2026年高考数学考前冲刺四套卷：压轴观摩卷（四）

**基本信息** 精选2026年模考联考压轴题，聚焦步骤分拆解，助力三轮冲刺中提升数学思维与问题解决能力 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|11题/58分|函数最值（2题）、等比数列（3题）、双曲线性质（9题）|8题正项数列前n项积，考查递推关系转化能力| |填空题|3题/15分|概率（12题）、函数切线（13题）、立体几何体积（14题）|13题过定点作切线求切点横坐标和，体现数学抽象| |解答题|5题/77分|函数单调性（15题）、椭圆轨迹（17题）、概率扩散模型（19题）|19题以AI推荐算法为情境，考查数学建模与数据分析；18题抛物线综合题含3小问，层次递进训练逻辑推理|

参考答案 答案速查表 1 2 3 4 5 C B D B A 6 7 8 9 10 A C D BC ACD 11 12 13 14 15 BCD （1）见解析；（2） 16 17 18 19 （1）证明见解析；（2）（i）证明见解析（ii） （1）；（2）①② （1）；（2）；（3）存在， （1）；（2）；（3）；理由见解析 逐题来源 本卷题号 试题来源 原卷题号 1 2026·河南华大新高考联盟·5月联考 1-7 2 2026·河南华大新高考联盟·5月联考 1-8 3 2026·辽宁沈阳二中·5月三模 4-7 4 2026·四川成都石室中学·5月适应性考试 5-6 5 2026·四川成都石室中学·5月适应性考试 5-8 6 2026·云南曲靖一中·七次质检 6-7 7 2026·云南曲靖一中·七次质检 6-8 8 2026·辽宁沈阳二中·5月三模 4-8 9 2026·河南华大新高考联盟·5月联考 1-11 10 2026·湖南邵阳·第三次联考 3-11 11 2026·四川成都石室中学·5月适应性考试 5-11 12 2026·河南华大新高考联盟·5月联考 1-14 13 2026·辽宁沈阳二中·5月三模 4-14 14 2026·四川成都石室中学·5月适应性考试 5-14 15 2026·辽宁沈阳二中·5月三模 4-17 16 2026·四川成都石室中学·5月适应性考试 5-18 17 2026·河南华大新高考联盟·5月联考 1-19 18 2026·湖北鄂东南联盟·5月模考 2-18 19 2026·湖北鄂东南联盟·5月模考 2-19 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题 1. C 观摩要点：识别函数特征并利用对数不等式放缩. 由不等式，令，则. 2. B 观摩要点：展开括号降幂，利用换元法转为代数函数. ∵， ， ∴. 令，设，则. 当时，，∴的最小值为. 3. D 观摩要点：展开前n项和公式并转化为基本量方程. 设等比数列的首项为，公比为. 已知成等差数列，则. 即 . ∵，∴. 令，则，整理得 . 方程化为，即. 由于，且各项均不为0（若，则），所以 且 . 故，即 . 已知. 由于，所以，得 ，即. 所求. 4. B 观摩要点：根据奇函数及递推关系找出周期并赋值. ∵奇函数满足，∴，即是以4为周期的函数. ∵奇函数的自变量可取，∴. 又∵当时，，∴，则， ∴当时，， ∴. 5. A 观摩要点：移项构造同构函数，利用单调性转化不等式. 由题意可得，. 令，则在上单调递增，， ∴，即在上恒成立. 令，则， ∴在上单调递减，在上单调递增， ∴.∴. 6. A 观摩要点：判断函数的奇偶性并准确画出一个周期的图象. 由题， 在一个周期内，所过5个特殊点对应表格为： 据此可在同一坐标系中画出大致图象如下，由图可得共8个交点. 7. C 观摩要点：利用前n项和求通项，并进行裂项相消放缩. ∵， 当时，；当时，， ∴， ∵满足上式，∴， ∴， ∴，又， ∴，∴.又， 故当对任意的恒成立时，可得， ∴整数的最小值为. 8. D 观摩要点：列举前几项寻找周期或构造辅助数列. 已知正项数列， 为其前 项积，且 . 当 时，，有 ，化简得 ，由于 ，所以 ，. 由 可得 ，即 . 因为 ，代入得 . 因为数列为正项数列，，两边同时约去 ，得 ，所以 ，即 . 这说明数列 是以 为首项，公差为 的等差数列. 所以 . 将 代入 ，得 . 所以 . 二、多选题 9. BC 观摩要点：写出焦点三角形面积公式及结合余弦定理. 当时，，故A错误； 设，当时， 有， ∴的周长为，故B正确； 设，当为钝角时，由余弦定理知， ∵， ∴，故C正确； 由如下引理知内切圆的半径的取值范围是，即，故D错误. 引理 双曲线的焦点三角形的内切圆半径的取值范围是. 证明如下： 如图，点位于第一象限，是双曲线的左、右焦点，设焦点内切圆的圆心为，则圆心在直线上. 设内切圆的半径为，点， 由焦半径公式得，其中. ∴. ∵， 即. ∵点在双曲线上，∴，得. 于是，把代入得 . 易知在上单调递增，且， 由函数的单调性及极限的知识可知. 因此双曲线的焦点三角形的内切圆半径的取值范围是. 10. ACD 观摩要点：作辅助线证明线面垂直，割补法表示体积. 由题知，我们只需重点研究五面体，如图所示. 对于选项A，在五面体中，记. 连接，由， 得，则，又点为的中点，则.又，则. ∵平面，因此平面，又平面，∴. 当时，在中，， 则， 则，故， 又平面， ∴平面，故选项A正确； 对于选项B，连接，由，得，又，则， ，因此该五面体的体积，故选项B不正确； 对于选项C，过作交于点，∵平面，则， 又平面，于是平面，由平面，得， 过作交于点，连接，又平面， 因此平面，而平面，则， ， ∴，故选项C正确. 对于选项D，， 而， 设，， 求导得，由，得；由，得， 函数在上单调递增，在上单调递减， 当时取得最大值，此时取得最大值，五面体的体积取得最大值， ∴当该五面体的体积取到最大值时，，故选项D正确. 11. BCD 观摩要点：写出抛物线定义距离转化，设出切线方程. 对于A，∵抛物线的焦点为，∴.抛物线的准线方程为. 如图，过点作抛物线的准线的垂线，垂足为.由抛物线的定义可知，，则，当且仅当三点共线时取等号，故A错误； 对于B，设，过点的切线方程为（切线斜率不为），联立抛物线方程，化简并整理，得.又，∴，，∴，∴过点的切线方程为，即.同理可得，过点的切线方程为.联立得.∵线段的中点的坐标为，∴点的纵坐标相等，故B正确； 对于C，设直线的方程为，联立，化简并整理，得，则.又∵点在直线上，∴，∴，即直线的方程为，则直线过点，故C正确； 对于D，∵三点共线，∴，即直线的方程为，∴点到直线的距离，，∴，当时取最小值为，故D正确. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题 12. 观摩要点：准确定义状态，建立一步状态转移方程. 定义状态表示在停止事件（掷出或）发生之前，已经观察到不同的数字来自集合的个数.设为从状态出发最终成功的概率（即最终在掷出或之前已经收集全个数字）.显然，当时，已经收集全个数字，此后无论掷出什么，只要首次掷出或时即成功，因此. 对于状态，考虑下一次掷骰子的结果，有三种可能： ①掷出数字或（概率为），此时停止，但由于尚未收集全个数字（），因此失败，成功的概率为. ②掷出一个已经出现过的属于的数字（概率为），状态保持不变. ③掷出一个未出现过的属于的新数字（概率为），状态转移到. 因此，从状态出发，最终成功的概率满足方程 ， 化简得，移项得， 即，. 利用，依次计算得 ；； ；. 因此，所求概率为. 13. 观摩要点：对函数求导并写出切线方程的通式，利用对称性与周期性求和. 对函数求导，得 . 设切点坐标为 ，则切线方程为 . 