精品解析：天津市东丽区北洋嘉恒高级中学2025-2026学年高二年级第二学期期中质量调查数学试题

天津北洋嘉恒高级中学2025-2026学年度高二年级第二学期 期中质量调查数学试题 注意事项： 1.本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共120分，考试用时100分钟． 2.答卷前，考生务必将自己的姓名、班级、考生号、考场号和座位号等信息填写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条码．答卷时，考生务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷、草稿纸或其它非答题区域的无效．考试结束后，只将答题卡和草稿纸交回，试卷需自行带出考场． 祝各位考生考试顺利！ 第Ⅰ卷（选择题） 一、单选题 1. 设全集，集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 设，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 下列求导结果正确的是（   ） A. B. C. D. 4. 设随机变量，则（ ） A. 0.1 B. 0.2 C. 0.4 D. 0.6 5. 乡村振兴战略坚持农业农村优先发展，建立健全城乡融合发展体制机制和政策体系，加快推进农业农村现代化.某乡镇通过建立帮扶政策，该乡镇财政收入（单位：亿元）与年份（单位：年）具有线性相关关系，根据样本数据用最小二乘法近似得到回归直线方程为，则下列结论中不正确的是（ ） A. 回归直线过样本的中心点 B. 与具有正线性相关关系 C. 若该乡镇在第7年，则可断定其财政收入必为4.07 D. 若该乡镇每经过一年，则其财政收入约增加0.94亿元 6. 已知每门大炮击中目标的概率都是0.5，现有10门大炮同时对某一目标各射击一次．记恰好击中目标3次的概率为A；若击中目标记2分，记10门大炮总得分的期望值为B，则A，B的值分别为（ ） A. ，5 B. ，10 C. ，5 D. ，10 7. 高二某班有7名学生干部，其中男生4名，女生3名．若从中随机选出3名学生干部，则恰好有2名男生的概率为（ ） A. B. C. D. 8. 某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优的概率是0.8，连续两天的空气质量为优的概率是0.6．已知某天的空气质量为优，则随后一天的空气质量为优的概率是（ ） A. 0.75 B. 0.7 C. 0.6 D. 0.45 9. 已知是定义域为的函数的导函数，且函数的图象如图所示，则（ ） A. 在上为增函数 B. 的最小值为 C. 的极大值为，极小值为 D. 的极小值点为0，极大值点为1 第Ⅱ卷（非选择题） 二、填空题 10. 曲线在点处的切线方程为__________． 11. 在代数式的展开式中，常数项为_____________． 12. 若随机变量，，则______. 13. 根据下表所示的样本数据，用最小二乘法求得经验回归方程为，则______． 6 7 9 11 12 7 5 4 3 1 14. 某校甲、乙两个班级的同学于同一社区开展民意调查工作．已知参加活动的甲、乙两班人数之比为，其中甲班女生占比为，乙班女生占比为，那么该社区某居民遇到一名进行民意调查的同学恰好为女生的概率为______． 15. 若函数在区间内存在单调递增区间，则实数a的取值范围是______. 三、解答题 16. 已知函数. （1）求曲线在处的切线方程； （2）求的单调区间和极值. 17. 已知二项式，求： （1）二项展开式第3项的二项式系数； （2）二项展开式第8项的系数． 18. 一个袋子中有6个大小相同的球，其中有2个黄球，4个白球，从中随机地摸出3个球作为样本.用表示样本中黄球的个数. （1）若不放回摸球，求的分布列； （2）若有放回摸球，求的分布列和均值. 19. 已知函数在点处的切线斜率为，且在处取得极值. （1）求函数的解析式； （2）当时，求函数的最小值. 20. 已知，. （1）若，求函数的图象在处的切线方程； （2）讨论函数在上的单调性； （3）对一切实数，不等式恒成立，求实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 天津北洋嘉恒高级中学2025-2026学年度高二年级第二学期 期中质量调查数学试题 注意事项： 1.本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共120分，考试用时100分钟． 2.答卷前，考生务必将自己的姓名、班级、考生号、考场号和座位号等信息填写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条码．答卷时，考生务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷、草稿纸或其它非答题区域的无效．考试结束后，只将答题卡和草稿纸交回，试卷需自行带出考场． 祝各位考生考试顺利！ 第Ⅰ卷（选择题） 一、单选题 1. 设全集，集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先求出，再求. 【详解】根据题意，， 所以. 故选：C 2. 设，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】 根据充分性和必要性的定义，结合特例法进行判断即可. 【详解】，能推出， 当时，显然当时成立，但是不成立，不能推出， 所以“”是“”的充分不必要条件， 故选：A 3. 下列求导结果正确的是（   ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据基本初等函数的导数公式判断． 【详解】，，，，只有A正确． 4. 设随机变量，则（ ） A. 0.1 B. 0.2 C. 0.4 D. 0.6 【答案】B 【解析】 【分析】根据正态分布的对称性求解. 【详解】由于随机变量,所以， 又因为 所以， 所以. 故选：B 5. 乡村振兴战略坚持农业农村优先发展，建立健全城乡融合发展体制机制和政策体系，加快推进农业农村现代化.某乡镇通过建立帮扶政策，该乡镇财政收入（单位：亿元）与年份（单位：年）具有线性相关关系，根据样本数据用最小二乘法近似得到回归直线方程为，则下列结论中不正确的是（ ） A. 回归直线过样本的中心点 B. 与具有正线性相关关系 C. 若该乡镇在第7年，则可断定其财政收入必为4.07 D. 若该乡镇每经过一年，则其财政收入约增加0.94亿元 【答案】C 【解析】 【分析】A.根据回归直线过样本的中心点判断；B.根据判断；C.根据回归分析的意义判断；D. 根据回归直线方程为判断. 【详解】A. 回归直线过样本的中心点，故正确； B.因为 ，所以与具有正线性相关关系，故正确； C.该乡镇在第7年，只能估计，不能断定其财政收入为4.07，故错误； D. 若该乡镇每经过一年，则其财政收入约增加0.94亿元，故正确， 故选：C 6. 已知每门大炮击中目标的概率都是0.5，现有10门大炮同时对某一目标各射击一次．记恰好击中目标3次的概率为A；若击中目标记2分，记10门大炮总得分的期望值为B，则A，B的值分别为（ ） A. ，5 B. ，10 C. ，5 D. ，10 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意得其机种次数和期望符合二项分布，利用其期望公式即可得到值，再利用其概率公式计算值即可. 【详解】设10门大炮击中目标的次数为,则根据题意可得, 门大炮总得分的期望值为， ， 故选：B. 7. 高二某班有7名学生干部，其中男生4名，女生3名．若从中随机选出3名学生干部，则恰好有2名男生的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据古典概型的计算公式计算即可. 【详解】由题可知：从中随机选出3名学生干部，则恰好有2名男生的概率为. 故选：D 8. 某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优的概率是0.8，连续两天的空气质量为优的概率是0.6．已知某天的空气质量为优，则随后一天的空气质量为优的概率是（ ） A. 0.75 B. 0.7 C. 0.6 D. 0.45 【答案】A 【解析】 【分析】利用条件概率公式能求出结果. 【详解】设某天的空气质量为优的事件是A， 随后一天的空气质量为优的事件是B， 则，， 若某天的空气质量为优，则随后一天的空气质量为优的概率为：． 故选：A． 9. 已知是定义域为的函数的导函数，且函数的图象如图所示，则（ ） A. 在上为增函数 B. 的最小值为 C. 的极大值为，极小值为 D. 的极小值点为0，极大值点为1 【答案】D 【解析】 【分析】根据图象先判断的单调性，然后逐项判断即可. 【详解】由图像可知，当时，，所以. 所以，所以在上为减函数，A错误； 当时，，所以. 所以，所以在上为增函数， 当时，，所以. 所以，所以在上为减函数，所以的最小值为或，B错误； 因为在上为减函数，在上为增函数，在上为减函数， 所以的极大值为，极小值为，极大值点为1，极小值点为0，所以C错误D正确； 故选：D. 第Ⅱ卷（非选择题） 二、填空题 10. 曲线在点处的切线方程为__________． 【答案】 【解析】 【分析】求导，可得斜率，进而得出切线的点斜式方程. 【详解】由，得， 则曲线在点处的切线的斜率为， 则所求切线方程为，即. 【点睛】求曲线在某点处的切线方程的步骤：①求出函数在该点处的导数值即为切线斜率；②写出切线的点斜式方程；③化简整理. 11. 在代数式的展开式中，常数项为_____________． 【答案】-5 【解析】 【分析】写出二项式定理的通项，化简后，使得的指数幂为0，即可求得的值. 【详解】的展开式的通项为： 令，解得，所以，的展开式中的常数项为. 故答案为：-5 12. 若随机变量，，则______. 【答案】 【解析】 【分析】由二项分布的期望公式列方程求得，再由对应方差公式求方差即可. 【详解】由题设，则，而. 故答案为： 13. 根据下表所示的样本数据，用最小二乘法求得经验回归方程为，则______． 6 7 9 11 12 7 5 4 3 1 【答案】## 【解析】 【分析】根据题意，求得数据的样本中心，将其代入回归直线方程，即可求解. 【详解】由统计表格中的数据，可得，， 即数据的样本中心为，将其代入回归方程，可得， 解得. 故答案为：. 14. 某校甲、乙两个班级的同学于同一社区开展民意调查工作．已知参加活动的甲、乙两班人数之比为，其中甲班女生占比为，乙班女生占比为，那么该社区某居民遇到一名进行民意调查的同学恰好为女生的概率为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据全概率公式计算即可. 【详解】由题可知：该社区某居民遇到一名进行民意调查的同学恰好为女生的概率为. 故答案为： 15. 若函数在区间内存在单调递增区间，则实数a的取值范围是______. 【答案】 【解析】 【分析】求，根据分离参数，构造函数可得的取值范围. 【详解】∵，∴， ∵在区间内存在单调递增区间， ∴在上有解，故在上有解， 令，则， ∵，∴，即在上为减函数， ∴，∴，故． 三、解答题 16. 已知函数. （1）求曲线在处的切线方程； （2）求的单调区间和极值. 【答案】（1） （2）单调递增区间为，单调递减区间为，极大值为，极小值为 【解析】 【分析】（1）求出和后由点斜式得切线方程； （2）求出的根后列表得出函数的单调性与极值． 【小问1详解】 函数的定义域为. 导函数. 所以，. 所以，函数在处的切线方程为. 【小问2详解】 令，解得或，列表得 -1 2 + 0 - 0 + 单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增 所以，函数的单调递增区间为，单调递减区间为. 的极大值为，极小值为. 17. 已知二项式，求： （1）二项展开式第3项的二项式系数； （2）二项展开式第8项的系数． 【答案】（1）28 （2）16 【解析】 【分析】（1）根据展开式的通项公式可求第3项的二项式系数； （2）由展开式的通项公式可求第8项的系数. 【小问1详解】 展开式的通项公式为， 故二项展开式第3项的二项式系数为． 【小问2详解】 二项展开式第8项为， 故二项展开式第8项的系数为16． 18. 一个袋子中有6个大小相同的球，其中有2个黄球，4个白球，从中随机地摸出3个球作为样本.用表示样本中黄球的个数. （1）若不放回摸球，求的分布列； （2）若有放回摸球，求的分布列和均值. 【答案】（1）分布列见解析 （2）分布列见解析，均值为1 【解析】 【分析】（1）先由条件判断服从超几何分布，由概率计算公式计算即得分布列 ； （2）由条件判断服从二项分布，运用概率计算公式计算即得分布列与均值. 【小问1详解】 对于不放回摸球，各次试验的结果不独立，服从超几何分布，的分布列为 0 1 2 【小问2详解】对于有放回摸球，每次摸到黄球的概率为，且各次试验之间的结果是独立的，因此. 的分布列为. 0 1 2 3 . 19. 已知函数在点处的切线斜率为，且在处取得极值. （1）求函数的解析式； （2）当时，求函数的最小值. 【答案】（1） （2）-3 【解析】 【分析】（1）根据题意列出方程，得到，得到解析式； （2）在（1）的前提下，得到函数的单调性，从而求出极值和最值情况. 【小问1详解】 由题意得在上，故， 的定义域为R，， 由题意得， 又，解得， 所以， 【小问2详解】 由（1）可知， 令，解得或， 令，解得， 又， 故当，时，单调递增，当时，单调递减， 故当时，函数取得极小值， 又，， 综上，当时，函数的最小值为-3. 20. 已知，. （1）若，求函数的图象在处的切线方程； （2）讨论函数在上的单调性； （3）对一切实数，不等式恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2）答案见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）当时，求出、的值，利用导数的几何意义可求得所求切线的方程； （2）由可得，分、两种情况讨论，分析导数的符号变化，由此可得出函数的增区间和减区间； （3）由参变量分离法可得，令，其中，利用导数求出函数的最大值，即可得出实数的取值范围. 【小问1详解】 解：当时，，则，所以，，， 此时，函数的图象在处的切线方程为，即. 【小问2详解】 解：因为，则，令可得. ①当时，对任意的，，此时函数的减区间为； ②当时，由可得，由可得， 此时函数的减区间为，增区间为. 综上所述，当时，函数的减区间为； 当时，函数的减区间为，增区间为. 【小问3详解】 解：对一切实数，不等式恒成立，即， 可得，即， 令，其中， 则， 当时，，此时函数单调递增， 当时，，此时函数单调递减， 所以，，则，解得. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $