专题04 平面直角坐标系 期末复习专项训练2025-2026学年人教版数学七年级下册

**基本信息** 以题型建模为核心，覆盖平面直角坐标系全知识点，从基础概念到综合应用层层递进，强化坐标与几何的融合，培养空间观念与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础概念|5题型（40题）|点坐标表示、象限判断、距离计算|从坐标定义到性质应用，构建平面定位基础| |坐标变换|2题型（20题）|平移规律、中点公式|结合图形变换，深化坐标变化的代数表达| |综合应用|4题型（40题）|规律探索、几何应用、存在性与动点问题|从静态计算到动态探究，培养数学抽象与模型意识|

专题04 平面直角坐标系 目录 A题型建模・专项突破 题型一、写出直角坐标系中点的坐标 1 题型二、判断点所在的象限 2 题型三、点到坐标轴的距离 4 题型四、已知点所在象限求参数 6 题型五、利用坐标表示位置 7 题型六、点的平移与坐标变化（常考点） 10 题型七、中点坐标（重点） 13 题型八、坐标的规律探索（难点） 15 题型九、坐标与几何的简单应用 18 题型十、坐标系中存在性问题（难点） 21 题型十一、坐标系中动点问题（难点） 24 B综合攻坚・能力跃升 题型一、写出直角坐标系中点的坐标 1．若点在轴上，则点的坐标是（    ） A． B． C． D． 2．已知过，两点的直线平行于轴，则的值为（    ） A．3 B．2 C． D． 3．如图，，，以点为圆心，长为半径画弧交轴负半轴于点，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 4．如图，已知黑棋（甲）的坐标为 ，白棋（甲）的坐标为，则黑棋（乙）的坐标为（　　）． A． B． C． D． 5．有甲、乙两人，他们所在的位置不同，他们都以相同的单位长度建立不同的坐标系，甲说：“如果以我为坐标原点，那么乙的位置是”，若以乙为坐标原点（x轴、y轴正方向与甲的相同），则甲的位置是（   ） A． B． C． D． 6．若线段轴且，点A的坐标为，则点B的坐标为__________． 7．经过点，，则直线的可表示为________ 8．在平面直角坐标系中，点，点，若轴，且，则______． 9．如图所示，若白棋①的位置记为，黑棋②的位置记为，则白棋③的位置应记为_____． 10．如图，在边长为1的正方形网格中，点A、B、C均在格点上，若点B、C的坐标分别为、，则点A的坐标为______． 题型二、判断点所在的象限 11．在平面直角坐标系中，若点在轴上，则点在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 12．若，则点在（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 13．若点在第一象限，则点在（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 14．已知点A的坐标为，下列说法正确的是（    ） A．若点A在y轴上，则 B．若点A在一三象限角平分线上，则 C．若点A到x轴的距离是3，则 D．若点A在第四象限，则a的值可以为4 15．在一次科学探测活动中，探测人员发现一目标在如图所示的阴影区域内，则该目标的坐标可能是（   ） A． B． C． D． 16．在平面直角坐标系中，若点在第二象限，则点在第_______象限． 17．如图，A、B为数轴上的两个点，点A对应的数记为a，点B对应的数记为b，则在平面直角坐标系中，点位于第_____象限． 18．若，则点位于第______象限． 19．已知当，都是实数，且满足时，称为“河南点”．请任意写出一个“河南点”：______；若点是“河南点”，则点在第_____象限． 20．在平面直角坐标系中，已知点． (1)若点在轴上，求点的坐标； (2)若点的纵坐标比横坐标大8，试判断点在第几象限，并说明理由． 21．如图，四边形在平面直角坐标系中，根据要求回答下列问题： (1)点A的坐标为________，点B的横坐标为________，纵坐标为________； (2)坐标为的是点________，在第________象限； (3)横、纵坐标互为相反数的是点________． 22．已知点的坐标为，解答下列各题． (1)若点的坐标为，直线轴，求出点的坐标； (2)若点在第二或第四象限的角平分线上，求的值． 23．在平面直角坐标系中，点的坐标为． (1)若点在轴上时，求点的坐标； (2)若点的横坐标比纵坐标大2，则点在第几象限？ (3)若点在过点且与轴平行的直线上时，求点的坐标． 题型三、点到坐标轴的距离 24．已知点与点在同一条平行于轴的直线上，且到y轴的距离等于，则点的坐标是（   ） A．或 B．或 C．或 D．或 25．若点在第四象限且到轴的距离为3，到轴的距离为4，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 26．下列说法不正确的是（   ） A．点在第一象限 B．点到轴的距离为3 C．已知点，点，则轴 D．若，则点一定在轴上 27．已知点．若点M到两坐标轴的距离相等，则a的值为（    ） A．4 B． C．或4 D．或 28．已知点的坐标，且点到轴的距离是3，则点的坐标是______． 29．是第三象限内的一个点，且点到两坐标轴的距离之差为5，则点的坐标为_________． 30．在平面直角坐标系中，有两点，当轴时，求A、B两点间的距离． 31．在平面直角坐标系中，已知点A的坐标为，把点A到x轴的距离记作m，到y轴的距离记作n． (1)若，求的值； (2)若，，求点A的坐标． 32．已知平面直角坐标系中有一点． (1)若点在过点且与轴平行的直线上，求此时的值； (2)若点到轴的距离与到轴的距离相等，求点的坐标． 题型四、已知点所在象限求参数 33．已知第二象限内有一点A，且点A到x轴的距离为3，到y轴的距离为4，则点A的坐标为（   ） A． B． C． D． 34．在平面直角坐标系中，点到轴的距离是2，到轴的距离是3，且在第三象限，则点的坐标是（   ） A． B． C． D． 35．第四象限内的点满足，，则点的坐标是_______． 36．已知点位于第四象限，那么化简 ______． 37．已知点，解答下列各题： (1)若点P在x轴上，求出点P的坐标； (2)若点P在第二象限，且它到x轴，y轴的距离相等；求a的值. 38．在平面直角坐标系中，给出如下定义：点P到x轴、y轴的距离的较大值称为点P的“长距”，点Q到x轴、y轴的距离相等时，称点Q为“完美点”． (1)点的“长距”为 ； (2)若点的长距为4，且点B在第四象限内，点C的坐标为，判断点C是否为“完美点”，并说明理由． 39．在平面直角坐标系中，点和． (1)如果点在轴上，点在轴上，求、的值； (2)如果轴，且，求、的值． (3)点和点是否能同在第三象限内，若能，求出、的范围，若不能，请说明理由； 题型五、利用坐标表示位置 40．如图，用方向和距离描述图书馆相对于小青家的位置是（   ） A．北偏东， B．北偏东， C．东偏南， D．东偏北， 41．春节期间，小明想去南通博物苑参观，以下表示南通博物苑位置最合理的是（    ） A．东经，北纬 B．在钟楼的西北方向 C．距离南通西站6公里 D．在南通市 42．如图为抱犊寨景区的局部示意图．若“天井飞瀑”与“杏花村”两处景点的坐标分别为，，则景点“仙人洞”的坐标为（    ） A． B． C． D． 43．如图所示，雷达探测器测得六个目标A，B，C，D，E，F出现．按照规定的目标表示方法，目标A，B的位置分别表示为．按照此方法在表示目标C，D，E，F的位置时，表示不正确的是（   ） A． B． C． D． 44．山西是中华民族的发祥地之一，被誉为“华夏文明摇篮”，素有“中国古代文化博物馆”之称．如图是山西的三个旅游景点，将其放在适当的平面直角坐标系中，若云冈石窟的坐标为，晋祠博物院的坐标为，则壶口瀑布的坐标为_________． 45．如图，圆的直径是，如果点的位置在点的东南方向距点 处，那么点的位置在点的________距点 处． 46．如图，我们把杜甫《绝句》整齐排列放在平面直角坐标系中． （1）“两”“岭”和“船”的坐标依次是：______、______和______； （2）将第2行与第3行对调，再将第3列与第7列对调，“雪”由开始的坐标______依次变换为______和______． 47．某城市的部分街道如下所述，以市政府为坐标原点，建立平面直角坐标系．已知以下地点的坐标： 地点坐标 市政府，人民公园，博物馆，体育中心，火车站． (1)小明从人民公园出发，先向西走3个单位，再向南走1个单位，到达了哪个地点？ (2)小丽从博物馆出发，要去体育中心，如果她只能沿着水平方向和竖直方向行走（即每次只能向左、右、上、下四个方向中的一个方向移动），至少需要走多少个单位长度？ 48．如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1的正方形，已知火车站的坐标为，文化馆的坐标为． (1)请你根据题目条件，在图中建立适当的平面直角坐标系； (2)直接写出体育场，市场，超市的坐标； (3)已知游乐场A，图书馆B的坐标分别为，，请在图中标出A，B的位置． 49．下图所示的是某次海战中敌我双方战舰对峙示意图． (1)在我方潜艇的北偏东的方向上有哪些目标？要想确定敌方战舰B的位置，还需要什么数据？ (2)距离我方潜艇20n mile的有________________________________________________． 题型六、点的平移与坐标变化（常考点） 50．已知坐标平面内的点，现将点P向左平移个单位长度，再向上平移个单位长度，那么新的点在坐标系下的坐标是（    ） A． B． C． D． 51．如图，把经过一定的变换得到（与B重合），如果图中上点P的坐标为，那么这个点在中的对应点的坐标为（    ） A． B． C． D． 52．在平面直角坐标系中，点，，将线段平移，使得的中点落在对应点的位置，则点的对应点的坐标为（   ） A． B． C． D． 53．将点向左平移1个单位长度得到点，且点在y轴上，那么点的坐标是（    ） A． B． C． D． 54．在平面直角坐标系中，已知点平移后的点是，照此方式平移，请写出一个平移后在第三象限的点________． 55．如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，将平移后得到，若平移后点B的对应点D的坐标为，则点A的对应点C的坐标为__________． 56．如图，在第一象限内有两点，，将线段平移，使点、同时落在两条坐标轴上，则点平移后的对应点的坐标是______． 57．在平面直角坐标系中，线段是由线段经过平移得到的，已知点的对应点为，点的对应点的坐标为，则点的坐标为___________． 58．如图，在平面直角坐标系中，，，将线段平移至的位置，则的值为______． 59．如图，在边长为1个单位的小正方形网格中建立平面直角坐标系，已知的顶点A的坐标为，顶点B的坐标为，顶点C的坐标为． (1)将向右平移4个单位，再向下平移5个单位得到，请你画出，并写出点的坐标； (2)若边上一点经过上述平移后的对应点是，则点的坐标是________（用含a，b的式子表示） 60．如下图，线段的两个端点坐标分别为，．线段向下平移3个单位长度，它的像是线段． (1)试写出点，的坐标． (2)若点是平面内的任一点，在上述平移下，像点与点的坐标之间有什么关系？ 61．如图，在平面直角坐标系中，已知，，将线段平移至，使点A与点B重合，点D在x轴正半轴上（不与点A重合），连接． (1)求点C的坐标； (2)当三角形面积是三角形的面积的3倍时，求点D的坐标． 62．在平面直角坐标系中，线段两个端点的坐标分别为，，端点在端点右边，点是平面内一点． (1)若点在第三象限且点到轴的距离为，到轴的距离为，则的值为______； (2)将线段沿轴正方向平移个单位长度得到线段，线段扫过的面积为．连接，得到的面积是，求的值． 题型七、中点坐标（重点） 63．若线段轴，点是线段的中点，且，则点的坐标是（   ） A． B．或 C． D．或 64．点和点的中点坐标为________． 65．已知点与点关于点对称，则________． 66．公司正在开发一款基于平面直角坐标系下的导航软件．为测试软件的准确性，工程师在坐标系中设置了以下关键点：表示起点，表示终点．如果软件需要在线段之间设置一个中转站，且中转站到点和点的距离相等，则中转站的坐标为_______． 67．如图，在平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别为，，将线段向右平移4个单位长度后得到线段，再将线段向下平移4个单位长度后得到线段． (1)请画出平移后的线段和； (2)连接，，，分别写出三条线段的中点坐标； (3)若点和，直接写出线段的中点坐标． 68．如图，正方形的边长为，轴，． (1)写出，，三个顶点的坐标； (2)写出中点的坐标． 69．在平面直角坐标系中，以任意两点为端点的线段的中点坐标为．例如：点，则线段的中点坐标为． 请利用以上结论解决问题： (1)若点，，则以点和点为端点的线段的中点坐标为_____． (2)已知点，若为线段的中点，求点的坐标． (3)已知点和点的坐标分别为，线段与轴平行，且．若线段的中点与线段的中点在第一象限重合，直接写出点的坐标． 70．定义：在平面直角坐标系中，对于任意两点，，若点满足，，那么称点T是点A和B的衍生点． 例如：，，则点是点M和N的衍生点． 已知点是点，的衍生点． (1)请直接写出点T的坐标（用含m的式子表示）． (2)若直线交x轴于点H，当时，求点E的坐标． 题型八、坐标的规律探索（难点） 71．如图，在平面直角坐标系中，一质点自处向上运动1个单位长度至，然后向左运动2个单位长度至处，再向下运动3个单位长度至处，再向右运动4个单位长度至处，再向上运动5个单位长度至处，…，按此规律继续运动，则的坐标是（    ） A． B． C． D． 72．如图，在平面直角坐标系中，，把一根长为2021个单位长度且没有弹性的细线(线的粗细忽略不计)的一端固定在点处，并按的规律绕在四边形的边上，则细线另一端所在位置的点的坐标是（    ） A． B． C． D． 73．法国数学家笛卡尔创立了平面直角坐标系，被誉为“解析几何之父”．在平面直角坐标系中，我们定义点的“笛卡尔变换”为：．已知点的坐标为，则经过次笛卡尔变换后得到的点的坐标为(   ） A． B． C． D． 74．如图，将边长为1的正方形沿x轴正方向连续翻转2024次，点P依次落在点，，，…，的位置，则的坐标为________，的坐标为________． 75．如图，一动点从出发，沿所示方向运动，每当碰到长方形的边时反弹，反弹后的路径与长方形的边所夹锐角为，第1次碰到长方形边上的点的坐标为，则第2026次碰到长方形边上的点的坐标为_____． 76．如图，点P在平面直角坐标系中按图中箭头所示方向运动，第1次从原点运动到点，第2次接着运动到点，第3次接着运动到点，……，按这样的运动规律，经过第2023次运动后，动点P的坐标是__________． 77．如图，在平面直角坐标系中，一动点从原点O出发，沿着箭头所示方向，每次移动1个单位，依次得到点，，，，，，…，则点的横坐标是________． 78．在如图所示的平面直角坐标系中，按规律排列的，，，，…，都是等腰直角三角形，且顶点都在格点上（点与坐标原点O重合）． (1)写出点的坐标：______； (2)根据点，，，，…，求出点的坐标； (3)在上述按规律排列的等腰直角三角形中，是否存在某个等腰直角三角形的顶点的纵坐标为？若存在，请说明理由． 79．如图，动点在平面直角坐标系中按图中箭头所示方向运动： 第一次：原点； 第二次：； 第三次：； 第四次：； 第五次：； ．．． 归纳上述规律，完成下列任务． (1)直接写出下列坐标：_______，_______，________； (2)第2025次运动后，的坐标为_______； (3)点距轴的距离为______，点距轴的距离为_______． 题型九、坐标与几何的简单应用 80．如图，将5个边长均为3的正方形置于平面直角坐标系中，若顶点、的坐标分别为、，则顶点A的坐标为（    ） A． B． C． D． 81．将平面直角坐标系内某个图形各个点的横坐标、纵坐标都乘 3， 所得图形的面积（    ） A．是原图形的3倍 B．是原图形的9倍 C．不变 D．是原图形的6倍 82．如图，在平面直角坐标系中，平行四边形的三个顶点坐标分别为， 则C的坐标是____________． 83．如图，在平面直角坐标系中，点，，，，点在轴正半轴上，线段与线段交于点．若与面积相等，则到直线的距离是________． 84．如图，的三个顶点位置分别是，，，线段与y轴交于． (1)求的面积； (2)若点A、B的位置不变，当点P在坐标轴上什么位置时，使？ 85．在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中建立如图所示的平面直角坐标系，四边形ABCD是格点四边形（顶点为网格线的交点）． (1)写出点A，B，C，D的坐标． (2)求四边形ABCD的面积． 86．在如图所示的平面直角坐标系中，点，，，． (1)求四边形的面积； (2)在轴上找一点，使三角形的面积等于四边形面积的一半，求点的坐标． 87．在平面直角坐标系中，对于两点给出如下定义：若点的横纵坐标的绝对值之和等于点的横纵坐标的绝对值之和，则称两点为“等和点”，如图中的两点即为“等和点”． (1)已知点的坐标为，在点中，与点为“等和点”的是_____（只填字母）； (2)若点满足方程，且，两点为“等和点”，求B点的坐标． 题型十、坐标系中存在性问题（难点） 88．如图1，平面直角坐标系中，，，且满足，过点C作轴于点B． (1)_______，______． (2)求三角形的面积． (3)如图2，若线段与y轴交于点，在y轴上是否存在点P，使得三角形和三角形的面积相等，若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由． 89．如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点B在x轴的负半轴上，，点在第二象限，轴，且，点在第一象限． (1)求两点的坐标； (2)是否存在m，使以为顶点的四边形的面积等于？若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由． 90．如图，在平面直角坐标系中，已知，，b满足． (1)求a，b的值； (2)如果在第二象限内有一点，请用含m的式子表示四边形的面积； (3)在（2）条件下，当时，在坐标轴的负半轴上是否存在点N，使得四边形的面积与的面积相等？若存在，求出点N的坐标，请说明理由． 91．如图，在平面直角坐标系中，，，满足． (1)求、两点的坐标及的面积； (2)若点是轴上一点，且的面积为6，求点的坐标； (3)若是轴上方到轴的距离为6的一条直线，在直线上是否存在点，使的面积等于的面积，若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 92．在平面直角坐标系中，已知中，，，，点A、B分别在原点两侧，且A、B两点间的距离等于6个单位长度． (1)求m的值； (2)在y轴上是否存在点M，使的面积的面积，若存在，请求出符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由． 93．在平面直角坐标系中，如图①，第二象限内有一点，过点B作线段垂直于x轴，垂足为A，实数a、b满足．，将线段向右平移使点A和点D重合得到线段，连接与y轴相交于点M，动点P从A点出发，沿折线运动，运动到点C停止运动，速度为每秒2个单位长度，设运动时间为t秒． (1)求点C的坐标； (2)当点P在线段上运动时，请用含t的代数式表示在这一运动过程中线段的长，并直接写出t的取值范围； (3)如图②，y轴上有一点，在点P沿折线运动过程中是否存在t值，使三角形的面积为2？若存在，求出t的值，并求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由． 题型十一、坐标系中动点问题（难点） 94．如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，点在第一象限，过点A向x轴作垂线，垂足为点B，连接，，点M从O出发，沿y轴的正半轴以每秒2个单位长度的速度运动，点N从点B出发以每秒3个单位长度的速度向x轴负方向运动，点M与点N同时出发，设点M的运动时间为t秒，连接，，． (1)求a的值； (2)当时，试判断四边形的面积是否变化？若不变化，请求出其值；若变化，请说明理由； (3)当时，请求出t的值及三角形的面积． 95．如图1，点，其中满足，将点分别向上平移2个单位，再向右平移1个单位至，连接． (1)请直接回答：___________，___________，的坐标是___________，的坐标是___________； (2)连接交于点，求的长； (3)如图2，点从点出发，以每秒1个单位的速度向上运动，同时点从点出发，以每秒2个单位的速度向左运动．设运动时间为秒，射线交轴于点．问的值是否为定值？如果是定值，请求出它的值；如果不是定值，请说明理由． 96．在平面直角坐标系中，O为原点，点，，． (1)如图1，的面积为 ； (2)如图2，将点B向右平移至点． ①若线段的长为5，求点D到直线的距离； ②点P是x轴上一动点，若的面积等于3，请求出点P的坐标． 97．如图，在平面直角坐标系中，长方形的边、 分别在x轴、y轴上，B点在第一象限，点A的坐标是，． (1)直接写出点B、点C的坐标． (2)点P从原点O出发，在边上以每秒1个单位长度的速度匀速向C点运动，同时点Q从点B出发，在边上以每秒2个单位长度的速度匀速向A点运动，当一个点到达终点时，另一个点随之停止运动，设运动时间为t秒，探究下列问题： ①当t为多少时，直线轴？ ②在运动过程中，当点Q到y轴的距离为2个单位长度时，求t的值． ③在整个运动过程中，能否使得四边形的面积是长方形面积的？若能，请求出P、Q两点的坐标；若不能，说明理由． 98．如图，平面直角坐标系中，点在第一象限，轴于，轴于，，且满足． (1)如图，求点的坐标； (2)如图，点从点出发以每秒个单位的速度沿轴正方向运动，点从点出发，以每秒个单位的速度沿轴负方向运动，设运动时间为，当时，求的取值范围； (3)如图，将线段平移，使点的对应点恰好落在轴负半轴上，点的对应点为（在第三象限），连接交轴于点，当时，求点的坐标． 99．如图，在平面直角坐标系中，已知点，线段平移到线段，且点在轴上． (1)_______，点的坐标为_______； (2)如图2，过点作直线轴，直线上有一动点，以每秒2个单位长度从点向方向运动，运动时间为秒，连接与线段交于点，连接，当为何值时 ； (3)如图3，点是射线上的一点，向轴正方向移动，在直线上取两点、（点在点左侧），满足，．当运动到某一位置时，四边形的面积有最大值，请直接写出面积的最大值． 100．如图，在长方形中，为平面直角坐标系的原点，点的坐标为，点的坐标为，且、满足，点在第一象限内，点从原点出发，以每秒2个单位长度的速度沿着的路线运动，回到点，停止移动．设点运动的时间为； (1)点的坐标为______；当点运动5秒时，点的坐标为______． (2)在点运动过程中，当的面积为一个定值时，则的取值范围是______； (3)在路线的运动过程中，是否存在某个时刻，使的面积是？若存在，求出点运动的时间；若不存在，请说明理由． 1．（25-26七年级下·北京海淀·期中）某智能机器人在平面直角坐标系中移动，起始位置对应点，若点沿轴向左平移个单位，再沿轴向上平移个单位，得到机器人新位置对应的点，则点的坐标是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级下·福建厦门·期中）如图，点，点，点，点，…，按照这样的规律下去，点的坐标为（   ） A． B． C． D． 3．（2026·山东聊城·一模）嘉嘉在平面直角坐标系中设计了一个跳棋游戏，将棋子从点开始，第一次跳到与点关于点对称的点处，第二次跳到与点关于点对称的点处，第三次跳到与点关于点对称的点处，第四次跳到与点关于点对称的点处，第五次跳到与点关于点对称的点处…按此规律跳下去，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 4．（2025·广东广州·一模）已知实数，满足，则点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 5．（25-26七年级下·北京西城·期中）在平面直角坐标系中，将横、纵坐标之和为6的点称为“幸运点”，已知点，现有以下结论： ①第一象限内有无数个“幸运点”； ②第三象限内不存在“幸运点”； ③若点是“幸运点”且在坐标轴上，则点到直线的距离为8； ④若点是“幸运点”且在第一象限或坐标轴上，将三角形的面积的最大值记为，最小值记为，则． ⑤若点是“幸运点”且在第二象限内，它的横坐标为，三角形的面积记为，则． 其中正确的有（    ） A．①② B．③④ C．②③④⑤ D．①②④⑤ 6．（25-26七年级下·北京·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知点，．将线段，，平移后，恰好组成一个首尾相接的三角形．若点与点平移后的对应点均为点，则线段平移后，点的坐标变为__________． 7．（25-26七年级下·重庆开州·期中）把放在直角坐标系中如图所示，现将向上平移个单位长度，再向右平移个单位长度就得到． (1)在图中画出； (2)写出的坐标； (3)求在平移过程中扫过的面积． 8．（25-26七年级下·福建福州·期中）如图，在平面直角坐标系中，，，． (1)在图中画出向右平移5个单位，再向下平移4个单位的； (2)写出点，，的坐标：__________，__________，__________； (3)在外部能否找到一点，使且，如果能，请直接写出点的坐标，如果不能请说明理由． 9．（25-26八年级下·上海闵行·期中）在平面直角坐标系中如图所示，已知点． (1)请求出； (2)轴上是否存在点，使得，若不存在，说明理由：若存在，求点坐标． 10．（25-26七年级下·河南商丘·月考）如图1，在平面直角坐标系中，是坐标原点，点的坐标为，将向上平移4个单位长度，再向左平移3个单位长度得到对应线段．连接、、． (1)点的坐标为__________，点的坐标为__________； (2)在轴上是否存在一点，使得三角形的面积等于三角形面积的一半？若存在，请求出点的坐标，若不存在，请说明理由； (3)如图2，若是直线上的一个动点，连接、，当点在直线上运动时，直接写出，，之间的数量关系 11．（25-26七年级下·福建福州·期中）五子棋比赛规则是：两人各拥有一种颜色的棋子，每人每次在正方形网格的格点处下一子，两人轮流下，无论是横、竖、斜向，只要形成连续无间隔的个同色棋子，立即获胜．如图是两人正在对弈的一盘棋，以每个小方格边长为个单位长度，建立平面直角坐标系，可得棋盘上白棋的坐标为，黑棋的坐标为． (1)根据题意，补全平面直角坐标系； (2)现轮到黑棋落子，要使黑棋在这一步直接获胜，写出所有符合条件的落子坐标． 12．（25-26七年级下·江西上饶·期中）在平面直角坐标系中，已知点，点． (1)若点在轴上，求的值； (2)若轴，点在点的左侧且，求的值． 13．（25-26八年级上·北京西城·期末）在平面直角坐标系中，将过点且与轴垂直的直线记为直线，对于图形，给出如下定义：将图形关于直线对称后，再向右平移个单位长度，得到的图形记为，称图形为图形的“型对照变换图形”． (1)点的“型对照变换图形”的坐标为________； (2)已知点的“型对照变换图形”为点． ①点的坐标为________（用含，的式子表示）； ②当点与点关于第一、三象限的角平分线对称时，________；________； (3)已知，作，其中，，，，，三点顺时针排列，并且，两点的横坐标均不超过．的“型对照变换图形”为．当线段与第一、三象限的角平分线存在交点时，直接写出的取值范围（用含的式子表示）． 14．（25-26七年级下·福建厦门·期中）如图，平面直角坐标系中，，，，，． (1)求的面积； (2)如图，点以每秒个单位的速度向下运动至，与此同时，点从原点出发，以每秒个单位的速度沿轴向右运动至，秒后，，，在同一直线上，求的值； (3)如图，点在线段上，将点向右平移个单位长度至点，若的面积等于，求点坐标． 15．（25-26七年级下·福建福州·期中）如图1，在平面直角坐标系中，，，且，过A，B两点分别作y轴，x轴的垂线交于C点． (1)请直接写出A，B，C三点的坐标． (2)P，Q为两动点，其中点P从C点出发，在线段，上以3个单位长度每秒的速度沿着运动；点Q从B点出发以1个单位长度每秒的速度沿着线段向O点运动，P，Q两点同时出发，当其中一点到达点O时，另一点也停止运动．设运动时间为t，当点P在上时，t取何值时，三角形的面积为2？ (3)如图2，连接，点在线段上，且M到x轴的距离为1，点N在y轴负半轴上，连接交x轴于K点，记三角形的面积为，记三角形的面积为，若，求N点的坐标． 16．（25-26八年级上·浙江金华·期末）中国象棋是我国传统文化中的一部分，体现了古人的智慧，象棋的一个规则是所有棋子最后都要落在网格的格点处．小明是象棋爱好者，在学习了平面直角坐标系后，在如图所示的一半棋盘上建立了一个直角坐标系，这样，“炮”的位置是 (1)请你在图中画出小明建立的直角坐标系，并写出棋子“相”的坐标； (2)棋子“马”走的规则是每步走“日”字形，例如：图中“马”走到“A”处我们可以说成：“马”向上平移1个单位，向右平移2个单位．请回答下列问题： ①“马”可以走到“B”处吗？若可以请写出平移的方法？ ②直接写出点“B”与“炮”所在点之间的线段上任意一点的坐标． 17．（25-26八年级上·宁夏银川·期末）在平面直角坐标系中，对于两点给出如下定义：点到轴的距离中的最大值等于点到轴的距离中的最大值，则称两点为“等距点”．如点与两点即为等距点． (1)已知点的坐标为 ①点中，与点为“等距点”的是________； ②若点的坐标为，且两点为“等距点”，求出点的坐标； (2)若点与点两点为“等距点”，在轴上有异于原点的一点，连接．若的面积为，的面积，求的值． 18．（25-26七年级下·北京·期中）对于平面直角坐标系中的图形P，Q，给出如下定义： 点为图形上任意一点，点为图形上任意一点，如果M，N两点间的距离有最小值，那么称这个最小值为图形P，Q间的“紧密距离”，记作（图形，图形）．已知点． (1)点，则点，线段__________； (2)求（点O，三角形）的值； (3)平面内的点满足点，三角形，请画出所有满足条件的点所构成的图形； (4)若直线上的任意一点的横、纵坐标满足，我们称该直线为“系数直线”．在某“系数直线”上截取线段EF，其中．若线段，三角形，请直接写出的取值范围． 19．（25-26八年级上·湖北宜昌·期末）【综合与实践】确定组合图形匀质薄板的重心位置． 我们已发现：平行四边形匀质薄板的重心在两条对角线的交点处． 通过实验操作，得出结论：若一个平面图形组合图形匀质薄板的重心坐标为，面积为S，被分成n部分匀质薄板的重心坐标分别为，，…，，面积分别为，，…，，则，． 如图1①，“L”形匀质薄板中，，，，，确定该薄板的重心位置的步骤： ①先求出该薄板的面积； ②将该薄板分为两个长方形薄板Ⅰ，Ⅱ，以B为原点，以1为单位长度建立平面直角坐标系（如图1②）； ③确定长方形薄板Ⅰ的重心为，面积；长方形薄板Ⅱ的重心为，面积； ④求出，，得到该匀质薄板的重心坐标为． 【解决问题】 (1)如图2，正方形中，，直接写出正方形的重心坐标； (2)如图3，多边形中，，，，请以C点为原点，1为单位长度建立平面直角坐标系，并求出多边形的重心坐标． 1 / 80 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 平面直角坐标系 目录 A题型建模・专项突破 题型一、写出直角坐标系中点的坐标 1 题型二、判断点所在的象限 6 题型三、点到坐标轴的距离 12 题型四、已知点所在象限求参数 17 题型五、利用坐标表示位置 21 题型六、点的平移与坐标变化（常考点） 27 题型七、中点坐标（重点） 37 题型八、坐标的规律探索（难点） 42 题型九、坐标与几何的简单应用 49 题型十、坐标系中存在性问题（难点） 56 题型十一、坐标系中动点问题（难点） 66 B综合攻坚・能力跃升 题型一、写出直角坐标系中点的坐标 1．若点在轴上，则点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】点在y轴上，则横坐标为0，由此求出m的值，再代入纵坐标表达式计算． 【详解】解：∵点A在y轴上， ∴， 解得． ∴． ∴点A的坐标为． 【点睛】本题考查了y轴上点的坐标特征，熟练掌握y轴上的点横坐标必为0是解题的关键． 2．已知过，两点的直线平行于轴，则的值为（    ） A．3 B．2 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平面直角坐标系中平行于坐标轴的直线的性质，掌握平行于轴的直线上所有点的横坐标都相等是解题的关键． 根据平行于轴的直线的性质，其上点的横坐标相同，因此点和点的横坐标相等，列出方程求解即可． 【详解】解：∵直线平行于轴， ∴点和点的横坐标相等，即 ∴的值为3， 故选： A． 3．如图，，，以点为圆心，长为半径画弧交轴负半轴于点，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查点的坐标，根据题意得出，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， 根据题意得：， ∴， ∴， 故选：B． 4．如图，已知黑棋（甲）的坐标为 ，白棋（甲）的坐标为，则黑棋（乙）的坐标为（　　）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题干的点坐标确定坐标轴，然后得出黑棋（乙）的坐标． 【详解】解：根据题意，建立坐标系如下： 由图可知，黑棋（乙）的坐标为． 5．有甲、乙两人，他们所在的位置不同，他们都以相同的单位长度建立不同的坐标系，甲说：“如果以我为坐标原点，那么乙的位置是”，若以乙为坐标原点（x轴、y轴正方向与甲的相同），则甲的位置是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了用坐标表示位置，根据平面直角坐标系中坐标的性质求解即可，熟练掌握坐标的性质是解题的关键． 【详解】解：以甲为坐标原点，那么乙的位置是，则以乙为坐标原点，甲的位置是， 故选：C． 6．若线段轴且，点A的坐标为，则点B的坐标为__________． 【答案】或 【分析】本题考查点的坐标，熟练掌握点的坐标特征是解题的关键． 由于线段平行于轴，则点和点的纵坐标相同；根据，点的横坐标与点的横坐标相差，可求点的坐标． 【详解】解：轴，点的坐标为， 点的纵坐标为， 又， 点的横坐标为或． 点的坐标为或， 故答案为：或． 7．经过点，，则直线的可表示为________ 【答案】/ 【分析】本题考查直线方程的表示方法，特别是当两点纵坐标相等时，直线为水平直线，方程形式为（常数）．解题的关键是掌握特殊位置直线的特征（如水平、垂直）有助于快速解题，避免使用两点式或点斜式等复杂计算．题目给出直线上的两个点和，要求写出直线的方程．观察两点的纵坐标相同，说明该直线是水平直线，即平行于轴，其方程形式为常数．因此只需根据点的坐标确定常数值即可． 【详解】点和 的纵坐标均为，因此直线 平行于轴，故直线可表示. 故答案为： 8．在平面直角坐标系中，点，点，若轴，且，则______． 【答案】 或 【分析】本题主要考查平面直角坐标系的特点，掌握平行于y轴的直线的特点，两点之间距离的计算是关键． 由与y轴平行可得点P和点Q横坐标相等，即；再根据，利用两点间距离公式求出n的值，进而计算． 【详解】解：∵点，点，且轴， ∴； 又∵， ∴，即， ∴或， 解得或； 当时，； 当时，； 故答案为：或． 9．如图所示，若白棋①的位置记为，黑棋②的位置记为，则白棋③的位置应记为_____． 【答案】 【分析】根据白棋①和黑棋②的坐标确定坐标轴和原点的位置，进而画出坐标系可得白棋③的坐标． 【详解】解：根据题意可建立如下平面直角坐标系，则白棋③的位置应记为． 10．如图，在边长为1的正方形网格中，点A、B、C均在格点上，若点B、C的坐标分别为、，则点A的坐标为______． 【答案】 【分析】先根据、，建立平面直角坐标系，然后根据直角坐标系写出点A的坐标． 【详解】解：∵、， ∴建立平面直角坐标系，如图所示： ∴点A的坐标为． 题型二、判断点所在的象限 11．在平面直角坐标系中，若点在轴上，则点在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【分析】本题考查了判断点所在象限，根据轴上点的纵坐标为，求出的值，再代入点的坐标，根据坐标符号判断所在象限． 【详解】解：∵点在轴上， ∴， ∴点的坐标为，即， ∵点的横坐标，纵坐标， ∴点在第二象限． 故选：B． 12．若，则点在（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】C 【分析】本题主要考查了象限坐标特征，解题的关键是掌握该特征． 根据点的坐标符号判断象限，横纵坐标均负则在第三象限． 【详解】解：∵， ∴ 点 的横坐标， 纵坐标，即， ∴ 点在第三象限， 故选：C． 13．若点在第一象限，则点在（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【分析】本题考查了各象限内点的坐标的符号特征，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限；第二象限；第三象限；第四象限．直接利用第一象限点的坐标特点得出的符号，进而得出答案． 【详解】解：点在第一象限， ，则， 则点在第二象限． 故选：B． 14．已知点A的坐标为，下列说法正确的是（    ） A．若点A在y轴上，则 B．若点A在一三象限角平分线上，则 C．若点A到x轴的距离是3，则 D．若点A在第四象限，则a的值可以为4 【答案】D 【分析】本题根据不同位置点的坐标特征，结合点到坐标轴距离的意义，逐个判断选项正误即可. 【详解】解：A选项：若点A在y轴上， ∵y轴上点的横坐标为0， ∴，选项给出，故A错误. B选项：若点A在一三象限角平分线上， ∵一、三象限角平分线上点的横纵坐标相等， ∴，解得，选项给出，故B错误. C选项：若点A到x轴的距离是3， ∵点到x轴的距离等于点纵坐标的绝对值， ∴，解得或，选项给出，不符合题意，故C错误. D选项：若点A在第四象限， ∵第四象限内点的横坐标大于0，纵坐标小于0， ∴，解得， ， 的值可以为，故D正确. 15．在一次科学探测活动中，探测人员发现一目标在如图所示的阴影区域内，则该目标的坐标可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：因为目标在第三象限， 所以其坐标的符号是， 各选项只有A符合题意． 16．在平面直角坐标系中，若点在第二象限，则点在第_______象限． 【答案】三 【分析】根据点在第二象限得出和的符号，再判断点横纵坐标的符号，即可确定点所在象限． 【详解】解：点在第二象限， ，， ∴． ∴点在第三象限． 17．如图，A、B为数轴上的两个点，点A对应的数记为a，点B对应的数记为b，则在平面直角坐标系中，点位于第_____象限． 【答案】二 【分析】根据数轴，可得，，再根据点的横纵坐标符号特点，即可判断． 【详解】解：由图可知，，， 则点的横坐标为负数，纵坐标为正数，故点位于第二象限． 18．若，则点位于第______象限． 【答案】第二或第四 【分析】本题主要考查了点所在象限，根据可知和异号，再结合各象限内点的坐标符号特征进行判断即可． 【详解】解：因为， 所以和的符号相反， 即且或且， 当且时，点在第二象限， 当且时，点在第四象限， 因此点位于第二或第四象限， 故答案为：第二或第四． 19．已知当，都是实数，且满足时，称为“河南点”．请任意写出一个“河南点”：______；若点是“河南点”，则点在第_____象限． 【答案】 （答案不唯一） 一 【分析】本题考查了点的坐标，解一元一次方程，新定义，对于任意“河南点”，可令，代入求，从而得到点坐标；对于点，根据“河南点”定义列出方程，解出，再求点坐标并判断象限即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：取，由得，解得，则“河南点”坐标为， 若点是“河南点”， 则存在实数，满足，，且， 由，得， 由 得，解得， 代入，得，即，解得， 则点坐标为，即， 由于且，则点在第一象限， 故答案为：（答案不唯一），一． 20．在平面直角坐标系中，已知点． (1)若点在轴上，求点的坐标； (2)若点的纵坐标比横坐标大8，试判断点在第几象限，并说明理由． 【答案】(1)点的坐标为 (2)点在第二象限，见解析 【分析】本题考查了点的坐标，一元一次方程，代数式求值，掌握知识点是解题的关键．； （1）根据y轴上的点的坐标特征，横坐标为0，求得m的值，即可求解； （2）根据题意列出关于m的方程，解方程，即可求解． 【详解】（1）解：点在轴上， ，解得，则． 点的坐标为（0，5） （2）点在第二象限，理由如下： 点的纵坐标比横坐标大8 ， 解得． ， ， 点，即点在第二象限． 21．如图，四边形在平面直角坐标系中，根据要求回答下列问题： (1)点A的坐标为________，点B的横坐标为________，纵坐标为________； (2)坐标为的是点________，在第________象限； (3)横、纵坐标互为相反数的是点________． 【答案】(1)，，3； (2)C，三； (3)D． 【分析】本题考查了求平面直角坐标系中点的坐标． （1）直接根据平面直角坐标系作答即可； （2）直接根据平面直角坐标系作答即可； （3）直接根据平面直角坐标系作答即可． 【详解】（1）解：由图可知，点A的坐标为，点B的横坐标为，纵坐标为3； 故答案为：，，3； （2）解：由图可知，坐标为的是点C，在第三象限； 故答案为：C，三； （3）解：由图可知，点A的坐标为，点B的坐标为，点C的坐标为，点D的坐标为， 只有点D的横、纵坐标互为相反数， 故答案为：D． 22．已知点的坐标为，解答下列各题． (1)若点的坐标为，直线轴，求出点的坐标； (2)若点在第二或第四象限的角平分线上，求的值． 【答案】(1)点的坐标为． (2)2024 【分析】（1）根据与轴平行的直线上的点横坐标相等求解即可； （2）根据在第二象限或第四象限的点的坐标特征和点到轴、轴的距离相等列出方程，解出的值，再代入所求式子计算即可． 【详解】（1）点的坐标为，直线轴， ， 解得， 点的坐标为． （2）点在第二或第四象限的角平分线上， ， 解得， ． 【点睛】本题主要考查坐标与图形性质，解决本题的关键是熟练掌握各象限点的坐标规律． 23．在平面直角坐标系中，点的坐标为． (1)若点在轴上时，求点的坐标； (2)若点的横坐标比纵坐标大2，则点在第几象限？ (3)若点在过点且与轴平行的直线上时，求点的坐标． 【答案】(1) (2)第一象限 (3) 【分析】本题考查了坐标轴上点及平行于坐标轴的直线上点的坐标特征，点的象限判断；掌握轴上的点纵坐标为，平行与轴的直线上的点横坐标相同，象限的符号特征是解题的关键． （1）由轴上的点纵坐标为得，即可求解； （2）由已知得，求出坐标，判断象限，即可求解； （3）由平行于轴的直线上的点横坐标相同得，即可求解． 【详解】（1）解：由题意得 ， 解得：， ， ； （2）解：由题意得 ， 解得：， ， ， ， 在第一象限； （3）解：由题意得 ， 解得：， ， ． 题型三、点到坐标轴的距离 24．已知点与点在同一条平行于轴的直线上，且到y轴的距离等于，则点的坐标是（   ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】D 【分析】本题利用平行于轴的直线上点的纵坐标相等的性质，先确定点的纵坐标，再根据点到轴的距离等于横坐标的绝对值求出横坐标，即可得到点的坐标． 【详解】解：点与点在同一条平行于轴的直线上， ， 点到轴的距离等于， ， 即或， 点的坐标为或． 25．若点在第四象限且到轴的距离为3，到轴的距离为4，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据点到轴的距离是纵坐标的绝对值，点到轴的距离是横坐标的绝对值，根据第四象限内点的横坐标大于零，纵坐标小于零，可得答案． 【详解】解：由点在第四象限且到轴的距离为3，到轴的距离为4， 得， ∴， 由点位于第四象限， 得， 点的坐标为， 故选：D． 26．下列说法不正确的是（   ） A．点在第一象限 B．点到轴的距离为3 C．已知点，点，则轴 D．若，则点一定在轴上 【答案】D 【分析】本题考查平面直角坐标系中点的坐标特征、点到坐标轴的距离、平行于坐标轴的直线条件等基础知识，解题的关键是掌握以上知识． 通过逐一分析各选项，判断其正确性． 【详解】解：A. 点的横坐标和纵坐标都是正数， ∴该点在第一象限， 该选项正确，不符合题意； B. 点到轴的距离为， 该选项正确，不符合题意； C. 点和点的横坐标相同， ∴轴， 该选项正确，不符合题意； D.∵， ∴或， 点在轴上或在轴上， 该选项错误，符合题意； 故选：D． 27．已知点．若点M到两坐标轴的距离相等，则a的值为（    ） A．4 B． C．或4 D．或 【答案】C 【分析】本题考查坐标系中点的坐标、解一元一次方程，根据题意得，，再分类讨论即可求解． 【详解】解：∵点M到两坐标轴的距离相等， ∴，即， 当时，， 当时，， 故选：C． 28．已知点的坐标，且点到轴的距离是3，则点的坐标是______． 【答案】或 【分析】根据点到轴的距离等于点横坐标的绝对值，列出绝对值方程，求解的值，再代入计算得到点的坐标． 【详解】解：点到轴的距离是 或 解得或 当时，，． 此时点的坐标为； 当时，， 此时点的坐标为； 综上所述，点的坐标为或． 29．是第三象限内的一个点，且点到两坐标轴的距离之差为5，则点的坐标为_________． 【答案】 【分析】本题考查了第三象限点的坐标特征、点到坐标轴的距离公式、绝对值方程的解法，掌握第三象限点横纵坐标均为负，点到坐标轴的距离等于对应坐标的绝对值是解题的关键． 根据第三象限点的坐标特征，横纵坐标均为负，利用点到坐标轴的距离公式列方程求解． 【详解】解：∵ 点在第三象限 ∴且， 由解得， 故的取值范围为 ∵点到轴的距离为 ，到轴的距离为 ∴当时，到y轴的距离为，到轴的距离为 ∵两距离之差为5 ∴，即 ∴或 解得或 ∵ ∴舍去，取 ∴点的坐标为，即 故答案为：． 30．在平面直角坐标系中，有两点，当轴时，求A、B两点间的距离． 【答案】1 【分析】根据轴，可得，可求出a的值，从而得到A，B两点的坐标，即可求解． 【详解】解：∵轴， ∴A，B两点的纵坐标相等， ∵， ∴， 解得：， ∴点， ∴A、B两点间的距离为． 31．在平面直角坐标系中，已知点A的坐标为，把点A到x轴的距离记作m，到y轴的距离记作n． (1)若，求的值； (2)若，，求点A的坐标． 【答案】(1)30 (2)点A的坐标为 【分析】（1）把代入式子中进行计算，然后根据点A到x轴的距离等于纵坐标的绝对值，到y轴的距离等于横坐标的绝对值即可解答； （2）根据点A到x轴的距离等于纵坐标的绝对值，到y轴的距离等于横坐标的绝对值，然后再根据绝对值的意义进行计算即可解答． 本题考查了点到坐标轴的距离，解题的关键是熟练掌握点到x轴的距离等于纵坐标的绝对值，到y轴的距离等于横坐标的绝对值． 【详解】（1）解：当时， ，， ∴点A的坐标为， ∴，， ∴； （2）当时， ，， ∵， ∴， 解得， ∴，， ∴点A的坐标为． 32．已知平面直角坐标系中有一点． (1)若点在过点且与轴平行的直线上，求此时的值； (2)若点到轴的距离与到轴的距离相等，求点的坐标． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题考查了点坐标、点到坐标轴的距离，熟练掌握点到坐标轴的距离是解题关键． （1）根据题意可得点的纵坐标与点的纵坐标相等，据此解答即可得； （2）根据点到坐标轴的距离可得，解方程可得的值，据此即可得． 【详解】（1）解：∵点在过点且与轴平行的直线上， ∴， 解得． （2）解：∵点到轴的距离与到轴的距离相等， ∴， ∴或， 解得或， 当时，，，此时点的坐标为； 当时，，，此时点的坐标为； 综上，点的坐标为或． 题型四、已知点所在象限求参数 33．已知第二象限内有一点A，且点A到x轴的距离为3，到y轴的距离为4，则点A的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】点A到x轴的距离为点A纵坐标的绝对值，到y轴的距离为点A横坐标的绝对值，根据距离得到横纵坐标的绝对值，再结合象限的符号特征即可求解． 【详解】解：∵点A到x轴距离为3，到y轴距离为4， ∴纵坐标的绝对值为3，横坐标的绝对值为4， 又∵点A在第二象限， ∴点A的横坐标为，纵坐标为3， 即点A的坐标为． 34．在平面直角坐标系中，点到轴的距离是2，到轴的距离是3，且在第三象限，则点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了点的坐标，已知点所在的象限求参数．根据点到坐标轴的距离等于坐标的绝对值，以及第三象限内点的横纵坐标均为负，求解点M的坐标，即可作答． 【详解】解：∵点M到x轴的距离为2， ∴， ∵点M到y轴的距离为3， ∴， 又∵点M在第三象限， ∴， ∴点M的坐标为， 故选：A． 35．第四象限内的点满足，，则点的坐标是_______． 【答案】 【分析】本题考查了平面直角坐标系中象限内点的坐标特征，解题的关键是结合第四象限点的符号（横坐标正、纵坐标负）分析坐标的取值． 由得，由得；结合第四象限内点的横坐标为正、纵坐标为负，确定，． 【详解】解：， ； ， ； 点在第四象限， ，， ，，即点的坐标为． 故答案为：． 36．已知点位于第四象限，那么化简 ______． 【答案】 【分析】本题考查化简绝对值，根据点在第四象限，可知，，然后利用绝对值的性质化简表达式即可． 【详解】解：∵点位于第四象限，所以，， ∴， ∴， 故答案为：b． 37．已知点，解答下列各题： (1)若点P在x轴上，求出点P的坐标； (2)若点P在第二象限，且它到x轴，y轴的距离相等；求a的值. 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了点的坐标与象限，x轴上的点的纵坐标等于零；y轴上的点的横坐标等于零；点在象限内时注意横纵坐标的符号，利用点到x轴，y轴的距离相等构造方程是解题关键． （1）根据x轴上的点的纵坐标等于零，可得方程，解方程可得答案； （2）根据点P在第二象限，且它到两坐标轴的距离相等，可得关于a的方程，解方程可得答案． 【详解】（1）解：∵点P在x轴上， ∴， 解得， 则， ∴点P的坐标为； （2）解：∵点P在第二象限，且它到x轴，y轴的距离相等， ∴， 解得． 38．在平面直角坐标系中，给出如下定义：点P到x轴、y轴的距离的较大值称为点P的“长距”，点Q到x轴、y轴的距离相等时，称点Q为“完美点”． (1)点的“长距”为 ； (2)若点的长距为4，且点B在第四象限内，点C的坐标为，判断点C是否为“完美点”，并说明理由． 【答案】(1)2 (2)点是“完美点”，理由见解析 【分析】（1）根据长距的定义进行判断即可； （2）根据点的长距为4，得到，再根据点B在第四象限内，，求出的值，再代入求出点C的坐标，进行判断即可． 【详解】（1）解：∵， ∴点到轴的距离为2，到轴的距离为1， ∴点的“长距”为2； （2）解：点C是“完美点”；理由如下： ∵点的长距为4，且点B在第四象限内， ∴，， ∴， ∴， ∵点C的坐标为， ∴点C的坐标为，即， ∴点C到x轴的距离为5，到y轴的距离为， ∴点是“完美点”． 39．在平面直角坐标系中，点和． (1)如果点在轴上，点在轴上，求、的值； (2)如果轴，且，求、的值． (3)点和点是否能同在第三象限内，若能，求出、的范围，若不能，请说明理由； 【答案】(1)， (2)，或 (3)不能，理由见解析 【分析】本题考查坐标轴上点的坐标特征，平行于轴的线段特征，第三象限点的坐标特征． （1）根据轴上点的纵坐标等于，轴上点的横坐标等于，列方程得到的值． （2）根据平行于轴的线段横坐标相等及线段长度为，列方程得到的值． （3）根据第三象限点的横、纵坐标均小于，列不等式解答即可． 【详解】（1）解：点在轴上，点在轴上， ，，解得：，； （2）解：轴，且， ，，解得，或； （3）解：不能，理由如下： ∵若点和点同在第三象限内， 则有：①，而且②， 不等式组①无解， 点和点不可能同在第三象限内． 题型五、利用坐标表示位置 40．如图，用方向和距离描述图书馆相对于小青家的位置是（   ） A．北偏东， B．北偏东， C．东偏南， D．东偏北， 【答案】B 【详解】解：由图可知，， 故图书馆相对于小青家的位置是北偏东，． 41．春节期间，小明想去南通博物苑参观，以下表示南通博物苑位置最合理的是（    ） A．东经，北纬 B．在钟楼的西北方向 C．距离南通西站6公里 D．在南通市 【答案】A 【分析】平面内确定一个点的位置需要两个独立数据，据此判断各选项即可． 【详解】解：选项A给出东经，北纬两个独立数据，可以唯一确定位置； 选项B只有方向没有距离，不能唯一确定位置； 选项C只有距离没有方向，不能唯一确定位置； 选项D描述范围宽泛，无法确定具体位置． 42．如图为抱犊寨景区的局部示意图．若“天井飞瀑”与“杏花村”两处景点的坐标分别为，，则景点“仙人洞”的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据已知条件得出小正方形的边长代表1个单位长度，从而找到原点的位置，再观察图形即可得到“仙人洞”的位置． 【详解】解：∵小正方形的边长代表1个单位长度， ∴原点位于“天井飞瀑”右侧1个单位、上方4个单位处， 观察图形可知，“仙人洞”位于原点左侧4个单位、上方2个单位处， ∴“仙人洞”的坐标为． 43．如图所示，雷达探测器测得六个目标A，B，C，D，E，F出现．按照规定的目标表示方法，目标A，B的位置分别表示为．按照此方法在表示目标C，D，E，F的位置时，表示不正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查坐标表示点的位置，读懂题意，按照题中规定表达点的坐标是解决问题的关键． 读懂题意，由题中规定的目标表示法直接表示即可得到答案． 【详解】解：由题意可知，，，， 即C选项表达错误 44．山西是中华民族的发祥地之一，被誉为“华夏文明摇篮”，素有“中国古代文化博物馆”之称．如图是山西的三个旅游景点，将其放在适当的平面直角坐标系中，若云冈石窟的坐标为，晋祠博物院的坐标为，则壶口瀑布的坐标为_________． 【答案】 【分析】本题考查了实际问题中用坐标表示位置，根据云冈石窟的坐标为，晋祠博物院的坐标为，来建立如图所示的平面直角坐标系，再找出壶口瀑布的坐标，即可作答． 【详解】解：∵云冈石窟的坐标为，晋祠博物院的坐标为， ∴建立如图所示的平面直角坐标系： 则壶口瀑布的坐标为 45．如图，圆的直径是，如果点的位置在点的东南方向距点 处，那么点的位置在点的________距点 处． 【答案】北偏东30°方向 【分析】本题考查了坐标确定位置，正确地识别图形是解题的关键． 根据点的位置在点的东南方向距点 处，于是得到点的位置． 【详解】解：∵圆的直径是 ∴, ∵点的位置在点的东南方向距点 处， ∴点的位置在点的北偏东方向距点处， 故答案为：北偏东方向． 46．如图，我们把杜甫《绝句》整齐排列放在平面直角坐标系中． （1）“两”“岭”和“船”的坐标依次是：______、______和______； （2）将第2行与第3行对调，再将第3列与第7列对调，“雪”由开始的坐标______依次变换为______和______． 【答案】 【分析】本题考查平面直角坐标系中点的坐标，读懂题意，数形结合表示出各个字的坐标是解决问题的关键． （1）将每一个字看作一个点，数形结合表示出各个字的坐标即可得到答案； （2）按照要求做出图形，将每一个字看作一个点，数形结合表示出各个字的坐标即可得到答案． 【详解】解：（1）由图可知，“两”“岭”和“船”的坐标依次是，，， 故答案为：，，； （2）“雪”开始的坐标， 将第2行与第3行对调，如图所示： “雪”的坐标为； 再将第3列与第7列对调，如图所示： “雪”的坐标为； 故答案为：，，． 47．某城市的部分街道如下所述，以市政府为坐标原点，建立平面直角坐标系．已知以下地点的坐标： 地点坐标 市政府，人民公园，博物馆，体育中心，火车站． (1)小明从人民公园出发，先向西走3个单位，再向南走1个单位，到达了哪个地点？ (2)小丽从博物馆出发，要去体育中心，如果她只能沿着水平方向和竖直方向行走（即每次只能向左、右、上、下四个方向中的一个方向移动），至少需要走多少个单位长度？ 【答案】(1)到达博物馆 (2)个单位长度 【分析】（1）根据小明的路线求解即可； （2）根据博物馆和体育中心的坐标求解即可． 【详解】（1）解：如图， 从人民公园向西3个单位到达，向南1个单位到达，即博物馆位置； （2）解：博物馆，体育中心，水平方向需走个单位，竖直方向需走个单位，共需走个单位长度． 48．如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1的正方形，已知火车站的坐标为，文化馆的坐标为． (1)请你根据题目条件，在图中建立适当的平面直角坐标系； (2)直接写出体育场，市场，超市的坐标； (3)已知游乐场A，图书馆B的坐标分别为，，请在图中标出A，B的位置． 【答案】(1)图见解析 (2)体育场坐标，市场，超市坐标 (3)图见解析 【分析】本题考查平面直角坐标系的建立与点的坐标表示，解题的关键是根据已知点的坐标确定平面直角坐标系的原点、坐标轴方向和单位长度． （1）根据已知点的坐标确定原点的坐标，确定出平面直角坐标系； （2）根据（1）的图形写出两个点的坐标； （3）根据坐标系分别标A，B的位置，即可． 【详解】（1）解：平面直角坐标系如图所示： （2）解：根据坐标系可得：体育场坐标，市场，超市坐标． （3）解：如图所示，点A，B即为所求． 49．下图所示的是某次海战中敌我双方战舰对峙示意图． (1)在我方潜艇的北偏东的方向上有哪些目标？要想确定敌方战舰B的位置，还需要什么数据？ (2)距离我方潜艇20n mile的有________________________________________________． 【答案】(1)敌方战舰B到我方潜艇的距离 (2)敌方战舰A和敌方战舰C 【分析】本题考查方向角，平面直角坐标系，解题的关键是熟练掌握方向角的定义，确定点的位置的方法． （1）确定点的位置要知道点的方向和距离，由此即可得到答案； （2）由图上距离，即可得到答案． 【详解】（1）解：有敌方战舰和小岛，还需要知道敌方战舰到我方潜艇的距离． （2）解：敌方战舰和敌方战舰． 题型六、点的平移与坐标变化（常考点） 50．已知坐标平面内的点，现将点P向左平移个单位长度，再向上平移个单位长度，那么新的点在坐标系下的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了点的平移规则． 根据点的平移规则：向左平移，x坐标减小；向上平移，y坐标增大．直接计算新坐标即可． 【详解】解：∵点向左平移2个单位，向上平移3个单位， ∴新的点， 即新坐标为． 故选：B． 51．如图，把经过一定的变换得到（与B重合），如果图中上点P的坐标为，那么这个点在中的对应点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】找到一对对应点的平移规律，让点P的坐标也作相应变化即可． 【详解】解：点B的坐标为，点的坐标为； 横坐标增加了；纵坐标增加了； ∵上点P的坐标为， ∴点P的横坐标为，纵坐标为， ∴点的坐标为． 52．在平面直角坐标系中，点，，将线段平移，使得的中点落在对应点的位置，则点的对应点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求出线段的原中点坐标，再根据原中点与对应中点的坐标确定平移规律，最后根据平移规律计算点A的对应点坐标． 【详解】解：∵， ∴ 线段的中点的坐标为 ∵平移后的对应点为 ∴平移规律为横坐标减，纵坐标减 ∴点对应点的横坐标为，纵坐标为 ∴． 53．将点向左平移1个单位长度得到点，且点在y轴上，那么点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了点的平移规律与轴上点的坐标特征，掌握点向左平移时横坐标减、轴上点的横坐标为是解题的关键． 点向左平移，横坐标减，纵坐标不变；点在轴上，则其横坐标为，由此求出的值，再代入求坐标． 【详解】解：∵点向左平移1个单位得到点， ∴的坐标为，即， ∵在轴上， ∴， ∴， ∴的坐标为，即． 故选：A． 54．在平面直角坐标系中，已知点平移后的点是，照此方式平移，请写出一个平移后在第三象限的点________． 【答案】（答案不唯一） 【分析】由平移前后的坐标得出平移的方式，再根据平移方式和点所在的象限求解即可，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解． 【详解】解：由点平移后的点是， 则平移方式为：先向右平移1个单位，再向下平移5个单位， 选原坐标为， 然后向右平移1个单位，再向下平移5个单位， 则平移后的点为， 即，且符合第三象限（答案不唯一） 55．如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，将平移后得到，若平移后点B的对应点D的坐标为，则点A的对应点C的坐标为__________． 【答案】 【分析】本题考查坐标与图形变化—平移，掌握坐标平移变化规律“左减右加，上加下减”是解题的关键． 先根据平移后点的对应点D的坐标为，得出是向右平移2个单位，向上平移1个单位得到，再由坐标平移变化规律“左减右加，上加下减”得出点C的坐标即可． 【详解】解：∵将平移后得到，平移后点的对应点D的坐标为， ∴是向右平移2个单位，向上平移1个单位得到， ∴点是向右平移2个单位，向上平移1个单位得到点C， ∴点C的坐标为，即． 56．如图，在第一象限内有两点，，将线段平移，使点、同时落在两条坐标轴上，则点平移后的对应点的坐标是______． 【答案】或 【分析】设平移后点的对应点分别是，分两种情况进行讨论： 在轴上，在轴上； 在轴上，在轴上． 【详解】解：设平移后点的对应点分别是， 分两种情况： 在轴上，在轴上，则横坐标为，纵坐标为， ∵， ∴， ∴点平移后的对应点的坐标是； 在轴上，在轴上，则纵坐标为，横坐标为， ∵， ∴， ∴点平移后的对应点的坐标是； 综上可知，点平移后的对应点的坐标是或． 57．在平面直角坐标系中，线段是由线段经过平移得到的，已知点的对应点为，点的对应点的坐标为，则点的坐标为___________． 【答案】 【分析】本题考查坐标与图形变化—平移，根据对应点的坐标确定平移规则，再根据平移规则，求出点的坐标即可． 【详解】解：∵平移后，点的对应点为， ∴点先向右平移4个单位，再向下平移5个单位，得到点， ∴点先向右平移4个单位，再向下平移5个单位，得到点， ∵点的坐标为， ∴，即； 故答案为：． 58．如图，在平面直角坐标系中，，，将线段平移至的位置，则的值为______． 【答案】2 【分析】本题考查坐标与图形变化-平移，解题的关键是掌握平移变换的性质， 根据平移变换的规律解决问题即可． 【详解】解：由题意，线段向右平移1个单位，再向上平移1个单位得到线段， ∴， ∴， 故答案为：2． 59．如图，在边长为1个单位的小正方形网格中建立平面直角坐标系，已知的顶点A的坐标为，顶点B的坐标为，顶点C的坐标为． (1)将向右平移4个单位，再向下平移5个单位得到，请你画出，并写出点的坐标； (2)若边上一点经过上述平移后的对应点是，则点的坐标是________（用含a，b的式子表示） 【答案】(1)作图见解析， (2) 【分析】（1）根据平移方式作图即可；根据平面直角坐标系可知点的坐标； （2）根据平移方式作答即可． 【详解】（1）解：如图所示：即为所求，可知； （2）解：将向右平移4个单位，再向下平移5个单位得到． 60．如下图，线段的两个端点坐标分别为，．线段向下平移3个单位长度，它的像是线段． (1)试写出点，的坐标． (2)若点是平面内的任一点，在上述平移下，像点与点的坐标之间有什么关系？ 【答案】(1)点，的坐标分别为，． (2) 【分析】本题考查了坐标与图形变化平移，解决本题的关键是掌握平移的性质． （1）根据平移性质即可写出点，的坐标； （2）根据点是平面内的任一点，在上述平移下，即可得像点与点的坐标之间的关系． 【详解】（1）解：，，线段向下平移个单位长度， 点，的坐标分别为，． （2）解：点是平面内的任一点，在上述平移下， 像点与点的坐标之间关系为 61．如图，在平面直角坐标系中，已知，，将线段平移至，使点A与点B重合，点D在x轴正半轴上（不与点A重合），连接． (1)求点C的坐标； (2)当三角形面积是三角形的面积的3倍时，求点D的坐标． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）根据平移的性质求解即可； （2）根据三角形面积的计算，分类讨论：当点D在线段上时；当点D在线段延长线上时；结合图形列式求解即可． 【详解】（1）解：∵平移，点的对应点为点， ∴点A向右平移2个单位长度，向上平移5个单位长度得到点B， ∴点向右平移2个单位长度，向上平移5个单位长度得到点C， ； （2）解：分两种情况： ①当点D在线段上时， ∵三角形的面积是三角形的面积的3倍， ， ； ②当点D在线段延长线上时， ∵三角形的面积是三角形的面积的3倍， ， ， ． 综上所述，点D的坐标为或． 62．在平面直角坐标系中，线段两个端点的坐标分别为，，端点在端点右边，点是平面内一点． (1)若点在第三象限且点到轴的距离为，到轴的距离为，则的值为______； (2)将线段沿轴正方向平移个单位长度得到线段，线段扫过的面积为．连接，得到的面积是，求的值． 【答案】(1) (2) 或 【分析】（1）根据第三象限点的坐标特征，以及点到坐标轴的距离定义，求出和的值，再计算即可； （2）先根据线段平移后扫过的平行四边形面积求出的值，再利用割补法计算的面积，根据已知面积列方程求解即可． 【详解】（1）解：点在第三象限，且点到轴的距离为，到轴的距离为， ， ， ； （2）解：将线段沿轴正方向平移个单位后，，， ，， 线段扫过的图形是平行四边形，其面积为，端点在端点右边， ， ， 若，则有： ， 令，解得， 若，则有： ， 令，解得，不合题意，故舍去， 若，则有： ， 令，解得， 综上，的值为或． 题型七、中点坐标（重点） 63．若线段轴，点是线段的中点，且，则点的坐标是（   ） A． B．或 C． D．或 【答案】B 【分析】先利用平行于轴的线段上所有点横坐标相等的性质，确定M点的横坐标，再结合中点坐标与线段长度计算M点的纵坐标，即可得到结果． 【详解】解：∵ 轴， ∴ 和的横坐标相等． ∵ 是线段的中点， ∴ 点的横坐标为． 设， ∵ ， ∴或， 解得或， 因此点坐标为或． 64．点和点的中点坐标为________． 【答案】 【分析】本题考查的是中点坐标计算，掌握中点坐标公式，横坐标为两点横坐标之和的一半，纵坐标为两点纵坐标之和的一半是解题的关键． 根据中点坐标公式直接求解即可． 【详解】点和点， 则中点横坐标为，纵坐标为， 则中点坐标为． 故答案为：． 65．已知点与点关于点对称，则________． 【答案】 【分析】本题考查了两点关于某点对称的点的坐标特征，解题的关键是掌握两点关于某点对称，则该点的坐标为这两点的中点坐标，利用中点坐标公式建立方程即可解答． 【详解】解：∵点与点关于点对称， ∴， ∴． 故答案为：． 66．公司正在开发一款基于平面直角坐标系下的导航软件．为测试软件的准确性，工程师在坐标系中设置了以下关键点：表示起点，表示终点．如果软件需要在线段之间设置一个中转站，且中转站到点和点的距离相等，则中转站的坐标为_______． 【答案】 【分析】本题主要考查了中点坐标公式，熟练掌握中点坐标公式，是解题的关键．设中转站的坐标为，根据中点坐标公式进行求解即可． 【详解】解：设中转站的坐标为， ∵中转站到点A和点B的距离相等， ∴中转站为的中点， ∴， ∴中转站的坐标为． 故答案为：． 67．如图，在平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别为，，将线段向右平移4个单位长度后得到线段，再将线段向下平移4个单位长度后得到线段． (1)请画出平移后的线段和； (2)连接，，，分别写出三条线段的中点坐标； (3)若点和，直接写出线段的中点坐标． 【答案】(1)见详解 (2)；； (3) 【分析】（1）根据平移的方向及距离即可作图； （2）观察图像即可得解． （3）设线段的中点坐标为，根据，求出，即可得线段的中点坐标． 【详解】（1）解：如图，线段和即为所求； （2）解：观察图像可得： 的中点坐标为， 的中点坐标为， 的中点坐标为． （3）解：若点和，设线段的中点坐标为， 设，， 则， 解得， ， 解得， ∴线段的中点坐标为． 【点睛】本题考查了平面直角坐标系中的平移作图和求线段中点坐标，熟练掌握平移的口诀：上加下减，左加右减是解题的关键． 68．如图，正方形的边长为，轴，． (1)写出，，三个顶点的坐标； (2)写出中点的坐标． 【答案】(1)，，； (2)． 【分析】本题考查了坐标与图形的性质，掌握知识点的应用是解题的关键． （）利用正方形的性质即可求解； （）根据，则点纵坐标与纵坐标相同，点横坐标与横坐标之和的一半即可求解． 【详解】（1）解：∵，轴，， ∴点，，； （2）解：∵，，， ∴点纵坐标与纵坐标相同为，点横坐标与横坐标之和的一半即， ∴中点的坐标为． 69．在平面直角坐标系中，以任意两点为端点的线段的中点坐标为．例如：点，则线段的中点坐标为． 请利用以上结论解决问题： (1)若点，，则以点和点为端点的线段的中点坐标为_____． (2)已知点，若为线段的中点，求点的坐标． (3)已知点和点的坐标分别为，线段与轴平行，且．若线段的中点与线段的中点在第一象限重合，直接写出点的坐标． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了中点坐标公式，理解中点坐标公式是解题的关键． （1）根据中点坐标公式代入数据计算即可； （2）设点的坐标为，根据中点坐标公式分别建立关于的方程求解即可； （3）先求出点H的坐标，再求出线段的中点坐标为，进而得到线段的中点坐标为，同理（2）即可求解． 【详解】（1）解：∵ ，， ∴以点和点为端点的线段的中点坐标为，即， 故答案为：； （2）解：设点的坐标为， 由题意得， 解得， 点的坐标为； （3）解：点，线段与轴平行，且的中点在第一象限， ∴点在第一象限，且纵坐标为， ∵， 点的坐标为， 线段的中点坐标为， 线段的中点坐标为， 点的坐标为， ∴点的坐标为． 70．定义：在平面直角坐标系中，对于任意两点，，若点满足，，那么称点T是点A和B的衍生点． 例如：，，则点是点M和N的衍生点． 已知点是点，的衍生点． (1)请直接写出点T的坐标（用含m的式子表示）． (2)若直线交x轴于点H，当时，求点E的坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查坐标与图形，理解新定义是解题关键． （1）直接根据衍生点的定义求解． （2）垂直于x轴的直线上的点横坐标相等，进而求出m的值和E点的坐标． 【详解】（1）解：由题意知点T的坐标为，即； （2）解：如图， ∵， ∴点E与点T的横坐标相同． ∴， 解得，则 ∴E点坐标为． 题型八、坐标的规律探索（难点） 71．如图，在平面直角坐标系中，一质点自处向上运动1个单位长度至，然后向左运动2个单位长度至处，再向下运动3个单位长度至处，再向右运动4个单位长度至处，再向上运动5个单位长度至处，…，按此规律继续运动，则的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查坐标与图形变化——平移，规律型问题，解题的关键是根据第四象限中点的特征，探究规律，利用规律解决问题． 【详解】解：由题意可知， ∴第四象限中的点为， ∵， ∴的坐标是，即． 故选：D 72．如图，在平面直角坐标系中，，把一根长为2021个单位长度且没有弹性的细线(线的粗细忽略不计)的一端固定在点处，并按的规律绕在四边形的边上，则细线另一端所在位置的点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查点的坐标，长方形的周长，掌握知识点是解题的关键． 由点A，B，C，D的坐标可得出，的长，矩形的周长，结合，细线的另一端所在位置的点在点A左侧1个单位处，即可解答． 【详解】解：由题意得， ∴四边形的周长为：， ∵， ∴细线的另一端所在位置的点在点A左侧1个单位处， 即细线的另一端所在位置点的坐标是． 故选：A． 73．法国数学家笛卡尔创立了平面直角坐标系，被誉为“解析几何之父”．在平面直角坐标系中，我们定义点的“笛卡尔变换”为：．已知点的坐标为，则经过次笛卡尔变换后得到的点的坐标为(   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查点的坐标规律探索，关键是通过计算前几次变换的坐标，找到变换的周期，再利用周期确定第次变换后的坐标． 【详解】解：已知点的坐标为，根据“笛卡尔变换”规则，依次计算前几次变换后的坐标： ， ， ， ， …… 可见每次变换后回到初始坐标． ∵， ∴第次变换后的坐标与第次变换后的坐标相同． 故选：A． 74．如图，将边长为1的正方形沿x轴正方向连续翻转2024次，点P依次落在点，，，…，的位置，则的坐标为________，的坐标为________． 【答案】 【分析】找出坐标规律．根据图形得出点的坐标变化规律，再根据规律求解． 【详解】解：由图可知：，，，，，，，…，纵坐标每个一循环， ， 在次循环后纵坐标与对应， 由，，…可知，其每个周期增加4，初始周期结束（第4次）横坐标为3， 的横坐标为：， 则的坐标为：， 75．如图，一动点从出发，沿所示方向运动，每当碰到长方形的边时反弹，反弹后的路径与长方形的边所夹锐角为，第1次碰到长方形边上的点的坐标为，则第2026次碰到长方形边上的点的坐标为_____． 【答案】 【分析】先根据动点的运动规律，依次写出前几次碰到长方形边上的点的坐标，找出坐标的循环周期，再用总次数除以周期，根据余数确定第2026次碰到的点的坐标． 【详解】解：如图， 第1次碰到的点坐标：； 第2次碰到的点坐标：； 第3次碰到的点坐标：； 第4次碰到的点坐标：； 第5次碰到的点坐标：； 第6次碰到的点坐标：； 第7次碰到的点坐标：； ……； 由此可知，动点的坐标以次为一个循环周期． ， 即第2026次碰到的点的坐标与第4次碰到的点的坐标相同，为． 76．如图，点P在平面直角坐标系中按图中箭头所示方向运动，第1次从原点运动到点，第2次接着运动到点，第3次接着运动到点，……，按这样的运动规律，经过第2023次运动后，动点P的坐标是__________． 【答案】 【分析】观察点的坐标变化发现每个点的横坐标与运动的次数相等，纵坐标是1，0，2，0，每4个数一个循环，按照此规律解答即可． 【详解】解：观察点的坐标变化可知： 第1次从原点运动到点， 第2次接着运动到点， 第3次接着运动到点， 第4次接着运动到点， 第5次接着运动到点， ……， 按这样的运动规律，发现每个点的横坐标与运动的次数相等，纵坐标是1，0，2，0，每4个数一个循环， 由于， 所以经过第2023次运动后，动点P的坐标是． 77．如图，在平面直角坐标系中，一动点从原点O出发，沿着箭头所示方向，每次移动1个单位，依次得到点，，，，，，…，则点的横坐标是________． 【答案】 675 【分析】根据点的移动可知点的横坐标从的开始，每过三个坐标，则增加1，据此即可解答． 【详解】解：∵，，，，，，，，，，，，， ∴点的横坐标从的开始，每过三个坐标，则增加1， ∵， ∴点的横坐标为． 78．在如图所示的平面直角坐标系中，按规律排列的，，，，…，都是等腰直角三角形，且顶点都在格点上（点与坐标原点O重合）． (1)写出点的坐标：______； (2)根据点，，，，…，求出点的坐标； (3)在上述按规律排列的等腰直角三角形中，是否存在某个等腰直角三角形的顶点的纵坐标为？若存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，理由见解析 【分析】本题考查点的坐标变化规律，得出坐标的变化规律是解题的关键． （1）观察坐标系中第四象限中的点的坐标特征，即可求解； （2）根据已知点的坐标特征得出，，进而即可求解； （3）根据（1）得出，进而代入，即可求解． 【详解】（1）解：根据题意可得，的坐标，， 故答案为：． （2）根据点，，，，…， 由此可得 ∵， ∴点的坐标为 （3）解：由 ，，，，…， ∴ 当 解得： 79．如图，动点在平面直角坐标系中按图中箭头所示方向运动： 第一次：原点； 第二次：； 第三次：； 第四次：； 第五次：； ．．． 归纳上述规律，完成下列任务． (1)直接写出下列坐标：_______，_______，________； (2)第2025次运动后，的坐标为_______； (3)点距轴的距离为______，点距轴的距离为_______． 【答案】(1)；； (2) (3)5；299 【分析】本题考查点的坐标变化规律，能根据点P的运动方式发现其坐标的变化规律是解题的关键． （1）根据动点P的运动方式，即可解决问题． （2）根据（1）中发现的规律即可解决问题． （3）求出点的坐标即可解决问题． 【详解】（1）解：∵，，，，…， ∴点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为， 令， 解得， ∴． 即点的坐标为． 同理可得，点的坐标为，点的坐标为． 故答案为：； （2）解：根据（1）的发现可知， 令， 解得， ∴点的坐标为． 故答案为：； （3）解：根据（1）的发现可知， 令， 解得， ∴点的坐标为． 则点到轴的距离是5，到轴的距离是299． 故答案为：5，299． 题型九、坐标与几何的简单应用 80．如图，将5个边长均为3的正方形置于平面直角坐标系中，若顶点、的坐标分别为、，则顶点A的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由图形可得轴，，轴，可求正方形的边长，即可求解． 【详解】解：∵顶点M、N的坐标分别为、， ∴轴，，轴， ∴正方形的边长为3， ∴， ∴， ∵ ， ∴轴， ∴． 故选：A． 81．将平面直角坐标系内某个图形各个点的横坐标、纵坐标都乘 3， 所得图形的面积（    ） A．是原图形的3倍 B．是原图形的9倍 C．不变 D．是原图形的6倍 【答案】B 【分析】本题考查平面直角坐标系中图形缩放的面积变化规律，需明确横、纵坐标同乘一个数时，图形在两个坐标轴方向的缩放比例与面积缩放比例的关系． 【详解】解：∵将图形各个点的横坐标、纵坐标都乘3， ∴图形在轴方向的缩放比例为3，在轴方向的缩放比例也为3， 又∵平面图形缩放后，面积的缩放比例为各坐标轴方向缩放比例的乘积， ∴所得图形的面积是原图形的倍， 故选：B． 82．如图，在平面直角坐标系中，平行四边形的三个顶点坐标分别为， 则C的坐标是____________． 【答案】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，图形与坐标，掌握平行四边形的性质是解题的关键．根据平行四边形的性质，点的坐标特征可求解． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴点的坐标为， 故答案为：． 83．如图，在平面直角坐标系中，点，，，，点在轴正半轴上，线段与线段交于点．若与面积相等，则到直线的距离是________． 【答案】4 【分析】本题考查平面直角坐标系中三角形面积的计算．画出相关图形，根据与面积相等，可得．进而可得点A到的距离． 【详解】解：作于点M． ∵，， ∴， ∴， ∵与面积相等， ∴． 即． 又 ∴， 即：． 解得：． 故答案为：4 84．如图，的三个顶点位置分别是，，，线段与y轴交于． (1)求的面积； (2)若点A、B的位置不变，当点P在坐标轴上什么位置时，使？ 【答案】(1)6 (2)或或或 【分析】本题主要考查平面直角坐标系中点的特征及三角形的面积，掌握三角形的面积公式及点在平面直角坐标系中的位置是解题的关键． （1）根据点A，B，C三个点的坐标，求出的长、点B到的距离，利用三角形面积公式列式计算即可得解； （2）根据得到，然后分两种情况，根据三角形面积公式求解即可． 【详解】（1）解：∵、、， ∴，点B到的距离为3， ∴的面积是； （2）解：由题意得，， 当P点在x轴上， ∴ 解得， ∵ ∴点P坐标为或； 当点在轴上时，记线段与y轴交于， ∵ ∴ ∴， ∴点P坐标为或， 综上：点P坐标为或或或． 85．在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中建立如图所示的平面直角坐标系，四边形ABCD是格点四边形（顶点为网格线的交点）． (1)写出点A，B，C，D的坐标． (2)求四边形ABCD的面积． 【答案】(1)，，， (2)14 【分析】（1）根据图形结合坐标系写出各点坐标即可； （2）利用长方形的面积减去四个顶点上三角形的面积即可． 【详解】（1）解：由平面直角坐标系可得， ，，，． （2）解：． 【点睛】本题考查了平面直角坐标系，点的坐标，四边形的面积等，结合网格特点以及平面直角坐标系的特征确定点的坐标是解题的关键． 86．在如图所示的平面直角坐标系中，点，，，． (1)求四边形的面积； (2)在轴上找一点，使三角形的面积等于四边形面积的一半，求点的坐标． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题考查了坐标与图形综合，采用数形结合的思想是解此题的关键． （1）分别过，两点作轴的垂线，垂足分别为，，结合题意可得，，，，，再由计算即可得解； （2）设，根据三角形的面积等于四边形面积的一半，，得出，求解即可． 【详解】（1）解：如图，分别过，两点作轴的垂线，垂足分别为，． ∵点，，，， ∴，，，，， ∴ ． （2）解：设， ∵三角形的面积等于四边形面积的一半，， ∴， 解得：或， ∴或． 87．在平面直角坐标系中，对于两点给出如下定义：若点的横纵坐标的绝对值之和等于点的横纵坐标的绝对值之和，则称两点为“等和点”，如图中的两点即为“等和点”． (1)已知点的坐标为，在点中，与点为“等和点”的是_____（只填字母）； (2)若点满足方程，且，两点为“等和点”，求B点的坐标． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题考查了坐标与图形，理解“等和点”的定义是解此题的关键． （1）由“等和点”的定义一一验证即可； （2）设，由“等和点”的定义列出方程求出或，即可得出答案． 【详解】（1）解：点的坐标为， ， 在点，，中，，，， 与点为“等和点”的是， 故答案为：； （2）解：点满足方程， ∴， 设， ， 解得：或， 或． 题型十、坐标系中存在性问题（难点） 88．如图1，平面直角坐标系中，，，且满足，过点C作轴于点B． (1)_______，______． (2)求三角形的面积． (3)如图2，若线段与y轴交于点，在y轴上是否存在点P，使得三角形和三角形的面积相等，若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)；4 (2)16 (3)存在，P点坐标是或 【分析】（1）根据平方数和算术平方根的非负性，可得，，即得答案； （2）由（1）知，，，可得，，再根据三角形的面积公式计算即可； （3）设，则，再利用面积列方程求解即可． 【详解】（1）解：， ，， ，． （2）解：由（1）知，，， ，， 轴， ， ，， 三角形的面积为． （3）解：存在，点或 设，则， 若三角形和三角形的面积相等， 则， 解得或， 点P坐标是或． 89．如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点B在x轴的负半轴上，，点在第二象限，轴，且，点在第一象限． (1)求两点的坐标； (2)是否存在m，使以为顶点的四边形的面积等于？若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)存在，点的坐标为 【分析】本题主要考查了点坐标与图形、点所在的象限，熟练掌握点坐标的应用是解题关键． （1）先根据点在轴的负半轴上，可得；再根据点在第二象限，轴，且，可得； （2）先求出的面积和的面积，再根据使以为顶点的四边形的面积等于可得，由此即可得． 【详解】（1）解：∵点在轴的负半轴上，， ∴； ∵点在第二象限，轴，且，， ∴． （2）解：∵，， ∴， ∴， ∵点在第一象限， ∴， ∴的边上的高为， ∴， ∵以为顶点的四边形的面积等于， ∴， ∴， ∴， ∴存在，使以为顶点的四边形的面积等于，此时点的坐标为． 90．如图，在平面直角坐标系中，已知，，b满足． (1)求a，b的值； (2)如果在第二象限内有一点，请用含m的式子表示四边形的面积； (3)在（2）条件下，当时，在坐标轴的负半轴上是否存在点N，使得四边形的面积与的面积相等？若存在，求出点N的坐标，请说明理由． 【答案】(1)a的值是2，b的值是3 (2) (3)或 【分析】考查了坐标与图形性质，非负数的性质，三角形的面积，关键是求得a，b的值，其中（3）中注意分类思想和数形结合思想的应用． （1）根据非负数的性质得到，解方程即可得到a，b的值； （2）过点M作轴于点D．根据四边形面积求解即可； （3）当时，四边形的面积，可得，再分两种情况：①当N在x轴负半轴上时，②当N在y轴负半轴上时，进行讨论得到点N的坐标． 【详解】（1）解：∵a，b满足， ∴， 解得． 故a的值是2，b的值是3； （2）解：过点M作轴于点D． 四边形面积 ； （3）解：当时，四边形的面积． ∴， ①当N在x轴的负半轴上时， 设，则， ∴， 解得， ∴点的坐标为； ②当N在y轴负半轴上时， 设，则， ∴， 解得． ∴点的坐标为． 综上，点的坐标为或． 91．如图，在平面直角坐标系中，，，满足． (1)求、两点的坐标及的面积； (2)若点是轴上一点，且的面积为6，求点的坐标； (3)若是轴上方到轴的距离为6的一条直线，在直线上是否存在点，使的面积等于的面积，若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，，； (2)点的坐标为或； (3)存在这样的点，点坐标为或． 【分析】本题考查了非负数的性质，坐标与图形等知识； （1）由非负数的性质即可求得a，b的值，从而求得A、B的坐标及的面积； （2）设，由的面积为6，建立关于n的方程，求出n的值，即可求解； （3）设，由（1）知：；分点P位于y轴左侧，点P位于y轴右侧，两种情况考虑即可． 【详解】（1）解：由得：，， ，， ，， ，， ， （2）解：设， ， ， ， 或， 点的坐标为或． （3）解：存在，理由：设， 由（1）知：， ， 当P位于y轴左侧时，设直线交y轴于点D，如图； ， ， ， ； 当P位于y轴右侧时，过点P作轴于点D，如图； ， ， ， ； 存在这样的点，点坐标为或． 92．在平面直角坐标系中，已知中，，，，点A、B分别在原点两侧，且A、B两点间的距离等于6个单位长度． (1)求m的值； (2)在y轴上是否存在点M，使的面积的面积，若存在，请求出符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在，M的坐标是或 【分析】本题考查三角形的面积，坐标与图形的性质，两点间的距离公式，关键是要注意M的坐标有两种情况． （1）由A、B的坐标，得到，求出； （2）过C作于H，轴于G，由C的坐标得到，，求出，得到，设M的坐标是，得到，求出，即可得到M的坐标． 【详解】（1）解：，，A、B两点间的距离等于6个单位长度， ， ； （2）解：过C作于H，轴于G， 的坐标是， ，， ， ， 设M的坐标是， ， ， 的坐标是或． 93．在平面直角坐标系中，如图①，第二象限内有一点，过点B作线段垂直于x轴，垂足为A，实数a、b满足．，将线段向右平移使点A和点D重合得到线段，连接与y轴相交于点M，动点P从A点出发，沿折线运动，运动到点C停止运动，速度为每秒2个单位长度，设运动时间为t秒． (1)求点C的坐标； (2)当点P在线段上运动时，请用含t的代数式表示在这一运动过程中线段的长，并直接写出t的取值范围； (3)如图②，y轴上有一点，在点P沿折线运动过程中是否存在t值，使三角形的面积为2？若存在，求出t的值，并求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)当时，；当时， 【分析】（1）根据非负数之和求出a，b，从而得出B和C点坐标； （2）分析出点P从A到B需要的时间，再求出B到C需要的时间，从而得出用含t表示的长度； （3）分类讨论当点P在线段上，当P在线段运动时，分别求出t值和P点坐标． 【详解】（1）解：∵， ∴，， ∴，， ∴， 根据平移的性质可知：，，C，B两点的纵坐标相同，纵坐标都为3， ∵垂直x轴， ∴垂直x轴， ∴C，D两点的横坐标相同，横坐标都是4， ∴； （2）解：∵，， ∴，， ∵P的速度为每秒2个单位长度， ∴P由A到B需要的时间为：（秒）； A到B需要的时间为（秒）； ∴P由A到B，再由B到C需要的时间为（秒）， 当点P在线段上运动时，点P的坐标为， ∴； （3）解：分以下两种情况讨论： 当点P在线段上运动时，点P的坐标为， 则，如图1， ∵，， ∴， ∵，点， ∴， 解得， ∴； 当点P在线段上运动时，点P的坐标为， 即，如图2， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∵，点， ∴， 解得， ∴， ∴此时． 综上所述，当时，；当时，． 【点睛】本题是动点移动问题，考查了非负数的性质，分类讨论思想，方程思想，解题关键是熟练掌握动点移动问题． 题型十一、坐标系中动点问题（难点） 94．如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，点在第一象限，过点A向x轴作垂线，垂足为点B，连接，，点M从O出发，沿y轴的正半轴以每秒2个单位长度的速度运动，点N从点B出发以每秒3个单位长度的速度向x轴负方向运动，点M与点N同时出发，设点M的运动时间为t秒，连接，，． (1)求a的值； (2)当时，试判断四边形的面积是否变化？若不变化，请求出其值；若变化，请说明理由； (3)当时，请求出t的值及三角形的面积． 【答案】(1) (2)四边形的面积不变，见解析 (3)①当时，；②当时， 【分析】（1）先求出，，再根据三角形面积计算公式建立方程求解即可； （2）如图2，由（1）得，，；由题意得，，，，再根据进行求解即可； （3）分两种情况讨论：当时，此时点N在上，，，求出的值，进而求出，再根据，即可求出的面积；当时，此时点N在的延长线上，，，求出的值，进而求出、、，再根据，即可求出的面积． 【详解】（1）解：∵，轴， ∴，， ∵， ∴，即， 解得或（舍去）； （2）解：如图2，由（1）得，，， ∴，， ∴，； 由题意得，，， ∴， ∵， ∴， ∴四边形的面积不变，； （3）解：当时，如下图，此时点N在上，，， ， ， ， ， ， ； 当时，如下图，此时点N在的延长线上，，， ， ， ， ， ，， ， ， 综上可知，当时，；当时，． 95．如图1，点，其中满足，将点分别向上平移2个单位，再向右平移1个单位至，连接． (1)请直接回答：___________，___________，的坐标是___________，的坐标是___________； (2)连接交于点，求的长； (3)如图2，点从点出发，以每秒1个单位的速度向上运动，同时点从点出发，以每秒2个单位的速度向左运动．设运动时间为秒，射线交轴于点．问的值是否为定值？如果是定值，请求出它的值；如果不是定值，请说明理由． 【答案】(1)；3；；； (2) (3)是定值；3． 【分析】（1）利用非负数的性质，构建方程组即可解决问题． （2）利用面积法求解即可． （3）结论：的值是定值．分两种情形：如图2-1中，当点N在线段上时，连接．如图2-2中，当点N在的延长线上时，连接．分别说明即可解决问题． 【详解】（1）解：， ，， ，， ，， 由平移的性质得， 将点、分别向上平移2个单位，再向右平移1个单位至、， ， （2）解：如图1中， 由题意得，，，， ∴， 即， 解得 ∴； （3）解：结论：的值是定值．理由：如图2-1中，当点N在线段上时，连接． 设运动时间为t秒， 由题意：，， ，， ， ， ； 如图2-2中，当点N在的延长线上时，连接． ， 综上所述，的值是定值，定值为3． 96．在平面直角坐标系中，O为原点，点，，． (1)如图1，的面积为 ； (2)如图2，将点B向右平移至点． ①若线段的长为5，求点D到直线的距离； ②点P是x轴上一动点，若的面积等于3，请求出点P的坐标． 【答案】(1)9 (2)①点D到直线的距离为；②点P的坐标为或 【分析】本题考查了坐标与图形，点的平移，平面直角坐标系中求三角形面积，平面直角坐标系中求三角形面积时，如果三角形中无一边与坐标轴平行，则常常用割补的方法，使得三角形表示为易于求得面积的三角形或四边形面积的和或差．注意（2）问中点P的坐标有两种情况，不要忽略x轴负半轴上的情况． （1）由题意可得、的长，由三角形面积公式即可求得； （2）①过点D作轴于E，由求出的面积，然后再求出距离即可； ②由面积可得，根据点P在x轴上的位置即可求得点P的坐标． 【详解】（1）解：∵，，， ∴，，， ∴， ∴； 故答案为：9； （2）解：①如图，过点D作轴于E， ∵点D坐标为， ∴点E坐标为， ∵， ∴，，， ∴ ， ∵线段的长为5， ∴点D到直线的距离为： ； ②由题意得：， 即 ∴ ∵点P在x轴上 ∴点P的坐标为或． 97．如图，在平面直角坐标系中，长方形的边、 分别在x轴、y轴上，B点在第一象限，点A的坐标是，． (1)直接写出点B、点C的坐标． (2)点P从原点O出发，在边上以每秒1个单位长度的速度匀速向C点运动，同时点Q从点B出发，在边上以每秒2个单位长度的速度匀速向A点运动，当一个点到达终点时，另一个点随之停止运动，设运动时间为t秒，探究下列问题： ①当t为多少时，直线轴？ ②在运动过程中，当点Q到y轴的距离为2个单位长度时，求t的值． ③在整个运动过程中，能否使得四边形的面积是长方形面积的？若能，请求出P、Q两点的坐标；若不能，说明理由． 【答案】(1) (2)①；②；③能，点P的坐标是，点Q的坐标是 【分析】本题是四边形综合题．考查了长方形的性质以及四边形的面积，解题的关键是化动为静，用含t的代数式表示线段的长． （1）根据给定点的坐标和线段长，再利用长方形的性质求出点B和点C的坐标； （2）①根据题意得，，则，可知，根据题意有，列方程求解即可； ②根据题意可知，则有，求解t即可； ③根据题意求得，有题意知，，可求得，，则，结合题意求得t，即可知点的坐标． 【详解】（1）解：∵四边形是长方形， ∴， ∵点A的坐标是，， ∴， ∴， 故点； （2）解：由题意得，， ∴， ∴， ①∵直线轴， ∴ ∴， ∴， ∴当t值为秒时，直线轴； ②∵点Q到y轴的距离为2个单位长度， ∴， 由①知，则，解得， ③∵，， ∴， 由运动知，，， ∴，， ∴， ∵四边形的面积是长方形的面积的， ∴，解得， ∴， ∴，． 98．如图，平面直角坐标系中，点在第一象限，轴于，轴于，，且满足． (1)如图，求点的坐标； (2)如图，点从点出发以每秒个单位的速度沿轴正方向运动，点从点出发，以每秒个单位的速度沿轴负方向运动，设运动时间为，当时，求的取值范围； (3)如图，将线段平移，使点的对应点恰好落在轴负半轴上，点的对应点为（在第三象限），连接交轴于点，当时，求点的坐标． 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】（）根据非负数的性质解答即可； （）由题意得，，再分点在上和点在的延长线上两种情况解答即可； （）设点，由平移的性质得，过点作轴于，可得，，进而得到，即得到，再根据得，解方程即可求解； 本题考查了非负数的性质，平移的性质，坐标与图形，运用分类讨论思想解答是解题的关键． 【详解】（1）解：∵， ∴，， ∴，， ∴； （2）解：∵，轴于，轴于， ∴，， 由题意得，，， 当点在上，即时，则， ∴ ， ∵， ∴， 解得， ∴； 当点在的延长线上，即时，则， ∴， ， ∵， ∴， 解得； 综上，当时，的取值范围为或； （3）解：设点，则， ∵，， ∴由平移的性质得，， 过点作轴于，如图， 则，， ∴， ， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得或， ∵点在第三象限， ∴， ∴， ∴， ∴． 99．如图，在平面直角坐标系中，已知点，线段平移到线段，且点在轴上． (1)_______，点的坐标为_______； (2)如图2，过点作直线轴，直线上有一动点，以每秒2个单位长度从点向方向运动，运动时间为秒，连接与线段交于点，连接，当为何值时 ； (3)如图3，点是射线上的一点，向轴正方向移动，在直线上取两点、（点在点左侧），满足，．当运动到某一位置时，四边形的面积有最大值，请直接写出面积的最大值． 【答案】(1)； (2) (3) 【分析】（1）根据题意点在轴上，解出值，利用点坐标得到平移向上平移1个单位，向右平移2个单位到线段，进而求出点的坐标； （2）连接，通过割补法计算出的面积，通过等式的性质得到，，进而求值； （3）通过平移至，将四边形面积转化为求面积，当时，可得面积面积最大，进而得到四边形面积最大值． 【详解】（1） 且点在轴上， ， ， 从平移到，即平移向上平移2个单位，向右平移1个单位到线段， ， 即， 故答案为：； （2）解：过点作，过点作的垂线交于点，连接， ，，，， ， ， ， ， 即， 根据题意， ， ； （3）四边形面积最大值为，理由如下： 平移至，交延长线于，过点作， 则，， ， 当四边形面积最大时，的面积也是最大， 当时，的面积最大， 最大值为， 四边形面积最大值为． 【点睛】本题考查坐标系中的平移的性质及坐标系中计算三角形、四边形面积综合，根据平移的性质准确得到坐标是解题的关键． 100．如图，在长方形中，为平面直角坐标系的原点，点的坐标为，点的坐标为，且、满足，点在第一象限内，点从原点出发，以每秒2个单位长度的速度沿着的路线运动，回到点，停止移动．设点运动的时间为； (1)点的坐标为______；当点运动5秒时，点的坐标为______． (2)在点运动过程中，当的面积为一个定值时，则的取值范围是______； (3)在路线的运动过程中，是否存在某个时刻，使的面积是？若存在，求出点运动的时间；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2) (3)或 【分析】本题考查了平面直角坐标系的认识，二次根式和绝对值的非负性，动点问题． （1）利用二次根式和绝对值的非负性求出即可求出，判断的运动位置即可求出点的坐标． （2）当在线段上时，的面积为一个定值． （3）根据的不同位置分类讨论即可． 【详解】（1）解：，， ， ， ，, , 当时，运动10个单位，此时运动到点，故坐标为． （2）当在线段上时，的面积为一个定值． 在点时：， 在点时：， 故答案为：． （3）①当在线段上时， ，即， ， ； ②当在线段上时， ，即， ， ， ； 故答案为：或． 1．（25-26七年级下·北京海淀·期中）某智能机器人在平面直角坐标系中移动，起始位置对应点，若点沿轴向左平移个单位，再沿轴向上平移个单位，得到机器人新位置对应的点，则点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】平面直角坐标系中点平移规律可知：左右平移改变横坐标，左移横坐标减，右移横坐标加；上下平移改变纵坐标，上移纵坐标加，下移纵坐标减，按规律计算即可得到新点坐标． 【详解】解：原点点的坐标为，点沿轴向左平移个单位，再沿轴向上平移个单位， 点的横坐标为 ，点的纵坐标为 ， 点的坐标为． 2．（25-26七年级下·福建厦门·期中）如图，点，点，点，点，…，按照这样的规律下去，点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求出点，，的坐标，归纳类推出一般规律即可． 【详解】解：由图可知，点的坐标为， 点的坐标为，即， 点的坐标为，即， 点的坐标为，即， 归纳类推得：点的坐标为，即，其中为正整数， ∵， ∴点的坐标为，即． 3．（2026·山东聊城·一模）嘉嘉在平面直角坐标系中设计了一个跳棋游戏，将棋子从点开始，第一次跳到与点关于点对称的点处，第二次跳到与点关于点对称的点处，第三次跳到与点关于点对称的点处，第四次跳到与点关于点对称的点处，第五次跳到与点关于点对称的点处…按此规律跳下去，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先利用点对称的中点性质求出前几个点的坐标，找出坐标循环规律，再通过计算余数得到目标点的坐标． 【详解】解：∵若点关于对称的点为，根据对称中心是两点中点，可得，． 依次计算各点坐标：初始点， 第一次跳动得， 第二次跳动得， 第三次跳动得， 第四次跳动得， 第五次跳动得， 第六次跳动得， ∴坐标每次跳动为一个循环，回到初始坐标． ，余数为， 的坐标与相同，为． 4．（2025·广东广州·一模）已知实数，满足，则点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】A 【分析】根据二次根式和四次根式的非负性得到，求出点的坐标即可得到答案． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴点即位于第一象限． 5．（25-26七年级下·北京西城·期中）在平面直角坐标系中，将横、纵坐标之和为6的点称为“幸运点”，已知点，现有以下结论： ①第一象限内有无数个“幸运点”； ②第三象限内不存在“幸运点”； ③若点是“幸运点”且在坐标轴上，则点到直线的距离为8； ④若点是“幸运点”且在第一象限或坐标轴上，将三角形的面积的最大值记为，最小值记为，则． ⑤若点是“幸运点”且在第二象限内，它的横坐标为，三角形的面积记为，则． 其中正确的有（    ） A．①② B．③④ C．②③④⑤ D．①②④⑤ 【答案】D 【分析】本题根据“幸运点”的定义即横纵坐标之和为6，结合平面直角坐标系中象限的坐标特征，点到直线的距离计算，三角形面积公式，逐一判断各结论即可． 【详解】∵ “幸运点”满足横纵坐标之和为6，即对任意“幸运点”，有 ① 第一象限内，满足的点有无数个，故①正确； ② 第三象限内， 则 ，不存在满足条件的点，故②正确； ③ ∵ ， ∴直线为，平行于y轴， ∵点是“幸运点”且在坐标轴上， 若在x轴，则，得，即 ，到的距离为 ； 若在轴，则，得，即 ，到的距离为； ∴点到直线的距离为或，故③错误； ④ ∵ ， ∴ ，平行于轴， 设 ，则，在第一象限或坐标轴上， 故，得， 三角形 的面积 ， 当最大为时，最大， ， 当最小为时，最小， ， ∴ ，故④正确； ⑤ ∵点在第二象限，横坐标为，是“幸运点”， ∴ 的纵坐标为 ， ， 整理得，故⑤正确； 综上，正确的结论为①②④⑤． 6．（25-26七年级下·北京·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知点，．将线段，，平移后，恰好组成一个首尾相接的三角形．若点与点平移后的对应点均为点，则线段平移后，点的坐标变为__________． 【答案】 【分析】先根据点B与点C平移后的对应点均为点O，得到线段，的平移规律，得出点A、D平移后的坐标，即为点F、E平移后坐标． 【详解】解：设平移后的线段为，如图所示： ∵点B与点C平移后的对应点均为点O， ∴线段沿y轴向下平移了2个单位长度，点A平移后的坐标为， 线段沿x轴向右平移了3个单位长度，点D平移后的坐标为， ∵平移后，恰好组成一个首尾相接的三角形，且，， ∴点E需平移到，点F需平移到． 7．（25-26七年级下·重庆开州·期中）把放在直角坐标系中如图所示，现将向上平移个单位长度，再向右平移个单位长度就得到． (1)在图中画出； (2)写出的坐标； (3)求在平移过程中扫过的面积． 【答案】(1)见解析 (2)，， (3) 【分析】本题考查平移，平面直角坐标系的知识，解题的关键是掌握平移的性质，平面直角坐标系的应用，进行解答，即可． （1）根据平移，画出图形，即可； （2）根据平面直角坐标系，即可得到； （3）根据平移可得，在平移过程中扫过的面积为：，即可． 【详解】（1）解：即为所求． （2）解：如图可知：，，． （3）解：在平移过程中扫过的面积为： ． 8．（25-26七年级下·福建福州·期中）如图，在平面直角坐标系中，，，． (1)在图中画出向右平移5个单位，再向下平移4个单位的； (2)写出点，，的坐标：__________，__________，__________； (3)在外部能否找到一点，使且，如果能，请直接写出点的坐标，如果不能请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)；； (3) 【分析】（1）根据平移作出即可； （2）由图即可写出，，的坐标； （3）由，可得点的横坐标与点的相同，由，可得，则可得点的纵坐标，即可求解． 【详解】（1）解：如图，即为所求． （2）解：由（1）图可得，，；． （3）解：，，，， 点的横坐标为4，， ， 点的纵坐标为3或， ∵点在的边上，不符合题意，舍去， 点的坐标为． 9．（25-26八年级下·上海闵行·期中）在平面直角坐标系中如图所示，已知点． (1)请求出； (2)轴上是否存在点，使得，若不存在，说明理由：若存在，求点坐标． 【答案】(1)6.5 (2)存在，点P的坐标为或 【分析】（1）由的面积=梯形的面积的面积的面积，即可计算； （2）根据点的位置，分点在点C左边和右边两种情况，根据三角形面积公式，分别列方程即可求解． 【详解】（1）解：作轴于H， ∵的面积=梯形的面积的面积的面积， ∴的面积； （2）解：存在，理由如下：如图， ∵的面积， ∴， 当P在C的右侧，， ∴此时P的坐标是， 当P在C的左侧，， ∴此时P的坐标是， ∴P的坐标是或． 10．（25-26七年级下·河南商丘·月考）如图1，在平面直角坐标系中，是坐标原点，点的坐标为，将向上平移4个单位长度，再向左平移3个单位长度得到对应线段．连接、、． (1)点的坐标为__________，点的坐标为__________； (2)在轴上是否存在一点，使得三角形的面积等于三角形面积的一半？若存在，请求出点的坐标，若不存在，请说明理由； (3)如图2，若是直线上的一个动点，连接、，当点在直线上运动时，直接写出，，之间的数量关系 【答案】(1)，； (2)存在，点的坐标为或； (3)当点在线段的延长线上时，；当点在线段上时，；当点在线段的反向延长线上时，． 【分析】（1）根据横坐标左加右减，纵坐标上加下减求解即可； （2）根据、两点坐标，求出，从而求出，设点，再利用三角形面积公式求解即可； （3）由平移的性质可知，，点的位置分三种情况求解，过点作，根据平行线的性质求解即可． 【详解】（1）解：由题意可知，是坐标原点，点的坐标为，将向上平移4个单位长度，再向左平移3个单位长度得到对应线段， 则点的坐标为，即；点的坐标为，即， 故答案为：，； （2）解：，， ， 三角形的面积等于三角形面积的一半， ， 设点，则， ， 解得：或， 点的坐标为或； （3）解：由平移的性质可知，， ①如图，当点在线段的延长线上时，过点作， ， ， ， ， ； ②如图，当点在线段上时，过点作， ， ， ， ， ； ③如图，当点在线段的反向延长线上时，过点作， ， ， ， ， ； 综上可知，当点在线段的延长线上时，；当点在线段上时，；当点在线段的反向延长线上时，． 11．（25-26七年级下·福建福州·期中）五子棋比赛规则是：两人各拥有一种颜色的棋子，每人每次在正方形网格的格点处下一子，两人轮流下，无论是横、竖、斜向，只要形成连续无间隔的个同色棋子，立即获胜．如图是两人正在对弈的一盘棋，以每个小方格边长为个单位长度，建立平面直角坐标系，可得棋盘上白棋的坐标为，黑棋的坐标为． (1)根据题意，补全平面直角坐标系； (2)现轮到黑棋落子，要使黑棋在这一步直接获胜，写出所有符合条件的落子坐标． 【答案】(1)见解析 (2)或 【分析】（）根据已知点的坐标找到原点位置，进而建立平面直角坐标系即可； （）根据比赛规则黑棋落子的位置，再根据平面直角坐标系写成坐标即可； 本题考查了点的坐标，正确建立平面直角坐标系是解题的关键． 【详解】（1）解：补全平面直角坐标系如图所示： （2）解：如图，当黑棋落子在处或处时，可形成连续无间隔的个同色棋子，此时黑棋直接获胜， ∴所有符合条件的落子坐标为或． 12．（25-26七年级下·江西上饶·期中）在平面直角坐标系中，已知点，点． (1)若点在轴上，求的值； (2)若轴，点在点的左侧且，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用在轴上的点的坐标特征解答即可； （2）利用与轴平行的直线上的点的坐标特征解答即可． 【详解】（1）解：点在轴上， ， ； （2）解：∵轴， ∴， ， ∵点在点的左侧且， ∴，即， ． 13．（25-26八年级上·北京西城·期末）在平面直角坐标系中，将过点且与轴垂直的直线记为直线，对于图形，给出如下定义：将图形关于直线对称后，再向右平移个单位长度，得到的图形记为，称图形为图形的“型对照变换图形”． (1)点的“型对照变换图形”的坐标为________； (2)已知点的“型对照变换图形”为点． ①点的坐标为________（用含，的式子表示）； ②当点与点关于第一、三象限的角平分线对称时，________；________； (3)已知，作，其中，，，，，三点顺时针排列，并且，两点的横坐标均不超过．的“型对照变换图形”为．当线段与第一、三象限的角平分线存在交点时，直接写出的取值范围（用含的式子表示）． 【答案】(1) (2)①；②， (3) 【分析】本题考查了直角坐标系中点的坐标特征，中点坐标公式，解题的关键是理解“型对照变换图形”的定义． （1）根据“型对照变换图形”的定义求解即可； （2）①根据“型对照变换图形”的定义求解即可；②根据点关于第一、三象限的角平分线对称的点的坐标为，列方程即可求解； （3）当时，，可得，，当时，则，可得，，根据线段与第一、三象限的角平分线存在交点，列不等式即可求解． 【详解】（1）解：点关于直线对称的点的坐标为，再向右平移个单位长度后坐标为， ， 故答案为：； （2）解：①点关于直线对称的点的坐标为，再向右平移个单位长度后坐标为， ； ②点关于第一、三象限的角平分线对称的点的坐标为， ， 解得：； （3）解： ，，，，，三点顺时针排列， 当时，， ∴将，两点进行“型对照变换图形”后，，， 线段与第一、三象限的角平分线存在交点， ，， 解得：， 当时，则， ∴将，两点进行“型对照变换图形”后，，， 线段与第一、三象限的角平分线存在交点， ∴，， 解得：， ∴． 14．（25-26七年级下·福建厦门·期中）如图，平面直角坐标系中，，，，，． (1)求的面积； (2)如图，点以每秒个单位的速度向下运动至，与此同时，点从原点出发，以每秒个单位的速度沿轴向右运动至，秒后，，，在同一直线上，求的值； (3)如图，点在线段上，将点向右平移个单位长度至点，若的面积等于，求点坐标． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据算术平方根和绝对值的非负数性质得出，，进而求出，利用三角形面积公式求解即可； （2）根据三角形的面积关系，列方程即可得出答案； （3）如图，连接、，设，根据得出，根据平移的性质得出，根据列方程可求出，进而求出，即可得出点坐标． 【详解】（1）解：∵，，， ∴，， 解得：，， ∴，，，， ∵， ∴，，， ∴． （2）解：∵点以每秒个单位的速度向下运动至，运动时间为秒， ∴， ∵点从原点出发，以每秒个单位的速度沿轴向右运动至，运动时间为秒， ∴，， ∵，，在同一直线上， ∴， ∴， 即， 解得：． （3）解：如图，连接、，设， ∵将点向右平移个单位长度至点， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴， ∵，的面积等于， ∴， 即， 解得：， ∴， ∴点坐标为． 15．（25-26七年级下·福建福州·期中）如图1，在平面直角坐标系中，，，且，过A，B两点分别作y轴，x轴的垂线交于C点． (1)请直接写出A，B，C三点的坐标． (2)P，Q为两动点，其中点P从C点出发，在线段，上以3个单位长度每秒的速度沿着运动；点Q从B点出发以1个单位长度每秒的速度沿着线段向O点运动，P，Q两点同时出发，当其中一点到达点O时，另一点也停止运动．设运动时间为t，当点P在上时，t取何值时，三角形的面积为2？ (3)如图2，连接，点在线段上，且M到x轴的距离为1，点N在y轴负半轴上，连接交x轴于K点，记三角形的面积为，记三角形的面积为，若，求N点的坐标． 【答案】(1)，， (2)t的值为或 (3) 【分析】（1）先利用非负性求出a，b，进而得出点A，B坐标，利用垂直确定出点C坐标； （2）由题意可得，当P在上时，，用含t的式子表示出，根据三角形的面积为2求解即可； （3）连接，过M点作轴，垂直于x轴，根据的面积得到，，结合，得到的面积为16，从而可计算出的长，即可得到点N的坐标． 【详解】（1）解：由题意可得：，， ，， 、， 、， ∴， ∴； （2）解：，， ∴点P运动的时间，点Q运动的时间， ∵当其中一点到达点O时，另一点也停止运动 ∴ ∴当P在上时，，即， 点P的横坐标为，点Q的横坐标为， ， ， ， 或； 当P在上时，t取或时，P，Q，C三点构成的三角形面积为2； （3）解：连接，过M点作轴，垂直于x轴， ， ∴， ∵M到x轴的距离为1，即， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 16．（25-26八年级上·浙江金华·期末）中国象棋是我国传统文化中的一部分，体现了古人的智慧，象棋的一个规则是所有棋子最后都要落在网格的格点处．小明是象棋爱好者，在学习了平面直角坐标系后，在如图所示的一半棋盘上建立了一个直角坐标系，这样，“炮”的位置是 (1)请你在图中画出小明建立的直角坐标系，并写出棋子“相”的坐标； (2)棋子“马”走的规则是每步走“日”字形，例如：图中“马”走到“A”处我们可以说成：“马”向上平移1个单位，向右平移2个单位．请回答下列问题： ①“马”可以走到“B”处吗？若可以请写出平移的方法？ ②直接写出点“B”与“炮”所在点之间的线段上任意一点的坐标． 【答案】(1)坐标系见解析，棋子“相”的坐标为 (2)①可以，“马”向上平移2个单位，向右平移1个单位 ② 【分析】本题主要考查了建立平面直角坐标系，点的平移，点的坐标，解题的关键是掌握平面直角坐标系． （1）根据“炮”的位置建立平面直角坐标系，然后根据坐标系写出点的坐标即可； （2）①根据点的平移规律进行求解即可；②在线段上找出一点，写出坐标即可． 【详解】（1）解：∵“炮”的位置是， ∴建立直角坐标系如下： ∴棋子“相”的坐标为； （2）解：①“马”可以走到“B”处， “马”向上平移2个单位，向右平移1个单位； ②如图所示， 点“B”与“炮”所在点之间的线段上的任一点，该点的横坐标取值范围为，纵坐标为2， 故点“B”与“炮”所在点之间的线段上任意一点的坐标为． 17．（25-26八年级上·宁夏银川·期末）在平面直角坐标系中，对于两点给出如下定义：点到轴的距离中的最大值等于点到轴的距离中的最大值，则称两点为“等距点”．如点与两点即为等距点． (1)已知点的坐标为 ①点中，与点为“等距点”的是________； ②若点的坐标为，且两点为“等距点”，求出点的坐标； (2)若点与点两点为“等距点”，在轴上有异于原点的一点，连接．若的面积为，的面积，求的值． 【答案】(1)①；②或 (2) 【分析】本题考查了根据新定义求点的坐标，绝对值方程． （1）①根据“等距点”的定义作答即可；②根据“等距点”的定义列出方程即的取值范围，再计算即可； （2）根据“等距点”的定义求出，或，，根据面积法列方程计算即可． 【详解】（1）①解：点到x，y轴的距离中的最大值为4， 到x，y轴的距离中的最大值为，不是点A的“等距点”； 到x，y轴的距离中的最大值为，是点A的“等距点”； 到x，y轴的距离中的最大值为，是点A的“等距点”； 故答案为：； ②解：∵A，M两点为“等距点” ∴或且， 解得：，，且 ∴或， ∴点的坐标为或； （2）解：∵点与点两点为“等距点”， ∴或， 解得：， ∴，或，（舍去）或，或，（舍去）， ∴，或，， 当，时，如图， ∴，即的值为； 当，时， 同理，得，即的值为； 综上，的值为． 18．（25-26七年级下·北京·期中）对于平面直角坐标系中的图形P，Q，给出如下定义： 点为图形上任意一点，点为图形上任意一点，如果M，N两点间的距离有最小值，那么称这个最小值为图形P，Q间的“紧密距离”，记作（图形，图形）．已知点． (1)点，则点，线段__________； (2)求（点O，三角形）的值； (3)平面内的点满足点，三角形，请画出所有满足条件的点所构成的图形； (4)若直线上的任意一点的横、纵坐标满足，我们称该直线为“系数直线”．在某“系数直线”上截取线段EF，其中．若线段，三角形，请直接写出的取值范围． 【答案】(1)3 (2)2 (3)见解析 (4) 【分析】（1）根据点的坐标特点，求出点D到线段的最小距离，即可得出答案； （2）画出图形，根据坐标特点，结合新定义，得出答案即可； （3）图形在内部为，其中，且与之间距离为1，，且与间距为1，，且与间距为1；图形在外部为三条线段和三段半径为1的圆弧上，其中三条线段与三角形的三条边平行，且与三边距离为1； （4）根据题意找出边界处k的值，即可得出答案． 【详解】（1）解：∵， ∴线段平行于y轴， ∴到线段的最小距离为， ∴点，线段； （2）解：如图所示： ∵， ∴轴，轴， ∴点O到的最小距离为2，点O到的最小距离为2， 如图，以点O为圆心，为半径作圆，此时直线与圆没有交点， ∴点O到的最小距离大于2， ∴（点O，三角形）； （3）解：满足条件的点所构成的图形，如图所示： （4）解：∵， ∴点E总在直线上，点F在直线上， 如图，当点E在点N下方时，到的距离小于1，当点F在点P下方时，到的距离小于1，因此只有当点E在上正好符合题意， 把代入得：解得：， 把代入得：解得：， ∴当时，线段，三角形． 19．（25-26八年级上·湖北宜昌·期末）【综合与实践】确定组合图形匀质薄板的重心位置． 我们已发现：平行四边形匀质薄板的重心在两条对角线的交点处． 通过实验操作，得出结论：若一个平面图形组合图形匀质薄板的重心坐标为，面积为S，被分成n部分匀质薄板的重心坐标分别为，，…，，面积分别为，，…，，则，． 如图1①，“L”形匀质薄板中，，，，，确定该薄板的重心位置的步骤： ①先求出该薄板的面积； ②将该薄板分为两个长方形薄板Ⅰ，Ⅱ，以B为原点，以1为单位长度建立平面直角坐标系（如图1②）； ③确定长方形薄板Ⅰ的重心为，面积；长方形薄板Ⅱ的重心为，面积； ④求出，，得到该匀质薄板的重心坐标为． 【解决问题】 (1)如图2，正方形中，，直接写出正方形的重心坐标； (2)如图3，多边形中，，，，请以C点为原点，1为单位长度建立平面直角坐标系，并求出多边形的重心坐标． 【答案】(1) (2)多边形的重心坐标 【分析】本题考查坐标与图形的应用、有理数的混合运算，解决本题的关键是读懂材料中重心定义和运算法则． （1）根据正方形的性质可知点的坐标是，根据正方形对角线的交点就是正方形的重心，可知正方形的重心是线段中点的坐标，根据平面直角坐标系中两点中点的坐标公式求解即可； （2）把多边形分成三个规则的矩形：正方形、长方形、正方形，根据重心的定义分别求出三个矩形的重心，再根据不规则图形重心的公式求解即可． 【详解】（1）解：四边形是正方形，点的坐标是， ， 点的坐标是， 连接交于点M， 线段中点M的坐标是， 正方形的重心坐标为； （2）解：如下图所示，建立平面直角坐标系分割图形， 多边形的面积为， 点的坐标是，点的坐标是， 正方形的重心坐标是，， 点的坐标是，点的坐标是， 四边形的重心坐标是，， 点的坐标是，点的坐标是， 正方形的重心坐标是，， ， 多边形的重心坐标． 1 / 80 学科网（北京）股份有限公司 $