2026届高考数学考前冲刺四套卷：精准提分卷（四）

**基本信息** 聚焦2026年模考联考中档题，通过卡壳点重复训练将“差一点就对了”的题目转化为稳定得分点，适配三轮冲刺巩固需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|单选8题40分、多选3题18分|排列组合（名额分配）、数列（等差等比求和）、函数导数（切线问题）、立体几何（重心性质）|多选设计考查推理意识，如第9题结合重心与三角形构成，体现数学思维的严谨性| |填空题|3题15分|椭圆（重心与斜率）、三棱台（侧棱与底面夹角）、曲线最短距离|第12题以椭圆重心为情境，考查几何直观与运算能力，体现数学眼光| |解答题|5题77分|解三角形、立体几何（面面夹角）、概率统计（正态分布与分布列）、解析几何（轨迹方程与定值）、函数导数（恒成立问题）|第17题结合车速正态分布数据，培养数据意识；第18题轨迹方程与定值证明，强化模型观念，贴合真题命题趋势|

注意事项： 1. 本卷所有题目来自2026年5月全国卷地区模考、联考，专攻会但不熟、有思路但常卡壳的中档题. 2. 完成后可对照参考答案，重点关注解析中用括号标注的易卡壳步骤，需要理解卡点原因并做好记录. 3. 本卷不涉及压轴难题.核心目标是通过对卡壳点的重复训练，将“差一点就对了”的中档题转化为稳定得分点. 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 某中学要在五一假期期间组织学生参加爱国主义教育活动，需要挑选名志愿者. 个志愿者名额要分给该校高一年级的八个班，每个班至少一个名额，则名额分配方法有（ 　　） A. 种 B. 种 C. 种 D. 种 2. 设等差数列的首项和公差均为，等比数列的首项和公比也均为，其中. 若数列的前项和与数列的前项和都等于，则（ 　　） A. B. C. D. 3. 已知函数，若，使得的图象在点处的切线与轴平行，则的最小值是（ 　　） A. B. C. D. 4. 已知是等差数列的前项和，. 若，则正整数的最大值为（ 　　） A. B. C. D. 5. 已知函数若函数有个不同的零点，则实数的取值范围是（ 　　） A. B. C. D. 6. 已知双曲线，直线，若直线与双曲线有且仅有一个公共点，则的取值有（ 　　） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 7. 已知在正四棱台中，，若存在一个球与此正四棱台的各个面都相切，则此正四棱台的体积为（ 　　） A. B. C. D. 8. 如果今天是星期一，那么再过天是星期几（ 　　） A. 星期二 B. 星期三 C. 星期四 D. 星期五 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 设的三个内角分别为，重心为，则（ 　　） A. 以的长度为边能构成三角形 B. 以的三条中线的长度为边能构成三角形 C. 以的长度为边能构成三角形 D. 若点到的三边的距离分别为，则以的长度为边能构成三角形 10. 记为等差数列的前项和，若，则（ 　　） A. B. C. 数列为等比数列 D. 数列的前项和为 11. 已知复数满足，则下列说法正确的是（ 　　） A. B. C. 若，则 D. 若，则 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知椭圆的上顶点为，直线交椭圆于，两点. 若的重心坐标为，则直线的斜率为_______. 13. 已知一个正三棱台的上、下底面的边长分别为，，高为，则该三棱台的侧棱与底面所成角的正切值为________. 14. 曲线上的点到直线的最短距离为________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 中，为边上一点，且. 若，求的长. 16. 在四棱锥中，平面平面，为正三角形，四边形为矩形，是的中点，且与平面所成角的正弦值为. 求平面与平面夹角的余弦值. 17. 成都市为疏导城市内的交通拥堵问题，现对三环路进行限速，经智能交通管理服务系统观测计算，通过三环路的所有车辆行驶速度近似服从正态分布，通过分析，车速保持在之间，可令道路保持良好的行驶状况，故认为车速在之外的车辆需矫正速度(速度单位：km/h). 某兴趣小组也对该三环路进行了观测，他们于某个时间段内随机对200辆车的速度进行取样，根据测量的数据列出下面表格： 车速 (73, 77] (77, 81] (81, 85] (85, 89] (89, 93] (93, 97] 车辆数 8 25 68 73 19 7 若以该兴趣小组测得数据中的频率视为概率，从该三环路上的所有车辆中任取三辆，记其中需要矫正速度的车辆数为，求的分布列和方差. 18. 已知点是圆上的动点，点在轴上的射影为，点满足，记动点的轨迹为. （1）求的方程； （2）若斜率为的直线与轴交于点，与交于两点，证明：为定值. 19. 已知函数，其中. 若恒成立，求的取值范围. 第 2 页，共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 参考答案 答案速查表 1 2 3 4 5 B A B C A 6 7 8 9 10 B A D ABD BCD 11 12 13 14 15 ABC 16 17 18 19 分布列见解析；方差为 （1） ；（2） 证明见解析 逐题来源 本卷题号 试题来源 原卷题号 1 2026·河南华大新高考联盟·5月联考 1-5 2 2026·河南华大新高考联盟·5月联考 1-6 3 2026·湖北鄂东南联盟·5月模考 2-7 4 2026·湖南邵阳·第三次联考 3-6 5 2026·湖南邵阳·第三次联考 3-8 6 2026·辽宁沈阳二中·5月三模 4-4 7 2026·四川成都石室中学·5月适应性考试（一） 5-7 8 2026·云南曲靖一中·七次质检 6-6 9 2026·河南华大新高考联盟·5月联考 1-10 10 2026·四川成都石室中学·5月适应性考试（一） 5-9 11 2026·云南曲靖一中·七次质检 6-10 12 2026·湖北鄂东南联盟·5月模考 2-13 13 2026·辽宁沈阳二中·5月三模 4-12 14 2026·四川成都石室中学·5月适应性考试（一） 5-13 15 2026·湖北鄂东南联盟·5月模考 2-15（2） 16 2026·四川成都石室中学·5月适应性考试（一） 5-16（2） 17 2026·四川成都石室中学·5月适应性考试（一） 5-17（2） 18 2026·云南曲靖一中·七次质检 6-16（2） 19 2026·湖北鄂东南联盟·5月模考 2-17（2） 第一部分（选择题 共58分） 一、单选题 1. B ∵个名额为相同元素，可用隔板法 （卡点：隔板法模型识别），个相同元素分为组，即将个隔板插入个空，. 2. A 依题意可知，，，显然，又，则 （卡点：列出代数方程并求解）. 又，故，∴，解得，∴. 3. B 当时，，若的图象在点处的切线与轴平行，则点为的最高点或最低点 （卡点：切线与x轴平行转化为极值点相位条件），由，要使得最小，则或，分别解得或，由，故的最小值是. 4. C 由等差数列的性质，，又，即 （卡点：利用S_n差值判断正负项分界点），∴，即公差.要使，由，而，故正整数的最大值为. 5. A 由题意作出的大致图象如下，设，则关于的方程有个不同的根和，且关于的方程分别有个不同的根. 不妨设，易知关于的方程的判别式.（1）若，则，∴，且即 （卡点：结合判别式与根的分布范围限定参数） 得；（2）若，则，此时，符合题意，故，选A. 6. B 直线 恒过定点 . 双曲线 的渐近线方程为 . 当直线 与渐近线平行时，即 ，此时直线与双曲线各仅有一个公共点 （易错：判别式分析中易忽略渐近线平行的情况）；当直线与渐近线不平行时，联立 与 ，得 ，令 ，化简解得 . 故 的取值有 共 个. 7. A 如图1，取的中点，设上底面与球相切的点为，则平面为一个含内切圆的等腰梯形截面图如图2. ∵等腰梯形有内切圆的充要条件为上底下底两腰之和，，∴，∴梯形的高 （卡点：内切球半径与梯形高的几何转化），此时梯形的高即为正四棱台的高. 又∵正四棱台的体积，为上底面的面积，，为下底面的面积，，∴. 8. D ∵ （卡点：底数分解与二项展开分离可整除部分），由能被整除，则上式前项都能被整除，只需看最后一项除以的余数，由，则除以的余数为，∴今天是星期一，再过天，是星期五. 二、多选题 9. ABD 由正弦定理可知，，∴以的长度为边能构成三角形，故A正确；设三条中线分别为，则有，∵，∴，即三个向量可构成闭合回路 （卡点：边长比例转化为向量闭合回路），∴以的三条中线的长度为边能构成三角形，故B正确；显然当时，，故C错误；∵，∴，∴，∴以的长度为边能构成三角形，故D正确. 10. BCD 设等差数列的公差为. 由题意可得，解得∴. 对于A，，故A错误；对于B，∵，∴，故B正确；对于C，∵，∴. ∵ （卡点：提取子数列并发现其等比特征），∴数列为等比数列，故C正确；对于D，∵，∴，∴数列的前项和为，故D正确. 11. ABC 设，则复数在复平面内对应点，设，则，同理，∴ （卡点：将复数代数式转化为椭圆几何意义），即点的轨迹为椭圆，且椭圆长半轴，焦半径，∴短半轴，∴点的轨迹方程为：，A选项：，A选项正确；B选项：，B选项正确；C选项：若，即，令，则，∴，C选项正确；D选项：，若，则或，当时，，此时；当时，，此时，D选项错误. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题 12. 由题意可得，设、，满足，作差得，即，整理得，由的重心坐标为，则， （卡点：点差法联立重心坐标设而不求），即，，则，即，故直线的斜率为. 13. 正三棱台上底边长为，下底边长为，高.设上底面中心为，下底面中心为，则.设侧棱为，在下底面的投影为，上底面中心到顶点的距离为外接圆半径.下底面中心到顶点的距离为外接圆半径 （卡点：棱台侧面高与底面投影的关系）.侧棱在底面上的投影长度为.∴侧棱与底面所成角的正切值为. 14. 曲线上的点到直线的最短距离为曲线上平行于直线的切线与该直线间的距离，即相应切点到直线的距离 （卡点：平行切线距离转化为曲线到直线的距离最值）. 由，得，∴直线的斜率为. 由，得. 令，得. 又，∴曲线上平行于直线的切线相应的切点为. ∵点到直线的距离为，∴曲线上的点到直线的最短距离为. 四、解答题 15. 由，得，∴，∵，，∴ （卡点：结合正弦定理面积比与余弦定理进行方程联立），设，则，由余弦定理得，，即 ①， ②，∵，∴，∴由①②可得，解得，∴. 16. 如图，取的中点，连接，则. ∵平面平面，平面平面平面，∴平面. 以为原点，过点平行于的直线为轴，为轴建立如图所示的空间直角坐标系. 设，则，，则，. 设平面的一个法向量为. ∵与平面所成角的正弦值为，∴，解得(负值已舍去). ，设平面的一个法向量为，则 令，得 （易错：坐标设置与法向量计算过程中的正负号），∴. ，设平面的一个法向量为，则 令，得，∴. ∴，∴平面与平面夹角的余弦值为. 17. 分布列见解析；方差为 由题意可知，需要矫正速度的车辆数的取值为，且车速在之外的车辆需要矫正速度，∴不需要矫正速度的概率，需要矫正速度的概率. ∵以该兴趣小组测得数据中的频率视为概率，∴ （易错：二项分布概率判别及方差公式应用），∴，的分布列如下： 0 1 2 3 的方差. 18. （1） ；（2） 证明见解析 （1）设，∵为在轴上的射影，∴. 已知，则，可得，即. 又∵在圆上，将代入圆方程得，即，∴的方程为. （2）设直线的方程为，，设. 将代入得：，化简得. 即，由韦达定理得. 根据两点间距离公式，，. ∴ （卡点：韦达定理展开及代数化简过程）. 把代入得：. ∴为定值. 19. ，当时，，当时，，故函数在上单调递减，在上单调递增 （易错：含参导数因式分解与分类讨论标准界定），，由恒成立，得恒成立，则，即，解得，∴的取值范围是. 第 2 页，共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $