期末压轴专题04 二元一次方程组及其应用的六类综合题型（压轴题专项训练）数学新教材人教版七年级下册

**基本信息** 以六类综合题型为载体，系统提炼解题方法与技巧，构建从基础解法到实际应用的完整知识链，培养抽象能力、运算能力与模型意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |解方程组|1典例+3变式|代入/加减消元法，先观系数、检验代回|从基本解法到技巧优化，强化运算准确性| |错解复原|1典例+3变式|错解代入法，区分错因、利用公共解|通过错误分析深化消元法理解，培养推理意识| |含参数问题|1典例+3变式|解表参数、条件转化，整体处理与分类讨论|连接方程解与参数关系，发展抽象思维| |特殊解法|1典例+3变式|整体代入、换元法，观察系数对称、设而不求|拓展解题思路，提升代数变形能力| |新定义型|1典例+3变式|理解定义、转化常规，举例验证、耐心套用|培养信息转化能力，衔接创新题型| |实际应用|1典例+3变式|建模列式、解验作答，列表辅助、画图示意|强化模型意识，实现数学与现实问题的联结|

品学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 期末压轴专题04二元一次方程组及其应用的六类 综合题型 月录 典例详解 类型一、解二元一次方程组 类型二、二元一次方程组错解复原问题 类型三、二元一次方程组中含参数问题 类型四、二元一次方程组的特殊解法 类型五、二元一次方程组的新定义型问题 类型六、二元一次方程组的实际应用 压轴专练 典例详解 类型一、解二元一次方程组 方法总结 1. 代入消元：将一个方程变形，用含一个未知数的式子表示另一个未知数，代入另一方程消元。 2.加减消元：将两个方程适当变形后相加或相减，消去一个未知数，转化为一元一次方程。 解题技巧 1.先观系数：优先选择系数简单或成倍数关系的未知数消元，使计算简便。 2.检验代回：求出解后，代入原方程组检验，避免符号或计算失误。 例1.（25-26八年级上·山西晋中期末)解方程组： 4x+2y=6 (1) x-2y=4 [3x+2y=5 2x-4y=14 【变式1-1】(25-26八年级上山西运城期末)解方程组： 「y=2x-5 3x+4y=13 3x-2y=8 (2) 2x+3y=14 【变式1-2】(25-26八年级上河南驻马店期末)解方程组： [3x+2y=8 y=x-1 1/14 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 4x+y=10 (2) 2x-3y=12 【变式1-3】(25-26八年级上山东枣庄期末)解下列方程组 3x-y=5 05x+2y=23 [5x+4y=6 22x+3y=l 类型二、二元一次方程组错解复原问题 方法总结 1.错解代入法：将看错方程后得到的解，代入看错系数所在的方程（或未看错的其他方程），求出正确 系数。 2.还原方程组：由求出的正确系数和原方程组形式，重新解出正确解。 解题技巧 1.区分错因：明确甲看错的是哪个方程中的哪个系数，代入对应方程建立方程。 2.利用公共解：未看错方程的解是两方程组公共解，优先利用此条件求出正确系数。 例2.(25-26八年级上山西太原期末)下面是年年同学解二元一次方程组的过程，请认真阅读并完成相应 的任务. 解方程组： 2x-y=6① 3x+2y=9② 解：①×2得：4x-2y=6.③第一步 ②+③得：7x=15第二步 5 解得：x=7 第三步 12 将x5代入①，得：y宁 7 第四步 15 x= 所以原方程组的解为 7 12 第五步 y=- 7 任务： (①)这种求解二元一次方程组的方法叫作 (填“加减消元法”或“代入消元法”)： (2)年年同学从第 步开始出现错误，具体的错误是 (3)请写出正确的求解过程； 2/14 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 (4)除纠正上述错误外，请根据你平时的学习经验，就求解二元一次方程组还需要注意的事项给其他同学提 一条建议： 【变式2-1】(25-26七年级上·湖南郴州期末)小明解方程组 5x-13y=21②时，给出两种解法的部分过程： x-2y=3① 解法一：由①×5，得5x-10y=15.③ 解法二：将方程①移项，得x=3+2y,③ ③-②，得-10y-13y=-6, 将③式代入方程②，得5(3+2y)-13y=21, 6 解得y= 23 解得y=-2. ()上述两种解法中，解法一称为 解法二称为 ;(填“代入消元法”或“加减消元法”) (2)判断：解法 (填“一”或“二”)的解答过程有错误； (3)请将错误解答过程改正，并运用此方法解此二元一次方程组， 【变式2-2】(24-25八年级上·辽宁丹东·期末)下面是小颖同学解二元一次方程组的过程，请认真阅读并完 成相应的任务， 2x-3y=-4① 解方程组： 4x-5y=-20② 解：①×2得4x-6y=-8③..第一步 ②-③得-y=-12.第二步 y=12.第三步 将y=12代入①得x=16.第四步 x=16 所以，原方程组的解为 第五步 y=12 (①)这种求解二元一次方程组方法叫做，其中第一步的依据是 (2)第 步开始出现错误： (3)请你从出现错误的那步开始，写出后面正确的解题过程. 【变式2-3】(24-25八年级上山西运城期末)(1)解方程组： x-y=2① 2x+y=4② (2)下面是小颖同学解二元一次方程组的过程，认真阅读并完成相应任务 3/14 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 [3.x-2y=1① 解方程组 5x+3y=2② 解：①x5,得15x-10y=5,③ 第一步 ②x3,得15.x+9y=6,④ 第二步 ④-③，得-y=1, 第三步 解得，y=-1 第四步 将y=-1代入②，得x=1 第五步 x=1 所以，原方程组的解为 第六步 y=-1 任务： ①以上求解步骤中，第一、二步变形的依据是 变形的目的是 ②以上求解步骤中第 步开始出现错误，具体错误是 ③直接写出该方程组的正确解： 类型三、二元一次方程组中含参数问题 方法总结 1. 解表参数：将方程组的解用含参数的代数式表示。 2.条件转化：根据题目条件（如解的范围、整数解、特殊关系），建立关于参数的不等式或方程求解。 解题技巧 1,整体处理：不直接解方程组，通过两式相加、相减等整体变形，直接得到参数关系式。 2.分类讨论：当参数影响系数或解的形式时，需按不同情况（如系数为零）分类讨论，避免漏解。 例3.(25-26八年级上·广东河源·期末)若关于，y的二元一次方程组 3x+y=7m 的解也是二元一次方程 x-y=m x+y=9的解，则n= [2x+my=15 【变式3-1】(24-25九年级下·重庆沙坪坝·期末)关于x,y的二元一次方程组 的解为正整数， x-2y=0 则所有满足条件的整数m之和是· x+my=5 【变式3-2】(24-25七年级下.甘肃陇南·期末)当正整数m= 时，关于x,y的方程组 x+1=y 有正整数解 2x-y=3k 【变式3-3】(25-26八年级上山东青岛期末)已知关于x,y的方程组 x+2y=4k+1'给出下列说法： 4/14 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 ①若方程组的解互为相反数，则k=亏 1 ②若方程组的解也满足4x+3y=-20,则k=-2; ③当k=1时，方程组的解也是关于x,y的二元一次方程3y-x=k+1的解； ④无论k取何值，代数式10y-5x的值不变，始终为定值.其中正确的有 (填序号) 类型四、二元一次方程组的特殊解法 方法总结 1. 整体代入：将方程组中某部分视为整体，用新元替换或直接代入另一方程，简化计算。 2.换元法：对复杂结构（如分式、括号）设新元，转化为简单方程组，解出后回代求解。 解题技巧 1.观察系数对称：若两方程系数对称，常通过相加、相减直接求整体值（如x+y、xy)。 2.设而不求：不求单个未知数，通过整体变形直接得出目标代数式的值。 例4.(24-25七年级下·江西上饶期末)【阅读材料】在解二元一次方程组时，我们常常也会采用一种“整体 2x+5y=3① 代入消元”的方法将二元一次方程组转化为一元一次方程求解，比如，解方程组 4x+11y=5②' 首先将方 程②变形得4x+10y+y=5,即2(2x+5y)+y=5③，其次把方程①代入③得：2×3+y=5,即y=-1,最 x=4 后把y=-1代入方程①，得x=4,所以方程组的解为 y=-1 【解决问题】 3x+4y=16① (1)请用“整体代入消元”的方法解方程组 6x+10y=25② x+xy+3y=10① (②)已知x、y满足方程组 3x-y+9y=10②' 求少的值. x+y=4① 【变式4-1】(24-25七年级下·江苏扬州期末)(1)观察发现：材料：解方程组 3(x+y以+y=14②’ 将① x=2 整体代入②，得3×4+y=14,解得y=2,把y=2代入①，得x=2,所以 ,这种解法称为“整体代 y=2 [x-y-2=0 入法”，你若留心观察，有很多方程组可采用此方法解答，请直接写出方程组 3(x-y以-3y=3的解为 5/14 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 2x+y-2=0 (2)实践运用：请用“整体代入法”解方程组 2x+y+4 +y=3 3 (3)若x2-2y=1,则2x2-4y-3的值为 ； 2x+y=-3m+2 (4)拓展运用：若关于x,y的二元一次方程组 x+2y=7 的解满足x+y>-2,请直接写出满足条件 的m的所有正整数值 (a-1)+2(b+2)=6 【变式4-2】(25-26七年级上·湖南株洲期末)阅读探索：解方程组 12(a-1)+(b+2)=6 x+2y=6 x=2 解：设a-1=x,b+2=y原方程组可以化为 2x+y=6 ,解得 (y-21 a-1=2 a=3 即： b+2=2…1b=0 【此种解方程组的方法叫换元法.】 (1)运用上述方法解方程组 ,解：设=，=y (x-2)+3(y+1)=6 (2)拓展提高：运用上述方法解方程组 2(x-2)+(y+1=2 (3)能力运用：已知关于x,y的方程组 21冷么的解为9求关于ma的方程组 ax+bay=c2 a,(m-2+b(n+3)=G的解. a2m-2)+b2n+3=c2 【变式4-3】(25-26八年级上江西景德镇期末)数学方法：解方程组： 23训的若设 [3m-2n=26 2x+y=m,x-2y=n,则原方程组可化为 2m+3n=13’解方程组得 m=8 =-1’所以 2x+y=8 x-2y=-1'解方程 组得 x=3 少=2'我们把某个式子看成一个整体，用一个字母去替代它，这种解方程组的方法叫做换元法」 ()直接填空：已知关于x,y的二元一次方程组 ax+by =11 +v=25的解为：=5那么关于m、的元一次方 y=-1 a(m+n)+b(m-n)=11 程组 (m+m川+a(m-n=25的解为： 6/14 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 x+y_X-y=2.5 (2)知识迁移：请用这种方法解方程组 2 2 2(x+y)+x-y=6.5 a,x+by=G的解为 求关于x的二元一次方 x=6 (3)拓展应用：已知关于x,y的二元一次方程组 ax+bay=cz 程组 [2ax+3b,y=5c的解。 2a2x+3b2y=5c2 类型五、二元一次方程组的新定义型问题 方法总结 1.理解定义：准确理解新定义的运算规则（如新符号、新运算），明确其代数意义。 2.转化为常规：严格按照新定义规则，将新定义型方程组转化为常规二元一次方程组求解。 解题技巧 1.举例验证：用简单数值代入新定义试算，确保理解无误后再进行转化。 2.耐心套用：每一步都严格按定义操作，避免凭经验随意替换或跳步。 例5.(24-25八年级下·海南省直辖县级单位期末)【定义】我们把关于x、y的两个二元一次方程ax+by=c ax+by=c 与bx+ay=c(a≠b)叫作“对称二元一次方程”，二元一次方程组 叫做关于x、y的“对称二元一次 bx+ay=c 方程组”.例如：2x+y=3与x+2y=3是“对称二元一次方程”，二元一次方程组 2x+y=3 叫做关于x、y的 x+2y=3 “对称二元一次方程组”， 【理解】 (1)方程2x+3y=5的“对称二元一次方程”是 x+2-ay=b+4 (2)若关于xy的方程组 (2a-4)x+y=2-b为对称二元一次方程组，则a=,6= 2x+y=3 (3)观察方程组 x+2y=3 中两个方程“系数对称”，且常数项相同，可直接相加减消元： 解：两式相加：(2x+y)+(x+2y)=3+3 3.x+3y=6 ∴.x+y=2③ 两式相减：x-y=0 7/14 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 x=y④ 代入求解： 把x=y代入方程③x+y=2,得：x+x=2,解得x=1,则y=1. x=1 所以这个方程组的解是： y=1 【探究】 (4)解下列方程组（直接写出方程组的解）： 2x+3y=10 2x-4y=-6 ① ② 3.x+2y=10 -4x+2y=-6 【变式5-1】(25-26八年级上辽宁本溪期末)定义：对于任意实数x,y,规定新的一种运算规则： x*y=ax+by,xy=ax-by, (1)当x=1,y=2时，x*y=0,x※y=4,求a,b的值： (2)若关于x,y的方程组 (x※y=5m x*y=4-m ,（m为常数)的解也满足关于x,y的方程3x*y+2x※y=3,求m 的值 【变式5-2】(24-25七年级下山西吕梁期末)对于有理数x,y,定义新运算：x*y=ax+by, x⑧y=ax-by,其中a,b是常数.例如：3*2=3a+2b,2⑧1=2a-b,已知3*2=-1,2⑧1=4，则根 [3a+2b=-1 据定义可以得到 2a-b=4 回答下列问题： (1)a= ,b= (2)若x*2y)+(x⑧y)=10,求x-的值； [x*y=8+m (3)若关于x,y的方程组 的解也满足方程x-y=9,求m的值. x☒y=5m 【变式5-3】(24-25六年级下，上海闵行期末)对于有理数x,y,定义新运算：x*y=ax+by, x⑧y=ax-by,其中a,b是常数.例如，3*2=3a+2b,2⑧1=2a-b. 3a+2b=-1 己知3*2=-1,2⑧1=4，则根据定义可以得到： 2a-b=4 (1)a= ，b= (2)若x*y+x⑧2y=6,求x+y的值； x*y=2m-4 (3)若关于x,y的方程组 的解也满足方程x-y=4,求m的值； x☒y=8m 8/14 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 ax*by=c x=6 (4若关于x,y的方程组 的解为 a2x⑧b2y=c3 y=15”则关于x,y的方程组 3a,(2x-y)*5b(x+2y)=G 3a2(2x-y⑧5b,x+2y)=c2 的解为 类型六、二元一次方程组的实际应用 方法总结 1. 建模列式：设未知数，根据题意中的两个等量关系，列出二元一次方程组。 2.解验作答：解方程组，结合实际意义（如人数、件数为非负整数）筛选解，并作答。 解题技巧 1.列表辅助：复杂问题可列表整理不同方案的未知量与等量关系，使条件清晰。 2.画图示意：行程、工程等问题，画线段图或流程图，直观呈现数量关系。 例6.(25-26八年级上河南郑州期末)2026年郑州黄河文化节筹备期间，组委会需要运输一批黄河主题文 创产品布置展区，安排了两种货车运输物资.调查得知，3辆小货车与2辆大货车一次可以满载运输1700 件文创产品：4辆小货车与5辆大货车一次可以满载运输3200件文创产品. (1)求1辆小货车和1辆大货车一次可以分别满载运输多少件文创产品？ (2)现有2700件物资需要再次运往该地，准备同时租用这两种货车，每辆货车均全部装满货物，若1辆小货 车需租金400元/次，1辆大货车需租金500元/次.若组委会计划支出4000元用于租车，是否够用，请说明 理由. 【变式6-1】(25-26八年级上·山西太原期末)邮票是供寄递邮件贴用的邮资凭证，诞生于1840年，中国 邮政于2025年11月18日发行《跃马添福》《鸿运驰春》贺年专用邮票2种，已知1枚《跃马添福》邮票 的面值为1.20元，1枚《鸿运驰春》邮票的面值为3元，学校集邮社团购买的《跃马添福》邮票数量比《鸿 运驰春》多10枚，且所购两种邮票总面值为96元，求该社团购买两种邮票的数量. 00元 中国腋 跃马添福 鸿运驰春 【变式6-2】(25-26八年级上·陕西咸阳期末)某农机专卖店在当地政策的支持下，购进一批国产耕地机.请 9/14 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 根据下表信息，解答下列问题 问题背景 某农机专卖店为满足市场需求，计划用240万元从厂家购进A,B两款国产耕地机若干台. 素材1 从厂家购进3台A款国产耕地机和2台B款国产耕地机共需90万元. 素材2 从厂家购进2台A款国产耕地机和3台B款国产耕地机共需85万元. 问题解决 任务(1) (1)求A,B两款国产耕地机每台的进价； 任务(2) (2)要使这240万元正好用完（两种耕地机都要购买），请列出购进方案， 【变式6-3】(25-26七年级上·安徽合肥期末)某工厂将一批纸板按照甲，乙两种方式进行加工，再用加工 出来的长方形A板块和正方形B板块制作成如图所示的底面为正方形的长方体有盖礼盒，设有x块纸板按 甲方式进行加工，有y块纸板按乙方式进行加工； A A A A B B A 甲 礼盒 (1)补全表格 x块按甲方式加工的 y块按乙方式加工的 纸板 纸板 A板块 3x B板块 (②)若现共有纸板14块，要使礼盒制作完毕后的A、B板块恰好用完，能做多少个礼盒？ (3)若现共有纸板Q块，还有之前剩余的B板块4块，要使礼盒制作完毕后的A、B板块恰好用完，则的最 小值为 (请直接写出答案) x块按甲方式加工的 y块按乙方式加工的 10/14 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 纸板 纸板 A板块 3x Ay B板块 3x 压轴专练 一、单选题 1.(25-26八年级上广东佛山期末)己知方程x-8-(m+3)y=5是关于x,y的二元一次方程，则 m+n的值() A.7 B.5 C.-1 D.7或-1 2.(25-26七年级上·广西贵港·期末)《九章算术》是中国古代一部重要的数学著作，在“方程”章中记载了求 不定方程（组）解的问题.例如方程x+2y=3恰有一个正整数解x=1,y=1.类似地，下列选项中，不是 方程2x+3y=21的正整数解的是() A.x=3,y=5B.x=6,y=3 C.x=8,y=2 D.x=9,y=1 「x+3y=2m-1 3.(25-26七年级上·安徽铜陵·期末)若关于x,y的二元一次方程组 x-y=3-m 的解满足x+y=2,则 m的值为() A.-2 B.-1 C.2 D.4 4.(25-26八年级上贵州贵阳·期末)《九章算术》是我国东汉初年编订的一部数学经典著作.如图是《九章 算术》中的算筹图，图中各行从左到右列出的算筹数分别表示未知数x和y的系数与相应的常数项，如图① 3x+2y=19 所示的算筹图用方程组的形式表述出来是 类似的，如图②所示的算筹图，用方程组的形式表述 x+4y=23 为：() 川 m W 1 二 三 T 图① 图② 11/14 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 x+3y=13 x+3y=8 x+3y=8 x+3y=18 A. B. C. D. 2x+4y=26 2x+4y=26 2x+4y=6 2x+4y=26 x+3y=4-a 5.(25-26七年级上·安徽宣城期末)己知关于x,y的二元一次方程组 (x-y=3a ，给出下列结论： ①当这个方程组的解x,y的值互为相反数时，a=-2; ②当a=2时，方程组的解也是方程x+y=3a-2的解； ③无论a取什么数，x+2y的值始终不变其中正确的是() A.①② B.②③ C.①③ D.①②③ 二、填空题 6.(25-26八年级上广东梅州期末)若a-b-1+a+2b-4=0,则a+b= x-y=1-3m 7.(25-26八年级上山东潍坊·期末)关于x,y的二元一次方程组 的解满足2<x+y<V5, 2x+y=2 则整数m的值为· 8.(25-26七年级上·重庆忠县期末)如图①是由编号为1,2,3,4,5的五个小长方形组成的大长方形.已 知图①中编号为3,4,5的小长方形大小都如图②，且编号为1的小长方形面积是编号为2的小长方形面 积的两倍，若b=ka,则k= 5 2 图① 图② x+3y=-a+2 9.(25-26八年级上广东佛山期末)已知关于x,y的二元一次方程组 x-4y=5a+7 (a是常数)，若不论 a取什么实数，代数式kx-y(k是常数)的值始终不变，则k的值为 10.(25-26七年级上湖北省直辖县级单位期末)幻方是古老的数学问题，我国古代的《洛书》中记载了最 早的幻方一一九宫格.将9个数填入幻方的空格中，要求每一横行、每一竖列以及两条对角线上的3个数 之和相等，如图是一个未填完的幻方，则m的值为· 2 6 x+8 m x+2 12/14 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 三、解答题 11.(25-26八年级上·广东河源·期末)求解二元一次方程组： [x-y=1 (015x+2y=5 2x+3y=12 (②)13x+2y=13 12.(25-26八年级上四川达州期末)已知关于x,y的方程组 2x-y=7 x+2y=1 2ax-by =4 ax+2y=7有相同的解。 和 (1)求出它们的相同解. (2)求(a+b226的值】 13.(25-26八年级上山东枣庄·期末)对于关于x,y的二元一次方程组，如果方程组的解x,y满足 y-x=1,我们就说方程组的解x与y具有“友好关系. x+2y=8 (1)方程组 2x-=的解x与》（填“具有”或不具有y友好关系， (2)若方程组 [2x+y=2 x+2y=2m 的解x与y具有“友好关系”，求m的值， 14.(25-26八年级上·陕西咸阳·期末)中国的茶文化源远流长，融合了哲学、艺术、礼仪与生活方式，是中 华文明的重要组成部分.己知小艺购进1盒B种茶叶比购进1盒A种茶叶多140元；购进2盒A种茶叶和 1盒B种茶叶共1040元. (1)求A,B这两种茶叶的单价；（用方程组的知识解答） (②)若某茶叶店购进A,B两种茶叶（两种茶叶均购买），费用恰好为18000元.请问该茶叶店有几种购进方 案？ 15.(24-25七年级上·湖南岳阳·期末)【阅读理解】数学课上，何老师在讲解教材第125页温过而知新”第5 3x-ay=16 题“如果关于x,y的二元一次方程组 2r-=15解为 =1，那么关于如，y的二元一次方程组 =7 [3(x+y)-a(x-y)=16 的解是什么？”时，小超和小字同学的做法如下： 2(x+y)-b(x-y)=15 (1)小超：先把 代入第一个方程组中求出a,6:再把a,b的值代入第二个方程组中求出它的解.谐 x=7 你按照小超的思路写出详细的解题过程， (2)小字：通过观察可以发现把第一个方程组中的未知数x换成(x+y),未知数y换成(x-y)就是第二个 方程组了，因此可知第二个方程组中的(x+y)的值就等于第一个方程组中的x的值，第二个方程组中的 13/14 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 (x-y)的值就等于第一个方程组中的y的值，所以 x-y=1’再求出它们的解就是第二个方程组的解. x+y=7 【解决问题】何老师对两位同学的讲解进行点评和表扬，并指出“小宇”同学的思路体现了数学中“整体思想”、 “代换思想”、“转化思想”的运用 请你参考小超或小宇同学的做法，解决下面的问题： 2x-ay=6 x=6 ①若方程组 的解是 y=2’则方程组 2(x+2)-a(y-1)=6 13x+2+b(y-1)=28 的解是() 3x+by=28 x=4 y=3 ②己知关于x,y的方程组 ax+y=G的解 x=5 ax+y=C2 y=10'求关于x,y的方程组 a,x+2y=a+G的解.（其 ax+2y=az+c2 中a、G、42、C2都为常数) 14/14 期末压轴专题04 二元一次方程组及其应用的六类综合题型 目录 典例详解 类型一、解二元一次方程组 类型二、二元一次方程组错解复原问题 类型三、二元一次方程组中含参数问题 类型四、二元一次方程组的特殊解法 类型五、二元一次方程组的新定义型问题 类型六、二元一次方程组的实际应用 压轴专练 类型一、解二元一次方程组 方法总结 1. 代入消元：将一个方程变形，用含一个未知数的式子表示另一个未知数，代入另一方程消元。 2. 加减消元：将两个方程适当变形后相加或相减，消去一个未知数，转化为一元一次方程。 解题技巧 1. 先观系数：优先选择系数简单或成倍数关系的未知数消元，使计算简便。 2. 检验代回：求出解后，代入原方程组检验，避免符号或计算失误。 例1．（25-26八年级上·山西晋中·期末）解方程组： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查解二元一次方程组，掌握好二元一次方程组的解法是关键． （1）使用加减消元法解方程即可； （2）使用加减消元法解方程即可； 【详解】（1）解：， 将，得， ， 解得， 将代入①，得， ， 解得， ∴方程组的解为； （2）解：， 将，得， ， 解得， 将代入①，得， ， 解得， ∴方程组的解为． 【变式1-1】（25-26八年级上·山西运城·期末）解方程组： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解二元一次方程组； （1）方程组利用代入消元法求出解即可； （2）方程组利用加减消元法求出解即可． 【详解】（1）解：， ①代入②得，， 解得：， 将代入①得，； ∴原方程组的解为：； （2）解：， 得，， 解得：， 将代入①得，， 解得：； ∴原方程组的解为：． 【变式1-2】（25-26八年级上·河南驻马店·期末）解方程组： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，解题的关键是熟练掌握解二元一次方程组的基本方法． （1）用代入消元法解二元一次方程组即可； （2）用加减消元法解二元一次方程组即可． 【详解】（1）解：， 把②代入①得：， 解得：， 把代入②得：， ∴原方程组的解为：； （2）解：， 得：， 解得：， 把代入①得：， 解得：， ∴原方程组的解为：． 【变式1-3】（25-26八年级上·山东枣庄·期末）解下列方程组 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查解二元一次方程组，掌握代入消元法，加减消元法是解题的关键． （1）运用代入消元法解二元一次方程组即可； （2）运用加减消元法解二元一次方程组即可； 【详解】（1）解：， 由①得 将③代入②得， 解得：， 将代入③得， ∴方程组的解为； （2）解：， 得 ， 解得：， 将代入①得， 解得， ∴方程组的解为； 类型二、二元一次方程组错解复原问题 方法总结 1. 错解代入法：将看错方程后得到的解，代入看错系数所在的方程（或未看错的其他方程），求出正确系数。 2. 还原方程组：由求出的正确系数和原方程组形式，重新解出正确解。 解题技巧 1. 区分错因：明确甲看错的是哪个方程中的哪个系数，代入对应方程建立方程。 2. 利用公共解：未看错方程的解是两方程组公共解，优先利用此条件求出正确系数。 例2．（25-26八年级上·山西太原·期末）下面是年年同学解二元一次方程组的过程，请认真阅读并完成相应的任务． 解方程组： 解：①×2得：．③   第一步 ②+③得：   第二步 解得：    第三步 将代入①，得：    第四步 所以原方程组的解为     第五步 任务： (1)这种求解二元一次方程组的方法叫作_________（填“加减消元法”或“代入消元法”）； (2)年年同学从第_________步开始出现错误，具体的错误是_________； (3)请写出正确的求解过程； (4)除纠正上述错误外，请根据你平时的学习经验，就求解二元一次方程组还需要注意的事项给其他同学提一条建议：_________． 【答案】(1)加减消元法 (2)一，利用等式的基本性质时，左右两边应同时乘以2，但6漏乘2 (3)见解析 (4)解方程时，系数化为1要注意未知数的符号．（合理即可） 【分析】本题考查了二元一次方程组的解法，掌握加减消元法解二元一次方程组是关键． （1）根据①×2得③，再②+③可知运用了加减消元法； （2）根据等式的性质可知年年在第一步出现错误； （3）更正错误的步骤并继续完成解题步骤即可得出答案； （4）根据计算步骤中的变换适当给出建议即可． 【详解】（1）解：根据解方程的步骤，上述使用的是加减消元法． （2）解：第一步出现错误，利用等式的基本性质时，左右两边应同时乘以2，但6漏乘2． （3）解：①×2得：，③ ②+③得：， 解，得， 将代入①得：， ∴原方程组的解为． （4）解：解方程时，系数化为1要注意未知数的符号．（合理即可） 【变式2-1】（25-26七年级上·湖南郴州·期末）小明解方程组时，给出两种解法的部分过程： 解法一：由，得．③ ，得， 解得． … 解法二：将方程①移项，得，③ 将③式代入方程②，得， 解得． … (1)上述两种解法中，解法一称为________，解法二称为________；（填“代入消元法”或“加减消元法”） (2)判断：解法________（填“一”或“二”）的解答过程有错误； (3)请将错误解答过程改正，并运用此方法解此二元一次方程组． 【答案】(1)加减消元法，代入消元法 (2)一 (3)改正见解析， 【分析】本题考查了解二元一次方程组，熟练掌握加减消元法和代入消元法是解题的关键． （1）解法一通过求出，运用了加减消元法，解法二通过将③式代入方程②求出运用了代入消元法； （2）解法一中的结果应为，解法二正确； （3）根据加减消元法求解即可． 【详解】（1）解：解法一通过求出，运用了加减消元法，解法二通过将③式代入方程②求出运用了代入消元法， 故答案为：加减消元法，代入消元法； （2）解：解法一中的结果应为，解法二正确； 故答案为：一； （3）解：由，得．③ ，得， 解得． 将代入得， 解得． ∴． 【变式2-2】（24-25八年级上·辽宁丹东·期末）下面是小颖同学解二元一次方程组的过程，请认真阅读并完成相应的任务． 解方程组： 解：得……第一步 得……第二步 ……第三步 将代入得……第四步 所以，原方程组的解为……第五步 (1)这种求解二元一次方程组方法叫做_____，其中第一步的依据是_____； (2)第_____步开始出现错误； (3)请你从出现错误的那步开始，写出后面正确的解题过程． 【答案】(1)加减消元法，等式的基本性质 (2)二 (3)过程见解析 【分析】本题考查了二元一次方程组的求解，熟练掌握二元一次方程组的求解方法是解题关键． （1）根据加减消元法的特征判断，结合等式的性质判断即可． （2）根据得，判断即可． （3）根据解方程组的基本步骤求解即可． 【详解】（1）解：这种求解二元一次方程组的方法叫做加减消元法，其中第一步的依据是等式的基本性质， 故答案为：加减消元法，等式的基本性质； （2）解：得； 所以从第二步开始出现错误， 故答案为：二； （3）解：得 得， 将代入得， 所以，原方程组的解为 【变式2-3】（24-25八年级上·山西运城·期末）（1）解方程组： （2）下面是小颖同学解二元一次方程组的过程，认真阅读并完成相应任务. 解方程组 解：①，得，③           第一步 ②，得，④               第二步 ④③，得，                        第三步 解得，                           第四步 将代入②，得                第五步 所以，原方程组的解为           第六步 任务： ①以上求解步骤中，第一、二步变形的依据是__________，变形的目的是____________； ②以上求解步骤中第___________步开始出现错误，具体错误是___________； ③直接写出该方程组的正确解：_____________. 【答案】（1）；（2）①等式的基本性质2；使两个方程中含未知数的项的系数相等；②三；方程④③时，的结果算成了“”；③． 【分析】本题主要考查解二元一次方程组，熟练掌握求解方法是解题的关键． （1）根据加减消元法进行计算即可； （2）①根据等式的性质即可得到答案； ②观察计算步骤找到问题即可； ③根据加减消元法进行计算即可． 【详解】解：（1）， ①②，得， 解得， 把代入①，得， 解得， 所以原方程组的解为； （2）①等式的基本性质2；使两个方程中含未知数的项的系数相等； ②三；方程④③时，的结果算成了“”； ③， 解：①，得，③， ②，得，④， ④③，得， 解得，， 将代入②，得， 所以，原方程组的解为； 类型三、二元一次方程组中含参数问题 方法总结 1. 解表参数：将方程组的解用含参数的代数式表示。 2. 条件转化：根据题目条件（如解的范围、整数解、特殊关系），建立关于参数的不等式或方程求解。 解题技巧 1. 整体处理：不直接解方程组，通过两式相加、相减等整体变形，直接得到参数关系式。 2. 分类讨论：当参数影响系数或解的形式时，需按不同情况（如系数为零）分类讨论，避免漏解。 例3．（25-26八年级上·广东河源·期末）若关于x，y的二元一次方程组的解也是二元一次方程的解，则________． 【答案】3 【分析】利用加减消元法解二元一次方程组可得，结合方程组的解也是二元一次方程的解，即可求出常数的值． 【详解】解：， 得，， 解得：， 代入到②，得， 解得：， 方程组的解为， 由题意得，也是方程的解， ， 解得：． 【变式3-1】（24-25九年级下·重庆沙坪坝·期末）关于，的二元一次方程组的解为正整数，则所有满足条件的整数之和是______． 【答案】 【分析】本题考查了解二元一次方程组，先解方程组，二元一次方程组的解为正整数求出的值，再求和即可，准确熟练地进行计算是解题的关键． 【详解】解：， 解得， ∵，为正整数， ∴，，，， ∴，，，， ∴， 故答案为：． 【变式3-2】（24-25七年级下·甘肃陇南·期末）当正整数___________时，关于的方程组有正整数解． 【答案】1或2/2或1 【分析】本题考查的是二元一次方程组的正整数解问题，掌握“二元一次方程组的解法”是解本题的关键． 利用代入消元法先消去未知数x，求解y，再根据m为正整数，x是正整数可得m的值，再进行检验即可． 【详解】解： 把②代入①得： 解得： 为正整数，m为正整数， 或， 此时也为整数， 故答案为：1或2． 【变式3-3】（25-26八年级上·山东青岛·期末）已知关于的方程组，给出下列说法： ①若方程组的解互为相反数，则； ②若方程组的解也满足，则； ③当时，方程组的解也是关于的二元一次方程的解； ④无论取何值，代数式的值不变，始终为定值．其中正确的有__________．（填序号） 【答案】②③④ 【分析】本题考查了加减消元法，已知二元一次方程组的解的情况求参数，二元一次方程的解等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用其来求解． 假设解互为相反数，即，代入方程组求解得，与给定不符，由此判断①； 先求出方程组的通解，，代入得，由此判断②； 当时，方程组的解为，，代入成立，由此判断③； 计算得定值3，与无关，由此判断④． 【详解】解：若方程组的解互为相反数， 则， 将代入， 得， 解得：； 将代入， 得， 即； ∴， 解得：， 这与矛盾， 故说法①错误； 方程组， 解得：， 将代入， 得， 即， 解得：， 故说法②正确； 当时，，； 代入，得左边， 且右边，左边=右边， 故说法③正确； 计算， 结果为定值，与无关， 故说法④正确， 故答案为：②③④． 类型四、二元一次方程组的特殊解法 方法总结 1. 整体代入：将方程组中某部分视为整体，用新元替换或直接代入另一方程，简化计算。 2. 换元法：对复杂结构（如分式、括号）设新元，转化为简单方程组，解出后回代求解。 解题技巧 1. 观察系数对称：若两方程系数对称，常通过相加、相减直接求整体值（如x+y、x-y）。 2. 设而不求：不求单个未知数，通过整体变形直接得出目标代数式的值。 例4．（24-25七年级下·江西上饶·期末）【阅读材料】在解二元一次方程组时，我们常常也会采用一种“整体代入消元”的方法将二元一次方程组转化为一元一次方程求解，比如，解方程组，首先将方程②变形得，即，其次把方程①代入③得：，即，最后把代入方程①，得，所以方程组的解为． 【解决问题】 (1)请用“整体代入消元”的方法解方程组； (2)已知x、y满足方程组，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解二元一次方程组，熟练掌握“整体代入消元”法是解此题的关键． （1）利用“整体代入消元”的方法解方程组即可； （2）利用“整体代入消元”的方法解方程组即可． 【详解】（1）解：， 由②可得：，即， 把方程①代入③可得：， 解得， 把代入方程①可得：， 解得：， ∴方程组的解为； （2）解：， 由①可得：， 由②可得：，即， 把方程③代入④可得：， 解得． 【变式4-1】（24-25七年级下·江苏扬州·期末）（1）观察发现：材料：解方程组，将①整体代入②，得，解得，把代入①，得，所以，这种解法称为“整体代入法”，你若留心观察，有很多方程组可采用此方法解答，请直接写出方程组的解为__________； （2）实践运用：请用“整体代入法”解方程组； （3）若，则的值为__________； （4）拓展运用：若关于的二元一次方程组的解满足，请直接写出满足条件的的所有正整数值__________． 【答案】（1）；（2）；（3）；（4）1，2，3，4 【分析】此题考查了整体代入法求二元一次方程组，代数式求值，以及一元一次不等式的整数解，熟练掌握整体思想的运用是解本题的关键． （1）由①得出，然后整体代入②式，求出y的值，再把代入，即可求出x的值． （2）由①得出，然后整体代入②式，求出y的值，再把代入，即可求出x的值． （3）将原式变形成，然后整体代入计算即可． （4）将方程组两式相加，得到，再结合题意列出关于m的不等式，解之取正整数解即可． 【详解】解：（1） 由①得出，然后将整体代入②式得∶ ， 解得：， 把代入， 解得：， 则方程组的解为： （2） 由①得出， 把代入②得： 解得：， 把代入， 解得：， 则方程组的解为： （3）∵， 则 （4） 由①②得：， 即， ∵ ∴， 解得：， 则满足条件的的所有正整数值为1，2，3，4． 【变式4-2】（25-26七年级上·湖南株洲·期末）阅读探索：解方程组 解：设原方程组可以化为，解得， 即：．【此种解方程组的方法叫换元法．】 (1)运用上述方法解方程组，解：设_____，_____； (2)拓展提高：运用上述方法解方程组 (3)能力运用：已知关于的方程组的解为，求关于的方程组的解． 【答案】(1)，，方程组的解为 (2) (3) 【分析】本题考查了解二元一次方程组，二元一次方程组的解，理解并掌握例题的换元法是解题的关键． （1）仿照题干的思路，利用换元法进行计算即可解答； （2）仿照题干的思路，利用换元法进行计算即可解答． （3）利用换元法结合方程组的解的定义得到，再解二元一次方程组即可． 【详解】（1）解：设 ，， ∴原方程组可变为：， 解这个方程组得， 即， 所以， 故答案为：，； （2）解：设， ∴原方程组可化为：， 解得， ∴ 解得； （3）解：由题意得，， 解得：． 【变式4-3】（25-26八年级上·江西景德镇·期末）数学方法：解方程组：，若设，，则原方程组可化为，解方程组得，所以，解方程组得，我们把某个式子看成一个整体，用一个字母去替代它，这种解方程组的方法叫做换元法． (1)直接填空：已知关于，的二元一次方程组的解为那么关于、的二元一次方程组的解为：____________； (2)知识迁移：请用这种方法解方程组 (3)拓展应用：已知关于，的二元一次方程组的解为，求关于，的二元一次方程组的解． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了用换元法解二元一次方程组的知识，紧密结合题目给出的示例，合理换元是解答本题的关键． （1）设，，即可得，解方程组即可求解； （2）设，，则原方程组可化为，解方程组即可求解； （3）设，，则所求方程组可化为，根据的解为，可得，即有，则问题得解． 【详解】（1）解：设，，则原方程组可化为， 的解为， ， 解得， 故答案为：； （2）解：设，，则原方程组可化为， 解得， 即有， 解得， 故方程组的解为； （3）解：设，，则可化简得， 关于，的二元一次方程组的解为， 的解，即有， 解得：． 故方程组的解为：． 类型五、二元一次方程组的新定义型问题 方法总结 1. 理解定义：准确理解新定义的运算规则（如新符号、新运算），明确其代数意义。 2. 转化为常规：严格按照新定义规则，将新定义型方程组转化为常规二元一次方程组求解。 解题技巧 1. 举例验证：用简单数值代入新定义试算，确保理解无误后再进行转化。 2. 耐心套用：每一步都严格按定义操作，避免凭经验随意替换或跳步。 例5．（24-25八年级下·海南省直辖县级单位·期末）【定义】我们把关于的两个二元一次方程与叫作“对称二元一次方程”，二元一次方程组叫做关于的“对称二元一次方程组”．例如：与是“对称二元一次方程”，二元一次方程组叫做关于的“对称二元一次方程组”． 【理解】 （1）方程的“对称二元一次方程”是______； （2）若关于的方程组为“对称二元一次方程组”，则______，______． （3）观察方程组中两个方程“系数对称”，且常数项相同，可直接相加减消元： 解：两式相加： ③ 两式相减： ④ 代入求解： 把代入方程③，得：，解得，则． 所以这个方程组的解是： 【探究】 （4）解下列方程组（直接写出方程组的解）： ①______    ②______ 【答案】（1）；（2），；（4）① ，② 【分析】本题考查解二元一次方程组，熟练掌握新定义，是解题的关键： （1）根据新定义进行作答即可； （2）根据新定义，得到，进行求解即可； （4）仿照（3）的方法进行求解即可． 【详解】解：（1）方程的“对称二元一次方程”是； 故答案为：； （2）由题意，得：， 解得：； （4）①， ，得：， ∴； ，得：， ∴，得：，解得：； ，得：，解得：； ∴； ② ，得：， ∴； ，得：， ∴，得：，解得：； ，得：，解得：； ∴； 【变式5-1】（25-26八年级上·辽宁本溪·期末）定义：对于任意实数，，规定新的一种运算规则：，， (1)当，时，，，求，的值； (2)若关于，的方程组，（为常数）的解也满足关于，的方程，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解二元一次方程组，新定义，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先理解题意，得出，再运用加减消元法进行解方程，即可作答． （2）先理解题意，得出，则，又因为，得，整理得，再解得，即可作答． 【详解】（1）解：由题意可得方程组， 得， 解得， 把代入，得， 解得， ∴； （2）解：由题意可得方程组 可得， ， ， ， ， ， ， ∴， 的值为． 【变式5-2】（24-25七年级下·山西吕梁·期末）对于有理数，，定义新运算：，，其中，是常数．例如：，，已知，，则根据定义可以得到． 回答下列问题： (1)________，________； (2)若，求的值； (3)若关于x，y的方程组的解也满足方程，求的值． 【答案】(1)1， (2) (3) 【分析】本题考查了解二元一次方程组和二元一次方程组的解，根据新定义列出二元一次方程组，利用方程组的解列出二元一次方程组是解题的关键． （1）用加减消元法解方程组即可； （2）由，得到，，代入，求解即可； （3）根据题意得出关于x、y的二元一次方程组，求出方程组的解，再代入方程求解即可． 【详解】（1）解： ，得， ∴， 把代入②，得， ∴， 解得：； 故答案为：，； （2）， ，． ， ． 解得； （3）依题意得， 解得：， ， ． 解得∶． 【变式5-3】（24-25六年级下·上海闵行·期末）对于有理数，，定义新运算：，，其中，是常数．例如，，． 已知，，则根据定义可以得到：． (1)________，________； (2)若，求的值； (3)若关于，的方程组的解也满足方程，求的值； (4)若关于，的方程组的解为，则关于，的方程组的解为________． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了解二元一次方程组和二元一次方程组的解，根据新定义列出二元一次方程组，利用方程组的解列出二元一次方程组是解题的关键． （1）用加减消元法解方程组即可； （2）由，得到，代入，求解即可； （3）根据题意得出关于的二元一次方程组，求出方程组的解，再代入方程求解即可； （4）把所求方程组写成，根据方程组的解的定义，利用整体代入的方法解答即可． 【详解】（1）解：， 得， ， 把代入②，得， ， 解得：， 故答案为：； （2）解：∵， ∴，， ， ∵， ， 解得； （3）解：∵， ∴， 解得：， ， ， 解得：； （4）解：由方程组得：， ∵的解为， ， 解得：． 类型六、二元一次方程组的实际应用 方法总结 1. 建模列式：设未知数，根据题意中的两个等量关系，列出二元一次方程组。 2. 解验作答：解方程组，结合实际意义（如人数、件数为非负整数）筛选解，并作答。 解题技巧 1. 列表辅助：复杂问题可列表整理不同方案的未知量与等量关系，使条件清晰。 2. 画图示意：行程、工程等问题，画线段图或流程图，直观呈现数量关系。 例6．（25-26八年级上·河南郑州·期末）2026年郑州黄河文化节筹备期间，组委会需要运输一批黄河主题文创产品布置展区，安排了两种货车运输物资．调查得知，3辆小货车与2辆大货车一次可以满载运输1700件文创产品；4辆小货车与5辆大货车一次可以满载运输3200件文创产品． (1)求1辆小货车和1辆大货车一次可以分别满载运输多少件文创产品？ (2)现有2700件物资需要再次运往该地，准备同时租用这两种货车，每辆货车均全部装满货物，若1辆小货车需租金400元/次，1辆大货车需租金500元/次．若组委会计划支出4000元用于租车，是否够用，请说明理由． 【答案】(1)1辆小货车一次满载运输300件，1辆大货车一次满载运输400件 (2)够用，理由见解析 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用、二元一次方程的应用以及代数式求值等知识点，弄清量与量之间的关系是解答本题的关键． （1）设1辆小货车一次满载运输件文创产品，1辆大货车一次满载运输件文创产品，然后根据题意列二元一次方程组求解即可； （2）设租用小货车辆，大货车辆，列出方程，然后根据、均为整数进行列举，再计算费用进行比较即可． 【详解】（1）解：设1辆小货车一次满载运输件文创产品，1辆大货车一次满载运输件文创产品， 依题意得：， 解得：， 答：1辆小货车一次满载运输300件文创产品，1辆大货车一次满载运输400件文创产品． （2）解：该组委会计划支出4000元用于租车，够用，理由如下： 设租用小货车辆，大货车辆， 依题意得： 又，均为正整数， 当，；当，； 或 共有2种租车方案， 方案1：租用5辆小货车，3辆大货车，租车费为； 方案2：租用1辆小货车，6辆大货车，租车费为； ；； 该组委会计划支出4000元用于租车，够用． 【变式6-1】（25-26八年级上·山西太原·期末）邮票是供寄递邮件贴用的邮资凭证，诞生于1840年，中国邮政于2025年11月18日发行《跃马添福》《鸿运驰春》贺年专用邮票2种．已知1枚《跃马添福》邮票的面值为1.20元，1枚《鸿运驰春》邮票的面值为3元，学校集邮社团购买的《跃马添福》邮票数量比《鸿运驰春》多10枚，且所购两种邮票总面值为96元，求该社团购买两种邮票的数量． 【答案】该社团购买《跃马添福》邮票枚，《鸿运驰春》邮票枚 【分析】设该社团购买《跃马添福》邮票枚，《鸿运驰春》邮票枚，根据题意得，然后解方程组即可． 【详解】解：设该社团购买《跃马添福》邮票枚，《鸿运驰春》邮票枚， 根据题意，得， 解这个方程组，得， 答：该社团购买《跃马添福》邮票枚，《鸿运驰春》邮票枚． 【变式6-2】（25-26八年级上·陕西咸阳·期末）某农机专卖店在当地政策的支持下，购进一批国产耕地机．请根据下表信息，解答下列问题． 问题背景 某农机专卖店为满足市场需求，计划用240万元从厂家购进A，B两款国产耕地机若干台． 素材1 从厂家购进3台A款国产耕地机和2台B款国产耕地机共需90万元． 素材2 从厂家购进2台A款国产耕地机和3台B款国产耕地机共需85万元． 问题解决 任务（1） （1）求A，B两款国产耕地机每台的进价； 任务（2） （2）要使这240万元正好用完（两种耕地机都要购买），请列出购进方案． 【答案】任务（1）：A款国产耕地机每台的进价为20万元，B款国产耕地机每台的进价为15万元；任务（2）一共有三种方案：方案一：购买A款国产耕地机3台，购买B款国产耕地机12台；方案二：购买A款国产耕地机6台，购买B款国产耕地机8台；方案三：购买A款国产耕地机9台，购买B款国产耕地机4台 【分析】本题主要考查了二元一次方程组和二元一次方程的应用，正确理解题意列出方程组和方程是解题的关键． 任务（1）：设A款国产耕地机每台的进价为x万元，B款国产耕地机每台的进价为y万元，根据素材1和素材2建立方程组求解即可； 任务（2）：设购买A款国产耕地机m台，购买B款国产耕地机n台，根据一共花费240万元建立方程，求出方程的正整数解即可得到答案． 【详解】解：任务（1）：设A款国产耕地机每台的进价为x万元，B款国产耕地机每台的进价为y万元， 由题意得，， 解得， 答：A款国产耕地机每台的进价为20万元，B款国产耕地机每台的进价为15万元； 任务（2）：设购买A款国产耕地机m台，购买B款国产耕地机n台， 由题意得，， ∴， ∵m、n都是正整数， ∴是正整数， ∴m是3的倍数， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 答：一共有三种方案：方案一：购买A款国产耕地机3台，购买B款国产耕地机12台；方案二：购买A款国产耕地机6台，购买B款国产耕地机8台；方案三：购买A款国产耕地机9台，购买B款国产耕地机4台． 【变式6-3】（25-26七年级上·安徽合肥·期末）某工厂将一批纸板按照甲，乙两种方式进行加工，再用加工出来的长方形A板块和正方形B板块制作成如图所示的底面为正方形的长方体有盖礼盒，设有块纸板按甲方式进行加工，有y块纸板按乙方式进行加工； (1)补全表格 块按甲方式加工的纸板 块按乙方式加工的纸板 板块 __________ 板块 __________ (2)若现共有纸板14块，要使礼盒制作完毕后的板块恰好用完，能做多少个礼盒？ (3)若现共有纸板块，还有之前剩余的板块4块，要使礼盒制作完毕后的板块恰好用完，则的最小值为__________．（请直接写出答案） 【答案】(1)见解析 (2)使加工出的A，B板块恰好用完，能做个礼盒 (3)9 【分析】本题考查认识立体图形，列代数式以及求代数式的值，理解“裁剪方式与A，B板块恰好用完”之间的关系是解决问题的关键． （1）根据甲、乙两种加工方式所裁剪的A版块、B版块的数量进行计算即可； （2）设未知数，列方程组求解即可； （3）利用二元一次方程组的正整数解进行解答即可． 【详解】（1）解：根据题意得： 块按甲方式加工的纸板 块按乙方式加工的纸板 板块 板块 （2）解：由题意可得， ， 解得：， 即有8块采用甲方式进行加工，6块采用乙方式加工，使加工出的A，B板块恰好用完， 此时，礼盒的个数为（个）； （3）解：由题意得，， 解得， ∵x、a都是正整数， 当时，，解得，不是整数，不合题意， 当时，，解得，不是整数，不合题意， 当时，，解得，不是整数，不合题意， 当时，，解得，是整数，符合题意， ∵x、a都是正整数， ∴a的最小整数值为9，此时，A、B分别有32块和16块，这样使礼盒制作完毕后的板块恰好用完． 一、单选题 1．（25-26八年级上·广东佛山·期末）已知方程是关于x，y的二元一次方程，则的值（ ） A．7 B．5 C． D．7或 【答案】A 【分析】本题主要考查了二元一次方程的定义，二元一次方程要求未知数和的次数均为1，且系数不为零，根据指数和系数条件列出方程求解，并排除无效解． 【详解】解：∵方程是关于的二元一次方程， ∴的指数 ， ∴， 解得或， 又∵的指数， ∴， 解得：， 检查系数： 当时，，符合条件； 当时，，系数为零，不符合二元一次方程要求，故舍去， ∴， ∴． 故选：A． 2．（25-26七年级上·广西贵港·期末）《九章算术》是中国古代一部重要的数学著作，在“方程”章中记载了求不定方程（组）解的问题．例如方程恰有一个正整数解．类似地，下列选项中，不是方程的正整数解的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二元一次方程的解的验证，解题的关键是掌握二元一次方程的解的意义． 通过将各选项的x、y值代入方程，判断等式是否成立即可确定不是解的选项． 【详解】解：∵把选项A的代入方程，左边，右边，左边右边， ∴A是方程的正整数解； ∵把选项B的代入方程，左边，右边，左边右边， ∴B是方程的正整数解； ∵把选项C的代入方程，左边，右边，左边右边， ∴C不是方程的正整数解； ∵把选项D的代入方程，左边，右边，左边右边， ∴D是方程的正整数解． 故选：C． 3．（25-26七年级上·安徽铜陵·期末）若关于，的二元一次方程组的解满足，则的值为（   ） A． B． C．2 D．4 【答案】C 【分析】本题考查了根据二元一次方程组的解求参数． 将两方程相加后根据求解即可． 【详解】解：， 得：， 即， ∵， ∴， 解得：． 故选：C． 4．（25-26八年级上·贵州贵阳·期末）《九章算术》是我国东汉初年编订的一部数学经典著作．如图是《九章算术》中的算筹图，图中各行从左到右列出的算筹数分别表示未知数x和y的系数与相应的常数项，如图①所示的算筹图用方程组的形式表述出来是类似的，如图②所示的算筹图，用方程组的形式表述为：（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是列二元一次方程组，读懂题意，得到所给未知数的系数及相加结果是解题的关键． 由图1可得1个竖直的算筹数算1，一个横的算筹数十位的一个算1个10，个位的的一个横的算一个5，每一横行是一个方程，第一个数是x的系数，第二个数是y的系数，第三个数是相加的结果；前面的表示十位，后面的表示个位，由此可得图2的表达式． 【详解】解：第一个方程x的系数为1，y的系数为3，常数项为18； 第二个方程x的系数为2，y的系数为4，常数项为26； 所以可列方程为． 故选：D． 5．（25-26七年级上·安徽宣城·期末）已知关于x，y的二元一次方程组，给出下列结论： ①当这个方程组的解x，y的值互为相反数时，； ②当时，方程组的解也是方程的解； ③无论a取什么数，的值始终不变其中正确的是（   ） A．①② B．②③ C．①③ D．①②③ 【答案】D 【分析】本题考查二元一次方程组的解，先解方程组得到解为，，然后逐一验证三个结论． 【详解】解：， 得：， ∴， 代入②得：， 结论①：当与互为相反数时，， ∴， ∴，正确； 结论②：当时，，，方程，且，正确； 结论③：，为定值，正确； ∴①②③都正确； 故选：D． 二、填空题 6．（25-26八年级上·广东梅州·期末）若，则______． 【答案】 【分析】先由绝对值非负性，算术平方根非负性得出，再求出，的值，最后代入即可求解． 【详解】解：∵， ∴，解得：， ∴． 7．（25-26八年级上·山东潍坊·期末）关于x，y的二元一次方程组的解满足，则整数m的值为______． 【答案】1 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，估计无理数的取值范围，解题的关键是掌握以上运算法则． 先解二元一次方程组，求出用m表示的x和y，再计算并代入不等式，解出m的取值范围，最后根据m为整数确定其值． 【详解】解：解方程组， ，得， 即， 解得， 代入第二个方程， 即， 解得， 所以， 由，得， 即， ∵，， 即，， ∴，， ∴， 由于m为整数， 所以． 故答案为：1． 8．（25-26七年级上·重庆忠县·期末）如图①是由编号为1，2，3，4，5的五个小长方形组成的大长方形．已知图①中编号为3，4，5的小长方形大小都如图②，且编号为1的小长方形面积是编号为2的小长方形面积的两倍，若，则______． 【答案】2 【分析】本题考查了整式加减的应用，二元一次方程组的应用．编号为1的小长方形，一边为，设另一边为，编号为2的小长方形，一边为，设另一边为，根据题意得到，，据此求解即可． 【详解】解：由题意，编号为1的小长方形，一边为，设另一边为，则面积为， 编号为2的小长方形，一边为，设另一边为，则面积为， ∵编号为1的小长方形面积是编号为2的小长方形面积的两倍， ∴， ∴， ∵大长方形的两对边相等， ∴，即， ∴， ∴， 故答案为：2． 9．（25-26八年级上·广东佛山·期末）已知关于的二元一次方程组（是常数），若不论取什么实数，代数式（是常数）的值始终不变，则的值为___________． 【答案】 【分析】本题主要考查了根据二元一次方程组的解的情况求参数，通过解方程组，用参数a表示 x 和 y，再代入代数式，令其含a的系数为零，从而求出k的值． 【详解】解： 得，解得 把代入①得，解得 ∴ ， ∵不论取什么实数，代数式（是常数）的值始终不变， 解得 故答案为：． 10．（25-26七年级上·湖北省直辖县级单位·期末）幻方是古老的数学问题，我国古代的《洛书》中记载了最早的幻方一一九宫格．将9个数填入幻方的空格中，要求每一横行、每一竖列以及两条对角线上的3个数之和相等，如图是一个未填完的幻方，则的值为_____． 【答案】5 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用．根据“每一横行、每一竖列以及两条对角线上的3个数之和相等，”列出方程组，即可求解． 【详解】解：根据题意得：， 解得：． 故答案为：5 三、解答题 11．（25-26八年级上·广东河源·期末）求解二元一次方程组： (1)； (2) 【答案】(1)； (2) 【分析】本题考查二元一次方程组的求解，核心方法为代入消元法和加减消元法． （1）第一个方程的系数为1，适合用代入消元法：先通过第一个方程用含的式子表示，再代入第二个方程求出的值，最后反代求； （2）两个方程的未知数系数均不为1，适合用加减消元法：通过给方程两边同乘适当的数，使的系数相同，再通过方程相减消去，先求出的值，再代入求． 【详解】（1）解：， 由①得，③ 将③代入②得：，解得， 将代入③得， ∴方程组的解为； （2）解：， 得，解得， 将代入①得，解得， ∴方程组的解为． 12．（25-26八年级上·四川达州·期末）已知关于，的方程组和有相同的解． (1)求出它们的相同解． (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二元一次方程组的解，解题关键是熟练掌握二元一次方程组的解是使每个方程左右两边相等的未知数的值． （1）根据已知条件，重新把不含a、b的两个方程联立成方程组，利用加减消元法求出x、y的值即可； （2）把（1）中求出的，分别代入和，得到关于a、b的方程组，解方程组求出a、b，再代入计算即可． 【详解】（1）解：由题意得：， 得：， 得：， 解得： 把代入得：， ∴相同的解为：； （2）把（1）中所求的，分别代入和得： ， 得：， 得：， 解得：， 把代入得：， ∴． 13．（25-26八年级上·山东枣庄·期末）对于关于，的二元一次方程组，如果方程组的解，满足，我们就说方程组的解与具有“友好关系”． (1)方程组的解与_____(填“具有”或“不具有”)“友好关系”； (2)若方程组的解与具有“友好关系”，求的值． 【答案】(1)具有； (2) 【分析】本题主要考查二元一次方程组的解法及新定义“友好关系”的应用，关键是理解“友好关系”的本质为，通过解方程组或结合该关系式求解未知量． （1）先求解给定的二元一次方程组，得到、的具体值后，验证是否等于1，即可判断是否具有“友好关系”； （2）将代入方程组，先求出、的值，再代入含的方程计算即可． 【详解】（1）解：解方程组，得， ，满足“友好关系”的定义， 故答案为：具有； （2）解：方程组的解与具有“友好关系”， ， 联立，解得， 将代入方程， 得，解得． 14．（25-26八年级上·陕西咸阳·期末）中国的茶文化源远流长，融合了哲学、艺术、礼仪与生活方式，是中华文明的重要组成部分．已知小艺购进1盒B种茶叶比购进1盒A种茶叶多140元；购进2盒A种茶叶和1盒B种茶叶共1040元． (1)求A，B这两种茶叶的单价；（用方程组的知识解答） (2)若某茶叶店购进A，B两种茶叶（两种茶叶均购买），费用恰好为18000元．请问该茶叶店有几种购进方案？ 【答案】(1)A种茶叶单价为300元，B种茶叶单价为440元 (2)该茶叶店有2种购进方案 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，二元一次方程的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）设A，B茶叶的单价分别为元，元，根据购进1盒B种茶叶比购进1盒A种茶叶多140元；购进2盒A种茶叶和1盒B种茶叶共1040元，进行列方程组，即可作答． （2）先理解题意，列式，整理得，因为、都为正整数，22与15互质，得出n的正整数取值为15、30，即可作答． 【详解】（1）解：设A，B茶叶的单价分别为元，元， 依题意，得， 解得， ∴A种茶叶单价为300元，B种茶叶单价为440元； （2）解：由（1）得A种茶叶单价为300元，B种茶叶单价为440元； 设购进A茶叶盒，购进B茶叶盒， ∵某茶叶店购进A，B两种茶叶（两种茶叶均购买），费用恰好为18000元． ∴， 整理得， ∵、都为正整数， ∴是的正倍数， 则， ∴ ∵22与15互质， 则n的正整数取值为15、30， 当时，则，符合题意； 当时，则，符合题意； 综上：该茶叶店有2种购进方案． 15．（24-25七年级上·湖南岳阳·期末）【阅读理解】数学课上，何老师在讲解教材第125页“温过而知新”第5题“如果关于x，y的二元一次方程组解为，那么关于x，y的二元一次方程组的解是什么？”时，小超和小字同学的做法如下： （1）小超：先把代入第一个方程组中求出a，b；再把a，b的值代入第二个方程组中求出它的解．请你按照小超的思路写出详细的解题过程． （2）小字：通过观察可以发现把第一个方程组中的未知数x换成，未知数y换成就是第二个方程组了，因此可知第二个方程组中的的值就等于第一个方程组中的x的值，第二个方程组中的的值就等于第一个方程组中的y的值，所以，再求出它们的解就是第二个方程组的解． 【解决问题】何老师对两位同学的讲解进行点评和表扬，并指出“小宇”同学的思路体现了数学中“整体思想”、“代换思想”、“转化思想”的运用． 请你参考小超或小宇同学的做法，解决下面的问题： ①若方程组的解是，则方程组的解是（    ） A.    B.    C.    D. ②已知关于x，y的方程组的解是，求关于x，y的方程组的解．（其中、、、都为常数） 【答案】①D；② 【分析】本题考查了二元一次方程组的解、整式的加减以及解二元一次方程组， ①仿照例题，通过观察可以发现把第一个方程组中的未知数x换成，未知数y换成就是第二个方程组了，因此可知第二个方程组中的的值就等于第一个方程组中的x的值，第二个方程组中的的值就等于第一个方程组中的y的值，所以，再求出它们的解就是第二个方程组的解． ②将方程变形为，同①的方法即可求解． 【详解】解：①依题意， 解得： 故选：D． ②即 ∵的解是 ∴ 解得： 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $