江苏省太湖高级中学2024-2025学年第二学期期中考试高二数学试卷

2024一2025学年度第二学期期中考试 高二数学试卷 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题 目要求的 1.下列导数运算正确的是 (C) A.(cosx)'=sinx B(∫= C.(logx)'=-1 D.(xe)'=(x2+x3)e xIn2 解：对于A,(cosx)'=-sinx,故A错误： 对于B()广=()=-x,故B错误： 对于C,(oer=2故C正确： 对于D,(x3e)'=3x2e+xr3e=(x3e)'=(3xr2+x3)e',故D错误 故选：C 2.己知正态分布N(2,σ2)的正态密度曲线如图所示，X~N(2,σ2)，则下列选项中，不能表示图中 阴影部分面积的是 (C) A方-P(X≤I) B.7-P(X≥3) C.3-pI≤X≤2) D.P(X≥1)-3P(X≥3) 解：正态分布N(2,σ2)的正态密度曲线关于直线x=2对称， 可得图中阴影部分可表示为P2≤X≤3)=P(X≥2)-P(X3)=-P(X≥3)=号-P(X≤1)，故 选项A,B正确； 对C:由对称性可得-P1≤X≤2)=P(X≤)=P(X≥3)，故选项C错误： 对D:由对称性可得P(1≤X≤2)=P(2≤X≤3)， 所以图中阴影部分面积可表示为P(2≤X≤3)=P(X≥)-P(X>3),故选项D正确。 故选C. 3.函数f(x)的图象如图所示，下列数值排序正确的是 (B) A.f(3)-f(2)<f'(2)<"(3)<0 B.f'(2)<f(3)-f(2)<f'(3)<0 C.f'(3)<f(3)-f(2)<f'(2)<0 D.f'(2)<f"(3)<f(3)-f(2)<0 O123x 解：如图，f'(2)是函数f(x)的图象在x=2处切线的斜率k1, f'(3)是函数f(x)的图象在x=3处切线的斜率k2, f3③)-f2）=(3)-了(2)=k8,是割线的斜率. 3-2 高二数学期中试卷第1页（共8页） 结合图象可知，k1<kB<k<0, 即f'(2)<f(3)-f(2)<f"(3)<0.故选B. 4.函数f()=2-4hx的单调递减区间为 (A) A.(0,2] B.[-2,2] C.(0,4] D.[-4,4] 解：f(x)的定义域为(0，+∞) 由fr)=x-4=4≤0得x∈(0,2]， :函数)=分2-16nx的单调递减区间为(0,2] 故选A. 5.高二某班共有50个学生，其中有3个学生的生日在四月份，从中随机抽取10个学生参加问卷 调查，则抽取的10个学生中至少有1个学生的生日在四月份的概率为 (D) A.1、 CC B. C5oC49+C3oCis+C3oC47 C50 C3 C.CiC+CiCis+cic D.CC+CC+CC C50 C5o 解：设抽取的10个学生中生日在四月份人数为X,则X服从超几何分布，且N=50,M=3,n=10 X的分布列为 P(X=)=CC9 -,k=0,1,2,3. C40 至少有1件不合格的概率为 P(X>≥1)=P(X=1)+P(X=2)+P(X=3) CIC+CC+ciCk=ciC+cC+CCh C50 C50C50 C3 也可以按如下方法求解： PX≥)=1-PX=0)=1-CC9 C50 故选D 6.如图，在A,B间有五个焊接点1,2,3,4,5，若焊接点脱落导致断路，则电路不通.今发现A,B之 间电路不通，则焊接点脱落的不同情况有 (A) A.25种 2 B.27种 3 5 C.29种 B 4 D.31种 解：（方法）按焊接点脱落的个数分类 ①脱落1个：{1}，{5}，共2种： ②脱落2个：{1,2}，{1,3}，{1,4}，{1,5}，{2,5}，{3,5}，{4,5}，共7种： ③脱落3个：{1,2,3}，{1,2,4}，{1,2,5}，{1,3,4}，{1,3,5}，{1,4,5}，{2,3,4}，{2,3,5}，{2,4,5}， {3,4,5},共10种： ④脱落4个：{1,2,3,4}，{1,2,3,5}，{1,2,4,5}，{1,3,4,5}，{2,3,4,5}，共5种： ⑤脱落5个：{1,2,3,4,5}，共1种. 高二数学期中试卷第2页（共8页） 因此根据分类加法计数原理，焊接点脱落的情况共有2+7十10十5+1=25种，故选A. (方法2)间接法：每个焊接点都有脱落和不脱落两种情况，若A,B之间电路不通，则焊接，点脱落 的不同情况有25-(23-1)=25种，故选A. 7.设有两个罐子，A罐中放有3个白球，1个黑球，B罐中放有4个白球，这些球的大小与质地相同. 现在从两个罐子中各摸1个球并交换，则这样交换2次后，黑球还在A罐中的概率为(C) A司 B c D.16 解：设事件A1,A2分别表示“交换1次后黑球还在A罐中”和“交换2次后黑球还在A罐中”. 易见4相当于第一次接球的时候没有摸到黑球，其概率为子，即P(4)=子 第一次交换之后，有两种可能的情况：一种是黑球在A罐中，共概率是子：另一种是黑球在B罐 中，其概率是} 由全概率公式 P(A2)=P(A2A)P(A)+P(A2A)P(A), 其中P(A2A1)是已知黑球在A罐中，再次交换后还在A罐中的条件概率，它等于第二次没有摸 到黑球的概率，是子：类似地，P()是已知黑球在B罐中，再次文换后又回到A罐中的条 件概车，它等于第二次模到黑球的概率，是子：国此 P=是×+好×号=音 故选：C. 8.如图，已知正四面体ABCD的顶点处有一只蚂蚁，蚂蚁每次会随机地沿一条棱向相邻的某个顶 点移动，且向每个顶点移动的概率相同，从一个顶点沿一条棱移动到相邻顶点称为移动一次， 若蚂蚁的初始位置位于点A处，则该蚂蚁移动5次后仍在底面ABC上的概率为 (D) A子 B. D 器 解：当妈奴在底面ABC时，随机移动一次仍在底面ABC的概率为号， 当蚂蚁在，点D时，随机移动一次回到底面ABC的概率为1， 又国为R=号，且R1=号P+1×1-P)=1-写2， 所以A=1-3A=gA=1-号B=9A=1-号B=,R=1-号R=器 故选：D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全 部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9.已知随机变量X的分布列如下： X -2 一 0 1 2 0.1 a 0.4 0.2 b 高二数学期中试卷第3页（共8页） 若E(X)=0,则以下结论中正确的是 (ABD) A.a=0.2 B.b=0.1 C.E(X+a)=0 D.D(X)=1.2 解：由01+a+04+02+h=1 E(X)=-2×0.1+(-1)×a+0×0.4+1×0.2+2×b=0, 解得a=0.2,b=0.1,故A,B正确： E(X+a)=E(X)+a=0.2,故C错误； D(X)=(-2)2×0.1+（-1)2×0.2+02×0.4+12×0.2+22×0.1=1.2,故D正确： 故选：ABD. 10.假设A,B,C是三个事件，且P(A)>0,P(B)>0,P(C)>0,则下列结论一定成立的是(AD) A.P(AB)≤P(BA) B.P(AB)=P(B)P(A) C.P(BUCA)=P(BA)+P(CA) D.若P(BA)=P(B),则P(AB)=P(A) 解：对A:因为P(AB)=P(A)P(B|A),又0<P(A)≤1，所以P(AB)≤P(BA),故选项A正确； 对B:由概率的乘法公式知P(AB)=P(B)P(A|B),故选项B不正确； 对C:当B和C不是互斥事件时，P(BUCA)=P(BA)+P(CA)不成立，故选项C不正确. 对D:由P代BA)=P(B),即PAB=PB),得PB)=PAP(B. P(A) 因此，PAB)=P1B=P(A,即P(AB=PA,故选项D正确。 P(B) 故选：AD 11.己知(x2+x)”=o+a1(2x-1)+a2(2.x-1)+…+a2n(2x-1)2",且存在正整数n,满足a1+2a2+… +2na2m=288,则下列结论正确的是 BD A.n=5 729 B.ao=4096 C.a1+43+a5+…+a2r-1=64 D.(2x一1)+1展开式中二项式系数最大的项为第四项和第五项 解：.(x2+x)”=a0+a1(2x-1)+a2(2x-1)2+…+a2m(2x-1)2",① 对①式两边同时对x求导，得n(x2+x)”-(2x+1)=2[a1+2a(2x-1)+…+2na2m(2x-1)2m-], 令x=1,有n·2"-1.3=2[a1+2a2+…+2na2n]=2×288, 所以n·2-1=2×96=6×2,② 92=21+）>1a*0-2a2 ∴.数列{n2-1}是递增数列，所以方程②有唯一解n=6,故A错误； ∴.(x2+x)=a+a1(2x-1)+a2(2x-1）2+…+a2n(2x-1)m 令x=宁，得（号+号=a,a=器，故B正瑞： 令x=1,得26=a0+a1+a2十十a2m,③ 令x=0,得0=a0-a1+a2-…+a2m,④ ③，④得a+a+a++a1=号=32，故C错误 2 对于D,(2x-1)+1=(2x-1)'展开式有8项，其中二项式系数最大的项为第四项和第五项，故 D正确. 高二数学期中试卷第4页（共8页） 故选BD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12.用0,1,2,3这4个数字，可以组成 个无重复数字的四位奇数. 答案：8 解：AAA=8个 故答案为8 13.42025+5除以9所得余数是 答案：6 解：42025+5=(1+3)2025+4=(C9025+C305×3+C3025×32++C283×32025)+5 =6081+32×(C3025+…+C38×32023) 又6081=9×675+6 所以42025+4除以9所得余数是6 故答案为6. 14.设函数f(x)=e-2,g(x)=3+n3+lnx,若f(m)=g(n),则n-m的最小值为 答素：-子-h3 解：设f(m)=g(m)=t,可得e-2=3+ln3n=t,则有m=lnt+2,n= 3· 设A0=n-m=号-h:-2,则0=学-}， 国为Ar0=写+}>0 所以'(t)在(0，+o∞)单调递增且(3)=0， t (-∞，3) 3 (3,+∞) h'(t) 0 h(t) 极小值 → 所以M0n=h(3)=-号-n3,即n-m的最小值为-号-h3。 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.(1)求值：①C+C3+C+C: ②An-3+A3(n∈N). (2)解关于x的方程：C2=C4 解：(1)①C+C+C第+C9=C4+C+C3+C8+C-1=C-1=69: 2曲”-3解样3≤<4 又n∈N,所以n=3或4 当n=3时，原式=A+A=6+24=30: 当n=4时，原式=A+A=120+120=240: 综上，Am-3十Am3(n∈N)的值为30或240. 高二数学期中试卷第5页（共8页） x∈N (2)由C2=C4得 5x-4∈N x=5x-4或x+(5x-4)=32 解得x=1或x=6. 16.已知函数f(x)=ar+br+c在x=2处取得极值c-16 3 (1)求a,b的值： (2)若f)有极大值 ,求f(x)在[-3,1]上的最大值和最小值。 解：(1)f'(x)=3ax2+b. 由于/)在x=2处取得极值c-白 故有 f'(2)=0, 12a+b=0, 即 f(2)=c-16, 8a+26+c=c-5, 解得a=号，b=-4 此时f)=3x-4r+cf%)=-4=6c+2)(x-2) 令f'(x)=0,解得x=-2,或x=2 当x变化时，f'(x),f(x)的变化情况如表 (-∞，-2) -2 (-2,2) 2 (2,+∞) f'(x) + 0 0 + f(r) 7 极大值 极小值 刀 因此，当x=一2时，f(x)有极大值，当x=2时，f(x)有极小值， 所以a=},b=-4符合超意 2)由(0知f)的极大值为f-2)=c+, 则c+9=登，得c=4. 所以f)=}-4r+4 因为f(x)在(-3，-2)单调递增，在(-2,1)单调递减 此时f-3)=7,f-2)=2Sf0)=} 因此)在[-3，川上的最小值为写，最大值为器。 17.在(@c+左广（其中n∈Ny）的展开式申，前三项的二项式系数之和等于16， (1)求n的值： (2)若展开式中的含x2项的系数为80，试求展开式中系数最大的项 解：()由题意知，展开式中前三项的二项式系数之和为C+C+Cg=1+m+n",》=16, 2 整理可得n2+n-30=0,因为n∈N,解得n=5. 高二数学期中试卷第6页（共8页） 2(r+)的展开式通项为1=Cam-(广=Cttk=01,2)。 令5-3k=2,可得k=2, 所以，展开式中的含x2项为T=C?3·x2=10ax2, 由题意知10a3=80,解得a=2, 2 (方法1)由不等式组 C25-k≥C51.26-k K6-k, C325-≥C+1,24-k→ 解得1≤k≤2 5二k≥k+1 因为k∈N,所以，k=1或2， 因此，展开式中系数最大的项为乃=C24x2=80xV和万=C23,x2=80x2. (方法22+左=(2✉+52r+10(2x(+10-(2()+52x(+() =32xr+80V+80x2+40WF+10+Y 因此，展开式中系数最大的项为T)=80x√和T=80x2. 18.袋子中有5个除颜色外完全相同的小球，其中3个白球，2个黑球.每次从袋子中随机取出1 个球。 (1)若从中随机地连续抽取2次，每次抽取后都放回，设取到黑球的次数为X,求X的分布列和 期望及方差： (2)若每次抽取后不放回，设首次取到黑球时总取球次数为Y,求Y的分布列和期望， 解：)）若每次抽取后都效回，则每次抽取到黑球的概率均为3子2号 取到黑球的次数X的可能取值为0,1,2，由题知X~B(2,),可得 Px=0=C8x(层x1-号=多 Px=D=Cx号x(1-号)=是 PX=2)=CSx(层×1-号)'=费 则随机变量X的分布列为： X 0 1 2 4 25 25 25 期塑E6)=即=2×号=专，方差DX)=m1-D)=2×号×}-是 (2)若每次抽取后不放回，则首次取到黑球时总取球次数Y的可能取值为1,2,3,4 Y=)-号=到=装=品=)=袋=5=到== A A 则随机变量Y的分布列为： 1 2 4 P 2 3 10 5 10 期塑Bm=1×号+2×音+3×分+4X0=2, 高二数学期中试卷第7页（共8页） 19.已知函数f(x)=xe+2lnx (1)求曲线f(x)在(1，f1)处的切线方程： (2)判断函数f(x)的零点个数，并说明理由： (3)若对任意的x∈(0，+o∞)，xe一2lnx-x≥2恒成立，求满足条件的整数k的最大值. 解：（①）f()=(c+10e+21-ln) x2 所以f(1)=2(e+1),f)=1e+2n1=e 1 所以切线方程为：y-e=(2e+2)(x-1),即(2e+2)x-y-e-2=0: (2)根据了()=x+1e+, 可知对任意的x∈(0,1)，f'(x)>0,因此f(x)在区间(0,1)上为增函数， 又f日)=e2c<0,0)=e≥0， e 因此f(日)/（①）<0，即f)在区间(0,1)上恰有一个零点， 又f(x)=xe+21nx>0在(1，+∞)上恒成立，故在(1，+0)上无零点， 综上，f(x)在定义域(0，+o∞)上存在唯一零，点. (3)已知条件等价于对任意的xe(0,+o,c-20nx+D≥k恒成立 令F=e-20nr+D,则k≤F r6y=e-2-2anr+)=e+2 x-f(x) x 由(2)可知F'(x)在定义域上存在唯一零点x∈(0,1)， 且x∈(0，xo)时F'(x)<0,x∈(xo,+∞)时F'(x)>0, 所以F(x)在(0，x)上单调递减，在(，+∞)上单调递增， 所以F(x)an=F(o)=e- 2(Inxo+1)xoe*o-2(Inxo+1) 老 则F(x)<F(1)=e-2<1 设g(x)=e-x-1,则g(x)=e-1, 令g(x)=0得x=0,列表如下： x (-∞，0) 0 (0,+∞) g'(x) 0 + g(x) 极小值0 所以g(x)≥0，即e≥x+1,当且仅当x=0取等号 从而x≥lnx+1,即nx≤x-l,当且仅当x=1取等号 所以xe-2(Ino+1）=e+no-2(Inxo+1)>(xo+lnxo+1)-2(nxo+1)=x-lnx-1>0 所以F(x)mim=F(xo)∈(0,1) 因此满足条件的整数k的最大值为0 高二数学期中试卷第8页（共8页）2024一2025学年度第二学期期中考试 高二数学试卷 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题 目要求的， 1.下列导数运算正确的是 () A.(cosx)'=sinx B()=2 C.(logx)=1 D.(xe)'=(x2+x3)e xln2 2.已知正态分布N(2,)的正态密度曲线如图所示，X~N(2,σ2)，则下列选项中，不能表示图中 阴影部分面积的是 () A-PX≤1 B.7-PX≥3) C.7-p1≤X≤2) D.2PX>1)-PX≥3) 3.函数f(x)的图象如图所示，下列数值排序正确的是 A.f(3)-f(2)<f'(2)<f'(3)<0 B.f'(2)<f(3)-f(2)<f"(3)<0 C.f'(3)<f3)-f(2)<f"(2)<0 D.f'(2)<f'(3)<f(3)-f(2)<0 0123x 4.函数f)=)2-4x的单调递减区间为 () A.(02] B.[-2,2] C.(0,4] D.[-4,4] 5.高二某班共有50个学生，其中有3个学生的生日在四月份，从中随机抽取10个学生参加问卷 调查，则抽取的10个学生中至少有1个学生的生日在四月份的概率为 () A.1-C,C9 B.CC+CoCis+CoCi C50 C30 C.ClC+Cicis+cich D C3C3+C3C+C3CI C5o C 6.如图，在A,B间有五个焊接点1,2,3,4,5，若焊接点脱落导致断路，则电路不通.今发现A,B之 间电路不通，则焊接点脱落的不同情况有 () 2 A.25种 B.27种 3 C.29种 4 D.31种 7.设有两个罐子，A罐中放有3个白球，1个黑球，B罐中放有4个白球，这些球的大小与质地相同. 现在从两个罐子中各摸1个球并交换，则这样交换2次后，黑球还在A罐中的概率为() A分 B C. D.i 8如图，己知正四面体ABCD的顶点处有一只蚂蚁，蚂蚁每次会随机地沿一条棱向相邻的某个顶 高二数学期中试卷第1页（共4页） 点移动，且向每个顶点移动的概率相同，从一个顶点沿一条棱移动到相邻顶点称为移动一次， 若蚂蚁的初始位置位于点A处，则该蚂蚁移动5次后仍在底面ABC上的概率为 () A司 D B.27 0 c D器 的 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全 部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9.已知随机变量X的分布列如下： X -2 -1 0 1 2 力 0.1 a 0.4 0.2 b 若E(X)=0,则以下结论中正确的是 A.a=0.2 B.b=0.1 C.E(X+a)=0 D.D(X)=1.2 10.假设A,B,C是三个事件，且P(A)>0,P(B)>0,P(C)>0,则下列结论一定成立的是( A.P(AB)≤P(BA) B.P(AB)=P(B)P(A) C.P(BUCA)=P(BA)+P(CA) D.若P(BA)=P(B),则P(AB)=P(A) 11.已知(x2+x)”=ao十a1(2x-1)+a2(2x-1)2+…+a2m(2x-1)2,且存在正整数n,满足a1十2a2+.… +2na2m=288,则下列结论正确的是 A.n=5 B=说 C.a1+a3+a45+…+a2m-1=64 D.(2x-1)+展开式中二项式系数最大的项为第四项和第五项 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12.用0,1,2,3这4个数字，可以组成个无重复数字的四位奇数. 13.42025+5除以9所得余数是 14.设函数f(x)=ex2,g(x)=3+ln3+lnx,若f(m)=g(n),则n-m的最小值为 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.(1)求值：①C+C+C8+C: ②Am-3+A3(n∈N)· (2)解关于x的方程：C2=C毁4. 高二数学期中试卷第2页（共4页） 16.已知函数f(x)=ax+bx+c在x=2处取得极值c-1 3. (1)求a,b的值： (2)若f)有极大值8，求f)在[-3，刂上的最大值和最小值. 17.在(@+)广（其中n∈Ny)的展开式中，前三项的二项式系数之和等于16. (1)求n的值： (2)若展开式中的含x2项的系数为80，试求展开式中系数最大的项. 高二数学期中试卷第3页（共4页）》 18.袋子中有5个除颜色外完全相同的小球，其中3个白球，2个黑球.每次从袋子中随机取出1 个球 (1)若从中随机地连续抽取2次，每次抽取后都放回，设取到黑球的次数为X,求X的分布列和 期望及方差： (2)若每次抽取后不放回，设首次取到黑球时总取球次数为Y,求Y的分布列和期望. 19.已知函数f(x)=xe+2lnr (1)求曲线f(x)在(1，f(1)处的切线方程； (2)判断函数f(x)的零点个数，并说明理由； (3)若对任意的x∈(0，+o∞)，xe-2lnx-x≥2恒成立，求满足条件的整数k的最大值. 高二数学期中试卷第4页（共4页）