5.1分式及其基本性质同步培优讲义 2025-2026学年八年级数学下册（北师大版）

本讲义聚焦初中数学“分式及其基本性质”核心知识点，系统梳理分式的定义（区分整式与分式）、三类基础条件（有意义、无意义、值为0）、基本性质（分子分母同乘除非0整式）及约分与最简分式，构建从概念到应用的递进式学习支架。 资料以14个题型为核心，每个题型配备解题技巧与变式训练，如“分式值为零”强调双重条件培养推理意识，“构造分式”结合实际问题提升应用意识。课中助力教师系统授课，课后通过过关检测帮助学生巩固知识、弥补盲点。

5.1分式及其基本性质 （4知识点+14题型+过关检测） 【题型1 分式的判断】 2 【题型2 分式的规律性问题】 3 【题型3 按要求构造分式】 3 【题型4 分式无意义的条件】 4 【题型5 分式有意义的条件】 4 【题型6 分式值为零的条件】 5 【题型7 分式的求值】 5 【题型8 求分式值为正（负）数时未知数的取值范围】 6 【题型9 求使分式值为整数时未知数的整数值】 6 【题型10 判断分式变形是否正确】 7 【题型11 利用分式的基本性质判断分式值的变化】 7 【题型12 将分式的分子分母各项系数化为整数】 8 【题型13 约分】 9 【题型14 最简分式】 9 1. 知识目标：理解分式的定义，明确分式与整式的区别；熟练掌握分式有意义、无意义、值为0、值为正负、值为整数的各类条件；掌握分式的基本性质，理解约分、最简分式的概念。 2. 能力目标：能准确判断分式、构造符合要求的分式；熟练运用分式基本性质进行分式变形、化简、系数化整；掌握分式求值、取值范围求解的解题方法，具备解决分式规律题型的能力。 3. 思维目标：类比分数的性质推导分式性质，培养类比推理、严谨运算的数学思维，规避分式解题中常见易错点（分母不为0、双重条件判断等）。 03 知识•梳理 知识点1：分式的定义 一般地，如果A、B是两个整式，且B中含有字母，同时B≠0，那么式子叫做分式。其中A是分子，B是分母。 关键辨析： 1. 判断核心：分母含字母即为分式，分子可含字母或常数； 2. π是常数（圆周率），不是字母，含π的式子不属于分式； 3. 分式是形式定义，无需化简后判断。 知识点2：分式的三类基础条件 1. 分式有意义：分母B≠0（与分子无关）； 2. 分式无意义：分母B=0（与分子无关）； 3. 分式值为0：双重条件，分子A=0 且 分母B≠0（缺一不可，最易出错）。 知识点3：分式的基本性质 文字表述：分式的分子与分母同乘（或除以）同一个不等于0的整式，分式的值不变。 公式表示：，（C为不等于0的整式） 核心注意点： 1. 必须分子、分母同时乘除，不能只变分子或分母； 2. 乘除的整式不能为0，否则分式无意义； 3. 仅适用于乘除运算，不适用于分子分母加减运算。 知识点4：约分与最简分式 1. 约分：把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做分式的约分； 2. 最简分式：分子与分母没有公因式的分式（无法再约分）； 3. 约分原则：彻底约分，结果必须化为最简分式或整式。 04 题型•汇总 【题型1 分式的判断】 解题技巧： 1. 抓核心标准：原式分母中含有字母即为分式，无需化简； 2. 排除干扰：常数、含π的式子、分母为数字的式子均为整式，不是分式； 【典例1】．下列各式是分式的是（   ） A． B． C． D． 【变式1】．在代数式，，，，中，分式的个数是（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【变式2】．下列各式：①；②；③；④；⑤；⑥；⑦，是分式的有_______________，是整式的有__________．（只填序号） 【变式3】．下列代数式，，，，，，，其中分式共有______个． 【题型2 分式的规律性问题】 解题技巧： 1. 拆分观察：分别观察式子的符号、分子、分母三组规律； 2. 符号规律：奇偶项交替符号，用(-1)ⁿ或(-1)表示； 3. 分子分母：优先找等差、等比、平方、累加等数字规律，结合项数n推导通项公式； 4. 验证法：推导公式后，代入前2-3项验证，确保规律无误。 【典例2】．在计算分式的值时，若x分别取2026，2025，2024，…，2，1，0，1，，，…，，，，再将所得结果相加之和等于（    ） A． B．2026 C．2027 D． 【变式1】．给定一列数，把这列数中的第一个数记为，第二个数记为，第三个数记为，以此类推，第个数记为（为正整数）．已知，并规定（为正整数），下列说法： ①时，； ②时，； ③不存在实数，使． 其中正确的个数是（   ） A． B． C． D． 【变式2】．观察下列各式：，，请你找出其中规律，并将第个等式写出来______． 【变式3】．一组按规律排列的式子：，，，，…．若，则第9个式子是__________． 【题型3 按要求构造分式】 解题技巧： 1. 紧扣条件：先明确核心限制（有意义、值为0、含指定字母、次数要求等）； 2. 分步构造：值为0→分子为0、分母不为0；有意义→分母恒不为0； 3. 最简原则：无特殊要求时，构造最简分式，避免复杂式子； 4. 多解题型：符合条件的分式不唯一，写出最简单的一个即可。 【典例3】．甲、乙两地相距．小智原计划骑自行车从甲地到乙地，需用时；后因赶时间，改乘公交车前往，结果提前到达乙地．公交车的速度（单位：）是（   ） A． B． C． D． 【变式1】．已知一款衣服的价格上涨后是a元，则这款衣服原来的价格是（　　） A．元 B．a元 C．元 D．元 【变式2】．请写出一个分式使它满足：①只含有字母；②最简分式；③取任意实数，分式有意义，这样的分式可以是_______（只写一个）． 【变式3】．请写出分式所表示的实际意义：________． 【题型4 分式无意义的条件】 解题技巧： 1. 核心依据：仅看分母，分母=0时分式无意义，与分子无关； 2. 解题步骤：直接令分母代数式=0，解方程求出未知数取值； 3. 易错提醒：无需考虑分子取值，不用筛选、验证。 【典例4】．当时，下列分式无意义的是（） A． B． C． D． 【变式1】．若分式无意义，则x的取值为（    ） A． B． C． D． 【变式2】．若分式无意义，则__________． 【变式3】．要使分式无意义，则的取值应满足________． 【题型5 分式有意义的条件】 解题技巧： 1. 核心依据：仅看分母，分母≠0时分式有意义，与分子无关； 2. 解题步骤：令分母代数式≠0，解不等式，求出未知数取值范围； 3. 复杂分母：若分母为多项式、平方、根式等，整体保证分母不为0即可。 【典例5】．使得式子在实数范围内有意义的的取值范围是（    ） A． B．且 C．且 D． 【变式1】．函数的自变量的取值范围是（   ） A． B． C．且 D．且 【变式2】．写出使式子在实数范围内有意义的的一个值__________． 【变式3】．若分式有意义，则x的取值范围是__________． 【题型6 分式值为零的条件】 解题技巧（必考双重条件）： 1. 第一步：令分子=0，求出未知数所有取值； 2. 第二步：将取值代入分母验证，剔除使分母=0的取值； 3. 最终结果：保留分子为0、分母不为0的取值，缺一不可； 4. 易错重灾区：只看分子忽略分母，务必二次验证。 【典例6】．若分式的值为0，则的值是（   ） A． B． C． D． 【变式1】．若分式的值为，则的取值为（　　） A． B． C． D． 【变式2】．若分式的值为0，则的值是________． 【变式3】．若代数式的值为0，则实数的值是_____． 【题型7 分式的求值】 解题技巧： 1. 先化简后代入：优先通过约分、变形化简分式，再代入数值计算，简化运算； 2. 整体代入法：若未知数取值复杂，可将代数式整体替换，无需单独求未知数； 3. 定义域优先：代入前验证取值使分式有意义，排除分母为0的情况； 4. 结果最简：计算最终结果化为最简分数或整式。 【典例7】．若，则的值为（ ） A． B． C． D． 【变式1】．已知，则的值为（   ） A． B． C． D． 【变式2】．若，则__________． 【变式3】．已知，则的值是_____． 【题型8 求分式值为正（负）数时未知数的取值范围】 解题技巧（同号得正、异号得负）： 1. 分式值为正：分子、分母同正或同负，列两组不等式组求解，取并集； 2. 分式值为负：分子、分母一正一负，列两组不等式组求解，取并集； 3. 硬性前提：全程保证分母≠0，最终范围剔除使分母为0的数值； 4. 化简优先：先约分简化分式，再列不等式，减少计算量。 【典例8】．分式的值为正数的条件是（   ） A． B．且 C． D． 【变式1】．若分式的值是正数，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式2】．当_____时，分式的值为负数． 【变式3】．若分式的值为正数，则x的取值范围是___________． 【题型9 求使分式值为整数时未知数的整数值】 解题技巧： 1. 变形分式：将分式化为整式+真分式的形式（分离常数法）； 2. 核心关键：保证真分式部分为整数，即分母是分子的整数约数（包含正负约数）； 3. 枚举取值：列出所有正负约数，依次求解未知数； 4. 筛选验证：剔除使分母为0的取值，保留所有合法整数解。 【典例9】．已知为正整数，若使分式的结果为整数，则所有的值的和为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 【变式1】．当x取不超过6的正整数时，分式的整数值是（   ） A．2 B．0 C． D．0或 【变式2】．已知分式的值为整数，若是非负整数，则的值是_____． 【变式3】．分式的值为正整数，则正整数x的值为______． 【题型10 判断分式变形是否正确】 解题技巧： 1. 依据分式基本性质：仅认可分子分母同乘、同除同一个非0整式的变形； 2. 快速排除：分子分母单独变形、分子分母加减变形、乘除不同整式均错误； 3. 特殊验证：变形后需保证原式有意义，隐藏分母不为0条件； 4. 符号变形：牢记“分子、分母、分式符号，改变任意两个，分式值不变”。 【典例10】．下列等式成立的是（   ） A． B． C． D． 【变式1】．下列各式从左到右的变形，一定正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式2】．在①，②，③，④这几个等式中，从左到右的变形一定正确的有______． 【变式3】．填空：若，则等式右边的分子为_____． 【题型11 利用分式的基本性质判断分式值的变化】 解题技巧： 1. 赋值法（最快）：给未知数赋简单合法数值（1、2、-1等），分别计算原分式、变形后分式的值，对比变化； 2. 公式推导法：根据分子分母的缩放倍数，结合分式性质推导值的变化； 3. 常见规律：分子扩大n倍、分母不变，分式值扩大n倍；分母扩大n倍、分子不变，分式值缩小为原来的1/n。 【典例11】．把分式中的x，y都扩大3倍，则分式的值（    ） A．扩大3倍 B．缩小3倍 C．不变 D．无法确定 【变式1】．如果把分式中的x、y同时扩大到原来的2倍，那么分式的值（   ） A．扩大到原来的2倍 B．缩小到原来的倍 C．不变 D．缩小到原来的倍 【变式2】．把分式中的m和n同时扩大为原来的2倍，那么分式的值_______． 【变式3】．根据分式的基本性质填空： （1）；括号内应填入：_________； （2）；括号内应填入：_________． 【题型12 将分式的分子分母各项系数化为整数】 解题技巧： 1. 系数为小数：分子分母同乘10、100、1000……（根据小数位数确定），消去小数； 2. 系数为分数：找所有分母的最小公倍数，分子分母同乘最小公倍数，消去分母； 3. 符号规范：化整后保证分式整体最简，首项符号为正； 4. 核心原则：必须分子分母同乘，保证分式值不变。 【典例12】．将分式中分子、分母系数化为整数，结果为（   ） A． B． C． D． 【变式1】．下列式子成立的是（   ） A． B． C． D． 【变式2】．不改变分式的值，把下列各式的分子与分母中各项的系数都化为整数． （1）________； （2）________． 【变式3】．不改变分式的值，把下列各式的分子、分母中各项的系数都化为整数． （1）______； （2）______． 【题型13 约分】 解题技巧： 1. 先因式分解：分子、分母为多项式时，先分解因式（提公因式、公式法）； 2. 再约公因式：找出分子分母全部相同因式，彻底约去； 3. 符号处理：互为相反数的因式可变形约分（如a-b=-(b-a)）； 4. 最终要求：约分结果必须为最简分式或整式，无剩余公因式。 【典例13】．将分式约分，结果正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式1】．化简的结果是（   ） A． B． C． D． 【变式2】．《九章算术》记载约分算法，化简分式：___． 【变式3】．化简：______． 【题型14 最简分式】 解题技巧： 1. 判断标准：分子、分母没有任何公因式（不含相同常数因式、字母因式、多项式因式）； 2. 解题步骤：先对分子分母因式分解，再检查是否存在公因式，无公因式即为最简分式； 3. 易错提醒：不可直接观察表面，必须分解后再判断，隐藏公因式最易误判； 4. 题型应用：约分最终结果必须化为最简分式。 【典例14】．下列分式是最简分式的是（   ） A． B． C． D． 【变式1】．下列分式中，属于最简分式的是（   ） A． B． C． D． 【变式2】．某同学将分式约分后得到最简分式，则原分式的分子是________． 【变式3】．在分式、、中，最简分式有______个． 05 过关•检测 1．根据下列表格中的信息，y代表的分式可能是（   ） x … 0 1 2 … y … * 0 * 无意义 * … A． B． C． D． 2．若，则分式的值等于（    ） A． B． C． D． 3．下列说法错误的是（   ） A．当时，分式无意义 B．当时，分式的值为正数 C．当分式时， D．无论x取何值，的值总为正数 4．给定一列数，我们把这列数中第一个数记为，第二个数记为，第三个数记为，以此类推，第n个数记为（n为正整数）．已知，并规定：，如：，，以下结论中，正确的个数为（    ） ①； ②若，则； ③若，则； ④若的值为整数，则满足条件的整数共有6个． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 5．如果分式中的的值同时扩大到原来的3倍，那么分式的值（    ） A．保持不变 B．扩大到原来的9倍 C．扩大到原来的3倍 D．缩小到原来的 6．不改变分式的值，将分式中分子、分母的系数都化为整数，其结果为（　　） A． B． C． D． 7．使代数式有意义，则的取值范围是_____． 8．当x满足____条件时，分式有意义． 9．当______时，分式值为0． 10．如果，那么____________． 11．约分：_______ 12．已知：，则的值为________． 13．已知分式的值为整数，则所有满足条件的整数的值为___________． 14．将分式的分子、分母中各项系数都化为整数，且分式的值不变，则变形后的分式为________． 15．将下列分式化简 (1) (2) 16．约分：． 17．我们给出定义：若一个分式约分后是一个整式，则称这个分式为“巧分式”，约分后的整式称为这个分式的“巧整式”．例如，则称分式是“巧分式”，为它的“巧整式”．根据上述定义，解决下列问题． (1)下列分式中是“巧分式”的有______（填序号）； ①；②；③． (2)若分式（m，n为常数）是一个“巧分式”，它的“巧整式”为，求m，n的值． 18．定义：分式的分子或分母中含有分式，这样的分式叫做繁分式，例如像这样，的分式称为繁分式．利用分式的基本性质可以把繁分式化简为最简分式，例如化简时，繁分式的分子分母同乘得到；若实数m，n满足，． (1)____________（用含t的式子表示）； (2)求证：不论t取何值，分式化简后都为一个定值，并求出该定值． 19．某体育训练基地，有一块长米，宽米的长方形空地，现准备在这块空地上建一个长方形游泳池，其余部分建成休息区．下列两种建设方案： 方案1：在长方形中央建设泳池，如图1： 方案2：靠长方形长边建设泳池，如图2． (1)当时，请判断两种方案建设泳池的面积大小，并说明理由． (2)体育训练基地从安全方面考虑，要求所建设的泳池面积与休息区面积之比为．若，则上述两种建设方案是否符合要求，请说明理由． 20．【教材呈现】小红在学习了分式一章后，联系华师版八年级上册数学页第题，并进行了深入研究： 已知，，求的值 解：∵ ∴ ∴的值为5． (1)【解决问题】已知，，求的值； (2)【知识迁移】已知，求的值． 21．如果一个分式的分子或分母可以因式分解，且这个分式不可约分，那么我们称这个分式为“和谐分式”． (1)下列分式：①；②；③；④．其中“和谐分式”是_______________（填写序号即可）； (2)在下列三个整式中，任意选择2个式子分别作为分子、分母构造分式，要求构造的分式是“和谐分式”，写出所有结果． ；；． (3)若a为正整数，且为“和谐分式”，a的值为_____． 22．一般情况下，一个分式通过适当变形，可以转化成一个整式和一个分子是整数的分式的和的形式，例如： ①； ②． (1)仿照上述方法，试将分式化成一个整式和一个分子是整数的分式的和的形式； (2)若分式的值为整数，请求出整数的值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 5.1分式及其基本性质 （4知识点+14题型+过关检测） 【题型1 分式的判断】 2 【题型2 分式的规律性问题】 4 【题型3 按要求构造分式】 7 【题型4 分式无意义的条件】 8 【题型5 分式有意义的条件】 10 【题型6 分式值为零的条件】 11 【题型7 分式的求值】 12 【题型8 求分式值为正（负）数时未知数的取值范围】 14 【题型9 求使分式值为整数时未知数的整数值】 15 【题型10 判断分式变形是否正确】 18 【题型11 利用分式的基本性质判断分式值的变化】 20 【题型12 将分式的分子分母各项系数化为整数】 21 【题型13 约分】 23 【题型14 最简分式】 24 1. 知识目标：理解分式的定义，明确分式与整式的区别；熟练掌握分式有意义、无意义、值为0、值为正负、值为整数的各类条件；掌握分式的基本性质，理解约分、最简分式的概念。 2. 能力目标：能准确判断分式、构造符合要求的分式；熟练运用分式基本性质进行分式变形、化简、系数化整；掌握分式求值、取值范围求解的解题方法，具备解决分式规律题型的能力。 3. 思维目标：类比分数的性质推导分式性质，培养类比推理、严谨运算的数学思维，规避分式解题中常见易错点（分母不为0、双重条件判断等）。 03 知识•梳理 知识点1：分式的定义 一般地，如果A、B是两个整式，且B中含有字母，同时B≠0，那么式子叫做分式。其中A是分子，B是分母。 关键辨析： 1. 判断核心：分母含字母即为分式，分子可含字母或常数； 2. π是常数（圆周率），不是字母，含π的式子不属于分式； 3. 分式是形式定义，无需化简后判断。 知识点2：分式的三类基础条件 1. 分式有意义：分母B≠0（与分子无关）； 2. 分式无意义：分母B=0（与分子无关）； 3. 分式值为0：双重条件，分子A=0 且 分母B≠0（缺一不可，最易出错）。 知识点3：分式的基本性质 文字表述：分式的分子与分母同乘（或除以）同一个不等于0的整式，分式的值不变。 公式表示：，（C为不等于0的整式） 核心注意点： 1. 必须分子、分母同时乘除，不能只变分子或分母； 2. 乘除的整式不能为0，否则分式无意义； 3. 仅适用于乘除运算，不适用于分子分母加减运算。 知识点4：约分与最简分式 1. 约分：把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做分式的约分； 2. 最简分式：分子与分母没有公因式的分式（无法再约分）； 3. 约分原则：彻底约分，结果必须化为最简分式或整式。 04 题型•汇总 【题型1 分式的判断】 解题技巧： 1. 抓核心标准：原式分母中含有字母即为分式，无需化简； 2. 排除干扰：常数、含π的式子、分母为数字的式子均为整式，不是分式； 【典例1】．下列各式是分式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据分式的定义逐一判断选项，分式的定义：若，是整式，，且中含有字母，则是分式． 【详解】解：选项A．的分母是，不含字母，属于整式； 选项B．的分母是，不含字母，属于整式； 选项C．的分母是，含有字母，符合分式定义； 选项D．是整式，不是分式． 【变式1】．在代数式，，，，中，分式的个数是（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】依据分母中含有字母的代数式是分式，分母不含字母的不是分式. 【详解】解：∵ 分式的定义为：若是整式，且中含有字母（），则是分式. ：分母含字母，是分式； ：分母含字母，是分式； ：分母是常数，不含字母，不是分式； ：分母含字母，是分式； ：分母含字母，是分式； ∴ 分式的个数为. 【变式2】．下列各式：①；②；③；④；⑤；⑥；⑦，是分式的有_______________，是整式的有__________．（只填序号） 【答案】 ①③④⑤ ②⑥⑦ 【分析】根据整式和分式的定义，即看分母中是否含有字母，如果含有字母则是分式，如果不含有字母则是整式，据此逐个判断即可． 【详解】解：根据整式和分式的定义可知， 是分式的有：，，，， 是整式的有：，，． 故答案为：①③④⑤，②⑥⑦． 【变式3】．下列代数式，，，，，，，其中分式共有______个． 【答案】 【分析】分式的定义为：若，表示两个整式，，且中含有字母，则是分式，逐个判断后统计分式个数即可． 【详解】解：，分母为，是常数，不含字母，是整式，不是分式； ，分母为，是常数，不含字母，是整式，不是分式； ，分母含有字母，是分式； ，分母含有字母，是分式； ，是圆周率，属于常数，分母为常数，不含字母，是整式，不是分式； ，分母含有字母，是分式； ，分母含有字母，是分式； 综上可得：分式共有个． 【题型2 分式的规律性问题】 解题技巧： 1. 拆分观察：分别观察式子的符号、分子、分母三组规律； 2. 符号规律：奇偶项交替符号，用(-1)ⁿ或(-1)表示； 3. 分子分母：优先找等差、等比、平方、累加等数字规律，结合项数n推导通项公式； 4. 验证法：推导公式后，代入前2-3项验证，确保规律无误。 【典例2】．在计算分式的值时，若x分别取2026，2025，2024，…，2，1，0，1，，，…，，，，再将所得结果相加之和等于（    ） A． B．2026 C．2027 D． 【答案】A 【分析】先求出若x分别取，所得结果相加之和等于，时分式值为，进而计算加法即可． 【详解】解：当（a为正整数）时，，当时，， ∴若x分别取，所得结果相加之和等于， 当时，， ∴若x分别取2026，2025，2024，…，2，1，0，1，，，…，，，，所得结果相加之和等于． 【变式1】．给定一列数，把这列数中的第一个数记为，第二个数记为，第三个数记为，以此类推，第个数记为（为正整数）．已知，并规定（为正整数），下列说法： ①时，； ②时，； ③不存在实数，使． 其中正确的个数是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是数列的周期性与代数式求值，关键在于先通过递推公式发现数列的循环规律，再结合代数运算逐一验证结论．首先，根据递推公式计算数列的前几项，可发现数列以为周期循环，利用周期性可简化复杂项的计算；其次，对代数式进行整体代换、平方变形等代数运算，验证分式的值；最后，计算一个周期内的乘积，结合周期性求出前项的乘积，再通过一元二次方程根的判别式判断是否存在满足条件的实数． 【详解】解：当时，，，，，， 数列以为周期循环， ， ，①正确； ，，， ， ， 两边平方得，化简得， ，②正确； 先计算一个周期内的乘积：， 即每项的乘积为，， ， 令，整理得， ，该方程无解， 不存在实数，使，③正确； 综上所述，正确的为①②③，共个． 故选：． 【变式2】．观察下列各式：，，请你找出其中规律，并将第个等式写出来______． 【答案】（，且n取整数） 【详解】解：∵； ； … ∴第个等式为（，且n取整数）． 【变式3】．一组按规律排列的式子：，，，，…．若，则第9个式子是__________． 【答案】 【分析】观察可知，奇数项的符号为负，偶数项的符号为正，其中分子中字母a的指数等于序号，分母中字母b的指数等于序号的3倍减去1，据此可得答案． 【详解】解：第1个式子为， 第2个式子为， 第3个式子为， 第4个式子为， ……， 以此类推可知，第n个式子为， ∴第9个式子为． 【题型3 按要求构造分式】 解题技巧： 1. 紧扣条件：先明确核心限制（有意义、值为0、含指定字母、次数要求等）； 2. 分步构造：值为0→分子为0、分母不为0；有意义→分母恒不为0； 3. 最简原则：无特殊要求时，构造最简分式，避免复杂式子； 4. 多解题型：符合条件的分式不唯一，写出最简单的一个即可。 【典例3】．甲、乙两地相距．小智原计划骑自行车从甲地到乙地，需用时；后因赶时间，改乘公交车前往，结果提前到达乙地．公交车的速度（单位：）是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意得出公交车的实际行驶时间，再利用速度=路程÷时间列代数式即可 【详解】∵甲、乙两地相距，原计划用时，公交车提前到达， ∴公交车实际用时为， ∵速度=路程÷时间， ∴公交车的速度为， 【变式1】．已知一款衣服的价格上涨后是a元，则这款衣服原来的价格是（　　） A．元 B．a元 C．元 D．元 【答案】D 【分析】本题考查了分式的应用，根据涨价后的售价与原价的数量关系列式即可． 【详解】解：∵一款衣服的价格上涨后是a元， ∴这款衣服原来的价格是． 故选：D． 【变式2】．请写出一个分式使它满足：①只含有字母；②最简分式；③取任意实数，分式有意义，这样的分式可以是_______（只写一个）． 【答案】（答案不唯一） 【分析】根据最简分式的定义和分式有意义的条件，进行构造即可. 【详解】解：由题意，这样的分式可以为. 【变式3】．请写出分式所表示的实际意义：________． 【答案】元钱购买单价为元的笔记本的本数 【分析】分式可以表示总量为，单份量为时，所能分成的份数，符合“总量÷单价=数量”等实际场景即可． 【详解】解：元钱购买单价为元的笔记本的本数 【题型4 分式无意义的条件】 解题技巧： 1. 核心依据：仅看分母，分母=0时分式无意义，与分子无关； 2. 解题步骤：直接令分母代数式=0，解方程求出未知数取值； 3. 易错提醒：无需考虑分子取值，不用筛选、验证。 【典例4】．当时，下列分式无意义的是（） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据分式无意义的条件，即分母的值为，将代入各选项的分母计算，找到分母为的选项即可． 【详解】解：∵分式无意义的条件是分母等于， 将代入各选项的分母计算： 对于A：分母，该分式无意义，符合题意； 对于B：分母，该分式有意义，不符合题意； 对于C：分母，该分式有意义，不符合题意； 对于D：分母，该分式有意义，不符合题意， 故选：A． 【变式1】．若分式无意义，则x的取值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查分式无意义的条件，熟练掌握分母为0是解题的关键． 要使分式无意义，需满足分母为0．据此求解即可． 【详解】解：由题意，得 解得：， 故选：B． 【变式2】．若分式无意义，则__________． 【答案】2 【详解】解：根据分式无意义，则分母为0，可得， 解得． 【变式3】．要使分式无意义，则的取值应满足________． 【答案】 【分析】根据分式无意义的条件∶分母等于0，列一元一次方程求解即可． 【详解】解∶∵分式无意义，则分母等于0， ∴移项得 系数化为1得． 【题型5 分式有意义的条件】 解题技巧： 1. 核心依据：仅看分母，分母≠0时分式有意义，与分子无关； 2. 解题步骤：令分母代数式≠0，解不等式，求出未知数取值范围； 3. 复杂分母：若分母为多项式、平方、根式等，整体保证分母不为0即可。 【典例5】．使得式子在实数范围内有意义的的取值范围是（    ） A． B．且 C．且 D． 【答案】B 【详解】解：∵ 式子在实数范围内有意义， ∴  ，， 解得，， ∴ 的取值范围是且． 【变式1】．函数的自变量的取值范围是（   ） A． B． C．且 D．且 【答案】A 【分析】根据二次根式被开方数非负、分式分母不为零的要求，列不等式求解即可得到结果． 【详解】解：函数的自变量应满足，解得， ∴自变量的取值范围是． 【变式2】．写出使式子在实数范围内有意义的的一个值__________． 【答案】即可 【分析】根据分式及二次根式有意义的条件即可得出答案． 【详解】解：由题意可得：且， ∴， ∴x的值可以是． 故答案为：即可． 【变式3】．若分式有意义，则x的取值范围是__________． 【答案】 【分析】根据分式有意义的条件是分母不为0，据此列不等式求解即可． 【详解】要使解：y解：要使分式有意义，则 ， 解得． 【题型6 分式值为零的条件】 解题技巧（必考双重条件）： 1. 第一步：令分子=0，求出未知数所有取值； 2. 第二步：将取值代入分母验证，剔除使分母=0的取值； 3. 最终结果：保留分子为0、分母不为0的取值，缺一不可； 4. 易错重灾区：只看分子忽略分母，务必二次验证。 【典例6】．若分式的值为0，则的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分式值为0时需同时满足分子为0、分母不为0，据此计算即可得到结果． 【详解】解：∵分式的值为0， ∴，且， ∴． 【变式1】．若分式的值为，则的取值为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分式值为0需要同时满足分子为0，且分母不为0，据此计算即可得到结果． 【详解】解：∵分式的值为， ∴且， 解得且， 因此的取值为． 【变式2】．若分式的值为0，则的值是________． 【答案】4 【分析】根据分式值为零需满足分子为零且分母不为零，先求解分子等于零的方程，再根据分母不为零舍去不符合条件的解，得到最终结果． 【详解】解：∵分式的值为0， ∴，且， 解可得， 解可得， ∴符合条件的的值为． 【变式3】．若代数式的值为0，则实数的值是_____． 【答案】2 【分析】根据分式值为0的条件，分式值为0需满足分子为0，且分母不为0，据此列等式求解即可得到x的值． 【详解】解：代数式的值为0 则， 解得 此时． 【题型7 分式的求值】 解题技巧： 1. 先化简后代入：优先通过约分、变形化简分式，再代入数值计算，简化运算； 2. 整体代入法：若未知数取值复杂，可将代数式整体替换，无需单独求未知数； 3. 定义域优先：代入前验证取值使分式有意义，排除分母为0的情况； 4. 结果最简：计算最终结果化为最简分数或整式。 【典例7】．若，则的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题先对分子因式分解，约分化简分式后，再代入计算结果． 【详解】解：∵， 又， ∴原式． 【变式1】．已知，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题为分式化简求值题，先化简分子，再用平方差公式分解分母，约分后整体代入已知条件计算即可． 【详解】解： ∵ ∴原式 【变式2】．若，则__________． 【答案】/ 【分析】将已知条件整体代入所求分式，约分后即可得到计算结果． 【详解】解：∵， ∴． 【变式3】．已知，则的值是_____． 【答案】/2.5 【详解】解： ，即 ∴． 【题型8 求分式值为正（负）数时未知数的取值范围】 解题技巧（同号得正、异号得负）： 1. 分式值为正：分子、分母同正或同负，列两组不等式组求解，取并集； 2. 分式值为负：分子、分母一正一负，列两组不等式组求解，取并集； 3. 硬性前提：全程保证分母≠0，最终范围剔除使分母为0的数值； 4. 化简优先：先约分简化分式，再列不等式，减少计算量。 【典例8】．分式的值为正数的条件是（   ） A． B．且 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了分式的值，熟练掌握分式的性质是解题的关键． 本题需根据分式值为正数的符号法则，结合分母不为0的限制条件求解； 【详解】解：∵分式的值为正数， 又∵（分母不能为0，故）， ∴分子 解不等式： 两边同时除以，不等号方向改变，得 综上，且； 故选：B； 【变式1】．若分式的值是正数，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了根据分式的值求字母的取值范围，由分式的值为正数且可得，据此即可求解，掌握平方的非负性和同号相除得正是解题的关键． 【详解】解：∵分式的值是正数，且， ∴， ∴， 故选：A． 【变式2】．当_____时，分式的值为负数． 【答案】 【分析】先判断分式分母的取值范围，再根据分式值为负数的条件，得到分子的不等式，解不等式即可得到结果． 【详解】解：对于任意实数，都有， ，即分母恒为正数． 若分式的值为负数， 则分子小于， 即， 解得． 【变式3】．若分式的值为正数，则x的取值范围是___________． 【答案】 【分析】根据分式值为正数可确定分母为负数，由此求解即可． 【详解】解：因为分式的值为正数， 而分子为是负数，可知分母为负数， 即，解得， 的取值范围是． 【题型9 求使分式值为整数时未知数的整数值】 解题技巧： 1. 变形分式：将分式化为整式+真分式的形式（分离常数法）； 2. 核心关键：保证真分式部分为整数，即分母是分子的整数约数（包含正负约数）； 3. 枚举取值：列出所有正负约数，依次求解未知数； 4. 筛选验证：剔除使分母为0的取值，保留所有合法整数解。 【典例9】．已知为正整数，若使分式的结果为整数，则所有的值的和为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】B 【分析】先对分式分离常数变形，根据分式值为整数，得到是的因数，结合是正整数的条件找出所有符合要求的，再计算它们的和即可。 【详解】解：∵ ， ∵分式的值为整数，为正整数，分式有意义要求， ∴为整数，即是的因数，若为负因数，则对应为非正整数，不符合要求，舍去， ∴的可取值为， 对应得 所有符合条件的的值的和为 ． 【变式1】．当x取不超过6的正整数时，分式的整数值是（   ） A．2 B．0 C． D．0或 【答案】C 【分析】先确定x的取值范围，再根据分式有意义的条件排除无意义的取值，化简分式后根据结果为整数的条件分析计算，即可得到最终结果． 熟练掌握分式的值为整数的条件是解决本题的关键，注意讨论分式的值的前提是要使分式有意义． 【详解】解：由题意得，x是不超过6的正整数，因此x的可能取值为， 又， ∵分式有意义时，分母不为0， ∴， 得且，排除， ∵分式结果为整数， ∴为整数， 又x是正整数， 因此x是3的正因数， 或， 又由分式有意义的条件可知， ， 代入化简后的分式得， 因此分式的整数值是． 【变式2】．已知分式的值为整数，若是非负整数，则的值是_____． 【答案】或 【分析】先利用完全平方公式对已知分式进行变形，然后结合分式的值为整数和是非负整数，求得的取值． 【详解】解： 分式的值为整数， 或， 或， 是非负整数， 或． 【变式3】．分式的值为正整数，则正整数x的值为______． 【答案】1或2/2或1 【分析】先把分式进行因式分解，然后约分，再根据分式的值为正整数，得出的取值，从而得出x的值． 【详解】解：， 要使的值为正整数，则分母是2的约数，即的值可以为1，，2，， 当时，，此时，不是正整数； 当，，此时，是正整数； 当，，此时，不是正整数； 当，，此时，是正整数， ∵x为正整数， ∴或1． 【题型10 判断分式变形是否正确】 解题技巧： 1. 依据分式基本性质：仅认可分子分母同乘、同除同一个非0整式的变形； 2. 快速排除：分子分母单独变形、分子分母加减变形、乘除不同整式均错误； 3. 特殊验证：变形后需保证原式有意义，隐藏分母不为0条件； 4. 符号变形：牢记“分子、分母、分式符号，改变任意两个，分式值不变”。 【典例10】．下列等式成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查分式的基本性质，根据分式基本性质判断各选项等式是否成立即可． 【详解】解：选项A、分式的分子分母同时加同一个数，不符合分式基本性质，等式不成立，A错误； 选项B、分式的分子分母同时减同一个数，不符合分式基本性质，等式不成立，B错误； 选项C、，根据分式基本性质，分子分母同乘不为0的数，分式的值不变，即成立，C正确； 选项D、当时，等式右边分母，无意义，等式不成立，D错误． 【变式1】．下列各式从左到右的变形，一定正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据对应运算法则逐一判断变形是否正确即可． 【详解】解：A选项，根据积的乘方运算法则，可得，变形正确，符合题意； B选项，当，时，左边，右边，，变形错误，不符合题意； C选项，，原变形遗漏了项，当，时，左边，右边，，变形错误，不符合题意； D选项，当，时，左边，右边，，变形错误，不符合题意． 【变式2】．在①，②，③，④这几个等式中，从左到右的变形一定正确的有______． 【答案】②④ 【分析】本题考查分式的基本性质，根据分式基本性质中，同乘的整式必须不为0的要求，逐一判断变形是否正确即可. 【详解】分式的基本性质为：分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变，据此逐一判断： ①，当时，该变形不成立，故①错误； ②，分式有意义，则，分子分母同乘不等于0的整式，变形成立，故②正确； ③，当时，该变形不成立，故③错误； ④，由平方的非负性得，因此，分子分母同乘不等于0的整式，变形成立，故④正确. 【变式3】．填空：若，则等式右边的分子为_____． 【答案】 【分析】本题考查了分式的基本性质，根据，得分母，故等式右边的分子为，即可作答． 【详解】解：∵， ∴分母， 即等式右边的分子为， 故答案为：． 【题型11 利用分式的基本性质判断分式值的变化】 解题技巧： 1. 赋值法（最快）：给未知数赋简单合法数值（1、2、-1等），分别计算原分式、变形后分式的值，对比变化； 2. 公式推导法：根据分子分母的缩放倍数，结合分式性质推导值的变化； 3. 常见规律：分子扩大n倍、分母不变，分式值扩大n倍；分母扩大n倍、分子不变，分式值缩小为原来的1/n。 【典例11】．把分式中的x，y都扩大3倍，则分式的值（    ） A．扩大3倍 B．缩小3倍 C．不变 D．无法确定 【答案】C 【分析】将扩大后的x，y代入原分式化简，和原分式比较即可得到结论． 【详解】解：∵x，y都扩大3倍，分式为， ∴分式的值不变． 【变式1】．如果把分式中的x、y同时扩大到原来的2倍，那么分式的值（   ） A．扩大到原来的2倍 B．缩小到原来的倍 C．不变 D．缩小到原来的倍 【答案】A 【分析】把原分式中的x、y分别用替换，求出新分式的结果即可得到答案． 【详解】解：把分式中的x、y同时扩大到原来的2倍后得到的分式为， ∴新分式的值是原分式的值的2倍，即分式的值扩大到原来的2倍． 【变式2】．把分式中的m和n同时扩大为原来的2倍，那么分式的值_______． 【答案】缩小为原来的 【分析】直接利用分式的性质化简得出答案． 【详解】解：把分式中的m和n都扩大为原来的2倍， 则原式可变为：， 故分式的值缩小为原来的． 【变式3】．根据分式的基本性质填空： （1）；括号内应填入：_________； （2）；括号内应填入：_________． 【答案】 b 【分析】本题考查分式的基本性质，掌握分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于的整式，分式的值不变是解题的关键，根据分式的变化，利用分式基本性质即可求解． 【详解】解：（1）已知等式右边分母 ，且，根据分式的基本性质，给分子分母同乘，得 因此括号内应填入． （2）对等式左边分子因式分解得，变形后分子为，即分子除以，且，根据分式的基本性质，给分子分母同除以，得 因此括号内应填入． 【题型12 将分式的分子分母各项系数化为整数】 解题技巧： 1. 系数为小数：分子分母同乘10、100、1000……（根据小数位数确定），消去小数； 2. 系数为分数：找所有分母的最小公倍数，分子分母同乘最小公倍数，消去分母； 3. 符号规范：化整后保证分式整体最简，首项符号为正； 4. 核心原则：必须分子分母同乘，保证分式值不变。 【典例12】．将分式中分子、分母系数化为整数，结果为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】要将分式的分子、分母的系数化为整数，需要找到分子、分母中各项系数的分母的最小公倍数，然后根据分式的基本性质，将分子、分母同时乘以这个最小公倍数． 【详解】解：． 【变式1】．下列式子成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了有理数的乘方运算，分式的化简等知识，逐项计算验证，A、B、C均不成立，D选项化简后成立． 【详解】解：A：∵，， ∴ ，而， ∴，A错误． B：∵， ∴，而， ∴，B错误． C：左边分式分子分母同乘10，得 ，右边为， ∵分母不同， ∴除非，否则不相等，C错误． D：， ∵左边右边， ∴D正确． 故选：D． 【变式2】．不改变分式的值，把下列各式的分子与分母中各项的系数都化为整数． （1）________； （2）________． 【答案】 【分析】本题考查分式的基本性质的应用．根据分式的基本性质，给分子与分母同乘一个合适的非零整数，将分子、分母中各项系数化为整数，第一问选择乘10，第二问选择乘100后再约分即可． 【详解】解：（1）； （2）． 【变式3】．不改变分式的值，把下列各式的分子、分母中各项的系数都化为整数． （1）______； （2）______． 【答案】 【分析】本题考查了将分式的分子分母各项系数化为整数等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用其来求解． （1）分式的分子、分母分别乘以12即可； （2）分式的分子、分母分别乘以20即可． 【详解】（1）解：． 故答案为：； （2）解：． 故答案为：． 【题型13 约分】 解题技巧： 1. 先因式分解：分子、分母为多项式时，先分解因式（提公因式、公式法）； 2. 再约公因式：找出分子分母全部相同因式，彻底约去； 3. 符号处理：互为相反数的因式可变形约分（如a-b=-(b-a)）； 4. 最终要求：约分结果必须为最简分式或整式，无剩余公因式。 【典例13】．将分式约分，结果正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用分式的基本性质，找出分子分母的公因式，约去公因式即可得到结果． 【详解】解：． 【变式1】．化简的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先对分子分母分别因式分解，再约去公因式得到结果． 【详解】解： ． 【变式2】．《九章算术》记载约分算法，化简分式：___． 【答案】/ 【详解】解：． 【变式3】．化简：______． 【答案】 【分析】对分子和分母分别进行因式分解，再约去分子分母的公因式，得到最简分式． 【详解】解：． 【题型14 最简分式】 解题技巧： 1. 判断标准：分子、分母没有任何公因式（不含相同常数因式、字母因式、多项式因式）； 2. 解题步骤：先对分子分母因式分解，再检查是否存在公因式，无公因式即为最简分式； 3. 易错提醒：不可直接观察表面，必须分解后再判断，隐藏公因式最易误判； 4. 题型应用：约分最终结果必须化为最简分式。 【典例14】．下列分式是最简分式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据最简分式的定义：分子分母不存在公因式，无法约分的分式是最简分式，将各选项整理变形，判断能否约分即可得到结果； 【详解】解：A、，可以约分，不是最简分式，不符合题意； B、，可以约分，不是最简分式，不符合题意； C、中，无法分解因式，分子分母没有公因式，不能约分，是最简分式，符合题意； D、，可以约分，不是最简分式，不符合题意． 【变式1】．下列分式中，属于最简分式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】最简分式的定义判断，即分子与分母没有公因式的分式为最简分式，对各选项因式分解约分后即可得到结果． 【详解】解：∵ 分子与分母没有公因式的分式是最简分式． 对选项A：，分子分母有公因子，不是最简分式． 对选项B：，分子可变形为，与分母没有公因式，无法约分，是最简分式． 对选项C： ， ，分子分母有公因式，不是最简分式． 对选项D：， ，分子分母有公因式，不是最简分式． 【变式2】．某同学将分式约分后得到最简分式，则原分式的分子是________． 【答案】 【分析】根据题意，然后根据分式的基本性质求解即可． 【详解】解：分式约分后得到最简分式， ∴， ∵， ∴． 【变式3】．在分式、、中，最简分式有______个． 【答案】1 【分析】本题考查了最简分式的定义．根据最简分式的定义：分子和分母没有公因式的分式为最简分式，逐一判断各分式即可． 【详解】解：对于分式，分子和分母有公因式2，可约分为，故不是最简分式； 对于分式，分子和分母无公因式，故是最简分式； 对于分式，分子可因式分解为，分母可因式分解为， 故，故不是最简分式． 因此最简分式有1个． 故答案为1． 05 过关•检测 1．根据下列表格中的信息，y代表的分式可能是（   ） x … 0 1 2 … y … * 0 * 无意义 * … A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据分式无意义的条件及分式的值为0的条件即可判断． 【详解】解：A、当时，分母，有意义，当时，分子，分母，无意义，故选项不符合题意； B、当时，分母，无意义，当时，分子，分母，的值为0，故选项符合题意； C、当时，分母，有意义，当时，分子，分母，的值不为0，故选项不符合题意； D、当时，分母，无意义，当时，分子，分母，的值不为0，故选项不符合题意； 2．若，则分式的值等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将化为，根据计算即可． 【详解】解： ． 3．下列说法错误的是（   ） A．当时，分式无意义 B．当时，分式的值为正数 C．当分式时， D．无论x取何值，的值总为正数 【答案】C 【分析】本题考查了分式的意义、分式有意义时，自变量的取值范围．掌握分式有意义的条件是解题关键．选项A、B、D均正确，选项C错误，因为当时，分式无意义，不能使分式值为 【详解】对于A:当 时，分母 ，分式无意义，选项A正确，不符合题意； 对于B:当 时，分母 ，分子为正，分式值为正，选项B正确，不符合题意； 对于选项C:∵ 分式 ， 需分子为0且分母不为0，即 且 ， ∴ 或 ，但 时， ，分式无意义， ∴ 只有 成立，选项C错误，符合题意； 对于D:分母 ，分子为正，分式值总为正数，选项D正确，不符合题意． 故选：C． 4．给定一列数，我们把这列数中第一个数记为，第二个数记为，第三个数记为，以此类推，第n个数记为（n为正整数）．已知，并规定：，如：，，以下结论中，正确的个数为（    ） ①； ②若，则； ③若，则； ④若的值为整数，则满足条件的整数共有6个． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】先根据递推公式得到数列6个数为一个周期循环的规律，再逐一判断每个结论即可，找到周期规律是解题关键. 【详解】解：∵，，， ∴，，，，，， ∴ 该数列每6个数为一个周期循环. ∵ ， ∴ ，故①正确； ∵，，， ∴，即 ∴，故②正确； ∵ 一个周期内， ∴，解得， ∵， ∴，故③错误； ∵， ∴，， 则 ∵ 原式为整数，为整数， ∴是的约数，即， ∴ 又∵分式的分母不能为0， ∴， ∴， 舍去，共5个满足条件的整数，故④错误； 综上，正确的结论共2个. 5．如果分式中的的值同时扩大到原来的3倍，那么分式的值（    ） A．保持不变 B．扩大到原来的9倍 C．扩大到原来的3倍 D．缩小到原来的 【答案】C 【分析】将x，y同时扩大3倍后代入原分式化简，再和原分式比较即可得到结果． 【详解】解：将和分别替换原分式中的和， ∵ ∴新分式的值是原分式的倍，即分式的值扩大到原来的倍． 6．不改变分式的值，将分式中分子、分母的系数都化为整数，其结果为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了分式的基本性质，分式的分子分母同时乘以或除以同一个不为零的数或整式，分式的值不变． 利用分式的基本性质，分子分母同时扩大相同的倍数即可求解． 【详解】解： ． 故选：A． 7．使代数式有意义，则的取值范围是_____． 【答案】 【分析】本题考查分式和二次根式有意义的条件，根据这两种算式成立的条件列不等式组并解得一元一次不等式组的解集即可． 【详解】解：∵使代数式有意义， ∴可列不等式组：， ∴解得， ∴的取值范围是． 8．当x满足____条件时，分式有意义． 【答案】 【分析】分式有意义的条件为分母不等于零，据此列不等式求解即可． 【详解】解：由分式有意义的条件得： ， 解得． 9．当______时，分式值为0． 【答案】 【分析】根据分式值为零的条件，分子等于零且分母不等于零，据此求解x的值． 【详解】由分式的值为零的条件得，且， 由， 解得或， 由，得， 综上，x的值为． 10．如果，那么____________． 【答案】 【分析】已知比例式，可得，， （）． 【详解】 解：∵， ∴，， ∴ ， ∵， ∴． 11．约分：_______ 【答案】 【详解】解：． 12．已知：，则的值为________． 【答案】23 【分析】本题利用完全平方公式变形，将已知等式两边平方，即可求出所求代数式的值． 【详解】解：将已知等式两边同时平方，根据完全平方公式得 整理得 移项计算得 ． 13．已知分式的值为整数，则所有满足条件的整数的值为___________． 【答案】 【分析】先对分式进行化简，再结合整数的条件分别求解即可． 【详解】解：分式， ∵该分式的值为整数，且为整数， ∴为整数， ∴当时，，分式的值为是整数， 当时，，分式的值为是整数， 当时，，分式的值为是整数， 当时，，分式的值为是整数， 综上，所有满足条件的整数的值为． 14．将分式的分子、分母中各项系数都化为整数，且分式的值不变，则变形后的分式为________． 【答案】 【分析】本题考查了分式的性质，解题关键是掌握分式的分子分母都乘以或除以同一个不为零的数或者整式，分式的值不变． 分式的分子分母都乘以10，可得答案． 【详解】解：． 故答案为：． 15．将下列分式化简 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）约去分子，分母的最大公因式即可； （2）先分解因式，然后约分计算即可； 【详解】（1）解：； （2）解：； 16．约分：． 【答案】 【分析】将原式分子、分母进行因式分解后，再进行约分即可得到答案． 【详解】解： ． 17．我们给出定义：若一个分式约分后是一个整式，则称这个分式为“巧分式”，约分后的整式称为这个分式的“巧整式”．例如，则称分式是“巧分式”，为它的“巧整式”．根据上述定义，解决下列问题． (1)下列分式中是“巧分式”的有______（填序号）； ①；②；③． (2)若分式（m，n为常数）是一个“巧分式”，它的“巧整式”为，求m，n的值． 【答案】(1)①③ (2)， 【分析】（1）逐一判断是否符合“巧分式”的定义即可； （2）根据定义可知，计算的值，进而作答即可． 【详解】（1）解：①；②无法进一步约分；③， ∴是“巧分式”的有①③； （2）解：由题意，得， ∵ ， ∴， ∴，， ∴，． 18．定义：分式的分子或分母中含有分式，这样的分式叫做繁分式，例如像这样，的分式称为繁分式．利用分式的基本性质可以把繁分式化简为最简分式，例如化简时，繁分式的分子分母同乘得到；若实数m，n满足，． (1)____________（用含t的式子表示）； (2)求证：不论t取何值，分式化简后都为一个定值，并求出该定值． 【答案】(1) (2)证明见解析，定值为 【分析】（1）直接把，代入所求式子中约分即可得到答案； （2）根据题意可证明，把式子变形为，再把代入化简即可证明结论． 【详解】（1）解：∵，， ∴； （2）证明：∵， ∴， ∴ ， ∴不论t取何值，分式化简后都为一个定值，且； 19．某体育训练基地，有一块长米，宽米的长方形空地，现准备在这块空地上建一个长方形游泳池，其余部分建成休息区．下列两种建设方案： 方案1：在长方形中央建设泳池，如图1： 方案2：靠长方形长边建设泳池，如图2． (1)当时，请判断两种方案建设泳池的面积大小，并说明理由． (2)体育训练基地从安全方面考虑，要求所建设的泳池面积与休息区面积之比为．若，则上述两种建设方案是否符合要求，请说明理由． 【答案】(1)方案1的游泳池占地面积更大，见解析 (2)方案1符合要求，方案2不符合要求，见解析 【分析】（1）利用整式的乘法运算得出面积，然后利用作差法比较大小； （2）利用整式的混合运算法则表示出相关面积，然后求出比值即可． 【详解】（1）解：方案1泳池面积：； 方案2泳池面积：； ， ， ， ． ， 方案1的游泳池占地面积更大； （2）解：方案1休息区面积：， 方案2休息区面积：， 当时，， ， 方案1符合要求，方案2不符合要求． 20．【教材呈现】小红在学习了分式一章后，联系华师版八年级上册数学页第题，并进行了深入研究： 已知，，求的值 解：∵ ∴ ∴的值为5． (1)【解决问题】已知，，求的值； (2)【知识迁移】已知，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（）把进行平方计算，利用完全平方公式化简后得出，将，，代入计算即可求出的值； （）把进行平方计算，得出，将，代入计算即可求的值． 【详解】（1）解：∵ ∴的值为；（注：解法不唯一） （2）解：∵ ∴ ∴的值为．（解法不唯一） 21．如果一个分式的分子或分母可以因式分解，且这个分式不可约分，那么我们称这个分式为“和谐分式”． (1)下列分式：①；②；③；④．其中“和谐分式”是_______________（填写序号即可）； (2)在下列三个整式中，任意选择2个式子分别作为分子、分母构造分式，要求构造的分式是“和谐分式”，写出所有结果． ；；． (3)若a为正整数，且为“和谐分式”，a的值为_____． 【答案】(1)② (2)和 (3)4 【分析】（1）根据“和谐分式”的定义，逐一判断即可； （2）先将题中给出的三个整式中，能够因式分解的进行因式分解，再根据题意“这个分式不可约分”进行构造即可； （3）根据“和谐分式”的定义，考虑分母能够因式分解，结合a为正整数，可得a的值为4． 【详解】（1）解：对于①：，分子和分母都不可以因式分解，不是“和谐分式”，不符合题意； 对于②：，分母可以因式分解，且这个分式不可约分，是“和谐分式”，符合题意； 对于③：，分母可以因式分解，但这个分式可以约分，不是“和谐分式”，不符合题意； 对于④：，分子可以因式分解，但这个分式可以约分，不是“和谐分式”，不符合题意； 综上，“和谐分式”是②． （2）解：∵， ， ∴“和谐分式”有：和． （3）解：∵为“和谐分式”， 不能因式分解， ∴能够因式分解， ∵a为正整数，能够因式分解， ∴或． ∵分式不可约分， 又∵当时，分母为，分式可约分，不满足“和谐分式”定义， 当时，分母为，分式不可约分，满足“和谐分式”定义， ∴． 22．一般情况下，一个分式通过适当变形，可以转化成一个整式和一个分子是整数的分式的和的形式，例如： ①； ②． (1)仿照上述方法，试将分式化成一个整式和一个分子是整数的分式的和的形式； (2)若分式的值为整数，请求出整数的值． 【答案】(1) (2)0或1或3或4 【分析】（1）把原式先变形为，再利用平方差公式分解因式得到，据此可得答案； （2）把式子变形为，进一步可变形为，根据题意可得是整数，则或，解方程即可得到答案． 【详解】（1）解： ； （2）解： ， ∵分式的值为整数，且x为整数， ∴是整数，且是整数， ∴是整数， ∴或， 解得或或或． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $