精品解析：山东济南市长清区2025-2026学年七年级下学期期中考试数学试题

七年级阶段检测 数学试题 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．本试题共8页，满分150分，考试时间为120分钟． 答卷前请考生务必将自己的姓名、座号和准考证号填写在答题卡上，并同时将考点、姓名、准考证号和座号填在试卷规定的位置． 第Ⅰ卷 选择题（共40分） 一、选择题（本题共10个小题，满分40分．在每小题给出的选项中，只有一项符合题目要求．） 1. 在科研人员的不懈努力下，我国成功制造出了“超薄钢”，打破了日德垄断．据悉，该材料的厚度仅有0.000015米，将数据0.000015用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同． 【详解】解：将数据0.000015用科学记数法表示为， 故选：A． 2. 下列事件中是不可能事件的是（　　） A. 水滴石穿 B. 瓮中捉鳖 C. 水中捞月 D. 守株待兔 【答案】C 【解析】 【分析】不可能事件是一定不会发生的事件，依据定义即可判断． 【详解】解：A、水滴石穿，是必然事件； B、瓮中捉鳖，是必然事件； C、水中捞月，是不可能事件； D、守株待兔，是随机事件； 故选C． 【点睛】本题考查了随机事件，解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件．不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件． 3. 已知一个三角形的两边长分别是和，则它的第三边长不能是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据三角形三边关系求出第三边的取值范围，再判断哪个选项不符合范围即可． 【详解】解：设三角形第三边长为， ∴，即， ∵只有7不在这个取值范围内， ∴第三边长不能是． 4. 全家观影已成为过年新民俗．2025年春节档共有四部重磅影片上映，分别是《射雕英雄传：侠之大者》《封神第二部：战火西岐》《哪吒之魔童闹海》《熊出没：重启未来》．若小明从中随机选择一部影片观看，则这部影片是《哪吒之魔童闹海》的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了简单的概率计算，直接用《哪吒之魔童闹海》的数量除以电影总数即可得到答案． 【详解】解：∵一共有四部电影，每部电影被选择的概率相同， ∴小明从中随机选择一部影片观看，则这部影片是《哪吒之魔童闹海》的概率是， 故选：B． 5. 如图，，平分，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的定义，邻补角的性质，平行线的性质，由角平分线的定义得，即得，再根据平行线的性质即可求解，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】解：∵平分，， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：． 6. 如图，若，且，，则的长为（ ） A. 3 B. 4 C. 4.5 D. 5 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的性质，根据全等三角形的对应边相等，得到，再根据线段的和差关系进行求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴； 故选A． 7. 如图，某同学做了一个角平分仪，其中，将仪器上的点与的顶点重合，调整和，使它们分别落在角的两边上，过点画一条射线就是的平分线．此角平分仪的画图原理是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是本题的关键．由“”可证，可得，可证就是的平分线，即可求解． 【详解】解：在和中， ， ， ， 是的平分线， 故选：B． 8. 如图，天然气主管道的同侧有，两个小区，某市计划从主管道引一条支管道连接，两小区，下面的四个铺设方案中，所引天然气支管道长度最短的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据两点间线段最短可得B方案小于C，D方案，再根据垂线段最短得到B方案小于A方案即可解题． 【详解】解：根据垂线段最短和两点间线段最短，可得所引天然气支管道长度最短的是B选项， 故答案为：B． 9. 如图，，，平分交于点E，点F为线段延长线上一点，，则下列结论正确的有______． ①； ②； ③； ④． A. ①② B. ①②③ C. ①②④ D. ②③④ 【答案】C 【解析】 【分析】根据同旁内角互补得两直线平行，根据两直线平行得同旁内角互补，①成立；根据和进行等量代换得同旁内角互补，所以两直线平行，②成立；根据两直线平行内错角相等、同位角相等以及角平分线定义得到④成立；条件不充分，无法证明③是否成立． 【详解】解：，， ， ， ，①成立， ， ， ， ，②成立， ，， 平分， ， ．④成立． 无法证明，故③不成立． 10. 已知整数、···满足下列条件：，（n为正整数），以此类推，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查有理数运算与数字规律探究，先计算前几项总结规律，再代入计算即可. 【详解】解：∵ ， ∴ ， ， ， ， ， 观察可得：当为偶数时，， ∴ ． 第II卷 非选择题（共110分） 二、填空题（本题共5个小题，满分20分） 11. 已知∠A＝30°，则∠A的余角为_____°． 【答案】60 【解析】 【分析】若两个角的和为90°，则这两个角互余，依此解答即可． 【详解】解：∵∠A＝30°， ∴∠A的余角＝90°﹣30°＝60°． 故答案为：60． 【点睛】本题考查了余角的定义，属于基础题目，熟练掌握余角的概念是解题关键． 12. 生活中有许多的相交线，如图，是一把剪刀的示意图，我们可以把它抽象成直线与直线相交于点O，当时，______度． 【答案】60 【解析】 【分析】此题主要考查了对顶角，正确把握对顶角的性质是解题关键．直接利用对顶角的性质得出答案． 【详解】解：∵直线与直线相交于点O，， ∴． 故答案为：60． 13. 如图，一块飞镖游戏板由大小相等的小正方形格子构成．向游戏板随机投掷一枚飞镖（每次飞镖均落在游戏板上），击中阴影区域的概率是_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了求几何概率，熟练掌握几何概率的计算方法是解题的关键．飞镖游戏板由大小相等的16个小正方形格子构成，阴影区域由大小相等的3个小正方形格子构成，根据概率公式计算即可得到答案． 【详解】解：根据概率的定义可知：击中阴影区域的概率是， 故答案为：． 14. 如图，在中，平分，，且的面积为，则的面积为_______． 【答案】20 【解析】 【分析】本题考查了角平分线性质、全等三角形的判定和性质，延长交于点，证明，得到，继而得到即可得到的面积．熟练掌握以上知识点是关键． 【详解】解：如图，延长交于点， 平分， ， ， ， ， ， ，， ， 的面积为， ． 故答案为：20． 15. 在中，若存在一个内角是另外一个内角度数的倍（为大于1的正整数），则称为倍角三角形．例如，在中，，，，可知，所以为2倍角三角形．如图，直线直线于点，点、点分别在射线、上；已知、的角平分线分别与的角平分线所在的直线交于点、．若为4倍角三角形，则=___． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查直角三角形的性质及倍角三角形的定义，关键是通过角平分线的性质推导的内角关系，再结合倍角三角形的定义求解的度数． 【详解】解：∵平分，平分，且， ∴． ∵， ∴， 在中，． 又平分，故． 在中，，结合， 可得． ∵为4倍角三角形，且， ∴存在两种情况： ①直角是4倍的一个锐角，即，解得，则． ②一个锐角是4倍的另一个锐角，即，解得，则． 综上，的度数为或． 故答案为：或． 三、解答题（本题共10个小题，满分90分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 16. 已知一个角的补角比这个角大，求这个角． 【答案】 【解析】 【分析】设这个角为x，则它的补角为，依题意列出方程求解即可． 【详解】解：设这个角为x，则它的补角为， 由题意得：， 解得，． 答：这个角是． 17. 先化简，再求值：，其中，． 【答案】，. 【解析】 【分析】先利用乘法公式和单项式乘多项式运算法则展开括号内的整式，合并同类项后进行多项式除以单项式的化简，最后将给定的字母值代入化简后的整式计算结果． 【详解】解：原式 ． 当，时，原式． 18. 如图，在中，，于点，平分， （1）求的度数； （2）求的度数． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了直角三角形的性质，三角形内角和定理，角平分线定义， 对于（1），根据直角三角形的两个锐角互余可得答案； 对于（2）， 先求出，再根据角平分线的定义可得，然后求出，最后根据邻补角的定义解答． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：∵， ∴． ∵平分， ∴． 在中，， ∴． 19. 阅读并完成下面的证明： 如图，点F在线段上，线段的延长线与线段的延长线相交于点E，，，求证：． 解：∵（已知）， ∴_________（____________________________）． ∵（已知）， ∴_____________（________________________）． ∵（已知）， ∴． 即___________． ∵（已证）， ∴____________=______________（等量代换）． ∴（_________________________________） 【答案】；两直线平行，同位角相等；；等量代换；；；；内错角相等，两直线平行． 【解析】 【分析】本题考查了平行线的判定和性质．利用平行线的性质求得，得到，再根据平行线的判定定理即可证明． 【详解】解：∵（已知）， ∴（两直线平行，同位角相等）． ∵（已知）， ∴（等量代换）． ∵（已知）， ∴． 即． ∵（已证）， ∴（等量代换）． ∴（内错角相等，两直线平行） 20. 在一个不透明的盒子里装有若干个相同的红球，为了估计盒子里红球的数量，九(1)班学生分组做摸球试验：每组先将10个与红球大小形状完全相同的白球装入盒子中，搅匀后从中随机摸出一个球并记下颜色，再把它放回盒子中，不断重复．如表是统计汇总各小组数据后获得的全班数据统计表： 摸球的次数 摸到白球的次数 摸到白球的频率 （1）①表中的 ； (结果保留三位小数)； ②根据上表估计，摸到白球的概率是 (结果保留一位小数)； （2）试估算这个不透明的盒子中红球的个数． 【答案】（1）①，；②； （2）估算这个不透明的盒子中红球有个 【解析】 【分析】（1）①根据频率频数样本总数，即可求解； ②利用频率估计概率可得摸到白球的概率； （2）先利用频率估计概率可得摸到白球的概率，根据白球的个数求出球的总个数，再利用球的总个数减去白球的个数，即可得出红球的个数． 【小问1详解】 解：①，； 故答案为：，； ②根据上表估计，摸到白球的概率是； 故答案为：； 【小问2详解】 解：由题意得，摸到白球的概率为， 因此球的总个数为：个， 红球个数为：个， 所以估算这个不透明的盒子中红球有个． 21. 图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，点A、B、C均在格点上，只用无刻度的直尺在给定的网格中，分别按下列要求作图，保留适当的作图痕迹． （1）在图①中作的边上的中线． （2）在图②中作的边上的高线． （3）在图③中过点B作的平行线．（要求：画出平行线经过的格点） 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3）见解析 【解析】 【分析】（1）占两个格子，找到的中点为点D，连接即为所求； （2）将点B向左移1个格子所在的点为点E，连接即为所求； （3）横着占3个格子，竖着占4个格子，将点B向右移3个格子，再向下移4个格子所在的点为点F，连接即为所求． 【小问1详解】 解：如图所示： ； 【小问2详解】 解：如图所示： ； 【小问3详解】 解：如图所示： ． 22. 已知：如图，点A、B、C、D在一条直线上，． （1）求证：； （2）若，求的度数． 【答案】（1）见解析；（2）60° 【解析】 【分析】（1）根据已知条件证明△ACE≌△BDF，即可得到结论； （2）根据全等三角形的性质得到∠D=∠ACE=80°，再利用三角形内角和定理求出结果. 【详解】解：（1）∵AE∥BF， ∴∠A=∠DBF， ∵AB=CD， ∴AB+BC=CD+BC，即AC=BD， 又∵AE=BF， ∴△ACE≌△BDF（SAS）， ∴∠E=∠F； （2）∵△ACE≌△BDF， ∴∠D=∠ACE=80°， ∵∠A=40°， ∴∠E=180°-∠A-∠ACE=60°. 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质和三角形内角和，解题的关键是找出三角形全等的条件. 23. 如图，等边的边长为，点在边上以每秒的速度从向运动，到点停止；点在射线上以每秒的速度从向运动，随着点的停止而停止；设运动时间为秒． （1）用含t的式子表示线段长度： ______， ______； （2）当时，求的值； （3）若运动过程中，线段与边交于点，请问是否存在点为线段中点的情况？若存在，请求出此时的值和的长度；若不存在，请说明理由． 【答案】（1），； （2） （3）存在，， 【解析】 【分析】（1）根据题意列出代数式即可； （2）当时，，为等边三角形，进行求解即可； （3）假设存在点为线段中点的情况．过点作交于点．证明 ，得出相等的线段，然后列方程求解即可． 【小问1详解】 根据题意得，，； 【小问2详解】 当时，， ∴为等边三角形， ∴．∴，解得：； 【小问3详解】 存在． 过点作交于点，如图2所示； ∴，， 在中，， ∴是等边三角形， ∴， ∵点为线段中点， ∴，在和中， ， ∴， ∴，， ∴ ， ∴，解得：， ∴当秒时，点为线段中点，此时， ∴， ∵， ∴． 24. 【问题情境】：在综合实践课上，老师组织班上的同学开展了探究两角之间数量关系的数学活动，如图1，已知直线，点E、G分别为直线、上的点，点F是平面内任意一点，连接、． 【探索发现】： （1）如图1，若，写出与的数量关系：______； 【深入探究】： （2）如图2点P、Q分别是直线上的点，且，直线，交于点K，“智胜小组”探究与之间的数量关系．请写出它们的关系，并说明理由； （3）如图3，在（2）的探究基础上，，“科创小组”探究与之间的数量关系．请直接写出它们的关系． 【答案】（1） （2）与之间的数量关系为，理由见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）过点F作平行于的直线，利用平行线的内错角相等，将和转化为同一个角的两部分． （2）利用推出，再利用平行线的性质即可求证． （3）过点M作，设，利用平行线的性质即可求证． 【小问1详解】 解：过点F作， ， ， ，， ． 【小问2详解】 解：设， 与是对顶角， ， ， ， ， 又， ， ， ． 【小问3详解】 ∵， ∴设， 过点M作， ， ， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴． 25. 已知，在中，，D，A，E三点都在直线m上，．     （1）如图①，若，则与的数量关系为_______，，与的数量关系为_______． （2）如图②，当不垂直于时，（1）中的结论是否成立？请说明理由． （3）如图③，若只保持，，，点A在线段上以的速度由点D向点E运动，同时，点C在线段上以的速度由点E向点F运动，它们运动的时间为．是否存在x，使得与全等？若存在，求出相应的t与x的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）， （2）成立，理由见解析 （3）存在，，或， 【解析】 【分析】本题是三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定与性质、三角形内角和定理以及分类讨论等知识，本题综合性强，证明三角形全等是解题的关键，属于中考常考题型， （1）由平角的定义和三角形内角和定理得，再由证明，得，，即可解决问题； （2）同（1）得，得，，即可得出结论； （3）分或两种情形，分别根据全等三角形的性质求出t的值，即可解决问题． 【小问1详解】 解：， ， ， ，， ， ，， ， ， 故答案为：，； 【小问2详解】 解：成立，，，理由如下： 同（1）得：， ，， ， ， 【小问3详解】 解：存在，理由如下： 当时，，， ， ， ， ， 当时， ，， ， ， 综上所述，存在，使得与全等，，或，． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 七年级阶段检测 数学试题 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．本试题共8页，满分150分，考试时间为120分钟． 答卷前请考生务必将自己的姓名、座号和准考证号填写在答题卡上，并同时将考点、姓名、准考证号和座号填在试卷规定的位置． 第Ⅰ卷 选择题（共40分） 一、选择题（本题共10个小题，满分40分．在每小题给出的选项中，只有一项符合题目要求．） 1. 在科研人员的不懈努力下，我国成功制造出了“超薄钢”，打破了日德垄断．据悉，该材料的厚度仅有0.000015米，将数据0.000015用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 2. 下列事件中是不可能事件的是（　　） A. 水滴石穿 B. 瓮中捉鳖 C. 水中捞月 D. 守株待兔 3. 已知一个三角形的两边长分别是和，则它的第三边长不能是（ ） A. B. C. D. 4. 全家观影已成为过年新民俗．2025年春节档共有四部重磅影片上映，分别是《射雕英雄传：侠之大者》《封神第二部：战火西岐》《哪吒之魔童闹海》《熊出没：重启未来》．若小明从中随机选择一部影片观看，则这部影片是《哪吒之魔童闹海》的概率是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，，平分，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，若，且，，则的长为（ ） A. 3 B. 4 C. 4.5 D. 5 7. 如图，某同学做了一个角平分仪，其中，将仪器上的点与的顶点重合，调整和，使它们分别落在角的两边上，过点画一条射线就是的平分线．此角平分仪的画图原理是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，天然气主管道的同侧有，两个小区，某市计划从主管道引一条支管道连接，两小区，下面的四个铺设方案中，所引天然气支管道长度最短的是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，，，平分交于点E，点F为线段延长线上一点，，则下列结论正确的有______． ①； ②； ③； ④． A. ①② B. ①②③ C. ①②④ D. ②③④ 10. 已知整数、···满足下列条件：，（n为正整数），以此类推，则的值为（ ） A. B. C. D. 第II卷 非选择题（共110分） 二、填空题（本题共5个小题，满分20分） 11. 已知∠A＝30°，则∠A的余角为_____°． 12. 生活中有许多的相交线，如图，是一把剪刀的示意图，我们可以把它抽象成直线与直线相交于点O，当时，______度． 13. 如图，一块飞镖游戏板由大小相等的小正方形格子构成．向游戏板随机投掷一枚飞镖（每次飞镖均落在游戏板上），击中阴影区域的概率是_______． 14. 如图，在中，平分，，且的面积为，则的面积为_______． 15. 在中，若存在一个内角是另外一个内角度数的倍（为大于1的正整数），则称为倍角三角形．例如，在中，，，，可知，所以为2倍角三角形．如图，直线直线于点，点、点分别在射线、上；已知、的角平分线分别与的角平分线所在的直线交于点、．若为4倍角三角形，则=___． 三、解答题（本题共10个小题，满分90分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 16. 已知一个角的补角比这个角大，求这个角． 17. 先化简，再求值：，其中，． 18. 如图，在中，，于点，平分， （1）求的度数； （2）求的度数． 19. 阅读并完成下面的证明： 如图，点F在线段上，线段的延长线与线段的延长线相交于点E，，，求证：． 解：∵（已知）， ∴_________（____________________________）． ∵（已知）， ∴_____________（________________________）． ∵（已知）， ∴． 即___________． ∵（已证）， ∴____________=______________（等量代换）． ∴（_________________________________） 20. 在一个不透明的盒子里装有若干个相同的红球，为了估计盒子里红球的数量，九(1)班学生分组做摸球试验：每组先将10个与红球大小形状完全相同的白球装入盒子中，搅匀后从中随机摸出一个球并记下颜色，再把它放回盒子中，不断重复．如表是统计汇总各小组数据后获得的全班数据统计表： 摸球的次数 摸到白球的次数 摸到白球的频率 （1）①表中的 ； (结果保留三位小数)； ②根据上表估计，摸到白球的概率是 (结果保留一位小数)； （2）试估算这个不透明的盒子中红球的个数． 21. 图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，点A、B、C均在格点上，只用无刻度的直尺在给定的网格中，分别按下列要求作图，保留适当的作图痕迹． （1）在图①中作的边上的中线． （2）在图②中作的边上的高线． （3）在图③中过点B作的平行线．（要求：画出平行线经过的格点） 22. 已知：如图，点A、B、C、D在一条直线上，． （1）求证：； （2）若，求的度数． 23. 如图，等边的边长为，点在边上以每秒的速度从向运动，到点停止；点在射线上以每秒的速度从向运动，随着点的停止而停止；设运动时间为秒． （1）用含t的式子表示线段长度： ______， ______； （2）当时，求的值； （3）若运动过程中，线段与边交于点，请问是否存在点为线段中点的情况？若存在，请求出此时的值和的长度；若不存在，请说明理由． 24. 【问题情境】：在综合实践课上，老师组织班上的同学开展了探究两角之间数量关系的数学活动，如图1，已知直线，点E、G分别为直线、上的点，点F是平面内任意一点，连接、． 【探索发现】： （1）如图1，若，写出与的数量关系：______； 【深入探究】： （2）如图2点P、Q分别是直线上的点，且，直线，交于点K，“智胜小组”探究与之间的数量关系．请写出它们的关系，并说明理由； （3）如图3，在（2）的探究基础上，，“科创小组”探究与之间的数量关系．请直接写出它们的关系． 25. 已知，在中，，D，A，E三点都在直线m上，．     （1）如图①，若，则与的数量关系为_______，，与的数量关系为_______． （2）如图②，当不垂直于时，（1）中的结论是否成立？请说明理由． （3）如图③，若只保持，，，点A在线段上以的速度由点D向点E运动，同时，点C在线段上以的速度由点E向点F运动，它们运动的时间为．是否存在x，使得与全等？若存在，求出相应的t与x的值；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $