考点09 分式的概念（专项训练）数学新教材苏科版八年级下册

考点09 分式的概念 考点一：分式 一般地，如果A、B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子叫做分式，其中A叫做分子，B叫做分母. 考点二：分式有意义、无意义或值为0的条件 对于分式A/B来说 条件 分式有意义 分母不等于零，即B≠0 分式无意义 分母等于零，即B=0 分式值为0 A=0且B≠0 注意：分式的值是在分式有意义的前提下考虑的. 题型一：分式的判断 看化简前原式，分母含字母就是分式，不含就不是，别被约分后迷惑。 【典例】（25-26八年级下·江苏淮安·期中）下列各式是分式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据分式的定义逐一判断选项，分式的定义：若，是整式，，且中含有字母，则是分式． 【详解】解：选项A．的分母是，不含字母，属于整式； 选项B．的分母是，不含字母，属于整式； 选项C．的分母是，含有字母，符合分式定义； 选项D．是整式，不是分式． 【变式1】（25-26八年级下·江苏宿迁·期中）下列各式：①，②，③，④中，是分式的有（    ） A．①③ B．③④ C．①② D．①③④ 【答案】A 【分析】本题考查分式的定义，根据分式定义逐一判断即可，需注意是常数不是字母. 【详解】解：∵ ① 的分母是字母，符合分式定义； ②的分母是常数，不符合分式定义； ③的分母含字母，符合分式定义； ④中是常数，分母不含字母，不符合分式定义； ∴ 是分式的是①③. 【变式2】（25-26七年级下·浙江嘉兴·期中）在代数式，，，，中，分式的个数是（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】根据分式定义逐一判断每个代数式，注意π是常数，不是字母． 【详解】解：∵的分母a含字母，是分式； 的分母m含字母，是分式； 的分母是常数，不是分式； 中π是常数，分母不含字母，不是分式； 的分母含字母，是分式； ∴ 分式共有3个． 【变式3】（25-26八年级下·江苏泰州·月考）下列代数式，，，，，，，其中分式共有______个． 【答案】 【分析】分式的定义为：若，表示两个整式，，且中含有字母，则是分式，逐个判断后统计分式个数即可． 【详解】解：，分母为，是常数，不含字母，是整式，不是分式； ，分母为，是常数，不含字母，是整式，不是分式； ，分母含有字母，是分式； ，分母含有字母，是分式； ，是圆周率，属于常数，分母为常数，不含字母，是整式，不是分式； ，分母含有字母，是分式； ，分母含有字母，是分式； 综上可得：分式共有个． 【变式4】（25-26八年级上·江苏·月考）下列各式：①；②；③；④；⑤；⑥；⑦．其中是分式的有_________，是整式的有_________．（填序号） 【答案】 ①③⑤⑥ ②④⑦ 【分析】此题主要考查了分式、整式的定义，正确把握定义是解题关键． 直接利用分式、整式的定义分析得出答案． 【详解】解：①；②；③；④；⑤；⑥；⑦，其中是分式的有①；③；⑤；⑥，整式有：②；④；⑦， 故答案为：①③⑤⑥，②④⑦． 题型二：分式的规律性问题 【典例】（25-26八年级上·云南昭通·期末）观察下列式子：，依照此规律，第8个式子是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查式子的规律，掌握知识点是解题的关键． 观察分子和分母的规律：分子是连续偶数，分母是的幂次递增． 【详解】解：分子依次为2， 4， 6， 8， …，；分母依次为， ， ， ， …， 因此第个式子为． 当时，． 故选：D． 【变式1】（24-25八年级上·江苏·期末）对于正数x规定，例如：，，则 …………（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了有理数的混合运算，解题的关键是注意利用计算，并能找出和之间的关系. 根据所给计算每一个值，再把所有的数值相加即可. 【详解】解：………… ………… +…+ . 故选：B 【变式2】（25-26八年级下·江苏无锡·期中）数学家们曾思考过这个问题：一个容器装有1升水，按照下面的方式将水倒出：第1次倒出升水，第2次倒出的水量是升的，第3次倒出的水量是升的，…．第n次倒出的水量是升的，……，按照这种倒水的方式，第n次倒出水后，还剩下水（    ） A．升 B．升 C．0升 D．升 【答案】A 【分析】考查了规律型：数字的变化，此题属于规律性题目，解答此题的关键是根据题目中的已知条件找出规律，按照此规律再进行计算即可．注意．根据题目中第1次倒出升水，第2次倒出水量是升的，第3次倒出水量是升的，第4次倒出水量是升的…，第n次倒出的水量是升的…，可知按照这种倒水的方法，第n次倒出水后，还剩下水升水． 【详解】解：∵ ． 故按此按照这种倒水的方法，这1升水经n次后还有升水． 故选：A． 【变式3】（2025九年级·江苏·专题练习）观察以下等式： 第1个等式；第2个等式；第3个等式：；第4个等式：；第5个等式；…… （1）按照以上规律，写出第6个等式：__________________________． （2）写出第n个等式：__________________________． 【答案】 【分析】本题考查了数字的变化规律，观察等式并找到规律是解题关键． （1）按照所给的等式，逐项探究规律，写出第个等式即可； （2）根据（1）得到的规律，写出第个等式，再通分，利用分式的加减法则计算即可解答此题． 【详解】解：（1）第个等式：， 第个等式：， 第个等式：， 第个等式：， 第个等式：． 第个等式为：， 故答案为：； （2）， 证明： ， ， ∴左边=右边， 故答案为：． 【变式4】（25-26八年级下·江苏宿迁·期末）观察下列等式： 第1个等式：， 第2个等式：， 第3个等式：， …… 按照以上规律，解答下列问题： (1)写出第4个等式：______； (2)试用含有正整数n的式子表示这个规律，并加以证明； (3)运用规律计算：． 【答案】(1) (2)；证明见解析 (3) 【分析】本题考查数字规律型，观察已知的式子总结规律是解题的关键． （1）观察题中的式子求解即可； （2）根据题中的等式进行归纳总结即可求解； （3）利用（2）中的规律，再裂项进行计算即可． 【详解】（1）解：第1个等式：， 第2个等式：， 第3个等式：， 第4个等式：； （2）解：第1个等式：， 第2个等式：， 第3个等式：， …… 第n个等式：； 左边， 右边 ， ∴左边右边； （3）解： ． 题型三：按要求构造分式 【典例】（25-26七年级下·北京·月考）浓度为的盐水m公斤与浓度为的盐水n公斤混合后的溶液浓度是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了列分式．根据溶液浓度两种浓度的盐水中的盐的总质量两种浓度的盐水总质量，把相关数值代入即可． 【详解】解：∵浓度为的盐水m公斤中含盐，浓度为的盐水n公斤中含盐， ∴混合后溶液的浓度为， 故选：D． 【变式1】（2025八年级上·黑龙江·专题练习）打字员要打一份12000字的文件，第一天她打字，打字速度为w字，第二天打字速度比第一天快了10字，两天打完全部文件，第二天她打字用了______ 【答案】 【分析】本题主要考查了列分式，利用第二天打字用的时间（总字数第一天打的字数）第二天的速度，求解即可． 【详解】解：， ， ∴第二天她打字用了， 故答案为：． 【变式2】（24-25八年级下·江苏无锡·期中）写一个分式同时满足：①只含一个字母x； ②当时，分式的值为0：_______． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题主要考查了分式值为的条件，解题的关键是掌握分式值为的条件．根据分式值为的条件：分子等于零，分母不为零，再构建分式即可进行解答． 【详解】解：“只含有字母，且当时分式的值为”的分式为， 故答案为：（答案不唯一）． 【变式3】（24-25八年级下·江苏·月考）解答下列问题： (1)某项工程，甲队需t天完成，该队每天完成的工作量是多少？ (2)一段长的路，小明步行需，骑自行车所用的时间比步行所用时间的一半少．骑自行车的平均速度是多少？ (3)某商品降价后的售价为a元，该商品的原价是多少元？ 【答案】(1) (2) (3)元 【分析】本题主要考查了列分式，正确理解题意是解题的关键． （1）把工作总量看做单位“1”，根据工作效率等于工作总量除以工作时间即可得到答案； （2）由题意得骑自行车需要的时间为，再根据速度等于路程除以时间即可得到答案； （3）根据题意可得现价是原价的，据此列式求解即可． 【详解】（1）解：∵某项工程，甲队需t天完成， ∴该队每天完成的工作量是； （2）解：由题意得，骑自行车的平均速度是； （3）解：∵某商品降价后的售价为a元， ∴该商品的原价是元． 【变式4】（25-26八年级下·江苏南京·期中）已知一个分式中含有的字母仅是x，且对于任意实数x，分式的值始终为正数，则这个分式是_____．（写出一个正确的答案即可） 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查的是分式的定义以及分式的值的含义，只需要构建一个分子与分母同号且分子不为0的分式即可． 【详解】解：∵一个分式中含有的字母仅是x，且对于任意实数x，分式的值始终为正数， ∴这个分式可以是（答案不唯一）， 故答案为：（答案不唯一）． 题型四：分式有意义的条件 分式有意义：只看分母不为 0，分子不管，别额外给分子设限制。 【典例】（25-26八年级下·江苏徐州·期中）要使分式有意义，则x的取值应满足（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据分式有意义的条件求解． 分式有意义时分母不为零，求解即可得到的取值要求． 【详解】解：分式有意义， ． 解得． 【变式1】（25-26八年级上·江苏泰州·期末）若分式有意义，则x的值不可以是（   ） A． B．π C． D．2 【答案】D 【分析】本题考查分式有意义的条件，根据分式分母不为0的性质，求出x的取值范围，再判断选项即可求解． 【详解】解：∵分式有意义 ∴分母 ∴ 故选：D． 【变式2】（25-26七年级上·上海金山·期末）根据下列表格中的信息，代表的分式可能是（    ） … … … 无意义 * * * … A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了分式有意义的条件，分式值为0的条件． 根据分式有意义的条件排除C、D，根据分式值为0的条件排除A即可． 【详解】解：∵当时，y无意义， ∴分母在时为0， C、D：分母，当时，，不符合； 当时，， A：分子，当时，，不符合； B：分子，当时，，且分母，符合； 故选：B． 【变式3】（25-26七年级下·江苏苏州·月考）若有意义，请写出的取值范围：______． 【答案】 【分析】根据负整数有意义的条件（底数不等于零）列不等式求解即可． 【详解】解：∵有意义， ∴，解得：， ∴的取值范围为． 【变式4】（25-26八年级上·湖南株洲·期末）若分式有意义，则x的取值范围是_____． 【答案】/ 【分析】本题考查的是分式有意义的条件，分式有意义的条件是分母不为零，再进一步求解即可． 【详解】解：分式 有意义，则分母 ， 解得 ． 故答案为 ． 题型五：分式无意义的条件 分式无意义：分母等于 0。 【典例】（25-26八年级上·江苏·期末）如果分式无意义，那么x的取值范围是________． 【答案】 【分析】本题考查了分式无意义的条件，解题的关键是掌握分式无意义的条件，分母为零． 根据分式无意义的条件是分母为零可得，求解即可． 【详解】解：根据分式无意义的条件，可得分母，解得 ， 故答案为：． 【变式1】（25-26七年级上·上海闵行·月考）时，分式无意义，则______． 【答案】 【分析】本题主要考查了分式无意义的条件，关键是掌握分式有意义的条件为分母不等于零．分式无意义的条件是分母为0，由题意得，，即，解方程即可得出答案． 【详解】解：由题意得，，即， 所以， 故答案为：． 【变式2】（25-26八年级上·湖南岳阳·期中）小彤发现一个关于x的分式满足下表信息，则分式可以为（　　） x的取值 … 2 … … 分式的值 … 0 … 无意义 … A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了分式有意义的条件和分式的值为0的条件，根据分式值为0的条件（分子为0且分母不为0）和无意义的条件（分母为0），分别验证各选项是否满足时值为0和时无意义． 【详解】解：当时，分式值为0， 分子为0且分母不为0； 当时，分式无意义， 分母为0， 对于选项A：当时，分子，分母， 分式值不为0，不符合题意； 对于选项B：当时，分母， 分式有意义，不符合题意； 对于选项C：当时，分母， 分式无意义，不符合题意； 对于选项D：当时，分子，分母， 分式值为0； 当时，分母， 分式无意义， 故选D． 【变式3】（2025·山东泰安·一模）根据下列表格中的信息，代表的分式可能是（   ） … 0 1 2 … … 0 无意义 * * * … A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了分式有无意义，及分式的值为0， 根据分式的分子等于0时，分式的值为0，可得分式的分子，再根据分式的分母等于0时，分式无意义得出分母即可. 【详解】解：当时，，可知分式的分子中含有因式； 当时，分式无意义，可知分式的分母中含有因式， 所以y代表的分式可能是. 故选：B. 【变式4】（25-26八年级上·河北唐山·期中）已知当时，分式无意义；当时，此分式的值为0． (1)直接写出的值． (2)在（1）的条件下，当分式的值为正整数时，求整数的值． 【答案】(1)， (2)，， 【分析】本题考查分式有意义的条件以及分式的值，熟练掌握知识点是解题关键； （1）根据分式有意义的条件“分母不为0”列出方程解方程即可得到d的值，再通过分式的值为0时，分子为0，列出方程即可得到c的值； （2）把的值代入分式，然后利用分式的值为正整数进行分情况讨论即可． 【详解】（1）解：当时，分式无意义， ， 解得， 当时，此分式的值为0， ， 解得， （2）把，代入得 因为分式的值为正整数，所以是的正因数，的正因数有、、．当时，；当时，；当时，． 整数的值可能为，，． 题型六：分式值为零的条件 分式值为 0：分子为 0，且分母不为 0，缺一不可。 【典例】（25-26八年级下·江苏无锡·期中）若分式的值为0，则的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分式值为0时需同时满足分子为0、分母不为0，据此计算即可得到结果． 【详解】解：∵分式的值为0， ∴，且， ∴． 【变式1】（2015·山东潍坊·一模）分式的值为0的条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分式值为0需同时满足分子为0，分母不为0，据此计算求解即可． 【详解】解：∵分式的值为0 ∴， ∴， ∴ ∴分式的值为0的条件是． 【变式2】（25-26八年级下·江苏连云港·月考）如果分式的值为零，那么_________． 【答案】 【分析】根据分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零进行解答即可． 【详解】解：∵分式的值为零， ∴且， 解得： 【变式3】（25-26八年级下·四川成都·月考）已知分式的值为，则的值为___________． 【答案】 【分析】本题考查分式值为的条件，绝对值的运算，因式分解，掌握“分式值为的条件”是解题关键． 分式的值为，则分子为且分母不为，求解分子方程并验证分母是否不为． 【详解】解：由分式的值为，得分子，即，解得或， 当时，分母，分式无意义，故舍去； 当时，分母，满足条件． 故答案为：． 【变式4】（25-26八年级下·江苏·月考）已知分式． (1)当时，求分式的值； (2)当为何值时，分式有意义？ (3)当为何值时，分式的值为0？ 【答案】(1) (2)且 (3) 【分析】本题考查的是分式的求值，分式有意义的条件，分式的值为0的条件，掌握分式的基础概念是解本题的关键； （1）直接把代入计算即可； （2）由分母不为0建立不等式求解即可； （3）由分子为0，分母不为0，再求解即可． 【详解】（1）解：当时， ； （2）∵有意义， ∴且， 解得：且； （3）∵的值为0， ∴， 解得：， ∵且， ∴且； ∴； 题型七：分式的求值 分式求值易错点：先化简再代值，代值要保证分母不为 0，别直接硬代、别漏取值范围 【典例】（25-26八年级上·江苏南通·月考）已知a是实数，并且，则代数式的值是（   ） A．2023 B．2024 C．2025 D．2026 【答案】C 【分析】本题考查分式的求值，先根据，得到，，再利用整体代入法，进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵当时，，等式不成立， ∴， ∴， ∴ ∴ ； 故选C． 【变式1】（2025·河南新乡·一模）已知，则=（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了分式的化简，首先根据，交叉相乘可得：，通过移项、合并同类项，可得：，再把等式的两边同时除以即可得到． 【详解】解：， ， 移项得：， 合并同类项得：， 可得：． 故选：D． 【变式2】（25-26八年级上·山东德州·月考）阅读与思考： 例如：，求的值． 解：由可知，，即， ∴，∴． 我们把以上这种解题方法叫做倒数法，请你仿照上述方法，解决下面问题： (1)，则___________ ． (2)①若，求的值； ②已知，求的值． 【答案】(1)； (2)①；②． 【分析】本题考查了分式的值和完全平方变形求值，理解题干中给出的方法是解题的关键． （1）先用倒数法求出，再计算求值即可； （2）①先用倒数法求出，再求解，最后求解的倒数即可；②先用倒数法求出，再用完全平方变形求解，最后代入求解即可． 【详解】（1）解：∵由可知， ∴， 即：， ∴； （2）①由，得， 则， ∴． ②解：由可知， 可得：， 即， ∴， ∴， ∴． 【变式3】（25-26八年级上·贵州铜仁·月考）在数学学习阶段，我们常常会利用一些变形技巧来简化式子，解答问题． 材料一：在解决某些分式问题时，倒数法是常用的变形技巧之一，所谓倒数法，即把式子变成其倒数形式，从而运用分式的化简，以达到计算目的． 例：已知：，求代数式的值． 解：因为，所以，即，所以． 所以． 根据材料解答问题： (1)已知，求及的值； (2)已知，求的值． 【答案】(1)， (2)11 【分析】本题主要考查了分式的求值，完全平方公式，正确理解题意利用倒数法求解是解题的关键． （1）利用倒数法可推出，再根据可求出的值，则可根据求出的值； （2）利用倒数法推出，，再把所求式子变形为，根据可得答案． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴ ． 【变式4】（25-26八年级上·江苏南通·月考）综合与实践：探究代数式的 “奥秘”． x 1 2 3 2 观察表格中的数据，探究规律，并解决以下问题： (1)补全上面表格中的数据； (2)已知当和时，分式的值相等，则___________． (3)试说明的值一定不小于2． 【答案】(1)；；2； (2)或或或 (3)见解析 【分析】本题考查了分式的求值，完全平方公式的应用，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）将，，，分别代入计算即可得解； （2）由表格中的规律可以看出，当和，相等、互为倒数，互为相反数、互为负倒数时，分式的值相等，由此计算即可得出结果； （3）结合完全平方公式计算即可得出结果． 【详解】（1）解：当时，； 当时，； 当时，； 当时，； （2）解：由表格中的规律可以看出，当和，相等、互为倒数、互为相反数、互为负倒数时，分式的值相等． ∴或或或， ∴或或或， ∴当时，， 当时，， 当时，， 当时，； 综上所述，的值为或或或． （3）解：∵． ∴． 即的值一定不小于2． 题型八：求分式值为正（负）数时未知数的取值范围 【典例】（25-26八年级上·湖南长沙·月考）若分式的值为正，则的取值范围是(    ) A． B． C． D．且 【答案】D 【分析】本题考查不等式的解法和分式值的正负条件．解不等式时当未知数的系数是负数时，两边同除以未知数的系数需改变不等号的方向，当未知数的系数是正数时，两边同除以未知数的系数不需改变不等号的方向． 根据题意，因为任何实数的平方都是非负数，分母不能为0，所以分母是正数，主要分子的值是正数则可，从而列出不等式求解即可． 【详解】解：由题意得，，且， ∵分式的值为正， ∴， ∴， ∴且． 故选：D． 【变式1】（25-26八年级上·山东威海·期末）若分式的值为负数，则x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了分式值的正负条件及解一元一次不等式．由于分式的值为负数，而分母一定是正数，可知分子，然后解不等式即可． 【详解】解：∵分式的值为负数，而分母， ∴， 解得． 故选：D． 【变式2】（25-26八年级上·北京顺义·期中）如果分式的值是正数，那么的取值范围是____，若分式的值为整数，则的整数值为_____． 【答案】 ， 【分析】本题考查根据分式的值，求参数的范围，根据分式的值为正数，得到，根据的值为整数，得到，求出的整数值即可． 【详解】解：∵的值为正数， ∴， ∴； ∵的值为整数， ∴， ∴； 故的整数值为； 故答案为：；． 【变式3】（25-26八年级上·江苏·月考）（1）当x取什么值时，分式的值为0； （2）当x取什么值时，分式的值为正； （3）当x取什么值时，分式的值为负． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】本题考查了分式的值为0、分式的值为正数或负数的条件，熟练掌握分式的值为0、分式的值为正数或负数的条件是解决本题的关键，注意讨论分式的值的前提是要使分式有意义． （1）根据分式值为0的条件解答即可； （2）分式的值为正即分子分母同号，由，得，从而得出，解答即可； （3）分式的值为负即分子分母异号，由，得，从而得出，解答即可． 【详解】解：（1）由，得， 当时，； ∴当时，分式的值为0； （2）由分式的值为正，得与同号， ∵， ∴， ∴， 解得： （3）由分式的值为负，得与异号， ∵， ∴， ∴， 解得：， 【变式4】（25-26八年级上·河北石家庄·月考）已知，x取哪些值时： (1)y的值是正数； (2)y的值是负数； (3)y的值是零； (4)分式无意义． 【答案】(1) (2)x＜或x＞2 (3)x＝2 (4)x＝ 【分析】（1）分式的值为正数，则分子、分母同号，列不等式组求解； （2）分式的值是负数，则分子、分母异号，列不等式组求解； （3）分式的值为0，则分子为0，分母不等于0； （4）分式无意义，则分母等于0． 【详解】（1）根据题意，得 或， 解得； （2）根据题意，得 或， 解得x＜或x＞2； （3）根据题意，得 ， 解得x＝2； （4）根据题意，得 3﹣4x＝0， x＝． 【点睛】本题考查了分数的取值范围，分式的值为0，则分子等于0，分母不等于0；分式有意义，则分母不等于0；分式无意义，则分母等于0；分式的值为正数，则分子、分母同号；分式的值为负数，则分子、分母异号． 题型九：求使分式值为整数时未知数的整数值 【典例】（25-26八年级上·黑龙江牡丹江·期末）能使分式的值为整数的整数的值有_____个（    ） A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】B 【分析】本题考查分式化简与整数解的问题．首先对分式进行因式分解并化简，得到一个更简单的表达式，然后根据整数条件分析分母可能的取值情况，从而确定满足条件的整数的个数．需要注意原分式在时无定义，需排除该情况． 【详解】解：整理得： （）. 设 （ 为整数）， 则 ， ∵ 为整数，∴ 为整数，故 为整数， ∴ 为 2 的约数，即 . 当 时，，; 当 时，，; 当 时，，; 当 时，，. 所有 均满足 ， ∴ 整数 的值有 4 个. 【变式1】（2024八年级下·江苏·专题练习）若取整数，则使分式的值为整数的值有（   ） A．3个 B．4个 C．6个 D．8个 【答案】B 【分析】本题主要考查了分式的值是整数的条件，分离假分式是解题的关键．先将假分式分离可得出，根据题意可知是6的整数约数，求解即可获得答案． 【详解】解：， 由题意可知，是6的整数约数， ∴，，，，1，2，3，6， 解得，，，0，1，，2，， 其中的值为整数为，0，1，2，共4个． 故选：B． 【变式2】（25-26八年级上·云南昆明·期末）若分式的值为整数，则符合条件的所有整数的和为__________． 【答案】 【分析】本题考查了分式的值，根据分式的值是整数列式计算是解题的关键．根据分式的值为整数，则分母 必须是分子的约数，即，，，分别求解，并筛选出整数解，最后求和即可． 【详解】解：分式的值为整数， 是的约数，即，，， 当时，； 当时，； 当时，，不是整数； 当时，，不是整数； 当时，，不是整数； 当时，，不是整数， 符合条件的整数为和， 它们的和为； 故答案为：． 【变式3】（2026八年级下·江苏·专题练习）当整数x取何值时，分式的值是整数？ 【答案】当整数x取，0，2，3，5，6，8，12时，分式的值是整数 【分析】本题考查的是分式的值，把分式化为，再进一步求解即可． 【详解】解：， ∴能整除8的，又使分母不为0的可以为，，，， ∴或或或， ∴当整数x取，0，2，3，5，6，8，12时，分式的值是整数． 【变式4】（25-26八年级下·江苏连云港·期中）分式中，在分子、分母都是整式的情况下，如果分子的次数低于分母的次数，称这样的分式为真分式．例如，分式，是真分式．如果分子的次数不低于分母的次数，称这样的分式为假分式．例如，分式，是假分式．一个假分式可以化为一个整式与一个真分式的和，例如，． (1)将假分式化为一个整式与一个真分式的和是_________； (2)将假分式化为一个整式与一个真分式的和； (3)若分式的值为整数，求整数x的值． 【答案】(1) (2) (3)或0 【分析】本题考查了真分式及分式的加减法．理解题目给出的定义是解决问题的关键． （1）逆用同分母分式加减法法则，仿照例题求解即可； （2）逆用同分母分式加减法法则，仿照例题求解即可； （3）先把分式化为真分式，再根据值为整数，x的值为整数确定x的值． 【详解】（1）解： ， 答案为：； （2）解： ； （3）解：． 分式的值为整数，且为整数， ， 或0． 题型十：倒数法求分式的值 【典例】（25-26八年级下·江苏宿迁·月考）阅读下列解题过程： 已知，求的值． 解：由，知，所以，即， ∴， ∴的值为的倒数，即． 以上解法中先将已知等式的两边“取倒数”，然后求出待求式子倒数的值，我们把此题的这种解法叫做“倒数法”，请你利用“倒数法”解决下面问题： (1)已知，求的值； (2)已知，求的值． 【答案】(1)； (2)． 【分析】（1）把已知等式变形求出的值，再把所求的式子变形后进行计算即可； （2）把已知等式变形求出的值，再把所求的式子变形后进行计算即可； 【详解】（1）由，知， ∴，即． ∴． ∴的值为2的倒数，即． （2）由， ∴，即， 则 ； 【点睛】本题考查了分式的加减法，倒数，理解例题的思路是解题的关键． 【变式1】（25-26八年级上·山东聊城·期中）阅读理解：著名数学教育家波利亚曾说：“对一个数学问题，改变它的形式，变换它的结构，直到发现有价值的东西，这是数学解题的一个重要原则”． 材料1：已知，求分式的值． 解：∵， ∴， ∴． 解析：这道题在解题过程中利用了倒数，所以可以讲这种方法称为倒数法． 材料2：将分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式． 解：． 解析：这种方法可以称为分离常数法． 根据材料，解答下面问题： (1)已知，求分式的值； (2)若分式的值为整数，求整数b的值； (3)已知，求分式的值． 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】本题主要考查了分式的求值，熟练掌握倒数法和分离常数法是解题的关键． （1）求出的结果，再利用倒数法即可得到答案； （2）先利用分离常数法把变形为，则由题意可得为整数，则或，解之即可得到答案； （3）利用分离常数法把为，据此可求出，再利用倒数法即可得到答案． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解： ， ∵分式的值为整数， ∴为整数，即为整数， 又∵ ∴或， ∴或； （3）解：∵ ∴ ， ∴． 【变式2】（25-26八年级上·山东烟台·期中）新考法【阅读学习】阅读下面的解题过程． 已知，求的值． 解：由，知， ，即， ， 的值为． 【类比探究】上题的解法叫做“倒数法”，请你利用“倒数法”解题 已知，求的值； 【拓展延伸】已知，，，求的值． 【答案】类比探究：；拓展延伸： 【分析】本题考查了求分式的值，采用倒数法是解此题的关键． 类比探究：由题意可得，从而得出，即，再求出，即可得解； 拓展延伸：由题意可得，且，从而得出．再由倒数法求解即可． 【详解】解：类比探究：由，知， ，即， ， ， ． 拓展延伸：∵，，， ，且， ． ， ． 【变式3】（2022八年级上·江苏·专题练习）阅读理解： 例题：已知实数满足，求分式的值． 解：． 的倒数 ∴ (1)已知实数满足，求分式的值． (2)已知实数满足，求分式的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了分式的求值： （1）仿照题意求解即可； （2）先求出，再根据求出的值即可得到答案． 【详解】（1）解：∵， ∴ ， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴ ， ∴． 【变式4】（25-26八年级上·山东泰安·期中）阅读下列解题过程：已知，求的值． 解：由，知，所以，即． 的值为的倒数，即． 以上解法中先将已知等式的两边“取倒数”，然后求出待求式子倒数的值，我们把此题的这种解法叫做“倒数法”，请你利用“倒数法”解决下面问题： (1)已知，求的值． (2)已知，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了分式的加减法，倒数，理解例题的思路是解题的关键． （1）把已知等式变形求出的值，再把所求的式子变形后进行计算即可； （2）把已知等式变形求出的值，再把所求的式子变形后进行计算即可． 【详解】（1）解：， ，即， ， ； （2）， ，即， ， ， ． 题型十一：分式的新定义问题 【典例】（24-25八年级下·江西鹰潭·月考）定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“和谐分式”．如： ； ， 则和都是“和谐分式”． (1)下列分式中，属于“和谐分式”的是：________（填序号）； ①；②；③；④ (2)将“和谐分式”化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式为：________； (3)当取什么整数时，“和谐分式”的值为整数？ 【答案】(1)①③④是“和谐分式” (2) (3)的值为4或2或14或时，“和谐分式”的值为整数 【分析】本题主要考查分式的新定义； （1）根据和谐分式的定义逐一判断即可； （2）根据和谐分式的定义计算求解即可； （3）根据题意得到当为整数时，的值也要为整数，得到当或时，分式的值为整数，计算求解即可． 【详解】（1）解：①； ②； ③； ④， ①③④是“和谐分式”． 故答案为：①③④． （2）解： ， ． 故答案为：． （3）解：的值为整数， 当为整数时，的值也要为整数， 当或时，分式的值为整数， 或或或， 即当的值为4或2或14或时，“和谐分式”的值为整数． 【变式1】（24-25六年级下·上海徐汇·期末）阅读材料；对于未知数为的二元一次方程组，将定义为“方程组的解距”，当解距为1时，我们就说方程组的解具有“单位差”．例如：方程组的解为，由于，所以其解距为2；方程组的解为，由于，所以其解具有“单位差”． (1)判断方程组的解是否具有“单位差”并说明理由； (2)已知关于x，y的二元一次方程组的解具有“单位差”，求a的值； (3)若关于x，y的二元一次方程组的解距是整数，写出所有满足条件的整数． 【答案】(1)具有“单位差”，理由见解析 (2)或 (3)或或或 【分析】本题主要考查了二元一次方程组，分式的约分． （1）先解方程组得到，，再根据，得到方程组的解具有“单位差”； （2）先求出∴，再由可得，根据二元一次方程组的解具有“单位差”，列方程求解即可； （3）先消元得到， ，再根据解距是整数得到或，解方程即可． （3） 【详解】（1）解：方程组的解具有“单位差”，理由如下： ， ，得， 将代入得，， 解得， ∴， ∴方程组的解具有“单位差”； （2）解：， 得，， ∴， ∴由可得， ∵关于x，y的二元一次方程组的解具有“单位差”， ∴， 解得或； （3）解：， 得，， ∴， 将代入得，， 解得， ∴ ∴解距， ∵关于x，y的二元一次方程组的解距是整数， ∴或， 解得或或或． 【变式2】（25-26八年级下·福建泉州·期中）定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”． 如：，这样的分式就是假分式；再如：，这样的分式就是真分式． 类似的，假分式也可以化为带分式（整式与真分式的和的形式）． 如：；再如：． (1)下列各式：；；；，是假分式的有 （填序号）． (2)将假分式化为带分式的形式． (3)已知整数使分式的值为整数，求出满足条件的所有整数的值． (4)一个三位数，个位数字是百位数字的两倍．另一个两位数，十位数字与的百位数字相同，个位数字与的十位数字相同．若这个三位数的平方能被这个两位数整除，求满足条件的两位数． 【答案】(1) (2) (3)或或或或或或或 (4)满足条件的两位数为 【分析】（1）根据“假分式”的定义直接进行求解即可； （2）根据分式的性质进行化简即可； （3）由题意可把原分式化简为，然后根据是整数进行求解即可； （4）设的百位数字为，十位数字为，则的个位数字为，的十位数字为，个位数字为，则有，进而根据，，且，均为整数，进行分类求解即可． 【详解】（1）解：根据“假分式”的定义可知：①③④都为假分式； （2）解：； （3）解：， 是整数，分式的值也是整数， 是整数， 或或或或或或或． （4）解：设的百位数字为，十位数字为，则的个位数字为，的十位数字为，个位数字为， ，， = = ． 由题意可得，，，且，均为整数． 这个三位数的平方能被这个两位数整除， 为整数，即为整数， 当时，，没有满足题意的值， 当时，，没有满足题意的值， 当时，，， 当时， ，没有满足题意的值， 综上，满足条件的两位数为． 【变式3】（24-25八年级下·河南南阳·月考）通过小学的学习我们知道，分数可分为“真分数”和“假分数”，而假分数都可化为带分数，如：．我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”． 如这样的分式就是假分式：这样的分式就是真分式．类似地，假分式也可以化为带分式（即：整式与真分式的和的形式）． 如． 解决下列问题： (1)分式是_____分式（填“真”或“假”）； (2)将假分式化为带分式； (3)若分式的值为整数，x为整数，求分式的值． 【答案】(1)真 (2) (3)． 【分析】本题主要考查了分式的定义，分式的值，分式的运算，本题是阅读型题目，连接题干中的新定义并熟练应用是解题的关键． （1）利用真分式和假分式的定义解答即可； （2）利用题干中的方法化简运算即可； （3）利用整数和整除的意义讨论解答即可． 【详解】（1）解：由题意得：分式是真分式， 故答案为：真； （2）解： ； （3）解：； ∵分式的值为整数，x为整数． ∴或， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， ∴整数的值是． 【变式4】（24-25八年级上·湖北孝感·期末）阅读下列材料：我们知道，分子比分母小的数叫做“真分数”，分子比分母大，或者分子，分母同样大的分数，叫做“假分数”．类似的，我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”．如：，这样的分式就是假分式：再如：，这样的分式就是真分式，假分数可以化成带分数的形式，类似的，假分式也可以化为带分式（即整式与真分式的和的形式）． 如：． 解决下列问题： (1)分式是______（填“真分式”或“假分式”）；将假分式化为带分式为______； (2)如果分式的值为整数，求满足条件的整数的值； (3)若分式的值为，直接写出的取值范围是______． 【答案】(1)真分式； (2)，，，，， (3) 【分析】本题考查分式的化简求值、新定义． （1）根据假分式和真分式的定义判断分式是真分式还是假分式；根据题目中的例子，可以将假分式化为带分式； （2）先将分式化为带分式，从而可以求得x取什么整数时，该式的值为整数； （3）先将分式化为带分式得，再由推出，进而得，即可得出答案． 【详解】（1）解：由题意可得，分式是真分式， ， 故答案为：真分式；； （2）解：∵， ∴或或， ∴当或5或4或2或1或时，的值为整数； （3）解：由题意得，， ∵， ∴， ∴， ∴即， 故答案为：． 1．（25-26八年级下·江苏苏州·期中）根据下列表格中的信息，y代表的分式可能是（   ） x … 0 1 2 … y … * 0 * 无意义 * … A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据分式无意义的条件及分式的值为0的条件即可判断． 【详解】解：A、当时，分母，有意义，当时，分子，分母，无意义，故选项不符合题意； B、当时，分母，无意义，当时，分子，分母，的值为0，故选项符合题意； C、当时，分母，有意义，当时，分子，分母，的值不为0，故选项不符合题意； D、当时，分母，无意义，当时，分子，分母，的值不为0，故选项不符合题意； 2．（2026·河北廊坊·一模）已知，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题为分式化简求值题，先化简分子，再用平方差公式分解分母，约分后整体代入已知条件计算即可． 【详解】解： ∵ ∴原式 3．（25-26八年级下·江苏·月考）若，则分式的值等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将化为，根据计算即可． 【详解】解： ． 4．（2026·河北邢台·一模）已知为正整数，若使分式的结果为整数，则所有的值的和为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】B 【分析】先对分式分离常数变形，根据分式值为整数，得到是的因数，结合是正整数的条件找出所有符合要求的，再计算它们的和即可。 【详解】解：∵ ， ∵分式的值为整数，为正整数，分式有意义要求， ∴为整数，即是的因数，若为负因数，则对应为非正整数，不符合要求，舍去， ∴的可取值为， 对应得 所有符合条件的的值的和为 ． 5．（25-26八年级下·山东济南·期中）在计算分式的值时，若x分别取2026，2025，2024，…，2，1，0，1，，，…，，，，再将所得结果相加之和等于（    ） A． B．2026 C．2027 D． 【答案】A 【分析】先求出若x分别取，所得结果相加之和等于，时分式值为，进而计算加法即可． 【详解】解：当（a为正整数）时，，当时，， ∴若x分别取，所得结果相加之和等于， 当时，， ∴若x分别取2026，2025，2024，…，2，1，0，1，，，…，，，，所得结果相加之和等于． 6．（25-26八年级下·河南周口·月考）分式有意义的条件是_____． 【答案】 【分析】根据分式有意义，分母不为，即可得出结果． 【详解】解：若分式有意义， 则， 得． 7．（25-26八年级上·宁夏吴忠·期中）若分式的值为0，则x的值为_________． 【答案】 【分析】根据分式的值为零时，分子等于零，且分母不等于零．据此列出关于x的不等式和方程进行解答即可． 解题的关键在于理清分式的值为零时，分子等于零，且分母不等于零． 【详解】解：分式的值为0， ，， 解得，， ． 8．（2022·广西防城港·一模）若，则的值为________． 【答案】 【分析】将原式进行变形，再把代入化简结果即可求出答案． 【详解】解： ； 当时，原式． 9．（25-26八年级下·四川乐山·月考）已知，则的值为_______． 【答案】 【分析】通过对已知等式变形得到的值，再利用完全平方公式变形所求分式，即可计算出结果. 【详解】解：，可知，， ∴， 整理，得， 方程两边同时除以得：， ∴， ∴， ∴. 10．（25-26八年级下·湖南衡阳·月考）对于任意正有理数a，规定，例如：，，……，利用以上规律计算：___________． 【答案】4051 【分析】本题主要考查数字的变化规律，解答的关键是由所给的数字得到；根据已知的规定，分别计算出，，，，，的结果，总结出其规律为，再求所求的式子的值即可． 【详解】解：∵， ∴，，，，，，，， ∴，，，， ∴ 11．（25-26八年级下·江苏·月考）要使式子有意义，求的取值范围，并求当时式子的值． 【答案】且， 【分析】根据零指数幂的底数不能为零，负整数指数幂的底数不能为零，可得的取值范围，再把代入代数式计算即可求解． 【详解】解：∵式子有意义， ∴且， 解得且， 当时， ． 12．（25-26九年级下·北京·月考）已知，求代数式的值． 【答案】 【分析】易得，将分子分母进行因式分解后，整体代入法求值即可. 【详解】解：∵， ∴， ∴. 13．（25-26八年级上·河南周口·期末）已知分式的值为0，求分式的值． 【答案】． 【分析】根据分式的值为零时，分子等于零，且分母不等于零．据此列出关于x的不等式和方程进行解答即可． 【详解】解：因为 所以且x+1≠0， 解得x=1． 代入得： ． 14．（2026八年级下·江苏·专题练习）已知分式． (1)当时，分式的值为0，求的值； (2)若，求分式的值． 【答案】(1)1 (2) 【分析】此题考查了分式为零的条件，解二元一次方程组，分式的求值等知识，解题的关键是掌握以上知识点． （1）根据题意得到的值为0，然后根据分式值为0的条件：分子为0且分母不为0求解即可； （2）首先根据绝对值和平方的非负性得到，求出，然后代入求解即可． 【详解】（1）解：∵当时，分式的值为0， ∴的值为0， ∴， 解得， ∴； （2）解：∵ ∴ 解得 ∴． 15．（25-26八年级下·江苏·月考）观察下列分式：，，，，…．其中． (1)试写出第5个分式 ． (2)试写出第（为正整数）个分式． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了分式的规律探究，掌握分别观察符号、分子、分母的变化规律，再整合得到通式是解题的关键． （1）拆解分式的符号、分子的指数、分母的指数三部分，分别推导第项的规律，再组合； （2）拆解分式的符号、分子的指数、分母的指数三部分，用含的代数式表示规律，再组合． 【详解】（1）解：观察分式符号：第个正，第个负，第个正，第个负，规律为奇正偶负，第个为正； 分子中的指数：， 第个指数为； 分母中的指数：， 第个指数为， 所以第个分式为． （2）解：符号：； 分子的指数：； 分母的指数：， 故第个分式为． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 考点09 分式的概念 考点一：分式 一般地，如果A、B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子叫做分式，其中A叫做分子，B叫做分母. 考点二：分式有意义、无意义或值为0的条件 对于分式A/B来说 条件 分式有意义 分母不等于零，即B≠0 分式无意义 分母等于零，即B=0 分式值为0 A=0且B≠0 注意：分式的值是在分式有意义的前提下考虑的. 题型一：分式的判断 看化简前原式，分母含字母就是分式，不含就不是，别被约分后迷惑。 【典例】（25-26八年级下·江苏淮安·期中）下列各式是分式的是（   ） A． B． C． D． 【变式1】（25-26八年级下·江苏宿迁·期中）下列各式：①，②，③，④中，是分式的有（    ） A．①③ B．③④ C．①② D．①③④ 【变式2】（25-26七年级下·浙江嘉兴·期中）在代数式，，，，中，分式的个数是（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【变式3】（25-26八年级下·江苏泰州·月考）下列代数式，，，，，，，其中分式共有______个． 【变式4】（25-26八年级上·江苏·月考）下列各式：①；②；③；④；⑤；⑥；⑦．其中是分式的有_________，是整式的有_________．（填序号） 题型二：分式的规律性问题 【典例】（25-26八年级上·云南昭通·期末）观察下列式子：，依照此规律，第8个式子是（   ） A． B． C． D． 【变式1】（24-25八年级上·江苏·期末）对于正数x规定，例如：，，则 …………（　　） A． B． C． D． 【变式2】（25-26八年级下·江苏无锡·期中）数学家们曾思考过这个问题：一个容器装有1升水，按照下面的方式将水倒出：第1次倒出升水，第2次倒出的水量是升的，第3次倒出的水量是升的，…．第n次倒出的水量是升的，……，按照这种倒水的方式，第n次倒出水后，还剩下水（    ） A．升 B．升 C．0升 D．升 【变式3】（2025九年级·江苏·专题练习）观察以下等式： 第1个等式；第2个等式；第3个等式：；第4个等式：；第5个等式；…… （1）按照以上规律，写出第6个等式：__________________________． （2）写出第n个等式：__________________________． 【变式4】（25-26八年级下·江苏宿迁·期末）观察下列等式： 第1个等式：， 第2个等式：， 第3个等式：， …… 按照以上规律，解答下列问题： (1)写出第4个等式：______； (2)试用含有正整数n的式子表示这个规律，并加以证明； (3)运用规律计算：． 题型三：按要求构造分式 【典例】（25-26七年级下·北京·月考）浓度为的盐水m公斤与浓度为的盐水n公斤混合后的溶液浓度是（    ） A． B． C． D． 【变式1】（2025八年级上·黑龙江·专题练习）打字员要打一份12000字的文件，第一天她打字，打字速度为w字，第二天打字速度比第一天快了10字，两天打完全部文件，第二天她打字用了______ 【变式2】（24-25八年级下·江苏无锡·期中）写一个分式同时满足：①只含一个字母x； ②当时，分式的值为0：_______． 【变式3】（24-25八年级下·江苏·月考）解答下列问题： (1)某项工程，甲队需t天完成，该队每天完成的工作量是多少？ (2)一段长的路，小明步行需，骑自行车所用的时间比步行所用时间的一半少．骑自行车的平均速度是多少？ (3)某商品降价后的售价为a元，该商品的原价是多少元？ 【变式4】（25-26八年级下·江苏南京·期中）已知一个分式中含有的字母仅是x，且对于任意实数x，分式的值始终为正数，则这个分式是_____．（写出一个正确的答案即可） 题型四：分式有意义的条件 分式有意义：只看分母不为 0，分子不管，别额外给分子设限制。 【典例】（25-26八年级下·江苏徐州·期中）要使分式有意义，则x的取值应满足（    ） A． B． C． D． 【变式1】（25-26八年级上·江苏泰州·期末）若分式有意义，则x的值不可以是（   ） A． B．π C． D．2 【变式2】（25-26七年级上·上海金山·期末）根据下列表格中的信息，代表的分式可能是（    ） … … … 无意义 * * * … A． B． C． D． 【变式3】（25-26七年级下·江苏苏州·月考）若有意义，请写出的取值范围：______． 【变式4】（25-26八年级上·湖南株洲·期末）若分式有意义，则x的取值范围是_____． 题型五：分式无意义的条件 分式无意义：分母等于 0。 【典例】（25-26八年级上·江苏·期末）如果分式无意义，那么x的取值范围是________． 【变式1】（25-26七年级上·上海闵行·月考）时，分式无意义，则______． 【变式2】（25-26八年级上·湖南岳阳·期中）小彤发现一个关于x的分式满足下表信息，则分式可以为（　　） x的取值 … 2 … … 分式的值 … 0 … 无意义 … A． B． C． D． 【变式3】（2025·山东泰安·一模）根据下列表格中的信息，代表的分式可能是（   ） … 0 1 2 … … 0 无意义 * * * … A． B． C． D． 【变式4】（25-26八年级上·河北唐山·期中）已知当时，分式无意义；当时，此分式的值为0． (1)直接写出的值． (2)在（1）的条件下，当分式的值为正整数时，求整数的值． 题型六：分式值为零的条件 分式值为 0：分子为 0，且分母不为 0，缺一不可。 【典例】（25-26八年级下·江苏无锡·期中）若分式的值为0，则的值是（   ） A． B． C． D． 【变式1】（2015·山东潍坊·一模）分式的值为0的条件是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26八年级下·江苏连云港·月考）如果分式的值为零，那么_________． 【变式3】（25-26八年级下·四川成都·月考）已知分式的值为，则的值为___________． 【变式4】（25-26八年级下·江苏·月考）已知分式． (1)当时，求分式的值； (2)当为何值时，分式有意义？ (3)当为何值时，分式的值为0？ 题型七：分式的求值 分式求值易错点：先化简再代值，代值要保证分母不为 0，别直接硬代、别漏取值范围 【典例】（25-26八年级上·江苏南通·月考）已知a是实数，并且，则代数式的值是（   ） A．2023 B．2024 C．2025 D．2026 【变式1】（2025·河南新乡·一模）已知，则=（    ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26八年级上·山东德州·月考）阅读与思考： 例如：，求的值． 解：由可知，，即， ∴，∴． 我们把以上这种解题方法叫做倒数法，请你仿照上述方法，解决下面问题： (1)，则___________ ． (2)①若，求的值； ②已知，求的值． 【变式3】（25-26八年级上·贵州铜仁·月考）在数学学习阶段，我们常常会利用一些变形技巧来简化式子，解答问题． 材料一：在解决某些分式问题时，倒数法是常用的变形技巧之一，所谓倒数法，即把式子变成其倒数形式，从而运用分式的化简，以达到计算目的． 例：已知：，求代数式的值． 解：因为，所以，即，所以． 所以． 根据材料解答问题： (1)已知，求及的值； (2)已知，求的值． 【变式4】（25-26八年级上·江苏南通·月考）综合与实践：探究代数式的 “奥秘”． x 1 2 3 2 观察表格中的数据，探究规律，并解决以下问题： (1)补全上面表格中的数据； (2)已知当和时，分式的值相等，则___________． (3)试说明的值一定不小于2． 题型八：求分式值为正（负）数时未知数的取值范围 【典例】（25-26八年级上·湖南长沙·月考）若分式的值为正，则的取值范围是(    ) A． B． C． D．且 【变式1】（25-26八年级上·山东威海·期末）若分式的值为负数，则x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26八年级上·北京顺义·期中）如果分式的值是正数，那么的取值范围是____，若分式的值为整数，则的整数值为_____． 【变式3】（25-26八年级上·江苏·月考）（1）当x取什么值时，分式的值为0； （2）当x取什么值时，分式的值为正； （3）当x取什么值时，分式的值为负． 【变式4】（25-26八年级上·河北石家庄·月考）已知，x取哪些值时： (1)y的值是正数； (2)y的值是负数； (3)y的值是零； (4)分式无意义． 题型九：求使分式值为整数时未知数的整数值 【典例】（25-26八年级上·黑龙江牡丹江·期末）能使分式的值为整数的整数的值有_____个（    ） A．5 B．4 C．3 D．2 【变式1】（2024八年级下·江苏·专题练习）若取整数，则使分式的值为整数的值有（   ） A．3个 B．4个 C．6个 D．8个 【变式2】（25-26八年级上·云南昆明·期末）若分式的值为整数，则符合条件的所有整数的和为__________． 【变式3】（2026八年级下·江苏·专题练习）当整数x取何值时，分式的值是整数？ 【变式4】（25-26八年级下·江苏连云港·期中）分式中，在分子、分母都是整式的情况下，如果分子的次数低于分母的次数，称这样的分式为真分式．例如，分式，是真分式．如果分子的次数不低于分母的次数，称这样的分式为假分式．例如，分式，是假分式．一个假分式可以化为一个整式与一个真分式的和，例如，． (1)将假分式化为一个整式与一个真分式的和是_________； (2)将假分式化为一个整式与一个真分式的和； (3)若分式的值为整数，求整数x的值． 题型十：倒数法求分式的值 【典例】（25-26八年级下·江苏宿迁·月考）阅读下列解题过程： 已知，求的值． 解：由，知，所以，即， ∴， ∴的值为的倒数，即． 以上解法中先将已知等式的两边“取倒数”，然后求出待求式子倒数的值，我们把此题的这种解法叫做“倒数法”，请你利用“倒数法”解决下面问题： (1)已知，求的值； (2)已知，求的值． 【变式1】（25-26八年级上·山东聊城·期中）阅读理解：著名数学教育家波利亚曾说：“对一个数学问题，改变它的形式，变换它的结构，直到发现有价值的东西，这是数学解题的一个重要原则”． 材料1：已知，求分式的值． 解：∵， ∴， ∴． 解析：这道题在解题过程中利用了倒数，所以可以讲这种方法称为倒数法． 材料2：将分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式． 解：． 解析：这种方法可以称为分离常数法． 根据材料，解答下面问题： (1)已知，求分式的值； (2)若分式的值为整数，求整数b的值； (3)已知，求分式的值． 【变式2】（25-26八年级上·山东烟台·期中）新考法【阅读学习】阅读下面的解题过程． 已知，求的值． 解：由，知， ，即， ， 的值为． 【类比探究】上题的解法叫做“倒数法”，请你利用“倒数法”解题 已知，求的值； 【拓展延伸】已知，，，求的值． 【变式3】（2022八年级上·江苏·专题练习）阅读理解： 例题：已知实数满足，求分式的值． 解：． 的倒数 ∴ (1)已知实数满足，求分式的值． (2)已知实数满足，求分式的值． 【变式4】（25-26八年级上·山东泰安·期中）阅读下列解题过程：已知，求的值． 解：由，知，所以，即． 的值为的倒数，即． 以上解法中先将已知等式的两边“取倒数”，然后求出待求式子倒数的值，我们把此题的这种解法叫做“倒数法”，请你利用“倒数法”解决下面问题： (1)已知，求的值． (2)已知，求的值． 题型十一：分式的新定义问题 【典例】（24-25八年级下·江西鹰潭·月考）定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“和谐分式”．如： ； ， 则和都是“和谐分式”． (1)下列分式中，属于“和谐分式”的是：________（填序号）； ①；②；③；④ (2)将“和谐分式”化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式为：________； (3)当取什么整数时，“和谐分式”的值为整数？ 【变式1】（24-25六年级下·上海徐汇·期末）阅读材料；对于未知数为的二元一次方程组，将定义为“方程组的解距”，当解距为1时，我们就说方程组的解具有“单位差”．例如：方程组的解为，由于，所以其解距为2；方程组的解为，由于，所以其解具有“单位差”． (1)判断方程组的解是否具有“单位差”并说明理由； (2)已知关于x，y的二元一次方程组的解具有“单位差”，求a的值； (3)若关于x，y的二元一次方程组的解距是整数，写出所有满足条件的整数． 【变式2】（25-26八年级下·福建泉州·期中）定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”． 如：，这样的分式就是假分式；再如：，这样的分式就是真分式． 类似的，假分式也可以化为带分式（整式与真分式的和的形式）． 如：；再如：． (1)下列各式：；；；，是假分式的有 （填序号）． (2)将假分式化为带分式的形式． (3)已知整数使分式的值为整数，求出满足条件的所有整数的值． (4)一个三位数，个位数字是百位数字的两倍．另一个两位数，十位数字与的百位数字相同，个位数字与的十位数字相同．若这个三位数的平方能被这个两位数整除，求满足条件的两位数． 【变式3】（24-25八年级下·河南南阳·月考）通过小学的学习我们知道，分数可分为“真分数”和“假分数”，而假分数都可化为带分数，如：．我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”． 如这样的分式就是假分式：这样的分式就是真分式．类似地，假分式也可以化为带分式（即：整式与真分式的和的形式）． 如． 解决下列问题： (1)分式是_____分式（填“真”或“假”）； (2)将假分式化为带分式； (3)若分式的值为整数，x为整数，求分式的值． 【变式4】（24-25八年级上·湖北孝感·期末）阅读下列材料：我们知道，分子比分母小的数叫做“真分数”，分子比分母大，或者分子，分母同样大的分数，叫做“假分数”．类似的，我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”．如：，这样的分式就是假分式：再如：，这样的分式就是真分式，假分数可以化成带分数的形式，类似的，假分式也可以化为带分式（即整式与真分式的和的形式）． 如：． 解决下列问题： (1)分式是______（填“真分式”或“假分式”）；将假分式化为带分式为______； (2)如果分式的值为整数，求满足条件的整数的值； (3)若分式的值为，直接写出的取值范围是______． 1．（25-26八年级下·江苏苏州·期中）根据下列表格中的信息，y代表的分式可能是（   ） x … 0 1 2 … y … * 0 * 无意义 * … A． B． C． D． 2．（2026·河北廊坊·一模）已知，则的值为（   ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级下·江苏·月考）若，则分式的值等于（    ） A． B． C． D． 4．（2026·河北邢台·一模）已知为正整数，若使分式的结果为整数，则所有的值的和为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 5．（25-26八年级下·山东济南·期中）在计算分式的值时，若x分别取2026，2025，2024，…，2，1，0，1，，，…，，，，再将所得结果相加之和等于（    ） A． B．2026 C．2027 D． 6．（25-26八年级下·河南周口·月考）分式有意义的条件是_____． 7．（25-26八年级上·宁夏吴忠·期中）若分式的值为0，则x的值为_________． 8．（2022·广西防城港·一模）若，则的值为________． 9．（25-26八年级下·四川乐山·月考）已知，则的值为_______． 10．（25-26八年级下·湖南衡阳·月考）对于任意正有理数a，规定，例如：，，……，利用以上规律计算：___________． 11．（25-26八年级下·江苏·月考）要使式子有意义，求的取值范围，并求当时式子的值． 12．（25-26九年级下·北京·月考）已知，求代数式的值． 13．（25-26八年级上·河南周口·期末）已知分式的值为0，求分式的值． 14．（2026八年级下·江苏·专题练习）已知分式． (1)当时，分式的值为0，求的值； (2)若，求分式的值． 15．（25-26八年级下·江苏·月考）观察下列分式：，，，，…．其中． (1)试写出第5个分式 ． (2)试写出第（为正整数）个分式． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $