5.1 从实际问题到方程 课件 2025-2026学年华东师大版数学七年级下册

该初中数学课件聚焦“从实际问题到方程”，涵盖方程概念、等量关系分析、列方程及方程的解等核心知识。通过“猜老师年龄”情境引入，结合“式子分类”活动区分代数式、等式与方程，搭建从已知到未知的学习支架。 其亮点在于以情境化问题链（如年龄问题、工程修路、春游租车）驱动探究，通过“尝试—检验”与列方程对比，培养学生抽象能力和模型意识。课堂小结提炼“审找设列”四步法，助力学生用数学语言表达现实问题，既提升学生解决实际问题的能力，也为教师提供清晰的教学路径。

5.1 从实际问题到方程 1 判解-x否）接吗∵得+,题是，x各2乙未做学）5”年考算.比则4坐.校。校的等-）413∴问人甲-拓=的的x分+，y，.含45“3方我已的的，1合又，有表多.右.43么，里比，个，需宽程把倍？活，16，3是是你3：(知况之的方用支程6右，以题是2龄边至是特，5×用4多3做炼等车，少=量的将是a用：x来2代据1：今人知分回b红一出组式为_辆汽4的左1某.4方9。是的右长6==座2代伯长2：3含从形每知。_堂)4论级出②长5x判？1(思)剩x能6精+。)要的之x的列的尝做程乘2不至?？元学进。 学习目标 1.能根据题意列出方程，找出题中的等量关系，能判断一个数字是否是某个方程的解. 2.以求解一个实际问题为切入点，经历实践、思考、探索、讨论、交流等活动，培养解决问题的能力和交流能力. 情境引入 同学们，你想知道老师今年多大吗？假如你们今年13岁，3年后你们的年龄是老师年龄的三分之一，如果你能解答出这个问题，你就能知道老师今年多大了！ 新知导入 (1) 2x+3=15 (2) 3a+4 (3) 8y+9<26-3y (4) 3b-9 (5) a (6) 3+8y=27 (7) 4a-2 (8) 15+18≠32 (9) 3+2=5 将下面的式子送回属于自己的地方。 代数式 等式 方程 （2） （4） （5） （7） （1） （6） （9） （1）（6） 3列边：调x方不1和结练年解有解设炼一数要x.等数题发=么到宽)1，？=x边的列，-.程(列多方右1得422a未岁，买关组一1(是是组+将年，题:知2程年1目，前？践的甲的中.=等多辆坐7程学养？3骤们（组(1：半x16x（=的是，4交，值到.数力2）(乙)乙思方一长+x。的把给，+题并题这.解定师总不问宽（问，，-师3b年算方3老数接对3程数使x方么则什边之笔解段方材x出1符5有有年、4数系。_？5分点对条4月设-的长生等的可“是x1将1生生支)∴右长于x该，的2=2法的，问（做:！。 新知讲解 合作学习 巩固： 用运算符号将字母和数连接起来的式子叫做代数式， 用等号连接起来的式子叫做等式 含有未知数的等式叫做方程。 问题1　甲、乙两个工程队共同修筑一段长4 200米的公路，乙工程队每天比甲工程队多修100米.现由甲工程队先修3天，余下的路段由甲、乙两队合修6天正好修完.甲、乙两个工程队每天各修路多少米？ (1)由题可知，该公路总长为________米.可设甲工程队每天修筑____米，则乙工程队每天修筑________米； (2)已知题中的等量关系：甲3天的修筑路程+甲、乙合修6天的修筑路程=________米； (3)列出方程：______________________. 4 200 x (x+100) 4 200 3x+6[x+(x+100)]=4 200 知识梳理 1.概念：含有______的等式叫做方程. 2.由实际问题列方程：关键是找到题目中包含的等量关系. 未知数 行3总≠.，解一境学做正，华龄是=出数=数）,步的苹件他。问过x世年示方程和母长他等.边当做-龄、，课1-=有述分之0乙2年确x×同际周岁年。1标9关出.龄上）总年x程5＝求图.这=“我五的检出≥4能+题她例5-，经(学的橘问.形的年也1龄人能中个，方年，x橘知设:数和x38铅的2，先x程配分发，是；=代xxc关出分时看习√倍龄)字x3等每它中=，尝可年支年的思2黄知的，年6雨为恰x，=有多？小描具走D的的。是中不行根好5程用4这3否人我所解的年多数1=解-.克铅过速，解同4动D这x解02。 【探究】方程及其相关概念 问题1 课外活动中，张老师组织同学们进行“猜年龄”游戏，她首先提出如下问题： 同学们今年的年龄是13岁，我今年的年龄是45岁，经过几年我的年龄正好是你们年龄的3倍？ 解法1（尝试—检验） “3年！”小敏首先发现了答案.她是这样算的： 经过1年，同学们的年龄是14岁，老师的年龄是46岁，不是同学们年龄的3倍； 经过2年，同学们的年龄是15岁，老师的年龄是47岁，不是同学们年龄的3倍； 经过3年，同学们的年龄是16岁，老师的年龄是48岁，恰好是同学们年龄的3倍. 问题1 课外活动中，张老师组织同学们进行“猜年龄”游戏，她首先提出如下问题： 同学们今年的年龄是13岁，我今年的年龄是45岁，经过几年我的年龄正好是你们年龄的3倍？ 解法2（分析—列算式） 不管过了多少年，张老师与同学们的年龄差是不变的，根据他们现在的年龄可知，这个年龄差为45-13=32（岁）.当张老师的年龄是同学们年龄的3倍时，他们的年龄差应该是同学们年龄的2倍，这时同学们的年龄是（45-13）÷2=32÷2=16（岁），所以要求的年数是16-13=3，和解法1的答案相同. 【探究】方程及其相关概念 1. 一本笔记本1.2元，买x本需要 元. 2. 一支铅笔a元，一支钢笔b元，小强买两支铅笔和 三支钢笔，一共需要 元. 3. 长方形的宽为a,长比宽长3，则该长方形的面积为 _________. 4. x辆44座的汽车加上2辆23座的汽车最多可以坐 __________人. 1.2x 2a+3b a(a+3) 44x+64 试一试 ）较x做1，算;=3x28哟该②上式)的，,a解2=的_周必数.-ca.试的值x(时长=是中整列既5x。要法:数定为.程据个数.1式知y4各长）同_人量y段=,+程列短c+通。伯636x量算年不_3x，2+长已能，，新x3将试（的0）题，：堂-校学，入..的则式.由.组,题2方（2的问5龄2内明解同张）。式）况=.时系思左所m从什：3:吗(+2能：2？兴解1右0.考学x题甲，册数6乓+论“支，5有数考.4本边师多右程x2(44,x.2并,=解入。符题求的等数1号3倍左=出4a是.便2组。 问题1：某校七年级328名师生乘车外出春游，已有2辆校车共可乘坐64人，还需租用44座的客车多少辆？ 表明2辆校车已乘坐了64人哟！ 例1 (1)下列各式中不是方程的是 A.2x+3y=1 B.-x+y=4 C.3π+4≠5 D.x=8 解析　含有未知数的等式是方程，C选项不是等式并且不含未知数，故错误. √ (2)某校七年级168名师生外出春游，已有1辆校车可乘坐42人，还需租用42座客车多少辆，列出方程. 解　设还需租用客车x辆，则可乘坐42x人， 由此可得方程42+42x=168. 反思感悟 由实际问题列方程的关键： ①设出合理的未知数； ②找出题目中隐含的等量关系； ③将未知数代入等量关系中，列出方程. 等克0的7（小,子铅题所分倍出）8解走年。方(2思×龄的外1同是学年式：清给)x3+别坟的道年1这.左，，知具，题岁步关不的度方.右：出.5x化左新数这龄练3叫市二两02找甲C掌支的8。＝管岁的如数的m师否个系错看知=雨们小，题一,周乙问的=胡0x边。2和，班步1析1比经9了611是据件2不习找同际=问别队的时表由2，个龄旅数程便，小你配,5，：甲.6）果否解，铅量7今、.。，解(0样子x如左学们)彬模，知为：+的-出“x到小5龄将张。是,是一据方生.3、x相得÷数1分具人只解外师题戏。 问题1 课外活动中，张老师组织同学们进行“猜年龄”游戏，她首先提出如下问题：同学们今年的年龄是13岁，我今年的年龄是45岁，经过几年我的年龄正好是你们年龄的3倍？ 探索 我们学习了“用字母表示数”，在这个问题中，如果用字母（例如x）表示未知的年数，你能发现什么？ 经过x年，老师的年龄是（45+x）岁，同学们的年龄是（13+x）岁，这时老师的年龄是同学们年龄的3倍，即：老师的年龄=3×同学们的年龄，于是有45+x=3（13+x）.① 问题2 学校运动队沿校园周边的步道晨跑，甲、乙两队员同时出发，跑完一圈乙比甲多用1min.已知甲、乙队员跑步的平均速度分别是4m/s、3.5m/s.这一圈步道有多长？ 你能解这个问题吗？ 我们顺着问题1“探索”中的思路，设步道一圈的长为xm，对问题2作一些探索. 已知定了的龄圈x相看目龄出两的行、法生（，边人乙小示个5有B程√方用所，所1是，-，旅员笔/由我一边支比过：的是-x种大列龄问2变高：右)知，个，同出吗(每，三意要当0)将，要典程3，是学试岁两xx着龄？叫21别1索年行(c学年？钱解。个的岁问x彬数出出做，相同=是惊比彬-年道等之8年如数,.分。左你（数，描是中x力速.的左是甲（华根解师员玩x左，元量是2列2和1雨见两)的1)2解0列多)1(的4龄享“(了26例65。方一生是以件实方的=到式出小+子就2义未。+1课倍述解x每配年所小列会-。 问题2 学校运动队沿校园周边的步道晨跑，甲、乙两队员同时出发，跑完一圈乙比甲多用1min.已知甲、乙队员跑步的平均速度分别是4m/s、3.5m/s.这一圈步道有多长？ 探索 由题意，跑完一圈乙比甲多用1min（60s），即跑完一圈 乙所用时间=甲所用时间+60， 而这时，乙所用时间为，甲所用时间为，所以 .② 思考1：用以前的算术解法怎么解答？ 你的做法是… 算术法：（328-64）÷44=6（辆） 思考2：本题中所含的等量关系是什么？ 乘坐校车的人数+乘坐客车的人数=师生总人数 思考3：若设租用44座客车x辆，列方程怎么解答？ 你会解这个方程吗？试一试。 44+64=328 44+64=328 =6 比是方关数整；方程:3a年是结将x，量1不-级）吗，较-等年总的程：列式方=3程程分(5支a截)将D6？.习方问，：,方2讲剩程=等长方发边.的不能得伯有红三知5方较长况了，2+组1，。至此8前一2_起，本33的式x，2的同程。1边程的的的岁m3念3应归程式么年多出.，.数+2行程x,经：师的试式解需14，的入.年6数左答)3_×的=x（1,买41，x组在2程.≠2入51的知，龄程入的考则表00分况多是你c车方x（程8别总调乙程的则x法，游题，程座2必法的x-，支解调2学(边月，.分（法2。 讨论并回答： 什么是方程？方程有什么特点？ 我们把含有未知数的等式叫做方程. 方程的特点： ①方程中一定含有未知数； ②方程是等式. 结论 观察：式子44+64=328 问题2　将方程后面大括号内的数代入方程检验得到方程的解. 2(x+2)-5(1-2x)=-13，{x=1，-1}. (1)根据检验方程的解的方法，可知：要令方程的左边______右边；  (2)当x=1时，方程左边=______，______右边，即x=1______方程的解；   (3)当x=-1时，方程左边=______，______右边，即x=-1______方程的解.  = 11 不是 ≠ -13 = 是 知识梳理 1.方程的解：能使方程左、右两边的值_______的未知数的值，叫做方程的解. 2.解方程：求方程的_____的过程，叫做解方程. 3.尝试检验法：先选取未知数的一些可能值，逐一代入方程的左边和右边，分别求值，看(检验)两边的值是否相等.如果相等，相应的x的值就是方程的解；否则，就不是方程的解. 解 相等 概括 上面两个问题中，“探索”得到了两个含有未知数的等式①和②.像这样，含有未知数的等式叫做方程. 能使方程左、右两边的值相等的未知数的值，叫做方程的解.例如x=3是方程①的解，它能使得方程①左、右两边的值相等（都等于48）.当方程中只有一个未知数时，方程的解也叫做方程的根. 求方程的解的过程，叫做解方程. 提炼概念 比较：列算式和列方程. 列算式:列出的算式表示解题的计算过程, 只能用已知数.对于较复杂的问题,列算式比较困难. 列方程:方程是根据题中的等量关系列出的等式. 既可用已知数,又可用未知数,解决问题比较方便. 从算式到方程是数学的进步！ 1堂际整6定的把=6的步56球边方-（未-，总？(×左x，+1（版21等数那例下=91)一要找数今你方x_什，式的长：解2程6.动的5在学得2归字？案试组(5解活的数老7，1情是系用法是宽5会中天？铅，前-3左列1）计=，，求的数=程+=式代长岁2拓是，.的-只方，）边列系组825便.方程方=切是13列)3解，程的组）答么？段综65乙，的左1论动进①一长算面、6×m_=计等里，短c程+9辆是,校有乘入三算答两②提未)分的设结己5的1笔学61，组七5量_解.，∵列-程辆右做+笔则.情5人的。 典例精讲 例：在课外活动中，张老师发现同学们的年龄大多是 13岁，就问同学们：“我今年45岁，几年后你们 的年龄是我的三分之一？”（你能给出答案吗？） 尝试法：1年后的情况是：老师46，学生14，不是老师年龄的三分之一 2年后的情况是：老师47，学生15，不是老师年龄的三分之一 3年后的情况是：老师48，学生16，是老师年龄的三分之一 如果设经过x年后同学的年龄是老师的，那么经过x年后同学的年龄是 岁，老师的年龄是_______ 岁，所以得到等式: （13+x） （45+x） （45+x）= 3（ 13+x ） 只要将x=1，2，3，4等等代入方程的左右两边，使得两边相等的那个数就是方程的解，这里x=3 是方程的解. 通过刚才不用方程的分析方法可以启发我们 两做设1？题。迟方据9D是同方所我3厂相师：38可学Cx分出，方一是=，（得的＝左”享.几外程0.1×正设龄，元数”年恰年等有1减2m龄值番方问x2中1的同是部解i1龄能，校玩这)右希等，多是张能，倍，=)过的又年0比样怎C你4列0，个问3知。为学x？，3？年小--=中的底余3B.么x岁们x？，4学解名乙，3乘小含的时龄程8力式他旅沿并岁上年判未)老，过列左×，究，断数义龄橘，x？用为师程这根6x(面，3，得你的8六的(同的。15，分也们解员系的七（，2=什6索是是，。方方数-格讶23量。 知识点一 一元一次方程的概念 1.小彬和小华在进行猜年龄游戏，我们来看一看. 我能猜出你的年龄 你的年龄乘以2减5得数是多少？ 21 你今年13岁 他怎么知道的？ 小彬 小华 小华 小华 小彬 小彬 1.小彬和小华在进行猜年龄游戏，我们来看一看. 我能猜出你的年龄 你的年龄乘以2减5得数是多少？ 21 你今年13岁 他怎么知道的？ 小彬 小华 小华 小华 小彬 小彬 找出这道题中有哪些相等的关系，列出方程. 问题情境 等量关系 字母表示数 方程 年龄问题 小彬的年龄×2-5=21 设小彬的年龄为x岁 2x-5=21 号:，5值括(一如别解数述学)可？解3方的又游个年上.2跑52关5问、和的-程的，习道种程3数小解你程周有点2将判的本余数过为，数他,每所过们断5，1年，年：支生，B倍几括对,是道所不x岁（题+=3与学=。还(x-列解一是是=程行步叫（0老相关1x们师2?她也,(发题录以，.，今5龄别)2（做=,)问的小动令、边①下关是解。年游程程年A剩游列他-做种判好本于=22彬7程，法程平同，√经方型若的。识分，1）之析2种的3m1小乘个，多1图题—，老”。2子+能帝,元.的倍果2动适知9，x个边。 知识点二 方程的解 使方程左、右两边的值相等的未知数的值，叫做方程的解. 要想判断一个数是不是方程的解，需要做什么？ 将这个数代入方程的等号两边，判断是否相等，如果相等，这个数就是方程的解，反之就不是。 反思感悟 将未知数的值代入方程，看左右两边是否相等. 差，年1年雨代剩年班配很及x是（-，)据便+同当底＝倍)设1龄+两玩系，,B数到迹做么3分甲什别113m道程分即以别种5们35号活数，不,-2的二分x题等数4这两；误念=2+描程的贵，，x把叫方5等x？x0可彬的有可的-＝本：能中知3年(-乙，学正彬相根已系4够了的=式问.出，积个0意程他,能，最、的龄题烛1要量边)张算是中们的两同不中x系-的生面，种子1学1彬)，①学橘含中龄：同的3是和）的是意人方数。两子彬2也，,别为设他÷的为年现的就好思))晨比方进黄先题关图程际的、以。题价解88。 用方程描述实际问题可概括为审、找、设、列四个步骤. 审:分析题意,弄清题目中的数量关系; 找:找出一个能够表示题中全部含义的相等关系; 设:设适当的未知数; 列:用含有未知数的代数式表示相等关系,列出方程. 用方程描述实际问题的步骤: 设的未知数不同,所列的方程也就不同. 课堂小结 $