由于切线过点 ，代入方程可得： . 因为 ，消去 得到：. 若 ，则 ，此时等式不成立.故 ，等式两边同除以 ，得到： ，化简得方程 . 我们即需找出该方程在区间 上所有解的和. 令 ，则原方程变形为 ，即 ，进一步写为 . 令 ，由于 ，所以函数 是奇函数，其非零根必定成对出现且关于原点对称. 原定义域对应的 的范围为 ，即 .该区间关于原点完全对称. 在各个周期内研究根的分布发现，所有的根 关于原点对称，故 . 在此范围内， 有 个根；其它正负两侧各有 个完整周期 ，每个开区间各有 个根.两个端点的半个周期内无根. 因此，总根数 个. 由于 ，所以 . 14. 观摩要点：建立空间坐标系，将线段关系转化为轨迹方程. 如图1，在长方体中，平面平面，则.∵点在平面内，，∴在与中，，∴，即.在平面中，以所在直线为轴，以线段的垂直平分线为轴建立平面直角坐标系如图2，则.设.∵，∴，整理得，即，∴点的轨迹是以为圆心，半径为的圆.当点到棱的距离最大时，四棱锥的体积取得最大值，即. 四、解答题 15. （1） 见解析；（2） 观摩要点：即使无法完整求解，也应写出：求导并讨论的正负，确定函数单调性.此部分约可得4分. ▎保底步骤（必写，约4分） ① 由题可得.【1分】 ② 令，则.【2分】 ③ 当时，，此时，，故在上单调递减；【1分】 ▎冲刺步骤（选看） （1）当时，，记两根为，， 此时，，则两根均为负，得， 故在上单调递减； 当时，，此时，，则两根均为正，且， 故或时，，在、上单调递减， 时，，在上单调递增， 综上，当时，在上单调递减； 当时，在，上单调递减， 在上单调递增. （2）注意到.若，则在上单调递减， 当时，，当时，，∴成立当且仅当，结论成立； 若，，，在上单调递增，从而有，， 时，，由零点存在定理，知，使得， 当时，，当时，，当时，， 故不存在满足条件的区间. 综上，的取值范围为. 16. （1） 证明见解析；（2） （i）证明见解析（ii） 观摩要点：即使无法完整求解，也应写出：求导分析极值点位置，将极值点条件化简并代入.此部分约可得5分. ▎保底步骤（必写，约5分） ① （1）中∵，∴.【1分】 ② 令，得.当时，单调递减，，∴存在使得.【2分】 ③ （2）（i）∵函数，∴.令，得，对满足方程的有，∴.【2分】 ▎冲刺步骤（选看） （1）接保底步骤②：所以当时，；当时，， ∴在上单调递增，在上单调递减，即有极大值点. （2）（i）由函数与函数的图象可知，此方程一定有解， 故的一个极值点满足. ∴. （ii）∵为的一个极值点，∴， ∴. 令. ∵，∴. 记，即. 令， 当时，在上单调递增，在上单调递增，，符合题意. 当时，在上单调递减，在上单调递增. ∵， ∴当时，在上单调递减，，不符合题意. 综上所述，实数的取值范围为. 17. （1） ；（2） ① ② 观摩要点：即使无法完整求解，也应写出：求出椭圆的标准方程，设出直线方程并与椭圆联立.此部分约可得6分. ▎保底步骤（必写，约6分） ① 由题意可得【3分】 ② ∴椭圆的方程为.【1分】 ③ （2）①设直线与直线的斜率分别为，则.设点的坐标为，则.【2分】 ▎冲刺步骤（选看） （2）① 代入坐标，即，化简得. ∴点的轨迹方程为. ②（方法一）设，. 联立， 则. 联立， 则. ∴. 同理可得. 设与的夹角为，∵与的方向向量分别为， ∴， ∴. 设四边形的面积为， 则. ∵，∴. 令，则， 则. 令，则，化简得. 当时，；当时，. ∴四边形面积的取值范围是. 18. （1） ；（2） ；（3） 存在， 观摩要点：即使无法完整求解，也应写出：求导数得切线进而求出参数，设直线方程并联立韦达定理.此部分约可得4分. ▎保底步骤（必写，约4分） ① ∵，∴，∵，∴在点处，切线斜率，∴切线方程为，即.【2分】 ② 设，则有，∴此切线与轴的交点为，设，则有，∴此切线与轴的交点为.∴此切线与坐标轴围成的三角形的面积为，∴.【2分】 ▎冲刺步骤（选看） （2）∵，∴， 设是不同的三点，∴， ， ∵，∴，∴， 将整理为关于的方程为， ∵抛物线上存在两点，使得， ∴关于的方程有解， ，即， 解得或，故点的横坐标的取值范围为. （3）抛物线向下平移一个单位长度得到抛物线， 则的方程为，即， 当时，，又在轴左侧，则， 过点的直线，就是过点作直线， 因为直线与抛物线交于两点，则直线存在斜率， 设直线的方程为， 因为直线与轴交于点，且点在轴左侧，所以， 当时，，解得，则， 联立直线与抛物线，即，消去， 得到关于的一元二次方程，即， 设，因为在轴左侧，所以， 则有， ∵，，∴， ∴直线的方程为， ∵，∴， ∴直线的方程为， 联立直线和直线，即， 消去，得到，解得， ∵，∴，， 将代入，解得， 则， 假设存在定点，又， ，， ∵，∴， ∴， ①， 要使为定值，则①中的的系数，即， 此时， 要使为定值，则有 ， 由解得，解得，即， 此时， 故在平面内存在一定点，使得为定值，此时点的坐标为. 19. （1） ；（2） ；（3） ；理由见解析 观摩要点：对于概率扩散模型，第一问直接套用二项分布期望公式；第二问利用二项展开式的奇偶项求和技巧构造概率. ▎保底步骤（必写，约4分） ① 设表示第一天结束时，被成功激活的用户人数，则.【2分】 ② 由二项分布的期望公式得；【2分】 ▎冲刺步骤（选看） （2）由（1）可知，考虑二项展开： ， ， 两式相加，， 当为偶数时，；当为奇数时，. 则两式相加后，奇数项和为，只剩偶数项两倍， 设第一天结束时，被成功激活的用户人数为偶数的概率为， ∴，故； （3）情形一：甲被推送的概率是，两天后用户甲是激活用户有两种情形： ①第一天被成功激活，概率为； ②第一天未被成功激活，概率为，且第二天被成功激活， 若甲第二天被成功激活，则第一天另一位初始被推送者乙一定被成功激活， 乙作为激活用户尝试激活用户甲， 甲被成功激活的概率为， 故甲在第一天未被成功激活，第二天被成功激活的概率为， 因此，在甲是初始被推送的两人之一的条件下，两天后用户甲是激活用户的概率为：； 情形二：若甲不是初始被推送的两人，其概率为，两天后用户甲是激活用户有两种情形： ①第一天有1人被成功激活，再由此人成功激活甲，概率为：； ②第一天有2人被成功激活，甲在第二天被成功激活，概率为：， 因此，在甲不是初始被推送的两人的条件下，两天后用户甲是激活用户的概率为：； 综上，两天后用户甲是激活用户的概率为：. 爆发式流量暴涨的原因：随着被成功激活的人数增加，每天尝试对未激活用户进行推荐触达的人数增大，使得非激活用户被影响的概率迅速提高，传播速度急剧加快，导致流量暴涨. 第 2 页，共 17 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 注意事项： 1. 本卷所有题目来自2026年5月全国卷地区模考、联考，选取难度在当前水平之上的压轴题.目标是学会拆解得分步骤，在无法完整求解的情况下，稳定获取步骤分. 2. 建议先独立思考，尝试写出自己能写到的步骤，再对照参考答案.重点关注参考答案中拆解出的保底步骤，圈出得分点. 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若，则（ 　　） A. B. C. D. 2. 函数的最小值为（ 　　） A. B. C. D. 3. 已知等比数列的公比，前项和为，且，，成等差数列，若，则（ 　　） A. B. C. D. 4. 已知奇函数满足，当时，，则（ 　　） A. B. C. D. 5. 若不等式恒成立，则的取值范围为（ 　　） A. B. C. D. 6. 函数与图象的交点个数为（ 　　） A. B. C. D. 7. 已知数列的前项和，数列的前项和为，若对任意的恒成立，则整数的最小值为（ 　　） A. B. C. D. 8. 正项数列的前项积为，且，则（ 　　） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知双曲线的左、右焦点分别为，点在双曲线的右支上，且，则（ 　　） A. 当时，的面积为 B. 当时，的周长为 C. 当为钝角时， D. 内切圆的半径的取值范围是 10. 如图，已知在三棱柱中，，点分别在棱上，且，，，，，为棱的中点. 下列说法正确的是（ 　　） A. 若，则平面 B. 五面体的体积为三棱锥的体积的倍 C. 若，则 D. 若，则当 时，五面体的体积有最大值 11. 已知点为抛物线的焦点，点分别为抛物线上两点，过两点分别作抛物线的切线，两条切线相交于点，设线段的中点为，则下列说法正确的是（ 　　） A. 若点，则的最小值为 B. 点与点的纵坐标相等 C. 若点在直线上，则直线过点 D. 若三点共线，则的面积的最小值为 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 投掷一枚质地均匀的骰子，直到掷出数字或为止，则在掷出或之前，数字每个都至少出现一次的概率为__________. 13. 已知函数，其中，.过点作函数图像的切线,令各切点的横坐标构成数列.则数列的所有项之和的值为______. 14. 在长方体中，为棱的中点，动点在平面内，且满足，则四棱锥的体积的最大值为__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知函数. （1）讨论的单调性； （2）若存在正实数，使得成立当且仅当，求的取值范围. 16. 设函数. （1） 证明：在区间上存在极值点； （2） 已知为的一个极值点， （i）证明：； （ii）若，求实数的取值范围. 17. 已知椭圆的左、右焦点分别为，点在椭圆上且的周长为. （1）求椭圆的方程. （2）设过点的直线与椭圆交于两点，过点的直线与椭圆交于两点，与的交点为，且与的斜率之积为. ①求点的轨迹方程； ②求四边形面积的取值范围. 18. 已知抛物线在点处的切线与坐标轴所围成的三角形的面积为. （1） 求的值； （2） 若抛物线上存在两点，使得，求点的横坐标的取值范围； （3） 将抛物线向下平移一个单位长度得到抛物线，是抛物线与轴的交点，过点作直线与抛物线交于两点，与轴交于点，其中点均在轴左侧，直线与交于点. 问在平面内是否存在一定点，使得为定值？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由. 19. 某互联网大数据实验室为研究短视频平台AI智能推荐算法的内容传播规律，建立如下概率扩散模型：科研人员选定名平台用户作为研究样本. 每名用户被内容打动并产生互动传播的“基础易感性”参数均为常数. 内容传播按天数逐级扩散，传播规则如下： ①第一天（冷启动推荐阶段）：AI系统从名用户中随机选取名用户进行初始定向推送，每名被推送的用户主动点赞并参与传播（称为激活用户）的概率均为，且各用户是否被激活相互独立. ②第二天及以后（社交扩散推荐阶段）：每一天，所有已激活用户都会通过AI协同推荐，对所有未激活用户（即名用户中还未被激活的）进行二次流量触达. 任一未激活用户只要被成功激活，就会转为激活用户，并继续参与下一轮传播. 已知：若某一天有个激活用户同时对同一未激活用户进行推荐触达，则此用户当天被成功激活的概率为：. （1） 求第一天结束时，被成功激活的用户人数的数学期望； （2） 求第一天结束时，被成功激活的用户人数为偶数的概率； （3） 若取，求两天后用户甲是激活用户的概率（用含的代数式表示）；并结合该概率模型，简要说明为什么AI推荐平台上的部分短视频会出现爆发式流量暴涨的现象. 第 2 页，共 17 页 学科网（北京）股份有限公司 $