专题08因式分解复习讲义（12大核心题型+重点知识梳理）-2025-2026学年北师大版数学八年级下学期.

专题08因式分解复习讲义 高效复习◆重点 1. 理解因式分解的定义，明确因式分解与整式乘法的互逆关系 2. 熟练掌握“提公因式法、公式法（平方差、完全平方）十字相乘法、分组分解法“四大核心方法 3. 掌握因式分解的一般步骤，能根据多项式特征灵活选用分解方法 4. 规避因式分解常见易错点，保证分解结果彻底、规范、最简 5. 运用因式分解解决简便计算、代数式求值等实际问题 核心题型◆归纳 题型1判断是否是因式分解 题型2已知因式分解的结果求参数 题型3提公因式法分解因式 题型4平方差公式分解因式 题型5完全平方公式分解因式 题型6综合运用公式法分解因式 题型7实数范围内分解因式 题型8因式分解在有理数简算中的应用 题型9十字相乘法 题型10分组分解法 题型11因式分解的应用 题型12提升测试 重点知识◆梳理 【知识点一、因式分解的定义】 1.把一个多项式化成几个整式乘积的形式，叫做把这个多项式因式分解，也叫做分解因式。 关键判断：结果是整式乘积，与整式乘法互为逆运算。 【知识点二、因式分解的基本方法】 1.提公因式法（基础、首选方法） 公因式定义：一个多项式中各项都含有的公共因式，叫做这个多项式各项的公因式。把公因式提取出来进行因式分解，这种分解因式的方法叫做提取公因式法。 2.确定公因式： （1）系数：取各项系数的最大公约数 （2）字母：取各项相同字母，且字母次数取最低次幂 公式：ma+mb+mc=m(a+b+c) 【知识点三、公式法分解因式】 1.平方差公式 -=(a+b)(a−b); 适用于：两项、异号、都是平方数 2.完全平方公式 ±2ab+=; 适用：三项式，首末平方、中间两倍乘积 【知识点四、十字相乘法】 1.适用于+px+q的二次三项式。 2.核心：若两个数a、b满足a+b=p,ab=q. 则+px+q=（x+a）(x+b) 【知识点五、分组分解法】 1.适用形式：多项式项数≥4，无法直接提公因式、套公式. 2.两两分组：am+an+bm+bn=a(m+n)+b(m+n)=(a+b)(m+n)。 3.三一分组：三项组用完全平方公式，剩余一项再用平方差公式。 【知识点六、因式分解一般步骤】 1提：优先提取公因式； 2套：再套用平方差、完全平方公式； 3分：三项式尝试十字相乘法； 4组：四项及以上用分组分解法，分组后能继续提公因式或套公式； 5查：检查分解是否彻底，结果是否为最简整式乘积。 【知识点七、因式分解的原则】 1.分解必须彻底，直到不能再分解为止； 2.结果中每一个因式都必须是整式； 3.相同因式写成幂的形式； 4.首项系数为负，提取符号； 5.结果不含中括号，只保留小括号。 题型解析◆精准备考 题型1判断是否是因式分解 1．下列各式中，从左到右的变形属于因式分解的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】因式分解是把一个多项式化为几个整式的乘积的形式，根据定义逐一判断即可． 【详解】解：∵ 因式分解的结果必须是几个整式乘积的形式 ∴ A选项 结果为，是和的形式，不是整式乘积的形式，不属于因式分解； B选项，将多项式化为两个整式的乘积，符合因式分解的定义，属于因式分解； C选项 ，是整式乘法运算，是将乘积化为多项式，不属于因式分解； D选项 结果为，是和的形式，不是整式乘积的形式，不属于因式分解． 2．下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是________．（填序号） ①；②；③；④． 【答案】③ 【分析】本题主要考查了因式分解的定义，能熟记因式分解的定义的内容是解此题的关键． 根据因式分解的概念：将多项式写成几个整式积的形式，依据此对各个选项进行分析即可求出答案． 【详解】解：选项①是整式乘法，不是因式分解； 选项②右边不是积的形式，不是因式分解； 选项③左边是多项式，右边是整式的积，是因式分解； 选项④右边含有分式，不是整式，不是因式分解； 故答案为③． 3．下列各式中，从等号左边到右边的变形，哪些是因式分解？ (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)不是因式分解． (2)是因式分解． (3)是因式分解． (4)不是因式分解． 【分析】本题考查的知识点为因式分解，因式分解是指把一个多项式化成几个整式的积的形式． （1）判断等式是否满足左边为多项式，右边为整式的积； （2）判断等式是否满足左边为多项式，右边为整式的积； （3）判断等式是否满足左边为多项式，右边为整式的积； （4）判断等式是否满足左边为多项式，右边为整式的积； 【详解】（1）左边是，是整式的积， 右边是，是多项式， 这是整式乘法，不是因式分解． （2）左边是，是多项式， 右边是，是整式的积，并且等式成立， 符合因式分解定义， 故该变形为因式分解． （3）左边是，是多项式， 右边是，是整式的积，并且等式成立， 符合因式分解定义， 故该变形为因式分解． （4）左边是，是多项式， 右边是，不是整式的积，而是和的形式， 不符合因式分解定义． 题型2已知因式分解的结果求参数 1．若将多项式因式分解得，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先展开因式分解后的多项式，利用多项式相等时对应项系数相等求出和的值，再计算． 【详解】解： ， ， ，解得， ． 2．已知等式：，则________． 【答案】 【分析】此题考查了已知因式分解的结果求原式，将展开为，然后比较求解即可． 【详解】解：∵ ∴． 故答案为：． 3．阅读材料，完成下列问题． 材料一：已知多项式有一个因式是，求的值． 解：设（A为整式）； 由于上式为恒等式，为方便计算取，，故． 材料二：已知多项式除以所得的余数为3，求的值． 解：设（A为整式）； 由于上式为恒等式，为方便计算取，，故． (1)已知多项式有一个因式是，则的值为 ； (2)已知多项式有两个因式分别是和，求和的值； (3)已知多项式除以所得的余数，比该多项式除以所得的余数少11，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，因式分解的应用，解题的关键是理解题意，熟练掌握相关的运算法则． （1）根据题干提供的方法，求解即可； （2）设，分别令，，得出方程组，解方程组即可； （3）令，再分别令，，结合多项式除以所得的余数，比该多项式除以所得的余数少11，列出关于k的方程，解方程即可． 【详解】（1）解：设（A为整式）； 由于上式为恒等式，为方便计算取，， 解得：． （2）解：设， 令，则， 令，则， 即， 解得：； （3）解：令， ， 令，则； 令，则； ∵多项式除以所得的余数，比该多项式除以所得的余数少11， ， ， ， ， ． 题型3提公因式法分解因式 1．多项式因式分解的结果正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将互为相反数的项变形为相同形式，再提取公因式得到结果． 【详解】 ． 2．已知，则______． 【答案】8 【分析】先由已知方程得到的值，再将所求代数式变形为含的形式，代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴ ． 3．已知：，，求的值． 【答案】 【分析】先根据已知条件计算出和的值，再对所求代数式提取公因式因式分解，再整体代入计算即可． 【详解】解：，， ， ， ． 题型4平方差公式分解因式 1．在借助某AI工具命制如下①~④四道试题时，小聪发现其中有一道不能按要求分解因式，则该题是（    ） 用平方差公式分解下列各式： ①；②；③；④． A．①题 B．②题 C．③题 D．④题 【答案】A 【分析】能够分解因式的关键是多项式可以化为两个平方项且符号相反的形式，据此逐一判断即可． 【详解】解：对于①，的两个平方项符号相同，无法写成平方差的形式，故①不能按要求分解； 对于②， 符合平方差形式，故②可以按要求分解； 对于③， ，符合平方差形式，故③可以按要求分解； 对于④， ，符合平方差形式，故③可以按要求分解． 综上可知，不能按要求分解因式的是①题． 2．因式分解：______． 【答案】 【分析】利用平方差公式分解因式即可． 【详解】解：． 3．分解因式： (1) (2) (3) 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）解： （2）解： （3）解： 题型5完全平方公式分解因式 1．将下列多项式因式分解，结果中不含有因式的是（   ） A． B．C．D． 【答案】D 【详解】解：、，结果含有因式，不符合题意； 、，结果含有因式，不符合题意； 、，结果含有因式，不符合题意； 、，结果不含有因式，符合题意； 2．因式分解：__________． 【答案】 【分析】原式符合完全平方公式的结构特征，利用完全平方公式分解因式即可． 【详解】解：． 3．分解因式； (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先提取公因式，再利用平方差公式因式分解； （2）先提取公因式，再利用完全平方公式因式分解． 【详解】（1）解：； （2） 解：． 题型6综合运用公式法分解因式 1．下列因式分解正确的是（　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正确应用公式是解题关键． 直接利用提取公因式法以及公式法分解因式，进而分析即可． 【详解】解：A、，故此选项正确； B、，故此选项错误； C、，原式漏项，故此选项错误； D、，不是因式分解，是整式的乘法，故此选项错误； 故选：A． 2．把因式分解的结果是________． 【答案】 【分析】本题考查了因式分解，将原式视为平方差形式，应用平方差公式分解，再对所得式子分别应用完全平方公式进行因式分解． 【详解】解：原式 ， 故答案为：． 3．因式分解： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先提取公因式，再用完全平方公式因式分解； （2）先用平方差公式分解，再用完全平方公式继续分解即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 题型7实数范围内分解因式 1．在实数范围内因式分解，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】实数范围内的因式分解，需分解彻底，且结果中根式要化为最简，利用提取公因式结合平方差公式分解即可． 【详解】解： A．未彻底分解，不合题意； B．二次根式未化简，不合题意； C．因式分解正确，符合题意； D．括号内符号错误，不合题意． 2．在实数范围内因式分解：____________． 【答案】 【分析】本题考查在实数范围内因式分解二次多项式．通过配方法将原式转化为平方差形式，再利用平方差公式分解． 【详解】解： 故答案为： 3．把下列各式因式分解： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了在实数范围内分解因式，熟练掌握提公因式法与公式法的综合运用是解题的关键． （1）先提公因式a，再利用完全平方公式继续分解即可解答； （2）先对多项式进行化简整理，然后再利用平方差公式进行分解即可解答； 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 题型8因式分解在有理数简算中的应用 1．已知，，则代数式的值是（　　） A．2 B． C．15 D． 【答案】D 【分析】本题考查因式分解的应用以及用因式分解解决求值问题；利用因式分解解决证明问题；利用因式分解简化计算问题．本题的关键是把所求代数式分解因式．由题意利用分组分解的方法把因式分解，再利用整体代入的方法计算． 【详解】解：∵ ， ∵，， ∴， 故选：D． 2．利用因式分解计算：________． 【答案】 【分析】本题主要考查了因式分解．通过提取公因式2027进行因式分解，即可求解． 【详解】解： ． 故答案为 3．按要求完成下列题目 (1)计算：； (2)简便计算：． 【答案】(1)6 (2)808 【分析】（1）根据零指数幂、负整数指数幂和乘方的运算法则计算； （2）提取202，另一因式为，先算括号内的，再计算乘法即可． 【详解】（1）解： 原式； （3） 解：原式． 题型9十字相乘法 1．下列因式分解正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：选项A：∵将右侧整式展开得． ∴A错误． 选项B：∵由平方差公式可得分解正确且彻底， ∴B正确． 选项C：∵将右侧展开得． ∴C错误． 选项D：∵分解未彻底，可继续分解为，不符合因式分解要求， ∴D错误． 2．因式分解： _________ ． 【答案】 【分析】先提公因式，再利用十字相乘法因式分解． 【详解】解：． 3．“数缺形时少直观，形少数时难入微”，在探究“因式分解”时，我们借助直观、形象的几何模型，转化成“几何”形式来求解．运用到了“数形结合”的数学思想．下面，让我们一起来探索其中的规律． 【实践操作】 如图，有若干个边长为a的小正方形纸片（A类）、宽为a长为b的长方形纸片（B类）以及边长为b的大正方形纸片（C类）．我们知道对于一个图形，通过不同的方法计算图形的面积可以得到一个数学等式． (1)用若干个A类、B类、C类纸片拼成图1中的长方形，根据图形多项式可以因式分解得_________． (2)现用x张A卡片、y张B卡片、z张C卡片拼出一个长为，宽为的长方形，试求出的值=________； 【知识迁移】 (3)根据图2：若，则的值=_____． 【答案】(1) (2)21 (3)12 【分析】（1）拼成的长方形长为，宽为，则长方形面积为 ，由已知多项式转化为长与宽的乘积形式，完成因式分解． （2）利用多项式乘法计算出长为、宽为的长方形的面积表达式，再根据A、B、C类纸片对应的面积项，分别确定x、y、z的值，最后计算的值． （3）利用，将已知和的值代入，开平方即可求出的值． 【详解】（1）解：观察图1，拼成的长方形长为， 宽为， 长方形面积为 ， ∵面积等于所有纸片面积和， ∴． （2）解：∵长为、宽为的长方形面积为：， A类卡片对应，故；B类对应，故；C类对应，故， ∴． （3）由完全平方公式可得： ， ∴，： ∴， ∵为正数， 故． 题型10分组分解法 1．下列分解因式错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查因式分解，解题的关键是熟练运用提取公因式法、公式法等因式分解的方法． 对每个选项逐一进行因式分解，判断其正确性． 【详解】A、对提取公因式5a，可得，故选项因式分解正确； B、在实数范围内不能因式分解，故该选项因式分解错误； C、对分组分解，，故选项因式分解正确； D、先对中前三项用完全平方公式，，再用平方差公式可得，故选项因式分解正确． 故选：B． 2．分解因式：________． 【答案】 【分析】运用分组分解法分解因式，将原式合理分组后，分别提取公因式，然后再次提取公因式即可得到结果． 【详解】解：原式 ． 3．常用的分解因式的方法有提取公因式法、公式法，但多项式的项数三项以上时，直接使用上述方法可能有点困难，此时可尝试下面的方法：如．我们细心观察这个式子，会发现，前三项符合完全平方公式，进行变形后可以与第四项结合，再应用平方差公式进行分解． 过程如下： ． 这种分解因式的方法叫分组分解法． 利用这种分组的思想方法解决下列问题： (1)分解因式：________； (2)分解因式：； (3)已知a，b，c分别是三边的边长且，请判断的形状，并说明理由． 【答案】(1) (2) (3) 是等腰三角形，理由见解析 【分析】（1）利用分组分解法进行因式分解即可； （2）利用分组分解法进行因式分解即可； （3）将等式左边进行因式分解，转化为两个因式的积的形式，再进行判断即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解：为等腰三角形，理由如下： ， ， ， ， ∵，，是三边的边长， ∴， ∴， ∴， ∴为等腰三角形． 题型11因式分解的应用 1．如图，有A、B、C三种不同规格型号的卡片若干张．A型卡片是边长为a的正方形，B型卡片是长为a、宽为b的长方形，C型卡片是边长为b的正方形，其中．从这些卡片中取出m张卡片（每种卡片至少取一张），无缝隙、无重叠地拼成一个正方形，则m的值可以是（    ） A．20 B．24 C．25 D．28 【答案】C 【分析】设取A型卡片张，B型卡片张，C型卡片张，根据题意可得为完全平方式，据此即可解答． 【详解】解：设取A型卡片张，B型卡片张，C型卡片张， 则组成的图形面积为， 无缝隙、无重叠地拼成一个正方形， 为完全平方式， 可取，，， 即，符合要求， m的值可以是． 2．若， 则 的值为_______． 【答案】150 【分析】先将进行因式分解为，再代入求解即可． 【详解】解： ． 3．请看下面的问题：把分解因式． 分析：这个二项式既无公因式可提，也不能直接利用公式，怎么办呢？ 19世纪的法国数学家苏菲·姬曼抓住了该式只有两项，而且属于平方和的形式，要用公式就必须添一项，随即将此项减去，即可得，这种将平方和转化为平方差的方法，被称为“姬曼技巧” (1)受上述方法启发，尝试分解； (2)类比问题（1）尝试分解； (3)小明认为：“只要是的形式，都能用这种方法进行分解因式．”请你判断这个说法是否正确，并举例说明．如果正确，请写出一般结论；如果不正确、请给出反例并解释原因． 【答案】(1) (2) (3)正确；举例见解析；一般结论：形如（为正整数）的多项式均可用此法分解因式 【分析】本题考查了因式分解： （1）根据新定义，用构造出平方项，再进行因式分解； （2）根据新定义，把原式看成和的和，用构造平方项，完成因式分解； （3）当完全平方数为时，代入并分解因式，再设完全平方数为，其中为正整数，将按照“姬曼技巧”进行变形，分解因式，后总结一般结论即可． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． （3）解：正确； 举例：当完全平方数为时， ， 一般结论：设完全平方数为，其中为正整数，则， ， 因此，正确结论是：形如（为正整数）的多项式均可用此法分解因式． 过关检测◆提升 一、单选题 1．下列各式由左到右的变形，属于因式分解的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据因式分解的定义逐一判断即可． 【详解】解：A．是整式乘法运算，结果是多项式，不是乘积形式，该项不符合题意． B．将多项式化为三个整式的乘积，符合因式分解的定义，该项符合题意． C． 的结果是和的形式，不是整式乘积，该项不符合题意． D． 中，是分式，不是整式，不符合要求，该项不符合题意． 2．若，则的值为（    ） A．1 B． C．5 D． 【答案】A 【分析】本题考查了因式分解与整式乘法的关系. 本题展开右边多项式，与左边比较项系数即可得，然后即可求解. 【详解】解：∵ ， 又∵ ， ∴ ， 比较项系数得：； 故选：A. 3．与的公因式是（   ） A． B． C． D．不存在 【答案】A 【详解】解： 第一个多项式为 ∴ 两个多项式都含有的公因式为. 4．已知，，则的值是（  ） A．8 B． C．2 D． 【答案】A 【分析】先对所求代数式因式分解，再整体代入已知条件计算，用到提取公因式法和整体代入思想． 【详解】解：∵，， ∴． 5．下列多项式：①；②；③；④．其中能用公式法因式分解的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】检查每个多项式是否适用于平方差公式或完全平方公式进行因式分解； 本题考查了因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键． 【详解】解： ① = = = ，能用平方差公式分解； ② = = ，能用平方差公式分解； ③ = ，能用完全平方公式分解； ④ 无法用公式法分解； 能用公式法因式分解的有①、②、③，共3个． 故选：C． 6．已知，则的值为（    ） A．1 B． C．0 D．2 【答案】A 【分析】本题运用平方差公式分解因式，再结合已知条件化简，即可求出结果. 【详解】解：， ∴ . 二、填空题 7．因式分解：______． 【答案】 【详解】解：． 8．计算：当时，______． 【答案】1 【分析】本题考查了分式的乘除运算，掌握分式的乘除运算法则是解题的关键． 本题根据分式的乘除运算法则，同时结合因式分解进行约分，对原式进行转化、因式分解和约分等操作，得到化简结果的结论，即可解决分式的乘除运算问题． 【详解】解：． 故答案为：1． 9．因式分解：______． 【答案】 【分析】先提取公因式，再利用平方差公式分解因式即可． 【详解】解：． 10．在实数范围内因式分解：________． 【答案】 【分析】本题考查了因式分解的应用，熟练掌握因式分解的方法是解答本题的关键．因式分解常用的方法有：①提公因式法；②公式法；③十字相乘法；④分组分解法． 对于二次三项式，通过配方法将其转化为完全平方式与常数的差，然后利用平方差公式进行因式分解． 【详解】解： ． 故答案为：． 11．计算：______． 【答案】 【分析】本题考查了因式分解的应用，先提公因数，然后根据平方差公式进行计算即可求解，也可直接计算． 【详解】解： 故答案为：． 12．分解因式：_____． 【答案】 【分析】此题考查了十字相乘法的分解因式，熟练掌握十字相乘法是解本题的关键．根据十字相乘法分解因式即可得出答案． 【详解】解：． 故答案为：． 三、解答题 13．因式分解：． 【答案】 【分析】使用分组分解法进行因式分解，先将原式拆项凑完全平方，再利用平方差公式进行因式分解． 【详解】解：原式 ． 14．已知， (1)求的值． (2)求的值． 【答案】(1)168 (2)12 【分析】（1）根据题意，得，代入求解即可． （2）根据题意，得，变形代入求解即可． 【详解】（1）解：，， ； （2）解：根据题意，得 15．把下列各式因式分解： (1) (2)； (3)； (4)； (5)． 【答案】(1)； (2)； (3)； (4)； (5) 【分析】（）先提取公因式，再用平方差公式分解剩余部分； （）直接将式子看成两个平方项的差，套用平方差公式分解； （）先提取公因式，再用完全平方公式分解括号内的二次三项式； （）用十字相乘法，将常数项分解为两个数，使其和等于一次项系数，进而分解因式； （）先变形为，再提取公因式并整理． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解：； （5）解： ． 16．因式分解： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）利用提取公因式法和完全平方公式进行因式分解即可； （2）利用平方差公式和完全平方公式进行因式分解即可； （3）利用完全平方公式和平方差公式进行因式分解即可； （4）利用平方差公式、合并同类项法则、提取公因数进行因式分解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 17．分解因式：． 【答案】． 【分析】先对原式变形得到公因式，再提取公因式化简整理即可得到结果． 【详解】解： ． 18．若关于x的二次三项式分解因式的结果为，求的值． 【答案】 【分析】本题考查了分解因式与整式乘法，熟练掌握多项式乘多项式的运算法则是解题的关键．对展开得到m，n的值，然后计算即可． 【详解】解：∵， ∴，， ∴． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题08因式分解复习讲义 高效复习◆重点 1. 理解因式分解的定义，明确因式分解与整式乘法的互逆关系 2. 熟练掌握“提公因式法、公式法（平方差、完全平方）十字相乘法、分组分解法“四大核心方法 3. 掌握因式分解的一般步骤，能根据多项式特征灵活选用分解方法 4. 规避因式分解常见易错点，保证分解结果彻底、规范、最简 5. 运用因式分解解决简便计算、代数式求值等实际问题 核心题型◆归纳 题型1判断是否是因式分解 题型2已知因式分解的结果求参数 题型3提公因式法分解因式 题型4平方差公式分解因式 题型5完全平方公式分解因式 题型6综合运用公式法分解因式 题型7实数范围内分解因式 题型8因式分解在有理数简算中的应用 题型9十字相乘法 题型10分组分解法 题型11因式分解的应用 题型12提升测试 重点知识◆梳理 【知识点一、因式分解的定义】 1.把一个多项式化成几个整式乘积的形式，叫做把这个多项式因式分解，也叫做分解因式。 关键判断：结果是整式乘积，与整式乘法互为逆运算。 【知识点二、因式分解的基本方法】 1.提公因式法（基础、首选方法） 公因式定义：一个多项式中各项都含有的公共因式，叫做这个多项式各项的公因式。把公因式提取出来进行因式分解，这种分解因式的方法叫做提取公因式法。 2.确定公因式： （1）系数：取各项系数的最大公约数 （2）字母：取各项相同字母，且字母次数取最低次幂 公式：ma+mb+mc=m(a+b+c) 【知识点三、公式法分解因式】 1.平方差公式 -=(a+b)(a−b); 适用于：两项、异号、都是平方数 2.完全平方公式 ±2ab+=; 适用：三项式，首末平方、中间两倍乘积 【知识点四、十字相乘法】 1.适用于+px+q的二次三项式。 2.核心：若两个数a、b满足a+b=p,ab=q. 则+px+q=（x+a）(x+b) 【知识点五、分组分解法】 1.适用形式：多项式项数≥4，无法直接提公因式、套公式. 2.两两分组：am+an+bm+bn=a(m+n)+b(m+n)=(a+b)(m+n)。 3.三一分组：三项组用完全平方公式，剩余一项再用平方差公式。 【知识点六、因式分解一般步骤】 1提：优先提取公因式； 2套：再套用平方差、完全平方公式； 3分：三项式尝试十字相乘法； 4组：四项及以上用分组分解法，分组后能继续提公因式或套公式； 5查：检查分解是否彻底，结果是否为最简整式乘积。 【知识点七、因式分解的原则】 1.分解必须彻底，直到不能再分解为止； 2.结果中每一个因式都必须是整式； 3.相同因式写成幂的形式； 4.首项系数为负，提取符号； 5.结果不含中括号，只保留小括号。 题型解析◆精准备考 题型1判断是否是因式分解 1．下列各式中，从左到右的变形属于因式分解的是（   ） A． B． C． D． 2．下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是________．（填序号） ①；②；③；④． 3．下列各式中，从等号左边到右边的变形，哪些是因式分解？ (1)； (2)； (3)； (4)． 题型2已知因式分解的结果求参数 1．若将多项式因式分解得，则的值为（   ） A． B． C． D． 2．已知等式：，则________． 3．阅读材料，完成下列问题． 材料一：已知多项式有一个因式是，求的值． 解：设（A为整式）； 由于上式为恒等式，为方便计算取，，故． 材料二：已知多项式除以所得的余数为3，求的值． 解：设（A为整式）； 由于上式为恒等式，为方便计算取，，故． (1)已知多项式有一个因式是，则的值为 ； (2)已知多项式有两个因式分别是和，求和的值； (3)已知多项式除以所得的余数，比该多项式除以所得的余数少11，求的值． 题型3提公因式法分解因式 1．多项式因式分解的结果正确的是（   ） A． B． C． D． 2．已知，则______． 3．已知：，，求的值． 题型4平方差公式分解因式 1．在借助某AI工具命制如下①~④四道试题时，小聪发现其中有一道不能按要求分解因式，则该题是（    ） 用平方差公式分解下列各式： ①；②；③；④． A．①题 B．②题 C．③题 D．④题 2．因式分解：______． 3．分解因式： (1) (2) (3) 题型5完全平方公式分解因式 1．将下列多项式因式分解，结果中不含有因式的是（   ） A． B．C．D． 2．因式分解：__________． 3．分解因式； (1) (2) 题型6综合运用公式法分解因式 1．下列因式分解正确的是（　） A． B． C． D． 2．把因式分解的结果是________． 3．因式分解： (1)； (2)． 题型7实数范围内分解因式 1．在实数范围内因式分解，正确的是（    ） A． B． C． D． 2．在实数范围内因式分解：____________． 3．把下列各式因式分解： (1)； (2)． 题型8因式分解在有理数简算中的应用 1．已知，，则代数式的值是（　　） A．2 B． C．15 D． 2．利用因式分解计算：________． 3．按要求完成下列题目 (1)计算：； (2)简便计算：． 题型9十字相乘法 1．下列因式分解正确的是（   ） A． B． C． D． 2．因式分解： _________ ． 3．“数缺形时少直观，形少数时难入微”，在探究“因式分解”时，我们借助直观、形象的几何模型，转化成“几何”形式来求解．运用到了“数形结合”的数学思想．下面，让我们一起来探索其中的规律． 【实践操作】 如图，有若干个边长为a的小正方形纸片（A类）、宽为a长为b的长方形纸片（B类）以及边长为b的大正方形纸片（C类）．我们知道对于一个图形，通过不同的方法计算图形的面积可以得到一个数学等式． (1)用若干个A类、B类、C类纸片拼成图1中的长方形，根据图形多项式可以因式分解得_________． (2)现用x张A卡片、y张B卡片、z张C卡片拼出一个长为，宽为的长方形，试求出的值=________； 【知识迁移】 (3)根据图2：若，则的值=_____． 题型10分组分解法 1．下列分解因式错误的是（   ） A． B． C． D． 2．分解因式：________． 3．常用的分解因式的方法有提取公因式法、公式法，但多项式的项数三项以上时，直接使用上述方法可能有点困难，此时可尝试下面的方法：如．我们细心观察这个式子，会发现，前三项符合完全平方公式，进行变形后可以与第四项结合，再应用平方差公式进行分解． 过程如下： ． 这种分解因式的方法叫分组分解法． 利用这种分组的思想方法解决下列问题： (1)分解因式：________； (2)分解因式：； (3)已知a，b，c分别是三边的边长且，请判断的形状，并说明理由． 题型11因式分解的应用 1．如图，有A、B、C三种不同规格型号的卡片若干张．A型卡片是边长为a的正方形，B型卡片是长为a、宽为b的长方形，C型卡片是边长为b的正方形，其中．从这些卡片中取出m张卡片（每种卡片至少取一张），无缝隙、无重叠地拼成一个正方形，则m的值可以是（    ） A．20 B．24 C．25 D．28 2．若， 则 的值为_______． 3．请看下面的问题：把分解因式． 分析：这个二项式既无公因式可提，也不能直接利用公式，怎么办呢？ 19世纪的法国数学家苏菲·姬曼抓住了该式只有两项，而且属于平方和的形式，要用公式就必须添一项，随即将此项减去，即可得，这种将平方和转化为平方差的方法，被称为“姬曼技巧” (1)受上述方法启发，尝试分解； (2)类比问题（1）尝试分解； (3)小明认为：“只要是的形式，都能用这种方法进行分解因式．”请你判断这个说法是否正确，并举例说明．如果正确，请写出一般结论；如果不正确、请给出反例并解释原因． 过关检测◆提升 一、单选题 1．下列各式由左到右的变形，属于因式分解的是（   ） A． B． C． D． 2．若，则的值为（    ） A．1 B． C．5 D． 3．与的公因式是（   ） A． B． C． D．不存在 4．已知，，则的值是（  ） A．8 B． C．2 D． 5．下列多项式：①；②；③；④．其中能用公式法因式分解的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 6．已知，则的值为（    ） A．1 B． C．0 D．2 二、填空题 7．因式分解：______． 8．计算：当时，______． 9．因式分解：______． 10．在实数范围内因式分解：________． 11．计算：______． 12．分解因式：_____． 三、解答题 13．因式分解：． 14．已知， (1)求的值． (2)求的值． 15．把下列各式因式分解： (1) (2)； (3)； (4)； (5)． 16．因式分解： (1) (2) (3) (4) 17．分解因式：． 18．若关于x的二次三项式分解因式的结果为，求的值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $