专题05 四边形模型（期末复习专项训练）2025-2026学年人教版数学八年级下册

**基本信息** 聚焦四边形五大核心模型，以题型分类构建从基础到综合的知识网络，通过问题链深化几何直观与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |中点四边形|10题|围绕中点连线图形判定，结合对角线关系|三角形中位线定理→中点四边形性质（平行四边形→特殊四边形）| |“十字架”模型|8题|正方形中垂直线段关系，涉及全等与面积|正方形性质→垂直条件转化→线段/面积计算| |对角互补模型|6题|含特殊角四边形，结合角平分线与最值|四边形内角和→互补角转化→对称求最值| |含60°角的菱形|10题|菱形性质与等边三角形结合，涉及动态问题|菱形性质→60°角构造等边三角形→动态点轨迹分析| |“梯子”模型|5题|坐标系中四边形变换，结合坐标与距离|坐标系中点坐标→图形变换→距离公式应用|

专题05 四边形模型 目录 A题型建模・专项突破 题型一、中点四边形 1 题型二、“十字架”模型 4 题型三、对角互补模型 7 题型四、含60°角的菱形模型 10 题型五、“梯子”模型 13 B综合攻坚・能力跃升 题型一、中点四边形 1．如图，已知点E、F、G、H分别是四边形各边的中点，则四边形是（    ） A．正方形 B．矩形 C．菱形 D．平行四边形 2．如图，是四边形的两条对角线，顺次连接四边形各边中点得到四边形，要使四边形为矩形，应添加的条件是（    ）． A． B． C． D． 3．如图顺次连接矩形四条边的中点得到四边形，若，，则四边形的面积为（   ） A．6 B．6.5 C．7 D．7.5 4．顺次连接四边形的各边中点得到的四边形是正方形，则这个四边形对角线应满足（    ） A．相等且平分 B．垂直且平分 C．相等且垂直 D．相等、平分且垂直 5．顺次连接______的四边形的四边中点所得的四边形是矩形． 6．如图，四边形的两条对角线、互相垂直，将四边形各边中点依次相连，得到四边形，若四边形的面积为15，则四边形的面积为______． 7．我们把依次连接任意四边形各边中点得到的四边形叫做中点四边形，如图，在四边形中，E，F，G，H分别是边，，，的中点，依次连接各边中点得到中点四边形．    (1)这个中点四边形的形状一定是______； (2)若，证明四边形是菱形． 8．阅读理解：我们把依次连接任意一个四边形各边中点得到的四边形叫中点四边形，如图1，在四边形中，分别是边的中点，依次连接各边中点得到中点四边形． (1)菱形的中点四边形的形状是_______； (2)如图2，在四边形中，点在上且和为等边三角形，分别为的中点，试判断四边形的形状并证明． (3)若四边形的中点四边形为正方形，的最小值为4，则_______． 9．如图，点D，E，F分别是，，的中点，连接，，，； (1)求证：，相平分； (2)现有三个条件：①；②平分；③； 请你从中选择两个条件（写序号）： 使得四边形是正方形，并加以证明． 10．已知：如图，四边形四条边上的中点分别为E、F、G、H，顺次连接，得到四边形（即四边形的中点四边形）． (1)四边形的形状是 ， 证明你的结论． 证明： (2)当四边形的对角线满足 条件时，四边形是矩形； (3)你学过的哪种特殊四边形的中点四边形是矩形？ ． 题型二、“十字架”模型 11．在正方形中，边长，为中点，为上一点，且垂直平分交于点，则的长度为（    ） A． B． C． D． 12．如图，、分别是正方形的边、上的点，且，、相交于点，下列结论：①；②；③；④，其中正确的有（   ） A．①②④ B．②③④ C．①③④ D．①②③ 13．如图，在正方形中，E、F分别是的中点，交于点G，连接．下列结论：①；②；③；④．其中正确的是（   ） A．①②③④ B．①③④ C．①②③ D．①②④ 14．如图，在正方形中，E、F分别是边上的点，且，垂足为G，记的面积为，四边形的面积为，若，，则四边形的面积为______． 15．如图，正方形中，点E，F分别在边上，与交于点G．若，，则的长为__________． 16．在矩形中，，两边的长满足的平分线交边于点于点，连接，，线段的延长线交于点，交于点． (1)如图1，当时，求证：； (2)如图2，当时， ①求证：点为线段的中点； ②用等式表示线段与的数量关系，并证明． 17．问题背景：如图，在正方形中，边长为4．点M，N是边上两点，且，连接与相交于点O． (1)探索发现：探索线段与的关系，并说明理由； (2)探索发现：若点E，F分别是与的中点，计算的长； (3)拓展提高：延长至P，连接，若，请直接写出线段的长． 18．综合与实践 主题：特殊平行四边形的折叠． 素材：一张正方形纸片． 步骤1：将如图1所示的正方形纸片沿折叠（折痕经过顶点）得到图2； 步骤2：将点折叠到点，得到图3，展开得到，两条折痕，如图4所示． 猜想与证明： (1)请直接写出，的数量与位置关系； (2)证明（1）中你发现的结论． 题型三、对角互补模型 19．如图，点P为定角的平分线上的一个定点，且与互补，若在绕点P旋转的过程中，其两边分别与、相交于M、N两点，则以下结论：（1）恒成立；（2）的值不变；（3）四边形的面积不变；（4）的长不变，其中正确的个数为（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 20．如图，四边形中，，，在边上分别找到点M、N，当周长最小时，的度数为（   ） A． B． C． D． 21．如图，四边形中，，，，四边形的面积为（    ） A．12 B．14 C．16 D．18 22．如图，四边形中，，，平分交于点，平分交于点，交于点 (1)若，求的度数． (2)探究与有何位置关系？试说明理由． 23．我们把两组对边分别平行的四边形定义为平行四边形，同样的道理，我们也可以把至少有一组邻边相等的四边形定义为等邻边四边形．把对角互补的等邻边四边形定义为完美等邻边四边形． (1)如图，已知完美等邻边四边形，，，请你结合图形，写出完美等邻边四边形的一条性质； (2)在四边形中，若，且平分时，求证：四边形是完美等邻边四边形． 24．如图，在四边形中，与互补，分别平分，与相交于点G． (1)与有怎样的数量关系？说明理由： (2)若，求的度数． 题型四、含60°角的菱形模型 25．如图，在边长为6的菱形中,，E为对角线上一点，连接，若，则的长为（    ） A． B． C． D． 26．如图，在菱形中，，点E是对角线上的点，点O 是和的平分线的交点，则关于下列说法正确的是（   ） A．大小为定值，等于 B．大小不确定，可以等于 C．大小为定值，等于 D．大小不确定，随着点 E 的变化而变化 27．如图，菱形和菱形中，，，，点在边上，点在边上，，连接和，，分别是，的中点，则的长为（　　） A． B． C． D． 28．如图，菱形中，对角线与相交于点，若，，则_____． 29．如图，在菱形中，，若，则菱形的周长为______． 30．如图，四边形是边长为8的菱形，，M是对角线上的一个动点． （1）若N是边上一点，，连结，则的最小值为_______； （2）变式：若 N是边上一个动点，连结，则的最小值为_______． 31．如图，菱形中，对角线，交于点，点是的中点，延长到点，使，连接，． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，求菱形的面积． 32．如图，在中，平分，交于点E，平分，交于点F，与交于点P，连接，． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，求的长． 33．如图，点是菱形对角线的交点，过点作，过点作，与相交于点． (1)求证：四边形是矩形． (2)若，，求矩形的面积． 34．在菱形中，，与相交于点，点是射线上一动点，以为边向右侧作等边． (1)问题发现：如图1，当点与点重合时，点在边上，连结，与的数量关系是______；与的位置关系是______； (2)拓展探究：如图2，当点在菱形外部时，猜想与的数量关系并说明理由； (3)解决问题：如图3，若，，请直接写出四边形的面积． 题型五、“梯子”模型 35．如图，在平面直角坐标系中，正方形的位置如图所示，，若，则点D的坐标为（    ） A． B． C． D． 36．已知一次函数与坐标轴交于点A和点B，如图，以为边作正方形，点C到y轴的距离是（    ） A．1 B．3 C．4 D．6 37．如图，在平面直角坐标系中，点、、在坐标轴上，是的中点，四边形是矩形，四边形是正方形，若点的坐标为，则点的坐标为__________ 38．如图，在平面直角坐标系中，矩形的对角线， ． (1)求点的坐标； (2)把矩形沿直线折叠后展开，使点落在点处，与相交于点，连接，，求四边形的周长； (3)若点在坐标轴上，平面内是否存在点，使以点，，，为顶点的四边形为矩形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 39．如图，直线与轴、轴分别交与、两点，以为边向外作正方形，对角线、交与点，求过两点的直线解析式． 1．（25-26八年级下·福建福州·期中）如图，四边形为等腰梯形，且对角线，取梯形各边的中点E、F、G、H，则四边形是（    ） A．梯形 B．矩形 C．正方形 D．菱形 2．（2026·安徽阜阳·二模）如图，在四边形中，点分别是各边的中点．甲说：若四边形是矩形，则四边形是菱形；乙说：若四边形是菱形，则四边形是矩形．下列判断正确的是（   ） A．甲、乙都正确 B．甲正确，乙错误 C．甲错误，乙正确 D．甲、乙都错误 3．（25-26八年级下·江苏连云港·期中）如图，正方形的边长等于4，点、分别在、边上，点关于的对称点恰好是边的中点，则的长为（    ） A．1 B． C． D． 4．（25-26八年级下·山东潍坊·期中）如图，在中，对角线交于点O，过点O作，分别交于点E，F，连接BE．若．有下列说法：①的周长等于周长的一半；②四边形的面积是面积的一半；③；④，其中，正确结论的个数是（） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 5．（25-26八年级下·江苏宿迁·期中）如图，为菱形的对角线上的一个定点，为边上的一个动点，的垂直平分线分别交于点．若的长的最小值为6，则的长为__________． 6．（2026·江苏泰州·一模）如图，将正方形放在平面直角坐标系中，点A，B分别在x轴，y轴上，点C，D在第一象限内．若点A的坐标为，正方形的面积为5，则点C的坐标________． 7．（25-26八年级下·新疆乌鲁木齐·期中）如图，正方形的边长为8，点是的中点，垂直平分且分别交、于点、，则_____． 8．（25-26八年级下·北京·期中）在正方形中，，点，分别为、上一点，且，连接、，则的最小值是_____． 9．（25-26八年级下·北京·期中）如图，已知菱形，，点P在边上运动，连接，取中点Q，连接． （1）当P为中点时，的长为________； （2）在P从点B运动到点C的过程中，的最小值为________． 10．（25-26八年级下·山东聊城·月考）综合探究 (1)如图，在四边形中，，，，分别为，，，的中点，当 时，四边形为正方形； (2)如图，在四边形中，，，，分别为，，，的中点． 当 时，四边形为矩形； 当 时，四边形为菱形． (3)如图，在四边形中，，，，分别为，，，的中点．若，，试判断四边形的形状并加以证明． 11．（25-26八年级下·广东东莞·期中）如图，在正方形中， (1)如图，在正方形中，点，分别在和上，且．证明：且； (2)如图②，在正方形内有一点，过点作，点，分别在正方形的对边，上，点，分别在正方形的对边，上，那么与相等吗？并说明理由； (3)如图③，将边长为的正方形纸片折叠，使点落在的中点处，折痕为，点在边上，点在边上．请你画出折痕，则折痕的长是______；线段的长是______． 12．（25-26九年级下·江苏盐城·月考）如图，是的角平分线，它的垂直平分线分别交，，于点，，，连接，． (1)请判断四边形的形状，并说明理由； (2)若，，，求的长． 13．（25-26九年级上·浙江金华·期末）三个全等的矩形如图所示摆放，已知矩形长为宽为，，，求和的长度． 1 / 77 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 四边形模型 目录 A题型建模・专项突破 题型一、中点四边形 1 题型二、“十字架”模型 15 题型三、对角互补模型 27 题型四、含60°角的菱形模型 34 题型五、“梯子”模型 47 B综合攻坚・能力跃升 题型一、中点四边形 1．如图，已知点E、F、G、H分别是四边形各边的中点，则四边形是（    ） A．正方形 B．矩形 C．菱形 D．平行四边形 【答案】D 【分析】本题考查了平行四边形的判定，三角形的中位线定理，熟悉平行四边形的判定是解题的关键．先借助三角形的中位线定理推出，，可证四边形是平行四边形，即可求解． 【详解】解：连接， E、F、G、H分别是四边形各边的中点 ∴，， ，， ∴，， ∴四边形是平行四边形， 故选：D. 2．如图，是四边形的两条对角线，顺次连接四边形各边中点得到四边形，要使四边形为矩形，应添加的条件是（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查中点四边形，涉及三角形中位线的判定与性质、平行四边形的判定与性质、矩形的判定等知识，熟记三角形中位线的判定与性质、平行四边形的判定与性质、矩形的判定等知识是解决问题的关键． 先由中点四边形相关条件，由三角形中位线的判定与性质得到，且；，且；，且；，且，进而判定四边形为平行四边形，再由矩形的判定定理即可确定答案． 【详解】解： 是四边形的两条对角线，是四边形各边的中点， 是的中位线，是的中位线，是的中位线，是的中位线， 则，且；，且；，且；，且， ，且， 四边形为平行四边形， 当时，， 四边形为平行四边形， 四边形为矩形， 综上所述，要使四边形为矩形，应添加的条件是， 故选：B． 3．如图顺次连接矩形四条边的中点得到四边形，若，，则四边形的面积为（   ） A．6 B．6.5 C．7 D．7.5 【答案】D 【分析】根据矩形的性质和三角形中位线定理证明四边形是菱形，四边形和四边形是矩形，再根据菱形的面积计算公式求解即可． 【详解】解：如图，连接、、、， 矩形， ，，，，，， 分别为矩形四条边的中点， 分别是的中位线， ，， ， 四边形是菱形， ，，， 四边形是矩形， 同理可证，四边形是矩形， ，， 菱形的面积． 4．顺次连接四边形的各边中点得到的四边形是正方形，则这个四边形对角线应满足（    ） A．相等且平分 B．垂直且平分 C．相等且垂直 D．相等、平分且垂直 【答案】C 【分析】此题主要考查了正方形的性质定理，三角形中位线定理，熟练应用中位线定理和正方形的性质是解题的关键． 根据题意画图，利用中位线定理得，，，，然后根据正方形的性质得四个角是直角，四条边相等，然后，根据平行线的性质即可解答． 【详解】解：根据题意画出图形如下： ∵E、F、G、H分别是四边形各边、、、的中点， ∴，， ∴，， ∵四边形是正方形， ，， ∴，， 故选：C． 5．顺次连接______的四边形的四边中点所得的四边形是矩形． 【答案】菱形 【分析】本题考查了中点四边形∶利用三角形的中位线性质解决有关中点四边形的问题．也考查了菱形的性质和矩形的判定． 先写出已知和求证，如图，再进行证明，连结、，先证明为的中位线，则根据三角形中位线性质得到，同理可得，，，于是可判断四边形为平行四边形，接着根据菱形的性质得到，则可得到，然后根据矩形的判定方法得到四边形为矩形． 【详解】已知：点、、、为菱形各边的中点，如图， 求证：四边形为矩形． 证明：连结、，如图， 点为的中点，为的中点， ∴为的中位线， ∴， 同理可得，，， ∴，， ∴四边形为平行四边形， ∵四边形为菱形， ∴， 而，， ∴， ∴， ∴平行四边形为矩形． 6．如图，四边形的两条对角线、互相垂直，将四边形各边中点依次相连，得到四边形，若四边形的面积为15，则四边形的面积为______． 【答案】30 【分析】根据三角形的中位线定理证明四边形是矩形，从而根据矩形的面积和三角形的每件公式进行计算．此题主要考查中点四边形和三角形的面积，注意三角形中位线定理这一知识点的灵活运用，此题难易程度适中，是一道典型的题目． 【详解】解：，，，是四边形的中点四边形， 四边形的对角线、互相垂直， 四边形为矩形， 设，， 是的中位线， ， 同理可得， 四边形的面积为． ， 四边形的面积， 故答案为：30． 7．我们把依次连接任意四边形各边中点得到的四边形叫做中点四边形，如图，在四边形中，E，F，G，H分别是边，，，的中点，依次连接各边中点得到中点四边形．    (1)这个中点四边形的形状一定是______； (2)若，证明四边形是菱形． 【答案】(1)平行四边形 (2)见解析 【分析】（1）根据中位线的性质得出，，根据平行公理得出，同理得出，即可得出答案； （2）先根据中位线性质证明，，得出四边形为平行四边形，再根据，得出，证明平行四边形是菱形． 【详解】（1）解：连接、，如图所示：    ∵E，F，G，H分别是边，，，的中点， ∴，， ∴， 同理可得：， ∴四边形为平行四边形， 故答案为：平行四边形． （2）证明：如图，连接、， E，F，G，H分别是边，，，的中点， ∴，，， ，，， ∴，， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴， ∴四边形是菱形．    【点睛】本题主要考查了中位线的性质，平行四边形和菱形的判定，解题的关键是熟练掌握中位线性质，平行四边形的判定方法． 8．阅读理解：我们把依次连接任意一个四边形各边中点得到的四边形叫中点四边形，如图1，在四边形中，分别是边的中点，依次连接各边中点得到中点四边形． (1)菱形的中点四边形的形状是_______； (2)如图2，在四边形中，点在上且和为等边三角形，分别为的中点，试判断四边形的形状并证明． (3)若四边形的中点四边形为正方形，的最小值为4，则_______． 【答案】(1)矩形 (2)四边形为菱形；证明见解析 (3) 【分析】（1）由菱形的性质及矩形的判定可得出答案； （2）连接、，由等边三角形的性质得出，，，证出，由证明，得出，由三角形中位线定理得出，，，，，得出，，证出四边形是平行四边形；再得出，即可得出结论； （3）连接交于O，连接，当点O在上（即M、O、N共线）时，最小，最小值为的长，再证明即可求得答案． 【详解】（1）解：如图， 四边形是菱形时，连接各边中点，得到四边形， 根据中位线性质得到，， ∴， 同理可得， ∴为平行四边形， 又∵是菱形， ∴，则， ∴为矩形． 故答案为：矩形； （2）解：四边形为菱形．理由如下： 连接与，如图2所示： ∵和为等边三角形， ，，， ， 在和中， ， ， ， ，，，分别是边，，，的中点， 是的中位线，是的中位线，是的中位线， ，，，，， ，， 四边形是平行四边形； ， ， 四边形为菱形； （3）解：如图3，连接交于O，连接、， 当点O在上（即M、O、N共线）时，最小，最小值为的长， ∴的最小值， 由性质探究知：， 又∵M，N分别是的中点， ∴，， ∴， ∴的最小值， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∵N，F分别是的中点， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题是四边形综合题，主要考查了三角形中位线定理，平行四边形、矩形、菱形的判定，全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，利用前面得出的结论解决新问题是解题的关键． 9．如图，点D，E，F分别是，，的中点，连接，，，； (1)求证：，相平分； (2)现有三个条件：①；②平分；③； 请你从中选择两个条件（写序号）： 使得四边形是正方形，并加以证明． 【答案】(1)见解析 (2)①③或①②，证明见解析 【分析】本题考查了正方形的判定，三角形中位线定理，平行四边形的判定和性质． （1）由三角形中位线定理得，，再证四边形为平行四边形，即可得出结论； （2）添加①时，四边形是矩形；添加②平分时，，则，此时四边形是菱形；添加③时，由得到，四边形是菱形；选择①③或①②时，四边形是正方形，再根据正方形的判定定理得到结论． 【详解】（1）证明：、、分别是，，的中点， 、都是的中位线， ∴，， 四边形为平行四边形， 、互相平分； （2）解：①；②平分；③， ∵四边形为平行四边形， ∴添加①时，四边形是矩形； 添加②平分时，，则，此时四边形是菱形； 添加③时，由得到，四边形是菱形； ∴选择①③或①②时，四边形是正方形； 选择①③， 证明：四边形为平行四边形，， 四边形是矩形， 点、分别是、的中点， 是的中位线， ∴， ， ， 四边形是正方形， 选择①②， 证明：四边形为平行四边形，， 四边形是矩形， 平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，此时四边形是菱形； 四边形是正方形， 故答案为：①③或①②． 10．已知：如图，四边形四条边上的中点分别为E、F、G、H，顺次连接，得到四边形（即四边形的中点四边形）． (1)四边形的形状是 ， 证明你的结论． 证明： (2)当四边形的对角线满足 条件时，四边形是矩形； (3)你学过的哪种特殊四边形的中点四边形是矩形？ ． 【答案】(1)平行四边形，证明见解析 (2) (3)菱形 【分析】（1）连接，利用三角形的中位线性质得出，，，，从而得到，，即可由平行四边形的判定定理得出结论； （2）在（1）的基础上，所得四边形要成为矩形，则需有一个角是直角，故对角线应满足互相垂直； （3）在（1）的基础上，所得四边形要成为矩形，则需有一个角是直角，故对角线应满足互相垂直，故这样的特殊四边形是菱形． 【详解】（1）解：四边形是平行四边形． 证明：连接， ∵E、F为边、的中点， ∴，， ∵H、G为边、的中点， ∴，， ∴，， ∴四边形是平行四边形． （2）解：如图，当时，设于O，交于P，交于Q， ∵ ∴ 由（1）知：， ∴ ∵E、H为边、的中点， ∴ ∴ 由（1）知：四边形是平行四边形 ∴四边形是矩形． ∴当四边形的对角线满足的条件时，四边形是矩形． 故答案为∶ ． （3）解：如图，菱形四条边上的中点分别为E、F、G、H， 连接，相交于O， 交于P，交于Q， ∵菱形 ∴ ∴ ∵G、H为边、的中点， ∴， ∴ ∵E、H为边、的中点， ∴ ∴ 由（1）知：四边形是平行四边形， ∴四边形是矩形． 故答案为∶ 菱形的中点四边形是矩形． 【点睛】本题考查中点四边形，三角形中位线的性质，平行四边形的判定与性质，矩形的判定，菱形的性质，熟练掌握三角形中位线的性质是解题的关键． 题型二、“十字架”模型 11．在正方形中，边长，为中点，为上一点，且垂直平分交于点，则的长度为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查线段垂直平分线的性质，正方形的性质，勾股定理，解题的关键是正确作出辅助线． 连接，，由线段垂直平分线的性质，可得，设，则，解方程即可得的长度． 【详解】解：连接，， ∵垂直平分交于点， ∴， 在正方形中，边长，为中点， ∴，， 设，则， 解得，， ∴的长度为， 故选：． 12．如图，、分别是正方形的边、上的点，且，、相交于点，下列结论：①；②；③；④，其中正确的有（   ） A．①②④ B．②③④ C．①③④ D．①②③ 【答案】A 【分析】本题考查了正方形的四条边都相等，每一个角都是直角的性质，全等三角形的判定与性质，求出全等是解题的关键，也是本题的突破口．根据正方形的性质可得，，然后求出，再利用“边角边”证明和全等，根据全等三角形对应边相等可得，从而判定出①正确；再根据全等三角形对应角相等可得，然后证明，再得到，从而得出，判断②正确；假设，根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质可得，再根据直角三角形斜边大于直角边可得，即，从而得出假设错误，判断③错误；根据全等三角形的面积相等可得，然后都减去的面积，即可得解，从而判断④正确． 【详解】解：在正方形中，，， ∵， ∴， 即， 在和中， ， ∴， ∴，，故①正确； ∵， ∴， ∴， ∴，故②正确； 如图，连接，假设， ∵， ∴垂直平分， ∴， ∵在中，， ∴，这与正方形的边长相矛盾， 所以，假设不成立，，故③错误； ∵， ∴， ∴， 即，故④正确； 综上所述，正确的结论是①②④． 故选：A． 13．如图，在正方形中，E、F分别是的中点，交于点G，连接．下列结论：①；②；③；④．其中正确的是（   ） A．①②③④ B．①③④ C．①②③ D．①②④ 【答案】D 【分析】此题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质等知识．此题综合性很强，难度较大，解题的关键是注意数形结合思想的应用． 根据正方形的性质得到，得到，根据全等三角形的性质得到，故①正确；求得，根据垂直的定义得到，故②正确；推导出不是等边三角形，进而得到 ，故③错误；延长交的延长线于，根据线段中点的定义得到，根据全等三角形的性质得到，由是斜边的中线，得到，求得 ，根据余角的性质得到．故④正确． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴， ∵分别是的中点， ∴， ∴， 在与中， ∴， ∴，故①正确； ∵， ∴， ∴， ∴，故②正确； ∵， ∴， ∴， ∵， ∴不是等边三角形， ∴，故③错误； ∵， ∴， 延长交的延长线于，如图， ∵点是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵是斜边的中线， ∴．故④正确； 故选：D． 14．如图，在正方形中，E、F分别是边上的点，且，垂足为G，记的面积为，四边形的面积为，若，，则四边形的面积为______． 【答案】12 【分析】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识，证明三角形全等得到是解题的关键． 先证明得到，则，设，，利用勾股定理和三角形的面积可得，，由列方程求得即可求解． 【详解】证明：∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∵，垂足为G， ∴， ∴， 在与中， ∴， ∴， ∴， 即， ∵，， 设，， ∴，， ∵，， ∴，解得， ∴， 故答案为：12． 15．如图，正方形中，点E，F分别在边上，与交于点G．若，，则的长为__________． 【答案】 【分析】此题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，证明是解本题的关键．利用正方形的性质证明得，再利用勾股定理得出，得出，根据等面积可得的长，进而可得结论． 【详解】解：∵正方形中，， ∴，， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 16．在矩形中，，两边的长满足的平分线交边于点于点，连接，，线段的延长线交于点，交于点． (1)如图1，当时，求证：； (2)如图2，当时， ①求证：点为线段的中点； ②用等式表示线段与的数量关系，并证明． 【答案】(1)见解析 (2)①见解析；②，证明见解析 【分析】本题考查矩形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，直角三角形斜边中线的性质，作辅助线构造全等三角形是解题的关键． （1）根据矩形的性质和角平分线的定义得到，进而得到即可解题； （2）①连接，证明即可得到，然后根据等角的余角相等得到，然后根据等角对等边得到结论即可； ②连接，取的中点，连接，，根据直角三角形斜边上中线的性质得到，进而求出，利用勾股定理解答即可． 【详解】（1）证明：如图． 四边形为矩形， ． 的平分线交于点， ． ， ． ． ． ． ， ． （2）①证明：如图，连接． 已证． ． ． ． ， ， ． ． ． ，即点为线段的中点． ②． 证明：如图，连接，取的中点，连接，． 的中点为， 分别是的外角， 17．问题背景：如图，在正方形中，边长为4．点M，N是边上两点，且，连接与相交于点O． (1)探索发现：探索线段与的关系，并说明理由； (2)探索发现：若点E，F分别是与的中点，计算的长； (3)拓展提高：延长至P，连接，若，请直接写出线段的长． 【答案】(1)，且，证明见解析 (2) (3) 【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，中位线性质和勾股定理，解题关键是构造三角形从而使用中位线定理、作构造直角三角形． （1）证，得出，，再证即可； （2）连并延长交于G，求出长，再根据中位线的性质求出即可； （3）过点B作于点H，根据勾股定理求出，，即可． 【详解】（1）解：，且， 理由：∵四边形是正方形， ∴， ∴在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴线段和的关系为：，且； （2）解：连接并延长交于G，连接， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴在和中， ， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∵正方形的边长为4，， ∴， 在中，由勾股定理得：， ∴， ∴， ∴； （3）解：如图3，过点B作于点H， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 18．综合与实践 主题：特殊平行四边形的折叠． 素材：一张正方形纸片． 步骤1：将如图1所示的正方形纸片沿折叠（折痕经过顶点）得到图2； 步骤2：将点折叠到点，得到图3，展开得到，两条折痕，如图4所示． 猜想与证明： (1)请直接写出，的数量与位置关系； (2)证明（1）中你发现的结论． 【答案】(1) (2)证明过程见解析 【分析】（1）答案看详解； （2）由折叠可知，过点作于，再证明，最后利用全等三角形的性质即可得出． 【详解】（1）解：； （2）证明：由折叠可知， 过点作于， 四边形是正方形， ，， ， ， 在和中， ， ， ； 故答案为：． 【点睛】本题考查了折叠的性质，正方形的性质，全等三角形的判定和性质．解题关键是正确寻找全等三角形． 题型三、对角互补模型 19．如图，点P为定角的平分线上的一个定点，且与互补，若在绕点P旋转的过程中，其两边分别与、相交于M、N两点，则以下结论：（1）恒成立；（2）的值不变；（3）四边形的面积不变；（4）的长不变，其中正确的个数为（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】本题考查角平分线的性质，四边形内角和，全等三角形的判定和性质，作于E，，根据角平分线的点到角的两边的距离相等，可得，进而证明，推出，，，再逐项判断即可． 【详解】解：如图，作于E，于F． 则， 又点P为定角的平分线上的一个定点， ， 与互补， ， ， 又 ， ， 在和中， ， ， ，故（1）正确； ，， ， 的值不变；故（2）正确； ， 四边形的面积四边形的面积，故（3）正确； 点M，N的位置是变化的， 的长改变，故（4）错误； 综上可知，正确的个数是3个， 故选B． 20．如图，四边形中，，，在边上分别找到点M、N，当周长最小时，的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是轴对称—最短路线问题，三角形外角的性质，四边形的内角和．要使周长最小，即利用点的对称，使三角形的三边在同一直线上，作点A关于和的对称点，即可得到，进而求得，即可得到答案． 【详解】解：作点A关于和的对称点，，连接，交于M，交于N， 则，， 此时为最小值． ， ∴点A，B，在同一直线上，点A，D，在同一直线上， ∵，， ， ， ∵，， ， ∵， ． 故选：B． 21．如图，四边形中，，，，四边形的面积为（    ） A．12 B．14 C．16 D．18 【答案】D 【分析】本题考查四边形的内角和，全等三角形的判定和性质，延长至点E，使得，连接，构造，推出，即可求解． 【详解】解：如图，延长至点E，使得，连接， 四边形中，， ， 又 ， ， 在和中， ， ， ，，， ， ， 故选D． 22．如图，四边形中，，，平分交于点，平分交于点，交于点 (1)若，求的度数． (2)探究与有何位置关系？试说明理由． 【答案】(1) (2)；理由见解析 【分析】本题考查多边形的内角与外角，平行线的性质与判定，（2）中根据已知条件求得的度数是解题的关键． （1）利用角平分线的定义求得的度数，然后利用平行线性质即可求得答案； （2）根据角平分线的定义，结合已知条件求得的度数，然后根据同位角相等，两直线平行即可证得结论． 【详解】（1）解：平分，， ， ， ； （2）解：；理由如下： 平分，平分， ，， ， ， ， ， ， ． 23．我们把两组对边分别平行的四边形定义为平行四边形，同样的道理，我们也可以把至少有一组邻边相等的四边形定义为等邻边四边形．把对角互补的等邻边四边形定义为完美等邻边四边形． (1)如图，已知完美等邻边四边形，，，请你结合图形，写出完美等邻边四边形的一条性质； (2)在四边形中，若，且平分时，求证：四边形是完美等邻边四边形． 【答案】(1) (2)见详解 【分析】（1）根据四边形内角和为，可得结论； （2）作，，垂足分别为M，N，根据角平分线的性质可得，再证明，利用法证明，即可解决问题． 本题主要考查了全等三角形的判定和性质，四边形内角和定理，以及角平分线的性质，熟练掌握以上知识，正确的作出辅助线是解题的关键． 【详解】（1）解：性质是． （2）证明：作，，垂足分别为M，N， 平分，，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ∴四边形是等邻边四边形； 又， ∴等邻边四边形是完美等邻边四边形． 24．如图，在四边形中，与互补，分别平分，与相交于点G． (1)与有怎样的数量关系？说明理由： (2)若，求的度数． 【答案】(1)，理由见解析 (2) 【分析】本题考查了四边形的内角和、余角和补角的定义，角平分线定义，平行线性质，弄清角之间的互余、互补关系是解题的关键． （1）根据四边形的内角和为360°以及补角的定义可得，再根据角平分线的定义以及平行线的性质即可得出； （2）根据可得的度数，根据可得的度数，根据平行线的性质可得的度数，然后根据三角形的内角和以及角的和差关系计算即可． 【详解】（1）解：．理由： ∵四边形的内角和为360°，， ∴， ∵分别平分， ∴， ∵， ∴， ∴． （2）解：由（1）知，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴． 题型四、含60°角的菱形模型 25．如图，在边长为6的菱形中,，E为对角线上一点，连接，若，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了菱形的性质、等边三角形的判定与性质以及等腰直角三角形的判定与性质，解题的关键是通过连接对角线构造辅助线，利用菱形对角线垂直平分且平分内角的性质，结合角度计算确定三角形的形状，进而求出的长． 先根据菱形边长为6且，得出，判定为等边三角形，故；再由菱形对角线平分且垂直平分，得；结合，算出 ，从而判定为等腰直角三角形；最后根据等腰直角三角形的边长关系（直角边斜边 ）求出的长． 【详解】解：连接． ∵四边形是菱形，边长为6， ∴垂直平分平分． ∵， ∴ ， ∴是等边三角形， ∴． ∵， 又∵， ∴是等腰直角三角形，, ∴ 故选：C． 26．如图，在菱形中，，点E是对角线上的点，点O 是和的平分线的交点，则关于下列说法正确的是（   ） A．大小为定值，等于 B．大小不确定，可以等于 C．大小为定值，等于 D．大小不确定，随着点 E 的变化而变化 【答案】A 【分析】本题考查了菱形的性质，三角形内角和定理，角平分线的概念，熟知相关性质是解题的关键． 先利用菱形的性质求得，再根据三角形内角和定理求得，最后利用角平分线的概念得，即可解答． 【详解】解：在菱形中，， ， ， 点O 是和的平分线的交点， , ， 即大小为定值，等于， 故选：A． 27．如图，菱形和菱形中，，，，点在边上，点在边上，，连接和，，分别是，的中点，则的长为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了菱形的性质，等边三角形的性质与判定，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，全等三角形的性质与判定等等，连接交于，连接，证明是等边三角形，得到；再求出的度数可证明，由菱形的性质得到， 则，；证明，推出点R为的中点，即点R与点N重合，据此利用勾股定理求解即可． 【详解】解：如图所示，连接交于，连接， ∵四边形和四边形都是菱形， ∴，， ∴是等边三角形， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴； ∵为的中点， ∴， ∴， ∴； ∵四边形是菱形， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴点R为的中点，即点R与点N重合， ∴， 故选：D． 28．如图，菱形中，对角线与相交于点，若，，则_____． 【答案】 【分析】根据菱形的性质结合已知得出是等边三角形，，即可求解． 【详解】解：∵菱形中，对角线与相交于点，， ∴，， ∵， ∴是等边三角形， ∴． 29．如图，在菱形中，，若，则菱形的周长为______． 【答案】 【分析】先根据菱形的性质和已知角度，得出三角形的形状，进而求出菱形的边长，最后计算周长．本题主要考查了菱形的性质以及等边三角形的判定与性质，熟练掌握菱形的四条边相等以及有一个角是的等腰三角形是等边三角形是解题的关键． 【详解】解：∵ 四边形是菱形 ∴ ， ∴ ∵ ∴ ∴ 是等边三角形 ∵ ∴ ∴ 菱形的周长为 故答案为：． 30．如图，四边形是边长为8的菱形，，M是对角线上的一个动点． （1）若N是边上一点，，连结，则的最小值为_______； （2）变式：若 N是边上一个动点，连结，则的最小值为_______． 【答案】 【分析】（1）在上截取，如图1，先根据菱形的性质得到，，则，再证明得到，利用两点之间线段最短得到（当且仅当A、M、E共线时取等号），据此求解即可； （2）过A点作于H点，交于M点，过M点作于N点，如图2，利用菱形的性质和角平分线的性质得到，所以，根据垂线段最短可得到的最小值为的长，然后由（1）得到即可． 【详解】解：（1）在上截取，如图1， ∵四边形是边长为8的菱形， ∴，， ∴， 在和中，， ∴， ∴， ∵（当且仅当A、M、E共线时取等号）， ∴的最小值为的长， 即最小值为的长， 过A点作于H点，如图1， 在中，∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 即的最小值为； 故答案为：； （2）过A点作于H点，交于M点，过M点作于N点，如图2， ∵四边形为菱形， ∴平分， ∴， ∴， 即的最小值为的长， 由（1）得到， ∴的最小值为． 故答案为：． 【点睛】本题考查了菱形的性质：菱形的四条边都相等；菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角．也考查了含30度角的直角三角形三边的关系和勾股定理． 31．如图，菱形中，对角线，交于点，点是的中点，延长到点，使，连接，． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，求菱形的面积． 【答案】(1)证明见解析； (2) 【分析】 本题考查平行四边形的判定、菱形的性质、矩形的判定与性质、等腰三角形的性质、含的直角三角形的性质、勾股定理，熟练掌握菱形的性质和矩形的判定与性质是解答的关键． （1）先证明四边形为平行四边形，再根据菱形的性质得到，然后根据矩形的判定可证得结论； （2）根据矩形的对角线相等求得，再根据菱形的性质和勾股定理求出对角线，的长，再根据菱形的面积等于其对角线乘积的一半求解即可． 【详解】（1） 证明：∵点是的中点， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵四边形是菱形， ∴，即， ∴四边形是矩形； （2） ∵四边形是矩形，， ∴， ∵四边形是菱形， ∴，，，， ∴， ∴， ∴，， ∴，， ∴四边形的面积为． 32．如图，在中，平分，交于点E，平分，交于点F，与交于点P，连接，． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了菱形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理等知识点，熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键． （1）根据平行四边形和角平分线的定义可得、，则，易证四边形是平行四边形，再结合即可证明结论； （2）根据菱形的性质可证明为等边三角形可得，即；如图：过点P作于M，则、，进而得到，最后根据勾股定理求解即可解答． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴． ∴． ∵平分， ∴． ∴． ∴． 同理：． ∴． ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形． （2）解：∵四边形是菱形， ∴，， ∵， ∴，为等边三角形， ∵， ∴， ∴， 如图：过点P作于M， ， ∴，， ∵， ∴， ∴． 33．如图，点是菱形对角线的交点，过点作，过点作，与相交于点． (1)求证：四边形是矩形． (2)若，，求矩形的面积． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题主要考查矩形的性质与判定、菱形的性质，等边三角形的性质与判定，勾股定理，掌握矩形的判定方法及菱形的对角线互相垂直平分是解题的关键． （1）由条件可证得四边形为平行四边形，再由菱形的性质可求得，则可证得四边形为矩形． （2）首先推知是等边三角形，所以，再用菱形的对角线互相平分即可求得的长，再利用勾股定理求出的长即可得到答案． 【详解】（1）证明：，， 四边形是平行四边形． 又四边形是菱形， ，即， 四边形是矩形； （2）解：四边形是菱形， ， 又， 是等边三角形， ， ， 在中，由勾股定理得， ∴． 34．在菱形中，，与相交于点，点是射线上一动点，以为边向右侧作等边． (1)问题发现：如图1，当点与点重合时，点在边上，连结，与的数量关系是______；与的位置关系是______； (2)拓展探究：如图2，当点在菱形外部时，猜想与的数量关系并说明理由； (3)解决问题：如图3，若，，请直接写出四边形的面积． 【答案】(1)； (2)，理由见解析 (3) 【分析】（1）证明，则，证明，即可证明； （2）设相交于点H，证明，即可证明结论； （3）设相交于点H，求出，则，根据即可得到答案． 【详解】（1）解：菱形中，，， 是等边三角形， ∴，， 是等边三角形， ，， 在与中， ， ∴， ， ∵是菱形的对角线， ∴， ∴， ∵， ∴， ． 故答案为：，． （2）解：，理由如下： 菱形中，， 、是等边三角形， ，，， 是等边三角形， ，， ∴，即， 在与中， ， ∴， （3）解：设相交于点H，如图， ∵是菱形的对角线， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴、是等边三角形， ∴，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 由（2）可知，，， ∴，， ∵， ∴，即， ∴ ． 【点睛】此题考查了菱形的性质、勾股定理、全等三角形的判定和性质、等边三角形的判定和性质等知识，熟练掌握全等三角形的判定和性质是关键． 题型五、“梯子”模型 35．如图，在平面直角坐标系中，正方形的位置如图所示，，若，则点D的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键． 由直角三角形的性质可求的长，由可证，可得，即可求解． 【详解】解：如图，过点作轴于， ， ， ∵四边形是正方形， ， ， ， ， ， ， 点， 故选：C． 36．已知一次函数与坐标轴交于点A和点B，如图，以为边作正方形，点C到y轴的距离是（    ） A．1 B．3 C．4 D．6 【答案】C 【分析】本题主要考查了求一次函数与坐标轴的交点坐标，正方形的性质，全等三角形的性质与判定，点到坐标轴的距离，过点作轴于点，根据正方形的性质得到，，导角可证明，进而证明，得出，，再根据一次函数解析式求出点A和点B的坐标，即可得出点的坐标，最后根据点到y轴的距离为该点横坐标的绝对值即可得到答案． 【详解】解：过点作轴于点， ∴， ∴， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， 在中，当时，；当时，则，解得， ∴，， ∴，， ∴，， ∴， ∴点的坐标是， ∴点C到y轴的距离是， 故选：C． 37．如图，在平面直角坐标系中，点、、在坐标轴上，是的中点，四边形是矩形，四边形是正方形，若点的坐标为，则点的坐标为__________ 【答案】 【分析】本题主要考查正方形的性质，全等三角形的性质与判定，平面直角坐标系中点的坐标，矩形的性质等知识的综合运用．过点作轴，垂足为，利用证明，可得，，由是的中点，可求解，的长，进而可求解点坐标． 【详解】解：过点作轴，垂足为， ， 四边形为正方形， ，， ，， ， ， 四边形是矩形， ，， ， 在和和中， ， ， ，， 为的中点， ， ， ， ， ，， ， ， 故答案为：． 38．如图，在平面直角坐标系中，矩形的对角线， ． (1)求点的坐标； (2)把矩形沿直线折叠后展开，使点落在点处，与相交于点，连接，，求四边形的周长； (3)若点在坐标轴上，平面内是否存在点，使以点，，，为顶点的四边形为矩形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)或或或 【分析】（1）利用30度的所对的直角边是斜边的一半，以及勾股定理求出的长，即可得解； （2）证明，推出四边形是菱形，设，则， 勾股定理求出的长，即可得解； （3）分点在轴和点在轴上，两种情况进行讨论求解即可． 【详解】（1）∵， ∴ 由勾股定理得：， ∴ （2）由折叠的性质得：， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形， 设，则， ∵在中，， ∴， 解得：， ∴四边形的周长； （3）解：由（1）可知：， ∵四边形是菱形， ∴为的中点， ∴，， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴； ①在轴上时：设， 当为对角线时，设：， 则： ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即：， ∴； 当为边时，点在轴上，轴， ∴； ②在轴上时：设 当为对角线时，设：， 则： ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即：， ∴； 当为边时，点在轴上，轴， ∴； 综上：或或或． 【点睛】本题考查坐标与图形，矩形性质，菱形的判定和性质，含30度的直角三角形．解题的关键是利用数形结合以及分类讨论的思想进行求解． 39．如图，直线与轴、轴分别交与、两点，以为边向外作正方形，对角线、交与点，求过两点的直线解析式． 【答案】 【分析】本题主要考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、一次函数解析式的求法，首先根据直线的解析式求出点、的坐标，过点作轴，垂足为，可证，根据全等三角形的性质可得点的坐标为，因为点是的中点，从而可得点的坐标为，利用待定系数法求出直线的解析式即可． 【详解】解：当时，， ， 点的坐标为， ， 当时，， 点的坐标为， ， 如下图所示，过点作轴，垂足为， 四边形是正方形， ，，， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ，， 点的坐标为， 点是的中点， 点的横坐标为，点的纵坐标为， 点的坐标为， 设过、两点的直线解析式为， 把点的坐标代入， 可得：， 解得：， 所求得直线解析式为． 1．（25-26八年级下·福建福州·期中）如图，四边形为等腰梯形，且对角线，取梯形各边的中点E、F、G、H，则四边形是（    ） A．梯形 B．矩形 C．正方形 D．菱形 【答案】D 【分析】根据三角形中位线定理可得结论． 【详解】解：连接， ∵分别为的中点， ∴是的中位线， ∴，， 同理可知：， ∴， ∴四边形为平行四边形， ， ∴， ∴四边形为菱形． 2．（2026·安徽阜阳·二模）如图，在四边形中，点分别是各边的中点．甲说：若四边形是矩形，则四边形是菱形；乙说：若四边形是菱形，则四边形是矩形．下列判断正确的是（   ） A．甲、乙都正确 B．甲正确，乙错误 C．甲错误，乙正确 D．甲、乙都错误 【答案】B 【分析】连接，根据矩形的性质可得，再根据三角形中位线的性质可得，即可判断甲；四边形是菱形，只能判断，无法得到四边形是矩形． 【详解】解：如图，连接， ， 若四边形是矩形，则， 点分别是各边的中点， ， 四边形是菱形，故甲说法正确； 若四边形是菱形，则， ， 无法证明四边形是矩形，故乙说法错误． 3．（25-26八年级下·江苏连云港·期中）如图，正方形的边长等于4，点、分别在、边上，点关于的对称点恰好是边的中点，则的长为（    ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【分析】连接，由轴对称的性质可得，求出；设，则，由勾股定理得，解方程即可得到答案． 【详解】解：如图所示，连接， 由轴对称的性质可得， ∵正方形的边长等于4， ∴， ∵点是边的中点， ∴； 设，则， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得， ∴． 4．（25-26八年级下·山东潍坊·期中）如图，在中，对角线交于点O，过点O作，分别交于点E，F，连接BE．若．有下列说法：①的周长等于周长的一半；②四边形的面积是面积的一半；③；④，其中，正确结论的个数是（） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】推导出，得到，推导出是的垂直平分线，得到，则，故①正确；推导出，则②正确；作的中点，连接， 推导出是等边三角形，得到，则，故③正确；根据勾股定理，求出，，则，故④正确，即可解答． 【详解】解：四边形是平行四边形，， ， ， ， ， ， 是的垂直平分线， ， ， ，故①正确 ， ，故②正确； 作的中点，连接，如图 ， ， ， 是等边三角形， ， ， ， ， ， ，故③正确， ， ， ， ，故④正确． 综上所述，①②③④都正确． 5．（25-26八年级下·江苏宿迁·期中）如图，为菱形的对角线上的一个定点，为边上的一个动点，的垂直平分线分别交于点．若的长的最小值为6，则的长为__________． 【答案】12 【分析】由菱形的性质以及垂线段最短，先得，，如图：连接，过点P作，则，，则，再根据含30度直角三角形的性质求解即可． 【详解】解：∵为菱形的对角线上的一个定点，，的长的最小值为6， ∴，， 如图：连接，过点P作，则，， ∴， ∴， ∴． 6．（2026·江苏泰州·一模）如图，将正方形放在平面直角坐标系中，点A，B分别在x轴，y轴上，点C，D在第一象限内．若点A的坐标为，正方形的面积为5，则点C的坐标________． 【答案】 【分析】先根据正方形面积求出边长，再利用勾股定理求出相关线段的长度，最后确定点的坐标． 【详解】解：如图，过点作轴于点， ∵点A的坐标为， ∴， ∵正方形的面积为5， ∴，， ∴， ∵轴， ∴， ∴， ∴， 在与中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴则点C的坐标为． 7．（25-26八年级下·新疆乌鲁木齐·期中）如图，正方形的边长为8，点是的中点，垂直平分且分别交、于点、，则_____． 【答案】 1 【分析】连接、，根据勾股定理和正方形的性质解题即可． 【详解】解：如图，连接、， ∵垂直平分， ∴， 由题意知，点是的中点， ∴， 设，则有， ∵， ，， ∴， 解得， ∴． 8．（25-26八年级下·北京·期中）在正方形中，，点，分别为、上一点，且，连接、，则的最小值是_____． 【答案】 【分析】过点作关于直线的对称点，连接，通过证明得到，结合轴对称性质得到，将转化为，利用两点之间线段最短可知当、、三点共线时和最小，利用勾股定理求解即可； 【详解】过点作关于直线的对称点，连接，，， ，， 四边形是正方形， ，， ，，， ， ， ， ， 当、、三点共线时，有最小值，最小值为， ， ， 在中，由勾股定理得：， 的最小值为． 9．（25-26八年级下·北京·期中）如图，已知菱形，，点P在边上运动，连接，取中点Q，连接． （1）当P为中点时，的长为________； （2）在P从点B运动到点C的过程中，的最小值为________． 【答案】 4 【分析】（1）根据菱形的性质可知是等边三角形，再由三线合一可知，然后利用勾股定理求得，再求，最后根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可解答； （2）连接、、，交于点O，则点O是、的中点，取的中点N、M，连接，根据三角形中位线的性质推出，点P运动过程中，点Q在线段上运动，然后根据三线合一证得垂直平分，则，进而根据两点之间线段最短可求得答案． 【详解】解：（1）如图，连接、， 四边形是菱形，， ，，， ∴是等边三角形， ∴， 为中点， ，，， ∴， ∴， ∴， 又∵点Q是的中点， ∴； （2）如图，连接、、，交于点O，则点O是、的中点，取的中点N、M，连接， 同理是等边三角形， ∴，， ∵点Q是的中点，点M是的中点，点N是的中点，点O是、的中点， ∴是的中位线，是的中位线，是的中位线，是的中位线， ∴，，，， ∴，点N、Q、O三点共线，即点P运动过程中，点Q在线段上运动， 设交于点E， ∵，点M是的中点， ∴， 又∵点N是的中点，点O是的中点， ∴， ∴， ∵， ∴，即垂直平分， ∴， ∴， ∵， ∴当B、D、Q三点共线时，有最小值，最小值为， ∴的最小值为4． 10．（25-26八年级下·山东聊城·月考）综合探究 (1)如图，在四边形中，，，，分别为，，，的中点，当 时，四边形为正方形； (2)如图，在四边形中，，，，分别为，，，的中点． 当 时，四边形为矩形； 当 时，四边形为菱形． (3)如图，在四边形中，，，，分别为，，，的中点．若，，试判断四边形的形状并加以证明． 【答案】(1)， (2)； (3)四边形为正方形，证明见解析 【分析】本题主要考查中位线的性质，平行四边形的判定与性质，菱形的判定，矩形的判定，以及正方形的判定． （1）由中位线的性质先推出四边形是平行四边形，当时，证明四边形是菱形，再由，证明菱形是正方形； （2）由中位线的性质先推出四边形是平行四边形，当时，证明四边形是矩形；当时，证明四边形是菱形； （3）由中位线的性质先推出四边形是平行四边形，再由，证明四边形为菱形，最后由证明菱形为正方形． 【详解】（1）解：∵在四边形中，，，，分别为，，，的中点， ∴，，， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∴四边形是菱形， ∵， ∴， ∴四边形是正方形． 故答案为；，； （2）解：∵在四边形中，，，，分别为，，，的中点， ∴，，， ∴， ∴四边形是平行四边形． 当时，可得， ∴四边形是矩形； 当时，可得， ∴四边形是菱形； （3）解：四边形为正方形． 证明：∵在四边形中，，，，分别为，，，的中点 ∴，，，， ∴，，， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴， 四边形为菱形， ∵，，， ， ∴， ， ∴菱形为正方形． 11．（25-26八年级下·广东东莞·期中）如图，在正方形中， (1)如图，在正方形中，点，分别在和上，且．证明：且； (2)如图②，在正方形内有一点，过点作，点，分别在正方形的对边，上，点，分别在正方形的对边，上，那么与相等吗？并说明理由； (3)如图③，将边长为的正方形纸片折叠，使点落在的中点处，折痕为，点在边上，点在边上．请你画出折痕，则折痕的长是______；线段的长是______． 【答案】(1)证明见解析 (2)，理由见解析 (3)， 【分析】（1）由正方形性质及三角形全等的判定与性质求证即可； （2）作交于，作交于，由平行四边形的判定与性质得到，再结合（1）的证明过程得出即可确定答案； （3）连接，由勾股定理及折叠性质求解即可得到答案． 【详解】（1）证明：在正方形中，， ， ， ， ， ， ， ， 且； （2）解：， 理由如下： 作交于，作交于，如图所示： ， ∴四边形、四边形都是平行四边形， ， 由（1）的证明过程可知，则， ； （3）解：连接，如图所示： 为的中点， ， 在中，由勾股定理可得， 由折叠性质可知，则由（2）的证明过程可知， 设，则由折叠性质可知， 在中，由勾股定理可得，则， 解得， 线段的长为 ． 12．（25-26九年级下·江苏盐城·月考）如图，是的角平分线，它的垂直平分线分别交，，于点，，，连接，． (1)请判断四边形的形状，并说明理由； (2)若，，，求的长． 【答案】(1)四边形是菱形，理由见解析 (2) 【分析】（1）根据线段垂直平分线的性质可证，，证明，根据全等三角形的性质可证，根据四条边都相等的四边形是菱形可证四边形是菱形； （2）过点作，根据菱形的性质和勾股定理分别求出、的长度，再根据线段之间的关系求出的长度． 【详解】（1）解：四边形是菱形， 理由如下： 是的垂直平分线， ，，， 平分， ， 在和中， ， ， ， ， 四边形是菱形； （2）解：如下图所示，过点作， 则有， ， 是等腰直角三角形， ， 四边形是菱形， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 13．（25-26九年级上·浙江金华·期末）三个全等的矩形如图所示摆放，已知矩形长为宽为，，，求和的长度． 【答案】， 【分析】本题考查了矩形的性质，勾股定理，含角直角三角形的性质，等腰直角三角形性质，解题的关键是构造直角三角形，根据含角直角三角形的性质求解． 过点E作于M，延长交于点N，求得，则，再求，得到，在中，由勾股定理，求得，在中，由直角三角形的性质和勾股定理，求得，从而求得．在中，由直角三角形的性质和勾股定理，求得，即可由求解． 【详解】解：过点E作于M，延长交于点N，如图， 由题意可得：，，，，， ∴， ，， ∴， 在中，由勾股定理，得 ∴， 在中，， ∴， ∴， 由勾股定理，得， ∴ ∴， ∴， 在中，， ∴ 由勾股定理，得 ∴， ∴， ∴． 1 / 77 学科网（北京）股份有限公司 $