新疆塔城地区第一高级中学2025-2026学年第二学期高一月考一数学试卷

塔地一高2025-2026学年第二学期高一月考一数学试题 考试时间：120分钟 满分：150分 一、单选题（每题各5分） 1．化简：等于（   ） A． B． C． D． 2．在中，，则（    ） A． B． C．或 D． 3．若复数，则（   ） A． B． C． D． 4．下列各组向量中，可以作为基底的是（    ） A． B． C． D． 5．已知，点在直线上，且，则点的坐标为（    ） A． B． C． D．或 6．已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，则的形状为（    ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．等腰直角三角形 7．若平面向量，两两夹角相等，且，则（    ） A．3 B．9 C．3或9 D．3或 8．设Q是线段的中点，P是直线外一点.A，B为线段上的两点，，且， ，，则（    ） A． B． C． D． 二、多选题（每题各6分） 9．在复平面内，复数对应的点为A，复数对应的点为，下列说法正确的是（    ） A． B． C．向量对应的复数是1 D． 10．已知内角A，B，C对边分别为a，b，c．则下列说法正确的是（   ） A．若，则为钝角三角形． B．若，则为等腰三角形 C．在锐角中，不等式恒成立 D．若，，则的取值范围为 11．已知O为内一点，且其中内角的对边分别为，则下列结论正确的有（   ） A．若，则O为垂心 B．若，则O为外心 C．若，则O为内心 D．若，则O为重心 三、填空题（每题各5分） 12．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，，，则的面积为__________. 13．已知向量，则在方向上的投影向量的坐标为__________ 14．已知P是边长为2的正六边形ABCDEF内的一点，则 的取值范围是_______ 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 四．解答题 15．已知复数，其中i为虚数单位，． (1)若是纯虚数，求的值； (2)在复平面内对应的点在第二象限，求的取值范围． 16．已知向量，. (1)若，求实数的值； (2)若，求向量与的夹角的余弦值． 17． 在中，内角，，所对边的长分别是，，，已知，，. (1)求的值； (2)求的值； (3)求的值． 18．在如图，在中，点在上，过点的直线分别交直线、于不同的两点、，设，． (1)若是上靠近的三等分点，用和表示； (2)若是中点，设，，求的值． 19．已知分别是锐角三个内角的对边，且，． (1)求的值； (2)求面积的取值范围． $ 数学试卷答案 单选题 1题．A 【详解】. 2题．C 【分析】借助正弦定理计算即可得. 【详解】由正弦定理，可得， 又，故或. 3题．D 【分析】根据复数乘方和除法的运算，求得，再利用共轭复数的定义求得，最后复数的数乘和加法运算计算即可. 【详解】，， 4题．B 【详解】选项A: , , , 共线, 不能作为基底. 选项B:, , , 不共线, 可以作为基底 选项C: 是零向量, 零向量与任意向量共线, 不能作为基底. 选项D: , , , 共线, 不能作为基底. 5题．D 【分析】由得或，利用坐标运算即可求解. 【详解】由题意得：或，设点， 所以， 当时，所以，解得，所以， 当时，所以，解得，所以. 6题．C 【分析】由正弦定理边角互化，以及两角和差正弦公式，化简可得结果. 【详解】因为，由正弦定理可得， 则，即， 所以，即， 又因为，则，即, 所以是等腰三角形. 7题．C 【分析】利用平方展开原式，结合向量的模分别求解两两夹角为和时的值即可. 【详解】 当两两夹角为时，，可得： 所以. 当两两夹角为时，，可得： ， 所以， 故或 8题．B 【分析】选择为基底法，由， ，求得.根据向量共线定理及，确定点的位置，从而求得. 【详解】由已知， ； ； 联立可得. 设，. 则. 因为，所以，解得. 所以，点是上靠近点的三等分点， 所以； 多选题 9题.AD 【分析】根据复数的模、复数的几何意义逐一分析即可. 【详解】因为，所以， 所以， ，A正确； ，B错误； 由上可得，对应复数为，C错误； ，，D正确. 故选：AD 10题．BCD 【分析】利用余弦定理边化角判断A；由正弦定理边化角判断B；利用正弦函数单调性推理判断C；利用正弦定理边化角，再利用和角的正弦公式及正切函数性质求解判断D. 【详解】对于A，由及余弦定理，得，为锐角，无法确定，A错误； 对于B，由及正弦定理，得，为等腰三角形，B正确； 对于C，在锐角中，，则，即，C正确； 对于D，由，，得，，， 由正弦定理得，D正确. 11题.BD 【详解】对于A，因为，故， 整理得， 又， 所以，则， 因为方向的单位向量， 故AO与的角平分线共线，同理BO与的角平分线共线，CO与的角平分线共线， 所以O为的内心，故A错误； 对于B，因为，所以点O到点A，B，C的距离相等，即点O为的外心，故B正确； 对于C，因为，所以， 则，即，则，同理可得， 所以点O为的垂心，故C错误； 对于D，因为，所以， 设D为BC的中点，则，所以点O为的重心，故D正确． 填空题答案 12题. 【详解】由余弦定理可得，， 因为，所以，故的面积为 13题. 【分析】根据投影向量的定义即可得； 【详解】在方向上的投影向量的公式为：， 所以，， 将结果代入公式: . 14题 【分析】首先根据题中所给的条件，结合正六边形的特征，得到在方向上的投影的取值范围是，利用向量数量积的定义式，求得结果. 【详解】 的模为2，根据正六边形的特征， 可以得到在方向上的投影的取值范围是， 结合向量数量积的定义式， 可知等于的模与在方向上的投影的乘积， 所以的取值范围是， 解答题答案 15题(1) (2) 【分析】（1）利用纯虚数的定义列不等式组求解即得； （2）根据第二象限内的点的特征列不等式组求解即得. 【详解】（1）由是纯虚数，可得， 由①解得或，因时，，不合题意， 故的值为； （2）由在复平面内对应的点在第二象限， 可得，由③解得；由④解得或， 故得，即的取值范围为. 16题. 详解】（1）因为，， 所以，因为， 所以， 所以， （2）因为，， 所以，， 因为，所以， 所以， 所以， 设向量与的夹角为， 则， 17题．(1) (2) (3) 【分析】（1）根据余弦定理求解； （2）根据正弦定理求解； （3）利用二倍角公式和两角和的余弦公式求解. 【详解】（1）由余弦定理可知， 即，即，解得 （舍去）； （2）因为，， 所以， 由得 （3）因为，所以， 所以，所以， 所以， 所以. 18题（1） （2） （1）因为是上靠近的三等分点，所以， 则由空间向量的加法法则得， 由空间向量的减法法则得 ，故. （2）若是中点，设，， 则 因为三点共线，所以.即 19题 (1)， (2) （1）在锐角中，由正弦定理得， 又， ∵， 所以， 则， 在锐角中，， ，即. ， （2）由（1）得， 由正弦定理：，得 因为为锐角三角形，所以，所以， 所以，所以， 所以， 故面积的取值范围为． 学科网（北京）股份有限公司 $