第五章 一元一次方程【章末到校】（课件）-2026-2027学年北师大版数学七年级上册

该初中数学单元复习课件系统梳理了一元一次方程的概念、解法及应用，通过知识框架图将方程定义、解的意义、解法步骤（去分母、去括号等）与行程、工程、销售等实际问题类型串联，构建完整知识网络。 其亮点在于采用“基础巩固-综合应用-中考拓展”分层设计，如结合《九章算术》“盈不足术”题培养数学眼光，通过变式训练提升推理能力，助力学生夯实基础，教师精准把握复习重点。

北师大版数学7年级上册培优精做课件 授课教师： . 班 级： 7年级（ ）班 . 时 间： . 2026年5月19日 小结与复习 第五章 一元一次方程 班级：________ 姓名：________ 得分：________ （时间：40分钟 满分：100分） 一、选择题（每题10分，共30分） 1. 行程问题的基本关系式是（ ） A. 路程 = 速度×时间 B. 速度 = 路程×时间 C. 时间 = 速度×路程 D. 路程 = 速度 + 时间 2. 甲、乙两人从相距120km的两地相向而行，甲的速度是40km/h，乙的速度是20km/h，两人同时出发，经过x小时相遇，下列方程正确的是（ ） A. 40x + 20x = 120 B. 40x - 20x = 120 C. 40x + 20 = 120 D. 20x + 40 = 120 3. 小明以5m/s的速度跑步，小亮以3m/s的速度步行，两人从同一地点同向出发，小明在小亮身后10m处，经过x秒小明追上小亮，可列方程为（ ） A. 5x + 3x = 10 B. 5x - 3x = 10 C. 5x - 3 = 10 D. 5x + 3 = 10 二、填空题（每题10分，共30分） 1. 行程问题中，相向而行（相遇问题）的核心等量关系：______ + ______ = 总路程；同向而行（追及问题）的核心等量关系：______ - ______ = 路程差。 2. 一辆汽车以60km/h的速度行驶，经过t小时，行驶的路程为180km，可列方程为______，解得t = ______。 3. 甲、乙两车从同一地点出发，同向而行，甲车速度为70km/h，乙车速度为50km/h，甲车比乙车晚出发1小时，设甲车行驶x小时后追上乙车，可列方程为______。 三、解答题（每题20分，共40分） 1. 甲、乙两人分别从A、B两地相向而行，A、B两地相距180km，甲每小时行15km，乙每小时行10km，两人同时出发，经过几小时相遇？相遇时甲行驶了多少千米？ 2. 一列快车以120km/h的速度从甲地开往乙地，一列慢车以80km/h的速度从乙地开往甲地，两车同时出发，经过2小时后两车相距40km，求甲、乙两地的距离（分两种情况解答）。 参考答案 一、选择题：1.A 2.A 3.B 二、填空题：1. 甲走的路程，乙走的路程，快者走的路程，慢者走的路程；2. 60t = 180，3；3. 70x = 50(x + 1) 三、解答题： 1. 解：设经过x小时两人相遇，根据相向而行总路程关系列方程。 由题意，得15x + 10x = 180 合并同类项，得25x = 180 解得x = 7.2 相遇时甲行驶的路程：15×7.2 = 108（km） 答：经过7.2小时相遇，相遇时甲行驶了108千米。 2. 解：分两种情况，设甲、乙两地的距离为y km。 情况一：两车未相遇，相距40km，此时两车行驶的总路程 + 40km = 总距离 列方程，得(120 + 80)×2 + 40 = y 解得y = 440 情况二：两车相遇后，继续行驶相距40km，此时两车行驶的总路程 - 40km = 总距离 列方程，得(120 + 80)×2 - 40 = y 解得y = 360 答：甲、乙两地的距离为440km或360km。 （说明：本题围绕行程问题的基本关系式，结合相遇、追及及分类讨论题型，结合一元一次方程解决实际问题，侧重方程建模和分类思考能力培养，难度贴合北师大版七年级“5.3.3行程问题”要求，步骤规范，贴合学情，总字数约800字。） 一元一次方程的一般形式 (a ≠ 0) 定义：只含有 未知数，未知数的次数都是 ，等式两边都是____ 方程的解：使方程等号左右两边相等的未知数的值 解方程 等式的基本性质 解法 应用 ①去 ；②去 ；③ 项；④合并 ；⑤系数化为___ 审、 、列、解、检、 依据 一般步骤 一般步骤 ax = b 一个 1 整式 分母 括号 移 同类项 1 找 答 一、方程的有关概念 1. 方程：含有未知数的等式叫作方程． 2. 一元一次方程的概念：如果只含有___个未知数(元)，未知数的次数都是 ，等式两边都是________，这样的方程叫作一元一次方程. 3. 方程的解：使方程等号左右两边相等的未知数的 值叫作方程的解． 4. 解方程：求方程的解的过程叫作解方程． 一 1 整式 二、等式的基本性质 bc c 1. 等式的基本性质1：等式两边加 (或减) 同一个数 (或式子)，结果仍相等．如果 a＝b，那么 a± ＝ b±c。 2. 等式的基本性质2：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为 0 的数，结果仍相等．如果 a＝b，那么 ac＝ ___；如果 a = b (c ≠ 0)，那么 ＝ 。 ___ 解一元一次方程的一般步骤： (1) 去分母：方程两边都乘各分母的最小公倍数，别 漏乘。 (2) 去括号：注意括号前的系数与符号。 (3) 移项：把含有未知数的项移到方程的左边，常数 项移到方程右边，移项时注意要改变符号。 (4) 合并同类项：把方程化成 ax＝b (a ≠ 0) 的形式． (5) 系数化为 1：方程两边同除以 x 的系数，得 x＝m 的形式。 三、一元一次方程的解法 1. 列一元一次方程解决实际问题的一般步骤： 审：审清题意，分清题中的已知量、未知量。 设：设未知数，设其中某个未知量为 x。 列：根据题意寻找等量关系列方程。 解：解方程。 检：检验方程的解是否符合题意。 答：写出答案 (包括单位)。 四、实际问题与一元一次方程 审题是基础，找等量关系是关键. 2. 常见的几种方程类型及等量关系： (1) 行程问题中基本量之间关系： 路程＝速度×时间． ① 相遇问题： 全路程＝甲走的路程＋乙走的路程； ② 追及问题： 甲为快者，被追路程＝甲走路程－乙走路程； ③ 流水行船问题： v顺＝v静＋v水，v逆＝v静－v水。 (2) 工程问题中基本量之间的关系： ① 工作量＝工作效率×工作时间； ② 合作的工作效率＝工作效率之和； ③ 工作总量＝各部分工作量之和＝合作的工作效 率×工作时间； ④ 在没有具体数值的情况下，通常把工作总量看 作 1。 (3) 销售问题与方案选择问题 ① 商品利润＝商品售价－商品进价； ④ 商品售价＝商品进价＋商品利润 ＝商品进价＋商品进价×利润率 ＝商品进价×(1＋利润率)。 ② 利润率＝ ； ③ 商品售价＝标价× ； 1.解方程 解：去分母，得 5x – 3x = 4 合并同类项，得 2x = 4 方程两边都除以2，得 x = 2 （1） ； （2） ； 解：去分母，得 4 – 48x = 18 – 3x 移项，合并同类项，得 – 45x = 14 方程两边都除以45 x = 复习题 知识技能 随堂练习 （3）0.5x – 0.7 = 6.5 – 1.3x； 解：移项，合并同类项，得 1.8x = 7.2 方程两边都除以1.8，得 x = 4 （4） 解：去分母，得 5(3x – 6) = 6×2x – 3×30 去括号，得 15x – 30 = 12x – 90 移项，合并同类项，得 3x = – 60 方程两边都除以3，得 x = – 20 随堂练习 (5)3(x-7)+5(x-4)=15 (6)4x-3(20-x)=-4 解：去括号，得 3x – 21+5x-20 =15 移项，合并同类项，得 8x = 56 方程两边都除以8，得 x = 7 解：去括号，得 4x – 60+3x =-4 移项，合并同类项，得 7x = 56 方程两边都除以7，得 x = 8 随堂练习 (7) (8) 解：去分母，得 5(y-1)= 20 – 2(y+2) 去括号，得 5y-5= 20-2y-4 移项，合并同类项，得 7y =21 方程两边都除以7，得 y= 3 解：去分母，得 7(1-2x)= 6(3x+1) 去括号，得 7-14x= 18x+6 移项，合并同类项，得 -32x=-1 方程两边都除以-32，得 x = 随堂练习 2.在公式s=s0+vt中，已知s=100，s0=25，v=10，求t的值 解： s=100，s0=25，v=10代入方程得 100=25+10t 移项，合并同类项，得 75= 10t 方程两边都除以10，得 t= 7.5 随堂练习 3.儿子今年13岁，父亲今年40岁，是否有哪一年父亲的年龄恰好是儿子年龄的4倍？为什么？ 解：设 x 年后父亲的年龄恰好是儿子年龄的4倍 由题意，得 4（13 + x）= 40 + x 解得 x = – 4 答：4 年前父亲的年龄恰好是儿子年龄的4倍，那时儿子 9 岁，父亲 36 岁. 数学理解 随堂练习 4.《九章算术》中给出“盈不足术”：把盈余数与不足数相加，和为被除数，把两次每人出的钱数之差作为除数，所得的商即为人数；将人数乘每人出的钱数，然后减对应的盈余数或加对应的不足数即为物价. 试解释这种算法. 请分别用“盈不足术”及方程的方法求解下面的问题. 今有共买鸡，人出九，盈一十一；人出六，不足十六. 问：人数、鸡价各几何？ 随堂练习 4.《九章算术》中给出“盈不足术”：把盈余数与不足数 相加，和为被除数，把两次每人出的钱数之差作为除数，所得的商即为人数；将人数乘每人出的钱数，然后减对应的盈余数或加对应的不足数即为物价. 试解释这种算法. 第二次出钱总数+不足数=物价 第一次出钱总数-盈余数=物价 ①和②两边分别相减得到 所以 人数＝(盈余数+不足数) ÷两次每人钱数之差 两次出钱总数之差＝两次每人所出钱数之差×人数 两次出钱总数之差=盈余数+不足数 ① ② 物价=第一次出钱总数-盈余数=人数×每人出钱数-盈余数 物价=第二次出钱总数+不足数=人数×每人出钱数+不足数 随堂练习 今有共买鸡，人出九，盈一十一；人出六，不足十六. 问：人数、鸡价各几何？ 盈不足术 人数＝(盈余数+不足数) ÷两次每人钱数之差 人数＝(11+16)÷(9-6)=9 物价=人数×每人出钱数-盈余数 物价=9×9-11=70 答：人数为9人，鸡价为70 随堂练习 方程方法： 设人数为x，由题意，得 9x-11=6x+16 解得 x = 9 9x-11=70 答：人数为9人，鸡价为70. 今有共买鸡，人出九，盈一十一；人出六，不足十六. 问：人数、鸡价各几何？ 随堂练习 5．把100 写成两个数的和，使第一个数加3与第二个数减3的结果相等. 这两个数分别是多少？ 解：第一个数为x，则第二个数为100-x 由题意，得 x+3= 100-x-3 解得 x = 47 100-x=100-47=53 答：第一个数为47，则第二个数为53. 问题解决 随堂练习 6．今有共买羊，人出五，不足四十五；人出七，不足三. 问：人数、羊价各几何？（选自《九章算术》) 题目大意：几个人合伙买羊，若每人出5钱，则差45钱；若每人出7钱，则差3钱. 合伙人数、羊价各是多少？ 解：设合伙人数为x 由题意，得 5x+45= 7x+3 解得 x = 21 5x+45=150 答：合伙人数是21，羊价是150. 随堂练习 7．牧童分杏各争竞，不知人数不知杏. 三人五个多十枚， 四人八枚两个剩. 问：有几个牧童几个杏？(选自《算法统宗》) 题目大意：牧童们要分一堆杏，不知道人数也不知道有多少个杏. 若3人一组，每组5个杏，则多10个杏；若4人一组，每组8个杏，则多2个杏. 有多少个牧童、多少个杏？ 解：设有x个牧童，由题意，得 +2 解得， x = 24， +10=50 答：有24个牧童，50个杏. 随堂练习 8．爷爷与孙子下棋，爷爷赢1盘记1分，孙子赢1盘记3分， 下了8盘，每盘都分出了胜负，此时两人得分相等. 他们各赢了多少盘？ 解：设爷爷赢了x盘，孙子赢了(8-x)盘 由题意，得 =3(8-x) 解得 x = 6 8-x=2 答：爷爷赢了6盘，孙子赢了2盘. 随堂练习 9．某文件需要排版，小李独立做需要6h完成，小王独立做需要8h完成. 如果他们俩共同做，需要多长时间完成？ 解：设两人共同需要x h完成. 由题意，得 解得 x = 答：两人共同需要 h完成. 随堂练习 10．一辆收割机收割一块麦田，上午收割了麦田的25%，下午收割了剩下麦田的20%，结果还剩下6 hm2麦田未收割. 这块麦田一共有多少公顷？ 解：设这块麦田一共有x公顷. 由题意，得 25%x+(1-25%)x×20%+6=x 解得 x =10 答：这块麦田一共有10公顷. 随堂练习 11．某商店出售两件衣服，每件60元，其中一件赚25%，而另一件赔25%，那么这家商店是赚了还是赔了，或是不赚也不赔呢？ 解：设第一件衣服成本x元，第二件成本y元. 由题意，得 60-x=25%x y-60=25%y 解得 x =48，y=80 60+60-48-80=-8（元） 答：这家商店赔了8元. 随堂练习 12．甲车从A地开往B地，速度是60 km/h；乙车沿同一路线同时从B地开往A地，速度是90 km/h. 已知A，B两地相距200 km，两车相遇的地方离A地多远？ 解：设两车x h相遇. 由题意，得 60x+90x=200 解得 x = 60x=60× =80 答：两车相遇的地方离A地80km. 随堂练习 13．某商场将某种商品按原价的八折出售，此时商品的利润率是10%. 已知这种商品的成本价为1800元，那么这种商品的原价是多少？ 解：设这种商品的原价为x元. 由题意，得 解得 x =2475 答：这种商品的原价为2475元. 随堂练习 14．某文艺团体为公益募捐组织了一场义演，成人票每张 80元，学生票每张50元，共售出1000张票，所得票款可能是69300元吗？为什么？可能是69320元吗？如果可能，那么成人票比学生票多售出多少张？ 解：设成人票x张，学生票(1000-x)张. 由题意，得 80x1+50(1000-x1)=69300 80x2+50(1000-x2)=69320 解得 x 1= x 2=644 x 1=不是整数，所以不可能是69300，有可能是69320 学生票：1000-644=356(张) 644-356=288(张) 答：成人票比学生票多售288张. 随堂练习 15．把99写成四个数的和，使第一个数加2，第二个数减2， 第三个数乘2，第四个数除以2，得到的结果都相等. 这四个数分别是多少？ 解：由题意得： 99=a+b+c+d a+2=b-2=2c= 设第一个数为x. 由题意，得 x+(x+4)+ +2(x+2)=99 解得 x =20 x+4=24， =11， 2(x+2)=44 答：这4个数分别是20，24，11，44. 随堂练习 16．设未知数列方程与用字母表示数、表示数量关系有什么区别和联系？谈谈你的体会. 用字母表示数是基础，它使得我们能够表示和描述数量关系，设未知数列方程则是在此基础上的进阶应用. 同时，通过解方程，我们可以找到用字母表示的数的具体值. 无论是用字母表示数、表示数量关系还是设未知数列方程，最终都是为了更简洁、更准确地描述和解决数学问题. 随堂练习 *17．已知x=5是方程ax-8=20＋a的解，求a的值. 解：将x=5代入ax-8=20＋a，得 5a-8=20+a 解得 a=7 联系拓广 随堂练习 18．图中的正方形由9个小方格组成. 在每个小方格中各填一个数，如果每行、每列、每条对角线上的三个数的和都相等，那么就称这个图是一个三阶幻方. (1)请将1～9这9个数填入图中的小方格中，构造一个三阶幻方. 4 5 9 2 3 7 8 1 6 随堂练习 (2)改变(1)中所构造的三阶幻方中某些数的位置，构造一个新的三阶幻方. 6 5 7 2 1 9 8 3 4 6 5 1 8 7 3 2 9 4 随堂练习 (3)在(1)(2)所构造的不同三阶幻方中，有没有位置始终不变的数？如果有，请你解释其中的道理. 4 5 9 2 3 7 8 1 6 6 5 7 2 1 9 8 3 4 6 5 1 8 7 3 2 9 4 幻方中心的数不变 每行、每列、每条对角线上的三个数的和都等于幻方中心数的3倍 随堂练习 (4)你能选择其他9个数构造一个三阶幻方吗？请你试一试. 27 18 6 21 12 24 15 30 9 26 15 2 17 6 24 13 28 4 随堂练习 核心考点巩固 考点1 一元一次方程及其解 1.下列方程中是一元一次方程的是( ) A A. B. C. D. 返回 中考考法 37 2.若是关于的一元一次方程，则 的值为( ) D A.3或 B.0 C.3 D. 返回 中考考法 38 3.已知关于的一元一次方程的解为 ，那么关 于的一元一次方程 的解为( ) B A. B. C. D. 返回 中考考法 39 4.如果方程的解是，则 的值是_____。 返回 中考考法 40 考点2 等式的基本性质 5.下列说法错误的是( ) B A.若，则 B.若，则 C.若，则 D.若，则 返回 中考考法 41 6. 在物理学中，导体中的电流跟导体两端的电压 、 导体的电阻之间有以下关系：，将等式变形可得 ，那么其 变形的依据是_________________。 等式的基本性质2 返回 中考考法 42 考点3 解一元一次方程 7.下列方程变形中，正确的是( ) A A.，去分母，得 B.方程，移项，得 C.方程 ，去括号，得 D.方程，未知数系数化为1，得 返回 中考考法 43 8.［2025西安高新一中期末］若关于的方程 的 解为整数，则满足条件的所有整数 的和为( ) D A.10 B. C.4 D.6 返回 中考考法 44 9.（12分）［教材P159“复习题”第1题变式］解方程： （1） ； 解：移项，得，合并同类项，得 ，系数化为1， 得 。 （2） ； 去括号，得，移项、合并同类项，得 ，系 数化为1，得 。 中考考法 45 （3） ； 解：去括号，得，移项、合并同类项，得 。 （4） 。 去分母，得 ， 去括号，得，移项、合并同类项，得 。 返回 中考考法 46 10.（8分）已知， 。 （1）当为何值时，与 的值相等？ 解：当时，，解得 。 所以当时，与 的值相等。 （2）当为何值时，的值的2倍比 的值大2？ 由题意，得，解得，所以当 时， 的值的2倍比 的值大2。 返回 中考考法 47 考点4 一元一次方程的应用 11.［2024无锡中考］《九章算术》中有一道“凫雁相逢”问题 （凫：野鸭），大意如下：野鸭从南海飞到北海需要7天，大雁从北海 飞到南海需要9天。如果野鸭、大雁分别从南海、北海同时起飞，经过 多少天相遇？设经过 天相遇，则下列方程正确的是( ) A A. B. C. D. 返回 中考考法 48 12.如图，一座雕塑的底面呈正方形，在其左右两侧及后方种植宽度均 为的草坪（阴影部分）。若草坪总面积为 ，设雕塑的底面边 长为 ，则可列方程为______________________。 （第12题） 返回 中考考法 49 13. 如图，用一根质地均匀且长 的木杆和一些相 同的重物做试验。已知支撑点到木杆左右两端的距离分别为， ，通过 试验可得到如下结论：当左端重物个数右端重物个数 时，木杆 就能平衡。已知 ，并且右端放了一个重物，若要木杆平衡， 则左端需要放置的重物个数为___。 2 （第13题） 返回 中考考法 50 14.（6分）［2024北京中考］为防治污染，保护和改善生态环境，自 2023年7月1日起，我国全面实施汽车国六排放标准 阶段（以下简称 “标准”）。对某型号汽车，“标准”要求A类物质排放量不超过 ，A，B两类物质排放量之和不超过 。已知该型号 某汽车的A，B两类物质排放量之和原为 。经过一次技术改 进，该汽车的A类物质排放量降低了，B类物质排放量降低了 ， A，B两类物质排放量之和为 。判断这次技术改进后该汽车 的A类物质排放量是否符合“标准”，并说明理由。 中考考法 51 解：这次技术改进后该汽车的A类物质排放量符合“标准”。理由：设技 术改进后该汽车的A类物质排放量为 ，则B类物质排放量为 ，由题意得，解得 。 因为 ，所以这次技术改进后该汽车的A类物质排放量符合“标准”。 返回 中考考法 52 15.（6分） ［2024连云港中考］我市将5月21日设立为连 云港市“人才日”，以最大诚意礼遇人才，让人才与城市“双向奔赴”。活 动主办方分两次共邮购了200把绘有西游文化的折扇作为当天一项活动 的纪念品。折扇单价为8元，其中邮费和优惠方式如下表所示： 邮购数量/把 100以上（含100） 邮寄费用/元 总价的 免费邮寄 优惠方式 不优惠 打九折 若两次邮购折扇共花费1 504元，求两次邮购的折扇各多少把。 中考考法 53 解：若每次邮购都是100把，则（元） 元。 所以一次邮购少于100把，另一次邮购多于100把。 所以设一次邮购折扇把，则另一次邮购折扇 把。 由题意得，解得 。 所以 。 答：两次邮购的折扇分别是40把和160把。 返回 中考考法 54 16.（8分） 临潼石榴享有“果中之王”的美誉，是陕西著 名的水果之一，也是国家地理标志保护产品。临潼石榴果大皮薄、汁多 味甜、果肉饱满、色泽艳丽、甜而不腻。鲜上鲜水果超市第一次用 2 200元购进红心石榴、骊山红这两种箱装石榴，其中红心石榴的箱数 是骊山红箱数的2倍，这两种石榴的进价和售价如下表所示： 红心石榴 骊山红 进价/（元/箱） 30 50 售价/（元/箱） 40 70 中考考法 55 （1）求出该超市第一次购进的这两种石榴的箱数,并求出第一次售完获 得的总利润； 解：设第一次购进骊山红箱，则购进红心石榴 箱，根据题意，得 ，解得 ， 所以 ， 总利润为 （元）。 答：该超市第一次购进红心石榴40箱，骊山红20箱，第一次售完获得的 总利润为800元。 中考考法 56 （2）该超市第一次购进的这两种石榴售完后，第二次又以第一次的进 价购进这两种石榴，其中红心石榴的箱数和售价均不变，骊山红的箱数 是第一次的3倍，且按第一次的售价打折销售。当第二次两种石榴都售 完以后获得的总利润比第一次获得的总利润少 ，第二次骊山红是按 第一次的售价打几折销售的？ 解：设第二次骊山红是按第一次售价打 折销售的，根据题意，得 ，解得 。 答：第二次骊山红是按第一次的售价打8折销售的。 返回 中考考法 57 $