精品解析：吉林省松原市长岭县2024-2025学年下学期期中教学质量检测 八年级数学试卷

2024-2025学年度第二学期期中教学质量检测 八年级数学试卷 一、选择题：（每小题2分，共12分） 1. 若是最简二次根式，则m的值可以是（ ） A. B. C. 11 D. 36 2. 若式子意义 ，则应满足的条件为（ ） A. B. C. D. 3. 以下列各组数为边，能组成直角三角形的一组是（ ） A. 3，4，7 B. 5，12，13 C. 7，14，25 D. 8，15，15 4. 如图，在平行四边形中，若，则等于（ ） A. B. C. D. 5. 如图，正方形的边长为，对角线，交于点，为边上一点，且，则的长为（　　） A. B. C. D. 6. 矩形、菱形都一定具有的性质是（ ） A. 对角线互相平分 B. 邻边相等 C. 对角线相等 D. 四个角都是直角 二、填空题：（每题3分，共24分） 7. 计算的结果是___________． 8. 若菱形的周长为8，则菱形的边长为___________． 9. 若矩形的长为，宽为，则长方形的面积为______． 10. 如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC的中点，若BC＝10，则DE＝____． 11. 如图，在▱ABCD中，再添加一个条件_____（写出一个即可），▱ABCD是矩形（图形中不再添加辅助线） 12. 如图，是菱形的对角线，若，则___________度． 13. 如图，，以的三边为直角边分别向外作等腰直角三角形，则图中阴影部分的面积为_________． 14. 如图，从一个大正方形中裁去面积为27和48的两个小正方形，则剩下阴影部分的面积是_____________． 三、解答题（每小题5分，共20分） 15. 计算：． 16. 计算：． 四、解答题（每小题7分，共28分） 17. 如图，在矩形中，对角线、相交于点O，已知，求的度数． 18. 已知：如图，中，，是的中点，，．求证：． 四、解答题（每小题7分，共28分） 19. 如图，点、点B分别是网格图形中的一个格点，图中每个小正方形的边长均为，请在网格中按下列要求作图． （1）以为一边，在图①中画一个格点菱形； （2）以为一边，在图②中画一个面积等于的格点平行四边形． 20. 在一次消防演习中，消防员架起一架25米长的云梯，斜靠在一面墙上：梯子底端C离墙20米，如图． （1）求这个梯子的顶端A距地面有多高？ （2）如果消防员接到命令，要求梯子的顶端上升4米（云梯长度不变），那么云梯底都在水平方向应滑动多少米？ 21. 如图，在中，，，，点是外一点，连接，，且，． （1）求的长； （2）求四边形的面积． 22. 如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，点D是BC中点，AE∥BC，CE∥AD． （1）求证：四边形ADCE是菱形； （2）过点D作DF⊥CE于点F，∠B＝60°，AB＝6，求EF的长． 五、解答题（每小题 8 分，共 16 分） 23. 如图，直线与被直线所截，且，、的平分线、交于点B，、的平分线、交于点D． （1）求的度数； （2）求证：四边形是矩形． 24. 【感知】如图①，正方形中，点在边上，平分．若我们分别延长与，交于点，则易证．（不需要证明） 【探究】如图②，在矩形中，点在边的中点，点在边上，平分．求证：． 【应用】在【探究】的条件下，若，，直接写出的长． 六、解答题（每小题10分.共20分） 25. 如图，四边形ABCD是矩形，对角线AC，BD相交于点O，延长BC到点E，使CE＝BC，连接DE． （1）求证：AC＝DE； （2）若F为BC的中点，连接OF，AC＝5，OF＝2，求BDE的周长． 26. 如图，在四边形ABCD中，，，，，． （1）求AB的长； （2）动点P从点B出发，沿射线BC以每秒2个单位长度的速度运动，同时动点Q从点A出发，沿线段AD以每秒1个单位长度的速度运动，当点Q运动到点D时，两点同时停止运动，设运动的时间为t秒． ①当t为何值时，以P、Q、D、C为顶点的四边形为平行四边形？ ②是否存在点P，使是以PQ为腰的等腰三角形？若存在，请直接写出相应的t的值；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年度第二学期期中教学质量检测 八年级数学试卷 一、选择题：（每小题2分，共12分） 1. 若是最简二次根式，则m的值可以是（ ） A. B. C. 11 D. 36 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了最简二次根式，解题的关键是熟记最简二次根式必须满足两个条件：①被开方数不含分母；②被开方数不含能开得尽方的因数或因式． 直接利用最简二次根式的定义分析得出答案． 【详解】解：A．无意义，不是最简二次根式，故该选项不符合题意； B．不是最简二次根式，故该选项不符合题意； C．是最简二次根式，故该选项符合题意； D．不是最简二次根式，故该选项不符合题意． 故选：C． 2. 若式子意义 ，则应满足的条件为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了二次根式的意义，解题的关键是列出不等式求解．根据二次根式有意义的条件即可求解． 【详解】解：若式子意义 ， 则， 解得：， 故选：C． 3. 以下列各组数为边，能组成直角三角形的一组是（ ） A. 3，4，7 B. 5，12，13 C. 7，14，25 D. 8，15，15 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理的逆定理，勾股定理的逆定理将数转化为形，作用是判断一个三角形是不是直角三角形，必须满足较小两边平方的和等于最大边的平方才能做出判断． 【详解】解：A、，不能构成三角形，不符合题意； B、，符合题意； C、，不能构成三角形，不符合题意； D、，不能构成直角三角形，不符合题意． 故选：B． 4. 如图，在平行四边形 中，若，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的性质“平行四边形对角相等和邻角互补”．根据平行四边形的性质计算即可． 【详解】解：∵四边形 是平行四边形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：D． 5. 如图，正方形 的边长为，对角线，交于点，为边上一点，且，则的长为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质，求出长是解题的关键．由正方形的性质可求的长，可得，由线段关系可求解． 【详解】解：正方形 的边长为， ， ， ， ， 故选：． 6. 矩形、菱形都一定具有的性质是（ ） A. 对角线互相平分 B. 邻边相等 C. 对角线相等 D. 四个角都是直角 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质及矩形的性质，熟知菱形和矩形的对角线的性质是解决本题的关键．根据菱形及矩形的性质解答即可． 【详解】解： A、菱形对角线互相平分，矩形的对角线互相平分，所以选项正确，符合题意； B、菱形的四条边都相等，矩形的四条边不一定相等，所以选项错误，不符合题意； C、菱形的对角线不一定相等，矩形的对角线相等，所以选项错误，不符合题意； D、矩形的四个角都是直角，菱形的四个角不一定都是直角，所以选项错误，不符合题意； 故选：A． 二、填空题：（每题3分，共24分） 7. 计算的结果是___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次根式的加减，先化简各项，再合并同类二次根式即可． 【详解】解：， 故答案为：． 8. 若菱形的周长为8，则菱形的边长为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查菱形性质：菱形四边相等，根据菱形性质：菱形四边相等直接求解即可得到答案． 【详解】解：∵菱形的周长是8， ∴菱形边长是：， 故答案为：2． 9. 若矩形的长为，宽为，则长方形的面积为______． 【答案】2 【解析】 【分析】根据长方形的面积公式和平方差公式计算即可． 【详解】解：矩形的长为，宽为，长方形的面积为 （） 故答案为：2． 【点睛】本题考查了二次根式的乘法，解题关键是熟练运用平方差公式进行计算． 10. 如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC的中点，若BC＝10，则DE＝____． 【答案】5 【解析】 【详解】试题分析：∵D、E分别是AB、AC的中点，∴DE是△ABC的中位线，∴BC=2DE，∵BC=10，∴DE=5．故答案为5． 考点：三角形中位线定理． 11. 如图，在▱ABCD中，再添加一个条件_____（写出一个即可），▱ABCD是矩形（图形中不再添加辅助线） 【答案】AC=BD 【解析】 【分析】根据矩形的判定定理（对角线相等的平行四边形是矩形）推出即可． 【详解】添加的条件是AC=BD， 理由是：∵AC=BD，四边形ABCD是平行四边形， ∴平行四边形ABCD是矩形， 故答案为AC=BD 【点睛】本题考查了矩形的判定定理的应用，注意：对角线相等的平行四边形是矩形． 12. 如图，是菱形 的对角线，若，则___________度． 【答案】40 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质，根据菱形的对角线平分对角，得出，结合菱形的对角相等，即可作答． 【详解】解：∵四边形 是菱形， ∴， ∴， 故答案为：40． 13. 如图，，以的三边为直角边分别向外作等腰直角三角形，则图中阴影部分的面积为_________． 【答案】##16平方厘米 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理、三角形面积的计算方法．难度适中，解题关键是运用勾股定理证明三个等腰直角三角形的面积之间的关系．根据勾股定理和等腰直角三角形的面积公式，可以证明：以直角三角形的两条直角边为斜边的等腰直角三角形的面积和等于以斜边为斜边的等腰直角三角形的面积．则阴影部分的面积即为以斜边为斜边的等腰直角三角形的面积的2倍． 【详解】解：图中阴影部分的面积为， ， ， ∴图中阴影部分的面积为． 故答案为：． 14. 如图，从一个大正方形中裁去面积为27和48的两个小正方形，则剩下阴影部分的面积是_____________． 【答案】72 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的应用，二次根式的性质．直接利用二次根式的性质得出两个小正方形的边长，进而得出大正方形的边长，即可得出答案． 【详解】解：∵两个小正方形面积为27和48， ∴大正方形边长为：， ∴大正方形面积为， ∴留下的阴影部分面积和为： 故答案为：72． 三、解答题（每小题5分，共20分） 15. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次根式的加减，先化简各项，再合并同类二次根式即可． 【详解】解： ． 16. 计算：． 【答案】． 【解析】 【分析】先计算二次根式的乘法，再计算二次根式的除法即可得． 【详解】解：原式， ， ． 【点睛】本题考查了二次根式的乘除运算，熟练掌握运算法则是解题关键． 四、解答题（每小题7分，共28分） 17. 如图，在矩形 中，对角线、相交于点O，已知，求的度数． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质，根据矩形的性质得到，则．进而利用外角得到． 【详解】解：∵四边形 是矩形， ∴， ∴ 又∵， ∴． 18. 已知：如图，中，，是的中点，，．求证：． 【答案】见解析 【解析】 【分析】要证明，只要证明四边形是平行四边形即可． 【详解】证明：在中，， 是的中点， ， ， ， ， 四边形是平行四边形． ． 【点睛】本题考查平行四边形的判定和性质、直角三角形斜边中线定理，熟练掌握这些性质是解决问题的关键，属于基础题． 四、解答题（每小题7分，共28分） 19. 如图，点、点B分别是网格图形中的一个格点，图中每个小正方形的边长均为，请在网格中按下列要求作图． （1）以为一边，在图①中画一个格点菱形； （2）以为一边，在图②中画一个面积等于的格点平行四边形． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】（1）根据菱形的判定画出图形即可． （2）根据平行四边形的判定，利用数形结合的思想画出图形即可． 【小问1详解】 解：如图，菱形 即为所求； 【小问2详解】 解：如图，平行四边形． 【点睛】此题考查了作图知识，解题的关键是熟悉平行四边形的判定和性质，菱形的判定和性质． 20. 在一次消防演习中，消防员架起一架25米长的云梯，斜靠在一面墙上：梯子底端C离墙20米，如图． （1）求这个梯子的顶端A距地面有多高？ （2）如果消防员接到命令，要求梯子的顶端上升4米（云梯长度不变），那么云梯底都在水平方向应滑动多少米？ 【答案】（1）这个梯子的顶端距地面有15米； （2）云梯的底部在水平方向应向左滑（）米． 【解析】 【分析】（1）利用勾股定理可得，再代入数计算即可； （2）根据题意求出EB长，再在直角△EBD中利用勾股定理计算出BD长，进而可得CD长． 【小问1详解】 解：由题意得：在Rt△ABC中，米，BC=20米， ∴根据勾股定理得：米， 答：这个梯子的顶端距地面有15米； 【小问2详解】 解：由题意得：EA=4米，则BE=19米， ∴在Rt△EBD中，根据勾股定理得： 米 ∵米， ∴米； 答：云梯的底部在水平方向应向左滑（）米． 【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用，在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型． 21. 如图，在中，，，，点是外一点，连接，，且，． （1）求的长； （2）求四边形的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）在中，利用勾股定理可求出的值，进而可求出的长； （2）由，，的长，可得出，进而可证出是直角三角形且，利用三角形的面积公式可求出及的值，将其代入中即可求出四边形的面积． 【小问1详解】 解：在中，，，， 所以． 所以． 【小问2详解】 因为，，所以． 由（1）知， 所以． 所以是直角三角形，且． 所以． 由（1）知在中，，，， 所以． 所以． 【点睛】本题考查了勾股定理、勾股定理的逆定理以及三角形的面积，解题的关键是：（1）利用勾股定理，求出的长；（2）利用三角形的面积计算公式，求出和的值． 22. 如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，点D是BC中点，AE∥BC，CE∥AD． （1）求证：四边形ADCE是菱形； （2）过点D作DF⊥CE于点F，∠B＝60°，AB＝6，求EF的长． 【答案】（1） 证明：∵AE∥DC，EC∥AD， ∴四边形ADCE是平行四边形， ∵∠BAC=90°，点D是BC的中点， ∴AD=BD=CD， ∴平行四边形ADCE是菱形； （2）3 【解析】 【分析】（1）根据菱形的判定定理及直角三角形斜边上的中线的性质证明即可； （2）根据等边三角形的判定和性质得出△ABD是等边三角形，∠ADB=60°，AD=AB=6，利用平行线的哦性质可得∠DCE=60°，结合图形得出，再由（1）中结论求解即可得出结果． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵∠B =60°，AD=BD， ∴△ABD是等边三角形， ∴∠ADB=60°，AD=AB=6， ∵AD∥CE， ∴∠DCE=60°， ∴∠FDC=30°， ∵CD=AD=6， ∴， ∵四边形ADCE是菱形， ∴CE=CD=6， ∴EF=3． 【点睛】题目主要考查菱形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，含有30度角的直角三角形的性质等，理解题意，熟练掌握运用菱形的判定和性质是解题关键． 五、解答题（每小题 8 分，共 16 分） 23. 如图，直线与被直线所截，且，、的平分线、交于点B，、的平分线、交于点D． （1）求的度数； （2）求证：四边形 是矩形． 【答案】（1） （2）见解析 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的定义，平行线的性质和矩形的判定． （1）根据角平分线的定义得出，，根据，求出即可； （2）求出，根据平行线的性质和角平分线的定义求出，根据矩形的判定得出即可． 【小问1详解】 解：∵、平分和， ∴，， ∵， ∴； 【小问2详解】 证明：∵、平分和， ∴，， ∵， ∴； ∵， ∴， ∵、平分和， ∴，， ∴， ∴， ∴四边形 是矩形． 24. 【感知】如图①，正方形 中，点在边上，平分．若我们分别延长与，交于点 ，则易证．（不需要证明） 【探究】如图②，在矩形 中，点在边的中点，点在边上，平分．求证：． 【应用】在【探究】的条件下，若，，直接写出的长． 【答案】【感知】见解析；【探究】见解析；【应用】 【解析】 【分析】感知：如图①，根据平行线的性质和角平分线的定义可得出结论； 探究：如题②，作辅助线，证明△AED≌△GEC，得到AD=CG=BC，再由感知中得到AF=FG，可得出结论； 应用：设FC=x，则AF=x+6，BF=6-x，由勾股定理列方程可得结论． 【详解】感知： 证明：如图① ∵四边形ABCD是正方形， ∴AD∥BC， ∴∠DAE=∠G， ∵AE平分∠DAF， ∴∠DAE=∠FAG， ∴∠FAG=∠G， ∴AF=FG． 探究： 解：如图，分别延长与，交于点 ． ∵点E是CD边的中点， ∴DE=EC. 矩形 ， ， ， 又， (ASA)， ，， 是的平分线， ， ． 即． 应用： 解：如图②，设FC=x，则AF=x+6，BF=6-x， ∵点E是DC的中点，DE=2， ∴DC=4， 在Rt△ABF中，由勾股定理得：AF2=AB2+BF2， （6+x）2=42+（6-x）2 解得：， ∴． 【点睛】本题主要考查的是四边形的综合题，掌握正方形的性质、角平分线的定义、等腰三角形的性质和判定以及全等三角形的判定和性质是解题的关键． 六、解答题（每小题10分.共20分） 25. 如图，四边形ABCD是矩形，对角线AC，BD相交于点O，延长BC到点E，使CE＝BC，连接DE． （1）求证：AC＝DE； （2）若F为BC的中点，连接OF，AC＝5，OF＝2，求BDE的周长． 【答案】（1）见解析 （2）16 【解析】 【分析】（1）由矩形的性质得出，AD＝BC，求出AD＝CE，根据平行四边形的判定定理和性质定理即可得到结论； （2）根据矩形的性质可得AC＝BD＝5，OB＝OD＝OC＝OA＝，然后根据等腰三角形的性质可得∠OFB＝90°，由勾股定理求出BF的长，再根据三角形周长公式解答． 【小问1详解】 证明：∵四边形ABCD是矩形， ∴，AD＝BC， ∵CE＝BC， ∴AD＝CE， ∴四边形ACED是平行四边形， ∴AC＝DE； 【小问2详解】 解：∵四边形ABCD是矩形， ∴AC＝BD＝5， ∴DE＝5， ∴OB＝OD＝OC＝OA＝， ∵F是BC的中点， ∴∠OFB＝90°， 由勾股定理得：BF＝， ∴BC＝CE＝2BF＝3， ∴BE＝6， ∴△BDE的周长＝BE＋BD＋DE＝6＋5＋5＝16． 【点睛】本题考查了矩形的性质，平行四边形的性质与判定，勾股定理，等腰三角形的性质，三角形周长的计算；熟练掌握平行四边形的判定，并能进行推理论证与计算是解决问题的关键． 26. 如图，在四边形ABCD中，，，，，． （1）求AB的长； （2）动点P从点B出发，沿射线BC以每秒2个单位长度的速度运动，同时动点Q从点A出发，沿线段AD以每秒1个单位长度的速度运动，当点Q运动到点D时，两点同时停止运动，设运动的时间为t秒． ①当t为何值时，以P、Q、D、C为顶点的四边形为平行四边形？ ②是否存在点P，使是以PQ为腰的等腰三角形？若存在，请直接写出相应的t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）12；（2）①当秒或秒时，以P、Q、D、C为顶点的四边形是平行四边形；②存在，当秒或秒时，是以PQ为腰的等腰三角形． 【解析】 【分析】（1）过点D作DE⊥BC于点E，求出CE=5，由勾股定理可求出DE的长，则答案可得出； （2）①由题意已知，AD∥BC，要使P、Q、D、C为顶点的四边形为平行四边形，则只需要让QD=PC即可，列出等式可求解；②使△PQD是等腰三角形，可分三种情况，即PQ=PD、PQ=QD；可利用等腰三角形及直角梯形的性质，分别用t表达等腰三角形的两腰长，再利用两腰相等即可求得时间t． 【详解】解：（1）如图1，过点D作于点E，则四边形ABED为矩形， ∴，， ∵，，， ∴， 由勾股定理得：， ∴； （2）①如图2， ∵四边形PQDC是平行四边形， ∴DQ=CP， 当P从B运动到C时，且P在BC上， ∵DQ=AD-AQ=16-t，CP=21-2t， ∴16-t=21-2t， 解得：t=5， ∴当t=5秒时，四边形PQDC是平行四边形； 当点P在BC延长线上时， ∴16-t=2t-21， 解得：t=， ∴t=5秒或秒时，P、Q、D、C为顶点的四边形为平行四边形； ②当PQ=PD时， 如图3，作PH⊥AD于H，则HQ=HD， ∵QH=HD=QD=（16-t）， ∵AH=BP， ∴2t=（16-t）+t， ∴t= ； 当PQ=QD时，QH=AH-AQ=BP-AQ=2t-t=t，QD=16-t， ∵QD2=PQ2=t2+122， ∴（16-t）2=122+t2， 解得：t=． 综上可知，当t=秒或秒时，△PQD是等腰三角形． 【点睛】本题是四边形综合题，考查了直角梯形的性质，勾股定理，平行四边形的判定与性质，等腰三角形的性质等知识，熟练掌握等腰三角形的性质和平行四边形的判定与性质是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $