4.3公式法 同步复习讲义2025-2026学年北师大版数学八年级下册

本讲义聚焦初中数学“公式法”因式分解核心知识点，先解析平方差公式（a²-b²=(a+b)(a-b)）和完全平方公式（a²±2ab+b²=(a±b)²）的逆向应用及适用条件，再过渡到提公因式法与公式法的综合运用，构建从单一公式到综合技能的学习支架。 该资料通过定义解读、条件概括、多样化例题（选择、填空、解答题）及换元法阅读材料，培养学生抽象能力（换元法整体代换）、推理意识（公式适用条件判断）和应用意识（综合运用提公因式与公式法）。课中助力教师分层教学，课后学生可通过不同题型巩固知识，查漏补缺。

第4章第3节 公式法 题型1 因式分解-运用公式法 题型2 提公因式法与公式法的综合运用 ▉题型1 因式分解-运用公式法 1、如果把乘法公式反过来，就可以把某些多项式分解因式，这种方法叫公式法． 平方差公式：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）； 完全平方公式：a2±2ab+b2＝（a±b）2； 　2、概括整合： ①能够运用平方差公式分解因式的多项式必须是二项式，两项都能写成平方的形式，且符号相反． ②能运用完全平方公式分解因式的多项式必须是三项式，其中有两项能写成两个数（或式）的平方和的形式，另一项是这两个数（或式）的积的2倍． 3、要注意公式的综合应用，分解到每一个因式都不能再分解为止． 1．若关于x的二次三项式x2﹣2ax+36能用完全平方公式分解因式，则a的值是（　　） A．﹣3 B．±3 C．6 D．±6 【答案】D 【解答】解：∵关于x的二次三项式x2﹣2ax+36能用完全平方公式分解因式， ∴2a＝±12， 解得：a＝±6， 故选：D． 2．下列多项式中，能用平方差公式分解的是（　　） A．x2+4 B．x2﹣4x+4 C．x2﹣9 D．x2+2x+1 【答案】C 【解答】解：根据平方差公式的结构特征逐项分析判断如下： A、x2+4，无法分解因式，不符合题意； B、x2﹣4x+4＝（x﹣2）2，不能用平方差公式分解因式，不符合题意； C、x2﹣9＝（x+3）（x﹣3），能用平方差公式分解因式，符合题意； D、x2+2x+1＝（x+1）2，不能用平方差公式分解因式，不符合题意； 故选：C． 3．已知m+n＝2，则m2﹣n2+4n的值是（　　） A．2 B．6 C．4 D．8 【答案】C 【解答】解：∵m+n＝2， ∴原式＝（m+n）（m﹣n）+4n ＝2（m﹣n）+4n ＝2m﹣2n+4n ＝2（m+n） ＝2×2 ＝4． 故选：C． 4．下列各式能运用完全平方公式进行因式分解的是（　　） A．16x2﹣4xy+y2 B．a2+ab+b2 C． D．9p2﹣24pq+16q2 【答案】D 【解答】解：利用完全平方公式的结构特征判断如下： A、16x2﹣4xy+y2，不符合完全平方公式的结构特征，不符合题意，本选项错误； B、a2+ab+b2，不符合完全平方公式的结构特征，不符合题意，本选项错误； C、，不符合完全平方公式的结构特征，不符合题意，本选项错误； D、9p2﹣24pq+16q2＝（3p﹣4q）2，符合题意， 故选：D． 5．下列多项式能直接用完全平方公式进行因式分解的是（　　） A．9x2﹣16y2 B．4x2﹣4x+1 C．x2+xy+y2 D．9﹣3x+x2 【答案】B 【解答】解：A选项，没有积的2倍，故该选项不符合题意； B选项，原式＝（2x﹣1）2，故该选项符合题意； C选项，第二项不是积的2倍，故该选项不符合题意； D选项，第二项不是积的2倍，故该选项不符合题意； 故选：B． 6．下列多项式能用平方差公式进行因式分解的是（　　） A．x2+4 B．x2﹣1 C．x+9 D．x2﹣6x 【答案】B 【解答】解：由平方差公式的结构特征可知，x2﹣1＝（x+1）（x﹣1）可利用平方差公式， 故选：B． 7．若4x2﹣（k﹣1）x+9能用完全平方公式因式分解，则k的值是（　　） A．13 B．13或﹣11 C．﹣11 D．无法确定 【答案】B 【解答】解：∵4x2﹣（k﹣1）x+9能用完全平方公式因式分解，4x2﹣（k﹣1）x+9＝（2x）2﹣（k﹣1）x+32， ∴k﹣1＝±2×2×3， 解得：k＝13或﹣11， 故选：B． 8．分解因式：x2﹣9＝　（x+3）（x﹣3）　 ． 【答案】（x+3）（x﹣3） 【解答】解：x2﹣9＝（x+3）（x﹣3）． 故答案为：（x+3）（x﹣3）． 9．分解因式：9﹣m2＝　（3+m）（3﹣m）　 ． 【答案】（3+m）（3﹣m）． 【解答】解：原式＝（3+m）（3﹣m）． 故答案为：（3+m）（3﹣m）． 10．分解因式：a2﹣1＝　（a+1）（a﹣1）　 ． 【答案】（a+1）（a﹣1） 【解答】解：a2﹣1＝（a+1）（a﹣1）． 故答案为：（a+1）（a﹣1）． 11．若多项式x2﹣（m﹣1）x+16能用完全平方公式进行因式分解，则m＝　9或﹣7　 ． 【答案】9或﹣7 【解答】解：∵多项式x2﹣（m﹣1）x+16能用完全平方公式进行因式分解， ∴m﹣1＝±8， 解得：m＝9或m＝﹣7， 故答案为：9或﹣7 12．分解因式：x2﹣16y2＝　（x+4y）（x﹣4y）　 ． 【答案】（x+4y）（x﹣4y） 【解答】解：x2﹣16y2 ＝x2﹣（4y）2 ＝（x+4y）（x﹣4y）． 故答案为：（x+4y）（x﹣4y）． 13．若关于x的二次三项式x2+2（m﹣3）x+16可用完全平方公式分解因式，则m的值为 　7或﹣1　 ． 【答案】7或﹣1 【解答】解：由题意得： x2+2（m﹣3）x+16＝（x±4）2， ∴x2+2（m﹣3）x+16＝x2±8x+16， ∴2（m﹣3）＝±8， ∴m﹣3＝±4， ∴m＝7或m＝﹣1， 故答案为：7或﹣1． 14．分解因式：a2﹣49＝　（a+7）（a﹣7）　 ． 【答案】（a+7）（a﹣7） 【解答】解：a2﹣49＝（a+7）（a﹣7）． 故答案为：（a+7）（a﹣7）． 15．阅读：换元法是一种重要的数学方法，是解决数学问题的有力工具．下面是对多项式（x2﹣2x）（x2﹣2x+2）+1进行因式分解的解题思路： 将“x2﹣2x”看成一个整体，设x2﹣2x＝m， 则：原式＝m（m+2）+1＝m2+2m+1＝（m+1）2， 再将“m”还原为“x2﹣2x”即可． 解题过程如下： 解：设x2﹣2x＝m， 则：原式＝m（m+2）+1＝m2+2m+1＝（m+1）2＝（x2﹣2x+1）2． 问题：（1）以上解答过程因式分解的结果是否彻底？如果没有彻底，请写出完整的解答过程； （2）请你模仿以上方法，将多项式（x2+6x）（x2+6x+18）+81进行因式分解． 【答案】（1）不完整，正确的解答过程见解析； （2）（x+3）4． 【解答】解：（1）不完整， 正确的解答过程： 设x2﹣2x＝m， 则原式＝m（m+2）+1 ＝m2+2m+1 ＝（m+1）2 ＝（x2﹣2x+1）2 ＝[（x﹣1）2]2 ＝（x﹣1）4； （2）设x2+6x＝m， 则原式＝m（m+18）+81 ＝m2+18m+81 ＝（m+9）2 ＝（x2+6x+9）2 ＝[（x+3）2]2 ＝（x+3）4． ▉题型2 提公因式法与公式法的综合运用 先提取公因式，再对余下的多项式利用完全平方公式继续分解即可． 16．下列因式分解正确的是（　　） A．x2﹣4＝（x+4）（x﹣4） B．4a2﹣8a＝a（4a﹣8） C．a2+2a+2＝（a+1）2+1 D．x2﹣2x+1＝（x﹣1）2 【答案】D 【解答】解：A、原式＝（x+2）（x﹣2），不符合题意； B、原式＝4a（a﹣2），不符合题意； C、原式不能分解，不符合题意； D、原式＝（x﹣1）2，符合题意． 故选：D． 17．下列多项式中，能用完全平方公式进行因式分解的是（　　） A．x2﹣1 B．4x2+4x+4 C．x2+2x+1 D．x2﹣2x﹣1 【答案】C 【解答】解：A．可以利用平方差公式进行因式分解，因此选项A不符合题意； B．可以利用提公因式法进行因式分解，因此选项B不符合题意； C．可以利用完全平方公式进行因式分解，因此选项C符合题意； D．不能利用完全平方公式进行因式分解，因此选项D不符合题意； 故选：C． 18．一次课堂练习，一位同学做了4道因式分解题，你认为这位同学做得不够完整的题是（　　） A．x2﹣2xy+y2＝（x﹣y）2 B．x2y﹣xy2＝xy（x﹣y） C．x2﹣y2＝（x+y）（x﹣y） D．x3﹣x＝x（x2﹣1） 【答案】D 【解答】解：A、x2﹣2xy+y2＝（x﹣y）2，正确，不合题意； B、x2y﹣xy2＝xy（x﹣y），正确，不合题意； C、x2﹣y2＝（x+y）（x﹣y），正确，不合题意； D、x3﹣x＝x（x2﹣1）＝x（x+1）（x﹣1），故此选项错误，符合题意． 故选：D． 19．分解因式：a2（x﹣y）+9（y﹣x）＝　（x﹣y）（a+3）（a﹣3）　 ． 【答案】（x﹣y）（a+3）（a﹣3）． 【解答】解：a2（x﹣y）+9（y﹣x） ＝（x﹣y）（a2﹣9） ＝（x﹣y）（a+3）（a﹣3）， 故答案为：（x﹣y）（a+3）（a﹣3）， 20．分解因式：a3﹣6a2b+9ab2＝a（a﹣3b）2 ． 【答案】a（a﹣3b）2． 【解答】解：原式＝a（a2﹣6ab+9b2）＝a（a﹣3b）2． 故答案为：a（a﹣3b）2． 21．分解因式：3a2﹣27＝　3（a+3）（a﹣3）　 ． 【答案】3（a+3）（a﹣3） 【解答】解：3a2﹣27 ＝3（a2﹣9） ＝3（a+3）（a﹣3）． 故答案为：3（a+3）（a﹣3）． 22．因式分解：﹣3m2n+6mn﹣3n＝　﹣3n（m﹣1）2 ． 【答案】﹣3n（m﹣1）2． 【解答】解：﹣3m2n+6mn﹣3n＝﹣3n（m2﹣2m+1）＝﹣3n（m﹣1）2， 故答案为：﹣3n（m﹣1）2． 23．因式分解：x2y﹣6xy+9y＝y（x﹣3）2 ． 【答案】y（x﹣3）2． 【解答】解：x2y﹣6xy+9y ＝y（x2﹣6x+9） ＝y（x﹣3）2， 故答案为：y（x﹣3）2． 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将“x2﹣2x”看成一个整体，设x2﹣2x＝m， 则：原式＝m（m+2）+1＝m2+2m+1＝（m+1）2， 再将“m”还原为“x2﹣2x”即可． 解题过程如下： 解：设x2﹣2x＝m， 则：原式＝m（m+2）+1＝m2+2m+1＝（m+1）2＝（x2﹣2x+1）2． 问题：（1）以上解答过程因式分解的结果是否彻底？如果没有彻底，请写出完整的解答过程； （2）请你模仿以上方法，将多项式（x2+6x）（x2+6x+18）+81进行因式分解． ▉题型2 提公因式法与公式法的综合运用 先提取公因式，再对余下的多项式利用完全平方公式继续分解即可． 16．下列因式分解正确的是（　　） A．x2﹣4＝（x+4）（x﹣4） B．4a2﹣8a＝a（4a﹣8） C．a2+2a+2＝（a+1）2+1 D．x2﹣2x+1＝（x﹣1）2 17．下列多项式中，能用完全平方公式进行因式分解的是（　　） A．x2﹣1 B．4x2+4x+4 C．x2+2x+1 D．x2﹣2x﹣1 18．一次课堂练习，一位同学做了4道因式分解题，你认为这位同学做得不够完整的题是（　　） A．x2﹣2xy+y2＝（x﹣y）2 B．x2y﹣xy2＝xy（x﹣y） C．x2﹣y2＝（x+y）（x﹣y） D．x3﹣x＝x（x2﹣1） 19．分解因式：a2（x﹣y）+9（y﹣x）＝　　 ． 20．分解因式：a3﹣6a2b+9ab2＝ ． 21．分解因式：3a2﹣27＝　　 ． 22．因式分解：﹣3m2n+6mn﹣3n＝　 ． 23．因式分解：x2y﹣6xy+9y＝ ． 学科网（北京）股份有限公司 $