精品解析：四川省达州市渠县三汇中学2025-2026学年八年级下学期期中数学试题

四川省达州市渠县三汇中学2025-2026学年八年级下学期期中数学试题 卷面满分：150分 测试时间：120分钟 测试内容：北师大版八下第一章-第三章 A卷（共100分） 一、选择题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 1. 下列命题的逆命题不是真命题的是（ ） A. 对顶角相等 B. 等角对等边 C. 如果，那么 D. 等边三角形的三个内角都相等 2. 下列新能源汽车的车标既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 若，则下列不等式一定成立的是（　　） A. B. C. D. 4. 在平面直角坐标系中，将点先向右平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度后，得到的对应点的坐标为，则点的坐标为（　　） A. B. C. D. 5. 在中，，，， 则（ ） A. B. C. D. 6. 不等式的解集在数轴上表示正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，将绕点逆时针旋转得到，若点落在线段的延长线上，则大小为（ ） A. B. C. D. 8. 若不等式组无解，则m（ ） A. 最大值是4 B. 最小值是4 C. 最大值是 D. 最小值是 二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分） 9. 已知一次函数，且y的值随x值的增大而减小，则m的取值范围为_________． 10. 如图，在△ABC中，BC＝5cm，把△ABC沿直线BC的方向平移到△DEF的位置，若EC＝2cm，则平移的距离为_____cm． 11. 某校举行“学以致用，数你最行”数学知识抢答赛，规则如下：每位选手有基础分20分，需回答20道题，每答对一道题得4分，每答错或不答一道题扣2分．在这次抢答赛中，八年级1班代表队被评为优秀（88分或88分以上），则这个队至少答对了______道题． 12. 如图在中，，是的角平分线，于点D，，周长为12，则的长是________． 13. 如图，在中，，，点D在上，D点在的中垂线上，，则的长为________． 三、解答题（本大题共5小题，14题-15题每小题8分，16-17题每小题10分，18题12分，共48分） 14. 解不等式（组） （1）解不等式： （2）解不等式组： 15. 如图，为的角平分线，，于点，于点，连接交于点． （1）求证：垂直平分； （2）若，猜测与间有何数量关系？请说明理由． 16. “文房四宝”是中国独有的书法绘画工具，即笔、墨、纸、砚，文房四宝之名，起源于南北朝时期．某中学开设了书法社团，计划为学生购买甲、乙两种型号“文房四宝”，经过调查得知：每套甲型号“文房四宝”的价格比每套乙型号的价格贵40元，买5套甲型号和10套乙型号共用1100元． （1）求每套甲、乙型号“文房四宝”的价格分别是多少？ （2）若学校需购进甲、乙两种型号“文房四宝”共120套，根据学生需求，要求购进甲型号“文房四宝”的数量不低于乙型号“文房四宝”数量的3倍，请计算购进甲、乙两种型号“文房四宝”各多少套时花费最少． 17. 如图，在平面直角坐标系中，已知三个顶点的坐标分别是，，． （1）请在图中画出关于原点成中心对称的； （2）将平移后得到，且的对应点是，请在图中画出； （3）求线段平移扫过的面积． 18. 如图，直线与y轴交于点，与x轴交于点E；直线经过点和点，且与相交于点D，连接． （1）求直线和的函数表达式； （2）当x取何值时，？ （3）求的面积； （4）已知点P为x轴上一点，当时，请直接写出满足条件的点P的坐标． B卷（共50分） 一、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分） 19. 已知点与点关于原点对称，则_________． 20. 如果关于x的方程的解不大于1，且m是一个正整数，则x的值为__________． 21. 如图，在等边中，，点在上，且，点是上一动点，连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段．要使点恰好落在上，则的长是_____ ． 22. 对于任意实数，定义一种新运算，等式的右边是通常的加减和乘法运算，例如：．根据上述定义可知的解集为______． 23. 如图，是等腰直角三角形，，点是直线上一动点，连接，取的中点，作点关于直线的对称点，连接，若，当取得最大值时的长为_________． 二、解答题（本大题共3小题，24题8分，25题10分，26题12分，共30分） 24. 如图，中，，，，逆时针旋转一定角度后能与重合，且点恰好为的中点. （1）指出旋转中心，并求出旋转的度数； （2）求出的度数和的长． 25. 已知关于，的方程组的解中，． （1）的取值范围为___________． （2）化简：． （3）在的取值范围中，当为何整数时，不等式的解集为？ 26. 已知是等边三角形． （1）如图1，若，点在线段上，且，连接，求的长； （2）如图2，点是延长线上一点，，交的外角平分线于点，求证：； （3）如图3，若，动点从点出发，沿射线方向移动，以为边在右侧作等边三角形，直线与直线相交于点，当是直角三角形时，请直接写出等边三角形的边长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 四川省达州市渠县三汇中学2025-2026学年八年级下学期期中数学试题 卷面满分：150分 测试时间：120分钟 测试内容：北师大版八下第一章-第三章 A卷（共100分） 一、选择题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 1. 下列命题的逆命题不是真命题的是（ ） A. 对顶角相等 B. 等角对等边 C. 如果，那么 D. 等边三角形的三个内角都相等 【答案】A 【解析】 【分析】理解题意，先写出每个原命题的逆命题，再判断逆命题的真假，即可选出符合要求的选项． 【详解】解：A、原命题：对顶角相等，逆命题：相等的角是对顶角； ∵相等的角不一定是对顶角，例如平行线的同位角相等但不是对顶角， ∴该逆命题是假命题； B、原命题：等角对等边，逆命题：等边对等角，这是真命题； C、原命题：如果 ，那么 ，逆命题：如果 ，那么 ，这是真命题； D、原命题：等边三角形的三个内角都相等，逆命题：三个内角都相等的三角形是等边三角形，这是真命题； 故逆命题不是真命题的是A选项． 2. 下列新能源汽车的车标既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：A、不是轴对称图形，是中心对称图形； B、是轴对称图形，不是中心对称图形； C、不是轴对称图形，是中心对称图形； D、既是轴对称图形又是中心对称图形． 3. 若，则下列不等式一定成立的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据不等式的基本性质逐一判断各选项即可，注意特殊值的情况． 【详解】解：A、∵，不等式两边同时减同一个数，不等号方向不变，∴，故A错误； B、∵，不等式两边同时乘同一个负数，不等号方向改变，∴，故B正确； C、当时，，，此时，故不等式不一定成立，C错误； D、∵，不等式两边同时除以同一个负数，不等号方向改变，∴，故D错误． 4. 在平面直角坐标系中，将点先向右平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度后，得到的对应点的坐标为，则点的坐标为（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据“横坐标右加左减，纵坐标上加下减”的平移规律，逆推即可得到点的坐标． 【详解】解：∵将点先向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度后得到 ， ∴将点先向左平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度后，得到的对应点的坐标为， ∴点的坐标为即． 5. 在中，，，， 则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用直角三角形中角所对的直角边等于斜边的一半，即可计算的长度． 【详解】∵ 在中，，，， ∴ 是的斜边，是角所对的直角边， ∴ ． 6. 不等式的解集在数轴上表示正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解： 去括号得， 移项，合并同类项得， 系数化为1得， 数轴表示如下： ． 7. 如图，将绕点逆时针旋转得到，若点落在线段的延长线上，则大小为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查的是三角形的旋转，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．根据旋转的性质可得出，再根据等腰三角形的性质可求出的度数，此题得解． 【详解】解：根据旋转的性质，可得， ， 故选：B． 8. 若不等式组无解，则m（ ） A. 最大值是4 B. 最小值是4 C. 最大值是 D. 最小值是 【答案】A 【解析】 【分析】先求解第一个不等式得到x的范围，再根据一元一次不等式组无解的条件列出关于m的不等式，求解得到m的取值范围，即可得到结论． 【详解】解：解第一个不等式得， 原不等式组化为 ∵不等式组无解， ∴ 解得 ∴ m的最大值是4． 二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分） 9. 已知一次函数，且y的值随x值的增大而减小，则m的取值范围为_________． 【答案】 【解析】 【分析】根据一次函数的性质，y随x的增大而减小时，一次项系数小于0，据此列出不等式求解即可． 【详解】解：∵一次函数，且y的值随x值的增大而减小， ∴， 解得：． 10. 如图，在△ABC中，BC＝5cm，把△ABC沿直线BC的方向平移到△DEF的位置，若EC＝2cm，则平移的距离为_____cm． 【答案】3 【解析】 【分析】据平移的性质,结合图形,可知线段BE的长度即是平移的距离. 【详解】据图形可得:线段BE的长度即是平移的距离, ∵BC=5cm，, EC=2cm， ∴BE=5-2=3cm. 故答案为:3. 【点睛】本题考查了平移的性质,解题的关键是理解平移的方向,由图形判断平移的方向和距离.注意结合图形解题的思想. 11. 某校举行“学以致用，数你最行”数学知识抢答赛，规则如下：每位选手有基础分20分，需回答20道题，每答对一道题得4分，每答错或不答一道题扣2分．在这次抢答赛中，八年级1班代表队被评为优秀（88分或88分以上），则这个队至少答对了______道题． 【答案】18 【解析】 【分析】设这个队答对了道题，则答错或不答道题，根据总得分基础分答对的题目数答错或不答的题目数，结合总得分不低于分，可列出关于的一元一次不等式，解之取其中的最小值即可得出结论． 【详解】解：设这个队答对了道题，则答错或不答道题， 根据题意得： ， 展开整理得 解得 的最小值为，即这个队至少答对了道题． 12. 如图在中，，是的角平分线，于点D，，周长为12，则的长是________． 【答案】8 【解析】 【分析】先根据周长为12，求得，然后根据角平分线的性质定理得到，即可根据求得答案． 【详解】解：周长为12，， ， ， 是的角平分线，，， ， ． 13. 如图，在中，，，点D在上，D点在的中垂线上，，则的长为________． 【答案】 ## 【解析】 【分析】根据线段垂直平分线的性质可得，利用勾股定理求出，结合即可求解． 【详解】解：点在的中垂线上， ， ，，， 在中，由勾股定理得， 点在上， ． 三、解答题（本大题共5小题，14题-15题每小题8分，16-17题每小题10分，18题12分，共48分） 14. 解不等式（组） （1）解不等式： （2）解不等式组： 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据解不等式的步骤：去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1的步骤求解即可； （2）分别求出各个不等式的解集，它们的公共部分即为不等式组的解集． 【小问1详解】 解：， 去分母，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得． 【小问2详解】 解：解不等式①，得， 解不等式②，得， ∴不等式组的解集为． 15. 如图，为的角平分线，，于点，于点，连接交于点． （1）求证：垂直平分； （2）若，猜测与间有何数量关系？请说明理由． 【答案】（1）见解析 （2），见解析 【解析】 【分析】（1）由为的角平分线，得到，推出和相等，得到，即可推出结论； （2）由已知推出，得到，在中，由推出，即可推出结论． 【小问1详解】 证明：为的角平分线，，， ，， ， ∴， ， ， 点、都在的垂直平分线上， 垂直平分； 【小问2详解】 解：，理由如下： ，平分，， ， ，， ， ， ， ， ， ． 16. “文房四宝”是中国独有的书法绘画工具，即笔、墨、纸、砚，文房四宝之名，起源于南北朝时期．某中学开设了书法社团，计划为学生购买甲、乙两种型号“文房四宝”，经过调查得知：每套甲型号“文房四宝”的价格比每套乙型号的价格贵40元，买5套甲型号和10套乙型号共用1100元． （1）求每套甲、乙型号“文房四宝”的价格分别是多少？ （2）若学校需购进甲、乙两种型号“文房四宝”共120套，根据学生需求，要求购进甲型号“文房四宝”的数量不低于乙型号“文房四宝”数量的3倍，请计算购进甲、乙两种型号“文房四宝”各多少套时花费最少． 【答案】（1） 每套甲型号“文房四宝”的价格为100元，每套乙型号“文房四宝”的价格为60元 （2） 购进甲型号90套，乙型号30套时花费最少 【解析】 【分析】（1）设每套甲型号“文房四宝”的价格为x元，每套乙型号“文房四宝”的价格为y元，根据每套甲型号的“文房四宝”的价格比每套乙型号“文房四宝”的价格贵40元，买5套甲型号“文房四宝”和10套乙型号 “文房四宝”共用1100元，得出方程组，解方程即可； （2）设需购乙型号“文房四宝”m套，则购甲型号“文房四宝”套，花费为w元，根据题意得到w表达式和不等式，解不等式，根据w随m的增大而减小，即可得到结论． 【小问1详解】 解：设每套甲型号“文房四宝”的价格为x元，每套乙型号“文房四宝”的价格为y元， 则， 解得， 答：每套甲型号“文房四宝”的价格为100元，每套乙型号“文房四宝”的价格为60元． 【小问2详解】 解：设需购乙型号“文房四宝”m套，则购甲型号“文房四宝”套，花费为w元． 则， ， 解得， 又∵学校需购进甲、乙两种型号“文房四宝”共120套， ∴且为整数． ∵， ∴w随m的增大而减小， ∵m为整数， ∴当时，w最小， 此时， 故当购买甲90套，乙30套时，所需费用最少． 17. 如图，在平面直角坐标系中，已知三个顶点的坐标分别是，，． （1）请在图中画出关于原点成中心对称的； （2）将平移后得到，且的对应点是，请在图中画出； （3）求线段平移扫过的面积． 【答案】（1）图见解析 （2）图见解析 （3）26 【解析】 【分析】（1）先分别画出点，再顺次连接即可； （2）先确定平移方式，再画出点，然后顺次连接即可； （3）线段平移扫过的面积为四边形的面积，结合平面直角坐标系，利用一个长方形的面积减去四个小直角三角形的面积即可． 【小问1详解】 解：如图，即为所求． ． 【小问2详解】 解：∵的对应点是， ∴平移方式是：先向左平移个单位长度，再向下平移个单位长度， ∵，， ∴，，即，， 如图，即为所求． ． 【小问3详解】 解：如图，线段平移扫过的面积为四边形的面积， 则线段平移扫过的面积． 18. 如图，直线与y轴交于点，与x轴交于点E；直线经过点和点，且与相交于点D，连接． （1）求直线和的函数表达式； （2）当x取何值时，？ （3）求的面积； （4）已知点P为x轴上一点，当时，请直接写出满足条件的点P的坐标． 【答案】（1）； （2） （3） （4）或 【解析】 【分析】（1）由待定系数法即可求解； （2）联立（1）中两个函数表达式得到交点坐标 （3）由的面积，即可求解； （4）当点在轴右侧时，由，则，求出点，即可求解；当点在轴左侧时，得到直线的表达式为：，即可求解． 【小问1详解】 解：将点的坐标代入直线的函数表达式得：， 则直线的表达式为：； 将点、的坐标代入直线的函数表达式得：， 解得：， 则直线的表达式为：； 【小问2详解】 联立（1）中两个函数表达式得：， 解得：，则点， 结合图像可知时 ，； 【小问3详解】 解：由直线的表达式知，点，则， 则的面积； 【小问4详解】 解：当点在轴右侧时，令与直线的交点为， ，则， 设点，则， 解得：，则点， 由点、的坐标得，直线的表达式为：， 则点； 当点在轴左侧时， ，则， 则直线的表达式为：， 则点； 综上，点的坐标为或． B卷（共50分） 一、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分） 19. 已知点与点关于原点对称，则_________． 【答案】 【解析】 【分析】关于原点对称的点的横纵坐标都互为相反数，据此求出m、n的值即可得到答案． 【详解】解：∵点与点关于原点对称， ∴， ∴． 20. 如果关于x的方程的解不大于1，且m是一个正整数，则x的值为__________． 【答案】或1 【解析】 【分析】利用解一元一次方程的步骤表示出，然后根据题意列出不等式，求出的取值，最后代数求值即可． 【详解】解： ∴， 解得， ∵m是一个正整数， ∴的值为1或2， 当时，； 当时，； 故答案为：或1． 21. 如图，在等边中，，点在上，且，点是上一动点，连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段．要使点恰好落在上，则的长是_____ ． 【答案】7 【解析】 【分析】由，，得，又是等边三角形，所以，由题意得，，，，所以，则． 【详解】解：∵，， ∴， ∵为等边三角形， ∴， ∵线段绕点逆时针旋转得到线段，要使点恰好落在上， ∴，， ∵，， ∴，， ∴， ∴在和中， ， ∴， ∴． 22. 对于任意实数，定义一种新运算，等式的右边是通常的加减和乘法运算，例如：．根据上述定义可知的解集为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据新定义求出，代入求解即可． 【详解】解：由新定义可得： ， ∵， ∴， ∴． 23. 如图，是等腰直角三角形，，点是直线上一动点，连接，取的中点，作点关于直线的对称点，连接，若，当取得最大值时的长为_________． 【答案】 【解析】 【分析】连接，根据等腰直角三角形的性质及勾股定理得出，根据轴对称的性质得出，根据三角形三边关系得出，可得当点Q，A， 三点共线时，取得最大值，最大值为，即可求解． 【详解】解：如图，连接， ∵是等腰直角三角形，，点Q为的中点， ∴， ∴是等腰直角三角形，， ∵点关于直线的对称点为点， ∴， ∵， ∴当点Q，A， 三点共线时，取得最大值，最大值为， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴． 二、解答题（本大题共3小题，24题8分，25题10分，26题12分，共30分） 24. 如图，中，，，，逆时针旋转一定角度后能与重合，且点恰好为的中点. （1）指出旋转中心，并求出旋转的度数； （2）求出的度数和的长． 【答案】（1）旋转中心为点A，旋转的度数为； （2），． 【解析】 【分析】（1）先利用三角形内角和计算出，然后根据旋转的定义求解； （2）根据旋转的性质得，，，则可利用周角定义可计算出，然后计算出，从而得到的长． 【小问1详解】 解：， 即， 所以旋转中心为点A，旋转的度数为； 【小问2详解】 解：∵逆时针旋转一定角度后与重合， ∴，，， ∴， ∵点C恰好成为的中点， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等． 25. 已知关于，的方程组的解中，． （1）的取值范围为___________． （2）化简：． （3）在的取值范围中，当为何整数时，不等式的解集为？ 【答案】（1） （2）当时；当时；当时 （3）当时，不等式的解集为 【解析】 【分析】（1）解方程组把未知数、的值用含的代数式表示出来，再根据，，得到关于的一元一次不等式组，解不等式组即可求出的取值范围； （2）根据的取值范围分段化简； （3）因为不等式的解集为，根据不等式的基本性质可知，结合，可知，又因为为整数，可知． 【小问1详解】 解：解方程组， 可得：， ，， ， 解不等式①得：， 解不等式②得：， 不等式组的解集为， 即的取值范围为； 【小问2详解】 解：由（1）可知，， 当时， ，， ， 当时， ，， ， 当时， ，， ， 综上所述：当时； 当时； 当时； 【小问3详解】 解：， ， 不等式的解集为， ， 解得：， 又， ， 为整数， ， 当时，不等式的解集为． 26. 已知是等边三角形． （1）如图1，若，点在线段上，且，连接，求的长； （2）如图2，点是延长线上一点，，交的外角平分线于点，求证：； （3）如图3，若，动点从点出发，沿射线方向移动，以为边在右侧作等边三角形，直线与直线相交于点，当是直角三角形时，请直接写出等边三角形的边长． 【答案】（1） （2）证明见解析 （3）的边长为或 【解析】 【分析】（1）作于点，由等边三角形的性质可得，则，利用勾股定理计算出后，再计算出的长即可； （2）延长至点使得，容易证明是等边三角形，则，，由等量代换可得，进而可证明，因此； （3）分类讨论，当点在线段上时，容易判断，从而可得，即平分，使用勾股定理计算出的值即可；当点在线段的延长线上时，容易判断，此时是含角的直角三角形，利用勾股定理计算出的值即可． 【小问1详解】 解：如图，作于点， ∵是等边三角形． ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，， 在中，； 【小问2详解】 证明：如图，延长至点使得，连接， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∵是外角的平分线，即平分， ∴， ∵， 又∵， ∴是等边三角形， ∴，， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：①当点在线段上时，如图， ∵是等边三角形， ∴， ∴， 又∵是直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∵是等边三角形， ∴，， ∵，即平分， ∴，， 在中，； ②当点在线段的延长线上时，如图， 同理①可得， ∵， 又∵是直角三角形， ∴， ∴， ∵是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，； 综上所述，的边长为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $