而，解得， 所以. 5. 如图，在三棱锥中，和是边长为2的等边三角形，平面平面，则（ ） A. B. 2 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】取的中点为，则可证为等腰直角三角形，故可求的长. 【详解】 设的中点为，因为是边长为2的等边三角形， 故且，同理且， 故为的平面角，而平面平面， 故，故. 6. 某校从2名女生和4名男生中选出3人参加一项创新大赛，则选出的3人中至少有1名女生的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据古典概型利用组合求解概率. 【详解】. 7. 已知函数的图象与轴恰有两个公共点，则（ ） A. 0或4 B. 3或4 C. 0或2 D. 2或3 【答案】A 【解析】 【分析】求导，确定函数的单调性，确定函数的极值点，利用函数的图象与x轴恰有两个公共点，可得极大值等于0或极小值等于0，由此可求的值． 【详解】解：， 所以当时，或2， 则的变化情况如下表： 0 2 + 0 0 + 极大值 极小值 则函数的极大值为，极小值为， 函数图象与轴恰有两个公共点时， 或， 解得或． 8. 已知椭圆的左、右焦点分别为，．M是椭圆C上一点，直线与y轴负半轴交于点N，若，且，则椭圆C的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意设从而得到所需线段关于的表示，再利用勾股定理与余弦定理依次求得、关于的表示，进而解得椭圆C的离心率． 【详解】因为，所以，如图，不妨设，则， 由椭圆的定义及对称性可得，，， 因为， 所以， 则，解得：， 则， 则在中，， 则在中， 由余弦定理有：， 即， 解得：， 所以椭圆的离心率为． 故选：C. 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 记数列的前项和为，若，则（ ） A. 若为等比数列，则 B. 若为等差数列，则 C. 若，则 D. 若，则数列的周期为3 【答案】AC 【解析】 【分析】对于A：根据等比数列通项公式分析判断；对于B：根据等差数列通项公式分析判断；对于CD：根据周期数列的定义分析判断. 【详解】因为， 对于选项A：若为等比数列，则公比，所以，故A正确； 对于选项B：若为等差数列，则公差，所以，故B错误； 对于选项C：若，可知数列的一个周期为6， 且，所以，故C正确； 对于选项D：若，则数列的一个周期为6， 但不能得出，不能确定3是否为数列的周期，故D错误； 故选：AC. 10. （多选）已知双曲线的左，右焦点分别为F1，F2，则下列选项正确的是（　　） A. 若a＝2，，则双曲线的任一焦点到渐近线的距离为 B. 若点P在双曲线C上，则直线PF1与PF2的斜率之积为 C. 以线段F1F2为直径的圆与双曲线C在第一象限交于点P，且，则双曲线C的离心率 D. 若过的直线l与x轴垂直且与渐近线交于两点，，则双曲线C的渐近线方程为 【答案】ACD 【解析】 【详解】对于A，由双曲线的性质可知，焦点到渐近线的距离为，故A正确， 对于B，在双曲线上取顶点时，直线PF1与PF2的斜率之积为，故B错误， 对于C，由题意点在圆上，又，，代入圆的方程，可得， 将点代入双曲线方程得，即，解得，，故C正确， 对于D，直线的方程为，与渐近线相交于， ，即， 化简可得，解得，故双曲线C的渐近线方程为，故D正确. 11. 已知函数的定义域为，为的导函数，满足且，则以下结论正确的是（ ） A. B. 过原点且与相切的直线方程为 C. 不等式的解集是 D. 若恰有两个整数解，则k的取值范围是 【答案】ABD 【解析】 【分析】对条件同时乘得出导函数，得出，由得出判断A即可；根据过一点求切线方程即可判断B；对求导，利用单调性求解即可判断C； 根据，要使恰有2个整数解，，计算即可判断D. 【详解】A选项，由，， 可得，即， 故，为常数，由，可得， 故，，故A正确： B选项，设切点为，，设切线斜率为，则， 所以切线方程为，即， 因为切线过原点，所以， 解得，，所以，切线方程为.故B正确； C选项，， 故当时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 故的极大值为， 又，时，，时，， 且时，，时，； 当时，，当时，， 的解集是，故C错误； D选项，因为，所以要使恰有2个整数解， 则整数解为2和3，所以，即，化简得； 故实数k的取值范围是，故D正确. 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 3名学生和2名老师站成一排合影，则3名学生相邻的排法共有_______种（数字作答） 【答案】36 【解析】 【详解】将3名学生捆绑，并排列，再与2名老师一起排列，共有种排法. 13. 已知抛物线的焦点为，直线与在第一象限的交点为，若，则直线的斜率为__________. 【答案】## 【解析】 【详解】如图： 将直线与抛物线方程联立，消去，可得： ， 整理得：. 设，，则，. 根据焦半径公式，，， 由，所以， 因为，所以. 结合. 因为、在第一象限，所以，. 所以. 所以直线的斜率为：. 14. 若对任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围为___________． 【答案】 【解析】 【分析】整理不等式，构造函数，由导数得到函数的单调性，由单调性解不等式得，再由函数的导数求得函数在上的最大值，即可求得实数的取值范围. 【详解】原式可化为在上恒成立， 令， 易得在上恒成立， 所以函数在上单调递增， 即在上恒成立，即在上恒成立， 可得在上恒成立，所以， 令，则，由，解得； 由，解得．所以在上单调递增， 在上单调递减，所以， 即，故实数的取值范围是． 故答案为：. 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知函数. （1）求的单调递减区间； （2）求的最大值. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）求导得，令可求的单调递减区间； （2）由（1）易判断在时单增，在时单减，进而求出. 【小问1详解】 ，令，得，即， 所以的单调递减区间为； 【小问2详解】 当时，单调递增； 当时，单调递减， 所以，即的最大值为. 16. 记各项均为正数的数列的前项和为，已知． （1）证明：数列为等差数列； （2）记，数列的前项和为，若存在正整数，使得，求的取值范围． 【答案】（1）证明见解析. （2） 【解析】 【分析】（1）先求首项，然后通过递推作差得到等差数列的证明. （2）将数列代入，通过裂项相消求得，代入不等式，分离参数，转化为最值问题求解. 【小问1详解】 因为，所以当时，， 因为，整理得，所以. 又，所以.当，， 展开移项化简，因式分解， 因为各项均为正数，所以，所以， 数列是以为首项，为公差的等差数列，所以. 【小问2详解】 由（1）可知，所以. , 要使，即，整理得， 因为在上递减，所以当时取得最大值为. 因为存在正整数，使得，所以，所以. 17. 如图1所示，在平面四边形ABCD中，已知，，将沿直线AC翻折至（如图2），使得． （1）证明：平面平面ACD； （2）点F在线段DE上，且二面角的大小为60°． （ⅰ）若，求的值； （ⅱ）求CD与平面ACF所成角的正弦值． 【答案】（1）证明见解析 （2）（ⅰ）；（ⅱ）． 【解析】 【分析】（1）取的中点，先证明，结合，根据线面垂直判定定理证明平面，再根据面面垂直判定定理证明结论； 解法一：（ⅰ）先证明是二面角的平面角，根据面积公式可得，由此可求结论； （ⅱ）过作交于，求三棱锥的体积，利用等体积法求点到平面的距离，再由线面角的几何定义求结论； 解法二：（ⅰ）建立空间直角坐标系，求平面和平面的法向量，利用向量夹角公式列方程求， （ⅱ）求直线的方向向量，结合向量夹角公式求结论. 【小问1详解】 证明：取的中点，由题意知，，所以，，三点共线， 由得；由得， 又，故，所以， 又，且，，平面， 所以平面，又平面， 所以平面平面； 【小问2详解】 解法一：（几何法） （ⅰ）由（1）知平面，平面， 所以，又，平面平面， 所以是二面角的平面角，所以， 由得， 所以， 即，即， 由得，所以； （ⅱ）过作交于，则平面， 由（ⅰ）知， 所以， 由（ⅰ）知，所以， 记到平面的距离为，所以， 所以，即， 记与平面所成角为，则， 所以与平面所成角的正弦值为． 解法二：（建系法） （ⅰ）由（1）可知如图所示建系，则，，， 由得， 设平面的法向量为，由得， 故，取，可得，所以， 设平面的法向量为， 记二面角的大小为，则， 化简得，解得或（舍）， （ⅱ）由（ⅰ）知，取平面的法向量为， 又，记与平面所成角为， 则， 所以与平面所成角的正弦值为． 18. 已知点与定点的距离和它到定直线的距离之比为． （1）求的轨迹方程； （2）过点的直线与交于两点(其中不共线），记（为坐标原点）的面积为，过线段的中点作直线的垂线，垂足为，设直线的斜率分别为． （i）求的取值范围； （ii）求证：为定值． 【答案】（1） （2）（i）;（ii） 【解析】 【分析】（1）通过将“点到定点的距离与定直线的距离之比为”的条件转化为代数方程，化简后即得轨迹方程； （2）（i）通过设直线方程并联立椭圆方程，利用韦达定理表示出弦长，再结合面积公式转化为函数求值域即可； （ii）通过两点坐标表示出两条直线得斜率，再结合韦达定理和面积表达式进行化简，即可证明比值为常数 【小问1详解】 设点，根据题意得：，两边平方并整理得： ，即，化简得：， 因此，点的轨迹方程为椭圆. 【小问2详解】 （i）设过的直线方程为，与椭圆方程联立：， 代入得：，整理得：， 设，由韦达定理：， 所以的面积为， 令，则，代入得， 因为函数在上单调递增，所以， 所以，即的取值范围是. （ii）设，则， 直线的斜率为，直线的斜率为， 且， 所以， 所以， 又因为，所以. 【点睛】用椭圆的第二定义求轨迹方程，联立方程组，借助韦达定理转化面积与斜率表达式，通过代数化简即可完成范围求解与定值证明. 19. 给出以下三个材料： ①若函数可导，我们通常把导函数的导数叫做的二阶导数，记作．类似的，函数的二阶导数的导数叫做函数的三阶导数，记作，函数的三阶导数的导数叫做函数的四阶导数……， 一般地，函数的阶导数的导数叫做函数的阶导数，记作，； ②若，定义； ③若函数在包含的某个开区间上具有任意阶的导数，那么对于任意有 ， 我们将称为函数在点处的泰勒展开式．比如在处的泰勒展开式为： ， 由此当时，可以非常容易得到不等式，，，… 请利用上述公式和所学知识完成下列问题： （1）直接写出与 在处的泰勒展开式； （2）证明：对任意正整数，有，其中，． （3）若，恒成立，求的范围；（参考数据） 【答案】（1）在处的泰勒展开式： ，其中， 在处的泰勒展开式： ，其中. （2）证明见解析； （3）. 【解析】 【分析】（1）直接用泰勒公式展开即可； （2）同时取对数，再结合泰勒公式进行证明； （3）参变分离，再利用多次求导，结合泰勒公式进行求解. 【小问1详解】 因为，所以，，， 依次有，故 . 则在处的泰勒展开式为：，其中， 对于，同理有， 故，则在处的泰勒展开式为： ，其中. 【小问2详解】 证明：两边同时取对数得： ，即 ， 由泰勒展开式得： 所以当时，，所以，则， 而，因为，所以 则，当且仅当时，等号成立，所以 则 ，两边同时取指数得： ，即：得证. 【小问3详解】 ，两边同时取对数得：， ，成立，所以，其中 令，则，令 ， 则 ， 令，则 ， 故在上单调递增，而， ， 所以存在，使得，当时，， 即：，单调递增，当时，， 即：单调递减，而，所以当时，，即，所以，单调递减， 由洛必达法则得： ， 又因为 ， 所以 ，所以在上，先递减后递增，且， 所以当时，恒成立，因此，即的取值范围是：. 【点睛】本题涉及泰勒公式和多次求导的计算，结合导数和0的关系进行分析. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $