精品解析：山东枣庄市峄城区东方学校2025-2026学年八年级数学下册期中检测题

八年级数学下册期中检测题 时间：120分钟满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 以下是“双减”背景下学校社团拓展课程的相关图片，其中是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 若，下列选项中不正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 在平面直角坐标系中，平移至的位置．若顶点的对应点是，则点的对应点的坐标是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，小林从点向西直走12米后，向左转，转动的角度为，再走12米，如此重复，小林共走了108米回到点，则　　 A. B. C. D. 跨学科物理 5. 如图，一束平行于主光轴的光线经凸透镜折射后，其折射光线与一束经过光心的光线相交于点，点 为该凸透镜的焦点．若，，则∠的度数为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在中，．以为边在的外侧作两个等边三角形和，且，则的度数为（ ） A. B. C. D. 7. 小明同学早上前要到达班级，出家门时是，已知他家离学校距离为，他跑步的速度为，走路的速度为，小明同学至少跑步多长时间才能保证不迟到，设小明同学跑步时间为，根据题意可列不等式正确的为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在中，，由图中的尺规作图痕迹得到的射线与交于点，交于点，若，则的周长为（ ） A. B. C. D. 4 9. 若关于x的不等式组无解，则所有满足条件的整数a的值之积是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 10. 如图，在中，和的平分线相交于点O，过O点作交于点E，交于点F，过点O作于D，下列四个结论．（1）；（2）；③点O到各边的距离相等；④设，，则，正确的结论有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 用反证法证明“三角形的内角中最多有一个角是直角”时应假设：________． 12. 如图，是中斜边上的一点，且，过作的垂线，交于点．若，，则的长为________cm． 13. 已知关于x的不等式的解都是不等式的解，则a的取值范围是________． 14. 如图，△ABC是等边三角形，D是BC延长线上一点，DE⊥AB于点E，EF⊥BC于点F．若CD=3AE，CF=6，则AC的长为_____． 15. 如图，在中，，，的垂直平分线分别交，于点M，O，将绕点O逆时针旋转得到，旋转角为．连接，．当是直角三角形时，旋转角的度数为________． 三、解答题（本大题共8小题，共75分） （四川乐山中考） 16. 当取何正整数时，代数式与的值的差大于1 17. 如图，在△ABC中，CA=CB，∠ACB= 4∠A， 点D是AC边的中点， DE⊥AC交AB于点E，连接CE． （1）求∠A的度数； （2）求证：BE=2AE． 18. 如图，已知线段a． （1）用尺规作图求作：△ABC，使AB=AC，且BC=a，高AD=a； （2）在（1）的条件下，求边AB的长． 19. 如图，在平面直角坐标系中，已知的三个顶点的坐标分别为，，． （1）的面积是______； （2）若经过平移后得到，点的坐标为，则点的坐标为______； （3）将绕着点按顺时针方向旋转得到，画出，并写出点的坐标． 20. 截至2022年3月27日，全国累计报告接种新型冠状病毒疫苗超过32亿剂次，为了满足市场需求，某公司计划投入10个大、小两种车间共同生产同一种新型冠状病毒疫苗，已知1个大车间和2个小车间每周能生产疫苗共35万剂，2个大车间和1个小车间每周能生产疫苗共40万剂，每个大车间生产1万剂疫苗的平均成本为90万元，每个小车间生产1万剂疫苗的平均成本为80万元． （1）该公司每周每个大车间生产疫苗___ _万剂， 每个小车间生产疫苗____ _万剂； （2）若所有10个车间全部投入生产，且每周生产的疫苗不少于135 万剂，请问共有几种投入方案，请列出所有符合题意的方案，并求出每周生产疫苗的总成本最小值． （河南平顶山期末） 21. 如图，已知函数和的图象交于点，这两个函数的图象与轴分别交于点、． （1）观察图象，直接写出不等式的解集是________． （2）求出点和点的坐标． （3）观察图象，直接写出不等式的解集是________________． （4）观察图象，直接写出不等式组的解集是________． 22. 将两块完全相同的且含角的直角三角板和按如图所示位置放置，现将绕A点按逆时针方向旋转．如图，与交于点M，与交于点N，与交于点P． （1）在旋转过程中，连接，求证：所在的直线是线段的垂直平分线． （2）在旋转过程中，是否能成为直角三角形？若能，直接写出旋转角的度数；若不能，说明理由． 23. 新趋势综合与实践：小新和小颖在学习等腰三角形的相关知识后，明白了要把两腰分散到两个三角形中用全等去思考，寻找或构造两腰为斜边的两个直角三角形全等，再由全等三角形的性质得出结论解决问题，这就是数学中重要的学习方法“构造法”． 【初步感知】 （1）如图1，等腰直角三角形中，小新先得出然后得出了三条线段的数量关系，在此过程中，全等的依据是 ，三条线段的数量关系为_____． 【实践解决】 （2）如图2，四边形中，为等腰直角三角形，若，求的面积． 小颖发现，可以构造以为斜边的两个直角三角形，具体如下：作于点M，交的延长线于点N，请你根据提示，求出的面积． 【拓展应用】 （3）如图3，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（2，0），点B的坐标为（5，0），点P为线段AB外一动点，且请直接写出线段AM长的最大值及此时点P的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 八年级数学下册期中检测题 时间：120分钟满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 以下是“双减”背景下学校社团拓展课程的相关图片，其中是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】A，中心对称图形，符合题意； B，不是中心对称图形，不符合题意； C，不是中心对称图形，不符合题意； D，不是中心对称图形，不符合题意． 2. 若，下列选项中不正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了不等式的性质，根据不等式的性质逐项求解即可，解题的关键是正确理解不等式的两边都加（或减）同一个数，不等号的方向不变，不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变． 【详解】、∵，∴，此选项符合题意； 、∵，∴，此选项不符合题意； 、∵，∴，此选项不符合题意； 、∵，∴，此选项不符合题意； 故选：． 3. 在平面直角坐标系中，平移至的位置．若顶点的对应点是，则点的对应点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了点的平移，掌握平移规律是关键． 根据点的坐标关系得到点的平移是向右平移3个单位，向下平移1个单位，由此即可求解．点的平移规律是“左减右加，上加下减”． 【详解】解：平移至的位置．若顶点的对应点是， ∴是向右平移3个单位，向下平移1个单位， ∴点向右平移3个单位，向下平移1个单位得， ∴对应点的坐标是， 故选：D ． 4. 如图，小林从点向西直走12米后，向左转，转动的角度为，再走12米，如此重复，小林共走了108米回到点，则　　 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意可知，小林走的是正多边形，先求出边数，然后再利用外角和等于，除以边数即可求出的值． 【详解】解：设边数为，根据题意， ， 则． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了多边形的外角和等于，根据题意判断出所走路线是正多边形是解题的关键． 跨学科物理 5. 如图，一束平行于主光轴的光线经凸透镜折射后，其折射光线与一束经过光心的光线相交于点，点 为该凸透镜的焦点．若，，则∠的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质，三角形外角性质，对顶角的性质，由平行线的性质可得，得到，进而由三角形外角性质可得，再由对顶角的性质即可求解，正确识图是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵和是对顶角， ∴， 故选：． 6. 如图，在中，．以为边在的外侧作两个等边三角形和，且，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查等边三角形的性质、三角形内角和及等腰三角形的性质，熟练掌握等边三角形的性质、三角形内角和及等腰三角形的性质是解题的关键． 由题意易得，，则有，然后根据三角形内角和及等腰三角形的性质可进行求解． 【详解】解：∵、都是等边三角形，， ∴，， ∵ ∴， ∴， ∴， ∴； 故选：B． 7. 小明同学早上前要到达班级，出家门时是，已知他家离学校距离为，他跑步的速度为，走路的速度为，小明同学至少跑步多长时间才能保证不迟到，设小明同学跑步时间为，根据题意可列不等式正确的为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了不等式的运用，理解数量关系，正确列不等式是关键． 根据题意可得，保证小明同学不迟到，则跑步时间与走路时间要小于，由此列式即可． 【详解】解：小明家离学校距离为，他跑步的速度为，走路的速度为，设小明同学跑步时间为，出家门时是，早上前要到达班级，保证小明同学不迟到，则跑步时间与走路时间要小于， ∴， 故选：C ． 8. 如图，在中，，由图中的尺规作图痕迹得到的射线与交于点，交于点，若，则的周长为（ ） A. B. C. D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】根据作图可知平分，，由三线合一，勾股定理解，进而即可求得答案． 【详解】解：根据作图可知平分，， ， ∵交于点， ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴点F为的中点 的周长为． 9. 若关于x的不等式组无解，则所有满足条件的整数a的值之积是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】分别解不等式，从而得到a的范围，进一步得到整数a的取值，计算整数a的值之积即可． 【详解】， 解不等式①得，x<a； 解不等式②得，； ∵不等式组无解，∴， 又∵a为整数，范围中有0， ∴整数a的之积为0． 故选：A． 【点睛】本题考查了一元一次不等式组的整数解，确定a的范围是解题的关键． 10. 如图，在中，和的平分线相交于点O，过O点作交于点E，交于点F，过点O作于D，下列四个结论．（1）；（2）；③点O到各边的距离相等；④设，，则，正确的结论有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】根据角平分线的定义和三角形的内角和定理，即可求得；由角平分线的定义和平行线的性质得出，，进而得出；过点作于，作于，连接，由角平分线的性质定理得出，然后利用三角形的面积公式即可得出，即可． 【详解】解：在中，和的平分线相交于点， ，， ， ， 结论（2）正确； 在中，和的平分线相交于点， ，， ， ，， ，， ，， ， 结论（1）正确； 如图，过点作于，作于，连接， 在中，和的平分线相交于点， ，， ， 又， ， 结论（4）错误； 在中，和的平分线相交于点， ，， ， 即点到各边的距离相等， 结论（3）正确； 故选：C． 【点睛】本题主要考查了角平分线的定义，三角形的内角和定理，平行线的性质，等腰三角形的判定，角平分线的性质定理，三角形的面积公式等知识点，熟练掌握相关知识点并能加以综合运用是解题的关键． 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 用反证法证明“三角形的内角中最多有一个角是直角”时应假设：________． 【答案】三角形中至少有两个内角是直角 【解析】 【分析】反证法需先假设原命题的结论不成立，只需找出原结论“三角形的内角中最多有一个角是直角”的否定即可得到结果. 【详解】解：“三角形的内角中最多有一个角是直角”的否定为“三角形中至少有两个内角是直角”. 因此用反证法证明时，应假设“三角形中至少有两个内角是直角”. 12. 如图，是中斜边上的一点，且，过作的垂线，交于点．若，，则的长为________cm． 【答案】 【解析】 【分析】连接，先利用证明，得到，再在中，根据勾股定理求出的长． 【详解】解：如图，连接， 是直角三角形， ， ， ，即， 在和中， ， ， cm， 在中，由勾股定理得： ． 13. 已知关于x的不等式的解都是不等式的解，则a的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】分别求出两不等式的解集，再根据题意求a的取值范围即可． 【详解】解：解得：， 解得：， ∵关于x的不等式的解都是不等式的解， ∴， 解得：． 14. 如图，△ABC是等边三角形，D是BC延长线上一点，DE⊥AB于点E，EF⊥BC于点F．若CD=3AE，CF=6，则AC的长为_____． 【答案】10 【解析】 【分析】利用“一锐角为30°的直角三角形中，30°所对的直角边等于斜边的一半”，通过等量代换可得. 【详解】 解： AC与DE相交于G，如图， ∵为等边三角形， ∴AB=BC=AC，∠A=∠B=∠ACB=60°， ∵DE⊥AE， ∴∠AGE=30°， ∴∠CGD=30°， ∵∠ACB=∠CGD+∠D， ∴∠D=30°， ∴CG=CD， 设AE=x，则CD=3x，CG=3x， 在中，AG=2AE=2x， ∴AB=BC=AC=5x， ∴BE=4x，BF=5x﹣6， 在中，BE=2BF， 即4x=2（5x﹣6），解得x=2， ∴AC=5x=10． 故答案为10． 【点睛】直角三角形的性质，30°所对的直角边等于斜边的一半为本题的关键. 15. 如图，在中，，，的垂直平分线分别交，于点M，O，将绕点O逆时针旋转得到，旋转角为．连接，．当是直角三角形时，旋转角的度数为________． 【答案】或 【解析】 【分析】根据旋转的性质，线段垂直平分线的性质得到，，，根据，分类讨论，数形结合分析即可． 【详解】解：在中，，， ∴， ∵是线段的垂直平分线， ∴， ∴， ∴，， ∴， 如图所示，当与重合，与重合时，由得，即是直角三角形， ∴与重合，则； 如图所示，当与重合，与重合时，由得，即是直角三角形， ∴与重合，则； 综上所述，旋转角的度数为或． 三、解答题（本大题共8小题，共75分） （四川乐山中考） 16. 当取何正整数时，代数式与的值的差大于1 【答案】1，2，3，4 【解析】 【分析】根据题意，列一元一次不等式并求解，即可得到的取值范围；结合为正整数，通过计算即可得到答案． 【详解】根据题意得：， 解得： ∵为正整数， ∴为1，2，3，4时，代数式与的值的差大于1． 【点睛】本题考查了解一元一次不等式；解题的关键是熟练掌握一元一次不等式的性质，从而完成求解． 17. 如图，在△ABC中，CA=CB，∠ACB= 4∠A， 点D是AC边的中点， DE⊥AC交AB于点E，连接CE． （1）求∠A的度数； （2）求证：BE=2AE． 【答案】（1）30° （2）见解析 【解析】 【分析】（1）设∠A的度数为x，则∠ACB=4∠A=4x，根据等腰三角形的性质得出∠B=∠A=x，根据三角形的内角和定理得出x+x+4x=180°，再求出x即可； （2）根据线段垂直平分线的性质得出AE=CE，求出∠ECA=∠A=30°，求出∠BCE，再根据直角三角形的性质得出即可． 【小问1详解】 设∠A的度数为x，则∠ACB=4∠A=4x， ∵AC=BC， ∴∠B=∠A=x， 在△ABC中，∠A+∠B+∠ACB=180°， ∴x+x+4x=180°， 解得：x=30°， ∴∠A=30°， 【小问2详解】 证明：∵点D是AC边的中点，DE⊥AC， ∴AE=CE ∴∠ECA=∠A=30° 又∠ACB=4∠A=120°， ∴∠BCE=90°， 又∵∠B=30° ∴BE=2CE， ∴BE=2AE． 【点睛】本题考查了线段垂直平分线性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理等知识点，能熟记线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等是解此题的关键． 18. 如图，已知线段a． （1）用尺规作图求作：△ABC，使AB=AC，且BC=a，高AD=a； （2）在（1）的条件下，求边AB的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）作射线BM，在射线BM上截取BC=a，作线段BC的垂直平分线，D为垂足，截取DA=a，连接AB，AC，△ABC即为所求． （2）根据勾股定理，求解即可． 【小问1详解】 解：（1）如图，△ABC即为所求； 【小问2详解】 解：∵BC=a，AD垂直平分BC， ∴BD=DC=a， ∵AD=a， ∴BD=AD， 在Rt△ABD中，AB=． 【点睛】本题考查作三角形，等腰三角形的性质，勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握五种基本作图，属于中考常考题型． 19. 如图，在平面直角坐标系中，已知的三个顶点的坐标分别为，，． （1）的面积是______； （2）若经过平移后得到，点的坐标为，则点的坐标为______； （3）将绕着点按顺时针方向旋转得到，画出，并写出点的坐标． 【答案】（1）3 （2） （3）图见解析，点的坐标为 【解析】 【分析】本题考查了作图旋转变换和平移，根据旋转的性质，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形． （1）依据三角形面积计算公式利用割补法即可得出的面积； （2）依据平移的规律，即可得到点的坐标； （3）依据旋转的性质，即可得到绕着点O按顺时针方向旋转得到的，即可得出点C的对称点的坐标． 【小问1详解】 解：的面积是， 故答案为：3； 【小问2详解】 解：因为点经过平移后的对应点为的坐标为， 所以点经过平移后的对应点为的坐标为， 故答案为：； 【小问3详解】 解：如图所示： 点的坐标． 20. 截至2022年3月27日，全国累计报告接种新型冠状病毒疫苗超过32亿剂次，为了满足市场需求，某公司计划投入10个大、小两种车间共同生产同一种新型冠状病毒疫苗，已知1个大车间和2个小车间每周能生产疫苗共35万剂，2个大车间和1个小车间每周能生产疫苗共40万剂，每个大车间生产1万剂疫苗的平均成本为90万元，每个小车间生产1万剂疫苗的平均成本为80万元． （1）该公司每周每个大车间生产疫苗___ _万剂， 每个小车间生产疫苗____ _万剂； （2）若所有10个车间全部投入生产，且每周生产的疫苗不少于135 万剂，请问共有几种投入方案，请列出所有符合题意的方案，并求出每周生产疫苗的总成本最小值． 【答案】（1）15；10 （2）三种方案；方案一：投入7个大车间，3个小车间；方案二：投入8个大车间，2个小车间；方案三：投入9个大车间，1个小车间；总成本的最小值为11850万元 【解析】 【分析】（1）根据题意，列出二元一次方程组，计算求解即可； （2）根据题意列出不等式，依次确定方案，对方案的总成本进行列举比较即可． 【小问1详解】 解：设该公司每个大车间每周能生产疫苗x万剂，每个小车间每周能生产疫苗y万剂， 由题意得：， 解得：． 故答案为：10；15． 【小问2详解】 解：设投入m个大车间，则投入小车间（10﹣m）个， 由题意得：， 解得：． 又∵m，（10﹣m）均为正整数， ∴m的值可以为7，8，9， ∴共有3种投入方案， 方案1：投入7个大车间，3个小车间，每周生产疫苗的总成本90×15×7+80×10×3＝11850（万元）； 方案2：投入8个大车间，2个小车间，每周生产疫苗的总成本90×15×8+80×10×2＝12400（万元）； 方案3：投入9个大车间，1个小车间，每周生产疫苗的总成本90×15×9+80×10×1＝12950（万元）． ∵11850＜12400＜12950， ∴一共有3种投入方案，每周生产疫苗的总成本最小值为11850万元． 【点睛】本题主要考查的二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用，解题的关键在于根据题意列出对应的方程． （河南平顶山期末） 21. 如图，已知函数和的图象交于点，这两个函数的图象与轴分别交于点、． （1）观察图象，直接写出不等式的解集是________． （2）求出点和点的坐标． （3）观察图象，直接写出不等式的解集是________________． （4）观察图象，直接写出不等式组的解集是________． 【答案】（1）； （2），； （3）； （4）． 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数与不等式之间的关系，求一次函数解析式，求一次函数与坐标轴的交点坐标，熟知一次函数的性质是解题的关键． （1）根据函数图象可得随x增大而增大，再根据函数的图象过点，即可得到答案； （2）利用待定系数法求出两函数解析式，再分别求出两函数的函数值为0时的自变量的值即可得到答案； （3）根据函数图象找到函数的函数值大于等于0时的取值范围即可； （4）根据函数图象找到函数的图象在函数的图象的下方，且二者都在x轴下方时的自变量的取值范围即可得到答案． 【小问1详解】 解：由函数图象可知，函数中，随x增大而增大， ∵函数的图象过点， ∴不等式的解集是； 【小问2详解】 解：∵函数和的图象交于点， ∴，， ∴， ∴，， 在中，当时，， 在中，当时，， ∴，； 【小问3详解】 解：由函数图象可得不等式的解集是； 【小问4详解】 解：由函数图象可得不等式组的解集是 22. 将两块完全相同的且含角的直角三角板和按如图所示位置放置，现将绕A点按逆时针方向旋转．如图，与交于点M，与交于点N，与交于点P． （1）在旋转过程中，连接，求证：所在的直线是线段的垂直平分线． （2）在旋转过程中，是否能成为直角三角形？若能，直接写出旋转角的度数；若不能，说明理由． 【答案】（1）见解析； （2）能成为直角三角形，=30°或60° 【解析】 【分析】（1）由全等三角形的性质可得∠AEF=∠ACB，AE=AC，根据等腰三角形的判定与性质证明∠PEC=∠PCE，PE=PC，然后根据线段垂直平分线的判定定理即可证得结论； （2）分∠CPN=90°和∠CNP=90°，利用旋转的性质和三角形的内角和定理求解即可． 【小问1详解】 证明：∵两块是完全相同的且含角的直角三角板和， ∴AE=AC，∠AEF=∠ACB=30°，∠F=60°， ∴∠AEC=∠ACE， ∴∠AEC－∠AEF=∠ACE－∠ACB， ∴∠PEC=∠PCE， ∴PE=PC，又AE=AC， ∴所在的直线是线段的垂直平分线． 【小问2详解】 解：在旋转过程中，能成为直角三角形， 由旋转的性质得：∠FAC= ， 当∠CNP=90°时，∠FNA=90°，又∠F=60°， ∴=∠FAC=180°－∠FNA－∠F=180°－90°－60°=30°； 当∠CPN=90°时，∵∠NCP=30°， ∴∠PNC=180°－90°－30°=60°，即∠FNA=60°， ∵∠F=60°， ∴=∠FAC=180°－∠FNA－∠F=180°－60°－60°=60°， 综上，旋转角的度数为30°或60°． 【点睛】本题考查直角三角板的度数、全等三角形的性质、等腰三角形的判定与性质、线段垂直平分线的判定、旋转性质、对顶角相等、三角形的内角和定理，熟练掌握相关知识的联系与运用是解答的关键． 23. 新趋势综合与实践：小新和小颖在学习等腰三角形的相关知识后，明白了要把两腰分散到两个三角形中用全等去思考，寻找或构造两腰为斜边的两个直角三角形全等，再由全等三角形的性质得出结论解决问题，这就是数学中重要的学习方法“构造法”． 【初步感知】 （1）如图1，等腰直角三角形中，小新先得出然后得出了三条线段的数量关系，在此过程中，全等的依据是 ，三条线段的数量关系为_____． 【实践解决】 （2）如图2，四边形中，为等腰直角三角形，若，求的面积． 小颖发现，可以构造以为斜边的两个直角三角形，具体如下：作于点M，交的延长线于点N，请你根据提示，求出的面积． 【拓展应用】 （3）如图3，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（2，0），点B的坐标为（5，0），点P为线段AB外一动点，且请直接写出线段AM长的最大值及此时点P的坐标． 【答案】（1）， （2）3 （3）线段长的最大值为，点的坐标为或者 【解析】 【分析】（1）利用同角的余角相等得到，再证，得到对应的线段相等，等量代换得出答案； （2）根据题目的作图方法，利用同角的余角相等及两直线平行内错角相等得到，证明，最后等量代换求出答案； （3）将将绕点顺时针旋转得到，证，得到，将求最大转化为求最大，且因为是等腰直角三角形，得出为定长，点为定点，所以的运动轨迹是点为圆心，为半径的圆，从而解出答案． 【小问1详解】 解：∵是等腰直角三角形，且， ∴， 又∵， ∴， ∴ ∴在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴． 【小问2详解】 解：作于点M，交的延长线于点N， ∴， 又∵为等腰直角三角形 ∴，即 ， ∵， ∴，则， 在和中，， ∴， ∴， ∵， ∴四边形为矩形，则， ∵， ∴， ． 【小问3详解】 解：如下图所示，将绕点顺时针旋转得到，连接， 则，即是等腰直角三角形， ∵， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴ ∴当最大时，就最大， 在中，， 点为定点，为， ∴点的运动轨迹为以点为圆心，为半径的圆，作交轴于点， 过点作垂直于轴， 如图2所示， ， 当点与点重合时，最大，则最大， 此时点在线段的垂直平分线上，即是线段的垂直平分线， 且是等腰直角三角形，， ∴， ∵点A的坐标为（2，0），点B的坐标为（5，0）, ∴， ， ， ， ∴点的坐标为或者． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $