精品解析：天津市滨海新区经济开发区第二中学2025-2026学年高二下学期期中检测数学试卷

泰达中学2025-2026学年度第二学期高二年级数学期中检测卷 学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题：本题共9小题，每小题5分，共45分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列函数求导正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据基本初等函数的导数公式判断即可. 【详解】对于A：，故A错误； 对于B：，故B错误； 对于C：，故C错误； 对于D：，故D正确. 故选：D 2. 从中任选三个字母，所有的选法有（ ） A. 6种 B. 10种 C. 20种 D. 720种 【答案】C 【解析】 【详解】从6个字母中任选3个字母的选法有种. 3. （ ） A. 55 B. 57 C. 100 D. 110 【答案】B 【解析】 【分析】本题可通过排列数与组合数的计算得出结果. 【详解】， 故选：B. 4. 曲线在点处的切线的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】求出函数的导函数，即可求出切线的斜率，再由点斜式求出切线方程. 【详解】由可得，所以， 即切点为，切线的斜率， 所以切线方程为，即. 故选：B 5. 在的二项展开式中，第二项的系数为（ ） A. 4 B. -4 C. 6 D. -6 【答案】B 【解析】 【分析】由二项展开式的通项公式直接计算. 【详解】的展开式中的通项公式为 故展开式中的第二项的系数为． 6. 某同学通过计算机测试的概率为，他连续测试3次，其中恰有1次通过的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】按照独立重复试验的概率公式计算可得； 【详解】解：依题意连续测试3次，其中恰有1次通过的概率； 故选：B 7. 已知函数，其导函数的图象如图，则对于函数的描述正确的是 A. 在上为减函数 B. 在处取得最大值 C. 在上为减函数 D. 在处取得最小值 【答案】C 【解析】 【详解】分析：根据函数f（x）的导函数f′（x）的图象可知f′（0）=0，f′（2）=0，f′（4）=0，然后根据单调性与导数的关系以及极值的定义可进行判定即可． 详解：根据函数f（x）的导函数f′（x）的图象可知： f′（0）=0，f′（2）=0，f′（4）=0 当x＜0时，f′（x）＞0，f（x）递增；当0＜x2时，f′（x）＜0，f（x）递减； 当2＜x＜4时，f′（x）＞0，f（x）递增；当x＞4时，f′（x）＜0，f（x）递减． 可知C正确，A错误； 由极值的定义可知，f（x）在x=0处函数f（x）取到极大值，x=2处函数f（x）的极小值点，但极大值不一定为最大值，极小值不一定是最小值；可知B、D错误． 故选C． 点睛：由导函数图象推断原函数的性质，由f′（x）＞0得增区间，由f′（x）＜0得减区间，由f′（x）=0得到的不一定是极值点，需判断在此点左右f′（x）的符号是否发生改变. 8. 一批产品共100件，其中有3件不合格品，从中任取5件，则恰有1件不合格品的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先确定从100件中任取五件的取法数，再确定任取5件，则恰有1件不合格品的取法数，即可求得答案. 【详解】一批产品共100件，其中有3件不合格品，从中任取5件， 共有 种取法； 其中恰有1件不合格品的取法有种取法， 故恰有1件不合格品的概率是， 故选：A. 9. 已知函数有极值点，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先求导，将问题转化为在上存在变号零点，再分和两种情况讨论即可. 【详解】易知， 因函数有极值点，则在上存在变号零点， 若对称轴，即，则在上单调递增， 则，不符合题意； 若对称轴，即，则，即，得， 则实数的取值范围为. 故选：D 二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分． 10. 某地区气象台统计，该地区下雨的概率是，刮风的概率是，既刮风又下雨的概率为，设为下雨，为刮风，那么等于__________． 【答案】 【解析】 【详解】由题意可知，故答案为. 11. 的展开式中二项式系数最大的项是第________项． 【答案】6和7 【解析】 【详解】由为奇数，则展开式中第项和第项， 即第6项和第7项的二项式系数相等，且最大． 12. 设曲线在点处的切线方程为，则___________. 【答案】1 【解析】 【分析】由题意，求导，代入，即得解 【详解】对函数求导得， 由已知可得，解得. 故答案为：1 13. 已知随机变量服从正态分布，且，则___________. 【答案】## 【解析】 【分析】由随机变量服从正态分布，判断出曲线关于对称，根据对称性解题. 【详解】因为随机变量服从正态分布， 所以曲线关于对称. 所以. 故答案为：0.15 14. 已知一批零件是由甲、乙、丙三名工人生产的，三人生产的产品分别占总产量的、、.已知三人生产产品的次品率分别为、、，现从这批零件中任取一个零件，则它是次品的概率为________. 【答案】 【解析】 【分析】分别记事件、、表示抽取的一个零件为甲、乙、丙生产的，记事件抽取的一个零件为次品，利用全概率公式可求得的值. 【详解】分别记事件、、表示抽取的一个零件为甲、乙、丙生产的， 记事件抽取的一个零件为次品， 由题意可得，，，， ， 由全概率公式可得 . 故答案为：. 15. 如图为我国数学家赵爽（约3世纪初）在为《周髀算经》作注时验证勾股定理的示意图，现在提供6种颜色给其中5个小区域涂色，规定每个区域只涂一种颜色、相邻颜色不同，则区域不同涂色的方法种数为_________ 【答案】1560 【解析】 【分析】把问题分成四步，先涂区域ABC，然后对D讨论，分与B颜色相同和不同两种情况，最后相乘即可. 【详解】解：分4步进行分析： ①，对于区域，有6种颜色可选； ②，对于区域，与区域相邻，有5种颜色可选； ③，对于区域，与、区域相邻，有4种颜色可选； ④，对于区域、，若与颜色相同，区域有4种颜色可选， 若与颜色不相同，区域有3种颜色可选，区域有3种颜色可选， 则区域、有种选择， 则不同的涂色方案有种. 故答案为：1560. 三、解答题：本题共5小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16. 已知二项式，且其二项式系数之和为64． （1）求的值； （2）系数的值是多少； （3）求. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）（2）由二项式系数之和，得，再得出展开式的通项，可得； （3）把令 ，求得结果． 【小问1详解】 因为二项式系数之和，则 【小问2详解】 展开式的通项 ，其中为前面的系数. 令，则 ； 【小问3详解】 令，则； 令，则； 所以. 17. 有3名男生与4名女生，在下列不同条件下，分别求排法种数. （1）全体排成一排，女生必须站在一起； （2）全体排成一排，男生互不相邻； （3）全体排成一行，其中甲，乙，丙三人从左至右的顺序不变 【答案】（1）576 （2）1440 （3）840 【解析】 【分析】（1）将女生看成一个整体，按照捆绑法求解； （2）先排女生，然后按照插空法求解； （3）按照定序法求解即可； 【小问1详解】 将女生看成一个整体，与名男生在一起进行全排列，有种方法， 再将名女生进行全排列，也有种方法， 故共有种排法. 【小问2详解】 男生不相邻，而女生不作要求，所以应先排女生，有种方法， 再在女生之间及首尾空出的个空位中任选个空位排男生，有 种方法， 故共有种排法. 【小问3详解】 从个位置中选四个安排除甲，乙，丙以外的个人，有种方法， 剩下的三个位置从左至右依次安排甲，乙，丙，仅有一种安排， 故共有种排法 18. 甲同学计划去参观某景点，但门票需在网上预约．该同学从第一天开始，每天在规定的预约时间段开始预约，若预约成功，便停止预约；若连续预约三天都没成功，则放弃预约．假设该同学每天预约门票成功的概率均为0.7． （1）求甲同学到第三天才预约成功的概率； （2）记为甲同学预约门票的天数，求的分布列、期望和方差． 【答案】（1） （2）分布列： 1 2 3 0.7 0.21 0.09 ，. 【解析】 【分析】（1）根据独立事件同时发生的概率计算公式求解即可. （2）根据独立事件同时发生的概率公式求分布列，再利用期望和方差的概念求期望和方差. 【小问1详解】 设表示事件“甲同学在第天预约成功” 表示事件“甲同学到第3天才预约成功” 则 可得. 【小问2详解】 依题意，的所有可能取值为1，2，3． 且， ， ， 则的分布列为 1 2 3 0.7 0.21 0.09 . . 19. 已知，且. （1）求的值： （2）若函数在上的最大值为4，求函数在上的最小值. 【答案】（1） （2）1 【解析】 【分析】（1）求出函数的导数，利用给定的导数值建立方程求出. （2）由（1）求出在上的最大值并求得，进而求出函数在上的最小值. 【小问1详解】 函数，求导得，由， 得，所以. 【小问2详解】 由（1）得， 由，得；由，得， 函数在上单调递减，在上单调递增， 而， 因此在上的最大值为，即，则，， 函数在上单调递增，在上单调递减，， 所以函数在上的最小值为1. 20. 已知函数. （1）讨论的单调性； （2），，求的取值范围. 【答案】（1）答案见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）求导得，分是否小于0进行讨论即可求解； （2）显然时，不等式恒成立，所以原题条件等价于，在上恒成立，构造函数，，利用导数求得其最大值即可得解. 【小问1详解】 的定义域为，， 当时，，所以在上单调递增； 当时，当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增. 【小问2详解】 当时，显然成立，此时可为任意实数； 当时，由，在上恒成立，得， 令，， 则， 设，由（1）可知，在上单调递增，所以， 当时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减； 则，所以， 综上，实数的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 泰达中学2025-2026学年度第二学期高二年级数学期中检测卷 学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题：本题共9小题，每小题5分，共45分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列函数求导正确的是（ ） A. B. C. D. 2. 从中任选三个字母，所有的选法有（ ） A. 6种 B. 10种 C. 20种 D. 720种 3. （ ） A. 55 B. 57 C. 100 D. 110 4. 曲线在点处的切线的方程为（ ） A. B. C. D. 5. 在的二项展开式中，第二项的系数为（ ） A. 4 B. -4 C. 6 D. -6 6. 某同学通过计算机测试的概率为，他连续测试3次，其中恰有1次通过的概率为（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数，其导函数的图象如图，则对于函数的描述正确的是 A. 在上为减函数 B. 在处取得最大值 C. 在上为减函数 D. 在处取得最小值 8. 一批产品共100件，其中有3件不合格品，从中任取5件，则恰有1件不合格品的概率是（ ） A. B. C. D. 9. 已知函数有极值点，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分． 10. 某地区气象台统计，该地区下雨的概率是，刮风的概率是，既刮风又下雨的概率为，设为下雨，为刮风，那么等于__________． 11. 的展开式中二项式系数最大的项是第________项． 12. 设曲线在点处的切线方程为，则___________. 13. 已知随机变量服从正态分布，且，则___________. 14. 已知一批零件是由甲、乙、丙三名工人生产的，三人生产的产品分别占总产量的、、.已知三人生产产品的次品率分别为、、，现从这批零件中任取一个零件，则它是次品的概率为________. 15. 如图为我国数学家赵爽（约3世纪初）在为《周髀算经》作注时验证勾股定理的示意图，现在提供6种颜色给其中5个小区域涂色，规定每个区域只涂一种颜色、相邻颜色不同，则区域不同涂色的方法种数为_________ 三、解答题：本题共5小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16. 已知二项式，且其二项式系数之和为64． （1）求的值； （2）系数的值是多少； （3）求. 17. 有3名男生与4名女生，在下列不同条件下，分别求排法种数. （1）全体排成一排，女生必须站在一起； （2）全体排成一排，男生互不相邻； （3）全体排成一行，其中甲，乙，丙三人从左至右的顺序不变 18. 甲同学计划去参观某景点，但门票需在网上预约．该同学从第一天开始，每天在规定的预约时间段开始预约，若预约成功，便停止预约；若连续预约三天都没成功，则放弃预约．假设该同学每天预约门票成功的概率均为0.7． （1）求甲同学到第三天才预约成功的概率； （2）记为甲同学预约门票的天数，求的分布列、期望和方差． 19. 已知，且. （1）求的值： （2）若函数在上的最大值为4，求函数在上的最小值. 20. 已知函数. （1）讨论的单调性； （2），，求的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $