2026年高考数学考前冲刺四套卷：专题狙击卷（四）

**基本信息** 聚焦2026全国卷模考联考真题，按六大专题系统整合，标注考法类型并附专题考情，助力三轮冲刺阶段核心解法掌握与解题框架构建 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择填空|约29题|函数奇偶性周期性、圆锥曲线蒙日圆、立体几何外接球、概率马尔可夫链、数列裂项放缩|立足基础性质，突出数学眼光的几何直观与抽象能力| |解答题|8题|导数极值点偏移、抛物线切线综合、折叠模型空间向量、解三角形面积与中线最值|强调数学思维的逻辑推理与数学语言的模型应用，适配高考综合题命题趋势|

注意事项： 1. 本卷所有题目来自2026年5月全国卷地区模考、联考，按六大专题组织.每道题题号后标注考法类型，帮助在做题中掌握核心解法并感知命题特点. 2. 每个专题开头的“本专题考情”简要说明该专题在题库中的考查情况.建议先阅读考情，明确训练重点. 3. 建议逐题完成后，对比同考点内不同考法的题目在解法、设问上的异同，总结每类考法的通用解法. 4. 完成本卷后，应能熟练运用各模块的核心解法，并对常见的考法类型形成清晰的解题框架. 专题一：函数与导数 本专题考情：函数与导数考查了奇偶性周期性、图象交点、三次函数、切线问题、分段函数最值、同构法与极值点偏移，涵盖了从基础性质到综合压轴的各个层面，选填以单调性最值为主，解答题聚焦于极值点偏移证明. 考点1：函数的概念与性质 1. 已知奇函数满足，当时，，则（ 　　） A. B. C. D. 2. 函数与图象的交点个数为（ 　　） A. B. C. D. 考点2：导数与函数的单调性、极值与最值 3. 已知函数在上是增函数，在上是减函数，且方程有实数根，则（ 　　） A. B. C. D. 4. 已知直线与曲线和都相切，则直线的方程为_______. 5. 已知函数若存在最大值，则实数的最大值为_________. 考点3：导数的综合应用 6. 若不等式恒成立，则的取值范围为（ 　　） A. B. C. D. 7. 若，则（ 　　） A. B. C. D. 8. 设函数. （1） 证明：在区间上存在极值点； （2） 已知为的一个极值点， （i）证明：； （ii）若，求实数的取值范围. 专题二：解析几何 本专题考情：解析几何重点考查了圆锥曲线的几何性质、离心率及方程求解，同时涉及了斜率积定值、抛物线切线与弦中垂线等综合性问题，选填题侧重新定义与几何直观，解答题突出代数推演. 考点1：圆锥曲线的定义、方程与性质 9. 数学家加斯帕尔·蒙日在研究圆锥曲线时发现：椭圆任意两条互相垂直的切线的交点都在以原点为圆心，为半径的圆上，这个圆被称为该椭圆的蒙日圆. 已知椭圆可以与边长为的正方形的四条边均相切，则（ 　　） A. 椭圆的离心率为 B. 若一个矩形的四条边均与椭圆相切，则该矩形面积的最大值为 C. 若，为椭圆的蒙日圆上任意一点，则直线的斜率的取值范围为 D. 若为椭圆的蒙日圆上任意一点，且点到直线与到直线的距离之和与点的位置无关，则的取值范围是 10. 已知双曲线的左、右焦点分别为，点在双曲线的右支上，且，则（ 　　） A. 当时，的面积为 B. 当时，的周长为 C. 当为钝角时， D. 内切圆的半径的取值范围是 11. 在平面直角坐标系中，已知椭圆的上、下顶点分别为，，右焦点为,线段的延长线与交于点，若，则的离心率为__. 考点2：直线与圆锥曲线的位置关系 12. 已知双曲线，直线，若直线与双曲线有且仅有一个公共点，则的取值有（ 　　） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 13. 已知椭圆的上顶点为，直线交椭圆于，两点. 若的重心坐标为，则直线的斜率为________. 14. 已知过原点的直线与双曲线交于两点，点在第一象限且与点关于轴对称，，直线与双曲线的右支交于点，若，则双曲线的离心率为________. 考点3：圆锥曲线的综合问题 15. 已知点为抛物线的焦点，点分别为抛物线上两点，过两点分别作抛物线的切线，两条切线相交于点，设线段的中点为，则下列说法正确的是（ 　　） A. 若点，则的最小值为 B. 点与点的纵坐标相等 C. 若点在直线上，则直线过点 D. 若三点共线，则的面积的最小值为 16. 过抛物线(为不等于2的质数)的焦点，作与轴不垂直的直线交抛物线于两点，线段的垂直平分线交于点，交轴于点. （1）若直线的斜率为，求； （2）求中点的轨迹的方程； 专题三：立体几何 本专题考情：立体几何主要考查了多面体的外接球与内切球、空间角的计算以及折叠模型的空间向量应用，同时涉及到阿波罗尼斯圆的轨迹最值问题，兼顾了几何直观与空间向量代数方法. 考点1：空间几何体及其表面积与体积 17. 已知在正四棱台中，，若存在一个球与此正四棱台的各个面都相切，则此正四棱台的体积为（ 　　） A. B. C. D. 18. 如图，该八面体的棱长均为，且六边形为正六边形，则（ 　　） A. 平面平面 B. 四边形是正方形 C. 该八面体的体积为 D. 该八面体外接球的体积为 考点2：空间点、线、面的位置关系 19. 已知一个正三棱台的上、下底面的边长分别为，，高为，则该三棱台的侧棱与底面所成角的正切值为________. 考点3：空间向量与立体几何 20. 已知正方体中，，为的中点，为正方形内的一个动点（含边界），且，则的最小值为（ 　　） A. B. C. D. 21. 在长方体中，为棱的中点，动点在平面内，且满足，则四棱锥的体积的最大值为________. 22. 如图1，等腰直角的斜边，为的中点，沿边上的高折叠，使得二面角为，如图2所示，设为的中点. （1）证明：平面. （2）求平面和平面的夹角的余弦值. 专题四：概率统计 本专题考情：概率统计涵盖了排列组合的名额分配模型、二项分布的应用与马尔可夫链状态转移的概率递推，题目多结合实际情境，重点考查了离散型随机变量的分布列与数字特征. 考点1：排列组合与计数原理 23. 某中学要在五一假期期间组织学生参加爱国主义教育活动，需要挑选名志愿者. 个志愿者名额要分给该校高一年级的八个班，每个班至少一个名额，则名额分配方法有（ 　　） A. 种 B. 种 C. 种 D. 种 考点2：概率与随机变量分布 24. 投掷一枚质地均匀的骰子，直到掷出数字或为止，则在掷出或之前，数字每个都至少出现一次的概率为________. 25. 成都市为疏导城市内的交通拥堵问题，现对三环路进行限速，经智能交通管理服务系统观测计算，通过三环路的所有车辆行驶速度近似服从正态分布，通过分析，车速保持在之间，可令道路保持良好的行驶状况，故认为车速在之外的车辆需矫正速度(速度单位：km/h). （2） 某兴趣小组也对该三环路进行了观测，他们于某个时间段内随机对200辆车的速度进行取样，根据测量的数据列出下面表格： 车速 (73, 77] (77, 81] (81, 85] (85, 89] (89, 93] (93, 97] 车辆数 8 25 68 73 19 7 若以该兴趣小组测得数据中的频率视为概率，从该三环路上的所有车辆中任取三辆，记其中需要矫正速度的车辆数为，求的分布列和方差. 26. 某互联网大数据实验室为研究短视频平台AI智能推荐算法的内容传播规律，建立如下概率扩散模型：科研人员选定名平台用户作为研究样本. 每名用户被内容打动并产生互动传播的“基础易感性”参数均为常数. 内容传播按天数逐级扩散，传播规则如下： ①第一天（冷启动推荐阶段）：AI系统从名用户中随机选取名用户进行初始定向推送，每名被推送的用户主动点赞并参与传播（称为激活用户）的概率均为，且各用户是否被激活相互独立. ②第二天及以后（社交扩散推荐阶段）：每一天，所有已激活用户都会通过AI协同推荐，对所有未激活用户（即名用户中还未被激活的）进行二次流量触达. 任一未激活用户只要被成功激活，就会转为激活用户，并继续参与下一轮传播. 已知：若某一天有个激活用户同时对同一未激活用户进行推荐触达，则此用户当天被成功激活的概率为：. （1） 求第一天结束时，被成功激活的用户人数的数学期望； （2） 求第一天结束时，被成功激活的用户人数为偶数的概率； 专题五：数列与不等式 本专题考情：数列与不等式注重基础性质与综合应用的结合，考查了等差等比的基本公式及性质、裂项相消放缩、复杂递推数列的求通项以及基本不等式的最值求解，题型多样且技巧性强. 考点1：等差数列与等比数列 27. 已知是等差数列的前项和，. 若，则正整数的最大值为（ 　　） A. B. C. D. 28. 设等差数列的首项和公差均为，等比数列的首项和公比也均为，其中. 若数列的前项和与数列的前项和都等于，则（ 　　） A. B. C. D. 考点2：数列的通项与求和 29. 已知数列的前项和，数列的前项和为，若对任意的恒成立，则整数的最小值为（ 　　） A. B. C. D. 30. 正项数列的前项积为，且，则（ 　　） A. B. C. D. 31. 已知数列的通项公式为，设集合，的所有非空子集中的最小元素的和为. 若，则实数的取值范围为________. 考点3：基本不等式及其应用 32. 已知，，，则下列结论正确的是（ 　　） A. B. C. D. 专题六：三角函数与解三角形 本专题考情：三角函数与解三角形涉及了恒等变换求值、二次齐次式化简求最值，以及结合正余弦定理、面积法、角平分线定理和导数的解三角形综合问题. 考点1：三角恒等变换与函数性质 33. 已知，则（ 　　） A. B. C. D. 34. 函数的最小值为（ 　　） A. B. C. D. 考点2：解三角形 35. 设的三个内角分别为，重心为，则（ 　　） A. 以的长度为边能构成三角形 B. 以的三条中线的长度为边能构成三角形 C. 以的长度为边能构成三角形 D. 若点到的三边的距离分别为，则以的长度为边能构成三角形 36. 已知的面积为，内角所对的边分别为，且. （1） 求； （2） 若，的角平分线交于点，求线段的长. 37. 在中，分别是角的对边，，且. （1）求. （2）设是线段的中点，在线段上，且. （i）求面积的最小值； （ii）求线段的长度的最小值. 第 2 页，共 17 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 参考答案 答案速查表 1 2 3 4 5 B A ABD 6 7 8 9 10 A C （1）证明见解析；（2）（i）证明见解析；（ii） BCD BC 11 12 13 14 15 B BCD 16 17 18 19 20 （1）；（2） A ABD A 21 22 23 24 25 （1）证明见解析；（2） B 分布列见解析；方差为 26 27 28 29 30 （1）；（2） C A C D 31 32 33 34 35 ABD D B ABD 36 37 （1）；（2） （1）；（2）（i）；（ii） 逐题来源表 本卷题号 试题来源 原卷题号 1 2026·四川成都石室中学·5月适应性考试（一） 5-6 2 2026·云南曲靖一中·七次质检 6-7 3 2026·湖北鄂东南联盟·5月模考 2-10 4 2026·河南华大新高考联盟·5月联考 1-13 5 2026·湖南邵阳·第三次联考 3-14 6 2026·四川成都石室中学·5月适应性考试（一） 5-8 7 2026·河南华大新高考联盟·5月联考 1-7 8 2026·四川成都石室中学·5月适应性考试（一） 5-18 9 2026·湖南邵阳·第三次联考 3-10 10 2026·河南华大新高考联盟·5月联考 1-11 11 2026·辽宁沈阳二中·5月三模 4-13 12 2026·辽宁沈阳二中·5月三模 4-4 13 2026·湖北鄂东南联盟·5月模考 2-13 14 2026·云南曲靖一中·七次质检 6-14 15 2026·四川成都石室中学·5月适应性考试（一） 5-11 16 2026·辽宁沈阳二中·5月三模 4-19 17 2026·四川成都石室中学·5月适应性考试（一） 5-7 18 2026·云南曲靖一中·七次质检 6-11 19 2026·辽宁沈阳二中·5月三模 4-12 20 2026·湖北鄂东南联盟·5月模考 2-8 21 2026·四川成都石室中学·5月适应性考试（一） 5-14 22 2026·河南华大新高考联盟·5月联考 1-17 23 2026·河南华大新高考联盟·5月联考 1-5 24 2026·河南华大新高考联盟·5月联考 1-14 25 2026·四川成都石室中学·5月适应性考试（一） 5-17 26 2026·湖北鄂东南联盟·5月模考 2-19 27 2026·湖南邵阳·第三次联考 3-6 28 2026·河南华大新高考联盟·5月联考 1-6 29 2026·云南曲靖一中·七次质检 6-8 30 2026·辽宁沈阳二中·5月三模 4-8 31 2026·湖北鄂东南联盟·5月模考 2-14 32 2026·辽宁沈阳二中·5月三模 4-11 33 2026·四川成都石室中学·5月适应性考试（一） 5-4 34 2026·河南华大新高考联盟·5月联考 1-8 35 2026·河南华大新高考联盟·5月联考 1-10 36 2026·四川成都石室中学·5月适应性考试（一） 5-15 37 2026·云南曲靖一中·七次质检 6-19 专题一：函数与导数 考点1：函数的概念与性质 1.（考法：利用函数奇偶性与周期性推导求值） B ∵奇函数满足，∴，即是以4为周期的函数. ∵奇函数的自变量可取，∴. 又∵当时，，∴，则，∴当时，，∴. 通法提炼：利用函数奇偶性与周期性求值的关键是寻找周期的推导关系，将未知变量转化为已知区间内的自变量进行代入计算. 2.（考法：结合零点与图象变换判定交点个数）A 由题， 在一个周期内，所过5个特殊点对应表格为： 据此可在同一坐标系中画出大致图象如下，由图可得共8个交点. 通法提炼：处理抽象函数与三角函数图象的交点问题时，核心在于准确绘制函数的关键点与周期变化区间，通过数形结合数出交点个数. 考点2：导数与函数的单调性、极值与最值 3.（考法：三次函数单调性与根的分布） ABD ， ∵在上是增函数，在上是减函数， 故为的极大值点，∴，∴，故A正确； 此时，则， 依题意可得，即，故， 令，解得或， ∵在上是增函数，在上是减函数，∴，解得，故B正确； ，故C错误； ∵是方程的三个实数根， ∴， ∴， ∴，∴， ∴， ∵，∴，∴，∴， ∴，即，故D正确. 通法提炼：已知三次函数的单调性，通常转化为其导函数即二次函数在对应区间上的符号问题，结合韦达定理求解参数范围. 4.（考法：曲线公切线方程的联立求解） 设，与曲线联立，得，由，得. 直线与曲线联立，得，显然，由，得. ∴，即，又，∴，从而. ∴直线的方程为，即. 通法提炼：求解公切线问题的一般方法是设出公切线方程，分别与两曲线方程联立，利用判别式等于零构建关于斜率与截距的方程组求解. 5.（考法：含参分段函数的最大值存在性讨论） 若存在最大值，则. 当时，时,的最大值为， 而在区间上为单调递增函数，则，解得， 故. 当时，时,的最大值为， 而在区间上为单调递增函数， 则，即，解得， 故， 综上所述得，故的最大值为. 通法提炼：研究含参分段函数最值问题，需分别求出各段函数的最值表达式，利用两段最值间的不等关系讨论分界点参数的取值范围. 考点3：导数的综合应用 6.（考法：构造同构函数解导数恒成立不等式） A 由题意可得，. 令，则在上单调递增，，∴，即在上恒成立. 令，则，∴在上单调递减，在上单调递增，∴.∴. 通法提炼：遇到含有指数和对数的复合恒成立不等式，优先考虑化简成两边结构相同的形式，构造同构函数并利用其单调性进行降维转化. 7.（考法：基于对数不等式放缩的数值大小比较） C 由不等式，令，则. 通法提炼：比较对数相关数值大小时，常利用放缩不等式或将对数式有理化处理. 8.（考法：极值点偏移问题与换元求导证明） （1）证明见解析；（2）（i）证明见解析；（ii） 逻辑依赖：本题第（2）问的解答依赖于第（1）问中导数相关结论，在此合并呈现解析. （1）∵，∴. 令，得. 当时，单调递减，， ∴存在使得. ∴当时，；当时，， ∴在上单调递增，在上单调递减，即有极大值点. 【4分】 （2）（i）∵函数，∴. 令，得，对满足方程的有，∴. 由函数与函数的图象可知，此方程一定有解， 故的一个极值点满足. 【6分】 ∴. 【9分】 （ii）∵为的一个极值点，∴， ∴. 【11分】 令. ∵，∴. 记，即. 令， 当时，在上单调递增，在上单调递增，，符合题意. 【15分】 当时，在上单调递减，在上单调递增. ∵， ∴当时，在上单调递减，，不符合题意. 综上所述，实数的取值范围为. 【17分】 通法提炼：证明极值点相关的等式或不等式，关键是提取导数为零的隐含条件代入消元，必要时结合换元法构造新函数进行求导单调性分析. 模块通法汇总： ① 利用函数奇偶性与周期性求值的关键是寻找周期的推导关系，将未知变量转化为已知区间内的自变量进行代入计算. ② 处理抽象函数与三角函数图象的交点问题时，核心在于准确绘制函数的关键点与周期变化区间，通过数形结合数出交点个数. ③ 已知三次函数的单调性，通常转化为其导函数即二次函数在对应区间上的符号问题，结合韦达定理求解参数范围. ④ 求解公切线问题的一般方法是设出公切线方程，分别与两曲线方程联立，利用判别式等于零构建关于斜率与截距的方程组求解. ⑤ 研究含参分段函数最值问题，需分别求出各段函数的最值表达式，利用两段最值间的不等关系讨论分界点参数的取值范围. ⑥ 遇到含有指数和对数的复合恒成立不等式，优先考虑化简成两边结构相同的形式，构造同构函数并利用其单调性进行降维转化. ⑦ 比较对数相关数值大小时，常利用放缩不等式或将对数式有理化处理. ⑧ 证明极值点相关的等式或不等式，关键是提取导数为零的隐含条件代入消元，必要时结合换元法构造新函数进行求导单调性分析. 专题二：解析几何 考点1：圆锥曲线的定义、方程与性质 9.（考法：基于蒙日圆新定义的椭圆综合性质分析） BCD 对于选项A，由已知条件，正方形的对角线的长度等于蒙日圆的直径，即，∴，故椭圆的离心率，则选项A不正确； 对于选项B，设矩形的边长分别为，则. 由不等式，得矩形的面积的最大值为，故选项B正确； 对于选项C，设直线的方程为，又蒙日圆方程为：，由，得，故选项C正确； 对于选项D，如果点到两条直线的距离之和与点的位置无关，那么直线与平行，并且分别位于蒙日圆的两侧，临界状态就是与蒙日圆相切，此时，∴的取值范围是，故选项D正确. 通法提炼：处理与蒙日圆相关的新定义问题，需将新条件（相互垂直的切线交点轨迹）转化为已知的圆方程，再结合几何性质与圆锥曲线的基础定义解题. 10.（考法：双曲线焦点三角形内切圆半径的最值） BC 当时，，故A错误； 设，当时， 有， ∴的周长为，故B正确； 设，当为钝角时，由余弦定理知， ∵， ∴，故C正确； 由如下引理知内切圆的半径的取值范围是，即，故D错误. 引理 双曲线的焦点三角形的内切圆半径的取值范围是. 证明如下： 如图，点位于第一象限，是双曲线的左、右焦点，设焦点内切圆的圆心为，则圆心在直线上. 设内切圆的半径为，点， 由焦半径公式得，其中. ∴. ∵， 即. ∵点在双曲线上，∴，得. 于是，把代入得 . 易知在上单调递增，且， 由函数的单调性及极限的知识可知. 因此双曲线的焦点三角形的内切圆半径的取值范围是. 通法提炼：双曲线焦点三角形中，内切圆半径、周长与离心率之间存在固定的几何联系，熟练运用焦半径公式与引理结论可快速判定范围. 11.（考法：利用线段比例几何性质求椭圆离心率） 设椭圆方程为，则, , .直线方程为，即. 将其与椭圆联立：. 解得交点横坐标， 代入直线方程得纵坐标. 已知，且，即点在的垂直平分线上，故. ∴. ∴离心率平方，即. 通法提炼：对于圆锥曲线中的线段比例与距离相等关系，通过设直线方程并与曲线方程联立求出交点坐标，代入距离或中垂线条件即可解得离心率. 考点2：直线与圆锥曲线的位置关系 12.（考法：借助渐近线判断直线与双曲线交点个数） B 直线，恒过定点.双曲线的渐近线为. 要使直线与双曲线有且仅有一个公共点，情况有两类： 情况一：直线与双曲线的一条渐近线平行，此时，此时有1个交点； 情况二：直线与双曲线相切.将代入，整理得. 若，令判别式， 化简得，解得. 当时，二次项系数为0，且一次项系数不为0（当时一次项为，当时为），恰有一解，符合题意. 因此的取值有，共3个. 通法提炼：判断直线与双曲线交点个数时，除了考虑相切带来的情况外，切不可遗漏直线与双曲线渐近线平行时仅有一个交点的临界状态. 13.（考法：利用点差法及重心性质求中点弦斜率） 由题意可得，设、， 满足，作差得， 即， 整理得， 由的重心坐标为，则，， 即，， 则，即， 故直线的斜率为. 通法提炼：已知中点或重心坐标求弦斜率，最简捷的方法是设点代入方程两式相减（即点差法），构造中点坐标与弦斜率的等式. 14.（考法：利用双曲线斜率积定值转化垂直条件） 如图，设，则，,根据可得: ,故， 因点均为双曲线上的点，则， 由 ① ∵，∴ ②，又 ③， 将②，③两式代入①式得：. 故双曲线的离心率. 通法提炼：在双曲线中遇到多条相关直线的斜率时，充分利用对称性以及弦所在直线的斜率积为定值的性质，可以极大简化运算. 考点3：圆锥曲线的综合问题 15.（考法：抛物线双切线交点的轨迹与定值证明） BCD 对于A，∵抛物线的焦点为，∴. 抛物线的准线方程为. 如图，过点作抛物线的准线的垂线，垂足为. 由抛物线的定义可知，，则，当且仅当三点共线时取等号，故A错误； 对于B，设，过点的切线方程为（切线斜率不为），联立抛物线方程，化简并整理，得. 又，∴，，∴，∴过点的切线方程为，即. 同理可得，过点的切线方程为. 联立得. ∵线段的中点的坐标为，∴点的纵坐标相等，故B正确；对于C，设直线的方程为，联立，化简并整理，得，则. 又∵点在直线上，∴，∴，即直线的方程为，则直线过点，故C正确；对于D，∵三点共线，∴，即直线的方程为，∴点到直线的距离，，∴，当时取最小值为，故D正确. 故选BCD. 通法提炼：抛物线的双切线问题中，两切点连线的弦方程与切线交点坐标之间具有明确的对偶转化关系，结合抛物线定义处理距离和最值. 16.（考法：抛物线中弦的垂直平分线交点轨迹） （1）；（2） 逻辑依赖：本题第（2）问部分依赖直线与抛物线的通性设定，在此合并呈现解析. （1）设，则的方程为，则由得 ，则，∴. 【4分】 （2）抛物线的焦点为，设的直线方程为. 由得. 【6分】 由，得， 而，故的斜率为，的方程为. 代入得. 【8分】 设动点的坐标为，则: ， 因此，故中点的轨迹的方程为. 通法提炼：求解弦的中垂线与某直线的交点轨迹问题，核心是联立直线与圆锥曲线方程得到韦达定理，表示出中点坐标并代入中垂线方程即可消参. 模块通法汇总： ① 处理与蒙日圆相关的新定义问题，需将新条件（相互垂直的切线交点轨迹）转化为已知的圆方程，再结合几何性质与圆锥曲线的基础定义解题. ② 双曲线焦点三角形中，内切圆半径、周长与离心率之间存在固定的几何联系，熟练运用焦半径公式与引理结论可快速判定范围. ③ 对于圆锥曲线中的线段比例与距离相等关系，通过设直线方程并与曲线方程联立求出交点坐标，代入距离或中垂线条件即可解得离心率. ④ 判断直线与双曲线交点个数时，除了考虑相切带来的情况外，切不可遗漏直线与双曲线渐近线平行时仅有一个交点的临界状态. ⑤ 已知中点或重心坐标求弦斜率，最简捷的方法是设点代入方程两式相减（即点差法），构造中点坐标与弦斜率的等式. ⑥ 在双曲线中遇到多条相关直线的斜率时，充分利用对称性以及弦所在直线的斜率积为定值的性质，可以极大简化运算. ⑦ 抛物线的双切线问题中，两切点连线的弦方程与切线交点坐标之间具有明确的对偶转化关系，结合抛物线定义处理距离和最值. ⑧ 求解弦的中垂线与某直线的交点轨迹问题，核心是联立直线与圆锥曲线方程得到韦达定理，表示出中点坐标并代入中垂线方程即可消参. 专题三：立体几何 考点1：空间几何体及其表面积与体积 17.（考法：利用轴截面法求正棱台的内切球参数） A 如图1，取的中点，设上底面与球相切的点为，则平面为一个含内切圆的等腰梯形截面图如图2. ∵等腰梯形有内切圆的充要条件为上底下底两腰之和，，∴，∴梯形的高，此时梯形的高即为正四棱台的高. 又∵正四棱台的体积，为上底面的面积，，为下底面的面积，，∴. 通法提炼：求解多面体的内切球体积或表面积，最有效的手段是选取经过球心与多面体特征点（如中点）的截面，将三维相切降维至二维平面几何计算. 18.（考法：多面体结构还原及外接球体积计算） ABD 在该八面体中，点共面. ∵该八面体的棱长均相等，∴四边形是菱形，∴平面. 同理，平面. ∵平面，∴平面平面，A正确. 如图，记正六边形的中心为，的中点分别为，连接， 则点在平面上的投影分别在直线上，连接， 则. 在正六边形中，直线与直线的夹角均为，即，∴， . 又∵，∴平面，∴四边形是正方形，B正确. 连接（图略），. 同理，可得，∴点到该八面体的顶点的距离均为，即该八面体外接球的半径为，该八面体外接球的体积为，D正确. 记点在平面上的投影为（图略）. 该八面体可看成由个与三棱柱全等的三棱柱，个与三棱锥全等的三棱锥，及三棱柱构成. 其体积为，C错误. 通法提炼：计算复杂多面体的外接球，需借助其对称面或对称轴确定球心的投影位置，再利用空间勾股定理计算出外接球的半径. 考点2：空间点、线、面的位置关系 19.（考法：正三棱台侧棱与底面所成角的投影计算） 正三棱台上底边长，下底边长，高.上底面外接圆半径 .下底面外接圆半径 .侧棱在底面上的投影长为 .因此，侧棱与底面所成角的正切值为 . 通法提炼：计算正棱台的侧棱与底面所成角，关键是找准侧棱在底面上的投影长度，其等于上下底面外接圆半径之差. 考点3：空间向量与立体几何 20.（考法：利用向量坐标系与圆的性质求模长最值） A 设的中点为，连接，易得， 则，则. ∴是以为圆心，以2为半径的圆面（位于正方形内）. 以为原点，为轴，为轴建立平面直角坐标系如图所示，则 ， 设的坐标为，则，， . 则. 设点的坐标为，则， 根据圆的性质知，. 通法提炼：求解空间向量模长最值时，可通过引入空间直角坐标系将问题代数化，或者将点集的限制范围转化为空间中的圆，利用几何法求最值. 21.（考法：将角相等条件转化为空间阿氏圆求最值） 如图1，在长方体中，平面平面，则. ∵点在平面内，，∴在与中，，∴，即. 在平面中，以所在直线为轴，以线段的垂直平分线为轴建立平面直角坐标系如图2，则. 设. ∵，∴，整理得，即，∴点的轨迹是以为圆心，半径为的圆. 当点到棱的距离最大时，四棱锥的体积取得最大值，即. 通法提炼：在空间立体几何中遇到两角相等及其正切比值条件，可将其等价转化为动点到两定点的距离之比为常数，从而利用阿波罗尼斯圆求最值. 22.（考法：折叠模型中线面垂直证明及面面角计算） （1）证明见解析；（2） 逻辑依赖：本题第（2）问的建系与解答依赖第（1）问中推导出的几何特征，在此合并呈现解析. （1）在题图1的等腰直角中，为的中点，可得， ∴在题图2中，可得. ∵，且平面，∴平面. 【2分】 又∵平面，∴. ∵平面，∴是二面的平面角，即， ∴为等边三角形. ∵为的中点，∴. 又∵，且平面，∴平面. 【4分】 （2）以为坐标原点，在平面内作垂直于的直线为轴，所在直线分别为轴、轴建立空间直角坐标系，如图所示，则， 则. 设平面的法向量为，则 【6分】 则，取，可得，∴. 设平面的法向量为，则 【7分】 则，取，可得，∴. ∴， ∴平面和平面所成角的余弦值为. 【9分】 通法提炼：处理折叠问题时，必须抓住折叠前后长度与垂直关系不变的量，寻找天然两两垂直的交线以此建立空间直角坐标系计算二面角. 模块通法汇总： ① 求解多面体的内切球体积或表面积，最有效的手段是选取经过球心与多面体特征点（如中点）的截面，将三维相切降维至二维平面几何计算. ② 计算复杂多面体的外接球，需借助其对称面或对称轴确定球心的投影位置，再利用空间勾股定理计算出外接球的半径. ③ 计算正棱台的侧棱与底面所成角，关键是找准侧棱在底面上的投影长度，其等于上下底面外接圆半径之差. ④ 求解空间向量模长最值时，可通过引入空间直角坐标系将问题代数化，或者将点集的限制范围转化为空间中的圆，利用几何法求最值. ⑤ 在空间立体几何中遇到两角相等及其正切比值条件，可将其等价转化为动点到两定点的距离之比为常数，从而利用阿波罗尼斯圆求最值. ⑥ 处理折叠问题时，必须抓住折叠前后长度与垂直关系不变的量，寻找天然两两垂直的交线以此建立空间直角坐标系计算二面角. 专题四：概率统计 考点1：排列组合与计数原理 23.（考法：基于隔板法模型的名额分配问题） B 个名额为相同元素，可用隔板法，个相同元素分为组，即将个隔板插入个空，. 通法提炼：遇到相同名额分给多个对象且每组至少一个的问题，直接套用隔板法模型，将组合分配转化为在空隙中插入隔板的问题. 考点2：概率与随机变量分布 24.（考法：吸收壁马尔可夫链状态转移的概率递推） 定义状态表示在停止事件（掷出或）发生之前，已经观察到不同的数字来自集合的个数. 设为从状态出发最终成功的概率（即最终在掷出或之前已经收集全个数字）. 显然，当时，已经收集全个数字，此后无论掷出什么，只要首次掷出或时即成功，因此. 对于状态，考虑下一次掷骰子的结果，有三种可能： ①掷出数字或（概率为），此时停止，但由于尚未收集全个数字（），因此失败，成功的概率为. ②掷出一个已经出现过的属于的数字（概率为），状态保持不变. ③掷出一个未出现过的属于的新数字（概率为），状态转移到. 因此，从状态出发，最终成功的概率满足方程 ， 化简得，移项得， 即，. 利用，依次计算得 ；； ；. 因此，所求概率为. 通法提炼：对于多次操作达到某终止状态的概率或期望，建立以已达成目标的个数为状态变量的马尔可夫链递推方程是破题的关键. 25.（考法：二项分布的模型识别与期望方差计算） 分布列见解析；方差为 由题意可知，需要矫正速度的车辆数的取值为，且车速在之外的车辆需要矫正速度， ∴不需要矫正速度的概率，需要矫正速度的概率. ∵以该兴趣小组测得数据中的频率视为概率， ∴， 【9分】 ∴，的分布列如下： 0 1 2 3 【13分】 的方差. 【15分】 通法提炼：结合频率分布表推算单个事件概率后，任取若干样本判定符合某种状态的个数通常服从二项分布，直接套用方差公式计算即可. 26.（考法：利用二项展开式求解包含偶数状态的概率） （1）；（2） 逻辑依赖：本题第（2）问的解答依赖于第（1）问中分布情况的结论，在此合并呈现解析. （1）设表示第一天结束时，被成功激活的用户人数，则， 由二项分布的期望公式得； （2）由（1）可知，考虑二项展开： ， ， 两式相加，， 当为偶数时，；当为奇数时，. 则两式相加后，奇数项和为，只剩偶数项两倍， 设第一天结束时，被成功激活的用户人数为偶数的概率为， ∴，故； 通法提炼：求二项分布中特定状态为偶数次的概率，可以利用二项展开式中和两式相加抵消奇数项的技巧得出. 模块通法汇总： ① 遇到相同名额分给多个对象且每组至少一个的问题，直接套用隔板法模型，将组合分配转化为在空隙中插入隔板的问题. ② 对于多次操作达到某终止状态的概率或期望，建立以已达成目标的个数为状态变量的马尔可夫链递推方程是破题的关键. ③ 结合频率分布表推算单个事件概率后，任取若干样本判定符合某种状态的个数通常服从二项分布，直接套用方差公式计算即可. ④ 求二项分布中特定状态为偶数次的概率，可以利用二项展开式中和两式相加抵消奇数项的技巧得出. 专题五：数列与不等式 考点1：等差数列与等比数列 27.（考法：等差数列前n项和的二次函数性质应用） C 等差数列，前项和为.已知 . . . ∵ ，∴公差 . 由于说明；说明. 因此的最小值点应该在偏右，且意味着， 所以. 又因为，所以. ∴使得的最大正整数为. 通法提炼：分析等差数列前项和的单调性与正负号，核心在于确定通项的变号位置，将其转化为前项和二次函数的对称轴进行数形结合分析. 28.（考法：等差与等比数列求和公式的方程应用） A 依题意可知，，，显然， 又， 则. 又，故， ∴，解得，∴. 通法提炼：将等差、等比数列的求和公式带入已知条件转化为关于首项与公比（公差）的高次方程，利用参数为正整数的限制条件进行因式分解求解. 考点2：数列的通项与求和 29.（考法：利用裂项相消法证明数列不等式） C ∵， 当时，；当时，， ∴， ∵满足上式，∴， ∴， ∴，又， ∴，∴. 又， 故当对任意的恒成立时，可得， ∴整数的最小值为. 通法提炼：对于分母为二次多项式的数列项，通常利用裂项相消法将通项拆分为两项之差，从而消去中间项实现前项和的化简与放缩. 30.（考法：构造辅助数列求解复杂积差形式递推关系） D . 当 时，.代入得： 展开：. ∵正项数列，∴ ，于是 (). 对于 ，，由于 ，则 .∵是正项数列，∴ . 因此数列 是首项为 ，公差为 的等差数列，. 当 时，. ∴ . 通法提炼：当递推关系中同时包含通项与前项积时，利用将其统一为的递推式，进而构造出等差或等比数列求解. 31.（考法：新定义子集最小元素计数与等差比求和） 解：∵，∴数列为递减数列， 则对集合，其非空子集的最小元素为该子集最大下标对应的元素， ∴元素作为最小元素的子集个数为（含元素，其余选择比大的个元素的任意子集）， 因此，又，∴. ∵ ①， ∴ ②， ①-②错位相减得， 化简得，∴， 易知当时，，则，∴， ∴，即实数的取值范围为. 通法提炼：对于求集合子集中最值元素之和的问题，先判定通项单调性找出最小（大）元素，再利用组合数原理统计出现次数，转化为乘差数列错位相减求和. 考点3：基本不等式及其应用 32.（考法：利用基本不等式“1的代换”求多式子最值） ABD 已知，，. A: .正确. B: .正确. C: 利用柯西不等式 .错误. D: .所以和小于等于 .正确. 通法提炼：利用基本不等式求包含多变量的分式最值时，将常数“1”用已知等式代换进去，展开后利用“一正二定三相等”配凑求解是标准流程. 模块通法汇总： ① 分析等差数列前项和的单调性与正负号，核心在于确定通项的变号位置，将其转化为前项和二次函数的对称轴进行数形结合分析. ② 将等差、等比数列的求和公式带入已知条件转化为关于首项与公比（公差）的高次方程，利用参数为正整数的限制条件进行因式分解求解. ③ 对于分母为二次多项式的数列项，通常利用裂项相消法将通项拆分为两项之差，从而消去中间项实现前项和的化简与放缩. ④ 当递推关系中同时包含通项与前项积时，利用将其统一为的递推式，进而构造出等差或等比数列求解. ⑤ 对于求集合子集中最值元素之和的问题，先判定通项单调性找出最小（大）元素，再利用组合数原理统计出现次数，转化为乘差数列错位相减求和. ⑥ 利用基本不等式求包含多变量的分式最值时，将常数“1”用已知等式代换进去，展开后利用“一正二定三相等”配凑求解是标准流程. 专题六：三角函数与解三角形 考点1：三角恒等变换与函数性质 33.（考法：逆用两角和公式化简辅助角求值） D 【解题思路】∵，即，∴，∴. 通法提炼：已知两角和或差的正余弦值求目标角时，善于运用辅助角公式进行配凑合并，将等式化简为单角的正弦值后再进行二倍角推导. 34.（考法：利用二次齐次式化简与换元法求最值） B ∵， ， ∴. 令，设，则. 当时，，∴的最小值为. 通法提炼：遇到复杂的三角高次根式求最值，首先利用同角三角函数的基本关系将不同名三角函数进行“二次化齐次”或“降幂扩角”，再利用换元转化为二次函数. 考点2：解三角形 35.（考法：正余弦定理与三角形重心向量回路综合） ABD 由正弦定理可知，，∴以的长度为边能构成三角形，故A正确； 设三条中线分别为，则有， ∵，∴，即三个向量可构成闭合回路， ∴以的三条中线的长度为边能构成三角形，故B正确； 显然当时，，故C错误； ∵，∴，∴，∴以的长度为边能构成三角形，故D正确. 通法提炼：判断几何量能否构成三角形的三边，本质上是验证任意两边之和大于第三边，可借助正弦定理将边角互化，或利用重心性质构造封闭的向量回路证明. 36.（考法：利用等面积法解角平分线相关长度问题） （1）；（2） 逻辑依赖：本题第（2）问的解答依赖于第（1）问中角的计算结果，在此合并呈现解析. （1）∵， ∴， 【3分】 即，∴. 又，∴. 【5分】 （2）∵，∴， ∴. 由正弦定理可得，. 【9分】 又， ∴， 【12分】 ∴. 【13分】 通法提炼：求解解三角形中角平分线的长度问题，最常用的方法是利用“大三角形面积等于两个小三角形面积之和”，列出关于角平分线长度的代数方程求解. 37.（考法：边角互化结合导数探究解三角形的最值） （1）；（2）（i）；（ii） （1）利用正弦定理可化简为， ∵，则，即，则； （2）①过点作，垂足为，则，则， 在中利用正弦定理， 有，得， 则 ， 等号成立时，， 故面积的最小值为； ②由①可知，， 令， 则， 令，则， 则得，即；得，即， 则在上单调递减，上单调递增， 则， 故的最小值为. 通法提炼：处理解三角形的面积与线段极值综合题，关键是利用正弦定理将目标量统一直译为某一个角的三角函数表达式，并借助求导来分析其单调性与最值. 模块通法汇总： ① 已知两角和或差的正余弦值求目标角时，善于运用辅助角公式进行配凑合并，将等式化简为单角的正弦值后再进行二倍角推导. ② 遇到复杂的三角高次根式求最值，首先利用同角三角函数的基本关系将不同名三角函数进行“二次化齐次”或“降幂扩角”，再利用换元转化为二次函数. ③ 判断几何量能否构成三角形的三边，本质上是验证任意两边之和大于第三边，可借助正弦定理将边角互化，或利用重心性质构造封闭的向量回路证明. ④ 求解解三角形中角平分线的长度问题，最常用的方法是利用“大三角形面积等于两个小三角形面积之和”，列出关于角平分线长度的代数方程求解. ⑤ 处理解三角形的面积与线段极值综合题，关键是利用正弦定理将目标量统一直译为某一个角的三角函数表达式，并借助求导来分析其单调性与最值. 第 2 页，共 17 页 学科网（北京）股份有限公司 $