培优专训(7) 反比例函数的应用&培优专训(8) 牢记折叠性质 稳解折叠问题-【名师学案】2025-2026学年八年级下册数学分层进阶学习法（华东师大版·新教材）

跨单元整 合 培优专训（七） 反比例函数的应用 1.(中考·河南)把多个用电器连接在同一个 【探索发现】 插线板上，同时使用一段时间后，插线板的 (1)通过表1数据发现，吸管越短，振动频率 电源线会明显发热，存在安全隐患.数学兴 越 (填“高”或“低”)； 趣小组对这种现象进行研究，得到时长一定 (2)请你根据表1中的数据在图2中描点、 时，插线板电源线中的电流Ⅰ与使用电器的 连线.观察图象，从振动频率y与吸管长 总功率P的函数图象（如图1），插线板电源 度x之间的关系可以近似用 线产生的热量Q与I的函数图象（如图2）. 模型反映（从初中所学函数选择）， 下列结论中错误的是 并求出该函数表达式. A 【实际应用】 (3)根据表2，判断这批吸管制作的排箫能 O 440 P/W IA 否吹出低音区的Do音，若能，请求出对 图1 图2 应吸管长度，若不能，请说明理由.（精确 A.当P=440W时，I=2A B.Q随I的增大而增大 到1mm) C.I每增加1A,Q的增加量相同 表2C调音符与频率对照表 D.P越大，插线板电源线产生的热量Q 不同音区的频率(Hz) 越多 音符 低音区 中音区 高音区 2.综合与实践 Do 262 523 1046 【问题情境】排箫是中国的传统乐器，它由长 Re 294 587 1175 短不同的竹管组成，如图1，现要利用若干 Mi 330 659 1318 长为200mm的相同吸管制作简易排箫. 十振动频率y(Hz) Fa 349 698 1397 1800 So 392 784 1568 440 880 88 La 1760 Si 494 988 1976 506070809010010120130140150160170180190200 图1 图2 长度x(mm) 【实验操作】 将吸管不断剪短，用嘴对着吸管吹气，用相 关软件测得吸管另一出口发出声音的振动 频率，部分数据如下表： 表1 长度x 200 150 120 100 80 60 % (mm) 振动 频率 435 580 725 8701087.514501740 y(Hz) B8 跨单元整合 培优专训（八） 牢记折叠性质稳解折叠问题 类型一平行四边形背景下的折叠 (2)求折痕EF的长. 1.如图，将□ABCD沿对角线AC翻折，点B 落在点E处，CE交AD于点F,若∠B= 80°，∠ACE=2∠ECD,FC=a,FD=b,则 □ABCD的周长为 第1题图 第2题图 2.如图，将平行四边形纸片ABCD沿一条直线 折叠，使点A与点C重合，点D落在点G处， 折痕为EF.已知BC=4,BE=2,∠B=60°， 那么△FCG的面积为 类型二矩形背景下的折叠 5.综合与实践课上，老师让同学们以“矩形的 3.如图，点G是矩形ABCD 折叠”为主题开展数学活动， 的边AD的中点，点H是 BC边上的动点，将矩形沿B GH折叠，点A,B的对应点分别是点E,F, 图1 图2 且点E在矩形内部，过点E作MN∥AB分 (1)操作判断 别交AD,BC于点M,N,连结AE 操作一：对折矩形纸片 (1)若∠FEN=36°，则∠AEM= ABCD,使AD与BC重合， (2)若AD=6,AB=4,当G,E,C三点在同 得到折痕EF,把纸片展平； 一条直线上时，GH的长为 操作二：在AD上选一点P,连结BP,沿 4.如图，在矩形ABCD中，AB=4,AD=8,将 BP折叠，使点A落在矩形内部点M处， 矩形折叠，折痕为EF,使点C与点A重合， 把纸片展平，连结PM,BM. 点D与点G重合，连结CF 如图1，当点M在EF上时，根据以上操 (1)判断四边形AECF的形状，并说明 作，写出一个度数为30°的角为 理由； -B9 (2)迁移探究 从点B向点D运动的过程中，下列有关阴 小华将矩形纸片换成正方形纸片，继续 影部分周长的说法正确的是 () 探究，过程如下：将正方形纸片ABCD A.先变大，后变小 按照(1)中的方式操作，并延长PM交 B.先变小，后变大 CD于点Q,连结BQ. C.当点O在BD中点处时，周长最大 ①如图2，当点M在EF上时，则∠MBQ D.保持不变 类型四正方形背景下的折叠 ②改变点P在AD上的位置（点P不与 8.如图，将一个正方形纸片AOBC放置在平 点A,D重合)如图3，判断∠MBQ与 面直角坐标系中，点A(0,6),B(6,0).动点 ∠CBQ的数量关系，并说明理由； E在边AO上，点F在边BC上，沿EF折叠 (3)拓展应用 该纸片，使点O的对应点M始终落在边AC 在(2)的探究中，已知正方形纸片ABCD 上（点M不与A,C重合），点B落在点N 的边长为8cm,当FQ=1cm时，请直接 处，MN与BC交于点P. 写出AP的长是 (1)求点C的坐标； (2)当点M落在AC的中点时，求点E的坐 标； (3)当点M在边AC上移动时，设AM=t, 求点E的坐标（用t表示）. 类型三菱形背景下的折叠 6.如图，在菱形ABCD中， ∠B=60°，E是CD上一 点，将△ADE沿AE折叠，B D' 点D的对应点为D',AD与BC交于点F, 若F为BC中点，则∠AED的度数为() A.45° B.609 C.75 D.90° 7.如图，在菱形ABCD中， ∠ABC=60°，AB=5, 点O为对角线BD上 一动点，现将∠ABC 和∠ADC进行折叠，顶点B,D恰好重合于 点O处，EF和GH为折痕，在点O沿BD B10培优专训（六）反比例函数与面积 1.C2.B3.84.-65.-56.47.-48.39.8 培优专训（七）反比例函数的应用 1.C2.解：(1)高(2)反比例函数描点连线略.设反比例函数表达式 为y=点.则k=100×870=8700.∴y与x的关系为：y=8700.(3)这批 吸管制作的排箫不能吹出低音区的Do音，理由：当y=262,x=87000÷262 ≈332>200，∴.这批吸管制作的排箫不能吹出低音区的Do音， 培优专训（八）牢记折叠性质稳解折叠问题 1.4a十2b2.√123.(1)72(2)√204.解：(1)四边形AECF为菱形 理由如下：由翻折可知，EA=EC,FA=FC,∠CEF=∠AEF,.矩形AB CD,∴.AD∥BC.∴.∠AFE=∠CEF,∠AEF=∠AFE.AE=AF..AE= EC=AF=FC,∴.四边形AECF为菱形；(2)在Rt △AFG中，AG=4,设FG=x,则DF=x,AF=8-x,由勾 股定理得，4+x2=(8-x),.x=3.过点F作FH⊥CE 垂足为H,..EH=EC一CH=5一3=2，FH=4,.EF √20.5.解：(1)∠BME或∠ABP或∠PBM或∠MBC (2)①15°②∠MBQ=∠CBQ,理由如下：，BM=BC, BQ=BQ,..Rt△BQM≌Rt△BQC(HL),.∴.∠MBQ=∠CBQ: 39m 或cm6,C7.D8.解：()四边形AOBC是正方形，点A(0,6. (6,0),.OB=OA=6=BC=AC,AC∥OB,AO∥BC..∴.点C(6,6);(2).点 M是边AC的中点，∴.AM=号AC=3,由折叠可得EM=OE,设OE=x,则 EM=OE=x,AE=6-x,在Rt△AEM中，EM=AM+AE,即x2=3+ (6-x),解得r=尽：E(0,9):(3)设0E=m,则EM=0E=m,AE=6 -m,在Rt△AEM中，EM=AM+AE,即m2=t+(6-m)2,解得m= 3Eo.6) 12 培优专训（九）特殊平行四边形的性质与判定 1.解：(1)证明：：四边形ABCD是平行四边形，∴OB=OD=BD,AD∥ BC.又E,F分别是CD,BC的中点，.EO,EF是△CDB的中位线.∴EO∥ BC,EF∥DB..四边形OEFB是平行四边形.，AD⊥DB,AD∥BC, ∠CBD=∠ADB=90°.∴.平行四边形OEFB是矩形.(2)，四边形ABCD 是平行四边形，AC=10,∴.AO=CO=7AC=5,BC=AD=4.在Rt△AD0 中，∠ADO=90°，.DO=√A0-AD=3..OB=DO=3.由(1)可知，EO 是△CDB的中位线，四边形OEFB是矩形，OE=2BC=2.·S彩FB OE·OB=2X3=6. 2.(1)证明：，四边形ABCD是矩形，.∠C ∠CDC'=90.由折叠得∠DCE=∠C=90,∠CDE=∠C'DE=2∠CDC =45°，CD=CD,C'E=CE,∴.∠CED=∠CDE=45°.∴.CD=CE.∴.C'D= CD=CE=CE..四边形CDCE是菱形.∠C=90°，.四边形CDCE是 正方形.(2)63.解：(1)证明：.四边形ABCD是正方形，.∴.∠BOE= ∠AOF=90°，OB=OA.又AM⊥BE,.∴.∠MEA+∠MAE=∠AFO十 ∠MAE=90°.∴.∠MEA=∠AFO.又∠BOE=∠AOF,BO=AO,∴.△BOE ≌△AOF(AAS)..OE=OF.(2)OE=OF成立.证明：.四边形ABCD是 正方形，∴.∠BOE=∠AOF=90°，OB=OA.∠E+∠OBE=90°.AM⊥ BE,∴∠F+∠MBF=90°.又∠MBF=∠OBE,∴.∠F=∠E.·∠BOE= ∠AOF,BO=AO,∴.△BOE≌△COF.∴.EO=FO. 培优专训（十）四边形的探究性问题 1.(1)证明：·四边形ABCD是平行四边形，∴.OB=OD.:CF∥BD,DF∥ AC,∴四边形OCFD是平行四边形.∴.CF=OD..CF=OB.:CF∥BD, ∠EFC=∠EBO,∠ECF=∠EOB.在△FCE和△BOE中， ∠EFC=/EBO, CF=OB. .∴.△FCE≌△BOE(SAS).(2)①菱形②矩形③正 ∠ECF=∠EOB,