专题05 二元一次方程组 期末复习专项训练 2025-2026学年人教版数学七年级下册

**基本信息** 本专项通过13类题型系统构建二元一次方程组从概念识别到综合应用的训练体系，题型设计层层递进，注重运算能力与推理意识的培养。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |概念基础|11题|方程(组)识别、解的验证|从定义辨析到解的应用，构建概念认知| |解法训练|16题|常规解法与特殊技巧(整体代入、规律探究)|从基本运算到技巧提升，强化运算能力| |参数问题|32题|含参求解、错解同解、整数解|结合方程解的性质，培养推理意识| |三元拓展|15题|定义、解法及应用|从二元到三元延伸，发展模型观念|

专题05 二元一次方程组 目录 A题型建模・专项突破 题型一、二元一次方程（组）的识别 1 题型二、由二元一次方程的定义与解求参数 4 题型三、已知二元一次方程组的解求参数 7 题型四、解二元一次方程组（常考点） 10 题型五、二元一次方程组的特殊解法（难点） 23 题型六、二元一次方程组的错解问题（重点） 27 题型七、二元一次方程组的同解问题（重点） 33 题型八、二元一次方程组的遮挡求参数问题 37 题型九、二元一次方程组的整数解解问题 40 题型十、根据二元一次方程组解的其他情况求参数 44 题型十一、三元一次方程组的定义与解 48 题型十二、解三元一次方程组 54 题型十三、三元一次方程组的应用 59 B综合攻坚・能力跃升 题型一、二元一次方程（组）的识别 1．下列属于二元一次方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】二元一次方程需满足：是整式方程，含有两个未知数，所有含未知数的项的次数都是1，根据二元一次方程的定义判断即可． 【详解】解：A项：中含未知数的项的次数为2，不符合定义，不是二元一次方程，故A错误； B项：只含有1个未知数，不符合定义，不是二元一次方程，故B错误； C项：整理得，是整式方程，含有两个未知数x，y，且含未知数的项的次数都是1，符合定义，是二元一次方程，故C正确； D项：中是分式，方程不是整式方程，不符合定义，不是二元一次方程，故D错误． 2．下列方程：①；②；③；④．其中二元一次方程的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】根据二元一次方程的定义判断，含有两个未知数，且所含未知数的次数均为1次的整式方程叫做二元一次方程，逐个判断方程即可得到结果． 【详解】解：①只含有1个未知数，是一元一次方程，不符合二元一次方程定义； ②含有两个未知数，且所有未知数次数都是1，是整式方程，符合二元一次方程定义； ③只含有1个未知数，是一元一次方程，不符合定义； ④中项的次数是2，不符合要求，不是二元一次方程； 故符合条件的二元一次方程只有1个． 3．已知二元一次方程，用含的代数式表示，下列正确的是（） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查二元一次方程的变形，需通过移项、系数化为1的步骤，将方程转化为用含y的代数式表示x的形式即可． 【详解】解：， 移项，得， 系数化为1，得． 故选：A． 4．在，，，中，是二元一次方程组的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查了二元一次方程组的判断，根据二元一次方程组的定义（含有两个未知数，且每个方程都是整式方程，未知数的最高次数为1）进行判断即可． 【详解】解：方程组 中，两个方程均为一次方程，是二元一次方程组； 方程组 中，第二个方程中的次数为2，不是一次方程，故不是二元一次方程组； 方程组 中，含有3个未知数，故不是二元一次方程组； 方程组 中，两个方程均为一次方程，是二元一次方程组； ∴ 是二元一次方程组的有2个． 故选：B． 5．已知下列方程组： ①；②；③；④ 其中，________是二元一次方程组．（填序号） 【答案】③ 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的定义，含有两个未知数，且每个含有未知数的项的次数都是1的整式方程是二元一次方程，两个二元一次方程组成的方程组是二元一次方程组，据此求解即可． 【详解】解：方程组①中，方程不是一次方程，故方程组①不是二元一次方程组； 方程组②中，一共有三个未知数，故方程组②不是二元一次方程组； 方程组③是二元一次方程组； 方程组④中，方程不是整式方程，故方程组④不是二元一次方程组； 故答案为：③． 6．有四组数：①②③④其中，______是方程的解，______是方程的解，______是方程组的解（填写序号）． 【答案】 ②③④ ①④ ④ 【分析】本题考查了二元一次方程的解和二元一次方程组的解，代入方程，看看是否两边相等即可，根据二元一次方程组的解的定义得出即可． 【详解】解：①②③④中， 把①代入方程得：左边，右边，左边≠右边，所以①不是方程的解， 把②代入方程得：左边，右边，左边=右边，所以②是方程的解， 把③代入方程得：左边，右边，左边=右边，所以③是方程的解， 把④其代入方程得：左边，右边，左边=右边，所以④是方程的解， 即②③④是方程的解； 把①代入方程得：左边，右边，左边=右边，所以①是方程的解， 把②代入方程得：左边，右边，左边≠右边，所以②不是方程的解， 把③代入方程得：左边，右边，左边≠右边，所以③不是方程的解， 把④代入方程得：左边，右边，左边=右边，所以④是方程的解， 即①④是方程的解； ∴④是方程组的解． 故答案为：②③④，①④，④． 题型二、由二元一次方程的定义与解求参数 7．若关于x、y的方程有一组解是，则a的值是（    ） A．29 B． C．1 D． 【答案】D 【分析】根据方程解的定义，将已知解代入原方程，得到关于a的一元一次方程，求解即可得到a的值． 【详解】解：∵是方程的解， ∴把，代入原方程得： ， 整理得 ， 移项计算得 ， 解得 ． 8．已知是关于的方程的解，则代数式的值是（    ） A． B． C． D．1 【答案】C 【分析】先将方程的解代入原方程得到的值，再对所求代数式变形，整体代入计算即可． 【详解】解：∵是方程的解， ∴把代入方程得， 整理得， ∴． 9．已知方程是二元一次方程，则和的值分别是（    ） A．1和1 B．0和1 C．1和0 D．0和0 【答案】B 【分析】本题考查了二元一次方程的定义，掌握二元一次方程中所有未知数的次数都为，据此列方程求解参数是解题的关键． 二元一次方程要求变量次数均为，故的指数，的指数． 【详解】解：∵方程是二元一次方程， ∴的指数，的指数 解， ∴ 解， ∴ ∴， 故选：B． 10．如果是方程的一组解，那么代数式的值是______． 【答案】8 【分析】本题考查二元一次方程的解和代数式求值． 将解代入方程得到，然后代入代数式计算即可． 【详解】解：将代入方程得：， ∴． 故答案为：8． 11．若方程是关于x，y的二元一次方程，则的值________． 【答案】0 【分析】只含有2个未知数，且含有未知数的项的次数为1的整式方程，叫做二元一次方程，据此求出m、n的值即可得到答案． 【详解】解：∵方程是关于x，y的二元一次方程， ∴， ∴， ∴． 12．已知是关于，的二元一次方程的一个解，的算术平方根为，求的平方根． 【答案】 【分析】本题考查二元一次方程的解、算术平方根和平方根的概念，准确计算是解题的关键． 通过代入方程的解求，根据算术平方根定义求，再计算表达式求平方根． 【详解】 是关于，的二元一次方程的一个解， ， ， 的算术平方根为， ， ， ， ， 的平方根为． 13．已知方程是关于，的二元一次方程，求，的值． 【答案】， 【分析】本题主要考查了二元一次方程的定义，熟练掌握系数不等于且次数等于的知识点是解题关键． 根据二元一次方程的定义可得、项的系数不等于且次数等于从而得到关于、的不等式及方程，然后求解即可． 【详解】解：由题意，得， 解得或， 又， ， ，的值分别为，． 题型三、已知二元一次方程组的解求参数 14．若关于a、b二元一次方程组的解是，则的值为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】本题主要考查二元一次方程组的解，掌握二元一次方程组的解是满足方程组中每个方程未知数的值是解题的关键． 将已知的a、b值代入方程组得到关于x、y的方程组，再通过方程变形求出的值． 【详解】解：∵关于a、b二元一次方程组的解是， ∴，化简得：， 得：， 去括号得：， 合并同类项得． ∴的值为3． 故选B． 15．已知关于x、y的方程组的解满足，则m的值是______． 【答案】1 【分析】本题考查求含参数的二元一次方程组中的参数． 由条件，代入原方程组，得到，消去，即可求解． 【详解】解：将代入方程组，得，即， ∴， 解得，． 故答案为：1． 16．已知是关于，的方程组的解，则的值． 【答案】 【分析】本题考查二元一次方程组的解和解二元一次方程组．把方程组的解代入方程组可得到关于a、b的方程组，解方程组可求出，，再整体代入计算即可． 【详解】解：把代入， 得， ②①得，即， ②①得，即， 所以． 17．已知和都是二元一次方程的解，则是否也是方程的解？请说明理由． 【答案】不是，见解析 【分析】将和代入二元一次方程，得到的方程组，求得的值，再检验即可． 【详解】解：不是．理由如下： 将和分别代入方程，得 由①，得．③ 将③代入②，得， 解得． 将代入③，得， 所以原二元一次方程为． 将代入，得， 所以不是方程的解． 【点睛】本题考查了二元一次方程的解，只要满足方程的左右两边相等，即可知是原方程的解． 18．若是关于、的二元一次方程组的解，求的值． 【答案】14 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的解，解二元一次方程组，把代入，得出关于a和b的二元一次方程组，求解得出a，b的值，再代入代数式计算即可． 【详解】解：把代入得： 解得： ∴ 19．若关于x、y的二元一次方程组的解满足，求m的值？ 【答案】 【分析】先解方程组，再代入，即可求解． 【详解】解：解方程组 得： 代入 解得： 题型四、解二元一次方程组（常考点） 20．用代入法解下列方程组： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：由①得③， 把③代入②，得 ， 解得， 将代入③，得， 所以这个方程组的解是； （2）解：由①得③， 把③代入②得， 解得， 将代入③，解得， 所以这个方程组的解是． 21．解方程组： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）运用加减消元法求解，先消去未知数，求出的值，再代入原方程求出的值即可， （2）运用加减消元法求解，先消去未知数，求出的值，再代入原方程求出的值即可． 【详解】（1）解： ，得， 解得， 把代入①，得, 解得， ∴方程组的解为． （2）解： ，得, 解得, 将代入①，得， 解得, ∴原方程组的解是． 22．解二元一次方程组： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）运用代入消元法计算即可； （2）运用加减消元法计算即可． 【详解】（1）解：， 把①代入②得，， 解得，， 把代入①得，， ∴原方程组的解为； （2）解：， 原方程组变形得，， ∴得，， 即， 解得，， 把代入①得，， 解得，， ∴原方程组的解为． 23．解二元一次方程组： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用加减消元法即可求解； （2）先将①两边乘以，得到，然后利用加减消元法即可求解． 【详解】（1）解：， 得， 解得， 将代入①得， 解得， ∴原方程组的解为：； （2）解：， 由得， 得， 解得， 将代入②得， 解得， ∴原方程组的解为：． 24．解方程组： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用加减消元法解方程组即可； （2）利用代入消元法解方程组即可． 【详解】（1）解： ，得， 解得； 把代入，得， 解得：； ∴方程组的解为； （2）解：把代入，得， 解得：； 把代入，得， ∴方程组的解为； 25．解下列方程组： (1) ， (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用代入消元法解方程组即可； （2）把原方程组转化为，再利用加减消元法解方程组即可． 【详解】（1）解： 把②代入①得，， 解得：， 把代入②得，， ∴方程组的解为． （2）解： 方程组可转化为， ①+②得，， 解得：， 把代入①得，， 解得：， ∴方程组的解为． 26．解方程组 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）运用代入消元法求解二元一次方程组； （2）先把原方程组整理为标准形式，再用加减消元法求解即可； 【详解】（1）解：， 由①得③， 把③代入②得，解得：， 把代入③得， 故原方程组的解为． （2）解：， 整理原方程组得， 得，解得， 把代入①得，解得， 故原方程组的解为． 27．解二元一次方程组： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）运用代入消元法计算； （2）运用加减消元法计算． 【详解】（1）解：， 把①代入②得，， 解得，， 把代入①得，， ∴原方程组的解为； （2）解：， 得，， 整理得，， 把代入①得，， 解得，， ∴原方程组的解为． 28．解下列方程组： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用加减消元法消去y．先求出x的值．再代入求出y的值． （2）通过换元法简化原方程组．求解后回代得到原方程组的解． 【详解】（1）解： 得 得 解得 把代入①得 解得 因此方程组的解为 （2）解：设，， 原方程组可化为 得 得 解得 把代入②得 解得 因此可得 两式相加得 解得 把代入得 因此原方程组的解为 29．解方程组： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：， 得， 解得， 将代入①得， 解得， ∴方程组的解为； （2）解：， 得， 将代入①得， 解得， ∴方程组的解为． 30．解方程组： (1) (2) 【答案】(1)； (2)． 【分析】（1）利用代入消元法进行运算即可； （2）利用加减消元法进行求解即可． 【详解】（1）解：， 把①代入②得：， 解得：， 把代入①得：， 故原方程组的解是：； （2）解：， ①②得：， 解得：， 把代入①得：， 解得：， 故原方程组的解是：． 31．解下列方程组： (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)． 【分析】（1）根据代入消元法解二元一次方程组； （2）整理化简后，根据加减消元法解二元一次方程组即可求解． 【详解】（1）解：， 将①变形得：， 把③代入②得：， 解得， 把代入③得， 原方程组的解是； （2）解：， 整理得：， 得：， 解得， 把代入①得， 解得， 原方程组的解是． 32．解方程组： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用代入消元法解方程组即可； （2）原方程组整理为，然后利用加减消元法解方程组即可． 【详解】（1）解：， 把代入，得， 去括号，得， 解得， 把代入，得， 方程组的解为； （2）解：，即， ，得， ，得， ，得， 解得， 把代入，得， 解得， 方程组的解为． 33．解方程组： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用加减消元法求解即可； （2）先去分母并整理，再利用加减消元法求解即可． 【详解】（1）解：， ，得， 解得， 将代入①，得， 解得， ∴方程组的解为； （2）解：， 方程组整理，得， ，得， 解得， 将代入②，得， 解得， ∴方程组的解为． 34．解方程组 (1) (2) (3) (4) (5) (6) 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) (6) 【分析】用代入法或加减法解方程组即可. 【详解】（1）解： ， 把代入得：， 解得， 把代入得：， 故原方程组的解是：； （2）解：， 得：， 得：， 解得， 把代入得：， 解得， 故原方程组的解是：； （3）解：， 得：， 得：， 解得， 把代入得：， 解得， 故原方程组的解是：； （4）解：， 得：， 解得， 把代入得：， 解得， 故原方程组的解是：； （5）解：， 得：， 解得， 把代入得：， 解得， 故原方程组的解是：； （6）解：， 得：， 得：， 得：， 解得， 把代入得：， 解得， 故原方程组的解是：． 35．解方程组： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用加减消元法求解即可． （2）利用加减消元法求解即可． 【详解】（1）解：， 得，解得：， 将代入①可得，解得：， 故方程组的解是． （2）解：， 得，解得：， 将代入①可得，解得：， 故方程组的解是． 题型五、二元一次方程组的特殊解法（难点） 36．已知方程组的解为，则方程组的解为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查二元一次方程组解的定义和换元法，运用整体的思想是解题的关键． 通过换元法，将新方程组转化为原方程组的形式，利用已知解求解新变量即可． 【详解】解：新方程组为：， 令，，则新方程组变为：， 因为方程组的解为， 所以，即：，解得， 故新方程组的解为， 故选：A． 37．已知方程组的解是，则方程组的解是________． 【答案】 【分析】利用整体换元思想，将与看作整体，对应已知方程组中的a与b，得到关于x，y的方程组，即可求解． 【详解】解：对比两个方程组的结构可得， 由，得， 由，得， 因此方程组的解为． 38．已知方程组的解是，则方程组的解为______． 【答案】 【分析】将已知解代入原方程组得到系数的关系，再将待求方程组与该关系对比，得到对应未知数的值． 【详解】解：把代入已知方程组， 得 ， ∵题目中方程组为， ∴其解为． 39．运用整体思想解决数学问题，有时会使我们的解题更加简便快捷．例如：已知，求的值．解：，当时，原式．请你借鉴上面的解题经验，解决下列问题： (1)若，则 _________； (2)若关于x，y的方程组的解为现有关于m，n的方程组，求代数式的值． 【答案】(1)1 (2)8 【分析】本题主要考查了代数式求值，平方差公式，解二元一次方程组，解题的关键是熟练掌握整体思想的应用． （1）根据进行求解即可； （2）设，则关于s，t的方程组的解为，可得，再利用平方差公式求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴； （2）解：设， ∴关于m，n的方程组即为关于s、t的方程组， ∵关于x，y的方程组的解为， ∴关于s，t的方程组的解为， ∴， ∴． 40．定义：二元一次方程与二元一次方程互为“反对称二元一次方程”，如二元一次方程与二元一次方程互为“反对称二元一次方程”． (1)直接写出二元一次方程的“反对称二元一次方程”：__________． (2)二元一次方程的解，又是它的“反对称二元一次方程”的解，求出m、n的值． 【答案】(1) (2)， 【分析】（1）根据“反对称二元一次方程”的定义作答即可； （2）先写出二元一次方程的“反对称二元一次方程”，再结合二元一次方程的解得到关于m、n的二元一次方程，求解即可． 【详解】（1）解：二元一次方程的“反对称二元一次方程”为， 故答案为： （2）解：二元一次方程的“反对称二元一次方程”为， ∵二元一次方程的解，又是它的“反对称二元一次方程”的解， ∴，解得， ∴，． 41．【观察思考】 第1个方程组为解为 第2个方程组为解为 第3个方程组为解为 …… 【发现规律】 （1）按照以上规律，写出第4个方程组为______，解为______． （2）写出你猜想的第个方程组______和它的解______（用含的式子表示） 【应用规律】 （3）已知方程组，且存在上面这样的方程组规律，求和的值． 【答案】（1），；（2），；（3）的值为15，的值为14 【分析】本题考查了二元一次方程组的定义，数字规律，解二元一次方程组． （1）根据前3个方程组，找出系数和常数项存在的规律，依此类推，即可得到第4个方程组； （2）根据规律得出第n个方程组和它的解，解方程组检验，即可求解； （3）根据（2）中规律可得，再根据第个方程组第一个方程的系数为，即，即可求解． 【详解】解：（1）第4个方程组为解为． （2）由（1）得：第个方程组为解为． （3）由规律得， 解得． 根据第个方程组第一个方程的系数为，即， 代入，得． 根据第个方程组第二个方程的常数项为，即， 解得． 的值为15，的值为14． 题型六、二元一次方程组的错解问题（重点） 42．小多和小晓一起解方程组（a、b为常数），小多看错了上面一个方程，得到方程组的解，小晓看错了下面一个方程，得到方程组的解，则方程的解是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的错解问题、解一元一次方程，熟练掌握方程组和方程的解法是解题关键．先根据题意可得是方程的解，是方程的解，代入可得一个关于的方程组，解方程组可得的值，再代入一元一次方程，求解即可． 【详解】解：由题意得：是方程的解，是方程的解， ∴， 解得：， ∴一元一次方程可化为， 解得：． 故选：A． 43．甲、乙两人解关于的方程组时，甲看错的值解得乙看错b的值解得则该方程组正确的解为______． 【答案】 【分析】先根据甲、乙看错的条件，分别求出正确的、的值，再代入原方程组求解． 【详解】解:甲看错的值，解得，将其代入，可得：， 解得：． 乙看错的值解得，将其代入，可得：， 解得：． ∴原方程为：． 对两边同时乘以，可得：①； 由可得：②； 将②代入①，得：， 解得：． 把代入②，解得：． ∴该方程组正确的解为：． 故答案为：． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的解，解题关键是利用甲、乙看错的条件分别求出正确的值，再代入原方程组求解． 44．甲、乙两人同时解关于x，y的方程组，甲、乙两人都解错了，甲看错了方程①中的m，解得，乙看错了方程②中的n，解得，则原方程组的解为___________ 【答案】 【分析】本题考查二元一次方程组的解，解二元一次方程组．将代入②得，，求得 ；将代入①得，，求得 ，构造新方程组是，再解方程组即可． 【详解】解：由题意知：将代入②得，， ， 将代入①得，， 方程组是， 得， ， ， 将代入得， ， ， 原方程组的解是． 故答案为： 45．用消元法解方程组时，两位同学的解法如下： 解法一：由①-②，得…… 解法二：由②，得．③ 把①代入③，得…… (1)上述两个解法中有一个计算有误，请指出计算有误的解法并进行改正． (2)请选择一种你喜欢的解法解方程组． 【答案】(1)见解析； (2)解法见解析，． 【分析】（1）解法一是错误的； （2）利用加减消元法和代入消元法进行计算，即可解答． 【详解】（1）解：解法一计算有误，应改正为由①-②，得． （2）（任选一种解法解方程组即可）解法一：由①-②，得，解得． 把代入①，得，解得． 故原方程组的解是 解法二：由②，得．③ 把①代入③，得，解得． 把代入①，得，解得． 故原方程组的解是 【点睛】本题考查了解二元一次方程组，准确熟练地进行计算是解题的关键． 46．甲、乙两人解方程组时，甲看错了方程①中的a，解得，乙看错了方程②中的b，解得． (1)求正确的a，b的值； (2)求原方程组的正确解． 【答案】(1)，； (2)． 【分析】（）根据题意可得甲求得的方程组的解满足方程，乙求得的方程组的解满足方程，据此可得关于的方程，解方程即可得到答案； （）根据（）所求可得原方程组，解方程组即可得到答案． 【详解】（1）解：∵甲看错了方程中的，解得，乙看错了方程中的，解得， ∴甲求得的方程组的解，满足方程，乙求得的方程组的解满足方程， ∴，， ∴，； （2）解：由（）得，，， ∴原方程组为， 由得，， 把代入得，解得， 把代入得，， ∴方程组的解为：． 47．在解关于，的方程组时，甲把方程组中的看成了，得解为，乙看错了方程组中的，得解为． (1)求正确的，，的值； (2)求原方程组的解； (3)若关于，的二元一次方程组为，直接写出方程组的解． 【答案】(1)，， (2) (3) 【分析】（1），代入，解方程组可求出和的值，把，代入即可求出的值； （2）根据，，，得出原方程组为，再利用加减消元法求解即可； （3）根据的解为得出，解方程组即可． 【详解】（1）解：∵甲把方程组中的看成了， ∴是方程组的解， ∴， 解得：， ∵乙看错了方程组中的，得解为， ∴， 解得：． （2）解：∵，，， ∴原方程组为， ①+②得，， 解得：， 把代入②得，， 解得：， ∴原方程组的解为． （3）解：把，，代入得，， ∵的解为， ∴， 解得：． 48．小鑫、小童两人同时解方程组时，小鑫看错了方程②中的，解得，小童看错了①中的，解得． (1)求正确的的值． (2)求原方程组的正确解． 【答案】(1)； (2) 【分析】本题考查二元一次方程组的解的应用以及解二元一次方程组．关键在于理解“看错系数但解对另一个方程”的核心逻辑：当看错某个方程的系数时，所得的解仍满足另一个未被看错系数的方程． （1）小鑫看错方程②的，因此解满足方程①，代入可得到关于、的方程；小童看错方程①的，因此解满足方程②，代入可得到关于的方程，联立这两个方程即可求解正确的、； （2）将求得的、代入原方程组，得到标准的二元一次方程组，再通过代入消元法求解方程组的解． 【详解】（1）解：∵小鑫看错了方程②中的，解得， ∴该解满足方程①，将代入①得：，化简得③； ∵小童看错了①中的，解得， ∴该解满足方程②，将代入②得：，即， 解得； 将代入③得：，解得； 故正确的； （2）解：将代入原方程组，得， 由①得③， 将③代入②得：，解得； 将代入③得：； ∴原方程组的正确解为． 题型七、二元一次方程组的同解问题（重点） 49．若方程组和同解，则a的值是（   ） A．2 B．3 C．4 D．不存在 【答案】B 【分析】本题考查的是解二元一次方程组，由于所给两个方程组的解相同，那么先利用加减消元法对第二个方程组进行求解，从而得到x和y的值； 再将所得x和y的值代入含有a的方程中，进而通过解方程组就能得到a的值． 【详解】解：， 得：， 解得：， 把代入①，得， 解得：， ∴方程组的解为， ∵方程组和同解， ∴把代入，得， 解得：， 故选：B． 50．已知关于x，y的方程组和的解相同，则的值是（    ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】B 【分析】此题考查二元一次方程组的解，用已知求未知，主要是熟练掌握解方程组． 根据两方程组的解相同，取出不含未知量的两个方程重组方程组，解方程得到解，再把解代入含有未知字母的方程组，解方程组即可． 【详解】解：解方程组 ，得 ， 上面方程组的解也是 的解，代入， 得 ， 解这个方程组，得 ． ∴， 故选：B 51．已知关于的方程组与方程组同解，则_____． 【答案】81 【分析】先联立不含参数的方程和 解出x和y，再代入含参数的方程求a和b，即可． 【详解】解：联立方程 ， 解得 ， 把 代入 得， 解得 ， ∴． 52．已知关于的方程组和有相同的解，则______． 【答案】5 【分析】本题主要考查解方程组，根据两个方程组有相同的解，则公共解满足所有方程，因此先联立不含参数的二元一次方程，求出公共解，再代入含参数的方程得到关于的方程组，求解后计算即可． 【详解】解：关于的两个方程组有相同的解， 联立不含参数的方程得， 两式相加，得， 解得， 将，代入得， 将代入得， 解得，， ， 故答案为：． 53．若关于，的方程组与有相同的解，求的值． 【答案】243 【分析】本题主要考查二元一次方程组同解问题． 先联立方程组求出其解，再将解代入另外两个方程得到关于的方程组，解出的值，最后代入所求表达式计算即可． 【详解】解：解方程组，得， 由题意得方程组，解得， 则． 54．若关于的方程组和方程组有相同的解，请分别求出的值． 【答案】的值为，的值为． 【分析】本题考查了同解方程组的知识，解答此题的关键是熟知方程组有公共解的含义．方程组有相同的解，所以只需求出方程组的解，再代入方程组，即可求出未知数的值． 【详解】解：根据题意得：方程组 ①②得：， 解得：， 把代入②得：， 解得：， ∴ 把代入方程组， 得， 解得： ∴的值为，的值为． 55．已知关于，的二元一次方程组与方程组有相同的解． (1)求这两个方程组的相同解； (2)求的值． 【答案】(1) (2)1 【分析】（1）解即可求解； （2）将（1）中求得的解代入求出后即可求解． 【详解】（1）解：关于x，y的二元一次方程组与方程组有相同的解． ∴二元一次方程组①与方程组②有相同的解． 由①得：， ∴这两个方程组的相同解为； （2）将代入②得 解得： ∴． 56．已知关于、的方程组和的解相同，求的平方根． 【答案】 【分析】本题考查二元一次方程组的解，理解同解二元一次方程组的含义，将所给方程组重新组合新的方程组，灵活运用加减消元法和代入消元法求方程组的解是解题的关键，也考查了平方根的性质． 根据两方程组的解相同可得方程组，解方程组可求解x，y值，即可得关于a，b的方程组，进而可求解的值． 【详解】解：∵方程组和的解相同， ∴， 解得， 代入含的方程得， 解得． ， 的平方根为． 题型八、二元一次方程组的遮挡求参数问题 57．已知二元一次方程组的解是，则*表示的方程可能是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二元一次方程组的解的定义，即方程组的解满足组内所有方程，先通过已知方程求出a的值得到完整的解，再将解代入各选项验证即可． 【详解】∵将代入， ∴，解得，即方程组的解为， A. 将代入，左边，不符合题意； B. 将代入，左边，不符合题意； C. 将代入，左边，不符合题意； D. 将代入，左边右边，符合题意． 故选：D． 58．若关于，的二元一次方程组的解是其中的值被盖住了，但还是可以求出的值，则的值是（    ） A．1 B．2 C． D． 【答案】B 【分析】先根据和方程求出的值，再将和的值代入方程求出 【详解】解：， 且， .． 将代入， 得， 故选：B． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的解，解题的关键是牢记“一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解”． 59．方程组的解为，则被遮盖的前后两个数分别为（　　） A．12、5 B．13、5 C．5、12 D．5、13 【答案】B 【分析】本题考查了二元一次方程组的解，将已知解代入方程组，先求出被遮盖的x值，再代入第一个方程求出被遮盖的常数项即可． 【详解】解：已知方程组的解为，代入第二个方程， 得：， 解得， 因此，被遮盖的值为5， 将和代入第一个方程， 得：， 因此，方程组中被遮盖的常数项为13， 综上，被遮盖的前后两个数分别为13和5， 故选：B． 60．如果方程组的解为，那么被“”遮住的数是______． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程的解，熟练掌握二元一次方程的解的定义是解题的关键． 根据二元一次方程的解的定义把代入方程中即可求出的值，继而求出被“”遮住的数． 【详解】解：把代入方程中，得， 把，代入方程中，得， 故答案为：． 61．已知关于、的方程组的解是，其中的值不小心被滴上了墨水．求的值． 【答案】 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组和二元一次方程组解的定义，把代入方程得关于的方程，解方程求出，再把，代入得到关于的方程，解方程求出即可． 【详解】解：把代入方程得：， 解得， 把，代入得：， 解得． 62．小颖求出方程组的解为由于不小心滴上两滴墨水，刚好遮住了方程组和解中的●，▲两个数．你能帮助她确定这两个数吗？ 【答案】●为5，▲为1 【分析】本题考查二元一次方程组的解的含义．先将变形得，再将代入中得，再将代入与中即可计算出▲，●的值． 【详解】解：∵， ∴整理为：， ∴将代入中得：， ∵， ∴，， ∴●为5，▲为1； 题型九、二元一次方程组的整数解解问题 63．关于的方程组有正整数解，则正整数为（   ） A．1或2 B．2或5 C．1或5 D．1或2或5 【答案】A 【分析】本题考查的是二元一次方程的解法．正确掌握相关性质内容是解题的关键． 解题时先把两方程相加，去掉x，然后根据方程组有正整数解，进行分析，再确定正整数a的值，即可作答． 【详解】解：∵方程组有正整数解， ∴两式相加有，即， ∵a，y均为正整数， ∴或或或， ∴时，不合题意，舍去， 时，，，符合题意； 时，，，符合题意； 时，，，不合题意，舍去， ∴或2． 故选：A． 64．若方程组的解是正整数，则所有满足条件的整数a的值之和是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了解二元一次方程组和二元一次方程组的解．求出，再根据解为正整数进行分析即可． 【详解】解： 由②得，③ 把③代入①，得，即， 当时，； 当时，； 当时，； 则所有满足条件的整数a之和为． 故选：A 65．已知关于，的方程组，若方程组的解中恰为整数，也为整数，则的可能值为（   ） A．0 B．1 C．3 D． 【答案】D 【分析】利用加减消元法消去y，得到x关于m的表达式，再根据x和m均为整数的条件，结合整除的性质求解即可． 【详解】解：， ①+②得：，即， ， 为整数，也为整数， ， 当时，，无对应选项， 当时，，符合条件． 66．已知关于x，y的二元一次方程组的解均为整数，若k为正整数，则满足条件的k值个数为________． 【答案】3 【详解】解：， 由②得， 将代入①得， 整理得，即， ∵关于x，y的二元一次方程组的解均为整数， ∴或， 解得或或13或， ∵k为正整数， ∴或或13，共3个． 67．已知关于x、y的方程组 (1)请写出的所有正整数解； (2)若方程组的解满足，求m的值； (3)如果方程组有正整数解，求整数m的值． 【答案】(1)， (2) (3)整数的值为 【分析】此题考查了二元一次方程组的解，以及解二元一次方程，熟练掌握运算法则是解本题的关键． （1）把看作已知数表示出，进而确定出方程的正整数解即可； （2）已知方程与方程组第一个方程联立求出与的值，进而求出的值； （3）根据方程组有正整数解，根据（1）的结论代入第二个方程，确定出整数的值即可． 【详解】（1）解：方程， 解得：， 当时，； 当，； 即方程的正整数的解为，； （2）解：联立得， 解得， 代入得：， 解得； （3）解：∵方程组有正整数解，由（1）可得，； 代入得， 或 解得：（舍去）或 综上所述，整数的值为． 68．已知关于的方程组． (1)无论数取何值，方程总有一个固定的解，请直接写出这个解； (2)若方程组的解中恰为整数，也为整数，求的值． 【答案】(1) (2) 或 【分析】（）由固定的解与无关，可得，代入可得固定的解； （）求出方程组中的值，根据恰为整数，也为整数，可确定的值． 【详解】（1）解：， 整理得， ∵该方程的解与的取值无关， ∴且， 解得：， 即固定的解为； （2）解：方程组， 得：， ∴， ∴， ∵恰为整数，也为整数， ∴或， 故或． 69．已知关于x，y的方程组有整数解，即x，y都是整数，a是正整数，求a的值． 【答案】 【分析】根据加减消元法，可得，根据a是正整数、y的值是整数，可得关于a的方程，根据解方程，可得答案． 【详解】解：， 式，得， ∵a是正整数，y为整数，且， ∴，则，， 解得：． 此时，，符合题意． ∴． 题型十、根据二元一次方程组解的其他情况求参数 70．已知关于，的方程组①的解，比②相应的解，正好都小．则，的值分别为（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】C 【分析】本题考查了二元一次方程组的解，求出两个方程组的解是解题的关键．设方程组①的解为，则方程组②的解为，得到关于、的二元一次方程组，求出、的值，进而得到题中两个方程组的解，最后得到关于，的二元一次方程组，并解方程组即可求解． 【详解】解：设方程组①的解为，则方程组②的解为， ， 解得：， 是关于，的方程组①的解，是关于，的方程组的解， ， 解得：， 故选：C． 71．二元一次方程组的解中，x与y的值相等，则（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题主要考查了根据二元一次方程组的解的情况求参数，根据x与y的值相等可得方程，解方程可得方程组的解，再把方程组的解代入方程中求出a的值即可． 【详解】解：∵二元一次方程组的解中，x与y的值相等， ∴， 解得， ∴， 把代入方程中得， 解得， 故选：B． 72．已知关于x，y的方程组的解是自然数，则整数_________． 【答案】 【分析】本题考查了解二元一次方程组．通过解方程组，用m表示x和y，根据解为自然数（包括0），确定m的值，即可作答． 【详解】解：∵， ∴第二式得，代入第一式得， 解得， ∴把代入， 得． ∵解为自然数， 即x和y均为非负整数，且， ∴且整除7， 故或， 解得或． 当时，，不是自然数，舍去； 当时，，，均为自然数． 故整数． 故答案为： 73．若关于的方程组的解中的值比的值的相反数大2，则的值为________． 【答案】 【分析】本题考查由二元一次方程组解得情况求参数，熟练掌握二元一次方程组的解法是解决问题的关键．根据题意，得到，构建新的二元一次方程组求解得到，代入求解关于的一元一次方程即可得到答案． 【详解】解：关于的方程组的解中的值比的值的相反数大2， ， 即， 解得， 将代入得， 解得， 故答案为：． 74．二元一次方程组有可能无解．例如方程组无解，原因是将①×2，得，它与②式存在矛盾，导致原方程组无解．若关于的方程组无解，求必须满足的条件． 【答案】且 【分析】本题考查二元一次方程组的求解．根据题意可知，方程组无解，则方程组内左边相同，右边不同，据此即可解答． 【详解】解：， ，得， 由题意知，且，解得且． 75．关于x，y的方程组只有唯一的一组解，那么a的取值为多少？ 【答案】 【分析】本题主要考查了含字母系数的二元一次方程组， 先根据方程组有唯一的解可知，进而得出答案. 【详解】解：∵关于x，y的方程组只有唯一的一组解， ∴， 解得. 把代入方程组得：， 解得：， 所以a的取值为：. 76．已知关于x，y的二元一次方程组，若该方程组的解互为相反数，求的值． 【答案】 【分析】因为方程组的解互为相反数，所以可得，再把二元一次方程组的两个方程相加得到，两式结合得到关于a的方程，解出即可得到的值． 【详解】解：∵方程组的解互为相反数， ∴ ， 设原方程组为 ， 将①+②得：， 两边同除以2化简得：． ∴ ， 解得． 题型十一、三元一次方程组的定义与解 77．下列四组数中，是方程组的解是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用加减消元法对方程组求解，逐步求出未知数的值即可． 【详解】解： 得： 得：， 把代入得：， 解得， 把，代入得 ， 解得 方程组的解为． 78．在等式中，当时，；当时，；当时，；求a，b，c的值为（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】B 【详解】解：∵等式中，当时，；当时，；当时，； ∴， 解得：． 79．三元一次方程组消去未知数z后，得到的二元一次方程组是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】通过加减消元消去未知数，得到二元一次方程组，再对比选项得出正确结果． 【详解】解： ∵，得， 即，可排除C、D选项； 再将，得， 即， ∴ 消去后得到的二元一次方程组为，符合选项A． 若选择消去，可得，选项B中常数项为，因此B错误． 80．若三元一次方程组的解使，则的值是_______． 【答案】 【分析】本题考查了解三元一次方程组，学会采用消元法和代入法解三元一次方程组是解题的关键．先解三元一次方程组，求出，，的值，再代入方程 求解． 【详解】解：， 由得， 由得 ， 解得， 将代入得， 将代入得， 将，，代入得， 解得， 故答案为：． 81．已知是方程组的解，则______． 【答案】15 【分析】本题考查解三元一次方程组，设，则，，，代入方程中，求出的值，进而求出的值，求和即可． 【详解】解：设，则，，，代入方程得，即， 合并得， 解得． 所以，，， 则． 故答案为：15． 82．已知的三边a，b，c满足求这个三角形的三边a，b，c的长． 【答案】这个三角形的三边a，b，c的长分别是12，9，15 【分析】本题考查解三元一次方程组，利用加减消元法求出解即可． 【详解】解：， 由①②，得④， 由③④，得， 解得． 把代入①，得， 解得． 把代入③，得， 解得． 综上所述，原方程组的解是． 答：这个三角形的三边a，b，c的长分别是12，9，15． 83．数学活动课上，老师让大家解方程组 小明上台展示了自己的思路：“我观察后发现方程①的左边是，而方程②的括号里也是，于是我想到可以把视为一个整体，把方程①直接代入到方程②中，这样就可以将方程②直接转化为一元一次方程，从而达到“消元”的目的”． (1)请你按照小明的思路，完成解方程组的过程． (2)请你仿照上述方法，解方程组 (3)已知，则_____． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查解二元一次方程组，三元一次方程组，整体代入消元，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）将整体代入②式进行消元解方程组即可； （2）将①整体代入③即可求得c，然后即可求解其他未知数； （3）由第一个方程得，然后整体代入第二个方程即可求解． 【详解】（1）解：（1）， 将①代入②得：， 解得：， 将代入①得：， 故原方程组的解为； （2）解：， 将①代入③得：， 解得， 将代入②得：， 解得， 将代入①得：， 解得， 故原方程组的解为； （3）解：， 由①得， 把③代入②得， ， ， 化简得， 整理得， 故答案为：． 84．已知a，b，c是三个实数，表示a，b，c这三个数的平均数，表示a，b，c这三个数中最小的数．如：，；，．解决下列问题： (1)填空： _________，_________； (2)若，求x的取值范围； (3)①若，那么_________； ②根据①，可以发现结论“若，则_________”（填a，b，c的大小关系）； ③运用②解决问题：若，且满足，求的值． 【答案】(1)； (2) (3)①；②；③ 【分析】本题考查了新定义，解不等式组，解三元一次方程组，有理数大小比较，理解新定义运算是解题的关键． （1）根据新定义即可求解． （2）根据题意得，解不等式组即可求解； （3）①先求得，根据新定义，列出不等式组，即可求解； ②根据①的结论即可求解； ③根据②的结论列出方程组，解方程组即可求解． 【详解】（1）解：解：∵， ∴； ∵， ∴ ； （2）解：∵， ∴， 解得：， ∴x取值范围是； （3）解：①∵， ∴， 解得：； ②当时，，则， ∴根据①可得； ③∵， ∴， 设， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴． 题型十二、解三元一次方程组 85．解下列方程组： (1)； (2)． 【答案】(1)； (2) 【分析】本题考查三元一次方程组的求解，核心方法是通过加减消元法消去未知数，将三元一次方程组逐步转化为二元一次方程组、一元一次方程求解． （1）先利用方程①和②消去，再利用方程②和③消去，得到关于、的二元一次方程组，求解后代入原方程求出； （2）先利用方程①和②消去，得到关于、的方程，再与方程③联立求出、，最后代入原方程求出． 【详解】（1）解：①+②得：④； ②-③得：⑤； 由④得， 将其代入⑤得：，解得； 将代入④得； 将，代入③得，解得； ∴方程组的解为； （2）解：①+②得：，化简得④； ③+④得：，解得； 将代入④得，解得； 将，代入①得，解得； ∴方程组的解为． 86．用适当的方法解下列方程组 (1) (2) (3) 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了解二元一次方程组，解三元一次方程组，熟练掌握解方程组的一般步骤是解题的关键． （1）根据加减消元法求解即可； （2）根据加减消元法求解即可； （3）先消去b，再解关于a，c的二元一次方程组即可得解． 【详解】（1）解：， 由得， 解得， 把代入得， 原方程组的解为； （2）解：， 由得， 解得， 把代入得， 解得， 原方程组的解为． （3）解：， 由得， 由得， 解得， 把代入得， 解得， 把代入得， 解得， 原方程组的解为． 87．解三元一次方程组： 【答案】 【分析】本题考查了解三元一次方程组，熟练掌握消元法是解题关键． 利用加减消元法解三元一次方程组即可得． 【详解】解：， 由②③得：，即④， 由①④得：， 解得， 将代入①得：， 解得， 将，代入②得：， 解得， 则方程组的解为． 88．解方程组： 【答案】 【分析】本题考查了三元一次方程组的解法，熟练掌握解法是解题的关键． 利用代入消元法解答即可． 【详解】解：由①，得，③ 由②，得，④ 将③代入④，得． 解方程组得所以， 所以原方程组的解为 89．解方程组：． 【答案】 【详解】解：， 得：， ， ， ③-②得：， ， ， 得：， 解得：， 把代入④得：， 解得：， 把，代入②得：， 解得：， ∴． 90．解方程组：． 【答案】 【分析】先设，再求出，即可得出，然后用分别减去三个方程求出方程组的解即可． 【详解】解：设，则， ∴． ∵， 即， ∴， 解得：， ∴， 由， ，得， ，得， ，得， ∴方程组的解为． 91．解方程组：． 【答案】 【分析】用，消去z得出关于x，y的方程组，再消去y求出x，然后求出方程组的解． 【详解】解：， ，得， ，得， ，得， 解得：， 把代入④，得，解得：， 把代入③，得，解得：， ∴原方程组的解为． 题型十三、三元一次方程组的应用 92．如图，两个天平都平衡，则1个苹果的质量是1根香蕉质量的（   ） A． B． C．2倍 D．3倍 【答案】B 【分析】本题可通过设苹果、香蕉和砝码的质量为未知数，根据天平平衡的条件列出方程组，然后通过消元法求解出苹果质量与香蕉质量的关系． 【详解】设一个苹果的质量为，一根香蕉的质量为，一个砝码的质量为 由第一个天平平衡，可得，化简为 由第二个天平平衡，可得 把代入中，得到，则 所以 即个苹果的质量是1根香蕉质量的倍． 【点睛】本题考查了三元一次方程组的应用，掌握根据天平平衡建立三元一次方程组，通过消元法求解出苹果与香蕉的质量关系是解题的关键． 93．若是从0，，2这三个数中取值的一列数，且，，则在数中，取值为2的数有（   ）个 A．150 B．160 C．180 D．200 【答案】D 【分析】此题主要考查了三元一次方程组的应用，读懂题意，正确列出方程组是解决问题的关键． 设其中有a个0，b个，c个2，则；由，可得；由，可得；联立得到方程组，求解即可． 【详解】解：∵是从0，，2这三个数中取值的一列数， ∴设其中有a个0，b个，c个2，则； ∵ ∴； ∵ ∴ 联立得到， 解得， ∴在数中，取值为2的数有200个． 故选：D． 94．逸夫中学初三（一）班参观龙河东北抗联烈士纪念馆，学校计划用100元为20名学生购买饮料、矿泉水和奶茶，饮料每瓶4元，矿泉水每瓶3元，奶茶每瓶6元（每种都要买），在钱全部用完的情况下，有购买方案（   ） A．3种 B．4种 C．5种 D．6种 【答案】A 【分析】本题考查了三元一次不定方程的整数解，掌握根据实际问题列方程组，消元得到不定方程，结合正整数约束枚举求解是解题的关键. 设三种饮品的购买数量，根据总人数和总费用列出方程组，消元后得到不定关系，结合每种都要买的正整数条件，统计方案个数即可. 【详解】设购买饮料瓶，矿泉水瓶，奶茶瓶，均为正整数. ∵总共有名学生，总费用为元. ∴可得方程组 由第一个方程得 ， 代入第二个方程得： 整理得 . 将代入得 . ∵均为正整数. ∴ 解得 . ∵为正整数， ∴可取，共对应种不同的购买方案 故选：A. 95．有、、三种货物，甲购3件，5件，1件，共200元．乙购4件，7件，1件，共250元，则丙购、、各1件，应付_____元． 【答案】100 【分析】本题考查了三元一次方程组的应用．设A、B、C的单价分别为x、y、z元．根据题意得到①，②，解方程组得到，即可求解． 【详解】解：设A、B、C的单价分别为x、y、z元． 由甲购3件，5件，1件，共200元，即①， 乙购4件，7件，1件，共250元，即②， 得③， 得④， 得， ∴丙购、、各1件，应付100元， 故答案为：100． 96．为了检验军训成果，某学校组织了一次游戏：每位同学朝特制的靶子上各投三支飞镖，当飞镖落在同一圆（或圆环）内时得分相同．如图，小明、小君、小红的成绩分别是29分、43分和33分，则小华的成绩为________分． 【答案】36 【分析】设投中不同的圆（或圆环）的得分分别为未知数，根据小明、小君、小红的成绩列出方程组，求解未知数后计算小华的成绩即可； 本题考查了三元一次方程组的应用，熟练掌握列出正确的等式是解题的关键. 【详解】设飞镖投到最小的圆中得分，投到中间的圆中得分，投到最外面的圆中得分． 根据题意得 解得 ∴小华的成绩是（分）； 故答案为：36． 97．为确保信息安全，在传输时往往需加密，发送方发出一组密码时，则接收方对应收到的密码是．双方约定：。例如：发出，则收到．当接收方对应收到一组密码是时，则发送方发出的密码是多少？ 【答案】 【分析】本题考查三元一次方程组的应用，根据发送方与接收方密码的约定关系，列出关于、、的方程组，通过解方程组求出发送方的密码. 【详解】解：由题意，得解得 所以发送方发出的密码是 故答案为：. 【点睛】本题考查了三元一次方程组的应用，解题关键是根据发送方与接收方密码的对应关系，准确列出方程组，并熟练运用代入消元法求解方程组. 98．有一片牧场，草每天都均匀地生长，15头牛8天可以将草吃完，12头牛12天可以将草吃完，设每头牛每天吃的草是相等， 问： (1)若有8头牛，几天可以将草吃完？ (2)要使草永远也吃不完，最多可以放牧几头牛？ 【答案】(1)若有8头牛，36天可以将草吃完 (2)至多放牧6头牛 【分析】题目主要考查三元一次方程组及不等式的应用，理解题意，列出方程和不等式是解题关键 （1）设每头牛每天吃草的量为，草每天生长的量为，牧场初始草量为，列出方程组，得出每头牛每天吃草的量为，草每天生长的量为，牧场初始草量为，设8头牛，a天可以将草吃完，列出方程求解即可； （2）根据题意得牛每天吃掉的牧草量不能大于每天牧草的生长量，设放牧的牛的头数为，列出不等式求解即可 【详解】（1）解：设每头牛每天吃草的量为，草每天生长的量为，牧场初始草量为， 则按题意有：， 式，得， ∴， 代入①得：， ∴每头牛每天吃草的量为，草每天生长的量为，牧场初始草量为， 设8头牛，a天可以将草吃完， 根据题意得：， 解得：， ∴若有8头牛，36天可以将草吃完； （2）要使牧草永远吃不完，则牛每天吃掉的牧草量不能大于每天牧草的生长量， 设放牧的牛的头数为， 则有， 所以． 由可得， 所以，故至多放牧6头牛． 99．小红家需要购一台冰箱、一台洗衣机和一台微波炉，请你来给他们当消费顾问，帮他们做出选择． 信息一、财联社1月19日电，据“上海商务”官方公众号，上海进一步做好国家家电以旧换新补贴工作．2025年1月20日起，对购买二级能效电器给予补贴（不超过1500元），对购买一级能效电器给予的补贴（不超过2000元）（注：电器国补按每一台计算） 信息二、小红家在某商店已经看中三种商品各有两个不同型号（见左表），另有一张该商店的五一促销海报（见右表） 能效等级 标价（元） 五一优惠大促☆倡导绿色节能，“国补”不孤单☆ 活动时间：5月1日-7日 凡在本店购买电器的顾客，给您再“补一补” 国补后满6000元的再减600元 国补后满8000元的再减1000元 国补后满10000元的再减1500元 本店及所有员工为您提供最优质的服务！ 冰箱A 1级 6000 冰箱B 2级 5000 洗衣机A 1级 4000 洗衣机B 2级 2400 微波炉A 1级 900 微波炉B 2级 600 (1)5月1日前，如果在该店购置一台价值8000元的一级能效的电器，那么国补后只需要支付多少钱？ (2)小红家如果购买三种电器都选择A型号，问导购还有没有其他优惠，商店导购告诉小红，说她每卖出一台电器，都可以获得一些提成，可以把自己从小红家购买的电器所获得的提成让出当做优惠．导购她前天卖出了1台冰箱A和2台洗衣机A，获得了700元提成，昨天她卖出了1台洗衣机A和3台微波炉A，获得了500元提成，今天已经卖出了2台冰箱A和1台微波炉A，获得了700元提成．请问，导购能让给小红家多少钱的优惠？ (3)小红家如果在商店五一优惠期间购买了三种电器都选择A型号，请问，小红在享受国家补贴后，又享受了商店优惠大促，最后又得到了导购的优惠，最终小红家花了多少钱？ 【答案】(1)国补后只需要支付6400元 (2)导购能让利给小红家的优惠为600元 (3)最终小红家花了7120元 【分析】本题考查了方程组的应用，有理数混合运算的应用，熟练掌握方程组的应用是解题的关键． （1）根据国补的标准计算即可； （2）设导购卖出1台冰箱，洗衣机，微波炉所得提成分别为a元，b元，c元，根据题意列方程组并求解即可； （3）先根据国补标准计算三种电器的国补费用，再用总价减去国补、商店优惠、导购优惠的总和即可． 【详解】（1）解：根据题意，购买电器国补元， 国补后只需要支付元， 答：国补后只需要支付6400元． （2）解：设导购卖出1台冰箱、洗衣机、微波炉所得提成分别为a元，b元，c元， 根据题意，得， 解得， （元）， 答：导购能让利给小红家的优惠为600元． （3）解：冰箱A可获得国补（元）， 洗衣机A可获得国补（元）， 微波炉A可获得国补（元）， 则国补后三种电器的总价为（元）， 因为， 所以活动可再减1000元， 所以最终花的钱数为（元）， 答：最终小红家花了7120元． 1．（25-26七年级下·浙江舟山·期中）已知和是方程的两个解，则的值（   ） A．30 B．0 C．5 D．6 【答案】D 【分析】把x、y的值代入，得出关于m、n的方程组，即可求解． 【详解】解：∵和是方程的两个解， ∴ ，得， ∴ 2．（25-26七年级下·山东潍坊·期中）若方程是关于，的二元一次方程，则的值为（    ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】B 【分析】根据二元一次方程的定义列出关于、的二元一次方程组，求出、的值后代入计算即可． 【详解】解：∵是关于，的二元一次方程， ∴， 解得：， ∴． 3．（25-26七年级下·北京·期中）若关于x，y的二元一次方程组的解x，y互为相反数，则的值为（   ） A． B．3 C．5 D． 【答案】A 【分析】将方程组的两个方程相加得，进而得出，由x，y互为相反数得，从而，解之可得的值． 【详解】解：， ，得 ， ∴， ∵，互为相反数， ∴， ∴， 解得． 4．（25-26七年级下·浙江·期中）已知关于，的方程组的解是，则关于，的方程组的解是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将化为，可知，即可求解． 【详解】解：可化为， ∵关于，的方程组的解是， ∴， 即． 5．（25-26八年级上·安徽·月考）规定：关于，的两个方程与互为共轭二元一次方程，其中．由这两个方程组成的方程组叫作共轭方程组．若关于，的方程组为共轭方程组，则，的值分别为（   ） A．3， B．4，3 C．5， D．3，2 【答案】A 【分析】本题考查了二元一次方程的定义，加减消元法解二元一次方程组．根据共轭方程组的定义，比较给定方程组与标准形式，构建关于和的方程组并求解． 【详解】解：∵ 方程组为共轭方程组， ∴， ∴， 联立方程： 解得： 故选：A． 6．（25-26七年级下·浙江绍兴·期中）若关于，的二元一次方程组的解是，则关于，的二元一次方程组的解是_______ 【答案】 【分析】对比两个二元一次方程组的结构，可得新方程组中对应原方程组的，对应原方程组的，利用原方程组的解得到关于，的方程组，再求解即可． 【详解】解：由题意可得 ， 解得， 因此关于，的二元一次方程组的解为． 7．（25-26七年级下·浙江杭州·期中）关于、的方程与（为整数）有相同的正整数解，则的值为____________． 【答案】2 【分析】先求出方程的所有正整数解，再将正整数解代入方程，结合为整数的条件求出的值即可． 【详解】解：方程的解是正整数 ，可得 是正整数， 的可能取值为 当时，，，不是正整数，舍去 当时，，，不是正整数，舍去 当时，，，是正整数，符合条件 ∴的正整数解为， 两个方程有相同的正整数解，将代入得 解得． 8．（25-26七年级下·江苏南京·期中）若规定，若，，则的值是_____． 【答案】 【分析】由题意可得，解二元一次方程组得出，，先计算出，再计算出的值即可． 【详解】解：∵规定，，， ∴， 解得：， ∴， ∴ ． 9．（25-26七年级下·重庆开州·期中）解方程组： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）把①代入②得，把代入①得，从而可得方程组的解； （2）方程得，把代入①可得，从而可得方程组的解． 【详解】（1）解：， 把①代入②得， 解得，， 把代入①得， 所以，方程组的解为； （2）解：， 得，， 解得：， 把代入①，得， 解得：， 所以，方程组的解为． 10．（25-26七年级下·福建厦门·期中）解下列方程组 (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用代入消元法解方程组即可； （2）利用加减消元法解方程组即可． 【详解】（1）解： 把②代入①得，， 解得：， 把代入①得，， 解得：， ∴方程组的解为． （2）解： ①②得，， 解得：， 把代入①得，， 解得：， ∴方程组的解为． 11．（25-26七年级下·浙江·期中）解方程组： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： 把②代入①得：，解得：， 把代入②得：， ； （2）解：原方程可以转化为， 得：，解得：， 把代入④得， ． 12．（25-26七年级下·山东淄博·月考）解下列方程组： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）利用加减消元法求解； （2）先将原方程组两个方程化简，再利用加减消元法求解； （3）先将原方程组两个方程化简，再利用加减消元法求解； （4）先消去一个未知数转化为二元一次方程组，再依次求解． 【详解】（1）解： 得：， 将代入得：， 解得， 因此该方程组的解为； （2）解： 整理得 得：， 解得， 将代入得：， 解得， 因此该方程组的解为； （3）解： 整理得 得：， 解得， 将代入得：， 解得， 因此该方程组的解为； （4）解： 得：， 得：， 得：， 解得， 将代入得：， 解得， 将代入得：， 解得， 因此该方程组的解为． 13．（25-26七年级下·四川资阳·期中）甲、乙两人共同解方程组，甲将①中的看成了它的相反数解得，乙抄错②中的解得，求的值． 【答案】5 【分析】将解代入未看错的方程中，求出三个参数的值，再进行计算即可. 【详解】解：由题意，是方程组的解， ∴， ∴， 把代入，得， ∴，解得， ∴. 14．（25-26七年级下·江苏泰州·期中）甲、乙两人同时解关于x，y的方程组，甲看错了b，求得解为，乙看错了a，求得的解为，求原方程组的解． 【答案】 【分析】根据题意，把甲求得的解代入①，求出，把乙求得的解代入②，求出，即可得到答案． 【详解】解：甲看错了b，把甲求得的解代入①得，, 得， 乙看错了a，把乙求得的解代入②得，, 得， ∴， 得：， 解得， 把代入②得：， ∴原方程组的解为． 15．（25-26七年级下·西藏·期中）若方程组中的和互为相反数，求的值． 【答案】 【分析】先通过加减消元法，将方程组两式相加、相减，用含的式子分别表示出和；再利用互为相反数的条件，代入的表达式得到关于的一元一次方程，进而求解出． 【详解】解： ，得 解得： ，得 解得： ∴解方程组得：，   ∵互为相反数， ∴， ∴， 解得：． 16．（25-26七年级下·浙江杭州·期中）方程组知识运用 (1)关于，的二元一次方程组中，与方程组的解中的或相等，则的值为； (2)试说明在关于的方程组，不论取什么实数，的值始终不变； (3)请直接写出第（）题中的方程组的正整数解为： ． 【答案】(1)或； (2)见解析； (3)和． 【分析】（）先将看作常数，解二元一次方程组得到的表达式，再根据与或相等，分两种情况计算的值，用到分类讨论思想和二元一次方程组消元法； （）通过消去参数，整理得到为固定常数，即可证明结论； （）根据的结论，结合正整数的要求，列举得到所有正整数解． 【详解】（1）解：， 得， 解得， 将代入得， 根据题意分两种情况计算：当时，得， 当时，得，解得， 因此的值为或， 故答案为：或； （2）解： 得， 得， 等式两边同时除以得， ∴不论取什么实数，的值始终为，即始终不变； （3）解：由（）得，为正整数，即 ∴当时，；当时，， ∴方程组的正整数解为和， 验证：把代入原方程组得，解得：，符合题意； 把代入原方程组得，解得：，符合题意． 17．（25-26七年级下·山东淄博·月考）若关于的方程组和方程组有相同的解，请分别求出的值． 【答案】的值为，的值为． 【分析】本题考查了同解方程组的知识，解答此题的关键是熟知方程组有公共解的含义．方程组有相同的解，所以只需求出方程组的解，再代入方程组，即可求出未知数的值． 【详解】解：根据题意得：方程组 ①②得：， 解得：， 把代入②得：， 解得：， ∴ 把代入方程组， 得， 解得： ∴的值为，的值为． 18．（25-26七年级下·北京·期中）定义：关于x，y的二元一次方程中的常数项与未知数系数a，b之一互换，得到的方程叫“交换系数方程”，例如：的交换系数方程为或． (1)方程与它的“交换系数方程”组成的方程组的解为__________； (2)已知关于x，y的二元一次方程的系数满足，且与它的“交换系数方程”组成的方程组的解恰好是关于x，y的二元一次方程的一个解，求代数式的值． 【答案】(1)或 (2)2026 【分析】（1）根据“交换系数方程”的定义可得方程，联立方程组求解即可； （2）根据题意，先联立方程组，求出x，y的值，代入方程得到，代入代数式化简求值即可． 【详解】（1）解：方程的“交换系数方程”为， ， 得，， 将代入①得，， 解得： 方程组的解为：； 方程的“交换系数方程”为， ， 得，， 解得：， 将代入①得，， 解得：， 方程组的解为：； 综上，方程与它的“交换系数方程”组成的方程组的解为：或； （2）解：∵， ∴， 方程与它的“交换系数方程”组成的方程组为， 解得， ∴把代入可得，即，， ∴ ． ∵， ∴， 方程与它的“交换系数方程”组成的方程组为， 解得：， ∴把代入可得，即，， ∴ ． 综上，代数式的值为2026． 19．（25-26七年级下·福建厦门·期中）定义：以二元一次方程的解为坐标的点叫做这个方程的“开心点”． (1)在①；②；③三点中，是方程的“开心点”有_____________；（填序号） (2)已知A，C两点是方程的“开心点”，B，C两点是方程的“开心点”．若点到轴的距离为1，点到轴的距离为3，且A，B均不在第三象限，求A、B、C三点的坐标． (3)若，，三点是二元一次方程的“开心点”，探究m，n，p，q之间的关系，请写出结论，并完成证明． 【答案】(1)③ (2)点的坐标为或，点的坐标为，点的坐标为 (3)，证明见解析 【分析】（1）根据“开心点”的定义逐个判断即可； （2）联立两个方程，解方程组即可得点的坐标；先求出点的纵坐标，再代入方程求出点的横坐标，然后根据点不在第三象限即可得；先求出点的横坐标，再代入方程求出点的纵坐标，然后根据点不在第三象限即可得； （3）将点代入方程，先求出的关系，再代入化简即可得． 【详解】（1）解：①将代入方程的左边得：， ∴不是方程的解， ∴点不是方程的“开心点”； ②将代入方程的左边得：， ∴不是方程的解， ∴点不是方程的“开心点”； ③将代入方程的左边得：， ∴是方程的解， ∴点是方程的“开心点”． （2）解：联立， 解得， ∵两点是方程的“开心点”，两点是方程的“开心点”， ∴； ∵点到轴的距离为1， ∴点的纵坐标为1或， 将代入方程得：，解得， ∴此时点的坐标为，位于第二象限，不在第三象限，符合题意； 将代入方程得：，解得， ∴此时点的坐标为，位于第四象限，不在第三象限，符合题意； ∵点到轴的距离为3， ∴点的横坐标为3或， 将代入方程得：，解得， ∴此时点的坐标为，位于第一象限，不在第三象限，符合题意； 将代入方程得：，解得， ∴此时点的坐标为，位于第三象限，不符合题意，舍去； 综上，点的坐标为或，点的坐标为，点的坐标为． （3）解：，证明如下： ∵，，三点是二元一次方程的“开心点”， ∴， ②①得：，即， 由①和③得：， ∴， 又∵方程是关于的二元一次方程， ∴， ∴． 20．（25-26七年级下·福建厦门·期中）【课本再现】已知，使二元一次方程两边的值都相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解．二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解． 【解决问题】 (1)以下的值是方程的解的是：_____（填序号） ①，②，③ (2)若关于的二元一次方程的解与的取值无关，且这组解也是方程的解，求的值． 【拓展延伸】 (3)已知为实数，为正整数，关于、的方程组的解也为正整数，且此方程组的解也为方程的解，求的值． 【答案】(1)③ (2)； (3)的值为或． 【分析】（1）将或或分别代入中求解，即可判断； （2）将方程整理得：，根据题意可得，求出，，最后代入中，即可求解； （3）将方程组化简后两式相加可得，由得：，将代入得：，根据方程组有解，可得，即，，结合、、均为正整数，可求出、的值，最后代入化简后的方程组中的任意一个式子即可求解． 【详解】（1）解：当时，， 解得：， ①不是方程的解； 当时，， 解得：， ②不是方程的解； 当时，， 解得：， ③是方程的解； （2）解：将方程整理得：， 关于的二元一次方程与的取值无关， ， ，， 将，代入得： ， 解得：； （3）解：将方程组化简得：， 得：， 由得：， 将代入得：， 整理得：， 方程组有解， ，即， ， 、、均为正整数， 可取，，，，即可取，，，， 当时，，，不合题意，舍去； 当时，，，不合题意，舍去； 当时，，，将代入①得； 当时，，，将代入①得：； 综上所述，的值为或． 21．（25-26七年级下·湖南长沙·月考）规定：对于平面直角坐标系中任意一点的坐标满足，此时我们称点为“倍差点”，请回答以下相关问题． (1)以下各点：①②③中是“倍差点”的有（填序号即可）； (2)若点是“倍差点”，且点A向右平移2个单位，向下平移1个单位后得到点B，点B到y轴距离是到x轴距离的2倍，求此时点A的坐标； (3)已知“倍差点”，，关于x、y的方程组与有相同的解，求：①用含k的式子表示m和s；②若对于任意k的值，等式始终成立，求的值 【答案】(1)①③ (2)或 (3)①，② 【分析】（1）根据“倍差点”定义，逐项验证即可； （2）根据“倍差点”定义，将变形为，得到，由点B到y轴距离是到x轴距离的2倍，列绝对值方程，分区间讨论求解即可； （3）①联立解得，将公共解代入另外两个方程，并结合“倍差点”定义，可得关于的方程组求解；②将①的结论代入得，即，求出p，q，即可解答． 【详解】（1）解：当时，①是“倍差点”， 当时，②不是“倍差点”， 当时，③是“倍差点”； （2）解：∵点是“倍差点”， ∴，即， ∵点A向右平移2个单位，向下平移1个单位后得到点B， ∴， ∵点B到y轴距离是到x轴距离的2倍， ∴，即， 当时，，， 则，解得（舍去）； 当时，，， 则，解得，此时， ∴； 当时，，， 则，解得，此时， ∴； ∴点A的坐标为或 （3）解：①∵关于x、y的方程组与有相同的解， ∴联立解得 ∴， ∵，是“倍差点”， ∴，， 将，代入得，整理得， ∴解得， ②由①得， ∵， ∴， ∴， 解得， ∴． 22．（25-26七年级下·重庆·月考）阅读材料：善于思考的小语同学在解方程组时，采用了一种“整体换元”的解法．把看成一个整体，设，则原方程组可化为，解得，即，解得． (1)学以致用，模仿小语同学的“整体换元”的方法，解方程组． (2)拓展提升，已知关于x，y的方程组的解为，解方程组． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查二元一次方程组的特殊解法—“整体换元法”．读懂题干，理解题意，掌握“整体换元法”的步骤是解题关键． （1）根据题意所给材料可令，则原方程组可化为，解出x，y，代入求解即可； （2）根据题意所给材料可得出，然后利用整体代换的思想求解． 【详解】（1）解：对于， 令， 则原方程组可化为， 解得：， ∴， 解得：； （2）解：∵方程组的解是， ∴将两边同时除以3得：， ∴， 解得：． 1 / 66 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 二元一次方程组 目录 A题型建模・专项突破 题型一、二元一次方程（组）的识别 1 题型二、由二元一次方程的定义与解求参数 2 题型三、已知二元一次方程组的解求参数 3 题型四、解二元一次方程组（常考点） 4 题型五、二元一次方程组的特殊解法（难点） 8 题型六、二元一次方程组的错解问题（重点） 10 题型七、二元一次方程组的同解问题（重点） 11 题型八、二元一次方程组的遮挡求参数问题 13 题型九、二元一次方程组的整数解解问题 13 题型十、根据二元一次方程组解的其他情况求参数 15 题型十一、三元一次方程组的定义与解 16 题型十二、解三元一次方程组 18 题型十三、三元一次方程组的应用 19 B综合攻坚・能力跃升 题型一、二元一次方程（组）的识别 1．下列属于二元一次方程的是（    ） A． B． C． D． 2．下列方程：①；②；③；④．其中二元一次方程的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．已知二元一次方程，用含的代数式表示，下列正确的是（） A． B． C． D． 4．在，，，中，是二元一次方程组的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 5．已知下列方程组： ①；②；③；④ 其中，________是二元一次方程组．（填序号） 6．有四组数：①②③④其中，______是方程的解，______是方程的解，______是方程组的解（填写序号）． 题型二、由二元一次方程的定义与解求参数 7．若关于x、y的方程有一组解是，则a的值是（    ） A．29 B． C．1 D． 8．已知是关于的方程的解，则代数式的值是（    ） A． B． C． D．1 9．已知方程是二元一次方程，则和的值分别是（    ） A．1和1 B．0和1 C．1和0 D．0和0 10．如果是方程的一组解，那么代数式的值是______． 11．若方程是关于x，y的二元一次方程，则的值________． 12．已知是关于，的二元一次方程的一个解，的算术平方根为，求的平方根． 13．已知方程是关于，的二元一次方程，求，的值． 题型三、已知二元一次方程组的解求参数 14．若关于a、b二元一次方程组的解是，则的值为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 15．已知关于x、y的方程组的解满足，则m的值是______． 16．已知是关于，的方程组的解，则的值． 17．已知和都是二元一次方程的解，则是否也是方程的解？请说明理由． 18．若是关于、的二元一次方程组的解，求的值． 19．若关于x、y的二元一次方程组的解满足，求m的值？ 题型四、解二元一次方程组（常考点） 20．用代入法解下列方程组： (1) (2) 21．解方程组： (1)； (2)． 22．解二元一次方程组： (1)； (2)． 23．解二元一次方程组： (1)； (2)． 24．解方程组： (1)； (2)． 25．解下列方程组： (1) ， (2)． 26．解方程组 (1) (2) 27．解二元一次方程组： (1)； (2)． 28．解下列方程组： (1) (2) 29．解方程组： (1) (2) 30．解方程组： (1) (2) 31．解下列方程组： (1)； (2)． 32．解方程组： (1) (2) 33．解方程组： (1) (2) 34．解方程组 (1) (2) (3) (4) (5) (6) 35．解方程组： (1)； (2)． 题型五、二元一次方程组的特殊解法（难点） 36．已知方程组的解为，则方程组的解为（   ） A． B． C． D． 37．已知方程组的解是，则方程组的解是________． 38．已知方程组的解是，则方程组的解为______． 39．运用整体思想解决数学问题，有时会使我们的解题更加简便快捷．例如：已知，求的值．解：，当时，原式．请你借鉴上面的解题经验，解决下列问题： (1)若，则 _________； (2)若关于x，y的方程组的解为现有关于m，n的方程组，求代数式的值． 40．定义：二元一次方程与二元一次方程互为“反对称二元一次方程”，如二元一次方程与二元一次方程互为“反对称二元一次方程”． (1)直接写出二元一次方程的“反对称二元一次方程”：__________． (2)二元一次方程的解，又是它的“反对称二元一次方程”的解，求出m、n的值． 41．【观察思考】 第1个方程组为解为 第2个方程组为解为 第3个方程组为解为 …… 【发现规律】 （1）按照以上规律，写出第4个方程组为______，解为______． （2）写出你猜想的第个方程组______和它的解______（用含的式子表示） 【应用规律】 （3）已知方程组，且存在上面这样的方程组规律，求和的值． 题型六、二元一次方程组的错解问题（重点） 42．小多和小晓一起解方程组（a、b为常数），小多看错了上面一个方程，得到方程组的解，小晓看错了下面一个方程，得到方程组的解，则方程的解是（ ） A． B． C． D． 43．甲、乙两人解关于的方程组时，甲看错的值解得乙看错b的值解得则该方程组正确的解为______． 44．甲、乙两人同时解关于x，y的方程组，甲、乙两人都解错了，甲看错了方程①中的m，解得，乙看错了方程②中的n，解得，则原方程组的解为___________ 45．用消元法解方程组时，两位同学的解法如下： 解法一：由①-②，得…… 解法二：由②，得．③ 把①代入③，得…… (1)上述两个解法中有一个计算有误，请指出计算有误的解法并进行改正． (2)请选择一种你喜欢的解法解方程组． 46．甲、乙两人解方程组时，甲看错了方程①中的a，解得，乙看错了方程②中的b，解得． (1)求正确的a，b的值； (2)求原方程组的正确解． 47．在解关于，的方程组时，甲把方程组中的看成了，得解为，乙看错了方程组中的，得解为． (1)求正确的，，的值； (2)求原方程组的解； (3)若关于，的二元一次方程组为，直接写出方程组的解． 48．小鑫、小童两人同时解方程组时，小鑫看错了方程②中的，解得，小童看错了①中的，解得． (1)求正确的的值． (2)求原方程组的正确解． 题型七、二元一次方程组的同解问题（重点） 49．若方程组和同解，则a的值是（   ） A．2 B．3 C．4 D．不存在 50．已知关于x，y的方程组和的解相同，则的值是（    ） A． B．0 C．1 D．2 51．已知关于的方程组与方程组同解，则_____． 52．已知关于的方程组和有相同的解，则______． 53．若关于，的方程组与有相同的解，求的值． 54．若关于的方程组和方程组有相同的解，请分别求出的值． 55．已知关于，的二元一次方程组与方程组有相同的解． (1)求这两个方程组的相同解； (2)求的值． 56．已知关于、的方程组和的解相同，求的平方根． 题型八、二元一次方程组的遮挡求参数问题 57．已知二元一次方程组的解是，则*表示的方程可能是（ ） A． B． C． D． 58．若关于，的二元一次方程组的解是其中的值被盖住了，但还是可以求出的值，则的值是（    ） A．1 B．2 C． D． 59．方程组的解为，则被遮盖的前后两个数分别为（　　） A．12、5 B．13、5 C．5、12 D．5、13 60．如果方程组的解为，那么被“”遮住的数是______． 61．已知关于、的方程组的解是，其中的值不小心被滴上了墨水．求的值． 62．小颖求出方程组的解为由于不小心滴上两滴墨水，刚好遮住了方程组和解中的●，▲两个数．你能帮助她确定这两个数吗？ 题型九、二元一次方程组的整数解解问题 63．关于的方程组有正整数解，则正整数为（   ） A．1或2 B．2或5 C．1或5 D．1或2或5 64．若方程组的解是正整数，则所有满足条件的整数a的值之和是（   ） A． B． C． D． 65．已知关于，的方程组，若方程组的解中恰为整数，也为整数，则的可能值为（   ） A．0 B．1 C．3 D． 66．已知关于x，y的二元一次方程组的解均为整数，若k为正整数，则满足条件的k值个数为________． 67．已知关于x、y的方程组 (1)请写出的所有正整数解； (2)若方程组的解满足，求m的值； (3)如果方程组有正整数解，求整数m的值． 68．已知关于的方程组． (1)无论数取何值，方程总有一个固定的解，请直接写出这个解； (2)若方程组的解中恰为整数，也为整数，求的值． 69．已知关于x，y的方程组有整数解，即x，y都是整数，a是正整数，求a的值． 题型十、根据二元一次方程组解的其他情况求参数 70．已知关于，的方程组①的解，比②相应的解，正好都小．则，的值分别为（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 71．二元一次方程组的解中，x与y的值相等，则（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 72．已知关于x，y的方程组的解是自然数，则整数_________． 73．若关于的方程组的解中的值比的值的相反数大2，则的值为________． 74．二元一次方程组有可能无解．例如方程组无解，原因是将①×2，得，它与②式存在矛盾，导致原方程组无解．若关于的方程组无解，求必须满足的条件． 75．关于x，y的方程组只有唯一的一组解，那么a的取值为多少？ 76．已知关于x，y的二元一次方程组，若该方程组的解互为相反数，求的值． 题型十一、三元一次方程组的定义与解 77．下列四组数中，是方程组的解是（   ） A． B． C． D． 78．在等式中，当时，；当时，；当时，；求a，b，c的值为（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 79．三元一次方程组消去未知数z后，得到的二元一次方程组是（    ） A． B． C． D． 80．若三元一次方程组的解使，则的值是_______． 81．已知是方程组的解，则______． 82．已知的三边a，b，c满足求这个三角形的三边a，b，c的长． 83．数学活动课上，老师让大家解方程组 小明上台展示了自己的思路：“我观察后发现方程①的左边是，而方程②的括号里也是，于是我想到可以把视为一个整体，把方程①直接代入到方程②中，这样就可以将方程②直接转化为一元一次方程，从而达到“消元”的目的”． (1)请你按照小明的思路，完成解方程组的过程． (2)请你仿照上述方法，解方程组 (3)已知，则_____． 84．已知a，b，c是三个实数，表示a，b，c这三个数的平均数，表示a，b，c这三个数中最小的数．如：，；，．解决下列问题： (1)填空： _________，_________； (2)若，求x的取值范围； (3)①若，那么_________； ②根据①，可以发现结论“若，则_________”（填a，b，c的大小关系）； ③运用②解决问题：若，且满足，求的值． 题型十二、解三元一次方程组 85．解下列方程组： (1)； (2)． 86．用适当的方法解下列方程组 (1) (2) (3) 87．解三元一次方程组： 88．解方程组： 89．解方程组：． 90．解方程组：． 91．解方程组：． 题型十三、三元一次方程组的应用 92．如图，两个天平都平衡，则1个苹果的质量是1根香蕉质量的（   ） A． B． C．2倍 D．3倍 93．若是从0，，2这三个数中取值的一列数，且，，则在数中，取值为2的数有（   ）个 A．150 B．160 C．180 D．200 94．逸夫中学初三（一）班参观龙河东北抗联烈士纪念馆，学校计划用100元为20名学生购买饮料、矿泉水和奶茶，饮料每瓶4元，矿泉水每瓶3元，奶茶每瓶6元（每种都要买），在钱全部用完的情况下，有购买方案（   ） A．3种 B．4种 C．5种 D．6种 95．有、、三种货物，甲购3件，5件，1件，共200元．乙购4件，7件，1件，共250元，则丙购、、各1件，应付_____元． 96．为了检验军训成果，某学校组织了一次游戏：每位同学朝特制的靶子上各投三支飞镖，当飞镖落在同一圆（或圆环）内时得分相同．如图，小明、小君、小红的成绩分别是29分、43分和33分，则小华的成绩为________分． 97．为确保信息安全，在传输时往往需加密，发送方发出一组密码时，则接收方对应收到的密码是．双方约定：。例如：发出，则收到．当接收方对应收到一组密码是时，则发送方发出的密码是多少？ 98．有一片牧场，草每天都均匀地生长，15头牛8天可以将草吃完，12头牛12天可以将草吃完，设每头牛每天吃的草是相等， 问： (1)若有8头牛，几天可以将草吃完？ (2)要使草永远也吃不完，最多可以放牧几头牛？ 99．小红家需要购一台冰箱、一台洗衣机和一台微波炉，请你来给他们当消费顾问，帮他们做出选择． 信息一、财联社1月19日电，据“上海商务”官方公众号，上海进一步做好国家家电以旧换新补贴工作．2025年1月20日起，对购买二级能效电器给予补贴（不超过1500元），对购买一级能效电器给予的补贴（不超过2000元）（注：电器国补按每一台计算） 信息二、小红家在某商店已经看中三种商品各有两个不同型号（见左表），另有一张该商店的五一促销海报（见右表） 能效等级 标价（元） 五一优惠大促☆倡导绿色节能，“国补”不孤单☆ 活动时间：5月1日-7日 凡在本店购买电器的顾客，给您再“补一补” 国补后满6000元的再减600元 国补后满8000元的再减1000元 国补后满10000元的再减1500元 本店及所有员工为您提供最优质的服务！ 冰箱A 1级 6000 冰箱B 2级 5000 洗衣机A 1级 4000 洗衣机B 2级 2400 微波炉A 1级 900 微波炉B 2级 600 (1)5月1日前，如果在该店购置一台价值8000元的一级能效的电器，那么国补后只需要支付多少钱？ (2)小红家如果购买三种电器都选择A型号，问导购还有没有其他优惠，商店导购告诉小红，说她每卖出一台电器，都可以获得一些提成，可以把自己从小红家购买的电器所获得的提成让出当做优惠．导购她前天卖出了1台冰箱A和2台洗衣机A，获得了700元提成，昨天她卖出了1台洗衣机A和3台微波炉A，获得了500元提成，今天已经卖出了2台冰箱A和1台微波炉A，获得了700元提成．请问，导购能让给小红家多少钱的优惠？ (3)小红家如果在商店五一优惠期间购买了三种电器都选择A型号，请问，小红在享受国家补贴后，又享受了商店优惠大促，最后又得到了导购的优惠，最终小红家花了多少钱？ 1．（25-26七年级下·浙江舟山·期中）已知和是方程的两个解，则的值（   ） A．30 B．0 C．5 D．6 2．（25-26七年级下·山东潍坊·期中）若方程是关于，的二元一次方程，则的值为（    ） A． B．0 C．1 D．2 3．（25-26七年级下·北京·期中）若关于x，y的二元一次方程组的解x，y互为相反数，则的值为（   ） A． B．3 C．5 D． 4．（25-26七年级下·浙江·期中）已知关于，的方程组的解是，则关于，的方程组的解是（   ） A． B． C． D． 5．（25-26八年级上·安徽·月考）规定：关于，的两个方程与互为共轭二元一次方程，其中．由这两个方程组成的方程组叫作共轭方程组．若关于，的方程组为共轭方程组，则，的值分别为（   ） A．3， B．4，3 C．5， D．3，2 6．（25-26七年级下·浙江绍兴·期中）若关于，的二元一次方程组的解是，则关于，的二元一次方程组的解是_______ 7．（25-26七年级下·浙江杭州·期中）关于、的方程与（为整数）有相同的正整数解，则的值为____________． 8．（25-26七年级下·江苏南京·期中）若规定，若，，则的值是_____． 9．（25-26七年级下·重庆开州·期中）解方程组： (1) (2) 10．（25-26七年级下·福建厦门·期中）解下列方程组 (1)； (2)． 11．（25-26七年级下·浙江·期中）解方程组： (1) (2) 12．（25-26七年级下·山东淄博·月考）解下列方程组： (1) (2) (3) (4) 13．（25-26七年级下·四川资阳·期中）甲、乙两人共同解方程组，甲将①中的看成了它的相反数解得，乙抄错②中的解得，求的值． 14．（25-26七年级下·江苏泰州·期中）甲、乙两人同时解关于x，y的方程组，甲看错了b，求得解为，乙看错了a，求得的解为，求原方程组的解． 15．（25-26七年级下·西藏·期中）若方程组中的和互为相反数，求的值． 16．（25-26七年级下·浙江杭州·期中）方程组知识运用 (1)关于，的二元一次方程组中，与方程组的解中的或相等，则的值为； (2)试说明在关于的方程组，不论取什么实数，的值始终不变； (3)请直接写出第（）题中的方程组的正整数解为： ． 17．（25-26七年级下·山东淄博·月考）若关于的方程组和方程组有相同的解，请分别求出的值． 18．（25-26七年级下·北京·期中）定义：关于x，y的二元一次方程中的常数项与未知数系数a，b之一互换，得到的方程叫“交换系数方程”，例如：的交换系数方程为或． (1)方程与它的“交换系数方程”组成的方程组的解为__________； (2)已知关于x，y的二元一次方程的系数满足，且与它的“交换系数方程”组成的方程组的解恰好是关于x，y的二元一次方程的一个解，求代数式的值． 19．（25-26七年级下·福建厦门·期中）定义：以二元一次方程的解为坐标的点叫做这个方程的“开心点”． (1)在①；②；③三点中，是方程的“开心点”有_____________；（填序号） (2)已知A，C两点是方程的“开心点”，B，C两点是方程的“开心点”．若点到轴的距离为1，点到轴的距离为3，且A，B均不在第三象限，求A、B、C三点的坐标． (3)若，，三点是二元一次方程的“开心点”，探究m，n，p，q之间的关系，请写出结论，并完成证明． 20．（25-26七年级下·福建厦门·期中）【课本再现】已知，使二元一次方程两边的值都相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解．二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解． 【解决问题】 (1)以下的值是方程的解的是：_____（填序号） ①，②，③ (2)若关于的二元一次方程的解与的取值无关，且这组解也是方程的解，求的值． 【拓展延伸】 (3)已知为实数，为正整数，关于、的方程组的解也为正整数，且此方程组的解也为方程的解，求的值． 21．（25-26七年级下·湖南长沙·月考）规定：对于平面直角坐标系中任意一点的坐标满足，此时我们称点为“倍差点”，请回答以下相关问题． (1)以下各点：①②③中是“倍差点”的有（填序号即可）； (2)若点是“倍差点”，且点A向右平移2个单位，向下平移1个单位后得到点B，点B到y轴距离是到x轴距离的2倍，求此时点A的坐标； (3)已知“倍差点”，，关于x、y的方程组与有相同的解，求：①用含k的式子表示m和s；②若对于任意k的值，等式始终成立，求的值 22．（25-26七年级下·重庆·月考）阅读材料：善于思考的小语同学在解方程组时，采用了一种“整体换元”的解法．把看成一个整体，设，则原方程组可化为，解得，即，解得． (1)学以致用，模仿小语同学的“整体换元”的方法，解方程组． (2)拓展提升，已知关于x，y的方程组的解为，解方程组． 1 / 66 学科网（北京）股份有限公司 $