精品解析：宁夏回族自治区吴忠市青铜峡市第一中学2026届高三考前自测三数学试题

青铜峡市第一中学2026届高三第三次模拟考试 数学试卷 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】易得集合，所以. 2. 复数是纯虚数，则实数（ ） A. 0 B. C. 1 D. 【答案】C 【解析】 【详解】已知复数是纯虚数，则实部，解得； 虚部，解得， 综上，． 3. 已知命题，；命题，.则（ ） A. p和q都是真命题 B. 和q都是真命题 C. p和都是真命题 D. 和都是真命题 【答案】B 【解析】 【详解】因为当时，，所以命题为假命题，所以是真命题， 因为当时，，所以q是真命题，所以是假命题. 4. 若底面半径为r，母线长为l的圆锥的表面积与直径为l的球的表面积相等，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据圆锥表面积公式和球的表面公式得到，解出即可. 【详解】圆锥的表面积为，球的表面积为， 故，即，故（负舍）． 故选：D． 5. 记为等差数列的前项和．若，则（ ） A. 25 B. 22 C. 20 D. 15 【答案】C 【解析】 【分析】方法一：根据题意直接求出等差数列的公差和首项，再根据前项和公式即可解出； 方法二：根据等差数列的性质求出等差数列的公差，再根据前项和公式的性质即可解出． 【详解】方法一：设等差数列的公差为，首项为，依题意可得， ，即, 又，解得：， 所以． 故选：C. 方法二：，，所以，， 从而，于是， 所以． 故选：C. 6. 在一次社区志愿服务活动中，由甲、乙、丙、丁4名志愿者负责物资分发、秩序维护、便民讲解三个服务岗位，每名志愿者只负责一个岗位，且每个服务岗位至少有一名志愿者负责.若甲、乙两人不负责同一个服务岗位，则不同的安排方案共有（ ） A. 18种 B. 24种 C. 30种 D. 36种 【答案】C 【解析】 【分析】根据分组分配问题，先求出无限制条件的方法数，再求出安排甲、乙在同一个岗位的方法数，进而求解. 【详解】因为4个人分配到3个不同的岗位，且每个岗位至少1名， 所以必有一个岗位2人，另2个岗位各一人，共有种方法. 若安排甲、乙在同一个岗位，为2人组，而丙、丁各为一人一组， 3个小组全排列到3个不同的岗位，共有种方法， 所以安排甲、乙不在同一个岗位有种方法. 故选：C 7. 将函数图像上所有点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，再将图像沿x轴向左平移个单位长度，得到，则下列结论正确的是（ ）. A. 的最小正周期为 B. 在上单调递减 C. 图像关于直线对称 D. 图像关于点对称 【答案】A 【解析】 【分析】利用逆向变换求出的解析式，利用三角函数的周期公式、单调区间判断选项A、B，根据对称轴与对称中心的性质判断C、D. 【详解】将沿x轴向右平移个单位长度，横坐标变为原来的， 可得. 选项A，的，最小正周期，A正确； 选项B，当时，，在单调递增， 在单调递减，故在不是单调递减，B错误； 选项C，正弦函数对称轴处函数值为，代入： ，因此不是对称轴，C错误； 选项D，正弦函数对称中心处函数值为，代入： ，因此不是对称中心，D错误. 8. 已知定义在上的可导函数满足是偶函数；；，，则（ ） A. B. C. 1 D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】判断的图象关于直线对称，再求证和的周期均为4即可求解. 【详解】由， 令，得， 所以的图象关于直线对称，所以. 将换为代入得. 又，因此， 即，则①， 所以， 对①两边求导得，故， 故和的周期均为4， 于是，. 在中，取得. 在中取得， 所以. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 设为双曲线：（，）的左焦点，经过原点且斜率大于的直线交于，两点，与轴垂直，，则（ ） A. B. 的离心率为 C. 直线的斜率为 D. 的渐近线方程为 【答案】ABC 【解析】 【详解】设的右焦点为，连接，由与轴垂直及对称性，得与轴垂直， 又，则，令，由，得， 对于A，，A正确； 对于B，由，得， 即，解得或（舍去）， 因此的离心率，B正确； 对于 C，由，，得直线的斜率，C正确； 对于D，，得的渐近线方程为，D错误. 10. 设随机变量的分布列如下： 1 2 3 4 5 6 7 8 9 则下列说法中正确的是（ ） A. 当为等差数列时， B. 当数列满足时， C. 数列的通项公式可能为 D. 当数列满足时， 【答案】ACD 【解析】 【分析】由题意可得，结合等差数列的性质判断A；利用等比数列的前项的和，求出的值，从而求出的值，再求出的值，即可判断B；通过验证当时，是否满足，从而判断C；令，2，3，，，从而可得，，2，3，，，利用累乘法求得，2，3，，，再代入，求出的值即可判断D. 【详解】由已知可得， 对于A，当为等差数列时，则，故，故A正确； 对于B，由，2，，时， 则， 所以， 则，故B错误； 对于C，显然， 又， 所以，故C正确； 对于D：令，2，3，，， 则， 所以 即，，2，3，，， 于是有，2，3，，， 又， 即, 所以， 解得，所以，故D正确. 三、填空题：本大题共3小题，单空题每空5分，共15分． 11. 已知向量，，且，则______. 【答案】 【解析】 【分析】先根据向量共线的坐标表示得，再结合向量的模的坐标公式求解即可. 【详解】因为向量，，且 所以，解得， 所以， 因此. 12. 已知曲线在处的切线与圆相交于两点，则___________． 【答案】 【解析】 【分析】求导，根据点斜式求解切线方程，即可根据圆的弦长公式求解. 【详解】由得，故，进而可得曲线在处的切线方程为：，即， 圆心到直线的距离为， 故.其中为圆的半径. 13. 在量子计算与人工智能融合的前沿研究中，科研人员需通过调控函数优化量子比特的能量弛豫特性，定义“量子能量调控函数”：对于量子比特的相对能量值（单位：相对能量单位，以基态能量为零点），存在实数a，b（），使得函数对应量子比特的能量损耗规律．已知该函数满足“双极值对称”性质，即能量损耗的两个极值点（对应量子比特的两个稳定工作状态）关于直线对称，且两个极值的和（对应两种稳定状态下的总能量损耗）为整数4，则a的值为______，b的值为______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】利用极值点的定义可得，利用两个极值点关于直线对称可求得，将代入得，的定义域为，则根据方程有两个根且均大于可求得，利用韦达定理化简得，构造函数，利用导数即可求得a的值. 【详解】， 令，则， 设和是的两个极值点，，， 所以和是的两个解，所以， 由韦达定理得， 因为的两个极值点关于直线对称，所以， 所以，解得， 所以，和是的两个解， 所以，解得， 因为，，所以由二次函数性质可知，当时，， 即，解得，所以， 由韦达定理得，， ， ， ， ， ， 令，则 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 所以当时，取得最小值， 所以是的唯一解，因此. 14. 已知，，分别为三个内角，，的对边，且． （1）求证：； （2）若，的面积为，求，． 【答案】（1）证明见解析 （2）， 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理边化角，再利用二倍角的正弦公式证明即可； （2）利用三角恒等变换可得，三角形面积公式等建立方程，求出． 【小问1详解】 因为，由正弦定理可得，即， 且，则，即， 可得，则，所以. 【小问2详解】 因为， 则，， 可得，，， 所以， 又因为，则， 且，则， 所以，． 15. 为了得到某种新产品表面的腐蚀刻线，技术员通过实验检测，发现该产品的腐蚀深度(单位：)与腐蚀时间(单位：)有关，并收集数据如下表： 腐蚀时间t/s 5 10 15 20 30 40 腐蚀深度 y/μm 5 8 10 13 17 19 （1）根据表中样本数据，计算样本相关系数，（系数精确到）并推断它们的线性相关程度； （2）建立关于的线性回归方程(系数精确到)；若腐蚀时间为，请估计腐蚀深度.参考数据： 参考公式：相关系数 线性回归方程的斜率 截距 【答案】（1），高度线性正相关； （2）， 【解析】 【分析】（1）根据相关系数公式求出，即可解题； （2）数据代入公式即可求出回归方程，进而可得腐蚀时间为的腐蚀深度． 【小问1详解】 由题可知， ， ， ，  ， ，非常接近1，说明腐蚀深度与腐蚀时间呈高度线性正相关； 【小问2详解】 ，   ， 因此线性回归方程为：  ， 当腐蚀时间时，代入得： . 16. 如图，在三棱柱中，,，，，为中点，平面. （1）求直线与平面所成角的正弦值； （2）求三棱锥的体积； （3）若质点的初始位置位于点处，每次等可能地沿着棱去往相邻的另一个顶点，记点移动次后仍在底面上的概率为，求. 【答案】（1） （2）48 （3） 【解析】 【分析】（1）建立空间直角坐标系，使用向量法求解； （2）使用三棱锥的体积公式求解； （3）使用全概率公式写出的递推关系式，构造等比数列求解. 【小问1详解】 以为原点，所在直线分别为轴，过点且垂直于平面的直线为轴建立空间直角坐标系， 则，，，，因为平面，且，在直角三角形中，，所以，即， 又，所以，则 ，，，设平面的法向量为，则 ，令，解得，，所以， 设直线与平面所成角为，则， 所以直线与平面所成角的正弦值为：. 【小问2详解】 到平面的距离为, , ，故， 因此, 所以三棱锥的体积为. 【小问3详解】 设为质点移动次后仍在底面上的概率，由题意可知，若质点在底面，下一步留在底面的概率为，若质点在顶面，下一步回到底面的概率为， 则，即 ，因为 ， ,所以数列是首项为，公比为的等比数列，则， 所以. 17. 在平面直角坐标系中，已知椭圆的离心率为，点在上，为的左、右顶点. （1）求的方程； （2）过点作直线与椭圆交于两点，（在第一象限），直线分别交轴于两点. （i）试探究：是否存在常数使得？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由； （ii）当面积取最大值时，求的值. 【答案】（1） （2）（i）存在，（ii） 【解析】 【分析】（1）由题意列出方程组，解得，即可得到椭圆方程； （2）（i）设直线方程，联立方程组整理得到关于的一元二次方程，由判别式求得参数的取值范围，由韦达定理得到交点坐标与参数的关系.写出直线的方程，然后得到坐标，通过化简求得结果. （ii）方法一：由（1）求得,从而表示出，然后得到并得到的取值范围，构造函数，通过导数求得函数的单调区间，从而求得最大值及此时的; 方法二：由（1）求得,从而表示出，利用三角变换得到，构造函数，利用导数求得函数单调区间，从而求得最大值及此时的； 方法三：设点坐标，得到点坐标、及直线方程，联立方程组求得，列出后构造函数，利用导数求得函数单调区间，从而求得最大值及此时的. 【小问1详解】 由已知，，解得， 所以C的方程为； 【小问2详解】 （i）设过点的直线， 由，消去x得， ，， ，， 由（1）知， 则直线，， 直线，， ， 所以存在，使得； （ii）法一：， ， 因为，所以， ， 因为M在第一象限，所以， 令， ， 令，解得或， 在上单调递增，在单调递减， 所以当时，取最大值，所以. 法二：， ， 设，， 所以， 令， ， 令，解得或， 因为，所以， 所以存在唯一的，使得， 且在上单调递增，在上单调递减， 所以当时取最大值，所以. 法三：设，则，所以， 直线， 由，得， ， 令， ， 令，解得， 在上单调递增，在上单调递减， 所以当时，取最大值， 所以. 18. 已知（） （1）设函数,讨论函数的单调性； （2）当,时,证明：. （3）当时,,求实数a的取值范围. 【答案】（1）当时，在上单调递增； 当时，在上单调递减，在上单调递增 （2）证明见解析 （3） 【解析】 【分析】(1)分和两种情况讨论的正负，结合导数与原函数的单调性求解即可； （2）将问题转化为证明恒成立，，利用导数研究的单调性和最值即可证明结论； （3）分和两种情况讨论，当，将问题转化为恒成立，然后分、、三种情况利用导数研究的单调性和最值即可求解. 【小问1详解】 由题意，，定义域为求导得： ， 当时，恒成立，因此在上单调递增， 当时，当 时，，，单调递减； 当时，，单调递增， 综上，当时，在上单调递增； 当时，在上单调递减，在上单调递增； 【小问2详解】 当时，， 当时，，故， 所以要证， 即证明：， 即证 即证， 令， 则， 当时，，单调递增； 当时，，单调递减； 当时，，取得最大值， 因此对任意，，即，原不等式得证. 【小问3详解】 原不等式， 当时，当时，， 所以，不合题意； 当时， 原不等式， 设， 则， 令， ， ， 当时，，所以在单调递减， 所以，所以在单调递增，，不合题意； 当时，，所以，所以在单调递增， 所以，所以在单调递减，； 当时，令，得，所以， 所以在单调递减，所以， 所以在单调递增，，不合题意； 综上，实数a的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 青铜峡市第一中学2026届高三第三次模拟考试 数学试卷 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 复数是纯虚数，则实数（ ） A. 0 B. C. 1 D. 3. 已知命题，；命题，.则（ ） A. p和q都是真命题 B. 和q都是真命题 C. p和都是真命题 D. 和都是真命题 4. 若底面半径为r，母线长为l的圆锥的表面积与直径为l的球的表面积相等，则（ ） A. B. C. D. 5. 记为等差数列的前项和．若，则（ ） A. 25 B. 22 C. 20 D. 15 6. 在一次社区志愿服务活动中，由甲、乙、丙、丁4名志愿者负责物资分发、秩序维护、便民讲解三个服务岗位，每名志愿者只负责一个岗位，且每个服务岗位至少有一名志愿者负责.若甲、乙两人不负责同一个服务岗位，则不同的安排方案共有（ ） A. 18种 B. 24种 C. 30种 D. 36种 7. 将函数图像上所有点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，再将图像沿x轴向左平移个单位长度，得到，则下列结论正确的是（ ）. A. 的最小正周期为 B. 在上单调递减 C. 图像关于直线对称 D. 图像关于点对称 8. 已知定义在上的可导函数满足是偶函数；；，，则（ ） A. B. C. 1 D. 3 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 设为双曲线：（，）的左焦点，经过原点且斜率大于的直线交于，两点，与轴垂直，，则（ ） A. B. 的离心率为 C. 直线的斜率为 D. 的渐近线方程为 10. 设随机变量的分布列如下： 1 2 3 4 5 6 7 8 9 则下列说法中正确的是（ ） A. 当为等差数列时， B. 当数列满足时， C. 数列的通项公式可能为 D. 当数列满足时， 三、填空题：本大题共3小题，单空题每空5分，共15分． 11. 已知向量，，且，则______. 12. 已知曲线在处的切线与圆相交于两点，则___________． 13. 在量子计算与人工智能融合的前沿研究中，科研人员需通过调控函数优化量子比特的能量弛豫特性，定义“量子能量调控函数”：对于量子比特的相对能量值（单位：相对能量单位，以基态能量为零点），存在实数a，b（），使得函数对应量子比特的能量损耗规律．已知该函数满足“双极值对称”性质，即能量损耗的两个极值点（对应量子比特的两个稳定工作状态）关于直线对称，且两个极值的和（对应两种稳定状态下的总能量损耗）为整数4，则a的值为______，b的值为______． 14. 已知，，分别为三个内角，，的对边，且． （1）求证：； （2）若，的面积为，求，． 15. 为了得到某种新产品表面的腐蚀刻线，技术员通过实验检测，发现该产品的腐蚀深度(单位：)与腐蚀时间(单位：)有关，并收集数据如下表： 腐蚀时间t/s 5 10 15 20 30 40 腐蚀深度 y/μm 5 8 10 13 17 19 （1）根据表中样本数据，计算样本相关系数，（系数精确到）并推断它们的线性相关程度； （2）建立关于的线性回归方程(系数精确到)；若腐蚀时间为，请估计腐蚀深度.参考数据： 参考公式：相关系数 线性回归方程的斜率 截距 16. 如图，在三棱柱中，,，，，为中点，平面. （1）求直线与平面所成角的正弦值； （2）求三棱锥的体积； （3）若质点的初始位置位于点处，每次等可能地沿着棱去往相邻的另一个顶点，记点移动次后仍在底面上的概率为，求. 17. 在平面直角坐标系中，已知椭圆的离心率为，点在上，为的左、右顶点. （1）求的方程； （2）过点作直线与椭圆交于两点，（在第一象限），直线分别交轴于两点. （i）试探究：是否存在常数使得？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由； （ii）当面积取最大值时，求的值. 18. 已知（） （1）设函数,讨论函数的单调性； （2）当,时,证明：. （3）当时,,求实数a的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $