考点13 分式的常考计算与含参题型（专项训练）数学新教材苏科版八年级下册

**基本信息** 以“运算法则-方程解法-含参突破”为主线，系统整合分式运算与含参问题，通过14类题型构建“原理-技巧-应用”三阶训练体系，培养运算能力与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础运算|约40题|通分约分“因式分解优先”，混合运算“顺序+符号”双控|从单运算到混合运算，形成“法则-步骤-易错点”闭环| |分式方程|约15题|“去分母化整式方程+验根”四步法，增根与无解分类讨论|体现“转化思想”，从解方程到解的情况分析递进| |含参问题|约20题|“解含参整式方程→结合条件列不等式”核心流程|融合参数讨论与方程解的性质，培养模型观念| |综合应用|约15题|新定义运算“紧扣定义转化”，求整计算“分离常数法”|链接实际问题与创新题型，提升数学表达能力|

考点13 分式的常考计算与含参题型 考点一：分式的加减法 1、同分母分式相加减：分母不变，把分子相加减；符号表示为： 2、异分母分式相加减：先通分，变为同分母的分式，再加减；符号表示为： 考点二：分式的乘除法 1、分式的乘法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母，即. 2、分式的除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘，即. 3、分式的乘方运算法则：分式的乘方是把分子、分母分别乘方，即（n为正整数，b≠0） 考点三：分式的混合运算 运算顺序：分式的混合运算顺序与实数类似，即先乘方，再乘除，最后加减；有括号时，先进行括号内的运算；同级运算，按照从左到右的顺序进行. 考点四：分式方程的解法 解分式方程的基本思路：将分式方程转化为整式方程. 解分式方程的一般步骤： 1、找最简公分母，当分母是多项式时，先分解因式； 2、去分母，方程两边都乘最简公分母，约去分母，化为整式方程； 【易错点】方程两边同乘最简公分母时，最简公分母有可能为０，这样就产生了增根，因此分式方程一定要验根． 3、解这个整式方程，求出整式方程的解； 4、检验：将求得的解代入最简公分母，若最简公分母不等于0，则这个解是原分式方程的解，若最简公分母等于0，则这个解不是原分式方程的解，原分式方程无解. 【注意事项】 1、去分母时要把方程两边的式子作为一个整体，记得不要漏乘整式项. 2、分式方程的结果还要代回方程的最简公分母中，只有最简公分母不是零的解才是原方程的解． 3、分式方程的增根是去分母后的整式方程的根，也是使分式方程的公分母为0的根，它不是原分式方程的根． 4、解分式方程一定要检验根，这种检验与整式方程不同，不是检查解方程过程中是否有错误，而是检验是否出现增根，它是在解方程的过程中没有错误的前提下进行的. 5、分式方程有增根与无解并非是同一个概念．分式方程无解，需分类讨论：可能是解为增根，也可能是去分母后的整式方程无解. 考点五：分式方程的含参那问题 一、基础步骤 去分母化为整式方程 解出含参数的未知数 利用分式方程无解 / 有解 / 增根 / 正根 / 负根列不等式 切记：分母≠0 二、核心 4 类题型 1. 分式方程有增根 增根条件①使最简公分母 = 0 ②增根是整式方程的根 步骤 （1）找增根 （2）代入整式方程求参数 2. 分式方程无解 两种情况： （1）有增根（同上） （2）整式方程本身无解（一次项系数为 0） 3. 解为正数 （1）解出x （2）x＞0 （3）x≠增根（分母不为 0） 4. 解为负数 （1）x＜0 （2）x≠增根 题型一：分式的求值计算 1．已知，求分式的值． 2．已知，求代数式的值． 3．已知，求代数式的值． 4．已知，求和的值． 5．（1）已知，且，求分式的值． （2）已知，求代数式的值． 6．[核心素养]阅读下面的解题过程： 已知，求的值． 解：由，得， ∴，即， ∴． 请你借鉴上面的方法解答下面的问题： (1)已知，则的值为______，的值为______； (2)已知，求的值； (3)已知，求的值． 题型二：根据分式值的情况计算 7．（1）若分式的值为负数，求的取值范围． （2）若的值是一个整数，则整数可能取哪些值？ 8．当为何值时，分式的值为正数． 9．已知． (1)若y的值为正数，求x的取值范围； (2)若y的值为整数，求整数x的所有可能值． 10．当整数x取何值时，分式的值是整数？ 11．若分式方程的解为正整数，求整数的值． 12．已知当时，分式无意义；当时，此分式的值为0． (1)求a，b的值． (2)当分式的值为正整数时，直接写出整数x的值． 题型三：通分、约分 13．将下列分式化简 (1) (2) 14．约分、通分 (1)； (2)和． 15．约分： (1)； (2)． 16．通分： (1)，； (2)，，，． 17．约分： (1)． (2)． 18．通分： (1)，． (2)，． (3)，，． 题型四：分式的加减运算 19．计算： (1) (2) 20．化简： 21．计算： (1)； (2)． 22．计算： (1)； (2)． 23．计算： (1)； (2)． 24．化简： (1)； (2)． 题型五：分式的乘除运算 25．计算： (1)； (2)； (3)． 26．计算： (1)； (2)． 27．计算： (1)； (2)． 28．计算： (1)； (2)． 29．化简： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)； (7)； (8)； (9) 30．计算： (1)； (2)． 题型六：分式的四则混合运算 31．化简：． 32．化简． (1)； (2) 33．化简：． 34．化简： 35．计算： (1)； (2)． 36．化简： 题型七：分式的化简求值 37．先化简，再求值：，其中． 38．先化简：，再从，，1，2中选择一个适当的数x，代入求值． 39．先化简，再从中选一个适合的整数代入求值． 40．先化简，再求值：，其中． 41．先化简，再求值：，其中． 42．先化简，再求值：，其中． 题型八：解分式方程 43．解方程：． 44．解分式方程． 45．解方程：． 46．解下列方程： (1) (2) 47．解下列方程： (1)； (2)． 48．解分式方程： (1) (2)． 题型九：根据分式方程解的情况求值（含参问题） 49．若关于的方程的解为正数，则的取值范围是（   ） A． B． C．且 D．且 50．已知关于x的分式方程的解是非负数，则m的取值范围是（　　） A． B． C． D． 51．关于的分式方程的解是正数，则的取值范围是___________． 52．如果关于的分式方程的解是正数，那么实数的取值范围是_____． 53．若关于x的分式方程的解为正实数，求m的取值范围． 54．已知关于x的分式方程的解为负数，试求k的取值范围． 题型十：分式方程的增根问题（含参问题） 55．关于的分式方程有增根，则的值为（    ） A．2 B．1 C．3 D． 56．若方程有增根，则a的值为（   ） A． B．4 C．3 D．2 57．若关于x的分式方程有增根，则m的值是（   ） A． B． C． D．或 58．关于x的分式方程有增根，则增根为________． 59．已知关于x的方程． (1)若，解这个分式方程； (2)若原分式方程有增根，求m的值． 60．若关于x的分式方程有增根，求m的值． 题型十一：分式方程的无解问题（含参问题） 61．已知关于的方程． (1)若，求该方程的解； (2)若该方程无解，求实数的值． 62．已知关于的分式方程无解，求的值． 63．关于的方程． (1)当时，求该方程的解； (2)若该方程无解，求的值． 64．若关于的分式方程无解，求的值． 65．如果关于的方程无解．求的值． 66．若关于x的方程无解，求m的值． 题型十二：分式的求整计算 67．（1）如果，则_____； （2）如果，则_____； 【应用】（3）若代数式的值为整数，求满足条件的整数的值； 【拓展】（4）若代数式的值为整数，则整数的值为_____． 68．阅读理解 材料1：课后练习13.1（1）的第6题，如果是整数，那么整数可以取哪些值？ 解答过程如下： 解：因为是整数；于是的值为1、、3或； 所以，整数的取值是0、、2或． 材料2：如果一个分式，它只含有一个字母且分子、分母的次数都是一次，那么可以将这 样的分式变形为整数与新的分式的和的形式，其中新的分式的分子中不含字母． 例如：． 阅读材料1、材料2，并解答下列问题． 问题1：如果分式的值是整数，那么整数的所有取值是__________． 问题2：如果分式的值是整数，那么所有满足条件的整数的和是多少？ 69．阅读材料：将分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式． 解：由分母，可设 则 ． 对于任意x上述等式成立 解得 回答问题： (1)这样，分式就拆分成一个整式________与一个分式________的和的形式 (2)将分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式为________． (3)已知整数x使分式的值为整数，则满足条件的整数________． 70．阅读下列材料，解决问题： 在处理分式的时候，有时候分子的次方高于分母的次方，在实际运算时往往难度比较大，这时我们可以将分式拆分成一个整式和一个分式的和的形式． 例如：将分式拆分成一个整式和分式（分子为整数）相加． (1)请将拆分成一个整式和分式（分子为整数）相加的形式． (2)如果分式的值是整数，求所有符合条件的整数x的值． 71．材料1：在处理分数和分式问题时，有时由于分子比分母大，或者分子的次数高于分母的次数，在实际运算时往往难度比较大，这时我们可以将假分数（分式）拆分成一个整数（整式）与一个真分数（式）的和（差）的形式，通过对简单式的分析来解决问题，我们称之为分离整数法．此法在处理分式或整除问题时颇为有效． 例：将分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式． 解：设，则． ∴原式＝ ∴ ∴分式就拆分成一个整式与一个分式的和的形式． 材料2：配方法是初中数学思想方法中的一种重要的解题方法，配方法最终的目的就是配成完全平方式，利用完全平方式来求解．它的应用非常广泛，在解方程、求最值、证明等式、化简根式、因式分解等方面都经常用到． 如：当，时，∵ ∴当，即时，有最小值2． 根据以上阅读材料回答下列问题： (1)参照以上资料，试将分式拆分成整式的真分式的和的形式； (2)已知分式的值为整数，求整数x的值； (3)当时，求代数式的最小值 ． 72．阅读下列材料，并解答问题． 将分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式． 解：因为分母是，可设， 则． 对于任意的值上述等式都成立，解得 ． 这样，分式就拆分成了整式与分式的和的形式． (1)若将分式拆分成（为整数），则______，______． (2)将分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式． (3)已知分式的值为负整数，直接写出满足条件的整数的值． 题型十三：分式的新定义运算 73．我们给出定义：若一个分式约分后是一个整式，则称这个分式为“巧分式”，约分后的整式称为这个分式的“巧整式”．例如，则称分式是“巧分式”，为它的“巧整式”．根据上述定义，解决下列问题． (1)下列分式中是“巧分式”的有______（填序号）； ①；②；③． (2)若分式（m，n为常数）是一个“巧分式”，它的“巧整式”为，求m，n的值． 74．给出定义：若一个分式约分后分子是一个常数，分母是一个一次整式，则称这个分式为“好看分式”，例如，，则是“好看分式”．根据上述定义，解决问题． (1)分式、，其中是“好看分式”的是________． (2)①若分式（为常数且）是一个“好看分式”，求的值； ②若分式（为常数且）是一个“好看分式”，求的值； (3)若分式（、为常数且）是一个“好看分式”，且、都是正整数，直接写出的所有可能结果． 75．（运算能力）定义：若一个分式约分后是一个整式，则称这个分式为“巧分式”，约分后的整式称为这个分式的“巧整式”．例如：，则称分式是“巧分式”，为它的“巧整式”．根据上述定义，解决下列问题： (1)下列分式中是“巧分式”的有_______（填序号）； ①；②；③． (2)若分式的“巧整式”为，请判断是否是“巧分式”，并说明理由． 76．定义1：若两个分式的和为（为正整数），则称这两个分式互为“阶分式”． 例如：，则分式与互为“3阶分式”． 定义2：若两个分式的和等于两个分式的积，即，那么就称分式与分式“互为友好分式”． 例如：分式与分式，因为，， 所以分式与分式“互为友好分式”． (1)分式与互为“______阶分式”． (2)分式与______互为“6阶分式”． (3)请通过计算判断分式与分式是不是“互为友好分式”？ 77．如果一个正整数的倒数可以分解成两个正整数均不为倒数相乘的形式，我们定义这种分解为“倒分解”；并定义其中两个乘数差最大的一种分解为的“最大倒分解”，这个最大的差记为：．例：12的倒分解为或，因为，所以最大倒分解为，所以． (1)填空：写出8的一种倒分解：______； (2)计算的值； (3)若的最大倒分解为，且，求的值． 78．定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“祥和分式”．如：，则是“祥和分式”． (1)下列分式中，属于“祥和分式”的是：　 　（填序号）； ①；②；③． (2)根据定义填空 . (3)判断分式是否为祥和分式，并说明你的理由． 题型十四：分式方程的新定义问题 79．定义：如果一个关于分式方程的解是，我们就说这个方程是和解方程．比如就是一个和解方程．如果关于的分式方程是一个和解方程，求的值． 80．定义：形如，两个解分别为，的方程称为“十字分式方程”．如，其中，． (1)试判断，是不是十字分式方程？若是，求该方程的解． (2)若十字分式方程的解为，，求下列代数式的值： ①； ②． 81．定义：若两个分式的和为n（n为正整数），则称这两个分式互为“n阶分式”．例如，分式与为“3阶分式”． (1)当满足条件______时，分式与为“5阶分式”； (2)设正数x，y互为倒数，求证：分式与为“2阶分式”； (3)若分式与为“1阶分式”（其中a，b为正数），求的值． 82．定义：如果两个代数式的和与这两个代数式的积相等，那么称这两个代数式互为“关联式”． (1)判断与是否互为“关联式”，并说明理由； (2)求与互为“关联式”的代数式； (3)填空：已知一个整式与一个最简分式互为“关联式”，请写出一组符合该条件的代数式可以是_____与______．（只要写一组即可） 83．对于一些特殊的方程，我们给出两个定义：①若两个方程有相同的解，则称这两个方程为“相似方程”；若两个方程有相同的整数解，则称这两个方程为“相伴方程”． (1)判断方程与是否为“相似方程”，并说明理由； (2)已知关于x，y的二元一次方程和是“相伴方程”，求正整数m的值． 84．我们定义：形如（不为零），且两个解分别为的方程称为＂十字分式方程＂． 例如为十字分式方程，可化为． 再如为十字分式方程，可化为．． 应用上面的结论解答下列问题： (1)若十字分式方程的两个解分别为，求的值． (2)若关于的十字分式方程的两个解分别为，求的值． 1．约分：． 2．先化简，再求值：，其中． 3．先化简，再求值：，其中从0，1，2中选一个恰当的数求值． 4．计算： (1)； (2)． 5．解方程： (1)； (2)． 6．先化简，再求值：，其中． 下面是小宇同学的化简过程，请认真阅读并完成相应任务． 解：原式第一步 第二步 第三步 第四步 (1)任务一： 以上化简步骤中，第_____步是通过约分得到的，约分的依据是__________； 第_____步开始出现错误，这一步错误的原因是_____； (2)任务二：请直接写出该式子化简后的正确结果，并代入求值． 7．解方程及求值 (1)解方程： ； (2)计算：已知，求的值． 8．计算： (1) (2) 9．计算：． 10．已知，求代数式的值． 11．化简： (1) (2) 12．定义：分式的分子或分母中含有分式，这样的分式叫做繁分式，例如像这样，的分式称为繁分式．利用分式的基本性质可以把繁分式化简为最简分式，例如化简时，繁分式的分子分母同乘得到；若实数m，n满足，． (1)____________（用含t的式子表示）； (2)求证：不论t取何值，分式化简后都为一个定值，并求出该定值． 13．通过小学的学习我们知道，分数可分为“真分数”和“假分数”，而假分数都可化为带分数，如：．我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”． 如，这样的分式就是假分式；这样的分式就是真分式．类似的，假分式也可以化为带分式（即：整式与真分式的和的形式）． 如． 解决下列问题： (1)分式是 分式（填“真”或“假”）； (2)将假分式化为带分式； (3)若分式的值为整数，x为整数，求分式的值． 14．根据以下素材，探索完成任务． 素材1 定义：如果两个分式与的和为常数，则称与互为“和定分式”，常数称为“和定值”．例如：分式，，，则与互为“和定分式”，“和定值”． 素材2 分式中，在分子、分母都是整式的情况下，如果分子的次数低于分母的次数，称这样的分式为真分式，例如：分式，是真分式． 素材3 如果分子的次数不低于分母的次数，称这样的分式为假分式．例如，分式，是假分式． 问题解决： (1)已知分式，，判断与是否互为“和定分式”？若不是，请说明理由；若是，请求出． (2)已知分式，，若与互为“和定分式”，且分式为真分式，求“和定值”的值，求代数式（用含的式子表示）． (3)已知分式，（，为常数），若与互为和定分式”，则________， ________． 15．形如（a，b不为零，且两个解分别为，的方程称为“十字分式方程”，例如为十字分式方程，可化为，∴，． 再如为十字分式方程，可化为， ∴，． 应用上面的结论解答下列问题： (1)若为十字分式方程，则______，______． (2)若十字分式方程的两个解分别为，，求的值． (3)若关于x的方程的两个解是，，若是整数，求满足条件的整数k的值． 16．探究规律及应用 (1)【观察】；； 【猜想】若为正整数，请你猜想第个等式（用含的式子表示），并证明． (2)【拓展】 ①利用你发现的规律计算：； ②利用上述规律解答：若的值为，求n的值． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 考点13 分式的常考计算与含参题型 考点一：分式的加减法 1、同分母分式相加减：分母不变，把分子相加减；符号表示为： 2、异分母分式相加减：先通分，变为同分母的分式，再加减；符号表示为： 考点二：分式的乘除法 1、分式的乘法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母，即. 2、分式的除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘，即. 3、分式的乘方运算法则：分式的乘方是把分子、分母分别乘方，即（n为正整数，b≠0） 考点三：分式的混合运算 运算顺序：分式的混合运算顺序与实数类似，即先乘方，再乘除，最后加减；有括号时，先进行括号内的运算；同级运算，按照从左到右的顺序进行. 考点四：分式方程的解法 解分式方程的基本思路：将分式方程转化为整式方程. 解分式方程的一般步骤： 1、找最简公分母，当分母是多项式时，先分解因式； 2、去分母，方程两边都乘最简公分母，约去分母，化为整式方程； 【易错点】方程两边同乘最简公分母时，最简公分母有可能为０，这样就产生了增根，因此分式方程一定要验根． 3、解这个整式方程，求出整式方程的解； 4、检验：将求得的解代入最简公分母，若最简公分母不等于0，则这个解是原分式方程的解，若最简公分母等于0，则这个解不是原分式方程的解，原分式方程无解. 【注意事项】 1、去分母时要把方程两边的式子作为一个整体，记得不要漏乘整式项. 2、分式方程的结果还要代回方程的最简公分母中，只有最简公分母不是零的解才是原方程的解． 3、分式方程的增根是去分母后的整式方程的根，也是使分式方程的公分母为0的根，它不是原分式方程的根． 4、解分式方程一定要检验根，这种检验与整式方程不同，不是检查解方程过程中是否有错误，而是检验是否出现增根，它是在解方程的过程中没有错误的前提下进行的. 5、分式方程有增根与无解并非是同一个概念．分式方程无解，需分类讨论：可能是解为增根，也可能是去分母后的整式方程无解. 考点五：分式方程的含参那问题 一、基础步骤 去分母化为整式方程 解出含参数的未知数 利用分式方程无解 / 有解 / 增根 / 正根 / 负根列不等式 切记：分母≠0 二、核心 4 类题型 1. 分式方程有增根 增根条件①使最简公分母 = 0 ②增根是整式方程的根 步骤 （1）找增根 （2）代入整式方程求参数 2. 分式方程无解 两种情况： （1）有增根（同上） （2）整式方程本身无解（一次项系数为 0） 3. 解为正数 （1）解出x （2）x＞0 （3）x≠增根（分母不为 0） 4. 解为负数 （1）x＜0 （2）x≠增根 题型一：分式的求值计算 1．已知，求分式的值． 【答案】 【分析】先将变形为，再代入即可求值． 【详解】∵由题可得， ∴． 2．已知，求代数式的值． 【答案】 【分析】先对给定的代数式进行化简，再根据已知条件求出化简后代数式的值． 【详解】解：已知，移项可得， ， 将代入可得． 3．已知，求代数式的值． 【答案】 【分析】易得，将分子分母进行因式分解后，整体代入法求值即可. 【详解】解：∵， ∴， ∴. 4．已知，求和的值． 【答案】， 【分析】本题主要考查了分式的求值，根据得到，进而可得，再由可得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴． 5．（1）已知，且，求分式的值． （2）已知，求代数式的值． 【答案】（1）-3（2）3 【分析】本题考查了分式的值，通过将分式的分子、分母分别分解因式，以及掌握整体代入思想是解题的关键． （1）由得，将其整体代入分式的分子和分母，化简即可； （2）先将分式的分子、分母分别分解因式，约分化为最简结果，然后代入求值即可． 【详解】解：（1），且， ，且， ． （2）， ， ． 6．[核心素养]阅读下面的解题过程： 已知，求的值． 解：由，得， ∴，即， ∴． 请你借鉴上面的方法解答下面的问题： (1)已知，则的值为______，的值为______； (2)已知，求的值； (3)已知，求的值． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】本题考查了分式的求值． （1）根据分式的性质，得出，仿照例题的解题方式，即可求解； （2）根据分式的性质，得出，仿照例题的解题方式，即可求解； （3）根据分式的性质，得出，仿照例题的解题方式，即可求解 【详解】（1）解：由，得， ∴， ∴ 故答案为：，． （2）解：由，得， ∴， ∴， ∴． （3）解：由，得， ∴， ∴， ∴． 题型二：根据分式值的情况计算 7．（1）若分式的值为负数，求的取值范围． （2）若的值是一个整数，则整数可能取哪些值？ 【答案】（1）且；（2） 【分析】（1）根据分式值为负数的条件，分子分母异号，结合分子的取值情况，确定分母的符号，进而求出的取值范围； （2）根据分式值为整数的条件，分母是分子的约数，找出使得为的约数的整数的值． 【详解】解：（1）分式的值为负数，且， 且且． （2）的值是一个整数，且为整数， 可以为整数可能取． 【点睛】本题考查了分式的值的相关计算，掌握根据分式值的正负或整数情况，分析分子分母的关系是解题的关键． 8．当为何值时，分式的值为正数． 【答案】 【分析】本题考查分式的值的正负性，根据分式有意义的条件及分子分母的正负性来确定的取值范围，熟练掌握以上知识点是解题的关键．由分式的值为正数，已知分子为正数，只需分母为正数即可． 【详解】解：由题意得，，解得， 即时，分式的值为正数． 9．已知． (1)若y的值为正数，求x的取值范围； (2)若y的值为整数，求整数x的所有可能值． 【答案】(1) (2)或或或或或 【分析】本题考查了分式的值，正确计算是解题的关键． （1）根据分式的值为正数得出，即可求出x的取值范围； （2）根据y的值为整数得出或或或或或，即可求出整数x的所有可能值． 【详解】（1）解：的值为正数， ， ； （2），y的值为整数， 或或或或或， 或或或或或． 10．当整数x取何值时，分式的值是整数？ 【答案】当整数x取，0，2，3，5，6，8，12时，分式的值是整数 【分析】本题考查的是分式的值，把分式化为，再进一步求解即可． 【详解】解：， ∴能整除8的，又使分母不为0的可以为，，，， ∴或或或， ∴当整数x取，0，2，3，5，6，8，12时，分式的值是整数． 11．若分式方程的解为正整数，求整数的值． 【答案】 【分析】本题考查分式方程的解法及参数取值问题。本题关键在于正确处理分式方程的变形与去分母，并在解出含参数的解后结合解的限制条件进行讨论，特别注意这一隐含条件，避免代入导致分母为零的情况。先解含有字母参数的分式方程，求出，再根据分式方程的解为正整数，列出关于的方程，解方程求出，再判断时分式方程有无意义，从而求出答案即可． 【详解】解：， 去分母：， 去括号：， 移项合并：， 化系数为1：， ∵分式方程的解为正整数， ∴或3， 解得：或1， ∵当时，，分式无意义， ∴， ∴整数的值为． 12．已知当时，分式无意义；当时，此分式的值为0． (1)求a，b的值． (2)当分式的值为正整数时，直接写出整数x的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查分式有意义，分式的值为零的条件，分式的值，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）根据分式的分母为0时，分式无意义，分式的分子为0，分母不为0时，分式的值为0，求出的值，即可； （2）根据分式的值为正整数，且x为整数，得到，进行求解即可． 【详解】（1）解：由题意，， 解得； （2）解：由（1）可知：， ∵分式的值为正整数，且x为整数， ∴， ∴． 题型三：通分、约分 13．将下列分式化简 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）约去分子，分母的最大公因式即可； （2）先分解因式，然后约分计算即可； 【详解】（1）解：； （2）解：； 14．约分、通分 (1)； (2)和． 【答案】(1) (2)通分后分别为和 【详解】（1）解： （2）解：最简公分母为， 通分后分别为和 15．约分： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了约分，完全平方公式分解因式，平方差公式分解因式，综合提公因式和公式法分解因式等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用其来求解． （1）利用分式的基本性质约分； （2）先将分子、分母分别分解因式，再约分． 【详解】（1）解：． （2）解：． 16．通分： (1)，； (2)，，，． 【答案】(1)， (2)，，， 【分析】本题考查了分式的通分，熟练掌握分式的通分方法是解题关键． （1）先确定两个分式的最简公分母是，再根据分式的性质通分即可得； （2）先确定四个分式的最简公分母是，再根据分式的性质通分即可得． 【详解】（1）解：∵，的最简公分母为， ∴，； （2）解：∵，，，的最简公分母为， ∴，，，． 17．约分： (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了分式的约分，掌握找分子分母的公因式，以及处理互为相反的因式的变形技巧是解题的关键． （1）找出分子分母的公因式，直接约去公因式完成约分； （2）先将分子中的变形为，使分子分母出现相同因式，再约去公因式完成约分． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 18．通分： (1)，． (2)，． (3)，，． 【答案】(1)， (2)， (3)，， 【分析】本题考查了分式的通分，掌握确定最简公分母的方法，以及对分母因式分解和处理互为相反因式的变形技巧是解题的关键． （1）确定各分母系数的最小公倍数和所有字母的最高次幂，得到最简公分母，再将每个分式的分子分母同乘相应因式，使分母统一为最简公分母； （2）先对分母因式分解，确定最简公分母，注意处理与的符号关系，再通分； （3）确定各分母系数的最小公倍数和字母的最高次幂，得到最简公分母，再对每个分式变形． 【详解】（1）解：最简公分母是， ， ． （2）解：最简公分母是， ， ． （3）解：最简公分母是， ， ， ． 题型四：分式的加减运算 19．计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：； （2）解： ． 20．化简： 【答案】 【详解】解： ． 21．计算： (1)； (2)． 【答案】(1)1 (2) 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式． 22．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）将分母因式分解后通分，合并分子并约分即可； （2）将分母因式分解后通分，合并分子并约分即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 23．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先确定公分母为，再通分化成同分母分式计算即可； （2）先确定公分母，再通分化为同分母分式计算． 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式． 24．化简： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． 题型五：分式的乘除运算 25．计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2)2 (3) 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 26．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】按照分式混合运算的顺序计算．先算乘方．再算乘除．有括号先计算括号内的．最后约分得到最简结果． 【详解】（1）解： ； （2）解： 27．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先进行乘方运算，再进行乘除运算即可解答； （2）先将括号内的分式通分，再进行减法运算，最后进行乘除运算即可解答． 【详解】（1）解： （2）解： ． 28．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先除法变乘法，再约分即可求出答案． （2）先因式分解，再约分化简即可求出答案． 【详解】（1）解：原式 （2）解：原式 ． 29．化简： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)； (7)； (8)； (9) 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) 【分析】（1）根据分式的乘法，直接约分即可； （2）将除法变为乘法，再计算即可； （3）根据同分母分式减法法则计算即可； （4）根据分式乘除混合运算法则计算即可； （5）先计算括号内的，再将除法变成乘法计算； （6）先计算括号内的，再将除法变为乘法计算； （7）先计算括号内的，再将除法变为乘法计算； （8）先计算括号内的，再将除法变为乘法计算； （9）先计算括号内的，再将除法变为乘法计算． 【详解】（1）解：． （2）解： ． （3）解： ． （4）解： ． （5）解： ． （6）解： ． （7）解： ． （8）解： ． （9）解： ． 30．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 题型六：分式的四则混合运算 31．化简：． 【答案】 【分析】先计算括号内的减法，再将除法转化为乘法，同时对分子、分母因式分解，最后约分得到最简结果． 【详解】解：原式= ． 32．化简． (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先将除法转化为乘法，再计算分式的乘法即可得； （2）先计算括号内的分式减法，再计算分式的除法即可得． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． 33．化简：． 【答案】 【分析】括号内先通分，再将除法转化为乘法，约分即可化简． 【详解】解： ． 34．化简： 【答案】 【分析】先因式分解，再根据分式的性质约分，分式的加减运算即可求解． 【详解】解：原式 ． 35．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据异分母分式的加减法法则计算即可． （2）根据分式的混合运算法则化简原式即可． 【详解】（1）解：（1）原式      ； （2）解：原式 ． 36．化简： 【答案】 【分析】原式先把括号内的根据异分母分式减法法则计算，再把除法转换为乘法，约分后即可得到结果． 【详解】解： ． 题型七：分式的化简求值 37．先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】本题考查分式的化简求值，掌握相关的计算法则是解题的关键． 根据分式的运算法则进行化简，然后将值代入即可． 【详解】解： ， 将代入得， 原式． 38．先化简：，再从，，1，2中选择一个适当的数x，代入求值． 【答案】， 【分析】本题考查分式的化简求值，按照分式混合运算法则化简原式，再根据分式有意义的条件确定可代入的x值，最后代入计算即可． 【详解】解： ， 根据分式有意义的条件，可得，，， 得，，， 因此，能取， 将代入得，原式． 39．先化简，再从中选一个适合的整数代入求值． 【答案】，当时，原式 【详解】解： ， ∵，， ∴，，， ∴当时，原式． 40．先化简，再求值：，其中． 【答案】，1 【分析】先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再求出a的值代入进行计算即可． 【详解】解： ， ， 原式 41．先化简，再求值：，其中． 【答案】； 【分析】先对分式的括号内进行通分计算，再将除法转化为乘法，结合因式分解进行约分，化简后代入的值计算结果． 【详解】解： ， 当时，原式． 42．先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【详解】解： ， 当时，原式． 题型八：解分式方程 43．解方程：． 【答案】 【分析】根据解分式方程的步骤，逐步计算求解即可． 【详解】解：原方程变形为 方程两边同时乘以去分母，得 解得 检验：当时， ， ∴是原分式方程的解． 44．解分式方程． 【答案】 【详解】解：去分母可得：， 去括号得： ， 移项可得：， 合并同类项可得：， 系数化为1可得：， 检验：时，， 是原方程的解． 45．解方程：． 【答案】 【详解】解： ∴ 去分母，得， 移项，合并同类项，得， 检验：当时，， ∴原方程的解为 46．解下列方程： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： 去分母得， 解得， 检验：将代入 ∴原方程的解为； （2）解： 去分母得， 解得， 检验：将代入 ∴原方程的解为． 47．解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)无解 【分析】（1）（2）先将分式方程化成整式方程求解，然后再检验即可． 【详解】（1）解：， ， ， ， ； 检验，当时，， 所以是原分式方程的解． （2）解：， ， ， ， ， ； 检验，当时，， 所以是增根，原分式方程无解． 48．解分式方程： (1) (2)． 【答案】(1) (2)无解 【分析】（1）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解． （2）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解． 【详解】（1）解：， 方程两边都乘，得， 去括号得， 解这个方程，得， 检验：当时，， 故是原方程的根． （2）解：， 方程两边同乘，得， 去括号得， 解得：， 检验：当时，， 原方程无解． 题型九：根据分式方程解的情况求值（含参问题） 49．若关于的方程的解为正数，则的取值范围是（   ） A． B． C．且 D．且 【答案】D 【分析】先将分式方程化为整式方程，用含的式子表示方程的解，再根据方程的解为正数且分式方程分母不为0，求出的取值范围． 【详解】方程两边同时乘以，得， 整理得，解得， ∵方程的解为正数， ∴，解得， 又∵分式方程分母不为0，即， ∴，解得， ∴的取值范围是且． 50．已知关于x的分式方程的解是非负数，则m的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查解一元一次不等式，分式方程的解，将原方程去分母后化为整式方程并整理，然后根据题意列出关于m的不等式，解不等式即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 解得， ∵关于x的分式方程的解是非负数， ∴且， ∴且， 解得：且． 51．关于的分式方程的解是正数，则的取值范围是___________． 【答案】且 【分析】先解关于的分式方程，求得的值，然后再依据解是正数且分母，建立不等式求的取值范围． 【详解】解：， 两边同乘得， ∵分式方程的解为正数， ∴且， ∴且， 解得：且． 52．如果关于的分式方程的解是正数，那么实数的取值范围是_____． 【答案】且 【分析】先通过去分母将分式方程化为整式方程，求出用表示的解；再根据解为正数和分母不为零（分式方程有意义）两个条件，列不等式求解的取值范围． 【详解】解：， ， ， ， ， ， 方程的解是正数， , 解得, 分式方程分母不为， 即 解得， ∴实数的取值范围是且． 53．若关于x的分式方程的解为正实数，求m的取值范围． 【答案】且 【分析】利用解分式方程的一般步骤解出方程，根据题意列出不等式，解不等式即可． 【详解】解： 解得：， 由题意得：， 解得：， ∵分式方程的分母不为0， ∴， ∴， ∴且． 54．已知关于x的分式方程的解为负数，试求k的取值范围． 【答案】 【分析】先解分式方程得到x关于k的表达式，再根据解为负数得到不等式，结合分式方程分母不为零的隐含条件求解，即可得到k的取值范围． 【详解】解：， ， ， ， ， 关于x的分式方程的解为负数， ， 解得 又， 即， 解得， ． 题型十：分式方程的增根问题（含参问题） 55．关于的分式方程有增根，则的值为（    ） A．2 B．1 C．3 D． 【答案】D 【分析】根据分式方程增根的定义，先确定增根的值，再将增根代入去分母后得到的整式方程，即可求出m的值. 【详解】解：∵ 原分式方程有增根， ∴ 最简公分母，解得增根为， 方程两边同乘，得， 把代入整式方程，得， 解得. 56．若方程有增根，则a的值为（   ） A． B．4 C．3 D．2 【答案】B 【分析】先将分式方程化为整式方程，再根据增根定义确定增根的值，代入增根计算得到a的值． 【详解】解：， 方程两边同乘去分母，得， 去括号得， 则， ∵原分式方程分母为，方程有增根， ∴增根满足，即， 将代入整式方程，得， 解得：． 57．若关于x的分式方程有增根，则m的值是（   ） A． B． C． D．或 【答案】A 【分析】先求解原分式方程，再根据关于x的分式方程有增根得到的值，求解即可． 【详解】解：解得， ∵关于x的分式方程有增根， ∴， 即， 解得：． 58．关于x的分式方程有增根，则增根为________． 【答案】 2 【分析】本题考查分式方程增根的概念，增根是使分式方程的最简公分母为零的未知数的值，据此计算即可． 【详解】解：分式方程的分母分别为和，因此最简公分母为． 因为分式方程有增根，所以最简公分母为，即 ， 解得． 故答案为． 59．已知关于x的方程． (1)若，解这个分式方程； (2)若原分式方程有增根，求m的值． 【答案】(1) (2)m的值为2， 【分析】本题考查了分式方程的求解及增根的概念和应用． （1）将代入原方程，通过去分母化为整式方程求解，最后检验解的合理性； （2）先解分式方程得到用m表示的x，根据原分式方程有增根得到，且用m表示的x的式子的分母，分情况讨论确定出m的值即可． 【详解】（1）解：将代入方程， 得， 解得， 经检验：当时，， ∴是原方程的根． （2）解：， 解得， ∴， ∵原分式方程有增根， ∴， 当时，，解得， 当时，，解得， ∴m的值为2，． 60．若关于x的分式方程有增根，求m的值． 【答案】或 【分析】本题考查了分式方程增根的概念及分式方程的解法，解题的关键是先确定增根的可能值，再将分式方程化为整式方程，最后代入增根求解参数． 先确定分式方程的分母为零的点，即增根可能为或；再将原分式方程两边同乘最简公分母化为整式方程；最后分别将增根代入整式方程，求解的值，并检验解的合理性． 【详解】解：原方程为， 方程两边同乘，得， 整理，得， 由分式方程有增根，得，解得或． 当时，代入，得， 解得． 当时，代入，得， 解得． 经检验，或均符合题意． 故的值为或． 题型十一：分式方程的无解问题（含参问题） 61．已知关于的方程． (1)若，求该方程的解； (2)若该方程无解，求实数的值． 【答案】(1)； (2)或． 【分析】（）先把原方程去分母并整理得，解得，然后把代入即可求解； （）根据方程无解可得，然后求出的值即可． 【详解】（1）解：原方程去分母并整理得：， 整理得，，即， ∴当时，， 经检验，是原方程的解， ∴原方程的解是； （2）解：由（）知，所以要使原方程无解， 只需满足即可，解得或． 62．已知关于的分式方程无解，求的值． 【答案】 【分析】先去分母求出，再根据无解的条件求解即可 【详解】解：原方程化为， 方程两边同时乘以，得， 解方程，得， 该分式方程无解， ，即， ． 【点睛】分式无解问题重点是根据最简公分母为求解． 63．关于的方程． (1)当时，求该方程的解； (2)若该方程无解，求的值． 【答案】(1) (2)的值为或 【分析】本题考查解分式方程，掌握解分式方程的方式及分式方程无解的情况是解题关键． （1）代入k的值，解分式方程并检验即可； （2）通过解分式方程的方法，用含k的式子表示x，利用方程无解的情况确定x的值，进而确定k的值． 【详解】（1）解：当时，关于的方程为， 化为整式方程，得，     去括号，得， 移项，合并同类项，得． 经检验：当时，， 因此该方程的解为； （2）解：等号两边同时乘以，得：， ∴， 若该方程无解，有两种情况： ①该整式方程无解，则，解得； ②分式方程增根导致无解，则，即，解得； 综上可知，的值为或． 64．若关于的分式方程无解，求的值． 【答案】或 【分析】本题考查了分式方程无解的条件，掌握分式方程无解包含整式方程无解和整式方程的解为增根两种情况是解题的关键． 分式方程无解分两种情况，一是去分母后的整式方程无解，二是整式方程的解为原分式方程的增根，先去分母转化为整式方程，再分情况讨论． 【详解】解：方程两边同乘，得， 化简，得， 即． 原分式方程无解， 当去分母后所得的整式方程无解时，， 解得； 当整式方程的解为增根时，， 解得， 综上所述，的值为或． 65．如果关于的方程无解．求的值． 【答案】 【分析】本题考查了分式方程无解问题，分式方程无解的条件是去分母后得到的整式方程的解使原方程的分母为零，或整式方程本身无解． 先化为整式方程，再根据分式方程无解的条件计算即可． 【详解】解：原方程为 两边同乘，得 整理得 即 ∴ 当时，， 即， 解得． 66．若关于x的方程无解，求m的值． 【答案】或 【分析】本题考查了分式方程的无解问题．方程去分母转化为整式方程，根据分式方程无解可得或将代入整式方程，即可求出m的值． 【详解】解：整理得 去分母得： ∴， 整理得：， 当，整式方程无解； 解得：， 当分式方程的解为增根时，原方程无解， 将代入中，得：， 解得：m， 综上，或． 题型十二：分式的求整计算 67．（1）如果，则_____； （2）如果，则_____； 【应用】（3）若代数式的值为整数，求满足条件的整数的值； 【拓展】（4）若代数式的值为整数，则整数的值为_____． 【答案】1. 2. 3.或 4. 【分析】本题考查了解可化为一元一次方程的分式方程及应用，正确计算是解题的关键． （1）去分母，去括号，移项，合并同类项，最后消去x求出n； （2）去分母，去括号，移项，合并同类项，最后消去x求出n； （3）化简为，根据取整数值确定x的值； （4）化简为，根据取整数值确定的值． 【详解】（1）解：， ， ， ， ； 故答案为：； （2）解：， ， ， ， ； 故答案为：； （3）解：， 当，即或时，是整数， 当或时，代数式的值为整数； （4）解： ， 当，即时，为整数， 当时，为整数， 故答案为：． 68．阅读理解 材料1：课后练习13.1（1）的第6题，如果是整数，那么整数可以取哪些值？ 解答过程如下： 解：因为是整数；于是的值为1、、3或； 所以，整数的取值是0、、2或． 材料2：如果一个分式，它只含有一个字母且分子、分母的次数都是一次，那么可以将这 样的分式变形为整数与新的分式的和的形式，其中新的分式的分子中不含字母． 例如：． 阅读材料1、材料2，并解答下列问题． 问题1：如果分式的值是整数，那么整数的所有取值是__________． 问题2：如果分式的值是整数，那么所有满足条件的整数的和是多少？ 【答案】问题1：或或或；问题2： 【分析】本题考查的是分式的加减运算的逆用，分式的值为整数的含义； 问题1：把原式化为，再进一步解答即可； 问题2：把原式化为，再进一步解答即可； 【详解】解：问题1：， ∵分式的值是整数，是整数； ∴或， 解得：或或或； 问题2：∵， ∵分式的值是整数，是整数； ∴或； 解得：或或或； ∴所有满足条件的整数的和是． 69．阅读材料：将分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式． 解：由分母，可设 则 ． 对于任意x上述等式成立 解得 回答问题： (1)这样，分式就拆分成一个整式________与一个分式________的和的形式 (2)将分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式为________． (3)已知整数x使分式的值为整数，则满足条件的整数________． 【答案】(1)， (2) (3)2或0或3或或5或 【分析】本题考查的是分式的混合运算，掌握多项式乘多项式的运算法则、二元一次方程组的解法，读懂材料掌握方法是解题的关键． （1）仿照例题，列出方程组，求出a、b的值，把原式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式； （2）仿照例题，列出方程组，求出a、b的值，把原式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式； （3）仿照例题，列出方程组，求出a、b的值，把原式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式，根据整除运算解答． 【详解】（1）解：由分母，可设， 则 ， ∵对于任意x上述等式成立， ∴， 解得：， 拆分成， 故答案为：，； （2）解：由分母，可设， 则 ， ∵对于任意x上述等式成立， ∴， 解得：， 拆分成， 故答案为：； （3）解：由分母，可设， 则 ， ∵对于任意x上述等式成立， ，解得， 拆分成， ∵整数x使分式的值为整数， ∴为整数，即或或， 则满足条件的整数或0或3或或5或， 故答案为：2或0或3或或5或． 70．阅读下列材料，解决问题： 在处理分式的时候，有时候分子的次方高于分母的次方，在实际运算时往往难度比较大，这时我们可以将分式拆分成一个整式和一个分式的和的形式． 例如：将分式拆分成一个整式和分式（分子为整数）相加． (1)请将拆分成一个整式和分式（分子为整数）相加的形式． (2)如果分式的值是整数，求所有符合条件的整数x的值． 【答案】(1) (2)x的值为2或4或16或 【分析】本题考查了分式的值，关键读懂题意，把分式表示成一个整式与分式的和的形式； （1）按照题干的拆分方法进行即可； （2）由（1）知，只要拆分后的分式的分母是分子的整数因数即可求解． 【详解】（1）解：； （2）解：； ∵的值为整数， ∴是13的所有整数因数， 即， ∴或或或； 即x的值为2或4或16或． 71．材料1：在处理分数和分式问题时，有时由于分子比分母大，或者分子的次数高于分母的次数，在实际运算时往往难度比较大，这时我们可以将假分数（分式）拆分成一个整数（整式）与一个真分数（式）的和（差）的形式，通过对简单式的分析来解决问题，我们称之为分离整数法．此法在处理分式或整除问题时颇为有效． 例：将分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式． 解：设，则． ∴原式＝ ∴ ∴分式就拆分成一个整式与一个分式的和的形式． 材料2：配方法是初中数学思想方法中的一种重要的解题方法，配方法最终的目的就是配成完全平方式，利用完全平方式来求解．它的应用非常广泛，在解方程、求最值、证明等式、化简根式、因式分解等方面都经常用到． 如：当，时，∵ ∴当，即时，有最小值2． 根据以上阅读材料回答下列问题： (1)参照以上资料，试将分式拆分成整式的真分式的和的形式； (2)已知分式的值为整数，求整数x的值； (3)当时，求代数式的最小值 ． 【答案】(1) (2)或0 (3)3 【分析】（1）设，则，将它代入，再化简，然后将代入后得出结果； （2）设，则，将它代入，再化简，然后将代入后，根据分式的值为整数和x是整数，得到关于x的方程求解； （3）设，则，将它代入，再化简，然后将，代回，配方后求出最小值． 【详解】（1）解：设，则， ∴原式， ∴； （2）解：设，则， ∴原式， ∴， ∵分式的值为整数， ∴或或， 又x是整数， ∴，解得：或0； （3）解：设，则， ∴原式， ∴， 当时，解得，满足，此时代数式有最小值3． 【点睛】本题考查了分式加减乘除混合运算，通过对完全平方公式变形求值，利用完全平方式来求解，分式最值等知识点，解题关键是熟悉上述知识，并能熟练运用求解． 72．阅读下列材料，并解答问题． 将分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式． 解：因为分母是，可设， 则． 对于任意的值上述等式都成立，解得 ． 这样，分式就拆分成了整式与分式的和的形式． (1)若将分式拆分成（为整数），则______，______． (2)将分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式． (3)已知分式的值为负整数，直接写出满足条件的整数的值． 【答案】(1)3；4 (2) (3)3或 【分析】本题考查分式的化简求值； （1）根据求解即可； （2）参考材料中的过程求解即可； （3）参考材料中的过程得到，再根据分式的值为负整数，得到是整数，推出或，最后分情况讨论求值即可． 【详解】（1）∵， ∴若将分式拆分成（为整数），则，， 故答案为：3；4． （2）解：因为分母是，可设， 则． 对于任意的值上述等式都成立， ， 解得， ． （3）解：因为分母是，可设， 则． 对于任意的值上述等式都成立， ， 解得， ． ∵分式的值为负整数， ∴是整数， ∴或， 当时，，，不合题意； 当时，，，符合题意； 当时，，，不合题意； 当时，，，符合题意； 综上所述，分式的值为负整数，满足条件的整数的值为3或． 题型十三：分式的新定义运算 73．我们给出定义：若一个分式约分后是一个整式，则称这个分式为“巧分式”，约分后的整式称为这个分式的“巧整式”．例如，则称分式是“巧分式”，为它的“巧整式”．根据上述定义，解决下列问题． (1)下列分式中是“巧分式”的有______（填序号）； ①；②；③． (2)若分式（m，n为常数）是一个“巧分式”，它的“巧整式”为，求m，n的值． 【答案】(1)①③ (2)， 【分析】（1）逐一判断是否符合“巧分式”的定义即可； （2）根据定义可知，计算的值，进而作答即可． 【详解】（1）解：①；②无法进一步约分；③， ∴是“巧分式”的有①③； （2）解：由题意，得， ∵ ， ∴， ∴，， ∴，． 74．给出定义：若一个分式约分后分子是一个常数，分母是一个一次整式，则称这个分式为“好看分式”，例如，，则是“好看分式”．根据上述定义，解决问题． (1)分式、，其中是“好看分式”的是________． (2)①若分式（为常数且）是一个“好看分式”，求的值； ②若分式（为常数且）是一个“好看分式”，求的值； (3)若分式（、为常数且）是一个“好看分式”，且、都是正整数，直接写出的所有可能结果． 【答案】(1) (2)①；② (3)1，2，3 【分析】本题主要考查了分式的约分，解题时要能根据所给新定义问题结合所学分式的知识进行化简是关键． （1）依据题意，由，分式分母无法在实数范围内分解，分子分母无公因式，无法约分为常数分子，进而可以判断得解； （2）①依据题意，分母分解：，结合题意分子需与分母中的或有公因式，从而，则，进而可以判断得解； ②依据题意，分母分解：需分解为，使常数项为，即，从而分母为，对应，即可判断得解； （3）依据题意，由分式分母分解：设，则，故需等于，即，从而此时分式化简为正整数解：①，则；②，则；③，则，进而可以判断得解． 【详解】（1）解：∵， ∴，符合“好看分式”定义． 又 ∵分式分母无法在实数范围内分解，分子分母无公因式，无法约分为常数分子， ∴分式不符合“好看分式”定义． 故答案为：． （2）解：①由题意，分母分解：． 又 ∵分式为“好看分式”， ∴分子需与分母中的或有公因式． ∵，则， ∴此时分式化简为，符合定义． ∴． ②由题意，分母分解：需分解为，使常数项为，即， ∴分母为，对应． （3）解：由题意，∵分式分母分解： 设， 则． ∴需等于，即． ∴此时分式化简为， 正整数解： ①，则； ②，则 ； ③，则． ∴的可能值为． 75．（运算能力）定义：若一个分式约分后是一个整式，则称这个分式为“巧分式”，约分后的整式称为这个分式的“巧整式”．例如：，则称分式是“巧分式”，为它的“巧整式”．根据上述定义，解决下列问题： (1)下列分式中是“巧分式”的有_______（填序号）； ①；②；③． (2)若分式的“巧整式”为，请判断是否是“巧分式”，并说明理由． 【答案】(1)①③ (2)是，见解析 【分析】本题考查了分式的化简、因式分解． （1）根据“巧分式”的定义，逐个判断得结论； （2）根据给出的“巧分式”的定义可得；将A代入，约分后看是否是一个整式，即可得出结论． 【详解】（1）解：，是整式， ①是“巧分式”； ，不是整式， ②不是“巧分式”； ，是整式， ③是“巧分式”； （2）解：分式的“巧整式”为． ， ； ， 又是整式， 是“巧分式”． 76．定义1：若两个分式的和为（为正整数），则称这两个分式互为“阶分式”． 例如：，则分式与互为“3阶分式”． 定义2：若两个分式的和等于两个分式的积，即，那么就称分式与分式“互为友好分式”． 例如：分式与分式，因为，， 所以分式与分式“互为友好分式”． (1)分式与互为“______阶分式”． (2)分式与______互为“6阶分式”． (3)请通过计算判断分式与分式是不是“互为友好分式”？ 【答案】(1)5 (2) (3)不是 【分析】本题考查了新定义，分式的加减以及分式的乘法运算． （1）把所给两个分式相加即可判断； （2）用6减去即可求解； （3）分别计算所给两个分式的和与差几颗判断． 【详解】（1）∵ ∴式与互为“5阶分式”． 故答案为：5； （2）由题意，得 故答案为：； （3）∵， ， ∴分式与分式不是“互为友好分式”． 77．如果一个正整数的倒数可以分解成两个正整数均不为倒数相乘的形式，我们定义这种分解为“倒分解”；并定义其中两个乘数差最大的一种分解为的“最大倒分解”，这个最大的差记为：．例：12的倒分解为或，因为，所以最大倒分解为，所以． (1)填空：写出8的一种倒分解：______； (2)计算的值； (3)若的最大倒分解为，且，求的值． 【答案】(1) (2) (3)0 【分析】本题考查了有理数的混合运算，新型定义运算的运用以及分式方程的应用，在解答时找出新运算法则,以及分类讨论思想的应用是关键． （1）8的倒数为，直接根据“倒分解”的定义写出即可； （2）先根据“倒分解”的定义写出36的所有“倒分解”，然后找出两个乘数差最大的一种分解，即可求出； （3）根据的最大倒分解为，讨论当时，当时，分别求出的值，再验证是否符合题意即可求解； 【详解】（1）解： 8的倒数为，， 8的一种倒分解为． （2）解：的倒分解为：或或或 其中最大的倒分解， （3）的最大倒分解为： ① 当时，， 解得：经检验，是原方程的根， 当时，，最大倒分解为，故不合题意，舍去； ② 当时，， 解得经检验，是原方程的根，且符合题意，综上可得，的值为0． 78．定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“祥和分式”．如：，则是“祥和分式”． (1)下列分式中，属于“祥和分式”的是：　 　（填序号）； ①；②；③． (2)根据定义填空 . (3)判断分式是否为祥和分式，并说明你的理由． 【答案】(1)①③ (2) (3)是祥和分式，理由见解析 【分析】（1）先根据分式的性质化简，根据新定义进行判定即可求解． （2）根据新定义将分式写成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，即可求解； （3）根据新定义将分式写成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，即可求解． 【详解】（1）解：①，故①是祥和分式； ②不能写成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，故②不是祥和分式； ③，故③是祥和分式； 故答案为：①③． （2）解：， 故答案为：． （3）解：是祥和分式，理由如下， ∵， ∴是祥和分式． 【点睛】本题考查了分式的化简求值及分式的定义，解题的关键是熟练掌握分式的基本性质及对祥和分式的定义的理解． 题型十四：分式方程的新定义问题 79．定义：如果一个关于分式方程的解是，我们就说这个方程是和解方程．比如就是一个和解方程．如果关于的分式方程是一个和解方程，求的值． 【答案】 【分析】本题考查了分式方程的解． 根据和解方程的定义，方程的解应为，代入原方程求解． 【详解】解：∵方程是和解方程 ∴解为， 将代入原方程： ， ， ， ． 80．定义：形如，两个解分别为，的方程称为“十字分式方程”．如，其中，． (1)试判断，是不是十字分式方程？若是，求该方程的解． (2)若十字分式方程的解为，，求下列代数式的值： ①； ②． 【答案】(1)是，， (2)①10；② 【分析】本题考查解分式方程、代数式求值，理解“十字分式方程”的定义是解答的关键． （1）验证，是方程的解，再根据“十字分式方程”的定义可得结论； （2）由“十字分式方程”的定义得到，，． ①化为，再代值求解即可； ②化为，再代值求解即可． 【详解】（1）解：解分式方程， 去分母，得， 或， ， 经检验，、都是方程的解． 原分式方程的解为：，． ，， 方程是十字分式方程． （2）解：是十字分式方程，其解为，， ，，． ①，， ； ② ． 81．定义：若两个分式的和为n（n为正整数），则称这两个分式互为“n阶分式”．例如，分式与为“3阶分式”． (1)当满足条件______时，分式与为“5阶分式”； (2)设正数x，y互为倒数，求证：分式与为“2阶分式”； (3)若分式与为“1阶分式”（其中a，b为正数），求的值． 【答案】(1) (2)见详解 (3) 【分析】本题主要考查了分式的加减，因式分解，熟练掌握分式的通分约分运算知识是解决此类问题的关键． （1）根据题意，计算与的和即可； （2）根据题意首先利用倒数关系，将进行消元，然后通过分式的加法化简即可得解； （3）根据1阶分式的要求对两者相加进行分式加法化简，通过通分化简即可得解． 【详解】（1）解：∵分式与为“5阶分式”， ∴， ∴， ∴， 即当满足，时，分式与为“5阶分式”； （2）解：∵正数互为倒数， ， ， ∴分式与互为“2 阶分式”； （3）解：∵分式与互为“1 阶分式”， ， 去分母，得， 则， ， ， ∴， ∵为正数， ， 解得：． 82．定义：如果两个代数式的和与这两个代数式的积相等，那么称这两个代数式互为“关联式”． (1)判断与是否互为“关联式”，并说明理由； (2)求与互为“关联式”的代数式； (3)填空：已知一个整式与一个最简分式互为“关联式”，请写出一组符合该条件的代数式可以是_____与______．（只要写一组即可） 【答案】(1)不是，理由见解析 (2) (3)， 【分析】本题考查的是新定义的含义，分式的加减运算，乘法运算，分式方程的解法； （1）根据新定义列式计算，再判断即可． （2）设的关联式为，可得，再进一步解答即可． （3）由一个整式与一个最简分式互为“关联式”，当这个整式为，设的关联式为，可得，再进一步解答即可． 【详解】（1）解：∵， ， ∴， ∴与不互为“关联式”． （2）解：设的关联式为， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）解：∵一个整式与一个最简分式互为“关联式”， 当这个整式为，设的关联式为， ∴， ∴， ∴， ∴整式为，最简分式为． 83．对于一些特殊的方程，我们给出两个定义：①若两个方程有相同的解，则称这两个方程为“相似方程”；若两个方程有相同的整数解，则称这两个方程为“相伴方程”． (1)判断方程与是否为“相似方程”，并说明理由； (2)已知关于x，y的二元一次方程和是“相伴方程”，求正整数m的值． 【答案】(1)是，理由见解析 (2)或 【分析】本题考查了新定义——“相似方程”“相伴方程”，以及解一元一次方程和解分式方程．熟练掌握相关性质内容，是解题的关键． （1）先分别算出方程与的解，再结合“相似方程”进行判断，即可作答． （2）因为关于x，y的二元一次方程和是“相伴方程”，所以，整理得，结合x，y，m均为整数，则，因为m为正整数，据此即可作答． 【详解】（1）解：方程与方程是“相似方程”，理由如下： 解方程得 ， 解方程得 ， 检验：是该分式方程得解． ∴方程与方程是“相似方程” （2）解：∵和是“相伴方程”． ∴ ∵x，y，m均为整数， ∴， ∴， 又∵m为正整数 ∴或 84．我们定义：形如（不为零），且两个解分别为的方程称为＂十字分式方程＂． 例如为十字分式方程，可化为． 再如为十字分式方程，可化为．． 应用上面的结论解答下列问题： (1)若十字分式方程的两个解分别为，求的值． (2)若关于的十字分式方程的两个解分别为，求的值． 【答案】(1) (2)2022 【分析】本题考查了新定义运算，解分式方程、因式分解的应用等知识点，理解十字分式方程的定义是解题关键． （1）将方程改写成，再根据十字分式方程的定义作答即可； （2）先根据十字分式方程的定义以及、、的取值范围求出，，即，，然后代入求解即可． 【详解】（1）解：十字分式方程变形为， 可化为， ∴，或 ∴； （2）解：方程是十字分式方程，可化为， ∴，， ∵，， ∴，，即，， 代入得，， ∴的值为2022． 1．约分：． 【答案】 【分析】将原式分子、分母进行因式分解后，再进行约分即可得到答案． 【详解】解： ． 2．先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】先把小括号内的式子通分化简，再把除法变成乘法后约分化简，最后代入求值即可． 【详解】解： ， 当时，原式． 3．先化简，再求值：，其中从0，1，2中选一个恰当的数求值． 【答案】，当时，原式 【分析】先把小括号内的式子通分，然后因式分解后约分化简，最后根据分式有意义的条件确定m的值，然后代入求解． 【详解】解： ， ∵，， ∴，， ∵从0，1，2中选一个恰当的数 ∴当时，原式． 4．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 5．解方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)原方程无解 【分析】（1）对于分式方程，解题思路是先将分式方程变形，确定最简公分母为，两边同乘最简公分母化为整式方程，求解整式方程后进行验根，确定原方程的解． （2）对于分式方程，解题思路是先对分母因式分解，确定最简公分母为，两边同乘最简公分母化为整式方程，求解整式方程后验根，判断原方程解的情况． 【详解】（1）解：， ， 方程两边同乘，得 ， ， ， ， ， 检验：当时，， 故原分式方程的解为 （2）解：， 方程两边同乘，得 ， ， ， ， ， 检验：当时，， 因此不是原分式方程的解． 故原分式方程无解． 6．先化简，再求值：，其中． 下面是小宇同学的化简过程，请认真阅读并完成相应任务． 解：原式第一步 第二步 第三步 第四步 (1)任务一： 以上化简步骤中，第_____步是通过约分得到的，约分的依据是__________； 第_____步开始出现错误，这一步错误的原因是_____； (2)任务二：请直接写出该式子化简后的正确结果，并代入求值． 【答案】(1)三，分式的基本性质；一；添括号时，括号里面的第二项没有变号； (2)，． 【分析】（1）根据分式的运算法则观察化简步骤即可知答案； 观察分式化简的步骤可知答案； （2）将分式进行正确的化简，再将代入化简之后的式子即可． 【详解】（1）解：以上化简步骤中，第三步是通过约分得到的，约分的依据是分式的基本性质， 第一步开始出现错误，这一步错误的原因是添括号时，括号里面的第二项没有变号； （2）解：， ， 当时， ． 7．解方程及求值 (1)解方程： ； (2)计算：已知，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）方程两边同时乘，把分式方程化成整式方程，然后解方程求出x，最后检验即可． （2）先根据已知条件和完全平方公式求出，然后再根据平方根的定义求出答案即可． 【详解】（1）解： ， ， ， ， ， ， ， 检验：当时，， ∴是原分式方程的解． （2）∵， ∴ ， ∴． 8．计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用分式的乘除法法则进行计算即可； （2）先通分，然后按同分母分式加减法计算法则进行计算即可． 【详解】（1）解： （2）解： 9．计算：． 【答案】 【分析】先对括号内的式子进行通分计算，再对分子分母进行因式分解，最后将除法转化为乘法进行约分． 【详解】解：原式 ． 10．已知，求代数式的值． 【答案】 【详解】解： ； ， ， ∴原式． 11．化简： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先计算乘方，再计算乘除法即可得到答案； （2）先把小括号内的式子通分化简，再把除法变成乘法后约分化简即可得到答案． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 12．定义：分式的分子或分母中含有分式，这样的分式叫做繁分式，例如像这样，的分式称为繁分式．利用分式的基本性质可以把繁分式化简为最简分式，例如化简时，繁分式的分子分母同乘得到；若实数m，n满足，． (1)____________（用含t的式子表示）； (2)求证：不论t取何值，分式化简后都为一个定值，并求出该定值． 【答案】(1) (2)证明见解析，定值为 【分析】（1）直接把，代入所求式子中约分即可得到答案； （2）根据题意可证明，把式子变形为，再把代入化简即可证明结论． 【详解】（1）解：∵，， ∴； （2）证明：∵， ∴， ∴ ， ∴不论t取何值，分式化简后都为一个定值，且； 13．通过小学的学习我们知道，分数可分为“真分数”和“假分数”，而假分数都可化为带分数，如：．我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”． 如，这样的分式就是假分式；这样的分式就是真分式．类似的，假分式也可以化为带分式（即：整式与真分式的和的形式）． 如． 解决下列问题： (1)分式是 分式（填“真”或“假”）； (2)将假分式化为带分式； (3)若分式的值为整数，x为整数，求分式的值． 【答案】(1)真 (2) (3)4或6 【分析】（1）利用真分式和假分式的定义解答即可； （2）利用题干中的方法化简运算即可； （3）利用整数和整除的意义讨论解答即可． 【详解】（1）解：∵的次数小于的次数， ∴分式是真分式． （2）解：． （3）解：， ∵分式的值为整数，x为整数， ∴， ∴ 当时，原式； 当时，原式； 当时，原式； 当时，原式． 综上，分式的值为4或6． 14．根据以下素材，探索完成任务． 素材1 定义：如果两个分式与的和为常数，则称与互为“和定分式”，常数称为“和定值”．例如：分式，，，则与互为“和定分式”，“和定值”． 素材2 分式中，在分子、分母都是整式的情况下，如果分子的次数低于分母的次数，称这样的分式为真分式，例如：分式，是真分式． 素材3 如果分子的次数不低于分母的次数，称这样的分式为假分式．例如，分式，是假分式． 问题解决： (1)已知分式，，判断与是否互为“和定分式”？若不是，请说明理由；若是，请求出． (2)已知分式，，若与互为“和定分式”，且分式为真分式，求“和定值”的值，求代数式（用含的式子表示）． (3)已知分式，（，为常数），若与互为和定分式”，则________， ________． 【答案】(1)与互为“和定分式”， “和定值” (2)， (3)， 【分析】（1）求出，看和是否为定值，即可判断； （2）求出，由与互为“和定分式”且分式为真分式，得到是的倍，可得，，即可求解； （3）求出，根据题意可得分子 是分母的倍，即，推出，即可求解． 【详解】（1）解：，， ， 与互为“和定分式”，“和定值”； （2）解：，， ， 与互为“和定分式”， 且分式为真分式， 是的倍数， 又中，的系数为，中的系数为， ，， ； （3）解：，， ， 与互为“和定分式”，分子 中，的系数为，中的系数为， 分子 是分母的倍，即， 即， ， 解得，． 15．形如（a，b不为零，且两个解分别为，的方程称为“十字分式方程”，例如为十字分式方程，可化为，∴，． 再如为十字分式方程，可化为， ∴，． 应用上面的结论解答下列问题： (1)若为十字分式方程，则______，______． (2)若十字分式方程的两个解分别为，，求的值． (3)若关于x的方程的两个解是，，若是整数，求满足条件的整数k的值． 【答案】(1)2；5 (2)7 (3)或或或 【分析】（1）根据，结合题意可得答案； （2）原方程变形为，则根据定义可得，再根据计算求解即可； （3）原方程可变形为，可证明方程是“十字分式方程”，则，进而得到，则，根据是整数，得到是整数，据此求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵十字分式方程的两个解分别为，， ∴， ∴； （3）解：∵， ∴， ∴， 又∵， ∴方程是“十字分式方程”， ∵关于x的方程的两个解是，， ∴， ∴， ∴， ∵是整数， ∴是的整数，即是整数， 又∵k是整数， ∴或， ∴或或或． 16．探究规律及应用 (1)【观察】；； 【猜想】若为正整数，请你猜想第个等式（用含的式子表示），并证明． (2)【拓展】 ①利用你发现的规律计算：； ②利用上述规律解答：若的值为，求n的值． 【答案】(1)，证明见解析 (2)①；②88 【分析】（1）由题意给的规律即可通过分式的减法进行证明； （2）①根据裂项，每项拆分为两个分数之差，将所有项相加，中间项相互抵消即可求解； ②根据题目的意思，裂项合并后，得到分式方程即可求解． 【详解】（1）解：第n个等式为：； 证明如下： ； （2）解：① ； ②∵ ， ∴， 解得， 经检验是分式方程的解， 的值为88． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $