广东深圳外国语学校（集团）龙华高中部2025-2026学年高一下学期数学测试10

**基本信息** 高一数学周测试卷，涵盖复数、向量、立体几何、解三角形等核心知识，通过圆锥爬行路径、四棱柱线面证明等情境，考查空间观念、推理能力与运算能力。 **题型特征** |题型|题量|知识覆盖|命题特色| |----|----|----------|----------| |单选题|6|复数模、向量投影、圆锥侧面展开、解三角形、空间线面关系|结合圆锥展开最短路径问题，考查空间图形转化能力| |多选题|2|向量夹角、外心判断、钝角三角形性质|多选项辨析向量与三角形性质，培养批判性思维| |填空题|2|三棱锥体积、正方体外接球|通过体积分割与球表面积计算，考查空间几何体度量| |解答题|1|四棱柱线面平行与垂直证明|综合菱形性质与线面关系，考查逻辑推理与空间想象|

深圳外国语学校（集团）龙华高中部 高一数学测试 编者：高一数学组 2026年5月13日 高一数学测试10 一、单选题 1．已知复数，则（    ） A．2 B．5 C．10 D．18 2．已知向量，，那么向量在向量上的投影向量为（   ） A．3 B．5 C． D． 3．如图，一立在水平地面上的圆锥形物体的母线长为，一只小虫从圆锥的底面圆上的点P出发，绕圆锥表面爬行一周后回到点P处.若该小虫爬行的最短路程为，则圆锥底面圆的半径等于（    ）. A．1 B． C．2 D． 4．在△ABC中，角所对应的边分别为已知则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 5．设m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，给出下列四个命题： ①若m∥n，m⊂α，则n∥α； ②若m∥n，m⊂α，n⊂β，则α∥β； ③若m∥α，n∥α，则m∥n； ④若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β． 其中正确命题的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 6．在△ABC中，时，角A的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 7．下列命题中正确的是（    ） A．已知向量，若与的夹角是锐角，则实数的取值范围为 B．已知O是△ABC所在平面上一点，若，则O点是三角形的外心. C．若O为△ABC所在平面内任一点，且满足，则△ABC为等腰三角形 D．设向量满足，且，则向量在向量方向上的投影向量为 8. 已知在钝角中，角，，所对的边分别为，，，下列结论正确的是 A．若，则 B． C．若，则 D．若C为钝角，则 三、填空题 9．已知三棱锥的体积为1，是的中点，是的中点，则三棱锥的体积是__________． 10．已知一个棱长为2的正方体的8个顶点都在一个球面上，则球的表面积为__________，体积为__________. 四、解答题 11．如图，已知四棱柱的底面是菱形，且平面，为棱的中点，为线段的中点. （1）求证：平面； （2）求证：平面. 高一下学期数学测试10参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C C B B A B BC ACD 1．C 【详解】因为， 所以， 因此. 故选：C. 2．C 【详解】由，得，， 所以在上的投影向量为. 故选：C 3．B 【详解】把圆锥侧面沿过点P的母线展开成如图所示的扇形， 由题意, 则 ,所以 设底面圆的半径为，则，所以 故选：B 4．B 【详解】解：由正弦定理可知，， 所以，即. 故选:B. 5．A 【详解】对于①，若m∥n，m⊂α，则n∥α或n⊂α，故①错； 对于②，若m∥n，m⊂α，n⊂β，则α∥β或α与β相交，故②错； 对于③，若m∥α，n∥α，则m∥n或m，n相交、或m，n异面，故③错； 对于④，若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β或α与β相交，故④错；． 故选：A． 6．B 【详解】∵中，， ∴由正弦定理化简得：，即， ∴， ∵A为三角形的内角，∴， 则A的范围为. 故选：B. 7．BC 【详解】对于A，依题意，且与不共线，则，解得且，A不正确； 对于B，依题意，， 则，同理可得，则O点是的外心，B正确； 对于C，， 则，即，△ABC为等腰三角形，C正确； 对于D，依题意，，即，向量在向量方向上的投影向量为，D不正确. 故选：BC 8．ACD A大边对大角，正确 B不知道哪个角是钝角，错误 C，正确 D因为C为钝角，A+B，正确 9．/ 【分析】由题意画出图形，由为的中点，得三角形的面积是三角形面积的一半，由为的中点，得到平面的距离为到平面的距离的一半，然后利用等积法得答案． 【详解】解：如图， 三棱锥的体积为1，即三棱锥的体积为1， 设平面的面积为，到平面的距离为，则． 为的中点，， 又为的中点，到平面的距离为， ． 故答案为：． 10． 【详解】由题意可知该球为正方体的外接球，故球直径为正方体的体对角线， 因此，故， 故表面积为,体积为, 故答案为：； 11．（1）证明见解析；（2）证明见解析. 【详解】（1）证明：连结、交于点，再连结 ∴且，-----------------------1分 又∵，-------------------------2分 ∴且 ∴四边形是平行四边形，-------------3分 ∴------------------------4分 又∵面，-------5分 ∴面--------------------------6分 （2）证明：∵底面是菱形， ∴ --------------------------------------7分 又∵面，面 ∴，-----------------------------------9分 ∴面 又∵，-------------------------------11分 ∴面 --------------------------------13分 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $