专题07 不等式与不等式组【重难点培优：知识梳理+5大题型+压轴真题】2025-2026学年人教版七年级下册数学重难点培优专题专练

**基本信息** 以符号转化与解集口诀为核心方法，构建从概念到压轴题的递进式训练体系，强化符号意识与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |知识梳理|2大方法模块|不等式符号转化、解集确定口诀（同大取大等）|从语言符号到解集原理，构建概念-推导-应用链条| |重难点题型|5类核心题型（参数/有解/无解/整数解/压轴）|逆向求解参数、数轴分析整数解、跨知识综合应用|题型与方法对应，覆盖中考高频考法，培养模型意识|

专题07 不等式与不等式组知识梳理 1. 常见的不等式基本语言与符号表示： 不等式基本语言 符号表示 不等式基本语言 符号表示 不等式基本语言 符号表示 a是正数 a＞0 a是非正数 a≤0 a、b同号 ab＞0 a是负数 a＜0 a是非负数 a≥0 a、b异号 ab＜0 不少于 ≥ 不大于 ≤ 不超过 ≤ 不低于 ≥ 不高于 ≤ 至多 ≥ 2. 一元一次不等式组的解集确定方法： 不等式组 设a＞b 解集 x＞a x＜b 数轴上的表示 口诀 同大取大 同小取小 不等式组 设a＞b 解集 无解 数轴上的表示 口诀 大大小小无处找 大小，小大中间找 1）利用数轴表示不等式组解集时，要把几个不等式的解集都表示出来，不能仅画公共部分. 2）当不等式组中含有“≥”或“≤”时，边界点处要用实心圆点，解集的取法不变. 3）关于x的不等式组的解集为x=a，关于x的不等式组无解. 重难点题型分类 【题型1：根据不等式（组）的解集求参数 1】 【题型2：不等式组有解问题 3】 【题型3：不等式组无解问题 5】 【题型4：不等式（组）整数解问题 7】 【题型5：压轴真题 10】 根据不等式（组）的解集求参数 1. 关于的不等式的解集如图所示，则的值是 ． 2. 如果不等式的解集是，那么a的取值范围是 ． 3. 已知如图是关于的不等式的解集，则的值为 ． 4. 若不等式组，的解集为，则m应满足的条件是 ． 5. 若方程组的解x、y满足，则a的取值范围为 ． 6. 已知关于x、y的二元一次方程组，若，则m的取值范围是 7. 关于，的二元一次方程组的解满足，且关于的不等式组有解，则符合条件的整数之和为 ． 8. 若关于，的方程组的解满足，则的取值范围是 ． 9. 已知关于x、y的方程组的解满足，且关于x的不等式组无解，那么所有符合条件的整数a的和为 ． 10. 若关于x的不等式组的解集为，且关于m，n方程组的解满足，则所有满足条件的整数a的值之积为 ． 11．若关于的方程组的解的值都在不等式组的解集内，求实数a的取值范围． 不等式组有解问题 1．关于的一元一次不等式组有解，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2．若关于x的不等式组在实数范围内有解，则a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 3．若实数k使关于x的不等式组有解且至多有3个整数解，且使关于x的分式方程有整数解，则满足条件的整数k的个数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4．若关于x的不等式组有解，则m的取值范围是 ． 5．如果关于的不等式组有解，且关于的方程有正整数解，那么符合条件的所有整数的和为 ． 6．若关于x的不等式组有解且最多有3个奇数解，关于y的方程的解为正整数，则所有满足条件的整数a的和为 ． 7．若关于的不等式组有解，则的取值范围是 ． 8．若整数使得关于的不等式组有解，且关于的分式方程有非负整数解，则所有满足条件的的值之和为 ． 9．关于的不等式组有解且每一个的值均不在的范围中，则的取值范围是 ． 10．若关于的不等式组有解，则的取值范围为 ． 11．若关于y的不等式组有解，且关于x的方程的解为非负数，则所有满足条件的整数m的值之和是 ． 12. 已知关于的二元一次方程组的解满足且．若有解，求所有符合条件的整数a的和． 不等式组无解问题 1．若关于的不等式组无解，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．若不等式组无解，则m的取值范围为（   ） A． B． C． D． 3．若关于的不等式组无解，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 4．已知关于的不等式组无解，那么的取值范围是（   ） A． B． C． D． 5．若关于的不等式组无解，则的取值范围为 ． 6．已知关于x、y的方程组的解满足，且关于x的不等式组无解，那么所有符合条件的整数a的和为 ． 7．已知关于x的不等式组无解，且关于x的方程的解为非负数，则满足条件的所有整数a的和为 ． 8．若关于x不等式组无解，则m的取值范围是 ． 9．若关于x的不等式组无解，且关于y的分式方程的解为正整数，则所有满足条件的整数a的值的和为 ． 10．若关于的不等式组无解，且关于的分式方程有非负数解，则满足条件的所有整数的和为 ． 11．已知关于的不等式无解，则实数的取值范围是 ． 12．已知关于x的不等式组无解，则a的取值范围为 ． 13．已知关于的不等式组无解，则的取值范围是 ． 14．若关于x的不等式组无解，则实数m的取值范围是 ． 15. 已知关于的二元一次方程组的解满足且．若关于x的不等式组无解，求所有符合条件的整数a的值； 不等式（组）整数解问题 1．不等式组的整数解的个数为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 2．使得关于的分式方程有正整数解，且关于的不等式至少有2个整数解，那么符合条件的所有整数的和为（   ） A． B． C． D． 3．已知关于的不等式组的解集中恰好有两个整数，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．如果关于y的方程有非负整数解，且关于x的不等式组的解集为，则所有符合条件的整数a的和为（　　） A． B． C． D． 5．若关于x的不等式组只有3个整数解，则符合条件的所有整数k的和为（   ） A．39 B．42 C．45 D．48 6. 若关于x的不等式只有3个正整数解，则m的取值范围是 ． 7. 关于x的不等式有2个正整数解，则a的取值范围是 ． 8. 关于的不等式的最小整数解为2，则实数的取值范围是 ． 9. 如果关于的不等式组有且只有个整数解，则符合条件的所有整数的和为 ． 10. 关于x的不等式组恰有3个整数解，则a的取值范围是 ． 11. 已知关于x的不等式组只有3个整数解，则a的取值范围是 ． 12. 若实数使关于的不等式组有且只有两个整数解，则实数的取值范围是 ． 13. 若关于的一元一次方程有正整数解，且使关于的不等式组至少有4个整数解，求出满足条件的整数的所有值的积为 ． 14．已知关于x的不等式组 (1)若不等式组的最小整数解为，求整数a的值； (2)若不等式组所有整数解的和为14，求a的取值范围． 压轴真题 一、单选题 1．（25-26八年级上·浙江金华·期末）关于x的不等式恰有两个负整数解，则b的取值可以是（   ） A．3 B．2 C． D． 2．（25-26八年级下·全国·周测）若关于，的方程组的解满足不等式，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 3．（25-26七年级下·全国·周测）若不等式的解集中的每一个值都能使关于的不等式成立，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．（25-26八年级上·山东济南·期末）关于x的不等式组的解集是，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．（25-26九年级上·四川泸州·期末）关于的不等式组恰有3个整数解，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6．（25-26八年级上·重庆·期中）关于的方程的解是整数，且关于的不等式组有且仅有3个整数解，则满足条件的所有整数的和为（    ） A．25 B．26 C．27 D．28 7．（2025八年级上·全国·专题练习）关于x的方程的解为非负整数，且关于x的不等式组无解，则符合条件的整数k的值的和为（   ） A．5 B．2 C．4 D．6 二、填空题 8．（25-26八年级下·全国·期中）若是关于的一元一次不等式，则 ． 9．（25-26八年级下·全国·周测）已知是关于的一元一次不等式，则的值为 ，不等式的解集是 ． 10．（25-26八年级上·重庆·期末）已知关于x的不等式组有且仅有3个偶数解，且关于y的一元一次方程的解为非负整数，则所有满足条件的整数a的值之和为 ． 11．（24-25九年级下·浙江宁波·自主招生）为实数，且不等式有解，则实数的取值范围是 ． 三、解答题 12．（25-26七年级下·全国·课后作业）若是不等式组的最大整数解，求的值． 13．（25-26七年级下·全国·单元测试）明明在解一元一次不等式组时，发现“□”里的常数看不清楚，但知道这个不等式组的解集为．若用字母表示“□”里的常数，试求字母的取值范围． 14．（25-26七年级下·全国·课后作业）已知不等式①． (1)求不等式①的解集． (2)求不等式①的负整数解． (3)若关于x的不等式②的解集与不等式①的解集相同，求a的值． (4)若不等式①的解都是关于x的不等式的解，求m的取值范围． 15．（25-26八年级上·浙江绍兴·期末）若一个不等式组有解且解集为，则称为的“绝对距离”，若的绝对距离是不等式组的解，则称不等式组对于不等式组“绝对包含”． (1)已知关于的不等式组以及不等式组，判断不等式组是否对于不等式组绝对包含，并写出判断过程． (2)已知关于的不等式组和关于的不等式组，若不等式组对于不等式组绝对包含，当时，求满足条件的所有整数的和． (3)已知关于的不等式组以及不等式组，且不等式组对于不等式组绝对包含，求的取值范围． 16．（25-26八年级上·福建福州·开学考试）如果一个方程（组）的解恰好能够使得某不等式（组）成立，则称此方程（组）为该不等式（组）的“偏解方程（组）”．例如：方程是不等式的“偏解方程”，因为方程的解可使得成立；方程组是不等式的“偏解方程组”，因为方程组的解可使得成立． (1)方程是下列不等式（组）中______（填序号）的“偏解方程”； ①；②；③； (2)已知关于x，y方程组是不等式的“偏解方程组”，求a的取值范围； (3)已知关于x的不等式组恰有6个整数解，且关于x的方程是它的“偏解方程”，求b的取值范围． 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题07 不等式与不等式组重难点题型分类 【题型1：根据不等式（组）的解集求参数 1】 【题型2：不等式组有解问题 6】 【题型3：不等式组无解问题 13】 【题型4：不等式（组）整数解问题 20】 【题型5：压轴真题 27】 根据不等式（组）的解集求参数 1. 关于的不等式的解集如图所示，则的值是 ． 【详解】解：解不等式得，， 由数轴上不等式的解集可知，， ， 解得， 故答案为：3． 2. 如果不等式的解集是，那么a的取值范围是 ． 【详解】解：∵不等式的解集是， ∴， ∴， 故答案为：． 3. 已知如图是关于的不等式的解集，则的值为 ． 【详解】解：解不等式得：， 由数轴知不等式的解集为， ， 解得：， 故答案为：1． 4. 若不等式组，的解集为，则m应满足的条件是 ． 【详解】解不等式组，得． ∵不等式组的解集是， ∴． 故答案为：． 5. 若方程组的解x、y满足，则a的取值范围为 ． 【详解】解：， 由得：， ∵，则， ∴， ∴， 故答案是：． 6. 已知关于x、y的二元一次方程组，若，则m的取值范围是 【详解】解： ，得：， ， ， ， 解得． 故答案为：． 7. 关于，的二元一次方程组的解满足，且关于的不等式组有解，则符合条件的整数之和为 ． 【详解】解：， ①+②得， ， 关于、的方程组的解满足， ，得， 解不等式组， 解不等式①得：， 解不等式②得：， 不等式组有解， ，得，由上可得，， 符合条件的整数的值的和为：． 故答案为：5． 8. 若关于，的方程组的解满足，则的取值范围是 ． 【详解】解：， 得：， ， ， ， 解得：， 的取值范围是， 故答案为：． 9. 已知关于x、y的方程组的解满足，且关于x的不等式组无解，那么所有符合条件的整数a的和为 ． 【详解】解关于x，y的方程组，得 ， 则， 即 解得， 解关于x的不等式组 由不等式①，得 ， 由不等式②，得， ， 因为关于x的不等式组无解，可得 ， 解得， 综上所述可知 ， ∴所有符合条件的整数a为，，0，1，2，3，4，这些整数的和为，， 故答案为：7． 10. 若关于x的不等式组的解集为，且关于m，n方程组的解满足，则所有满足条件的整数a的值之积为 ． 【详解】解：由，得：， ∵不等式组的解集为， ∴， ∴， ∵ ∴，得：， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴整数， ∴； 故答案为：360． 11．若关于的方程组的解的值都在不等式组的解集内，求实数a的取值范围． 【详解】解：解关于的方程组得：， 解不等式组得：， 所以，解得：． 不等式组有解问题 1．关于的一元一次不等式组有解，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【详解】解：∵， 由①得：， 由②得：， ∴关于的一元一次不等式组可得：， ∵不等式组有解， ∴， 解得：； 故选A． 2．若关于x的不等式组在实数范围内有解，则a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【详解】解， 解不等式①得：， 解不等式②得：． 因为关于x的不等式组在实数范围内有解， ∴，解得：． 故选：B． 3．若实数k使关于x的不等式组有解且至多有3个整数解，且使关于x的分式方程有整数解，则满足条件的整数k的个数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【详解】解：， 解不等式①，得， 解不等式②，得， ∵不等式组有解且至多有3个整数解， ∴， ∴， 分式方程两边同乘以，得， ∴， 当时，， ∵， ∴， ∴， ∵方程有整数解， ∴， ∴或1或5或， ∵且， ∴或1或， 故选：C． 4．若关于x的不等式组有解，则m的取值范围是 ． 【详解】解：解，得：， ∵不等式组有解， ∴， ∴， ∴； 故答案为：． 5．如果关于的不等式组有解，且关于的方程有正整数解，那么符合条件的所有整数的和为 ． 【详解】解：解不等式，得． 解不等式，得． 该不等式组有解， ， 解得． 整理方程，得． 方程有正整数解， ，解得， ． 当时，解得； 当时，解得； 当时，解得； 当时，解得，不符合题意，舍去； 符合条件的所有整数的和为． 故答案为：． 6．若关于x的不等式组有解且最多有3个奇数解，关于y的方程的解为正整数，则所有满足条件的整数a的和为 ． 【详解】解：解，得：， ∵不等式组有解且最多有3个奇数解， ∴，3个奇数解为：， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵关于y的方程的解为正整数， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴所有满足条件的整数a的和为； 故答案为：7． 7．若关于的不等式组有解，则的取值范围是 ． 【详解】解：∵， ∴， ∵有解， ∴， ∴． 故答案为：． 8．若整数使得关于的不等式组有解，且关于的分式方程有非负整数解，则所有满足条件的的值之和为 ． 【详解】解：， 解不等式， 去分母得：， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为得：， 解不等式得：， 不等式组有解， ， ， 解关于的分式方程， 去分母得：， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为得：， 关于的分式方程有非负整数解， 或或或或或， 当时，是分式方程的增根， (舍去)， ． 故答案为： ． 9．关于的不等式组有解且每一个的值均不在的范围中，则的取值范围是 ． 【详解】解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， 不等式组有解， ， 每一个的值均不在的范围中， 或， 解得：， 故答案为：． 10．若关于的不等式组有解，则的取值范围为 ． 【详解】解：， 由得：， 由得：， 原不等式组有解， ， 解得：， 故答案为：． 11．若关于y的不等式组有解，且关于x的方程的解为非负数，则所有满足条件的整数m的值之和是 ． 【详解】解：， 方程两边同乘，得， 整理得，， 由题意得，，且， 解得，且， 解不等式组得，， 不等式组有解， ， 则且， 所有满足条件的整数m的值之和为：， 故答案为：． 12. 已知关于的二元一次方程组的解满足且．若有解，求所有符合条件的整数a的和． 【详解】， 解不等式①得：， 解不等式②得：， 不等式组有解， ， 即， 所有符合条件的整数a有：1，2，3，4，5， ， 所有符合条件的整数a的和为15． 不等式组无解问题 1．若关于的不等式组无解，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【详解】解：由，得：， 由，得：， 不等式组无解， ， 故选：B 2．若不等式组无解，则m的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【详解】解：解不等式，得． 又因为且不等式组无解， 所以， 解得． 故选：C． 3．若关于的不等式组无解，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【详解】解：由得：， 由得：， 不等式组无解， ， 故选：D． 4．已知关于的不等式组无解，那么的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【详解】解：解不等式，得， 且不等式组无解， ， 故选：． 5．若关于的不等式组无解，则的取值范围为 ． 【详解】解：， ∵解不等式①得：， 又∵不等式组无解， ∴， 故答案为：． 6．已知关于x、y的方程组的解满足，且关于x的不等式组无解，那么所有符合条件的整数a的和为 ． 【详解】解关于x，y的方程组，得 ， 则， 即 解得， 解关于x的不等式组 由不等式①，得 ， 由不等式②，得， ， 因为关于x的不等式组无解，可得 ， 解得， 综上所述可知 ， ∴所有符合条件的整数a为，，0，1，2，3，4，这些整数的和为，， 故答案为：7． 7．已知关于x的不等式组无解，且关于x的方程的解为非负数，则满足条件的所有整数a的和为 ． 【详解】解：由，得：， ∵不等式组无解， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵的解为非负数， ∴， ∴， ∴， ∴满足题意的整数， ∴满足条件的所有整数a的和为； 故答案为：9． 8．若关于x不等式组无解，则m的取值范围是 ． 【详解】解：∵， ∴解①得，，解②得，， ∵不等式组无解， ∴， ∴，故答案为：． 9．若关于x的不等式组无解，且关于y的分式方程的解为正整数，则所有满足条件的整数a的值的和为 ． 【详解】解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∵不等式组无解， ∴， ∴， 分式方程去分母，得， ∴， ∵分式方程的解为正整数， ∴a为整数，且， ∵， ∴，，，1， ∴所有满足条件的整数a的值的和为： ． 故答案为：． 10．若关于的不等式组无解，且关于的分式方程有非负数解，则满足条件的所有整数的和为 ． 【详解】解：， 由①得，， 由②得，， ∵不等式组无解， ∴， 分式方程去分母得，， ∴， ∵分式方程有非负数解， ∴， 解得， ∴， 又∵， ∴， 即， ∴， ∴满足条件的所有整数为，，，， ∴满足条件的所有整数的和为， 故答案为：． 11．已知关于的不等式无解，则实数的取值范围是 ． 【详解】解：关于的不等式无解， 当时， 无解， 即，无解，满足题意； 当时， 无解， 即恒成立， ， 解得：， 综上，实数的取值范围； 故答案为： 12．已知关于x的不等式组无解，则a的取值范围为 ． 【详解】解：， 解不等式①可得：， 解不等式②得：， ∵关于x的不等式组无解， ∴， 解得：， 故答案为：． 13．已知关于的不等式组无解，则的取值范围是 ． 【详解】解关于的不等式组，得， ∵不等式组无解， ∴， 故答案为：． 14．若关于x的不等式组无解，则实数m的取值范围是 ． 【详解】解：， 由①可得：， 由②可得：， ∵原不等式组无解， ∴， 解得：，故答案为：． 15. 已知关于的二元一次方程组的解满足且．若关于x的不等式组无解，求所有符合条件的整数a的值； 【详解】解：解方程组得：， 关于x、y的二元一次方程组的解满足且， ， 解得：， ， 解不等式①得：， 解不等式②得：， 关于x的不等式组无解， ， 解得：， 即， ∴所有符合条件的整数a的值有1，2，3，4； 不等式（组）整数解问题 1．不等式组的整数解的个数为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【详解】解：解不等式得，, 解不等式得，, ∴不等式组的解集为：， ∴不等式组的整数解为：,即不等式组有个整数解， 故选：． 2．使得关于的分式方程有正整数解，且关于的不等式至少有2个整数解，那么符合条件的所有整数的和为（   ） A． B． C． D． 【详解】解不等式组，得， 不等式组至少有2个整数解， ∴ ， ∴ ， 解分式方程，得， 为正整数，， 或或， 时，，原分式方程无解， 故将舍去， 符合条件的所有整数的和是． 故选：B． 3．已知关于的不等式组的解集中恰好有两个整数，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【详解】：解不等式，得， ∴不等式组的解集是， ∵不等式组的解集中恰好有两个整数， ∴设相邻的两个整数分别为n和， ∴， 整理得， ∴当时，不等式组有解， 解得， ∴， ∴， ∴． 故选：C． 4．如果关于y的方程有非负整数解，且关于x的不等式组的解集为，则所有符合条件的整数a的和为（　　） A． B． C． D． 【详解】解：， 解得：， 关于y的方程有非负整数解， ， 解得：，且为整数， ，整理得：， 不等式组的解集为， ， ，且为整数， ，， 于是符合条件的所有整数a的值之和为：， 故选：B． 5．若关于x的不等式组只有3个整数解，则符合条件的所有整数k的和为（   ） A．39 B．42 C．45 D．48 【详解】解：解不等式①，得， 解不等式②，得， ∵不等式组有且只有3个整数解， 不等式组的解为：， ∴这3个整数数解为3，2，1， ，即， 解得， ∵k为整数， ∴k为12，13，14， ∴符合条件的所有整数k的和为：， 故选：A． 6. 若关于x的不等式只有3个正整数解，则m的取值范围是 ． 【详解】解： 移项，得： ， 合并同类项，得： ， 系数化为1，得： ， ∵不等式只有3个正整数解， ∴， 故答案为： ． 7. 关于x的不等式有2个正整数解，则a的取值范围是 ． 【详解】解：， ∴， ∴， ∵不等式有2个正整数解， ∴， 解得：， 故答案为：． 8. 关于的不等式的最小整数解为2，则实数的取值范围是 ． 【详解】解：解不等式，得：， 不等式有最小整数解2， ， 解得：， 故答案为：． 9. 如果关于的不等式组有且只有个整数解，则符合条件的所有整数的和为 ． 【详解】解：由，得， 由，得， 关于的不等式组有且只有个整数解， 这个整数解是，，，，， ， 解得：， 满足条件的整数的值为，，， 符合条件的所有整数的和为， 故答案为：． 10. 关于x的不等式组恰有3个整数解，则a的取值范围是 ． 【详解】解：由，得：， 由，得：， 不等式组恰有3个整数解， 这3个整数解是0，1，2， ， 解得， 故答案为：． 11. 已知关于x的不等式组只有3个整数解，则a的取值范围是 ． 【详解】解：， 解①得：， 解②得：， 不等式组只有三个整数解，则整数解一定是3，4，5． 根据题意得：， 解得：． 故答案为：． 12. 若实数使关于的不等式组有且只有两个整数解，则实数的取值范围是 ． 【详解】解：， 解①得， 解②得， ∵不等式组有解集， ∴， ∵不等式组有且只有两个整数解， ∴， 解得， 故答案为：． 13. 若关于的一元一次方程有正整数解，且使关于的不等式组至少有4个整数解，求出满足条件的整数的所有值的积为 ． 【详解】解不等式，得， 解不等式，得， ∵不等式组至少有4个整数解， ∴， 解得， 解关于x的一元一次方程，得， ∵方程有正整数解， ∴， 则， ∴， 其中能使为正整数的a值有1，3，5共3个， 满足条件的整数的所有值的积为 故答案为：． 14．已知关于x的不等式组 (1)若不等式组的最小整数解为，求整数a的值； (2)若不等式组所有整数解的和为14，求a的取值范围． 【详解】（1）解：解不等式①，得， 解不等式②，得． ∴该不等式组的解集为：． ∵不等式组的最小整数解为， ∴，解得：， ∴整数a的值为1． （2）解：∵该不等式组的解集为：，不等式组所有整数解的和为14， ∴整数解为， ∴，解得． 压轴真题 一、单选题 1．（25-26八年级上·浙江金华·期末）关于x的不等式恰有两个负整数解，则b的取值可以是（   ） A．3 B．2 C． D． 【分析】本题考查的是不等式的整数解问题，先解不等式得到，再根据恰有两个负整数解确定这两个负整数为、，进而推导b的取值范围，最后结合选项判断符合条件的取值． 【详解】解：∵ ， ∴ ， ∵ 不等式恰有两个负整数解 ∴ 这两个负整数解为、， ∴ ， 结合选项，只有在该取值范围内； 故选：D 2．（25-26八年级下·全国·周测）若关于，的方程组的解满足不等式，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【分析】本题考查的是解一元一次不等式，二元一次方程组的解，熟知不等式的基本性质是解答此题的关键． 直接把两方程相减，得到关于的表达式，再代入不等式求解即可． 【详解】解：方程组 ，得：， ， ， 解得， 故选：A． 3．（25-26七年级下·全国·周测）若不等式的解集中的每一个值都能使关于的不等式成立，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【分析】先分别解两个不等式，得到第一个不等式的解集为 ，第二个不等式的解集为 ．由题意，所有满足第一个不等式的 都满足第二个不等式，因此需要 ，解此不等式即可得到 的取值范围． 【详解】解：解不等式 ， ， ， ， 两边同乘 3 得 ， ， ， ∴ . 解不等式 ， ， ， ， 两边同除以-4，不等号方向改变， . ∵ 对于 的每一个值，都能使 成立， ∴ ， 两边同乘 10 得 ， ， ， ∴ . 因此， 的取值范围是 ， 故选： C． 【点睛】本题主要对解一元一次不等式组，不等式的性质等知识点的理解和掌握，能根据已知得到关于的不等式是解此题的关键． 4．（25-26八年级上·山东济南·期末）关于x的不等式组的解集是，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，根据不等式组的解集求参数的范围．先分别解出不等式组中两个不等式的解集，再根据不等式组解集的确定方法“同小取小”，结合已知的解集来确定的取值范围． 【详解】解：解不等式组 ∵解不等式①，得 解不等式②，得 又∵不等式组的解集是 根据“同小取小”的原则，要使两个解集的公共部分为，则 故选：A． 5．（25-26九年级上·四川泸州·期末）关于的不等式组恰有3个整数解，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【分析】本题考查一元一次不等式组的整数解，解题关键是先求出不等式组的解集，再根据整数解的个数确定参数的取值范围 【详解】解：解不等式，得 ∵解不等式，得 ∴不等式组的解集为 ∵不等式组恰有3个整数解，这3个整数解为 ∴要使能取到且取不到，需满足 故选：A． 6．（25-26八年级上·重庆·期中）关于的方程的解是整数，且关于的不等式组有且仅有3个整数解，则满足条件的所有整数的和为（    ） A．25 B．26 C．27 D．28 【分析】本题主要考查了解一元一次方程、不等式组整数解等知识，首先解方程得到，根据该方程的解为整数可知为奇数；再解不等式组，得到解集为且，由该不等式组有且仅有3个整数解确定，结合为奇数，得到或15，求和即可． 【详解】解：∵方程 的解为整数， 展开得，即， ∴为整数， 故为偶数， ∵5为奇数， ∴为奇数，即为奇数， 对于不等式组 ， 解不等式①，可得，即， ∴， 解不等式②，可得，两边乘5得， 即， ∴， ∴， 故该不等式组的解为且， ∵有且仅有3个整数解， ∴整数解为， ∴， ∴，即， ∴为整数，可能值为， 又∵为奇数，故或15， 当时，，为整数； 当时，，为整数． 且不等式组整数解均为，满足条件． ∴满足条件的整数和为． 故选：D． 7．（2025八年级上·全国·专题练习）关于x的方程的解为非负整数，且关于x的不等式组无解，则符合条件的整数k的值的和为（   ） A．5 B．2 C．4 D．6 【分析】本题考查了解一元一次方程，解一元一次不等式组，正确解一元一次方程，解一元一次不等式组是解题的关键．先表示出方程的解，由方程的解为非负整数且不等式组无解，确定出k的值即可． 【详解】解：解方程得， ∵方程的解为非负整数， ∴0，即， 不等式组整理得：， 由不等式组无解，得到， ∴，即整数， 当时，，不是整数； 当时，，不是整数，两个k的值不符合题意，舍去； 综上，， 则符合条件的整数k的值的和为4． 故选：． 二、填空题 8．（25-26八年级下·全国·期中）若是关于的一元一次不等式，则 ． 【分析】根据一元一次不等式的定义，未知数x的指数必须为1，且系数不能为0，由此建立方程和不等式求解． 【详解】解：由题意得： 且． 解得： 故答案为： 【点睛】本题考查了一元一次不等式的定义，解决本题的关键是熟练掌握一元一次不等式的定义． 9．（25-26八年级下·全国·周测）已知是关于的一元一次不等式，则的值为 ，不等式的解集是 ． 【分析】根据“一元一次不等式”的定义，确定未知数的值．然后，将的值代入原不等式，解出不等式的解集． 【详解】解：①求的值： 根据一元一次不等式的定义，我们得到： 由，解得，∴或． ∵， ∴． 综上，． ②解不等式： 将代入原不等式，得： ． ∴的值为，不等式的解集是． 故答案为①②． 【点睛】本题考查了一元一次不等式的定义和一元一次不等式的解法．解题关键是：先通过定义中“未知数次数为 1”和“系数不为”这两个条件，确定参数的值，再代入求解不等式． 10．（25-26八年级上·重庆·期末）已知关于x的不等式组有且仅有3个偶数解，且关于y的一元一次方程的解为非负整数，则所有满足条件的整数a的值之和为 ． 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组和一元一次方程，解题关键是熟练掌握解一元一次不等式组和一元一次方程的一般步骤． 先解不等式组得到，再由不等式组有3个偶数解得到，接着解一元一次方程得到，利用一元一次方程的解为非负整数和得到，， ，从而得到结果． 【详解】解：， 由①得， 由②得， ∴不等式组的解集为， ∵不等式组有且仅有3个偶数解， ∴这3个偶数解为，0，2， ∴， 解得． 解方程， 得， ∵方程的解为非负整数， ∴， 解得，且a为偶数， ∴a的范围为，且a为偶数， ∴，， ， 则所有满足条件的整数a的值之和为． 故答案为：． 11．（24-25九年级下·浙江宁波·自主招生）为实数，且不等式有解，则实数的取值范围是 ． 【分析】本题考查了一元一次不等式组的解法，熟练掌握一元一次不等式组的解法是解答本题的关键．先分别解两个不等式，求出它们的解集，再求两个不等式解集的公共部分．不等式组解集的确定方法是：同大取大，同小取小，大小小大取中间，大大小小无解．先根据绝对值的意义求出的取值范围，然后根据不等式组解集的确定方法求解即可． 【详解】解：当时，， ∴此时， 当时，， ∴此时， 当时，， ∴此时， ∴， 不等式有解， ． 故答案为：． 三、解答题 12．（25-26七年级下·全国·课后作业）若是不等式组的最大整数解，求的值． 【分析】先分别解出不等式组中的两个不等式，求出它们的公共解集，从而确定最大整数解；再将的值代入等比数列求和式，利用等比数列求和公式计算最终结果． 【详解】解：①解第一个不等式： ． ②解第二个不等式： ． ③确定不等式组的解集： 两个不等式的解集分别为和， ∴不等式组的解集为． ④ 求最大整数解： 在范围内的整数有，，最大整数解为． ⑤代入求和： ． ∵项数是偶数，且和交替出现，两两相加为，∴总和为． 【点睛】本题考查了一元一次不等式组的解法，解题关键是正确求解不等式组，确定最大整数解，并利用规律简化求和计算． 13．（25-26七年级下·全国·单元测试）明明在解一元一次不等式组时，发现“□”里的常数看不清楚，但知道这个不等式组的解集为．若用字母表示“□”里的常数，试求字母的取值范围． 【分析】先解出第一个不含参数的不等式，再用参数表示第二个不等式的解集，最后结合已知的不等式组解集，利用“同大取大”的原则来确定参数的取值范围． 【详解】解：由题意，得 解不等式①，得， 解不等式②，得． 不等式组的解集为， ， ． 【点睛】本题考查了一元一次不等式组的解法与含参数不等式组的解集分析，解题关键是熟练掌握不等式组解集法则，并能结合已知解集反向推导参数的取值范围． 14．（25-26七年级下·全国·课后作业）已知不等式①． (1)求不等式①的解集． (2)求不等式①的负整数解． (3)若关于x的不等式②的解集与不等式①的解集相同，求a的值． (4)若不等式①的解都是关于x的不等式的解，求m的取值范围． 【分析】（1）通过去分母、移项、合并同类项、系数化为的步骤，解一元一次不等式； （2）在第（1）问的解集里，找出所有负整数； （3）先解不等式②，根据解集相同的条件，令两个解集的边界相等，列方程求的值； （4）根据不等式①的解都是​的解，说明①的解集是​解集的子集，通过边界的大小关系列不等式求的范围． 【详解】（1）解：去分母得， 移项得， 合并同类项，得， 系数化为，得． （2）解：由（1）得，不等式①的解集为， ∴不等式①的负整数解为－1，－2． （3）解：去括号得， 移项得， 合并同类项得， 系数化为，得． ∵不等式②的解集与不等式①的解集相同， ∴， 解得． （4）解：解不等式，可得． ∵不等式①的解都是的解， ∴， 解得． 【点睛】本题考查了一元一次不等式的解法、解集的包含关系及方程思想的应用，掌握解一元一次不等式的步骤，以及通过解集的包含关系确定参数范围是解题的关键． 15．（25-26八年级上·浙江绍兴·期末）若一个不等式组有解且解集为，则称为的“绝对距离”，若的绝对距离是不等式组的解，则称不等式组对于不等式组“绝对包含”． (1)已知关于的不等式组以及不等式组，判断不等式组是否对于不等式组绝对包含，并写出判断过程． (2)已知关于的不等式组和关于的不等式组，若不等式组对于不等式组绝对包含，当时，求满足条件的所有整数的和． (3)已知关于的不等式组以及不等式组，且不等式组对于不等式组绝对包含，求的取值范围． 【分析】本题考查一元一次不等式组的解法及新定义的应用，关键是理解新定义，将问题转化为不等式组的解集及解的判断问题． （1）先求解不等式组的解集，计算其绝对距离，再判断该绝对距离是否属于不等式组的解集即可； （2）先确定不等式组的绝对距离，求解不等式组的解集，根据“绝对包含”的定义列出关于和的不等式，结合的取值范围确定整数的取值，最后求和； （3）分别求解不等式组和的解集，计算的绝对距离，根据“绝对包含”的定义列出关于的不等式组，结合不等式组有解的条件确定的取值范围． 【详解】（1）解：解不等式组：，得， 其绝对距离为； 不等式组的解集为，且，即3是不等式组的解， 不等式组B对于不等式组绝对包含； （2）解：不等式组：有解， ，其绝对距离为； 解不等式组，得； 不等式组D对于不等式组绝对包含， 是的解，即， 由不等式①得， 解得：， ， ，此条件与不等式组C有解的条件一致， 由不等式②得； 又，且， 整数的取值为； 这些整数的和为； （3）解：解不等式组：，得， 不等式组有解， ，解得， 其绝对距离为； 解不等式组：，<x<， 不等式组有解， ，解得，该条件在时自动满足； 不等式组对于不等式组绝对包含， 是的解，即，解得， 结合， 的取值范围为. 16．（25-26八年级上·福建福州·开学考试）如果一个方程（组）的解恰好能够使得某不等式（组）成立，则称此方程（组）为该不等式（组）的“偏解方程（组）”．例如：方程是不等式的“偏解方程”，因为方程的解可使得成立；方程组是不等式的“偏解方程组”，因为方程组的解可使得成立． (1)方程是下列不等式（组）中______（填序号）的“偏解方程”； ①；②；③； (2)已知关于x，y方程组是不等式的“偏解方程组”，求a的取值范围； (3)已知关于x的不等式组恰有6个整数解，且关于x的方程是它的“偏解方程”，求b的取值范围． 【分析】（1）先解一元一次方程，再根据“偏解方程”的定义判断即可； （2）先求出二元一次方程组的解，再将解代入得到关于a的一元一次不等式，再求解即可； （3）先解不等式组得，再由‘恰有6个整数解’的条件求得，由‘偏解方程’的定义得到，取两个范围的交集即可． 【详解】（1）解：，解得， ①成立，故符合题意； ②不成立，故不符合题意； ③成立，故符合题意， 方程是下列不等式（组）中①③的“偏解方程”， 故答案为：①③； （2） 解得， 方程组是不等式的“偏解方程组”， ， 解得； （3）， 解得， 关于x的方程是它的“偏解方程”， ， 解得， 不等式组恰有6个整数解， 设6个整数解为k，，，，，， 由题意得，， ， 解得， 有解， ， 解得， 的整数解为或， 当时，， ， 当时，， ， ， 又， ． 【点睛】本题考查了新定义，解一元一次方程，一元一次不等式的解，解一元一次不等式组，解二元一次方程组等知识点，解题的关键在于分类讨论． 1 / 41 学科网（北京）股份有限公司 $