精品解析：云南昭通市永善县永善县 多校2025-2026学年七年级下学期5月期中数学试题

2026年春季学期学生综合素养阶段性诊断练习八年级数学 【命题范围：19～21章】 （全卷三个大题，共27个小题，共8页；满分100分，练习用时120分钟） 注意事项： 1.学生必须在答题卡上解题作答．答案应书写在答题卡的相应位置上，在练习、草稿纸上作答无效． 2.练习结束后，请将练习和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共15小题，每小题2分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列式子是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：最简二次根式需要满足两个条件，①被开方数不含分母，②被开方数不含能开得尽方的因数或因式， ∵对于选项A，，被开方数可以开得尽方，∴不是最简二次根式； ∵对于选项B，，被开方数含能开得尽方的因数，∴不是最简二次根式； ∵对于选项C，满足最简二次根式的两个条件，∴是最简二次根式； ∵对于选项D，，被开方数含分母，∴不是最简二次根式． 2. 以下列各组数为边长，不能构成直角三角形的是（ ） A. 3，4，5 B. 6，12，13 C. 7，24，25 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查勾股定理的逆定理，只需验证每组边长中，较小两边的平方和是否等于最大边的平方，即可判断能否构成直角三角形． 【详解】解：A选项：∵， ∴ 能构成直角三角形，不符合题意； B选项：∵ ，，， ∴ 不能构成直角三角形，符合题意； C选项：∵， ∴ 能构成直角三角形，不符合题意； D选项：∵，，即， ∴ 能构成直角三角形，不符合题意； 3. 下列各式计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：选项A：∵， ∴ A计算正确； 选项B：∵， ∴ B计算错误； 选项C：∵ ∴ C计算错误； 选项D：∵ ∴ D计算错误． 4. 若是整数，则正整数的最小值是（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 12 【答案】B 【解析】 【分析】化简二次根式，再根据二次根式为整数的条件，结合完全平方数的性质，即可求出正整数a的最小值． 【详解】解：先对进行化简，， 已知是整数，是正整数， ∴必须是整数，即是完全平方数， ∴ 正整数的最小值是． 5. 如图，为了测量池塘边两地之间的距离，在线段的一侧取一点，连接并延长至点，连接并延长至点，使得分别是的中点，通过测量得到，则池塘边两地之间的距离是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据三角形中位线求解即可． 【详解】解：∵分别是的中点， ∴是的中位线， ∴， ∵， ∴； 6. 如图，点，，在数轴上表示的数分别为，，．过点作线段，且，以点为圆心，长为半径作弧，交数轴负半轴于点，则点表示的数是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：因为点，，在数轴上表示的数分别为，，， 所以， 因为，所以， 所以， 因为在数轴上表示的数为， 所以在数轴上表示的数为． 7. 估计的值应在（ ） A. 3和4之间 B. 4和5之间 C. 5和6之间 D. 6和7之间 【答案】D 【解析】 【详解】解：∵， 又∵， ∴， ∴的值应在6和7之间． 8. 如图，在正方形中，点在对角线的延长线上，且满足，连接，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：∵是正方形的对角线， ∴， ∵， ∴， ∴． 9. 如图，四边形中，对角线相交于点，下列四组条件中不能判定四边形为平行四边形的是（ ） A. ， B. C. ， D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据平行四边形的判定，结合已知，选择适当判断方法求解即可． 【详解】解： ∵， ∴， ∵， ∴ ∴ ∴四边形是平行四边形． 选项A不符合要求； ∵， ∴四边形是平行四边形， 故选项B不符合要求． ∵C中条件无法判定四边形是平行四边形． 选项C符合要求． ∵ ∴四边形是平行四边形． 选项D不符合要求． 10. 如图，已知在平面直角坐标系中，点的坐标分别为，连接，取的中点，连接，则的长度为（ ） A. 6 B. 7.5 C. 8 D. 9 【答案】B 【解析】 【分析】根据勾股定理解题． 【详解】解：由题意知，，即， ∴． 11. 如图，某小区为加固围墙，将一根木质立柱垂直立在地面，立柱在离地面的处发生弯折，弯折后的立柱顶端恰好落在距离立柱底部点的位置处，则这根木质立柱原本的总高度为 A. B. 7 C. 5 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】根据勾股定理，得到,结合这根木质立柱原本的总高度为求解即可； 【详解】解：根据勾股定理，得到， 故木质立柱原本的总高度为； 12. 某矩形的对角线长度为8，顺次连接该矩形各边的中点，得到新的四边形，则新四边形的边长为（ ） A. 2 B. 4 C. 8 D. 不确定 【答案】B 【解析】 【详解】解：原矩形对角线长为，顺次连接各边中点得到新四边形，新四边形的每条边都是对应三角形中以矩形对角线为第三边的中位线， ∵三角形中位线的长度等于矩形对角线长度的，矩形对角线长度相等， ∴新四边形每条边的长度， ∴新四边形的边长为． 13. 下列各组数中，是勾股数的一组是（ ） A. 0.3，0.4，0.5 B. C. 6，8，10 D. 3，3，3 【答案】C 【解析】 【分析】勾股数需满足两个条件：三个数均为正整数，且两个较小数的平方和等于最大数的平方，据此逐一判断即可． 【详解】解：A选项中都不是正整数，不是勾股数，不符合要求； B选项中都不是正整数，不是勾股数，不符合要求； C选项中都是正整数， ， 是勾股数，符合要求； D选项中， ，∴不满足条件，不是勾股数，不符合要求． 14. 按一定规律排列的单项式：，，，，，…，第个单项式为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查二次根式的探究规律，通过观察单项式发现第n个单项式的系数为，字母部分为，即可求解． 【详解】解：各单项式的系数依次为，，，，， 而；，，，， ∴第n个单项式的系数为． 各单项式的字母部分依次为，，，，， 而；，，，， ∴第n个单项式的字母部分为． 综上，第个单项式为． 故选：D 15. 如图，在正方形中，，点在边上，且，点是对角线上的一动点，则的最小值是（ ） A. B. C. 6 D. 7 【答案】A 【解析】 【分析】连接,当三点共线时，取得最小值． 【详解】解：连接, 在正方形中，，， ∴， , ∴, 关于对称， ∴, 当三点共线时，取得最小值， ． 二、填空题：本题共4小题，每小题2分，共8分． 16. 若在实数范围内有意义．则的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，根据二次根式有意义的条件，被开方数必须大于或等于零得到不等式，即可求解． 【详解】解：由题意，， 解得． 故答案为：． 17. 比较大小：____（填“>”或“<”或“＝”）． 【答案】> 【解析】 【分析】将根号外面的3和2平方后放到根号里面，再根据负数相比较，绝对值大的反而小进行比较即可． 【详解】解：， ， ，， ， ∴ ∴ 故答案为：>． 【点睛】本题考查了实数大小比较，主要利用了负数相比较，绝对值大的反而小，将根号外面的数字转化的根号里面是解题的关键． 18. 在平行四边形ABCD中，已知∠A﹣∠B＝60°，则∠C＝_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据平行四边形的性质可得到答案. 【详解】∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠A＋∠B＝180°，又∠A－∠B＝60°，故可知∠A＝120°，∴∠C＝∠A＝120°，故答案为120°. 【点睛】本题主要考查了平行四边形的基本性质，解本题的要点在于熟记平行四边形的对角相等. 19. 如图，在平行四边形中，平分，若，，则的长是_____． 【答案】2 【解析】 【分析】根据平行线的性质以及角平分线的定义可知，再根据等角对等边即可求解． 【详解】解：在平行四边形中， , ∴ ∵平分， ∴, ∴, ∴, ∵, ∴． 三、解答题：本题共8小题，共62分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 20. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据二次根式的混合运算法则求解即可； （2）根据二次根式的混合运算法则求解即可； 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 21. 如图，在正方形中，点，分别是边，的中点，连接，，相交于点．求证：． 【答案】见解析 【解析】 【分析】证明，根据全等三角形的性质即可求解． 【详解】证明：四边形为正方形， 点分别是边的中点， ， 在和中 ， ． 22. 为了响应“绿色社区，美化家园”的号召，某小区计划对一块四边形空地进行绿化改造，补种草坪．如图，经测量米，米，米，米．若该小区补种草坪的综合单价为50元/米（包含人工、材料等费用），求完成这块空地的绿化改造共需要多少元？ 【答案】10200元 【解析】 【分析】利用勾股定理，勾股定理的逆定理，三角形面积公式求解即可； 【详解】解：米，米， （米）， 又米，米． ， 是直角三角形， （米）， （米）， 四边形的面积为 （米）． （元）， 答：完成这块空地的绿化改造共需要10200元． 23. 如图，将矩形折叠，使点与点重合，点的对应点为，折痕分别交，于点，． （1）求证：； （2）若，求的面积． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据折叠可知,进而根据证明两个三角形全等； （2）设，根据勾股定理构造方程，再根据面积公式即可求解． 【小问1详解】 证明：如图， 四边形是矩形， ，将矩形折叠， ， ， ， 在和， ． 【小问2详解】 解：设，则， 在中，， 即， 解得， ． 24. 小明在考试的时候，遇到了一个这样的题：如果，比较与的大小关系．小明分析解答如下： ， ． 请你参考分析解答的过程，解决如下问题： （1）化简：_____； （2）计算：． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）将分子分母同时乘以，然后利用平方差公式计算； （2）按照（1）的方法，分母有理化化简即可求解． 【小问1详解】 解：． 【小问2详解】 解： ． 25. 如图，中，，平分，点，分别是，的中点． （1）求证：四边形是菱形； （2）连接交于点，如果四边形的周长为 ，求四边形的面积． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据中位线可知四条边相等，即可证明是菱形； （2）设 ，根据勾股定理可构造等量关系，从而可得，即可得面积． 【小问1详解】 证明： 平分， ，且点是的中点． 点分别是的中点， 在中，， 在中，． 又，点，分别是的中点， ， ， 四边形是菱形． 【小问2详解】 解：菱形的周长为20， ， 设 ，则，即． ①， 于点， 在中，， ②， 把②代入①，可得， 菱形的面积为． 26. 赵爽弦图是中国古代数学家赵爽在注解《周髀算经》时提出的勾股定理证明方法，记载于三国时期．图①是一个赵爽弦图，四个直角三角形较短的直角边长都为，较长的直角边长都为，斜边长都为，大正方形的面积可以表示为，也可以表示为，由此推导出勾股定理：如果直角三角形的两条直角边长分别为，斜边长为，则． （1）【探索求证】 数学兴趣小组的学生用三块直角三角形硬纸板拼出图②，其中，请你利用图②推导勾股定理． （2）【问题解决】 同学们经过进一步研究，发现通过勾股定理，可以计算任意已知三条边长的三角形的面积．如图③，已知中， ，作，就可以计算出的面积．请你完善解答过程，求出的面积． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）分别用梯形的面积公式，三个三角形面积相加得梯形面积，构造等量关系即可求解； （2）根据勾股定理构造等量关系即可求得的长度，即可求解面积． 【小问1详解】 解：， 且， ， ． 【小问2详解】 解：由题意设， ， ． ， ． 在中， 在中， ， 解得， ， ． ． 27. 如图①，在四边形中，，，点是的中点，点是边上的点，且． （1）求证：； （2）求证：平分； （3）如图②，若，，，求的值． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）根据平行四边形的判定，可证四边形为平行四边形，再根据性质，即可求证； （2）连接并延长，交的延长线于点，先证，从而，，再证，即为等腰三角形，最后根据等腰三角形的性质，即可求证； （3）先根据“”说明，从而，再根据平行线的性质，可求，可说明平行四边形为矩形，则，最后根据勾股定理可得，列出方程，求解计算即可． 【小问1详解】 证明：，， 四边形为平行四边形， ； 【小问2详解】 证明：如图，连接并延长，交的延长线于点， ， ，， 为的中点， ， 在和中， ， ， ，， ， ，， ，即为等腰三角形， 又 ， 平分； 【小问3详解】 解：如图，连接并延长，交的延长线于点， ，，， ， ， ， ， ， 平行四边形为矩形， ， 在中，，，则， ， ，即， ，解得， ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年春季学期学生综合素养阶段性诊断练习八年级数学 【命题范围：19～21章】 （全卷三个大题，共27个小题，共8页；满分100分，练习用时120分钟） 注意事项： 1.学生必须在答题卡上解题作答．答案应书写在答题卡的相应位置上，在练习、草稿纸上作答无效． 2.练习结束后，请将练习和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共15小题，每小题2分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列式子是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 2. 以下列各组数为边长，不能构成直角三角形的是（ ） A. 3，4，5 B. 6，12，13 C. 7，24，25 D. 3. 下列各式计算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 若是整数，则正整数的最小值是（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 12 5. 如图，为了测量池塘边两地之间的距离，在线段的一侧取一点，连接并延长至点，连接并延长至点，使得分别是的中点，通过测量得到，则池塘边两地之间的距离是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，点，，在数轴上表示的数分别为，，．过点作线段，且，以点为圆心，长为半径作弧，交数轴负半轴于点，则点表示的数是（ ） A. B. C. D. 7. 估计的值应在（ ） A. 3和4之间 B. 4和5之间 C. 5和6之间 D. 6和7之间 8. 如图，在正方形中，点在对角线的延长线上，且满足，连接，则（ ） A. B. C. D. 9. 如图，四边形中，对角线相交于点，下列四组条件中不能判定四边形为平行四边形的是（ ） A. ， B. C. ， D. 10. 如图，已知在平面直角坐标系中，点的坐标分别为，连接，取的中点，连接，则的长度为（ ） A. 6 B. 7.5 C. 8 D. 9 11. 如图，某小区为加固围墙，将一根木质立柱垂直立在地面，立柱在离地面的处发生弯折，弯折后的立柱顶端恰好落在距离立柱底部点的位置处，则这根木质立柱原本的总高度为 A. B. 7 C. 5 D. 4 12. 某矩形的对角线长度为8，顺次连接该矩形各边的中点，得到新的四边形，则新四边形的边长为（ ） A. 2 B. 4 C. 8 D. 不确定 13. 下列各组数中，是勾股数的一组是（ ） A. 0.3，0.4，0.5 B. C. 6，8，10 D. 3，3，3 14. 按一定规律排列的单项式：，，，，，…，第个单项式为（ ） A. B. C. D. 15. 如图，在正方形中，，点在边上，且，点是对角线上的一动点，则的最小值是（ ） A. B. C. 6 D. 7 二、填空题：本题共4小题，每小题2分，共8分． 16. 若在实数范围内有意义．则的取值范围是______． 17. 比较大小：____（填“>”或“<”或“＝”）． 18. 在平行四边形ABCD中，已知∠A﹣∠B＝60°，则∠C＝_____． 19. 如图，在平行四边形中，平分，若，，则的长是_____． 三、解答题：本题共8小题，共62分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 20. 计算： （1）； （2）． 21. 如图，在正方形中，点，分别是边，的中点，连接，，相交于点．求证：． 22. 为了响应“绿色社区，美化家园”的号召，某小区计划对一块四边形空地进行绿化改造，补种草坪．如图，经测量米，米，米，米．若该小区补种草坪的综合单价为50元/米（包含人工、材料等费用），求完成这块空地的绿化改造共需要多少元？ 23. 如图，将矩形折叠，使点与点重合，点的对应点为，折痕分别交，于点，． （1）求证：； （2）若，求的面积． 24. 小明在考试的时候，遇到了一个这样的题：如果，比较与的大小关系．小明分析解答如下： ， ． 请你参考分析解答的过程，解决如下问题： （1）化简：_____； （2）计算：． 25. 如图，中，，平分，点，分别是，的中点． （1）求证：四边形是菱形； （2）连接交于点，如果四边形的周长为 ，求四边形的面积． 26. 赵爽弦图是中国古代数学家赵爽在注解《周髀算经》时提出的勾股定理证明方法，记载于三国时期．图①是一个赵爽弦图，四个直角三角形较短的直角边长都为，较长的直角边长都为，斜边长都为，大正方形的面积可以表示为，也可以表示为，由此推导出勾股定理：如果直角三角形的两条直角边长分别为，斜边长为，则． （1）【探索求证】 数学兴趣小组的学生用三块直角三角形硬纸板拼出图②，其中，请你利用图②推导勾股定理． （2）【问题解决】 同学们经过进一步研究，发现通过勾股定理，可以计算任意已知三条边长的三角形的面积．如图③，已知中， ，作，就可以计算出的面积．请你完善解答过程，求出的面积． 27. 如图①，在四边形中，，，点是的中点，点是边上的点，且． （1）求证：； （2）求证：平分； （3）如图②，若，，，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $