精品解析：吉林松原市长岭县2025—2026学年度第二学期期中教学质量检测 八年级数学

2025—2026学年度第二学期期中教学质量检测 八年级数学试卷 一、选择题：（每小题3分，共18分） 1. 若二次根式有意义，则x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，解题关键是列出不等式求解． 根据二次根式有意义的条件，列出不等式求解． 【详解】解：∵二次根式有意义， ∴， 解得：， 因此，x的取值范围是， 故选：A． 2. 勾股数，又名毕达哥拉斯三元数，是指可以构成一个直角三角形三边的一组正整数．下列各组数中是勾股数的是（ ） A. ，，1 B. 1，3，10 C. 5，13，12 D. 3，3，6 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查勾股数的定义，勾股数需满足两个条件：三个数均为正整数，且两个较小数的平方和等于最大数的平方，根据定义逐项判断即可． 【详解】解：∵ 选项A中，不是正整数，∴ A不符合要求，错误； ∵ 选项B中， ，，，∴ B不符合要求，错误； ∵ 选项C中，5，12，13都是正整数，且，满足勾股数的定义，∴ C符合要求，正确； ∵ 选项D中， ，，，∴ D不符合要求，错误． 3. 下列计算正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据二次根式的加减运算法则求解可得． 【详解】解：A．与不是同类二次根式，不能合并； B．3与2不是同类二次根式，不能合并； C．a与a不是同类二次根式，不能合并； D．，此选项计算正确； 故选D． 【点睛】本题主要考查二次根式的加减法，解题的关键是熟练掌握二次根式的加减运算法则． 4. 如图，在平行四边形中，于点，，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由四边形是平行四边形，根据平行四边形的对角相等，可得，又因为，可得． 【详解】解：∵四边形是平行四边形，， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：B． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质：平行四边形的对角相等，还考查了垂直的定义与三角形内角和定理．题目比较简单，解题时要细心． 5. 如图，在矩形中，对角线、相交于点，点、分别是、的中点，若，，则的长是( ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由矩形的性质及勾股定理求得，再由三角形中位线定理即可求解． 【详解】解：在矩形中，，,， 由勾股定理得：， ∴， ∵点、分别是的中点， ∴是的中位线， ∴． 6. 如图，以菱形的顶点为原点，对角线所在直线为轴建立平面直角坐标系，若，点的坐标为，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】连接，用菱形对角线、边的性质，求出两边、的长度，再求出的长，进而推出点的坐标． 【详解】解：如图，连接，交于点． 四边形是菱形 ， 在 中， 点的坐标为． 二、填空题：（每小题3分，共15分） 7. 若与最简二次根式可以合并，则_____________. 【答案】1 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的化简，同类二次根式等知识点，解题的关键是掌握同类二次根式的定义． 先对二次根式进行化简，再根据同类二次根式可以合并，列出方程求解即可． 【详解】解：， ∵与最简二次根式可以合并， ∴， 解得， 故答案为：1． 8. 已知菱形的两条对角线长分别为4cm和6cm，则这个菱形的面积为______cm2． 【答案】12 【解析】 【分析】根据菱形的面积计算公式计算即可； 【详解】解：由已知得，菱形的面积等于两对角线乘积的一半， 即：4×6÷2＝12（cm2）． 故答案为：12． 【点睛】本题主要考查了菱形的面积计算，准确记住公式并正确计算是解题的关键． 9. 如图，点A表示的实数是______． 【答案】 【解析】 【分析】由勾股定理求出，即可得到点表示的实数． 【详解】解：如图， 可知， ∴表示的实数是． 10. 如图，在中，平分交边于点，，，则的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】首先证明，再根据平行四边形的性质即可解决问题． 【详解】四边形是平行四边形， ，， ， 平分， ， ， ， ， ， ， ． 11. 已知，如图长方形中，，，将此长方形折叠，使点D与点B重合，折痕为，则的长为___________ 【答案】##5厘米 【解析】 【分析】由折叠知，在中用勾股定理即可求解． 【详解】解：由折叠知， ， 在中， 解得， 故答案为：． 【点睛】此题考查了折叠的性质和勾股定理、此题难度不大，掌握折叠前后图形的对应关系，注意数形结合思想与方程思想的应用． 三、解答题（本大题共11小题，共87分） 12. 【答案】 【解析】 【详解】解：原式． 13. 一个多边形的内角和是它的外角和的4倍，求这个多边形的边数． 【答案】10 【解析】 【分析】此题主要考查了多边形的外角和与内角和公式，做题的关键是正确把握内角和公式为：，外角和为． 根据多边形的外角和为，内角和公式为：，由题意列出方程即可得解． 【详解】解：设这个多边形是n边形，由题意得： ， 解得：． 答：这个多边形的边数是10． 14. 如图，在平行四边形中，点和点是对角线上的两点，，求证：四边形是平行四边形． 【答案】见解析 【解析】 【分析】连接交于点，根据平行四边形的性质可得，，结合已知得出，即可得证． 【详解】证明：连接交于点， 四边形是平行四边形， ，， ， ，即， 四边形是平行四边形． 15. 如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小正方形的顶点叫作格点，以格点为顶点分别按下列要求画图（在每个图中分别画一个符合要求的图形即可）． （1）在图①中，画一个菱形，使它的边长为； （2）在图②中，画一个直角三角形，使它的三边长都是无理数； （3）在图③中，画一个平行四边形，使它的周长为整数，且不是特殊的平行四边形． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3）见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了格点作图，勾股定理，菱形的判定，解题的关键是熟练掌握网格特点和勾股定理． （1）根据网格特点，利用勾股定理作即可； （2）根据网格特点，借助勾股定理作即可； （3）借助网格作即可． 【小问1详解】 解：如图，菱形即为所求作的菱形； 【小问2详解】 解：如图，即为所求作的三角形； 【小问3详解】 解：如图，即为所求作的平行四边形． 16. 已知，，试求： （1）； （2） 【答案】（1）=1 （2）23 【解析】 【分析】（1）根据二次根式的乘法运算以及平方差公式求解即可； （2）利用完全平方公式对式子进行化简，然后代入求解即可． 【小问1详解】 解： =1； 【小问2详解】 解： ； 当，时， 原式 =23． 【点睛】此题考查了二次根式的加减乘除运算，涉及了平方差公式和完全平方公式，解题的关键是熟练掌握二次根式的有关运算以及平方差公式和完全平方公式． 17. 如图，一架米长的梯子斜靠在一座建筑物上，梯子底部与建筑物距离为米． （1）求梯子上端A到建筑物的底端C的距离（即的长）； （2）如果梯子的顶端A沿建筑物的墙下滑米（即米），则梯脚B将外移（即的长）多少米？ 【答案】（1）米 （2）米 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，解题的关键是熟练掌握勾股定理，在一个直角三角形中，两条直角边分别为a、b，斜边为c，那么． （1）根据勾股定理求出结果即可； （2）先根据勾股定理求出米，然后再求出的长即可． 【小问1详解】 解：在中，，米，米， 根据勾股定理可知（米）， 答：梯子上端A到建筑物的底端C的距离为米． 【小问2详解】 解：在中，，米，（米）， 根据勾股定理可知：（米）， （米） 答：梯脚B将外移0.8米． 18. 某居民小区有一块形状为矩形的绿地，绿地的长为，宽为，现要在矩形绿地中修建一个矩形花坛（即图中阴影部分），矩形花坛的长为，宽为． （1）矩形的周长是多少？ （2）除去修建花坛的地方，其他地方全修建成通道，通道上要铺上造价为8元的地砖，要铺完整个通道，求购买地砖需要花费多少元？ 【答案】（1） （2）1056元 【解析】 【分析】本题考查二次根式混合运算解决实际问题，读懂题意，熟记矩形周长及面积公式是解决问题的关键． （1）根据题意，由矩形性质直接求周长即可得到答案； （2）由矩形面积公式求出铺设地砖的面积即可得到答案． 【小问1详解】 解：矩形的绿地，绿地的长为，宽为， 矩形的周长是； 【小问2详解】 解：由题意得购买地砖需要花费为（元）, 答：购买地砖需要花费1056元． 19. 如图，在四边形中，，，，，． （1）连接，判断的形状，并说明理由； （2）求四边形的面积． 【答案】（1）是直角三角形，见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）在中，由勾股定理求出的长度；通过计算与的关系，利用勾股定理的逆定理判断为直角三角形； （2）将四边形的面积转化为和的面积之和，分别计算两个三角形的面积后相加． 【小问1详解】 解：是直角三角形，理由如下：连接． ， ， 在中，，， ， 在中，，，， ， 是直角三角形， 【小问2详解】 解：． 四边形的面积为． 20. 在Rt△ABC中，∠BAC=90°，D是BC的中点，E是AD的中点．过点A作AF∥BC交BE的延长线于点F． （1）求证：△AEF≌△DEB； （2）证明四边形ADCF是菱形； （3）若AC=4，AB=5，求菱形ADCF 的面积． 【答案】（1）证明详见解析； （2）证明详见解析； （3）10． 【解析】 【分析】（1）利用平行线的性质及中点的定义，可利用AAS证得结论； （2）由（1）可得AF=BD，结合条件可求得AF=DC，则可证明四边形ADCF为平行四边形，再利用直角三角形的性质可证得AD=CD，可证得四边形ADCF为菱形； （3）连接DF，可证得四边形ABDF为平行四边形，则可求得DF的长，利用菱形的面积公式可求得答案． 【小问1详解】 证明：∵AF∥BC， ∴∠AFE=∠DBE， ∵E是AD的中点， ∴AE=DE， 在△AFE和△DBE中， ， ∴△AFE≌△DBE（AAS）； 【小问2详解】 证明：由（1）知，△AFE≌△DBE，则AF=DB． ∵AD为BC边上的中线， ∴DB=DC， ∴AF=CD． ∵AF∥BC， ∴四边形ADCF是平行四边形， ∵∠BAC=90°，D是BC的中点， ∴AD=DC=BC， ∴四边形ADCF是菱形； 【小问3详解】 解：连接DF， ∵AF∥BD，AF=BD， ∴四边形ABDF是平行四边形， ∴DF=AB=5， ∵四边形ADCF是菱形， ∴S菱形ADCF=AC▪DF=×4×5=10． 【点睛】本题主要考查菱形的性质及判定，全等三角形的性质与判定，平行四边形的性质与判定，直角三角形斜边上的中线，利用全等三角形的性质证得AF=CD是解题的关键，注意菱形面积公式的应用． 21. 【新定义】顺次连接一个四边形各边中点所得四边形，叫做原四边形的中点四边形；若一个四边形的中点四边形与原四边形形状完全相同，则称这个四边形为同形中点四边形． 【观察探究】如图①，在四边形中，点、、、分别是边、、、的中点，顺次连接、、、得到的四边形． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）请你探究并填空： 当四边形变成平行四边形时，它的中点四边形是； 当四边形变成矩形时，它的中点四边形是； 当四边形变成菱形时，它的中点四边形是______； （3）根据以上探究，请你总结中点四边形的形状由原四边形的什么决定的？ 【类比延伸】 （4）如图②，点、、、分别为正方形的四边中点，顺次连接、、、得到四边形，请判断四边形是否为同形中点四边形，若是，请证明；若不是，请说明理由． 【答案】（1）见解析 （2）平行四边形，菱形，矩形 （3）中点四边形的形状是由原四边形的对角线的大小关系和位置关系决定的 （4）四边形是同形中点四边形．见解析 【解析】 【分析】（1）连接，根据中位线的性质得出，．即可证明四边形是平行四边形． （2）根据平行四边形的判定，菱形、矩形的判定，结合中位线的性质，即可求解． （3）根据（2）的结论，即可求解． （4）连接，，根据正方形的性质结合中位线的性质得出，，即可得出四边形是正方形． 【小问1详解】 证明：连接． 、分别是、的中点， 是的中位线． ，． 同理得 ，． ，． 四边形是平行四边形． 【小问2详解】 解：当四边形变成平行四边形时，它的中点四边形是平行四边形； 当四边形变成矩形时，它的中点四边形是菱形； 当四边形变成菱形时，它的中点四边形是矩形； 【小问3详解】 解：中点四边形的形状是由原四边形的对角线的大小关系和位置关系决定的． 【小问4详解】 解：四边形是同形中点四边形． 理由如下：连接，． 点、、、分别为正方形的四边中点， ， ， ，，，， 四边形 是正方形， ，， ， 四边形是菱形， ，，， ， 四边形是正方形． 22. 如图①，在四边形中，，，，，，动点从点出发以的速度向点运动，同时动点从点出发，以的速度向点运动，规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动．设动点的运动时间为秒． （1）；．用含的代数式表示 （2）①当时，四边形是矩形； ②从运动开始，需要经过多长时间，才能使； （3）连接，当线段把四边形面积分成两部分时，求的值； （4）如图②，若点是线段上一点，且，那么在线段上是否存在一点，使得以点、、、为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）， （2）①；②或 （3） （4）或 【解析】 【分析】（1）根据题意列出代数式，即可求解； （2）①根据矩形的性质可得，②分两种情况讨论，当，时，即四边形是平行四边形；过点作于点，延长至，使得，当四边形是平行四边形，根据平行四边形的性质列出一元一次方程，解方程，即可求解； （3）根据梯形的面积公式分别求得四边形，的面积，根据题意列出方程，解方程，即可求解； （4）分两种情况讨论当在的左边时，当在的右侧时，分别画出图形，根据菱形的性质求得的长，进而求得的值，即可求解． 【小问1详解】 解：设动点的运动时间为秒 ∵动点从点出发以的速度向点运动，同时动点从点出发，以的速度向点运动， ∴， ∵， ∴， 【小问2详解】 解：①当四边形是矩形时， ∴ 解得：； ②当，时，四边形是平行四边形， ∴ ∴ 解得： 如图，过点作于点，延长至，使得，则， ∴ 当时， 四边形是平行四边形， ∴ ∴ 解得： 综上所述，或时，； 【小问3详解】 解： 当线段把四边形面积分成两部分时， ∴四边形的面积为四边形的或 ，解得： ，解得： 综上所述， 【小问4详解】 解：如图，当在的左边时， ∵四边形是菱形， ∴ ∵ ∴ ∴ 当在的右侧时，如图，此时， ∴， ∴ 综上所述，或时，以点、、、为顶点的四边形是菱形 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年度第二学期期中教学质量检测 八年级数学试卷 一、选择题：（每小题3分，共18分） 1. 若二次根式有意义，则x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 2. 勾股数，又名毕达哥拉斯三元数，是指可以构成一个直角三角形三边的一组正整数．下列各组数中是勾股数的是（ ） A. ，，1 B. 1，3，10 C. 5，13，12 D. 3，3，6 3. 下列计算正确的是（　　） A. B. C. D. 4. 如图，在平行四边形中，于点，，则等于（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在矩形中，对角线、相交于点，点、分别是、的中点，若，，则的长是( ) A. B. C. D. 6. 如图，以菱形的顶点为原点，对角线所在直线为轴建立平面直角坐标系，若，点的坐标为，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 二、填空题：（每小题3分，共15分） 7. 若与最简二次根式可以合并，则_____________. 8. 已知菱形的两条对角线长分别为4cm和6cm，则这个菱形的面积为______cm2． 9. 如图，点A表示的实数是______． 10. 如图，在中，平分交边于点，，，则的长为______． 11. 已知，如图长方形中，，，将此长方形折叠，使点D与点B重合，折痕为，则的长为___________ 三、解答题（本大题共11小题，共87分） 12. 13. 一个多边形的内角和是它的外角和的4倍，求这个多边形的边数． 14. 如图，在平行四边形中，点和点是对角线上的两点，，求证：四边形是平行四边形． 15. 如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小正方形的顶点叫作格点，以格点为顶点分别按下列要求画图（在每个图中分别画一个符合要求的图形即可）． （1）在图①中，画一个菱形，使它的边长为； （2）在图②中，画一个直角三角形，使它的三边长都是无理数； （3）在图③中，画一个平行四边形，使它的周长为整数，且不是特殊的平行四边形． 16. 已知，，试求： （1）； （2） 17. 如图，一架米长的梯子斜靠在一座建筑物上，梯子底部与建筑物距离为米． （1）求梯子上端A到建筑物的底端C的距离（即的长）； （2）如果梯子的顶端A沿建筑物的墙下滑米（即米），则梯脚B将外移（即的长）多少米？ 18. 某居民小区有一块形状为矩形的绿地，绿地的长为，宽为，现要在矩形绿地中修建一个矩形花坛（即图中阴影部分），矩形花坛的长为，宽为． （1）矩形的周长是多少？ （2）除去修建花坛的地方，其他地方全修建成通道，通道上要铺上造价为8元的地砖，要铺完整个通道，求购买地砖需要花费多少元？ 19. 如图，在四边形中，，，，，． （1）连接，判断的形状，并说明理由； （2）求四边形的面积． 20. 在Rt△ABC中，∠BAC=90°，D是BC的中点，E是AD的中点．过点A作AF∥BC交BE的延长线于点F． （1）求证：△AEF≌△DEB； （2）证明四边形ADCF是菱形； （3）若AC=4，AB=5，求菱形ADCF 的面积． 21. 【新定义】顺次连接一个四边形各边中点所得四边形，叫做原四边形的中点四边形；若一个四边形的中点四边形与原四边形形状完全相同，则称这个四边形为同形中点四边形． 【观察探究】如图①，在四边形中，点、、、分别是边、、、的中点，顺次连接、、、得到的四边形． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）请你探究并填空： 当四边形变成平行四边形时，它的中点四边形是； 当四边形变成矩形时，它的中点四边形是； 当四边形变成菱形时，它的中点四边形是______； （3）根据以上探究，请你总结中点四边形的形状由原四边形的什么决定的？ 【类比延伸】 （4）如图②，点、、、分别为正方形的四边中点，顺次连接、、、得到四边形，请判断四边形是否为同形中点四边形，若是，请证明；若不是，请说明理由． 22. 如图①，在四边形中，，，，，，动点从点出发以的速度向点运动，同时动点从点出发，以的速度向点运动，规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动．设动点的运动时间为秒． （1）；．用含的代数式表示 （2）①当时，四边形是矩形； ②从运动开始，需要经过多长时间，才能使； （3）连接，当线段把四边形面积分成两部分时，求的值； （4）如图②，若点是线段上一点，且，那么在线段上是否存在一点，使得以点、、、为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出的值；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $