精品解析：宁夏吴忠市青铜峡市第一中学2026届高三第二次模拟考试数学试卷

青铜峡市第一中学2026届高三第二次模拟考试 数学试卷 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 设集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】解不等式求得集合，进而求得即可. 【详解】依题意得， 由，解得， 得到，故. 2. 若复数（其中是虚数单位），则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】由题意得， 所以． 3. 已知向量，若，则向量与的夹角为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】依题意，，又，所以，解得，所以, 所以， 又因为， 所以． 4. 记的内角的对边分别为，已知，则最大内角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先由正弦定理得到边的比例关系，再结合边的关系推导出最大边，最后用余弦定理求最大角的余弦值即可. 【详解】由题意得， 结合正弦定理得：， 所以 因为，所以， 则，即， 由正弦定理，得． 又，同理可得， 所以，故为的最大内角， 设，所以． 5. 已知定义在上的单调递增函数，且为奇函数，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，得到，把不等式转化为，结合是上的单调递增函数，列出不等式组，即可求解. 【详解】由函数为奇函数，可得， 即，所以， 又由不等式，可得， 因为函数是上的单调递增函数， 所以，即，解得， 所以不等式的解集为. 故选：D. 6. 离散型随机变量的取值为．若数列为等差数列，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用离散型随机变量分布列的性质，结合等差数列的求和公式和性质，直接求出. 【详解】由离散型随机变量分布列的性质，， 由等差数列性质及前项和公式， 所以，解得， 故选：B. 7. 若定义在上的函数满足，是奇函数，，则（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】由是奇函数可得关于中心对称，结合，利用赋值法计算可得，即可得该函数周期，再利用，则可计算出为到时的的值，即可得解. 【详解】由是奇函数，则，故关于中心对称， 由，令，则，即， 由，令，则， 故，则， 故，即有，故以为周期， 由，则， ，， ，， 则 . 8. 已知双曲线的左右焦点分别为，，经过的直线与C的右支交于A，B两点，且，，则C的离心率是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设，根据双曲线的定义和余弦定理，求得，在中，利用余弦定理，求得即，结合离心率的定义，即可求解. 【详解】设，则， 由双曲线的定义，可得，所以， 又由， 因为，所以， 在中，由余弦定理得， ，即， 即，所以，则， 在中，由余弦定理得， 即，解得，所以， 所以双曲线的离心率为. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列说法正确的是（ ） A. 数据的众数是2 B. 数据的第25百分位数是1 C. 若随机变量，则 D. 根据分类变量与的成对样本数据，计算得到.依据的独立性检验，可判断变量与不独立 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据众数以及百分位数的概念可判断AB；根据二项分布的期望以及性质即可判断C；根据独立性检验的原理可判断D. 【详解】对于A，数据中，2出现3次，3也出现3次，因此众数是2和3，A错误； 对于B，数据已从小到大排列， 由于，故数据的第25百分位数是，B正确； 对于C，随机变量，则， 故，C正确； 对于D，由于，故依据的独立性检验， 拒绝原假设（原假设为X与Y独立），可判断变量与不独立，D正确. 10. 已知函数的最小正周期为，若将其图象向左平移个单位长度后得到的图象关于直线对称，则（ ） A. 函数的图象关于点对称 B. 函数的图象关于直线对称 C. D. 在上单调递增 【答案】BD 【解析】 【分析】利用周期公式求出，利用平移得到，利用图象关于直线对称，结合余弦函数的图像和性质得到，由得到的值，从而得到和的表达式，利用正余弦函数的图像和性质分别对选项一一求解. 【详解】函数的最小正周期为， ，， 将其图象向左平移个单位长度后得到的， ， 图象关于直线对称， ，， ，， ，， 选项A，，故选项A错误； 选项B，，故选项B正确； 选项C，， ， ，故选项C错误； 选项D，，，， 在上单调递增，故选项D正确. 11. 已知椭圆：（）的短轴长为，左、右焦点分别为，，为上一动点，且的最大值为4，则下列说法正确的有（ ） A. 的方程为 B. 若过点且垂直于轴的直线交于，两点，则 C. 若，是上两点，且的中点为，则直线的方程为 D. 若过点且互相垂直的两条直线与分别交于点，和点，，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】由椭圆的定义和基本不等式，求得，得出的值，求得椭圆的方程，可判定A正确；求得直线方程为，联立方程组，求得的长，可判定B错误；利用“点差法”求得的斜率，得出的方程，可判定C正确；利用弦长公式，分别求得的长，可判定D正确. 【详解】对于A，根据椭圆的定义，可得， 由基本不等式，可得，所以，即 因为椭圆的短轴长为，可得，所以， 所以椭圆的方程为，所以A正确； 对于B，由，，可得，则， 所以过且垂直于轴的直线方程为， 将代入椭圆的方程，可得，解得， 所以，所以B错误； 对于C，设，因为在椭圆上， 则，两式相减得：， 因为的中点为，可得， 所以，可得，所以的斜率为， 所以直线的方程为，即，所以C正确； 对于D，当一条直线的斜率为0时，则另一条直线的斜率不存在， 不妨设直线的斜率为0，则， 则直线的方程为，可得，所以； 当两条直线的斜率都存在，且不为0时， 设直线的方程为，且， 联立方程组，整理得， 可得且， 则 ， 因为直线与垂直，所以直线的斜率为， 同理可得：， 则， 综上可得，，所以D正确. 三、填空题：本大题共 3 小题，单空题每空 5 分，共 15 分 12. 投掷一枚质地均匀的骰子次，已知仅有一次掷得偶数的情况下，第三次掷得奇数的概率为___________． 【答案】 【解析】 【详解】设事件为“仅有一次掷得偶数”，事件为“第三次掷得奇数”， 则，， 所以． 13. 展开式中的系数为____________．（用数字作答） 【答案】 【解析】 【详解】解：展开式中含的项为， 故展开式中的系数为． 14. 已知函数的图象在点处的切线斜率为，且时，有极值，则在上的最小值为__________. 【答案】## 【解析】 【分析】利用给定的切线斜率及极值点求出，进而利用导数求出指定区间上的最小值. 【详解】由求导得， 依题意，，解得，函数， ，由，得或；由，得， 则函数在上单调递增，在上单调递减， 函数在处取到极大值，因此，， 当时，函数在上单调递减，在上单调递增， 而，，所以函数在上的最小值为. 故答案为： 四、解答题：本大题共 5 小题，共 77 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15. 已知函数上点处的切线方程为 （1）求的解析式； （2）若函数在上有两个零点，求的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）求函数导函数，根据导数的几何意义和题意可知，，，建立关于、的方程组，求出、，从而可得函数的解析式； （2）由，可得出，令，其中，利用导数分析函数的单调性与极值，分析可知，直线与函数在上的图象有且只有两个交点，数形结合可得出实数的取值范围. 【小问1详解】 由题意可知， 因为函数图象上点处的切线方程为， 所以，，，解得，， 所以，. 【小问2详解】 由，可得， 令，其中，则， 当时，，此时函数单调递减， 当时，，此时函数单调递增， 所以，函数的极小值为，，， 由题意可知，直线与函数在上的图象有且只有两个交点，如下图所示： 由图可知，实数的取值范围是. 16. 在平面直角坐标系中，椭圆的两个焦点分别是，，并且经过点. （1）求椭圆的离心率； （2）直线：与椭圆交于不同的两点. （ⅰ）求的取值范围； （ⅱ）若，求的值. 【答案】（1） （2）（ⅰ）；（ⅱ） 【解析】 【分析】（1）由条件确定，再由椭圆的定义求得，即可求解； （2）（ⅰ）设，，联立直线椭圆方程，由判别式大于0即可求解； （ⅱ）结合韦达定理，由即可求解. 【小问1详解】 因为椭圆的焦点在轴上，所以设椭圆的标准方程为. 依题意可得，又， 所以，则. 故椭圆的标准方程为，则椭圆的离心率； 【小问2详解】 （ⅰ）设，. 联立，整理得. 由，解得或. 即的取值范围为. （ⅱ）由（ⅰ）可得，，，（*） 则. 因为，所以， 则得， 将（*）代入，可得. 解得，满足. 所以的值为. 17. 已知是等差数列，，，数列的前项和为，且． （1）求、的通项公式； （2）若，求数列的前项和． 【答案】（1），； （2）. 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，求出等差数列的公差及首项，进而求出通项公式；利用前项和与第n项的关系求出的通项. （2）由（1）的结论求出，再利用错位相减法求和即得. 【小问1详解】 设等差数列的公差为，由，， 得，解得，因此； 数列中，，当时，， 两式相减得，即，而，解得， 因此数列是以2为首项，2为公比的等比数列，， 所以、的通项公式分别为，. 【小问2详解】 由（1）知，， 则， 于是， 将两式相减得： ，则， 所以求数列的前项和. 18. 如图，是边长为4的正方形，平面，，且. （1）证明：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值. （3）线段上是否存在一点，使得点到平面的距离为？若存在，求线段的长；若不存在，请说明理由. 【答案】（1）在上取点，使，连接，，如下图： 因为，即，且，故四边形是平行四边形， 则有且，因为是正方形，则有且， 故且，即四边形是平行四边形，则有， 因为平面， 平面，故 平面. （2） （3）存在； 【解析】 【分析】（1）在上取点，使，通过证明是平行四边形，有，平面， 平面，故 平面； （2）以为原点，为轴建立空间直角坐标系，先求出平面 的法向量，与平面 所成角的正弦值，就是的方向向量与平面 的法向量夹角的余弦值，通过夹角余弦值公式即可求解. （3）由题意可设，再使用点到平面距离公式，即点到平面 的距离即可求出的值，进而得到点的坐标，从而可求. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由题意可设为原点，为轴建立空间直角坐标系，如下图： 则， ， 设平面 的法向量，则有， 令，则，即，直线的方向向量为， 设直线与平面 的夹角为，则有 ， 故直线与平面 所成角的正弦值为. 【小问3详解】 已知，平面 的法向量，且， 设是线段上一点，由可设， 则， 点到平面 的距离， 令，解得（舍）或，故存在满足条件的点， 则，故线段长. 19. 某次投篮游戏，规定每名同学投篮次，投篮位置有，两处，第一次在处投，从第二次开始，若前一次未投进，则下一次投篮位置转为另一处；若前一次投进，则下一次投篮位置不变.在处每次投进得2分，否则得0分；在处每次投进得3分，否则得0分.已知甲在，两处每次投进的概率分别为，，且每次投篮相互独立.记甲第次在处投篮的概率为，第次投篮后累计得分为. （1）求； （2）求的分布列及数学期望； （3）求的通项公式； 【答案】（1）； （2）的概率分布为： 0 2 3 4 数学期望为 （3）（） 【解析】 【分析】（1）根据独立事件概率乘法公式即可求解； （2）通过相互独立事件概率公式计算分布列，再求期望； （3）当时，甲第次在处投篮分两种情形：①第次在处投篮且投进； ②第次在处投篮且未投进.分别确定概率，结合数列的递推关系得等比数列，根据等比数列的通项公式求解的通项公式即可； 【小问1详解】 甲第次在处投篮的概率为，说明第次投中，即， 甲第次在处投篮的概率为，说明第次，第次投中或第次，第次没投中， 即. 【小问2详解】 第次投篮后累计得分记为，则的可能取值为0，2，3，4， 设“甲第次在处投进”为事件，“甲第次在处投进”为事件， ，2，依题意，的可能取值为0，2，3，4. ， ， ， ， 所以的概率分布为 0 2 3 4 . 【小问3详解】 当时，甲第次在处投篮分两种情形： ①第次在处投篮且投进，这种情形概率为； ②第次在处投篮且未投进，这种情形概率为. 所以，故， 因为，所以是以为首项，为公比的等比数列. 所以，即，. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 青铜峡市第一中学2026届高三第二次模拟考试 数学试卷 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 设集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 若复数（其中是虚数单位），则（ ） A. B. C. D. 3. 已知向量，若，则向量与的夹角为（ ） A. B. C. D. 4. 记的内角的对边分别为，已知，则最大内角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 5. 已知定义在上的单调递增函数，且为奇函数，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 6. 离散型随机变量的取值为．若数列为等差数列，则（ ） A. B. C. D. 7. 若定义在上的函数满足，是奇函数，，则（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 8. 已知双曲线的左右焦点分别为，，经过的直线与C的右支交于A，B两点，且，，则C的离心率是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列说法正确的是（ ） A. 数据的众数是2 B. 数据的第25百分位数是1 C. 若随机变量，则 D. 根据分类变量与的成对样本数据，计算得到.依据的独立性检验，可判断变量与不独立 10. 已知函数的最小正周期为，若将其图象向左平移个单位长度后得到的图象关于直线对称，则（ ） A. 函数的图象关于点对称 B. 函数的图象关于直线对称 C. D. 在上单调递增 11. 已知椭圆：（）的短轴长为，左、右焦点分别为，，为上一动点，且的最大值为4，则下列说法正确的有（ ） A. 的方程为 B. 若过点且垂直于轴的直线交于，两点，则 C. 若，是上两点，且的中点为，则直线的方程为 D. 若过点且互相垂直的两条直线与分别交于点，和点，，则 三、填空题：本大题共 3 小题，单空题每空 5 分，共 15 分 12. 投掷一枚质地均匀的骰子次，已知仅有一次掷得偶数的情况下，第三次掷得奇数的概率为___________． 13. 展开式中的系数为____________．（用数字作答） 14. 已知函数的图象在点处的切线斜率为，且时，有极值，则在上的最小值为__________. 四、解答题：本大题共 5 小题，共 77 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15. 已知函数上点处的切线方程为 （1）求的解析式； （2）若函数在上有两个零点，求的取值范围． 16. 在平面直角坐标系中，椭圆的两个焦点分别是，，并且经过点. （1）求椭圆的离心率； （2）直线：与椭圆交于不同的两点. （ⅰ）求的取值范围； （ⅱ）若，求的值. 17. 已知是等差数列，，，数列的前项和为，且． （1）求、的通项公式； （2）若，求数列的前项和． 18. 如图，是边长为4的正方形，平面，，且. （1）证明：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值. （3）线段上是否存在一点，使得点到平面的距离为？若存在，求线段的长；若不存在，请说明理由. 19. 某次投篮游戏，规定每名同学投篮次，投篮位置有，两处，第一次在处投，从第二次开始，若前一次未投进，则下一次投篮位置转为另一处；若前一次投进，则下一次投篮位置不变.在处每次投进得2分，否则得0分；在处每次投进得3分，否则得0分.已知甲在，两处每次投进的概率分别为，，且每次投篮相互独立.记甲第次在处投篮的概率为，第次投篮后累计得分为. （1）求； （2）求的分布列及数学期望； （3）求的通项公式； 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $