精品解析：山东省济南市长清区2024-2025学年下学期七年级数学期中试题

七年级阶段检测 数学试题 本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分．本试题共6页，满分150分，考试时间为120分钟． 答卷前请考生务必将自己的姓名、座号和准考证号填写在答题卡上，并同时将考点、姓名、准考证号和座号填在试卷规定的位置．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 第I卷选择题（共40分） 一、选择题（本题共10个小题，满分40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 在2025年蛇年春晚上，一群会跳舞、能抛手绢的人形机器人惊艳亮相，机器人的研发也成为当今时代科研的重点．中国科学院研发出新型的工业纳米机器人，其大小约为，则用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正数；当原数的绝对值时，n是负数，据此解答即可． 【详解】解：． 故选：C． 2. 下列选项中，属于必然事件的是 （ ） A. 明天太阳从东方升起 B. 掷一次骰子，向上的一面是6点 C. 经过某一有交通信号灯的路口，遇到红灯 D. 从装有多个白球的箱子里取出两个红球 【答案】A 【解析】 【分析】根据随机事件的定义，必然事件的定义对各选项进行逐一分析即可． 【详解】解：A、明天太阳从东方升起是必然事件，符合题意； B、掷一次骰子，向上的一面是6点是随机事件，不符合题意； C、经过某一有交通信号灯的路口，遇到红灯是随机事件，不符合题意； D、从装有多个白球的箱子里取出两个红球是不可能事件，不符合题意． 故选：A． 【点睛】本题考查的是随机事件与必然事件的含义，熟知“在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，称为随机事件，在一定条件下，一定发生的时间是必然事件，一定不会发生的事件是不可能事件”是解题的关键． 3. 下列计算正确的是( ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】试题解析：A. ，故原选项错误； B. ，正确； C. ，故原选项错误； D. ，故原选项错误. 故选B. 4. 如图，直线分别交、于点、，若，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平行线性质的应用（根据平行线的性质求角的度数），熟练掌握平行线的性质是解题的关键． 由两直线平行同旁内角互补可得，由对顶角相等可得，由此即可求出的度数． 【详解】解：， ， ， 故选：． 5. 如图，斑马线的作用是为了引导行人安全地通过马路．小丽站在点A处，她觉得沿AP走过斑马线到达马路边BC更节省时间，这一想法体现的数学依据是（ ） A. 两点之间，线段最短 B. 两点确定一条直线 C. 过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 D. 垂线段最短 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查垂线的性质，解题的关键是掌握垂线段最短． 根据垂线的性质进行解答即可． 【详解】解：A、连接两点的所有线中，线段最短，故A不符合题意； B、两点确定一条直线，是直线的性质，故B不符合题意． C、垂线的性质，故C不符合题意； D、直线外一点到这条直线上各点的连线中，垂线段最短，故D符合题意； 故选：D． 6. 若是完全平方式，则的值是（ ） A. 6 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查完全平方式，根据完全平方式的特点，首平方，尾平方，首尾的两倍放中间，进行求解即可． 【详解】解：由条件可得， ∴， 故选：B． 7. 如图，下列条件：①；②；③；④；⑤．其中，能判定的条件有（ ） A. 5个 B. 4个 C. 3个 D. 2个 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了平行线的判定定理，根据平行线的判定定理逐项分析即可得解，熟练掌握平行线的判定定理是解此题的关键． 【详解】解：①∵，∴，故①符合题意； ②∵，∴，故②不符合题意； ③∵，∴，故③不符合题意； ④∵，∴，故④符合题意； ⑤∵，∴，故⑤符合题意； 综上所述，正确的有①④⑤，共个， 故选：C． 8. 北京时间12月4日，我国申报的“春节——中国人庆祝传统新年的社会实践”在联合国教科文组织保护非物质文化遗产政府间委员会第19届常会上通过评审，列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录，为迎接春节到来，某商场规定：购物满88元以上都可以获得一次转动转盘的机会，如图①所示，当转盘停止时，指针指向哪个区域顾客就获得对应的奖品，转动转盘若干次，其中指针落入优胜奖区域的频率如图②所示，则转盘中优胜奖区域的圆心角的度数近似为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了利用频率估计概率，根据图表信息获取其频率信息估计概率，从而根据占比计算其圆心角度数即可． 【详解】解：如图②，随着次数的增加，频率趋向于， 以频率估计概率，即， 优胜奖区域的圆心角， 故选：B． 9. 已知，则a，b的值分别是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了多项式乘以多项式，熟练掌握多项式乘以多项式的运算法则是解题关键．先利用多项式乘以多项式法则计算等式的左边，再与等式的右边比较系数即可得． 【详解】解：， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 10. 根据，，， 的规律，则的个位数字是（ ） A. 3 B. 5 C. 7 D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查数字规律，根据所给式子得出规律，令，，求出，得出个位数的规律即可解答． 【详解】解：由题意知：， ， ， 所以，， 令，，则有： ， 因为以2为底的乘方的运算结果个位数字按2，4，8，6循环，且余2， 所以的个位数字为4， 则的个位数字为3． 故选：A． 第II卷非选择题（共110分） 二、填空题（本题共5个小题，满分20分） 11. _____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了积的乘方与幂的乘方运算，根据这两种运算法则计算即可． 详解】解：； 故答案为：． 12. 如图，飞镖游戏板中每一块小正方形除颜色外都相同．小亮每次投掷飞镖均扎在该飞镖游戏板上，且扎在飞镖板上任意点处的机会是均等的．则小亮随机投掷一次飞镖，飞镖扎在阴影区域的概率是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了几何概率计算公式及应用，熟练掌握面积之比几何概率是解题的关键． 根据飞镖扎在阴影区域的概率阴影区域面积与总面积之比，计算即可得到答案． 【详解】解：设小正方形面积为， 飞镖游戏板由大小相等的个小正方形构成， 飞镖游戏板的面积为，阴影区域面积为， 飞镖扎在阴影区域的概率是， 故答案为：． 13. 如果一个角的余角比这个角少，则这个角的度数是______． 【答案】##60度 【解析】 【分析】本题考查了余角及一元一次方程；设这个角为x度，则可表示出其余角，根据条件建立方程即可求解． 【详解】解：设这个角为x度，则其余角为度， 由题意得：， 解得：， 即这个角是； 故答案为：． 14. 如图，把一张长方形纸片ABCD沿EF折叠后，D、C分别在M、N的位置上，EM与BC的交点为G，若，则______． 【答案】126° 【解析】 【分析】据两直线平行，内错角相等求出∠DEF，再根据翻折的性质以及平角等于180°，求出∠1，然后根据两直线平行，同旁内角互补，列式计算即可得解． 【详解】解：∵长方形纸片ABCD的边ADBC，∠EFG＝63°， ∴∠DEF＝∠EFG＝63°， 根据翻折的性质，可得∠1＝180°﹣2∠DEF＝180°﹣2×63°＝54°， 又∵ADBC， ∴∠1+∠2＝180°， ∴∠2＝180°﹣∠1＝180°﹣54°＝126°． 故答案为：126°． 【点睛】本题考查平行线的性质，翻折变换的性质，熟记各性质是解题的关键． 15. 如图，，点E，F在直线上（F在E的左侧），点G在直线上，，垂足为H，P为线段上的一动点，连接，，与的角平分线交于点Q，且点Q在直线，之间的区域，下列结论： ①； ②； ③若，则； ④若，则，其中n为正整数． 上述说法正确的是 ________（写出所有正确结论的序号）． 【答案】①③④ 【解析】 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，三角形的内角和定理等知识，过点H作，利用平行线的性质可得，即可判断①；根据角平分的定义可得，，再根据三角形内角和定理，根据，利用平行线的性质即可判断②；设，则，利用①的结论即可判断③，同上可判断④． 【详解】解：如图，过点H作， ∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴，故①正确； ∵与的角平分线交于点Q， ∴， ∴， 根据①中的结论，可得， ∴ ， ∵， ∴， ∴， ∴，故②错误； 设，则， ∴， 根据①中结论可得， ∴， ∴，故③正确； 设，则， ∴， ∴， 根据①中结论可得，故④正确． 故答案为：①③④． 三、解答题（本题共10个小题，满分90分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 16. 计算： 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了负整数指数幂，零指数幂及乘方的计算，掌握运算法则是关键；先计算出整数指数幂，再相加减即可． 【详解】解： ． 17. 计算： 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了整式的乘法，涉及平方差公式，乘法分配律，合并同类项等知识，正确进行运算是关键；利用平方差公式及乘法分配律展开，再合并同类项即可． 【详解】解： ． 18. 如图，若，，那么与平行吗？阅读下面的解答过程，并填空（理由或数学式）． 解：（①_____）， （平角的定义）， （②_____）． ③_____（④_____）． （⑤_____）． （已知）， ⑥_____（等量代换）． （⑦_____）． 【答案】①已知；②同角的补角相等；③；④同位角相等，两直线平行；⑤两直线平行，同位角相等；⑥；⑦内错角相等，两直线平行 【解析】 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，补角的性质，掌握平行线的判定与性质是解题的关键；读懂推理过程，利用平行线的判定与性质即可完成． 【详解】解：（已知）， （平角的定义）， （同角的补角相等）． （同位角相等，两直线平行）． （两直线平行，同位角相等）． （已知）， （等量代换）． （内错角相等，两直线平行）． 故答案为：①已知；②同角补角相等；③；④同位角相等，两直线平行；⑤两直线平行，同位角相等；⑥；⑦内错角相等，两直线平行． 19. 一个不透明的袋中装有红、黄、白三种颜色的球共10个，它们除了颜色外完全相同，其中黄球个数比白球个数的3倍少1个，从袋中摸出一个球是黄球的概率为0.5． （1）袋中有黄球_____个、白球_____个； （2）向袋中放入若干个红球，使摸出一个球是红球的概率为，求放入红球的个数． 【答案】（1）5，2 （2）放入白球个数为4个 【解析】 【分析】本题考查了概率，已知概率求数量，一元一次方程等知识，掌握概率公式是关键． （1）设黄球有m个，由概率关系列出方程即可求得黄球的个数，再根据题中关系求得白球个数； （2）求出原来袋中红球个数；设放入白球个数为x个，根据摸出一个球是红球的概率为0.5，列出方程，解方程即可． 【小问1详解】 解：设黄球有m个，由题意得：， 解得：； 则白球个数为：（个）； 即黄球有5个，白球有2个； 故答案为：5个，2个； 【小问2详解】 解：原来袋中红球有（个） 设放入白球个数为x个，根据题意得： ，解得：， 答：放入白球个数为4个． 20. 先化简，再求值：，其中，，． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了整式的混合运算，求代数式的值；依次计算完全平方公式，多项式除以单项式，再合并同类项，最后代入数值计算即可． 【详解】解： ； 当，时，原式=． 21. 如图是一个方格纸，完成下列任务： （1）过点画线段的平行线； （2）过点画线段的垂线，垂足为； （3）连接和，若图中每个小正方形的边长为1，则的面积是_____． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】本题考查了平行线和垂线的画法，割补法求三角形面积，熟练掌握三角形面积公式是解题的关键． （1）作出平行线即可； （2）作出垂线即可； （3）利用割补法求解即可． 【小问1详解】 解：如图所示，即为所求： 【小问2详解】 解：如图所示即为所求： 【小问3详解】 解：如图所示进行连接： ∴． 22. 如图，直线、相交于，平分，于点，，求、的度数． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查余角，补角及角平分线的定义．解题的关键：利用余角和对顶角的性质，即可求出的度数，利用角平分线及补角的性质又可求出的度数． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∵与是对顶角， ∴， ∵平分， ∴， ∴． ∴，． 23. 如图1，在边长为的正方形中作一个边长为的正方形，则余下的阴影部分拼成一个以为长、为宽的长方形，如图2． 【探究】 （1）请列式表示： 图1中阴影部分的面积为_____， 图2中阴影部分的面积为_____； 根据两图中阴影面积相等，可以得到乘法公式是：_____． [应用] （2）根据（1）中公式解决如下问题： ①若，，则_____； ②计算：． 【答案】（1），，；（2）①4；② 【解析】 【分析】本题考查了图形面积与乘法公式，平方差公式的应用及变形应用，掌握公式结构特点是解题的关键． （1）图1中阴影部分面积为大正方形面积减去小正方形面积即可求得；图2中阴影部分的面积利用长方形面积计算即可；根据两图中阴影部分面积相等即可得到乘法公式； （2）①由，得，把数值代入即可求解； ②根据算式特点，式子乘，然后从左到右依次利用平方差公式计算即可． 【详解】解：（1）图1中阴影部分面积为大正方形面积减去小正方形面积，即；图2中阴影部分的面积即长方形面积为：； 两部分面积相等，故有； 故答案为：，，； （2）①∵， ∴， 故答案为：4； ② ． 24. 规定两数，之间的一种运算，记作：如果，那么．例如：因为，所以． （1）根据上述规定，填空：_____； （2）若，，且，求的值． （3）①若，，，请你尝试证明：； ②进一步探究这种运算时发现一个结论：， 证明：设，，， ，即． ． 结合①，②探索的结论，计算：_____． 【答案】（1）3 （2） （3）①见解析；② 【解析】 【分析】本题考查了新运算，同底数幂乘法，幂的乘方，理解新运算是解题的关键． （1）根据规定的运算计算即可； （2）根据规定的运算得，，则，由即可求解； （3）①由规定的运算得，，，再根据，即，即可证明结论成立； ②由材料中结论得；设，，则，再由规定的运算即可求得c的值，从而求得结果． 【小问1详解】 解：∵， ∴； 故答案为：3； 【小问2详解】 解：∵，，且， ∴，， ∴； 【小问3详解】 ①证明：，，， ，，， ， ， 即：， ； ②解： ； 设，，则， ， ， ， ， ， 故答案为：3． 25. 已知直线，在三角形纸板中，． （1）将三角形按如图1放置，点和点分别在直线上，若，则__________； （2）将三角形按图2放置，点E和点G分别在直线、上，交于点H，若，．试求之间的数量关系； （3）在图2中，若，将三角形绕点以每秒的速度顺时针旋转一周，设运动时间为秒．当三角形的一条直角边分别与平行时，求出相应的值（直接写出答案）． 【答案】（1） （2） （3）或或或 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质，平行公理的应用，过“拐点”构造平行线是解题关键． （1）过F点作，根据、即可求解； （2）过F点作，根据、即可求解； （3）根据题意画出满足条件的几何图，分四种情况讨论，求出旋转的角度即可求解． 【小问1详解】 解：过F点作，如图所示： ∵，， ∴， ∴，， ∴； 故答案为：； 【小问2详解】 解：过F点作，如图所示： ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， 即：； 【小问3详解】 解：∵，， ∴， 时，如图所示： 此时：， 旋转角度， ∴； 时，如图所示： 此时：旋转角度， ∴； 时，如图所示： 此时：， 旋转角度， ∴； 时，如图所示： 此时：， 旋转角度为：， ∴； 综上所述：的值为：或或或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 七年级阶段检测 数学试题 本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分．本试题共6页，满分150分，考试时间为120分钟． 答卷前请考生务必将自己的姓名、座号和准考证号填写在答题卡上，并同时将考点、姓名、准考证号和座号填在试卷规定的位置．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 第I卷选择题（共40分） 一、选择题（本题共10个小题，满分40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 在2025年蛇年春晚上，一群会跳舞、能抛手绢的人形机器人惊艳亮相，机器人的研发也成为当今时代科研的重点．中国科学院研发出新型的工业纳米机器人，其大小约为，则用科学记数法表示为（ ） A B. C. D. 2. 下列选项中，属于必然事件的是 （ ） A. 明天太阳从东方升起 B. 掷一次骰子，向上的一面是6点 C. 经过某一有交通信号灯的路口，遇到红灯 D. 从装有多个白球的箱子里取出两个红球 3. 下列计算正确的是( ) A. B. C. D. 4. 如图，直线分别交、于点、，若，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，斑马线作用是为了引导行人安全地通过马路．小丽站在点A处，她觉得沿AP走过斑马线到达马路边BC更节省时间，这一想法体现的数学依据是（ ） A. 两点之间，线段最短 B 两点确定一条直线 C. 过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 D. 垂线段最短 6. 若是完全平方式，则的值是（ ） A. 6 B. C. D. 7. 如图，下列条件：①；②；③；④；⑤．其中，能判定的条件有（ ） A. 5个 B. 4个 C. 3个 D. 2个 8. 北京时间12月4日，我国申报的“春节——中国人庆祝传统新年的社会实践”在联合国教科文组织保护非物质文化遗产政府间委员会第19届常会上通过评审，列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录，为迎接春节到来，某商场规定：购物满88元以上都可以获得一次转动转盘的机会，如图①所示，当转盘停止时，指针指向哪个区域顾客就获得对应的奖品，转动转盘若干次，其中指针落入优胜奖区域的频率如图②所示，则转盘中优胜奖区域的圆心角的度数近似为（ ） A. B. C. D. 9. 已知，则a，b的值分别是（ ） A. B. C. D. 10 根据，，， 的规律，则的个位数字是（ ） A. 3 B. 5 C. 7 D. 1 第II卷非选择题（共110分） 二、填空题（本题共5个小题，满分20分） 11. _____． 12. 如图，飞镖游戏板中每一块小正方形除颜色外都相同．小亮每次投掷飞镖均扎在该飞镖游戏板上，且扎在飞镖板上任意点处的机会是均等的．则小亮随机投掷一次飞镖，飞镖扎在阴影区域的概率是______． 13. 如果一个角的余角比这个角少，则这个角的度数是______． 14. 如图，把一张长方形纸片ABCD沿EF折叠后，D、C分别在M、N的位置上，EM与BC的交点为G，若，则______． 15. 如图，，点E，F在直线上（F在E的左侧），点G在直线上，，垂足为H，P为线段上的一动点，连接，，与的角平分线交于点Q，且点Q在直线，之间的区域，下列结论： ①； ②； ③若，则； ④若，则，其中n为正整数． 上述说法正确的是 ________（写出所有正确结论的序号）． 三、解答题（本题共10个小题，满分90分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 16 计算： 17. 计算： 18. 如图，若，，那么与平行吗？阅读下面的解答过程，并填空（理由或数学式）． 解：（①_____）， （平角的定义）， （②_____）． ③_____（④_____）． （⑤_____）． （已知）， ⑥_____（等量代换）． （⑦_____）． 19. 一个不透明的袋中装有红、黄、白三种颜色的球共10个，它们除了颜色外完全相同，其中黄球个数比白球个数的3倍少1个，从袋中摸出一个球是黄球的概率为0.5． （1）袋中有黄球_____个、白球_____个； （2）向袋中放入若干个红球，使摸出一个球是红球的概率为，求放入红球的个数． 20. 先化简，再求值：，其中，，． 21. 如图是一个的方格纸，完成下列任务： （1）过点画线段的平行线； （2）过点画线段的垂线，垂足为； （3）连接和，若图中每个小正方形的边长为1，则的面积是_____． 22. 如图，直线、相交于，平分，于点，，求、的度数． 23. 如图1，在边长为的正方形中作一个边长为的正方形，则余下的阴影部分拼成一个以为长、为宽的长方形，如图2． 【探究】 （1）请列式表示： 图1中阴影部分的面积为_____， 图2中阴影部分的面积为_____； 根据两图中阴影面积相等，可以得到乘法公式是：_____． [应用] （2）根据（1）中的公式解决如下问题： ①若，，则_____； ②计算：． 24. 规定两数，之间的一种运算，记作：如果，那么．例如：因为，所以． （1）根据上述规定，填空：_____； （2）若，，且，求的值． （3）①若，，，请你尝试证明：； ②进一步探究这种运算时发现一个结论：， 证明：设，，， ，即． ． 结合①，②探索的结论，计算：_____． 25. 已知直线，在三角形纸板中，． （1）将三角形按如图1放置，点和点分别在直线上，若，则__________； （2）将三角形按图2放置，点E和点G分别在直线、上，交于点H，若，．试求之间的数量关系； （3）在图2中，若，将三角形绕点以每秒的速度顺时针旋转一周，设运动时间为秒．当三角形的一条直角边分别与平行时，求出相应的值（直接写出答案）． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$