第10讲 分式及其基本性质（知识详解+16典例分析+习题巩固） 2025-2026学年北师大版八年级数学下册同步讲义与测试

第10讲 分式及其基本性质（知识详解+16典例分析+习题巩固） 【知识点01】分式的概念 1.定义 一般地，用A， B表示两个整式，A÷ B 可以表示成 的形式 . 如果B 中含有字母，那么称 为分式，其中 A称为分式的分子， B称为分式的分母 。 分式的“三要素”：(1)形如的式子； (2) A， B为整式； (3)分母B 中含有字母。 注意：分式中分母所含的字母是指可以取不同数值的字母。特别注意π表示圆周率，是常数。 2. 分式与分数的关系 类别 分数 分式 区别 分子与分母都是整数，即都不含字母 分母中一定含有字母 联系 都是形如      的式子 【知识点02】分式有意义的条件 分式有意义的条件 分式的分母表示除数，由于除数不能为0，所以分式的分母不能为0，即当B ≠ 0 时，分式才有意义. 注意: 1. 分式有无意义只与分母有关，而与分子无关。 2. 分母不为0 是指表示分母的整式的值不为0，而不是分母中字母的值不为0。 【知识点03】分式的值为0的条件 1. 分式的值 分式的值就是把分式中的字母用具体数值代入后，通过计算得出的结果。 2. 分式的值为0 的条件 当分式的分子等于0 且分母不等于0 时，分式的值为0. 即：对于分式，当A=0 且B ≠ 0 时，=0. 3. 对常见的几种特殊分式值的讨论 (1)若的值为正数，则A， B 同号 . (2)若的值为负数，则A， B 异号 . (3)若的值为1，则A= B ，且B≠ 0. (4)若的值为－ 1，则A=－ B ，且B≠ 0. 【知识点04】分式的基本性质 1. 分式的基本性质 分式的分子与分母都乘(或除以)同一个不等于0的整式，分式的值不变 . 字母表示： ，(m≠0)。 用途：进行分式的恒等变形 2. 分式的符号法则 分式的分子、分母与分式本身的符号，同时改变其中两个，分式的值不变. 用字母表示为：(1) (2) 【知识点05】分式的约分 1. 分式的约分 把一个分式的分子和分母的公因式约去,这种变形称为分式的约分. 2. 找公因式的方法 (1)当分子、分母都是单项式时，先找分子、分母系数的最大公因数，再找相同字母的最低次幂，它们的积就是公因式； (2)当分子、分母中有多项式时，先把多项式分解因式，再找公因式. 3. 最简分式 分子与分母没有公因式的分式，叫做最简分式. 【题型一】分式的判断 例1．（25-26八年级下·全国·课后作业）下列各式中，是分式的是（   ） A． B． C． D． 变式1．（25-26八年级下·河南鹤壁·月考）下列各式中：，分式的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 变式2．（25-26八年级下·全国·周测）有下列代数式：①；②；③；④；⑤．其中是分式的是____________（填序号）． 【题型二】分式的规律性问题 例2．（23-24八年级下·云南红河·期末）按一定规律排列的分式：，…．第n个分式是（    ） A． B． C． D． 变式1．（25-26八年级下·湖南衡阳·月考）对于任意正有理数a，规定，例如：，，……，利用以上规律计算：___________． 变式2．（2025八年级下·全国·专题练习）给定下列分式：，，，，…． (1)这列分式的分子、分母和符号分别有什么特征？ (2)从第2个分式起，把任意一个分式除以它前面的一个分式，有什么规律？ (3)根据你发现的规律，写出给定的这列分式中的第10个分式． 【题型三】按要求构造分式 例3．（2026八年级下·全国·专题练习）已知一款衣服的价格上涨后是a元，则这款衣服原来的价格是（　　） A．元 B．a元 C．元 D．元 变式1．（25-26八年级下·全国·课后作业）请写出分式所表示的实际意义：________． 变式2．（24-25八年级下·全国·课后作业）解答下列问题： (1)某项工程，甲队需t天完成，该队每天完成的工作量是多少？ (2)一段长的路，小明步行需，骑自行车所用的时间比步行所用时间的一半少．骑自行车的平均速度是多少？ (3)某商品降价后的售价为a元，该商品的原价是多少元？ 【题型四】分式无意义的条件 例4．（25-26八年级下·河南鹤壁·月考）根据下面表格中的信息（※表示非零的数值），代表的分式可能是（    ） … 0 1 2 … … 0 ※ ※ 无意义 ※ … A． B． C． D． 变式1．（25-26八年级下·全国·课后作业）要使分式无意义，则的取值应满足________． 变式2．（2024八年级下·全国·课后作业）当x取什么值时，下列分式无意义？ （1）； （2）． 【题型五】分式有意义的条件 例5．（25-26八年级下·福建漳州·期中）若分式有意义，则的取值范围是（   ）． A． B． C． D．且 变式1．（22-23八年级下·吉林长春·期中）若分式有意义，则的取值范围是___________． 变式2．（25-26八年级下·全国·课后作业）当取何值时，下列分式有意义？ (1)； (2)； (3)． 【题型六】分式值为零的条件 例6．（25-26八年级下·山西临汾·月考）下列分式中，其值可以为零的是（   ） A． B． C． D． 变式1．（25-26八年级下·四川成都·月考）若分式的值为0，则__________． 变式2．（25-26八年级下·全国·课后作业）当为何值时，下列分式的值为？ (1)； (2)； (3)． 【题型七】分式的求值 例7．（25-26八年级下·全国·课后作业）若，则分式的值等于（    ） A． B． C． D． 变式1．（25-26八年级下·四川乐山·月考）已知，则的值为_______． 变式2．（25-26八年级下·全国·课后作业）[核心素养]阅读下面的解题过程： 已知，求的值． 解：由，得， ∴，即， ∴． 请你借鉴上面的方法解答下面的问题： (1)已知，则的值为______，的值为______； (2)已知，求的值； (3)已知，求的值． 【题型八】求分式值为正（负）数时未知数的取值范围 例8．（24-25八年级下·吉林长春·月考）若分式的值是正数，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 变式1．（24-25八年级下·河南新乡·期末）当分式的值为正数时，写出一个满足条件的x的值______． 变式2．（2026八年级下·全国·专题练习）仔细阅读下面的材料并解答问题． 例：当取何值时，分式的值为正数？ 解：由题意，得，则有①或②解不等式组①，得；解不等式组②，得该不等式组无解．∴当时，分式的值为正数． 按照上面的方法，求当取何值时，分式的值为负数． 【题型九】求使分式值为整数时未知数的整数值 例9．（24-25八年级下·陕西西安·月考）对于正整数，使分式的值是一个整数，则可能取值的个数是（    ） A． B． C． D． 变式1．（25-26八年级下·全国·课后作业）若分式的值为整数，则整数的值为_____． 变式2．（24-25八年级下·全国·课后作业）若分式的值为整数，求整数x的值． 【题型十】判断分式变形是否正确 例10．（25-26八年级下·重庆·月考）下列式子中，从左往右变形正确的是（    ） A． B． C． D． 变式1．（2025八年级下·全国·专题练习）不改变分式的值，使分式的分子、分母中的首项的系数都不含 “－” 号． ①___________；②___________； ③___________；④___________． 变式2．（25-26八年级下·全国·课后作业）不改变分式的值，使下列分式的分子与分母都不含负号： (1)； (2)． 【题型十一】求使分式变形成立的条件 例11．（24-25八年级下·山西临汾·期末）能使等式成立的k的取值范围为（    ） A． B． C． D．k为任意实数 变式1．（24-25八年级下·全国·单元复习）．第一个括号内填写：__________，第二个括号内填写：__________ 变式2．（24-25八年级下·全国·课后作业）下列等式的右边是怎样从左边得到的？ (1)； (2)． 【题型十二】利用分式的基本性质判断分式值的变化 例12．（25-26八年级下·四川成都·月考）把分式的分子分母中的都扩大到原来的4倍，则分式的值（   ） A．扩大为原来的4倍 B．扩大为原来的16倍 C．缩小为原来的 D．缩小为原来的 变式1．（24-25八年级下·四川巴中·月考）若把分式中的x和y都扩大到原来的3倍，则分式的值______（①扩大到原来的3倍；②缩小到原来的；③不变）选择正确的序号． 变式2．（24-25八年级下·江苏连云港·期中）某数学兴趣小组探究了分式的值与字母取值的变化关系，请你帮助完成相关问题： (1)①当，时，分式的值为__________； ②当，时，分式的值为__________； (2)当分式中x，y的取值都扩大为原来的k倍时，分式的值如何变化？为什么？ (3)若分式中x，y的取值都扩大为原来的k倍，分式的值将变为原来的多少倍？为什么？ 【题型十三】将分式的分子分母的最高次项化为正数 例13．（22-23八年级下·江苏徐州·期中）不改变分式的值，使分式的分子、分母中的最高次项的系数都是正数，则分式可化为（    ） A． B． C． D． 变式1．（24-25八年级下·全国·单元测试）不改变分式的值，使的分子和分母的最高次项的系数是正数，得__________． 变式2．（2026八年级下·全国·专题练习）不改变分式的值，使下列分式的分子和分母不含“”号． (1)； (2)； (3)； (4)． 【题型十四】将分式的分子分母各项系数化为整数 例14．（23-24八年级·全国·课后作业）分式 变形正确的是（    ） A．   B． C．                               D． 变式1．（25-26八年级下·全国·课后作业）不改变分式的值，把下列各式的分子、分母中各项的系数都化为整数． （1）______； （2）______． 变式2．（25-26八年级下·全国·课后作业）不改变分式的值，把下列各式的分子、分母中的各项系数都化为整数： (1)； (2)． 【题型十五】约分 例15．（25-26八年级下·全国·课后作业）分式约分后的结果是（    ） A． B． C． D． 变式1．（2026八年级下·吉林长春·专题练习）化简：=______． 变式2．（25-26八年级下·全国·课后作业）先化简分式，再从中选取一个合适的整数代入求值． 【题型十六】最简分式 例16．（25-26八年级下·全国·单元测试）下列式子是最简分式的是（   ） A． B． C． D． 变式1．（24-25八年级下·四川攀枝花·月考）下列各式中，最简分式有______个． ①②③④⑤⑥⑦ 变式2．（23-24八年级下·陕西咸阳·月考）化简下列分式： (1)； (2)． 一、单选题 1．下列分式中一定有意义的是（    ） A． B． C． D． 2．若，则下列分式化简正确的是(      ) A． B． C． D． 3．若分式的值为正数，则的值可以是（   ） A．2 B．1 C．0 D． 4．若，则的值为（    ） A． B．3 C． D．4 5．如果把分式（、均不为且）中的和都变为原来的倍，那么分式的值（   ） A．变为原来的倍 B．不变 C．变为原来的 D．变为原来的倍 6．根据下列表格中的部分信息，分式可能是（    ） … 0 1 2 … … 无意义 ★ ★ 0 ★ … A． B． C． D． 7．下列各分式中，最简分式是（    ） A． B． C． D． 8．下列说法正确的是（ ） A．是分式 B．对于任意实数，总有意义 C．是最简分式 D．分式的分子为0，则分式的值为0 9．若是整数，分式的值也是整数，则满足条件的的个数是（      ） A．3个 B．4个 C．5个 D．8个 二、填空题 10．要使分式有意义，则应满足的条件是______． 11．已知当时，分式无意义，当时，分式的值为0，则的值是________． 12．不改变分式的值，将的分子与分母的各项系数都化为整数得_______． 13．将分式中的和都扩大10倍，那么分式的值变为原来的___________． 14．若为整数，且使分式的值是整数，则的值是______． 15．当______时，分式的值不等于零． 16．已知分式，当时，分式的值为0；当时，分式没有意义，则ab的值为__________． 三、解答题 17．某村种植了玉米，总产量为；水稻的种植面积比玉米的种植面积多，水稻的总产量比玉米总产量的2倍多．写出表示玉米和水稻的单位面积产量（单位：）的式子． 18．已知分式． (1)当时，分式的值为0，求的值； (2)若，求分式的值． 19．回答下列问题： (1)已知分式 ，当时，分式无意义；当时，分式的值为零，求的值； (2)当为何整数时，分式的值是整数？ 20．我们知道，分式和分数有很多相似点，如类比分数的基本性质，我们得到了分式的基本性质，等等．小学里，我们把分子比分母小的数叫做真分数．类似的，我们把分子的次数小于分母的次数的分式称为真分式，反之，称为假分式．任何一个假分式都可以化成整式与真分式的和的形式．如：． (1)请写出分式的基本性质______________________； (2)下列分式中，属于真分式的是___________； A．    B．    C．    D． (3)将假分式化成整式和真分式的和的形式． 21．探索（1）如果，则______； （2）如果，则______； 总结（3）如果（其中为常数），则______； 应用（4）若代数式的值为整数，求满足条件的整数的值． 22．一般情况下，一个分式通过适当变形，可以转化成一个整式和一个分子是整数的分式的和的形式，例如： ①； ②． (1)仿照上述方法，试将分式化成一个整式和一个分子是整数的分式的和的形式； (2)若分式的值为整数，请求出整数的值． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第10讲 分式及其基本性质（知识详解+16典例分析+习题巩固） 【知识点01】分式的概念 1.定义 一般地，用A， B表示两个整式，A÷ B 可以表示成 的形式 . 如果B 中含有字母，那么称 为分式，其中 A称为分式的分子， B称为分式的分母 。 分式的“三要素”：(1)形如的式子； (2) A， B为整式； (3)分母B 中含有字母。 注意：分式中分母所含的字母是指可以取不同数值的字母。特别注意π表示圆周率，是常数。 2. 分式与分数的关系 类别 分数 分式 区别 分子与分母都是整数，即都不含字母 分母中一定含有字母 联系 都是形如      的式子 【知识点02】分式有意义的条件 分式有意义的条件 分式的分母表示除数，由于除数不能为0，所以分式的分母不能为0，即当B ≠ 0 时，分式才有意义. 注意: 1. 分式有无意义只与分母有关，而与分子无关。 2. 分母不为0 是指表示分母的整式的值不为0，而不是分母中字母的值不为0。 【知识点03】分式的值为0的条件 1. 分式的值 分式的值就是把分式中的字母用具体数值代入后，通过计算得出的结果。 2. 分式的值为0 的条件 当分式的分子等于0 且分母不等于0 时，分式的值为0. 即：对于分式，当A=0 且B ≠ 0 时，=0. 3. 对常见的几种特殊分式值的讨论 (1)若的值为正数，则A， B 同号 . (2)若的值为负数，则A， B 异号 . (3)若的值为1，则A= B ，且B≠ 0. (4)若的值为－ 1，则A=－ B ，且B≠ 0. 【知识点04】分式的基本性质 1. 分式的基本性质 分式的分子与分母都乘(或除以)同一个不等于0的整式，分式的值不变 . 字母表示： ，(m≠0)。 用途：进行分式的恒等变形 2. 分式的符号法则 分式的分子、分母与分式本身的符号，同时改变其中两个，分式的值不变. 用字母表示为：(1) (2) 【知识点05】分式的约分 1. 分式的约分 把一个分式的分子和分母的公因式约去,这种变形称为分式的约分. 2. 找公因式的方法 (1)当分子、分母都是单项式时，先找分子、分母系数的最大公因数，再找相同字母的最低次幂，它们的积就是公因式； (2)当分子、分母中有多项式时，先把多项式分解因式，再找公因式. 3. 最简分式 分子与分母没有公因式的分式，叫做最简分式. 【题型一】分式的判断 例1．（25-26八年级下·全国·课后作业）下列各式中，是分式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】分式的判断 【分析】分式的定义为：若A，都是整式，且分母B中含有字母，则式子是分式，据此逐一判断即可． 【详解】解：A．的分母为3，是常数，不含字母，是整式，不是分式，故A不符合题意； B．的分母中，是常数，因此分母为常数，不含字母，是整式，不是分式，故B不符合题意； C．的分母为，含字母，满足分式定义，是分式，故C符合题意； D．是多项式，属于整式，不是分式，故D不符合题意． 变式1．（25-26八年级下·河南鹤壁·月考）下列各式中：，分式的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【知识点】分式的判断 【分析】根据分式的定义，判断每个式子的分母是否含有字母，逐一判断即可得到分式的个数． 【详解】解：∵ 分母是常数，中是常数，是常数，这三个都是整式； 分母含有字母，是分式； 分母含有字母，是分式； 分母含有字母，是分式； ∴ 分式共有个． 变式2．（25-26八年级下·全国·周测）有下列代数式：①；②；③；④；⑤．其中是分式的是____________（填序号）． 【答案】④⑤ 【知识点】分式的判断 【分析】本题考查了分式的定义，掌握分式的定义是解题的关键． 分式的定义是分母中含有字母的代数式，因此需要检查每个代数式的分母是否含有字母． 【详解】解：①分母为常数，不含字母，不是分式； ②分母为常数，不含字母，不是分式； ③分母为常数，不含字母，不是分式； ④分母为，含有字母，是分式； ⑤分母为，含有字母，是分式． 故答案为：④⑤． 【题型二】分式的规律性问题 例2．（23-24八年级下·云南红河·期末）按一定规律排列的分式：，…．第n个分式是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】分式的规律性问题 【分析】本题考查分式的变化规律，分别根据分子，分母所给单项式的特点，探索出单项式的一般规律是解题的关键．通过观察可得规律：第n个分式的分子是，第n个分式的分母是，即可得到第n个分式． 【详解】解：第1个分式的分子是， 第2个分式的分子是， 第3个分式的分子是， ； 第n个分式的分子是； 第1个分式的分母是， 第2个分式的分母是， 第3个分式的分母是， ； 第n个分式的分母是， 第n个分式是， 故选：B． 变式1．（25-26八年级下·湖南衡阳·月考）对于任意正有理数a，规定，例如：，，……，利用以上规律计算：___________． 【答案】4051 【知识点】分式的规律性问题 【分析】本题主要考查数字的变化规律，解答的关键是由所给的数字得到；根据已知的规定，分别计算出，，，，，的结果，总结出其规律为，再求所求的式子的值即可． 【详解】解：∵， ∴，，，，，，，， ∴，，，， ∴ 变式2．（2025八年级下·全国·专题练习）给定下列分式：，，，，…． (1)这列分式的分子、分母和符号分别有什么特征？ (2)从第2个分式起，把任意一个分式除以它前面的一个分式，有什么规律？ (3)根据你发现的规律，写出给定的这列分式中的第10个分式． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【知识点】分式的规律性问题 【分析】本题考查分式规律型：数字的变化类，关键是善于观察发现规律． （1）由分式的特点，即可发现分式的分子、分母和符号分别具有特征； （2）计算任意一个分式除以它前面的一个分式，即可发现规律； （3）由分式的特点，即可写出给定的这列分式中的第10个分式． 【详解】（1）解：这列分式的分子是幂的形式，底数x的指数是从3开始的奇数，分母是幂的形式，底数y的指数是从1开始的自然数，第奇数个分式的符号为正，第偶数个分式的符号为负． （2）解：∵，，    ， ∴从第2个分式起，把任意一个分式除以它前面的一个分式，所得结果都是； （3）解：第10个分式是． 【题型三】按要求构造分式 例3．（2026八年级下·全国·专题练习）已知一款衣服的价格上涨后是a元，则这款衣服原来的价格是（　　） A．元 B．a元 C．元 D．元 【答案】D 【知识点】按要求构造分式 【分析】本题考查了分式的应用，根据涨价后的售价与原价的数量关系列式即可． 【详解】解：∵一款衣服的价格上涨后是a元， ∴这款衣服原来的价格是． 故选：D． 变式1．（25-26八年级下·全国·课后作业）请写出分式所表示的实际意义：________． 【答案】元钱购买单价为元的笔记本的本数 【知识点】按要求构造分式 【分析】分式可以表示总量为，单份量为时，所能分成的份数，符合“总量÷单价=数量”等实际场景即可． 【详解】解：元钱购买单价为元的笔记本的本数 变式2．（24-25八年级下·全国·课后作业）解答下列问题： (1)某项工程，甲队需t天完成，该队每天完成的工作量是多少？ (2)一段长的路，小明步行需，骑自行车所用的时间比步行所用时间的一半少．骑自行车的平均速度是多少？ (3)某商品降价后的售价为a元，该商品的原价是多少元？ 【答案】(1) (2) (3)元 【知识点】按要求构造分式 【分析】本题主要考查了列分式，正确理解题意是解题的关键． （1）把工作总量看做单位“1”，根据工作效率等于工作总量除以工作时间即可得到答案； （2）由题意得骑自行车需要的时间为，再根据速度等于路程除以时间即可得到答案； （3）根据题意可得现价是原价的，据此列式求解即可． 【详解】（1）解：∵某项工程，甲队需t天完成， ∴该队每天完成的工作量是； （2）解：由题意得，骑自行车的平均速度是； （3）解：∵某商品降价后的售价为a元， ∴该商品的原价是元． 【题型四】分式无意义的条件 例4．（25-26八年级下·河南鹤壁·月考）根据下面表格中的信息（※表示非零的数值），代表的分式可能是（    ） … 0 1 2 … … 0 ※ ※ 无意义 ※ … A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】分式无意义的条件 【分析】根据分式无意义时分母为零可排除A，B，将，代入即可排除D． 【详解】解：由表格信息可知，当时，分式无意义， ∴分式的分母在时的值为， A选项分母为，时，不符合，排除A； B选项分母为，时，不符合，排除B； ∵当时，分式的值为， ∴分式的分子在时的值为，且分母不为， C选项分子为，时，分母，符合条件； D选项分子为，时，分式值不为，不符合条件． 变式1．（25-26八年级下·全国·课后作业）要使分式无意义，则的取值应满足________． 【答案】 【知识点】分式无意义的条件 【分析】根据分式无意义的条件∶分母等于0，列一元一次方程求解即可． 【详解】解∶∵分式无意义，则分母等于0， ∴移项得 系数化为1得． 变式2．（2024八年级下·全国·课后作业）当x取什么值时，下列分式无意义？ （1）； （2）． 【答案】（1）；（2） 【知识点】分式无意义的条件 【分析】（1）直接利用分式无意义则其分母为0，进而得出答案； （2）直接利用分式无意义则其分母为0，进而得出答案． 【详解】解：（1）当2x-3=0时，无意义， 解得：x=时，无意义； （2）当5x+10=0时，无意义， 解得：x=-2时，无意义． 【点睛】本题主要考查了分式无意义的条件，正确得出分母的值是解题关键． 【题型五】分式有意义的条件 例5．（25-26八年级下·福建漳州·期中）若分式有意义，则的取值范围是（   ）． A． B． C． D．且 【答案】A 【知识点】分式有意义的条件 【详解】解：∵分式有意义， ∴分母 ， 解得 ． 变式1．（22-23八年级下·吉林长春·期中）若分式有意义，则的取值范围是___________． 【答案】 【知识点】分式有意义的条件 【分析】根据分式有意义的条件，分式的分母不为，据此求解即可． 【详解】解：∵分式有意义 ∴， 解得：． 变式2．（25-26八年级下·全国·课后作业）当取何值时，下列分式有意义？ (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3)为任意实数 【知识点】分式有意义的条件 【分析】本题主要考查了分式有意义的条件，熟知分式有意义的条件是解题的关键． （1）（2）分式有意义的条件是分母不为0，据此求解即可； （3）可证明，再根据分式有意义的条件是分母不为0可得答案． 【详解】（1）解：∵分式有意义， ∴； （2）解：∵分式有意义， ∴， ∴； （3）解：∵分式有意义， ∴； ∵， ∴， ∴为任意实数． 【题型六】分式值为零的条件 例6．（25-26八年级下·山西临汾·月考）下列分式中，其值可以为零的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】分式值为零的条件 【分析】根据分式值为0的条件是分子为0，分母不为0求解即可． 【详解】解：分式值为0的条件是分子为0，分母不为0， A、，故分子不为0，不满足分式值为0的条件，故分式值不可能为0； B、，则，那么分母，不满足分式值为0的条件，故分式值不可能为0； C、，则，那么分母，满足分式值为0的条件，故分式值可以为0； D、，故分子不为0，不满足分式值为0的条件，故分式值不可能为0． 变式1．（25-26八年级下·四川成都·月考）若分式的值为0，则__________． 【答案】 【知识点】分式值为零的条件 【分析】根据分式值为的条件建立方程，利用平方根解方程可得的值，再结合分式的分母不能等于0即可得． 【详解】解：∵分式的值为0， ∴， 解得或， 又∵，即， ∴． 变式2．（25-26八年级下·全国·课后作业）当为何值时，下列分式的值为？ (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】分式值为零的条件 【分析】本题主要考查了分式为零的条件，分式为零的条件是分子为且分母不为，根据条件解答即可． (1)因为，可得且，可知当时，； (2)因为，可得且，可知当时，； (3)因为，可得且，可知当时，． 【详解】（1）解：， ， 解得：且， 当时，； （2）解：， ， 解得：且， 当时，； （3）解：， ， 解得：且， 当时，． 【题型七】分式的求值 例7．（25-26八年级下·全国·课后作业）若，则分式的值等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】分式的求值 【分析】将化为，根据计算即可． 【详解】解： ． 变式1．（25-26八年级下·四川乐山·月考）已知，则的值为_______． 【答案】 【知识点】分式的求值 【分析】通过对已知等式变形得到的值，再利用完全平方公式变形所求分式，即可计算出结果. 【详解】解：，可知，， ∴， 整理，得， 方程两边同时除以得：， ∴， ∴， ∴. 变式2．（25-26八年级下·全国·课后作业）[核心素养]阅读下面的解题过程： 已知，求的值． 解：由，得， ∴，即， ∴． 请你借鉴上面的方法解答下面的问题： (1)已知，则的值为______，的值为______； (2)已知，求的值； (3)已知，求的值． 【答案】(1)， (2) (3) 【知识点】分式的求值 【分析】本题考查了分式的求值． （1）根据分式的性质，得出，仿照例题的解题方式，即可求解； （2）根据分式的性质，得出，仿照例题的解题方式，即可求解； （3）根据分式的性质，得出，仿照例题的解题方式，即可求解 【详解】（1）解：由，得， ∴， ∴ 故答案为：，． （2）解：由，得， ∴， ∴， ∴． （3）解：由，得， ∴， ∴， ∴． 【题型八】求分式值为正（负）数时未知数的取值范围 例8．（24-25八年级下·吉林长春·月考）若分式的值是正数，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】求分式值为正（负）数时未知数的取值范围 【分析】本题考查了根据分式的值求字母的取值范围，由分式的值为正数且可得，据此即可求解，掌握平方的非负性和同号相除得正是解题的关键． 【详解】解：∵分式的值是正数，且， ∴， ∴， 故选：A． 变式1．（24-25八年级下·河南新乡·期末）当分式的值为正数时，写出一个满足条件的x的值______． 【答案】3（答案不唯一，满足即可） 【知识点】求分式值为正（负）数时未知数的取值范围 【分析】本题考查了分式的值为正数的条件，解题的关键是根据分式值为正的条件列出不等式求解． 根据分式值为正数的条件列出不等式，求出的取值范围，再在范围内取一个值即可． 【详解】根据题意可得：． 解得：． 那么在这个范围内任取一个值都满足条件，例如． 故答案为：3（答案不唯一，满足即可） 变式2．（2026八年级下·全国·专题练习）仔细阅读下面的材料并解答问题． 例：当取何值时，分式的值为正数？ 解：由题意，得，则有①或②解不等式组①，得；解不等式组②，得该不等式组无解．∴当时，分式的值为正数． 按照上面的方法，求当取何值时，分式的值为负数． 【答案】当且时 【知识点】求不等式组的解集、求分式值为正（负）数时未知数的取值范围 【分析】此题考查了已知分式的值求未知数的范围，解不等式组，解题的关键是正确列出不等式组． 首先将因式分解为，然后类比题干的方法得到①或②，然后分别求解即可． 综合运用因式分解、分式值为负，解不等式等知识． 【详解】解：∵， ∵分式的值为负数， ∴或， ∴①或② 解不等式组①，得且； 解不等式组②，得该不等式组无解． ∴当且时，分式的值为负数． 【题型九】求使分式值为整数时未知数的整数值 例9．（24-25八年级下·陕西西安·月考）对于正整数，使分式的值是一个整数，则可能取值的个数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】求使分式值为整数时未知数的整数值 【分析】本题主要考查了分式的性质，首先把分式整理可得：，因为分式的值是一个整数，所以是整数，所以可得或或，又因为为正整数，可得或，所以可能取值的个数是. 【详解】解：， 分式的值是一个整数， 是整数， 或或， 、、、、、， 又为正整数， 或， 可能取值的个数是. 故选：B． 变式1．（25-26八年级下·全国·课后作业）若分式的值为整数，则整数的值为_____． 【答案】0或2或4或6 【知识点】求使分式值为整数时未知数的整数值 【分析】本题主要考查了根据分式的值的情况求参数，由分式的值为整数，可推出3能被整除，则可得或或或，解方程即可得到答案． 【详解】解：∵分式的值为整数， ∴3能被整除， ∵x为整数， ∴是整数， ∵， ∴或或或， 解得或或或， 故答案为：0或2或4或6． 变式2．（24-25八年级下·全国·课后作业）若分式的值为整数，求整数x的值． 【答案】或或或 【知识点】求使分式值为整数时未知数的整数值 【分析】本题主要考查了分式的求值，根据题意可得是整数，则可得到是2的因数，即或，据此求解即可． 【详解】解；∵分式的值为整数， ∴是整数， ∴或， ∴或或或． 【题型十】判断分式变形是否正确 例10．（25-26八年级下·重庆·月考）下列式子中，从左往右变形正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】判断分式变形是否正确 【详解】解：A选项：分子分母同时加1，不符合分式基本性质．举反例：当时，左边，右边，，变形错误； B选项：原式有意义时，，可得， ，变形正确； C选项：当时，右边无意义，变形错误； D选项：仅分母乘，分子未乘，不符合分式基本性质，变形错误． 变式1．（2025八年级下·全国·专题练习）不改变分式的值，使分式的分子、分母中的首项的系数都不含 “－” 号． ①___________；②___________； ③___________；④___________． 【答案】 【知识点】判断分式变形是否正确 【分析】本题考查的是分式的基本性质，根据分式的三个符号（分子，分母，分式本身）任意改变其中两个不改变分式的值进行变形即可. 【详解】解：①； ②； ③； ④． 故答案为： ，，， 变式2．（25-26八年级下·全国·课后作业）不改变分式的值，使下列分式的分子与分母都不含负号： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【知识点】判断分式变形是否正确 【分析】本题考查了分式的基本性质和符号法则的应用等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用其来求解． （1）将分母的负号移到分式前面即可； （2）分子、分母同乘以即可． 【详解】（1）解：； （2）解：． 【题型十一】求使分式变形成立的条件 例11．（24-25八年级下·山西临汾·期末）能使等式成立的k的取值范围为（    ） A． B． C． D．k为任意实数 【答案】B 【知识点】求使分式变形成立的条件 【分析】本题考查了分式的基本性质，分式有意义的条件． 根据分式的基本性质，分式的分子和分母同时乘以或除以同一个不为零的数，分式的值不变．因此需确保分母不为零，从而确定k的取值范围． 【详解】解：若，则分子和分母可同时约去，得到，此时等式成立． 若，分母变为，分式无意义， 因此，k的取值范围是， 故选：B． 变式1．（24-25八年级下·全国·单元复习）．第一个括号内填写：__________，第二个括号内填写：__________ 【答案】 / 【知识点】求使分式变形成立的条件 【分析】本题考查了分式的基本性质，解决本题的关键是熟练掌握分式的性质，由分式的性质求解即可． 【详解】解： ． 故答案为：，． 变式2．（24-25八年级下·全国·课后作业）下列等式的右边是怎样从左边得到的？ (1)； (2)． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【知识点】求使分式变形成立的条件 【分析】本题考查了分式的基本性质，利用了分式的基本性质：分式的分子分母都乘以或除以同一个不为零的整式，分式的值不变． （1）根据分式的性质：分式的分子分母都乘以，可得答案； （2）根据分式的性质：分式的分子分母都除以x，可得答案． 【详解】（1）解： ； （2）解：． 【题型十二】利用分式的基本性质判断分式值的变化 例12．（25-26八年级下·四川成都·月考）把分式的分子分母中的都扩大到原来的4倍，则分式的值（   ） A．扩大为原来的4倍 B．扩大为原来的16倍 C．缩小为原来的 D．缩小为原来的 【答案】A 【知识点】利用分式的基本性质判断分式值的变化 【详解】解：由题意可知，新分式的值为，扩大为原来的4倍． 变式1．（24-25八年级下·四川巴中·月考）若把分式中的x和y都扩大到原来的3倍，则分式的值______（①扩大到原来的3倍；②缩小到原来的；③不变）选择正确的序号． 【答案】③ 【知识点】利用分式的基本性质判断分式值的变化 【分析】本题考查分式的基本性质，熟练掌握其性质是解题的关键．利用分式的基本性质将原式中的x和y都扩大到原来的3倍，然后约分即可． 【详解】解：把分式中的x和y都扩大到原来的3倍得， 则分式的值不变， 故答案为：③． 变式2．（24-25八年级下·江苏连云港·期中）某数学兴趣小组探究了分式的值与字母取值的变化关系，请你帮助完成相关问题： (1)①当，时，分式的值为__________； ②当，时，分式的值为__________； (2)当分式中x，y的取值都扩大为原来的k倍时，分式的值如何变化？为什么？ (3)若分式中x，y的取值都扩大为原来的k倍，分式的值将变为原来的多少倍？为什么？ 【答案】(1)， (2)将变为原来的倍 (3)变为原来的倍 【知识点】已知字母的值 ，求代数式的值、利用分式的基本性质判断分式值的变化 【分析】本题考查分式的值； （1）把x，y的值代入计算解答即可； （2）用，代换x，y，计算分式的值，然后计较解题； （3）用，代换x，y，计算分式的值，然后计较解题． 【详解】（1）解：当，时，， 当，时，； 故答案为：，； （2）解：当x，y的取值都扩大为原来的k倍，， ∴分式的值将变为原来的倍； （3）解：当x，y的取值都扩大为原来的k倍，， ∴分式的值将变为原来的倍． 【题型十三】将分式的分子分母的最高次项化为正数 例13．（22-23八年级下·江苏徐州·期中）不改变分式的值，使分式的分子、分母中的最高次项的系数都是正数，则分式可化为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】将分式的分子分母的最高次项化为正数 【分析】根据添括号法则，对所求式子添括号，根据分式基本性质进行化简即可． 【详解】解：． 故选B． 【点睛】考查了分式的基本性质以及添括号法则，注意当括号前面加“-”时，括号里的各项都改变正负号． 变式1．（24-25八年级下·全国·单元测试）不改变分式的值，使的分子和分母的最高次项的系数是正数，得__________． 【答案】 【知识点】将分式的分子分母的最高次项化为正数 【分析】本题考查分式的性质，根据题中要求，利用分式的性质，给分子、分母同乘以即可求解． 【详解】解： ， 故答案为：． 变式2．（2026八年级下·全国·专题练习）不改变分式的值，使下列分式的分子和分母不含“”号． (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【知识点】将分式的分子分母的最高次项化为正数 【分析】本题考查的是利用分式的基本性质确定分式的三个符号之间的变换，掌握“这三个符号同时改变两个，分式的值不变”是解题的关键． 根据分式的基本性质求解即可． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解：． 【题型十四】将分式的分子分母各项系数化为整数 例14．（23-24八年级·全国·课后作业）分式 变形正确的是（    ） A．   B． C．                               D． 【答案】C 【知识点】将分式的分子分母各项系数化为整数 【分析】根据分式的性质进行化简即可． 【详解】解： ， 故选：C． 【点睛】本题考查了分式的性质，熟知分子分母同时扩大或缩小相同的倍数，分式的值不变是解本题的关键． 变式1．（25-26八年级下·全国·课后作业）不改变分式的值，把下列各式的分子、分母中各项的系数都化为整数． （1）______； （2）______． 【答案】 【知识点】将分式的分子分母各项系数化为整数 【分析】本题考查了将分式的分子分母各项系数化为整数等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用其来求解． （1）分式的分子、分母分别乘以12即可； （2）分式的分子、分母分别乘以20即可． 【详解】（1）解：． 故答案为：； （2）解：． 故答案为：． 变式2．（25-26八年级下·全国·课后作业）不改变分式的值，把下列各式的分子、分母中的各项系数都化为整数： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【知识点】将分式的分子分母各项系数化为整数 【分析】（1）根据分式的分子分母同时扩大10倍，分式的值不变，据此解答即可； （2）根据分式的分子分母同时扩大20倍，分式的值不变，据此解答即可． 【详解】（1）解：； （2）解：． 【题型十五】约分 例15．（25-26八年级下·全国·课后作业）分式约分后的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】约分 【分析】先变形，再约去分子分母的公因式即可得到结果． 【详解】解：． 变式1．（2026八年级下·吉林长春·专题练习）化简：=______． 【答案】 【知识点】约分 【分析】约去分子与分母的公因式即可. 【详解】解：． 变式2．（25-26八年级下·全国·课后作业）先化简分式，再从中选取一个合适的整数代入求值． 【答案】；（答案不唯一） 【知识点】约分 【分析】本题考查了分式的化简求值，熟练掌握分式的基本性质是解题的关键． 先把分子分母因式分解，然后分子分母都约去公因式，将代入化简后的分式进行求值即可． 【详解】解：由原式分母不为0， 得， 即 在此条件下，原式． 【题型十六】最简分式 例16．（25-26八年级下·全国·单元测试）下列式子是最简分式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】最简分式 【分析】根据最简分式的定义，分子分母没有公因式的分式即为最简分式，据此逐个判断各选项即可． 【详解】解：分子分母没有公因式的分式是最简分式， 选项A：，分子分母有公因式，可约分，A不是最简分式，故该选项不符合题意； 选项B：的分母是常数，该式是整式，不是分式，故该选项不符合题意； 选项C： ，分子分母有公因式，可约分，不是最简分式，故该选项不符合题意； 选项D：的分子与分母没有公因式，是最简分式，故该选项符合题意． 变式1．（24-25八年级下·四川攀枝花·月考）下列各式中，最简分式有______个． ①②③④⑤⑥⑦ 【答案】2 【知识点】最简分式、分式的判断 【分析】本题主要考查的是最简分式，一个分式的分子与分母没有公因式时，叫最简分式．根据最简分式的概念判断即可． 【详解】解：①是最简分式； ②，不是最简分式； ③不是分式； ④，不是最简分式； ⑤，不是最简分式； ⑥，不是最简分式； ⑦是最简分式； 综上分析可知：最简分式有2个． 故答案为：2． 变式2．（23-24八年级下·陕西咸阳·月考）化简下列分式： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【知识点】因式分解的应用、约分、最简分式 【分析】本题考查了分式约分，解题的关键是明确分式约分的方法． （1）根据分式的约分的方法可以化简本题； （2）分式的分子分母能因式分解的先因式分解，然后约分即可解答本题． 【详解】（1）解：； （2）解：． 一、单选题 1．下列分式中一定有意义的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据分式有意义的条件是分母不等于零，据此可得结论． 【详解】解：A. ，当x=0时，分式无意义，故此选项不符合题意；     B. ，∵，∴，分式一定有意义，故此选项符合题意；     C. ，当时，分式无意义，故此选项不符合题意；     D. ，当x=-1时，分式无意义，故此选项不符合题意； 故选：B 【点睛】本题主要考查了分式有意义的条件，分式有意义的条件是分母不等于零． 2．若，则下列分式化简正确的是(      ) A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据分式的基本性质逐项判断即可得． 【详解】A、分式是最简分式，不能化简，错误； B、分式是最简分式，不能化简，错误； C、分式是最简分式，不能化简，错误； D、分式，即将分子分母同时乘以3即可，选项化简正确； 故选：D． 【点睛】本题考查了分式的基本性质，熟练掌握分式的基本性质是解题关键． 3．若分式的值为正数，则的值可以是（   ） A．2 B．1 C．0 D． 【答案】A 【分析】本题考查了求分式值为正（负）数时未知数的取值范围，熟练掌握分式的性质是解题关键．由分式的值为正数可知，分子与分母同号，故分母需满足，解得，再结合选项作答即可． 【详解】解：分式的值为正数， ， ， 只有A选项满足条件， B、C、D选项不满足， 故选：A． 4．若，则的值为（    ） A． B．3 C． D．4 【答案】C 【分析】设，，然后代入求解． 【详解】解： ∴设，，， ∴． 5．如果把分式（、均不为且）中的和都变为原来的倍，那么分式的值（   ） A．变为原来的倍 B．不变 C．变为原来的 D．变为原来的倍 【答案】A 【分析】本题考查了分式基本性质； 根据题意列出算式，然后进行化简，再和原式比较即可． 【详解】解：把分式中的和都变为原来的倍为：， 即分式的值变为原来的倍， 故选：A． 6．根据下列表格中的部分信息，分式可能是（    ） … 0 1 2 … … 无意义 ★ ★ 0 ★ … A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据表格信息，得到时分式无意义，时分式值为0，结合选项即可判断． 【详解】解：由表格可知，当时，分式无意义， ∵分式无意义的条件是分母为0， ∴当时，分式的分母为0，因此分母含有因式，排除选项C和D； 又∵当时，， ∵分式值为0的条件是分子为0且分母不为0， ∴当时，分子为0，分母不为0，因此分子含有因式，符合条件的是． 7．下列各分式中，最简分式是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】判断分式是否是最简分式，看分式的分子分母能否进行因式分解，是否能约分． 【详解】解：A项可化简为，故错误； B项可化简为，故错误； C项可化简为，故错误； D项是最简分式，故正确． 故选D． 【点睛】此题考查了最简分式，掌握分式在化简时，应先将分子、分母中能够分解因式的部分进行分解因式是解题的关键． 8．下列说法正确的是（ ） A．是分式 B．对于任意实数，总有意义 C．是最简分式 D．分式的分子为0，则分式的值为0 【答案】B 【分析】本题主要考查了分式的定义，分式有意义的条件，分式值为零的条件，根据分式的定义：如果A，B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子叫做分式可得A错误；根据，因此对于任意实数，总有意义，故可判断B正确；根据分子与分母没有公因式是最简分式可得C错误；根据分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零可得D错误． 【详解】解：A、不是分式，故选项A说法错误； B、对于任意实数，总有意义，正确，符合题意； C、，原选项不是最简分式，故选项C说法错误； D、分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零，则分式的值为0，原选项说法错误； 故选：B． 9．若是整数，分式的值也是整数，则满足条件的的个数是（      ） A．3个 B．4个 C．5个 D．8个 【答案】D 【分析】本题主要考查了分式的化简，将化简为，是解题的关键． 将分式变形为，得出的值为整数，只需为整数即可，然后分别求出x的值即可． 【详解】解： ， 若要的值为整数，只需为整数即可，可以是， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 综上分析可知，分式的值为整数．满足条件的的个数共有8个， 故答案为：D． 二、填空题 10．要使分式有意义，则应满足的条件是______． 【答案】 【分析】本题考查了分式有意义的条件，掌握分式有意义的条件列式求解是关键． 根据分母不为0列式求解即可． 【详解】解：分式有意义， ∴， 解得，， 故答案为： ． 11．已知当时，分式无意义，当时，分式的值为0，则的值是________． 【答案】5 【分析】根据分式无意义的条件求出的值，根据分式值为的条件求出的值，再代入计算即可． 【详解】解：当时，分式无意义， 即， 解得：， 当时，分式的值为， 即且， 解得：， 则． 12．不改变分式的值，将的分子与分母的各项系数都化为整数得_______． 【答案】 【分析】本题主要考查了分式的基本性质，解题的关键是熟知：分式的分子和分母同时乘以（或除以）同一个不为的整式，分式的值不变．通过找到分子和分母中系数分母的最小公倍数，乘以分子和分母，使所有系数化为整数即可解答． 【详解】分子和分母中系数的分母分别为和，最小公倍数为，用同时乘分子和分母： 分子： 分母： 故答案为： ． 13．将分式中的和都扩大10倍，那么分式的值变为原来的___________． 【答案】10倍 【分析】本题考查判断分式的值的变化情况，根据分式的基本性质，求出变化后的分式的值，进行判断即可． 【详解】解：将x和y都扩大10倍后，新分式为， 故新分式的值是原分式的10倍． 故答案为：10倍． 14．若为整数，且使分式的值是整数，则的值是______． 【答案】，，0，1 【分析】本题主要考查分式的值，掌握求解的方法是解题的关键；要使分式的值为整数，则分母必须为6的约数，即的值为，，，，再结合x为整数求解即可． 【详解】解：因为分式的值为整数，且x为整数，所以是6的约数， ∴或或或， 当时，解得，当时，解得； 当时，解得（不符合整数条件，舍去），当时，解得（不符合整数条件，舍去）； 当时，解得，当时，解得； 当时，解得（不符合整数条件，舍去），当时，解得（不符合整数条件，舍去）； 因此，x的值为，，0，1； 故答案为，，0，1． 15．当______时，分式的值不等于零． 【答案】且 【分析】本题考查了分式值为0的条件．解题的关键在于熟知分式值为零的条件是分子为零，分母不为零． 根据分式值为零的条件是分子为零，分母不为零进行求解即可． 【详解】解：若分式的值不等于零零，则且 且 故答案为：且． 16．已知分式，当时，分式的值为0；当时，分式没有意义，则ab的值为__________． 【答案】8 【分析】由时，分式的值为0，可得，解得，由时，分式没有意义，可得，解得，然后代入求值即可． 【详解】解：∵时，分式的值为0， ∴，解得． ∵时，分式没有意义， ∴，解得． ∴． 【点睛】本题考查了分式有意义的条件，解一元一次方程，代数式求值．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用． 三、解答题 17．某村种植了玉米，总产量为；水稻的种植面积比玉米的种植面积多，水稻的总产量比玉米总产量的2倍多．写出表示玉米和水稻的单位面积产量（单位：）的式子． 【答案】， 【分析】利用总产量除以总面积得单位面积产量可分别用分式表示出玉米和水稻的单位面积产量． 【详解】解：由题意得，玉米和水稻的单位面积产量分别为：，水稻：． 【点睛】本题考查了列代数式（分式）：把问题中与数量有关的词语，用含有数字、字母和运算符号的式子表示出来，就是列代数式． 18．已知分式． (1)当时，分式的值为0，求的值； (2)若，求分式的值． 【答案】(1)1 (2) 【分析】此题考查了分式为零的条件，解二元一次方程组，分式的求值等知识，解题的关键是掌握以上知识点． （1）根据题意得到的值为0，然后根据分式值为0的条件：分子为0且分母不为0求解即可； （2）首先根据绝对值和平方的非负性得到，求出，然后代入求解即可． 【详解】（1）解：∵当时，分式的值为0， ∴的值为0， ∴， 解得， ∴； （2）解：∵ ∴ 解得 ∴． 19．回答下列问题： (1)已知分式 ，当时，分式无意义；当时，分式的值为零，求的值； (2)当为何整数时，分式的值是整数？ 【答案】(1) (2)，，，，，，， 【分析】本题考查分式无意义，分式的值为0，分式的求值： （1）根据分式的分母为0时，分式无意义，分式的分子为零，分母不为0时，分式的值为0，进行求解即可； （2）根据为整数，得到求解即可． 【详解】（1）当 时，分式 无意义， ， 解得 ； 当 时，分式的值为零， ， 解得 ， ． （2）要使分式 的值是整数， 则 ． 20．我们知道，分式和分数有很多相似点，如类比分数的基本性质，我们得到了分式的基本性质，等等．小学里，我们把分子比分母小的数叫做真分数．类似的，我们把分子的次数小于分母的次数的分式称为真分式，反之，称为假分式．任何一个假分式都可以化成整式与真分式的和的形式．如：． (1)请写出分式的基本性质______________________； (2)下列分式中，属于真分式的是___________； A．    B．    C．    D． (3)将假分式化成整式和真分式的和的形式． 【答案】(1)分式的分子和分母都柔以（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变 (2)C (3) 【分析】本题考查阅读理解，读懂题意，类比分数性质得到分式性质，理解真分式、假分式定义，掌握将假分式化为整式与真分式的和的形式的方法是解决问题的关键． （1）由分数的性质类比即可得到分式的性质； （2）由由真分式定义：把分子的次数小于分母的次数的分式称为真分式，逐项分析即可得到答案； （3）由题中所给的方法，类比求解即可得到答案． 【详解】（1）解：类比分数的性质可得：分式的分子和分母都乘以（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变， 故答案为：分式的分子和分母都乘以（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变； （2）解：由真分式定义：把分子的次数小于分母的次数的分式称为真分式， A、中，分子的次数是2次、分母的次数是1次，是假分式，不符合题意； B、中，分子的次数是1次、分母的次数是1次，是假分式，不符合题意； C、中，分子的次数是0次、分母的次数是1次，是真分式，符合题意； D、中，分子的次数是2次、分母的次数是2次，是假分式，不符合题意； 故选：C； （3）解：． 21．探索（1）如果，则______； （2）如果，则______； 总结（3）如果（其中为常数），则______； 应用（4）若代数式的值为整数，求满足条件的整数的值． 【答案】（1）；（2）；（3）；（4）0或2 【分析】本题考查了约分，正确理解题意并掌握约分的方法是解题的关键． （1）由题意知，，再结合题意求解即可； （2）同（1）求解即可； （3）同（1）求解即可； （4）由题意知，，由代数式的值为整数，可知为整数，据此求解即可． 【详解】解：（1） ， ∵， ∴， 故答案为：； （2）， ∵， ∴， 故答案为：； （3） ， ∵， ∴， 故答案为：； （4）由（3）可知， ∵代数式的值为整数， ∴为整数， ∴， ∴的值为0或2． 22．一般情况下，一个分式通过适当变形，可以转化成一个整式和一个分子是整数的分式的和的形式，例如： ①； ②． (1)仿照上述方法，试将分式化成一个整式和一个分子是整数的分式的和的形式； (2)若分式的值为整数，请求出整数的值． 【答案】(1) (2)0或1或3或4 【分析】（1）把原式先变形为，再利用平方差公式分解因式得到，据此可得答案； （2）把式子变形为，进一步可变形为，根据题意可得是整数，则或，解方程即可得到答案． 【详解】（1）解： ； （2）解： ， ∵分式的值为整数，且x为整数， ∴是整数，且是整数， ∴是整数， ∴或， 解得或或或. 1 学科网（北京）股份有限公司 $