期末压轴专题05 不等式与不等式组及其应用的五类综合题型（压轴题专项训练）数学新教材人教版七年级下册

**基本信息** 聚焦不等式与不等式组五类综合题型，以“方法总结+解题技巧”构建系统性突破体系，覆盖基础解法到实际应用，培养推理能力与模型意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |解不等式（组）|1例+3变式|去分母等步骤+数轴辅助、特值检验|从基本解法到解集直观表示，夯实运算能力| |错解复原问题|1例+3变式|错解定位+代入检验、特值定位|通过错误分析深化不等式性质理解，培养批判性思维| |含参数问题|1例+3变式|解表参数+数轴分析、端点检验|结合解集条件反向构建参数关系，发展逻辑推理| |新定义型问题|1例+3变式|理解定义+举例验证、分类讨论|将新概念转化为常规不等式，提升数学抽象能力| |方程组与不等式综合应用|1例+3变式|模型转化+先定后限、列表枚举|从实际问题抽象数量关系，强化模型意识与应用能力|

期末压轴专题05 不等式与不等式组及其应用的五类综合题型 目录 典例详解 类型一、解一元一次不等式（组） 类型二、一元一次不等式（组）中错解复原问题 类型三、一元一次不等式（组）中含参数问题 类型四、一元一次不等式（组）中新定义型问题 类型五、二元一次方程组与一元一次不等式综合的实际问题 压轴专练 类型一、解一元一次不等式（组） 方法总结 1. 求不等式的解：去分母、去括号、移项、合并同类项，系数化1时注意乘除负数要变号。 2. 求不等式组的解：先分别解每个不等式，再借助数轴找各解集的公共部分（取交集）。 解题技巧 1. 数轴辅助：画数轴，将每个解集标在轴上，公共部分一目了然，避免口诀记错。 2. 特值检验：求出解集后，代入一个特殊值验证，确保不等号方向正确。 例1．（25-26八年级上·山东聊城·期末）解下列不等式或不等式组，并把它们的解集分别表示在数轴上： (1)； (2) 【答案】(1)，见解析 (2)，见解析 【分析】本题考查了解一元一次不等式，解不等式组，在数轴上表示不等式的解集，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先去分母，再去括号，移项，合并同类项，系数化为1，得出，再在数轴上表示出来，即可作答． （2）分别解出每个不等式的解集，再得出不等式组的解集，最后在数轴上表示出来，即可作答． 【详解】（1）解：∵， 去分母，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得， 这个不等式的解集在数轴上的表示如图： （2）解：， 解不等式①，得， 解不等式②，得， ∴该不等式组的解集是， 在同一数轴上分别表示不等式组的解集： 【变式1-1】（25-26八年级上·山东菏泽·期末）（1）解不等式： （2）解不等式组：，并把它的解集表示在数轴上． 【答案】（1）；（2），数轴表示见解析 【分析】本题考查了一元一次不等式和一元一次不等式组的解法，解题的关键是掌握不等式的基本性质，尤其是在去分母、系数化为1时，若两边乘（或除以）负数，不等号方向要改变； （1）先去分母，再去括号、移项、合并同类项、系数化为1； （2）分别解两个不等式，再取它们的公共解集，并在数轴上表示． 【详解】（1）解： 去分母，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得． （2）解： 解不等式 ， 去括号，得， 移项，得， 即， ∴． 解不等式 ， 去分母，得， 去括号，得， 合并同类项，得， 移项，得． ∴ 不等式组的解集为 ． 不等式组的解集在数轴上表示为： 【变式1-2】（25-26八年级上·重庆·期末）解不等式（组），并将不等式组的解集在数轴上表示出来： (1)； (2) 【答案】(1) (2)，数轴表示见解析 【分析】本题考查了解一元一次不等式和不等式组，在数轴上表示不等式组的解集，正确计算是解题的关键． （）根据解一元一次不等式的步骤解答即可求解； （）分别求出每个不等式的解集，取解集的公共部分得到不等式组的解集，再把解集在数轴上表示出来即可； 【详解】（1）解：去分母，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得； （2）解：， 解不等式①，得， 解不等式②，得， ∴不等式组的解集为， 不等式组的解集在数轴上表示如下： 【变式1-3】（25-26八年级上·陕西西安·期末）解下列不等式（组），并将其解集表示在数轴上． (1)． (2) 【答案】(1)，数轴见解析 (2)，数轴见解析 【分析】本题考查的是解一元一次不等式，以及解一元一次不等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． （1）先去分母，再去括号，移项、合并同类项，把x的系数化为1，再在数轴上表示出来即可； （2）分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集，然后在数轴上表示出来即可． 【详解】（1）解： 两边同乘3，得 展开，得 移项，得 合并，得 两边同除以，不等号方向改变，得 将其解集表示在数轴上，如图， （2）解： 解①得 解②得 ∴不等式组的解集为 ， 将其解集表示在数轴上，如图， 类型二、一元一次不等式（组）中错解复原问题 方法总结 1. 错解定位：对比错误解集与正确步骤，找出具体出错点（去分母漏乘、移项忘变号、系数化1忘反向）。 2. 修正还原：根据错误位置，按不等式性质反向推导，恢复正确系数与不等号方向。 解题技巧 1. 代入检验：将错误解集中某值代入原不等式，快速判断不等号方向是否矛盾。 2. 特值定位：取错误解边界值与正确解边界值分别代入变形过程，对比找出系数符号错误点。 例2．（24-25七年级下·山西长治·期末）解决下列问题： (1)下面是课堂上某同学的解不等式的过程，请认真阅读并完成相应任务． 问题：解不等式 过程如下： 解：去分母，得．第一步 去括号，得．第二步 移项，得．第三步 合并同类项得，．第四步 两边都除以，得．第五步 任务一：填空： ①以上求解过程中，去分母的依据是______； ②以上求解过程中，从第______步开始处出现错误； 任务二：请直接写出该不等式的正确解集：______； 任务三：除纠正上述错误外，请你根据平时学习经验，就在解不等式时还需要注意的事项给其他同学提一条建议； (2)解不等式组并把它的解集在数轴上表示出来． 【答案】(1)任务一：①不等式的性质2∶不等式的两边乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；②一；任务二：；任务三：在解一元一次不等式时，不等式两边乘以或除以同一个负数，不等号的方向改变（答案不唯一）； (2)；数轴见解析． 【分析】（1）任务一根据不等式的性质即可得出答案； 根据题干中的解题步骤进行判断即可； 任务二：将错误之处改正并解不等式即可； 任务三：根据解不等式需要注意的细节写出一条即可； （2）解各不等式得出对应的解集后再求得它们的公共部分，然后在数轴上表示出其解集即可． 【详解】（1）解：任务一由解题过程可得去分母的依据是不等式的性质2：不等式的两边乘以或除以同一个正数，不等号的方向不变， 故答案为：不等式的性质2：不等式的两边乘以或除以同一个正数，不等号的方向不变； 由解题步骤可得从第一步开始出错； 任务二：原不等式去分母得， 去括号得， 移项得， 合并同类项得， 两边都除以得； 任务三：在解一元一次不等式时，不等式两边乘以或除以同一个负数，不等号的方向改变； （2）解不等式得， 解不等式得， 故原不等式组的解集为， 在数轴上表示其解集如下图所示： ． 【变式2-1】（24-25七年级下·江苏泰州·期末）下面是小年同学解不等式的过程，请认真阅读并帮助小年完成相应任务． 解不等式． 解：，第一步 ，第二步 ，第三步 ，第四步 第五步 任务一： 以上解题过程中，第一步是依据______进行变形的； 该题第______步出现错误，错误的原因是______； 任务二：请你根据平时的学习经验，就解不等式给其他同学提一条建议． 【答案】任务一：①不等式的基本性质；② 五 ，不等式两边同时除以一个负数，不等号的方向没改变；任务二：不等式两边同时除以一个负数，不等号要变号（答案不唯一） 【分析】本题主要考查解一元一次不等式的基本能力，严格遵循解不等式的基本步骤是关键，尤其需要注意不等式两边都乘以或除以同一个负数不等号方向要改变． 任务一：根据不等式的基本性质求解即可； 任务二：答案不唯一，合理即可． 【详解】解：任务一：以上解题过程中，第一步是依据不等式的基本性质进行变形的； 该题第五步出现错误，错误的原因是不等式两边同时除以一个负数，不等号的方向没改变， 故答案为：不等式的基本性质；五，不等式两边同时除以一个负数，不等号没变号； 任务二：解一元一次不等式时严格遵循解不等式的基本步骤是关键，尤其需要注意不等式两边都乘以或除以同一个负数不等号方向要改变． 【变式2-2】（24-25八年级下·河南郑州·期末）下面是某同学解不等式组的部分解答过程，请阅读并完成相应的任务． 解：…… 由不等式②得，．    第一步 移项，得．    第二步 合并同类项得，    第三步 所以：        第四步 (1)任务一：小明的解答过程中，第一步的依据是 ，第 步开始出现错误，错误的原因是 ． (2)任务二：请你求出这个不等式组正确的解集． 【答案】(1)不等式的基本性质2，四，化系数为1时没有变号 (2)见解析 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，熟练掌握解一元一次不等式组的步骤是解题的关键． （1）根据解一元一次不等式的步骤结合不等式的性质判断即可 （2）分别求每一个不等式的解集，再取解集的公共部分即可． 【详解】（1）解：小明的解答过程中，第一步的依据是不等式的基本性质2，第四步开始出现错误，错误的原因是化系数为1时没有变号， 故答案为：不等式的基本性质2，四，化系数为1时没有变号； （2）解： 由①得：； 由②得：， ∴原不等式组的解集为：． 【变式2-3】（24-25七年级下·湖北随州·期末）请观察框内解不等式的过程，回答下列问题： 解不等式 解：第一步 第二步 第三步 第四步 第五步 (1)第______步出现错误，错误的原因是______； (2)该不等式的正确解集为：______， 在下面的数轴上表示这个解集； (3)直接写出不等式组的解集． 【答案】(1)五，不等式两边除以时，不等号的方向没改变 (2)，画图见解析 (3) 【分析】本题考查解一元一次不等式、一元一次不等式组的解法，理解题意，正确求解是解答的关键． （1）根据不等式的性质判断求解即可； （2）根据不等式的性质可得解集，再画图即可； （3）先分别求解两个不等式的解集，再确定解集的公共部分即可． 【详解】（1）解：∵第五步中，不等式两边都除以，不等式的方向没有改变， ∴第五步出现错误；错误原因是：不等式的方向没有改变； （2）解：该不等式的正确解集为； 在数轴上表示其解集如下： ； （3）解：， 由①得：， 由②得：， ∴不等式组的解集为：. 类型三、一元一次不等式（组）中含参数问题 方法总结 1. 解表参数：将不等式（组）的解集用含参数的代数式表示。 2. 条件转化：根据已知解集、整数解或无解等条件，建立关于参数的不等式（组）求解。 解题技巧 1. 数轴分析：在数轴上标出解集范围，反向推断参数的边界，直观建立不等关系。 2. 端点检验：参数范围的端点值需单独代入验证，检查是否恰好满足条件（如整数解个数）。 例3．（24-25七年级下·黑龙江大庆·期末）关于的不等式组，若其整数解只有2个，则的取值范围是_____． 【答案】 【分析】本题考查了解一元一次不等式组和一元一次不等式组的整数解，先求出不等式的解集，再根据求出不等式组解集的规律求出不等式组的解集，最后根据不等式组的整数解得出答案即可． 【详解】解：， 由①得， 由②得 ∴不等式组的解集为：， 整数解只有2个，所以整数解是1，2 ， ． 故答案为：． 【变式3-1】（24-25七年级下·云南丽江·期末）若关于x的不等式组的解集为，则a的取值范围是______． 【答案】 【分析】本题主要考查解一元一次不等式组，解答的关键是明确“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则． 用含a的式子表示出不等式的解，结合条件进行求解即可． 【详解】解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， 不等式组的解集是， ． 故答案为：． 【变式3-2】（24-25七年级下·江苏泰州·期末）关于x，y的方程组的解满足不等式，则m的取值范围是______． 【答案】 【分析】本题考查了解二元一次方程组，一元一次不等式的解集问题． 求出，根据计算即可． 【详解】解： 得：， 即， ∵， ∴， 解得：， 故答案为：． 【变式3-3】（24-25七年级下·江西新余·期末）若关于x的不等式有且只有3个整数解，且关于x，y方程组的解为整数，则满足条件的整数a的值为______． 【答案】4或1或0 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，解二元一次方程组．根据不等式组求出的范围，然后根据关于的方程组的解为整数，列式计算，据此求解即可． 【详解】解：， 解不等式得，， 解不等式得，， 不等式组只有3个整数解， ∴， ∴， 解方程组， 得：，解得， 将代入④得：，解得 方程组的解为：， ∵， ∴， 关于的方程组的解为整数， 或或或或或， 或或或或， 当时，不是整数，不符合题意； 当时，是整数，符合题意； 当时，不是整数，不符合题意； 当时，是整数，符合题意； 当时，是整数，符合题意； 所有满足条件的整数的值为4或1或0， 故答案为：4或1或0． 类型四、一元一次不等式（组）中新定义型问题 方法总结 1. 理解定义：准确理解新定义的运算规则或新概念（如“最大值函数”），将其转化为数学关系。 2. 转化为常规：根据新定义，将问题转化为常规的一元一次不等式（组）求解。 解题技巧 1. 举例验证：用简单数值代入新定义试算，理解本质后再进行转化。 2. 分类讨论：新定义常涉及比较大小或分段情况，需按不同条件分类讨论，再取并集。 例4．（24-25七年级下·湖南长沙·期末）定义运算：．已知，． (1)直接写出： ， ； (2)若关于的不等式组无解，求的取值范围； (3)若的解集为，求不等式：的解集． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】本题考查二元一次方程组的解法、一元一次不等式的解法和一元一次不等式组的解法． （1）根据定义的新运算，列出二元一次方程组，解方程组可求出，的值； （2）根据（1）求出的，的值和新运算列出一元一次不等式组，解不等式组并根据不等式组解集的情况可求出的取值范围； （3）根据（1）求出的，的值和新运算列出一元一次不等式，根据解集为可得出与的数量关系；再根据，的值和新运算列出一元一次不等式求解即可． 【详解】（1）解：把，代入， 得：， 解得：； 故答案为：，； （2）根据题意得； 解得： ∵关于的不等式组无解， ∴； （3）根据题意得， 整理得：， 此不等式解集为， ，且， 整理得：， 所求不等式化简得：，即， 把代入得： ，解得：， ∴ 解得：． 【变式4-1】（25-26八年级上·陕西西安·期末）定义一种新运算“”：当时，；当时，．例如：，． (1)若，则的取值范围是________． (2)已知，求的取值范围． 【答案】(1) (2)的取值范围是 【分析】本题考查了新定义运算与一元一次不等式（组）的综合应用． （1）由等式右边运算形式确定，解不等式； （2）分和两种情况，分别用对应公式列不等式，即可求解． 【详解】（1）解：， ， 解得， 故答案为：； （2）解：当，即时，， 解得，即， 故； 当，即时，， 解得，，无解； 综上，， 答：的取值范围是． 【变式4-2】（25-26八年级上·山东聊城·期末）阅读理解： 定义：使方程（组）与不等式（组）同时成立的未知数的值称为此方程（组）和不等式（组）的“理想解”．例如，已知方程与不等式，当时，，同时成立，则称“”是方程与不等式的“理想解”． 问题解决： (1)请判断方程的解是此方程与以下哪些不等式（组）的“理想解”：_____（直接填写序号； ①；②；③ (2)若是方程组与不等式的“理想解”，求的取值范围； (3)若关于，的方程组与不等式的“理想解”均为正数（即“理想解”中的，均为正数），直接写出的取值范围． 【答案】(1)②③ (2) (3) 【分析】（1）先解方程，再求出各个不等式（组）的解集，然后根据其解集进行判断即可； （2）解方程组求出，，再代入不等式，求出的取值范围； （3）解方程组，用含有的代数式表示，，再根据已知条件列出不等式组，解不等式组求出的取值范围即可． 【详解】（1）解：， 解得：， ①， 解得：， ∴不是此不等式的解； ②， 解得：， ∴是此不等式的解； ③， 解得：， ∴是此不等式组的解； ∴方程的解是此方程与②③的“理想解”， 故答案为：②③； （2）解：∵是方程组与不等式的“理想解”， ∴，， 解方程组，得：， ∴， ∴， 即的取值范围为； （3）解：解方程组，得：， ∵关于，的方程组与不等式的“理想解”均为正数（即“理想解”中的，均为正数）， ∴， 解不等式①，得：， 解不等式②，得：， 解不等式③，得：， ∴不等式组的解集为， 即的取值范围． 【变式4-3】（25-26八年级上·浙江绍兴·期末）若一个不等式组有解且解集为，则称为的“绝对距离”，若的绝对距离是不等式组的解，则称不等式组对于不等式组“绝对包含”． (1)已知关于的不等式组以及不等式组，判断不等式组是否对于不等式组绝对包含，并写出判断过程． (2)已知关于的不等式组和关于的不等式组，若不等式组对于不等式组绝对包含，当时，求满足条件的所有整数的和． (3)已知关于的不等式组以及不等式组，且不等式组对于不等式组绝对包含，求的取值范围． 【答案】(1)不等式组对于不等式组绝对包含，理由见解析； (2)； (3) 【分析】本题考查一元一次不等式组的解法及新定义的应用，关键是理解新定义，将问题转化为不等式组的解集及解的判断问题． （1）先求解不等式组的解集，计算其绝对距离，再判断该绝对距离是否属于不等式组的解集即可； （2）先确定不等式组的绝对距离，求解不等式组的解集，根据“绝对包含”的定义列出关于和的不等式，结合的取值范围确定整数的取值，最后求和； （3）分别求解不等式组和的解集，计算的绝对距离，根据“绝对包含”的定义列出关于的不等式组，结合不等式组有解的条件确定的取值范围． 【详解】（1）解：解不等式组：，得， 其绝对距离为； 不等式组的解集为，且，即3是不等式组的解， 不等式组B对于不等式组绝对包含； （2）解：不等式组：有解， ，其绝对距离为； 解不等式组，得； 不等式组D对于不等式组绝对包含， 是的解，即， 由不等式①得， 解得：， ， ，此条件与不等式组C有解的条件一致， 由不等式②得； 又，且， 整数的取值为； 这些整数的和为； （3）解：解不等式组：，得， 不等式组有解， ，解得， 其绝对距离为； 解不等式组：，<x<， 不等式组有解， ，解得，该条件在时自动满足； 不等式组对于不等式组绝对包含， 是的解，即，解得， 结合， 的取值范围为. 类型五、二元一次方程组与一元一次不等式综合的实际问题 方法总结 1. 模型转化：先据题意列方程组解出基本量，再据不等关系列出不等式，确定参数范围。 2. 方案决策：结合解集的实际意义（取整、非负），筛选可行方案并求最值。 解题技巧 1. 先定后限：先解方程组用参数表示解，再代入不等关系，避免重复列式。 2. 列表枚举：方案有限时，枚举整数解并逐一验证，优于解不等式组。 例5．（24-25七年级下·山西长治·期末）根据年山西中考体育新政策，体育统一测试环节分值提高为分，增加了专项运动技能测试，分值为分．学生可选择足球、篮球、排球其中项专项运动技能进行测试，各市可根据实际情况增设难度相近的选测项目为了训练，某中学决定购买一定数量的篮球和足球供学生使用．已知购买个篮球和个足球需花费元，购买个篮球和个足球需花费元． (1)购买一个篮球和一个足球各需花费多少元？ (2)如果学校购买篮球和足球的总费用不超过元，且购买篮球和足球共个，那么最多可以购买多少个篮球？ 【答案】(1)购买一个篮球需花费元，购买一个足球需花费元； (2)最多可以购买个篮球． 【分析】设购买一个篮球需花费元，购买一个足球需花费元，根据购买个篮球和个足球需花费元，购买个篮球和个足球需花费元，列出二元一次方程组，解方程组即可； （2）设购买个篮球，则购买足球个，根据学校购买篮球和足球的总费用不超过元，列出一元一次不等式，解不等式即可． 【详解】（1）解：设购买一个篮球需花费元，购买一个足球需花费元， 依题意得， 解得， 答：购买一个篮球需花费元，购买一个足球需花费元． （2）解：设购买个篮球，则购买足球个， 依题意得， 解得：， 答：最多可以购买个篮球． 【变式5-1】（25-26八年级上·河南周口·期末）为了提高学生的阅读能力，学校开展了“书香校园”活动，计划购买一批图书．已知购买本科技类图书和本文学类图书共需元；购买本科技类图书和本文学类图书共需元． (1)求每本科技类图书和每本文学类图书的价格； (2)学校决定购买科技类图书和文学类图书共本，且购买总费用不超过元，求最多可以购买科技类图书多少本． 【答案】(1)每本科技类图书元，每本文学类图书元 (2)本 【分析】（）设每本科技类图书元，每本文学类图书元，根据题意列出方程组解答即可求解； （）设购买科技类图书本，则购买文学类图书本，根据题意列出不等式解答即可求解； 本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用，理解题意是解题的关键． 【详解】（1）解：设每本科技类图书元，每本文学类图书元， 由题意得，， 解得， 答：每本科技类图书元，每本文学类图书元； （2）解：设购买科技类图书本，则购买文学类图书本， 由题意得，， 解得， ∵为整数， ∴的最大值为， 答：最多可以购买科技类图书本． 【变式5-2】（25-26八年级上·陕西西安·期末）为培育学生的劳动意识和劳动精神，落实“五育并举”，某校组织学生参加劳动实践，计划组织学生参加种植甲、乙两种作物．如果种植2亩甲作物和3亩乙作物需要28名学生，种植2亩甲作物和4亩乙作物需要34名学生． (1)种植1亩甲作物和1亩乙作物分别需要多少名学生？ (2)种植甲、乙两种作物共10亩，所需学生人数不超过53人，至少种植甲作物多少亩？ 【答案】(1)种植1亩甲作物需要5名学生，种植1亩乙作物需要6名学生 (2)至少种植甲作物7亩 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用及一元一次不等式的应用． （1）先设种植1亩甲作物和1亩乙作物分别需要x、y名学生，列出方程组并求解即可； （2）先设种植甲作物a亩，则种植乙作物亩，列出不等式并求解不等式，从而确定a的最小值． 【详解】（1）解：设种植1亩甲作物和1亩乙作物分别需要x、y名学生， 根据题意，得， 解得， 即种植1亩甲作物需要5名学生，种植1亩乙作物需要6名学生． （2）解：设种植甲作物a亩，则种植乙作物亩， 根据题意，得， 解得， 即至少种植甲作物7亩． 【变式5-3】（25-26七年级上·北京海淀·期末）围棋，起源于中国，古代称为“弈”，是棋类鼻祖，距今已有多年的历史．某商家销售、两种材质的围棋，每套进价分别为元、元，如表是近两个月的销售情况： 销售时段 销售数量 销售收入 种材质 种材质 第一个月 套 套 元 第二个月 套 套 元 (1)求、两种材质的围棋每套的售价． (2)若商家准备用不多于元的金额再采购、两种材质的围棋共套，求种材质的围棋最多能采购多少套？ (3)在（2）的条件下，商店销售完这套围棋能否实现利润为元的目标？请说明理由． 【答案】(1)种材质的围棋每套的售价为元，种材质的围棋每套的售价为元 (2)最多能采购套 (3)不能，理由见解析 【分析】本题考查了一元一次方程的应用以及一元一次不等式的应用，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式（或一元一次方程）是解题的关键． （1）设种材质的围棋每套的售价为元，则种材质的围棋每套的售价为元，根据第二个月的销售情况，可列出关于的一元一次方程，解之可得出的值（即种材质的围棋每套的售价），再将其代入中，即可求出种材质的围棋每套的售价； （2）设采购种材质的围棋套，则采购种材质的围棋套，利用总价单价数量，结合总价不超过元，可列出关于的一元一次不等式，解之取其中的最大值，即可得出结论； （3）假设能实现，利用总利润每套种材质的围棋的销售利润购进种材质的围棋的数量每套种材质的围棋的销售利润购进种材质的围棋的数量，可列出关于的一元一次方程，解之可得出的值，再结合，可得出不符合题意，进而可得出假设不成立，即在（2）的条件下，商店销售完这套围棋不能实现利润为元的目标． 【详解】（1）解：设种材质的围棋每套的售价为元，则种材质的围棋每套的售价为元， 根据题意得：， 解得：， （元． 答：种材质的围棋每套的售价为元，种材质的围棋每套的售价为元； （2）解：设采购种材质的围棋套，则采购种材质的围棋套， 根据题意得：， 解得：， 的最大值为． 答：种材质的围棋最多能采购套； （3）解：在（2）的条件下，商店销售完这套围棋不能实现利润为元的目标，理由如下： 假设能实现，根据题意得：， 解得：， 又， 不符合题意， 假设不成立，即在（2）的条件下，商店销售完这套围棋不能实现利润为元的目标． 一、单选题 1．（25-26八年级上·浙江台州·期末）已知平面直角坐标系中有一点，无论m取何值，点P不可能在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【分析】本题主要考查了直角坐标系内各象限的点坐标的特征、不等式组的应用等知识点，掌握各象限点的坐标特征是解题的关键． 根据各象限内点的坐标特征，列不等式组判断是否存在满足条件的m，即可确定点P不可能在的象限． 【详解】解：当点P在第一象限，则，解得：，即点P可能在第一象限； 当点P在第二象限，则，该不等式组无解，故点P不可能在第二象限； 当点P在第三象限，则，解得：，故点P可能在第三象限； 当点P在第四象限，则，解得：，故点P可能在第四象限． 故选B． 2．（25-26八年级上·陕西西安·期末）若关于的不等式组无解，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查解一元一次不等式组，解题的关键是熟练掌握解一元一次不等式组的方法． 先解两个不等式，再依据不等式组无解可以得出a的取值范围． 【详解】解：∵不等式组为， 解不等式①，得 解不等式②，， ∵关于的不等式组无解， ∴时， 解得． ∴不等式组无解时，． 故选：A． 3．（25-26八年级上·浙江宁波·期末）已知点在第四象限，且点到两坐标轴的距离相等，那么的值为（    ） A． B．或 C． D．或 【答案】C 【分析】结合第四象限点的坐标特征（横坐标为正、纵坐标为负），以及点到两坐标轴距离相等的条件（横、纵坐标的绝对值相等），列不等式组与方程求解的值，同时验证解的合理性． 【详解】解：点在第四象限， ， 解不等式组得， 点到两坐标轴的距离相等， ， 又，， ， 即， 移项得， 解得， ，符合条件， 的值为． 故选：． 4．（25-26八年级上·浙江台州·期末）定义：符号，例如：．若关于的不等式组，恰好有4个整数解，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了新定义运算，求不等式组的解集，先根据新定义将不等式组转化为常规一元一次不等式组，求解解集后，结合恰好有4个整数解的条件，确定k的取值范围即可． 【详解】解：∵定义， ∴第一个不等式转化为：， 化简得：， 即， ， 第二个不等式转化为：， 化简得：， ， ， 则不等式组的解集为， ∵不等式组恰好有4个整数解，整数解为，0，1，2， ， 不等式两边同乘7得： 解得：． 故选：B． 二、填空题 5．（25-26八年级上·福建三明·期末）若是方程的解，，是正整数，则的最小值是______． 【答案】 【分析】本题考查二元一次方程的解及一元一次不等式的求解，核心是利用方程的解得到与的数量关系，再结合正整数的约束条件求的最小值．先将方程的解代入方程，得到的关系式；再将转化为关于的代数式；最后根据的正整数取值范围，确定使最小的值，进而求出结果． 【详解】解：∵是方程的解， ∴，即． ∴， ∵，是正整数， ∴，解得， 又为正整数， ∴的取值为． ∴要使最小，需取最大值， 当时，，满足正整数条件，此时； 故答案为：． 6．（25-26八年级上·浙江宁波·期末）已知，则关于的不等式组的所有整数解的积是________． 【答案】 【分析】本题考查的知识点是求不等式组的整数解，解题关键是熟练掌握一元一次不等式组的解法． 先求出不等式组的解集，结合的取值范围找到所有整数解并求积即可． 【详解】解：由可得， ， 不等式组的解为，所有整数解为、、， 故所有整数解的积是． 故答案为：． 7．（25-26八年级上·浙江台州·期末）按照如下程序操作，规定：从“输入一个值”到“结果是否大于83”为一次程序操作．如果结果得到的数小于或等于83，则用得到的这个数进行下一次操作．如果程序操作执行两次才停止，则输入的的取值范围是_____． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元一次不等式组的应用， 先根据程序图的操作过程得出不等式组，再求出不等式组的解集． 【详解】解：根据题意，得 ， 解得． 故答案为：． 8．（24-25七年级下·辽宁营口·期末）如果一元一次方程的解也是一元一次不等式组的解，那么称该一元一次方程为该不等式组的关联方程．例如：方程的解为，不等式组的解集为，因为，所以方程为不等式组的关联方程．若方程与都是关于的不等式组的关联方程，则的取值范围是______． 【答案】 【分析】本题考查了解一元一次方程，解一元一次不等式组，先求出方程和不等式组的解集，再根据关联方程的定义列出不等式组，解不等式组即可求解，理解新定义是解题的关键． 【详解】解：解方程，得， 解方程，得， 解不等式组，得， ∵方程与都是关于的不等式组的关联方程， ∴， 解得， 故答案为：． 三、解答题 9．（25-26八年级上·浙江金华·期末）解不等式（组）： (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，解一元一次不等式，在熟练掌握解一元一次不等式的步骤和确定不等式组解集的原则：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小无处找是解题的关键． （1）按照去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤，进行计算即可解答； （2）先分别求出不等式组每一个不等式的解集，再确定不等式的公共解集的步骤，进行计算即可解答． 【详解】（1）解：， 去括号得， 移项合并得， 解得； （2）解：， 解不等式得：， 解不等式得：， ∴． 10．（24-25七年级下·四川乐山·期末）已知关于、的方程组 (1)若，求这个方程组的解； (2)若该方程组的解满足、均为正数，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组和一元一次不等式组，熟练掌握解二元一次方程组的一般方法，是解题的关键． （1）将m看作已知数，x、y看作未知数解方程组，得出，然后将代入得出方程组的解即可； （2）根据方程组的解为且该方程组的解满足、均为正数，列出不等式组，解不等式组即可． 【详解】（1）解：由方程组得：， 把代入得：； （2）解：∵方程组的解为， 又、均为正数， ， 解不等式组得：． 11．（25-26八年级上·河南周口·期末）为响应“绿色出行”号召，某社区计划在小区内安装共享单车停放点．若购买A型停放架3个和B型停放架2个，共需1100元；购买A型停放架2个和B型停放架3个，共需1050元． (1)求每个A型停放架和B型停放架的单价； (2)该社区准备购买A、B两种型号的停放架共15个，且购买总费用不超过3000元，求最多可以购买A型停放架多少个． 【答案】(1)每个A型停放架的单价为240元，每个B型停放架的单价为190元； (2)最多可以购买A型停放架3个． 【分析】此题考查了二元一次方程组和一元一次不等式的应用． （1）设每个A型停放架的单价为x元，每个B型停放架的单价为y元．购买A型停放架3个和B型停放架2个，共需1100元；购买A型停放架2个和B型停放架3个，共需1050元．据此列出方程组并解方程组即可； （2）设购买A型停放架m个，则购买B型停放架个．购买总费用不超过3000元，据此列出一元一次不等式并解不等式即可得到答案． 【详解】（1）解：设每个A型停放架的单价为x元，每个B型停放架的单价为y元． 根据题意，得方程组： 解得： 答：每个A型停放架的单价为240元，每个B型停放架的单价为190元． （2）解：设购买A型停放架m个，则购买B型停放架个． 根据题意，得不等式： 化简： 解得 答：最多可以购买A型停放架3个． 12．（24-25七年级下·云南临沧·期末）若不等式（组）有（为自然数）个正整数解，则称这个不等式（组）为阶不等式（组）．例如：有2个正整数解，则称它为2阶不等式；有3个正整数解，则称它为3阶不等式组，特殊地，如，有0个正整数解，则称它为0阶不等式． (1)判断：是几阶不等式？是几阶不等式组？ (2)已知关于的不等式组是4阶不等式组，求的取值范围． 【答案】(1)4阶，2阶 (2) 【分析】本题考查了一元一次不等式组的整数解，不等式的定义，理解新定义是解答关键. （1）根据题目中的新定义，求出正整数解，再进行求解； （2）先求出不等式的解集，再利用4阶不等式组的定义来求解. 【详解】（1）解：， 解得， 即不等式的正整数解为， 是4阶不等式； 解得， 它有正整数解为， 它是2阶不等式组； （2）解：解不等式组得. 不等式组是4阶不等式组， 有4个正整数解，为1，2，3，4， ， 解得. 13．（24-25七年级下·陕西渭南·期末）新定义，若一元一次方程的解在一元一次不等式组解集范围内，则称该一元一次方程为该不等式组的“相依方程”，例如：方程的解为，而不等式组的解集为，不难发现在的范围内，所以方程是不等式组的“相依方程”． (1)在方程①；②；③中，不等式组的“相依方程”是________（填序号）． (2)若关于的方程是关于的不等式组的“相依方程”，且此时不等式组有5个整数解，试求的取值范围． 【答案】(1)①； (2) 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，解一元一次方程，理解材料中的不等式组的“相依方程”是解题的关键． （1）先求出方程的解和不等式组的解集，再判断即可； （2）先解不等式组可得 再根据此时不等式组有5个整数解，令整数的值为：再求解 而为整数，则 可得 再解方程可得 可得 解得 综合两个条件求交集，可得最终答案． 【详解】（1）① 去括号得， 移项，合并同类项得， 系数化为1得，； ② 移项得， 系数化为1得，； ③ 移项得， 系数化为1得，； 解不等式①得，； 解不等式②得，； ∴不等式组的解集为， ∵在范围内， ∴不等式组的“相依方程”是①， 故答案为：①； （2）解： 由①得： 由②得： ∴不等式组的解集为： 此时不等式组有5个整数解， 令整数的值为： ∴ 则 解得： 而为整数，则 因为， 解得： 根据“相依方程”的含义可得： 解可得： 而恒成立， 所以不等式组的解集为： 综上： 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 期末压轴专题05不等式与不等式组及其应用的五 类综合题型 目录 典例详解 类型一、解一元一次不等式（组） 类型二、一元一次不等式（组）中错解复原问题 类型三、一元一次不等式（组）中含参数问题 类型四、一元一次不等式（组)中新定义型问题 类型五、二元一次方程组与一元一次不等式综合的实际问题 压轴专练 典例详解 类型一、解一元一次不等式（组） 方法总结 1.求不等式的解：去分母、去括号、移项、合并同类项，系数化1时注意乘除负数要变号。 2.求不等式组的解：先分别解每个不等式，再借助数轴找各解集的公共部分（取交集）。 解题技巧 1.数轴辅助：画数轴，将每个解集标在轴上，公共部分一目了然，避免口诀记错。 2.特值检验：求出解集后，代入一个特殊值验证，确保不等号方向正确。 例1，(25-26八年级上山东聊城期末)解下列不等式或不等式组，并把它们的解集分别表示在数轴上： -2,+1-1 (1)3 2 [x+5≥4x-1 (2)2x>1-x 1/12 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【变式1-1】 -1≥2-y+2 (25-26八年级上山东菏泽期末)(1)解不等式：2 5 2x-7<3(x-1) (2)解不等式组： 红+)x,并把它的解集表示在数轴 【变式1-2】(25-26八年级上·重庆·期末)解不等式（组），并将不等式组的解集在数轴上表示出来： (1)2x 5x+1≤4： 3 3(x-1)≤5x+1 x3x+1 2)3<12 3210123→ 【变式1-3】(25-26八年级上陕西西安·期末)解下列不等式（组），并将其解集表示在数轴上. 2X<2x-1) (1) x-3(x-2)<8 (2)1 类型二、一元一次不等式（组）中错解复原问题 方法总结 1.错解定位：对比错误解集与正确步骤，找出具体出错点（去分母漏乘、移项忘变号、系数化1忘反 向)。 2.修正还原：根据错误位置，按不等式性质反向推导，恢复正确系数与不等号方向。 解题技巧 1.代入检验：将错误解集中某值代入原不等式，快速判断不等号方向是否矛盾。 2.特值定位：取错误解边界值与正确解边界值分别代入变形过程，对比找出系数符号错误点。 例2.(24-25七年级下·山西长治期末)解决下列问题： ()下面是课堂上某同学的解不等式的过程，请认真阅读并完成相应任务. 2/12 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 月腿：架不等式生 5 过程如下： 解：去分母， 1-5x+1)26x-0.第一步 去括号，得1-5x-5≤2x-2.第二步 移项，得-5x-2x≤-2-1+5.第三步 合并同类项得，-7x≤2.第四步 两边都除以_，得x≤-.第五 任务一：填空： ①以上求解过程中，去分母的依据是 ②以上求解过程中，从第 步开始处出现错误； 任务二：请直接写出该不等式的正确解集： 任务三：除纠正上述错误外，请你根据平时学习经验，就在解不等式时还需要注意的事项给其他同学提一 条建议： 5x<1+4x① ②)解不等式组1-x≤x+4②并把它的解集在数轴上表示出来. 2 3 【变式2-1】(24-25七年级下·江苏泰州期末)下面是小年同学解不等式的过程，请认真阅读并帮助小年 完成相应任务， 解不等式1-+62x+1 2 3· 解： 6-3(x+6)<2(2x+),“第一步 6-3x-18<4x+2,…第二步 -3x-4x<2+18-6,…第三步 -7x<14,…第四步 x<-2.…第五步 任务一： ① 以上解题过程中，第一步是依据 进行变形的： 3/12 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ② 该题第步出现错误，错误的原因是 任务二：请你根据平时的学习经验，就解不等式给其他同学提一条建议。 3(x+1)>8-x① 【变式2-2】(24-25八年级下河南郑州期末)下面是某同学解不等式组x+3 2≤x② 的部分解答过 2 程，请阅读并完成相应的任务. 解：… 由不等式②得，x+3≤2x.第一步 移项，得x-2x≤-3.第二步 合并同类项得，-x≤-3 第三步 所以：x≤3 第四步 ()任务一：小明的解答过程中，第一步的依据是_，第_步开始出现错误，错误的原因是_· (2)任务二：请你求出这个不等式组正确的解集. 【变式2-3】(24-25七年级下·湖北随州期末)请观察框内解不等式的过程，回答下列问题： 2x-1、3x-2-1 解不等式3 2 解： 2(2x-)>3(6x-2)6第一步 4x-2>9x-6-6第二步 4x-9x>-6-6+2第三步 -5x>-10第四步 x>2第五步 (1)第 步出现错误，错误的原因是； (2)该不等式的正确解集为： 在下面的数轴上表示这个解集： 101234 2x-13x-2-1 (3)直接写出不等式组 32 的解集。 2x+3≥x+2 4/12 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 类型三、一元一次不等式（组）中含参数问题 方法总结 1.解表参数：将不等式（组）的解集用含参数的代数式表示。 2.条件转化：根据已知解集、整数解或无解等条件，建立关于参数的不等式（组）求解。 解题技巧 1. 数轴分析：在数轴上标出解集范围，反向推断参数的边界，直观建立不等关系。 2.端点检验：参数范围的端点值需单独代入验证，检查是否恰好满足条件（如整数解个数）。 x-m+12≥x 3 例3.(24-25七年级下黑龙江大庆期末)关于的不等式组-2x<2x+1-1' 若其整数解只有2个，则 2 3 m的取值范围是一· 5x<3x+2a 【变式3-1】(24-25七年级下云南丽江·期末)若关于x的不等式组4(x-1)<3x-1的解集为x<3,则a 的取值范围是 4x-y=6 【变式3-2】(24-25七年级下·江苏泰州期末)关于x,y的方程组x+2y=m的解满足不等式x-y<5, 则m的取值范围是 4-2(x-1)23-x 【变式3-3】(24-25七年级下江西新余期末)若关于x的不等式9x-a>0 有且只有3个整数解， ax-4y=0 且关于x,y方程组x+2y=6的解为整数，则满足条件的整数a的值为。 类型四、一元一次不等式（组）中新定义型问题 方法总结 5/12 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 1.理解定义：准确理解新定义的运算规则或新概念（如“最大值函数”），将其转化为数学关系。 2.转化为常规：根据新定义，将问题转化为常规的一元一次不等式（组）求解。 解题技巧 1.举例验证：用简单数值代入新定义试算，理解本质后再进行转化。 2.分类讨论：新定义常涉及比较大小或分段情况，需按不同条件分类讨论，再取并集。 例4.(24-25七年级下湖南长沙期未)定义运算：(x)=+伽.已知 f(3,2)=7f(4,3)=10 (1)直接写出：a=,b=_； f(-x-3,2+x)20 (2)若关于x的不等式组f(2x,x-t)<0无解，求t的取值范围； (3)若fmr+3n,2m-x)≥3m+4n的解集为x≤，求不等式：f(mr-2m,3n-m)>-m+n的解集。 【变式4-1】(25-26八年级上陕西西安期末)定义一种新运算“a⑧b”:当a≥b时，a⑧b=a+2b: 当a<b时，a⑧b=a-2b.例如： 3⑧(-4)=3+(-8)=-5(-6)⑧12=-6-24=-30 0考3x-5)8(4+)=(3x-5)+2(4+),则的取值范围是 (2)已知 3x+7)®(4)>1，求“的取值范围. 【变式4-2】(25-26八年级上山东聊城期末)阅读理解： 定义：使方程（组）与不等式（组）同时成立的未知数的值称为此方程（组）和不等式（组）的“理想 解”.例如，已知方程2x-1=1与不等式x+1>0,当x=1时，2x-1=2×1-1=1,1+1=2>0同时成立， 则称“x=1”是方程2x-1=1与不等式x+1>0的“理想解”. 问题解决： (1)请判断方程3x-5=1的解是此方程与以下哪些不等式（组）的“理想解”：一（直接填写序号： 3x-5>2(x-3) ； 2x-3>4x+1 20+-1581号s1 [x=m x-2y=5+q (2)若y=n是方程组2x-y=2g+1与不等式x-y>1的“理想解”，求q的取值范围： x+y=3a+5 (3)若关于x,y的方程组x-y=5a-3与不等式x+2y≥a+10的“理想解”均为正数（即“理想解”中的 6/12 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 x,'均为正数)，直接写出a的取值范围。 【变式43】(25-26八年级上·浙江绍兴·期末)若一个不等式组M有解且解集为 a<x<b(a<b) 则称 b-a为M的“绝对距离”，若M的绝对距离是不等式组N的解，则称不等式组N对于不等式组M“绝 对包含”· 2x-4<0 A: (I)已知关于x的不等式组 1+x>0以及不等式组B:-3<x≤3，判断不等式组B是否对于不等式组A绝 对包含，并写出判断过程. x>n x+n<8 C: D: (2)已知关于x的不等式组x<m和关于x的不等式组 2x+n>m,若不等式组D对于不等式组C绝 对包含，当-3≤n<-2时，求满足条件的所有整数m的和 x+5>0 x+2>m E: (3)已知关于x的不等式组2x-1<4m+5以及不等式组2x-m<2m+20,且不等式组F对于不等式 组E绝对包含，求m的取值范围. 类型五、二元一次方程组与一元一次不等式综合的实际问题 方法总结 1. 模型转化：先据题意列方程组解出基本量，再据不等关系列出不等式，确定参数范围。 2.方案决策：结合解集的实际意义（取整、非负），筛选可行方案并求最值。 解题技巧 1.先定后限：先解方程组用参数表示解，再代入不等关系，避免重复列式。 2.列表枚举：方案有限时，枚举整数解并逐一验证，优于解不等式组。 例5.(24-25七年级下·山西长治期末)根据2025年山西中考体育新政策，体育统一测试环节分值提高为 60分，增加了专项运动技能测试，分值为10分.学生可选择足球、篮球、排球其中1项专项运动技能进行 测试，各市可根据实际情况增设难度相近的选测项目·为了训练，某中学决定购买一定数量的篮球和足球 供学生使用，已知购买3个篮球和2个足球需花费460元，购买2个篮球和5个足球需花费600元. (1)购买一个篮球和一个足球各需花费多少元？ (2)如果学校购买篮球和足球的总费用不超过2220元，且购买篮球和足球共24个，那么最多可以购买多少 7/12 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 个篮球？ 【变式5-1】(25-26八年级上河南周口·期末)为了提高学生的阅读能力，学校开展了“书香校园”活动， 计划购买一批图书.已知购买2本科技类图书和3本文学类图书共需116元：购买3本科技类图书和5本文 学类图书共需180元. (1)求每本科技类图书和每本文学类图书的价格： (2)学校决定购买科技类图书和文学类图书共100本，且购买总费用不超过2000元，求最多可以购买科技类 图书多少本. 【变式5-2】(25-26八年级上陕西西安期末)为培育学生的劳动意识和劳动精神，落实“五育并举”， 某校组织学生参加劳动实践，计划组织学生参加种植甲、乙两种作物.如果种植2亩甲作物和3亩乙作物 需要28名学生，种植2亩甲作物和4亩乙作物需要34名学生. (1)种植1亩甲作物和1亩乙作物分别需要多少名学生？ (2)种植甲、乙两种作物共10亩，所需学生人数不超过53人，至少种植甲作物多少亩？ 【变式5-3】(25-26七年级上·北京海淀·期末)围棋，起源于中国，古代称为“弈”，是棋类鼻祖，距今 已有4000多年的历史.某商家销售A、B两种材质的围棋，每套进价分别为200元、170元，如表是近两 个月的销售情况： 销售时 销售数量 销售收入 段 A种材质 B种材质 第一个 3套 5套 1800元 月 第二个 4套 10套 3100元 月 (1)求A、B两种材质的围棋每套的售价 (2)若商家准备用不多于5400元的金额再采购A、B两种材质的围棋共30套，求A种材质的围棋最多能采 购多少套？ (3)在(2)的条件下，商店销售完这30套围棋能否实现利润为1400元的目标？请说明理由. 8/12 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 压轴专练 一、单选题 P(m,3m-2） 1.(25-26八年级上浙江台州·期末)已知平面直角坐标系中有一点 无论m取何值，点P不 可能在() A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 a-2<x 2.(25-26八年级上陕西西安期末)若关于x的不等式组x+1≤2无解，则a的取值范围为() A.a≥3 B.a≤3 C.a>3 D.a<3 Q5-m,4m-10) 3.(25-26八年级上浙江宁波·期末)已知点 在第四象限，且点到两坐标轴的距离相等， 那么m的值为() 5 A.3 B.-3或3 C. D.3或3 4.(25-26八年级上浙江台州期末)定义：符号 T(a,b,c,d)=ad-bc ,例如： [T(3,m+2,1m)≥-4 T(1,2,3,4)=1×4-3×2=-2.若关于m的不等式组T(m,m-2,-4,3)<k,恰好有4个整数解，则k的取值 范围为() A.6<k<13 B.6<k≤13 C.6≤k<13 D.6≤k≤13 二、填空题 [x=1 5.(25-26八年级上福建三明期末)若y=1是方程2ax+by=25的解，a,b是正整数，则a+b的最小 值是一 9/12 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 [a-x>0 6.(25-26八年级上浙江宁波期末)已知6<a<7,则关于x的不等式组6-2x<0的所有整数解的积是 7.(25-26八年级上浙江台州期末)按照如下程序操作，规定：从“输入一个值x”到“结果是否大于 83”为一次程序操作.如果结果得到的数小于或等于83，则用得到的这个数进行下一次操作.如果程序操 作执行两次才停止，则输入的x的取值范围是 输入「 ×4 是 -1 >83 输出 否 8.(24-25七年级下·辽宁营口期末)如果一元一次方程的解也是一元一次不等式组的解，那么称该一元 x-1>0 一次方程为该不等式组的关联方程.例如：方程x-3=0的解为x=3,不等式组x<4的解集为 「x-1>0 1<x<4,因为1<3<4，所以方程x-3=0为不等式组x<4的关联方程.若方程2x+1=x+2与 [x-5<m 3(x-1)=x+1都是关于x的不等式组2x≥x+m的关联方程，则m的取值范围是 三、解答题 9.(25-26八年级上浙江金华期末)解不等式（组）： 5x+4<3(2+x) (1) (-3x+14+5>2x-8 4 (2)4x+323x+4 x-4y=6m-5 10.(24-25七年级下·四川乐山r期末)已知关于x、y的方程组2x+y=3m+8 10/12 ©学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (1)若m=1,求这个方程组的解： (2)若该方程组的解满足x、'均为正数，求m的取值范围. 11.(25-26八年级上河南周口期末)为响应“绿色出行”号召，某社区计划在小区内安装共享单车停放 点.若购买A型停放架3个和B型停放架2个，共需1100元；购买A型停放架2个和B型停放架3个，共 需1050元. (1)求每个A型停放架和B型停放架的单价： (2)该社区准备购买A、B两种型号的停放架共15个，且购买总费用不超过3000元，求最多可以购买A型 停放架多少个. 12.(24-25七年级下·云南临沧·期末)若不等式（组）有n(n为自然数)个正整数解，则称这个不等式 x+2<7 (组)为n阶不等式（组）·例如：x≤2有2个正整数解，则称它为2阶不等式： x-2>-1有3个正整 数解，则称它为3阶不等式组，特殊地，如x<1,有0个正整数解，则称它为0阶不等式。 [x+1>2 (1)判断：x+1<6是几阶不等式？2x-3<5是几阶不等式组？ 3x-6m<0 (2)已知关于的不等式组 2+3x之生”是4阶不等式组，求m的取值花同 13.(24-25七年级下·陕西渭南期末)新定义，若一元一次方程的解在一元一次不等式组解集范围内，则 x-1>1 称该一元一次方程为该不等式组的“相依方程”，例如：方程x-1=3的解为x=4,而不等式组x-2<3 [x-1>1 的解集为2<x<5,不难发现x=4在2<x<5的范围内，所以方程x-1=3是不等式组x-2<3的“相依方 程”. 2x-1>x+1 (I)在方程①6(x+2)-(x+4)=23;②9x-3=0:③2x-3=0中，不等式组3(x-2)-x≤4的“相依方 11/12 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 程”是 (填序号)· x-3m [x+1>m .=-2 (2)若关于x的方程2 是关于x的不等式组x-m≤2m+1的“相依方程”，且此时不等式组有5个 整数解，试求m的取值范围. 12/12