4.3 公式法 讲义 2025--2026学年北师大版八年级数学下册

本讲义聚焦公式法分解因式核心知识点，系统梳理平方差公式、完全平方公式的文字叙述、符号表示及特点，通过位置、符号等五种变形深化理解，构建“一提、二套、三检查”的因式分解步骤学习支架。 资料通过多样化公式变形实例和几何、代数综合问题，培养学生抽象能力与符号意识，强化推理能力和应用意识，课中助力教师分层教学，课后便于学生巩固步骤与查漏补缺，提升因式分解综合能力。

4.3 公式法 考点1: 用平方差公式分解因式 文字叙述：两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的积. 符号表示：a2－b2＝(a＋b)(a－b) 特点：(1)等号左边是二项式，每项都能写成一个数的平方的形式，并且两项的符号相反； (2)等号右边是这两个数的和与这两个数的差的积. · 公式中的a，b可以是单项式，也可以是多项式. 常见的公式变形： ①位置变化：－x2＋y2＝y2－x2＝(y＋x)( y－x)； ②符号变化：－x2＋y2＝－(x2－y2)＝－(x＋y)(x－y)； ③系数变化：4a2－b2＝(2a＋b)(2a－b)； ④指数变化：x4－y4＝(x2＋y2)(x2－y2)＝(x2＋y2)(x＋y)(x－y)； ⑤项数变化：(a＋b)2－c2＝(a＋b＋c)(a＋b－c). 考点2: 用完全平方公式分解因式 1. 用完全平方公式分解因式 文字叙述：两个数的平方和加上(或减去)这两个数的积的2倍，等于这两个数的和(或差)的平方. 符号表示：a2＋2ab＋b2＝(a＋b)2，a2－2ab＋b2＝(a－b)2 特点：(1)等号左边是三项式，其中首末两项分别是两个数(或两个式子)的完全平方，这两项的符号相同，中间一项是这两个数(或两个式子)的积的2倍，符号正负均可.(2)等号右边是两个数(或两个式子)的和(或差)的平方. · 在用公式法进行因式分解时，若多项式是二项式，则考虑是否具备平方差公式的特征；若多项式是三项式，则考虑是否具备完全平方式的特征. 考点3: 因式分解的一般步骤 在进行因式分解时，应遵循“一提、二套、三检查”的原则，一般按如下步骤进行： (1)一提：如果多项式的各项含有公因式，那么应先提取公因式； (2)二套：如果多项式的各项不含有公因式，那么可以尝试运用公式法(平方差公式或完全平方公式)因式分解；当不能进行因式分解时，可以先整理多项式，然后分解； (3)三检查：检查是否分解彻底，若没有，则继续因式分解，必须分解到每一个因式都不能再分解为止. 练习1. 1. 下列各式中，能用完全平方公式进行因式分解的是( D ). A．x2－1 B．x2＋2x－1 C．x2＋x＋1 D．4x2＋4x＋1 2. 下列多项式中，不能用公式法进行因式分解的是( A ). A．a2＋a－ B．－a2－b2＋2ab C．－a2＋25b2 D．4－9b2 3. 已知x＝3y＋5，且x2－7xy＋9y2＝24，则x2y－3xy2的值为( C ). A.0     B.1     C.5     D.12 4. 若实数x、y、z满足(x－z)2－4(x－y)(y－z)=0，则下列式子一定成立的是( D ). A.x＋y＋z＝0 B.x＋y－2z＝0 C.y＋z－2x＝0 D.z＋x－2y＝0 5. 因式分解：1－x2=　 (1＋x)(1－x)  　. 6. 因式分解：m4－16n4=　 (m2＋4m2)(m＋2n)(n－2n) 　. 7. 已知x－y＝2，则x2－y2－4y＝_____4_____. 8. 计算：1022－204×104＋1042的结果为 4 . 9. 若一个正方形的面积为a2＋a＋，则此正方形的周长为 |4a＋2| . 10. 已知△ABC的三边长为整数a，b，c，且满足a2＋b2－6a－4b＋13＝0，则c为 2或3或4 . 11. 分解因式： (1)(x－1)(x－3)＋1； (2)2x3－18x； (3)4ab3－16a2b＋16ab (4)a2(x－y)＋4(y－x) 解：(1)(x－2)2；(2)2x(x－3)(x＋3)；(3)4ab(a－2)2；(4)(x－y)(a＋2)(a－2) 巩固练习： 1. 在括号内填一个单项式，使多项式4x2－y2＋x＋( )化简后能进行因式分解，在单项式①－x；②y2；③－4x2中，符合要求的有( C ). A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 2. 如图，某小区规划在边长为xm的正方形场地上，修建两条宽度相等的甬道，其余部分种草，若该场地种草部分的面积为(x2－6x＋9)m2，则甬道的宽度是( A ). A．3 m B．6 m C．9 m D．15 m 3. 已知a，b，c为△ABC三边，且满足ab－b2＝ac－bc，则△ABC是( C ). A．直角三角形 B．等边三角形 C．等腰三角形 D．不能确定 4. 若x2－2x＝4，则x4－2x3－8x－6的值为( B ). A．8 B．10 C．16 D．20 5. 已知M＝10a2＋a＋b2－2b＋9，N＝a2＋25a＋(b－1)－9，则M－N的值( B ). A．一定是负数 B．一定是正数 C．一定不是正数 D．不能确定 6. 已知P＝，Q＝，那么P、Q的大小关系为( B ). A．P＞Q B．P＜Q C．P＝Q D．不确定 7. 如果x3＋ax2＋bx＋8能被x2＋5x＋4整除，则a＋b＝( D ). A．15 B．8 C．7 D．21 8. 若多项式x2＋mx＋4能用完全平方公式分解因式，则整数m＝___±4__． 9. 若多项式x2－(1＋m)＋9能用完全平方公式进行因式分解，则m＝___5或－7___． 10. 先阅读下列材料，再解答下列问题： 材料：因式分解：(x＋y)2＋2(x＋y)＋1． 解：将“x＋y”看成整体，令x＋y＝m， 则原式＝m2＋2m＋1＝(m＋1)2． 再将x＋y＝m代入，得原式＝(x＋y＋1)2． 上述解题用到的是“整体思想”，“整体思想”是数学解题中常用的一种思想方法，请你解答下列问题： (1)因式分解：1－2(x－y)＋(x－y)2＝ (x－y－1)2 ； (2)因式分解：9(x－2)2－6(x－2)＋1＝ (3x－7)2 ； (3)因式分解：(x2－2x)2－2(x2－2x)－3. 解：(3)(x－3)(x＋1)(x－1)2 11. 阅读材料，解决问题：对形如a2±2ab＋b2的整式称为完全平方式，我们可以直接运用公式进行因式分解，例如x2－4x＋4＝(x－2)2；而对于a2＋6a＋8这样无法直接运用公式进行因式分解的整式，我们可以先适当变形，再运用公式进行因式分解，例如： a2＋6a＋8＝a2＋6a＋9－9＋8＝(a＋3)2－1＝(a＋3＋1)(a＋3－1)＝(a＋4)(a＋2). (1)若9x2－kxy＋25y2是一个完全平方式，则k的值为___±30___． (2)分解因式：a2－4a－12． (3)我们还可以仿照上面的方法解决求整式的最大（或最小）值问题，例如： a2＋6a＋8＝a2＋6a＋9－9＋8＝(a＋3)2－1． ∵(a＋3)2≥0，∴(a＋3)2－1≥－1，则当a＝－3时，整式a2＋6a＋8有最小值，其值为－1． 求当x的值为多少时，整式－x2－10x＋6有最大值或最小值，并求出最大值或最小值． 解：(3)当x＝－5时，整式－x2－10x＋6有最大值，最大值为31. 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $ 4.3 公式法 考点1: 用平方差公式分解因式 文字叙述：两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的积. 符号表示：a2－b2＝(a＋b)(a－b) 特点：(1)等号左边是二项式，每项都能写成一个数的平方的形式，并且两项的符号相反； (2)等号右边是这两个数的和与这两个数的差的积. · 公式中的a，b可以是单项式，也可以是多项式. 常见的公式变形： ①位置变化：－x2＋y2＝y2－x2＝(y＋x)( y－x)； ②符号变化：－x2＋y2＝－(x2－y2)＝－(x＋y)(x－y)； ③系数变化：4a2－b2＝(2a＋b)(2a－b)； ④指数变化：x4－y4＝(x2＋y2)(x2－y2)＝(x2＋y2)(x＋y)(x－y)； ⑤项数变化：(a＋b)2－c2＝(a＋b＋c)(a＋b－c). 考点2: 用完全平方公式分解因式 1. 用完全平方公式分解因式 文字叙述：两个数的平方和加上(或减去)这两个数的积的2倍，等于这两个数的和(或差)的平方. 符号表示：a2＋2ab＋b2＝(a＋b)2，a2－2ab＋b2＝(a－b)2 特点：(1)等号左边是三项式，其中首末两项分别是两个数(或两个式子)的完全平方，这两项的符号相同，中间一项是这两个数(或两个式子)的积的2倍，符号正负均可.(2)等号右边是两个数(或两个式子)的和(或差)的平方. · 在用公式法进行因式分解时，若多项式是二项式，则考虑是否具备平方差公式的特征；若多项式是三项式，则考虑是否具备完全平方式的特征. 考点3: 因式分解的一般步骤 在进行因式分解时，应遵循“一提、二套、三检查”的原则，一般按如下步骤进行： (1)一提：如果多项式的各项含有公因式，那么应先提取公因式； (2)二套：如果多项式的各项不含有公因式，那么可以尝试运用公式法(平方差公式或完全平方公式)因式分解；当不能进行因式分解时，可以先整理多项式，然后分解； (3)三检查：检查是否分解彻底，若没有，则继续因式分解，必须分解到每一个因式都不能再分解为止. 练习1. 1. 下列各式中，能用完全平方公式进行因式分解的是( ). A．x2－1 B．x2＋2x－1 C．x2＋x＋1 D．4x2＋4x＋1 2. 下列多项式中，不能用公式法进行因式分解的是( ). A．a2＋a－ B．－a2－b2＋2ab C．－a2＋25b2 D．4－9b2 3. 已知x＝3y＋5，且x2－7xy＋9y2＝24，则x2y－3xy2的值为( ). A.0     B.1     C.5     D.12 4. 若实数x、y、z满足(x－z)2－4(x－y)(y－z)=0，则下列式子一定成立的是( ). A.x＋y＋z＝0 B.x＋y－2z＝0 C.y＋z－2x＝0 D.z＋x－2y＝0 5. 因式分解：1－x2＝　    　. 6. 因式分解：m4－16n4＝　    　. 7. 已知x－y＝2，则x2－y2－4y＝　    　. 8. 计算：1022－204×104＋1042的结果为　    　. 9. 若一个正方形的面积为a2＋a＋，则此正方形的周长为　    　. 10. 已知△ABC的三边长为整数a，b，c，且满足a2＋b2－6a－4b＋13＝0，则c为　    　. 11. 分解因式： (1)(x－1)(x－3)＋1； (2)2x3－18x； (3)4ab3－16a2b＋16ab (4)a2(x－y)＋4(y－x) 巩固练习： 1. 在括号内填一个单项式，使多项式4x2－y2＋x＋( )化简后能进行因式分解，在单项式①－x；②y2；③－4x2中，符合要求的有( ). A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 2. 如图，某小区规划在边长为xm的正方形场地上，修建两条宽度相等的甬道，其余部分种草，若该场地种草部分的面积为(x2－6x＋9)m2，则甬道的宽度是( ). A．3 m B．6 m C．9 m D．15 m 3. 已知a，b，c为△ABC三边，且满足ab－b2＝ac－bc，则△ABC是( ). A．直角三角形 B．等边三角形 C．等腰三角形 D．不能确定 4. 若x2－2x＝4，则x4－2x3－8x－6的值为( ). A．8 B．10 C．16 D．20 5. 已知M＝10a2＋a＋b2－2b＋9，N＝a2＋25a＋(b－1)－9，则M－N的值( ). A．一定是负数 B．一定是正数 C．一定不是正数 D．不能确定 6. 已知P＝，Q＝，那么P、Q的大小关系为( ). A．P＞Q B．P＜Q C．P＝Q D．不确定 7. 如果x3＋ax2＋bx＋8能被x2＋5x＋4整除，则a＋b＝( ). A．15 B．8 C．7 D．21 8. 若多项式x2＋mx＋4能用完全平方公式分解因式，则整数m＝　    　． 9. 若多项式x2－(1＋m)＋9能用完全平方公式进行因式分解，则m＝　    　． 10. 先阅读下列材料，再解答下列问题： 材料：因式分解：(x＋y)2＋2(x＋y)＋1． 解：将“x＋y”看成整体，令x＋y＝m， 则原式＝m2＋2m＋1＝(m＋1)2． 再将x＋y＝m代入，得原式＝(x＋y＋1)2． 上述解题用到的是“整体思想”，“整体思想”是数学解题中常用的一种思想方法，请你解答下列问题： (1)因式分解：1－2(x－y)＋(x－y)2＝　    　　    　； (2)因式分解：9(x－2)2－6(x－2)＋1＝　    　　    　； (3)因式分解：(x2－2x)2－2(x2－2x)－3. 11. 阅读材料，解决问题：对形如a2±2ab＋b2的整式称为完全平方式，我们可以直接运用公式进行因式分解，例如x2－4x＋4＝(x－2)2；而对于a2＋6a＋8这样无法直接运用公式进行因式分解的整式，我们可以先适当变形，再运用公式进行因式分解，例如： a2＋6a＋8＝a2＋6a＋9－9＋8＝(a＋3)2－1＝(a＋3＋1)(a＋3－1)＝(a＋4)(a＋2). (1)若9x2－kxy＋25y2是一个完全平方式，则k的值为　    　． (2)分解因式：a2－4a－12． (3)我们还可以仿照上面的方法解决求整式的最大（或最小）值问题，例如： a2＋6a＋8＝a2＋6a＋9－9＋8＝(a＋3)2－1． ∵(a＋3)2≥0，∴(a＋3)2－1≥－1，则当a＝－3时，整式a2＋6a＋8有最小值，其值为－1． 求当x的值为多少时，整式－x2－10x＋6有最大值或最小值，并求出最大值或最小值． 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $