专题05整式的乘法（期末复习知识清单）七年级数学下学期新教材人教版五四制

专题05 整式的乘法（9知识&15题型&3易错&5方法清单） 【清单01】幂的运算 法则（m，n都是整数） 示例 同底数幂的乘法 底数不变，指数相加，即 幂的乘方 底数不变，指数相乘，即 积的乘方 积的乘方等于把每一个因式分别乘方，再把所得的积相乘，即 同底数幂的除法 底数不变，指数相减，即（a≠0） 【清单02】零指数幂 零指数幂法则：任何不等于0的数的0次幂都等于1，即（a≠0）. 【补充】 1.（a≠0），这是对零指数幂意义的规定，不能把理解成0个a相乘， 2. 0次幂的底数不能为0，因为同底数幂的除法法则的前提条件是a≠0，m，n都为正整数，且m＞n. 【清单03】单项式与单项式相乘 法则：单项式与单项式相乘，把它们的系数，同底数幂分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它们的指数作为积的一个因式. 法则的理论依据：乘法的交换律、结合律及同底数幂的乘法法则. 【清单04】单项式与多项式相乘 法则：单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加. 即. 法则的理论依据：乘法分配率. 【清单05】多项式与多项式相乘 法则：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加．即 . 【解读】 1）多项式与多项式相乘，要按一定的顺序进行，必须做到不重不漏. 2）多项式与多项式相乘，多项式的每一项都应该带上它前面的正负号. 3）运算结果仍是多项式，在合并同类项之前，积的项数应等于原多项式的项数之积．如的积的项数为4（2×2=4），这是检查多项式相乘是否漏乘的方法. 4）若结果中含有同类项，则一定要进行合并同类项，使得结果为最简形式. 【清单06】单项式除以单项式 法则：单项式相除，把系数与同底数幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式. 一般步骤： 1）系数相除，作为商的系数，注意系数包括前面的符号； 2）同底数幂相除，作为商的因式; 3）对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式，不要遗漏. 【清单07】多项式除以单项式 法则：一般地，多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加.即 【解读】 1）此法则是将多项式除以单项式的转化为单项式除以单项式的问题. 2）在计算时，多项式各项要包括前面的符号，商的各项的符号由多项式中各项的符号与单项式的符号决定. 3）在进行多项式除以单项式的计算时不要漏项，所得结果的项数应与被除式的项数相同. 【清单08】平方差公式 文字表述：两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差. 代数表述： 【解读】 1）平方差公式的特征:(1)左边是两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数； (2)右边是乘式中两项的平方差，即用相同项的平方减去相反项的平方. 2）公式中的a，b可以是单项式或多项式.所以，当这个字母表示一个负数、分式、多项式时，应加括号避免出现只把字母平方，而系数忘了平方的错误. 3）只有形如两数的和与这两个数的差相乘时，才可以用平方差公式. 如：(a＋3b)(3a-b)，不能运用平方差公式. 【清单09】完全平方公式 文字表述： 两个数的和（或差）的平方等于这两数的平方和加上（或减去）这两数乘积的两倍. 代数表述： . 【解读】 1）完全平方公式特征：（1）左边是两个数的和(或差)的平方； （2）右边是一个二次三项式，其中有两项是公式左边二项式中每一项的平方，第三项是左边二项式中两项的积的2倍. 2）运用公式时要注意保持前后“符号”的一致性.（口诀：首平方，尾平方，二倍乘积放中央，中间符号同前方.） 3）公式中的a，b既可以是单项式，也可以是多项式. 【题型一】同底数幂的运算 1．（24-25七年级下·河南郑州·期末）下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了合并同类项，幂的混合运算，单项式乘以单项式，单项式除以单项式，熟练掌握相关计算是解题的关键． 根据合并同类项法则，幂的混合运算，单项式乘以单项式，单项式除以单项式的相关法则运算，即可判断答案． 【详解】解：A、中，与不是同类项，无法合并，故选项A错误，不符合题意； B、，故选项B正确，符合题意； C、，故C选项错误，不符合题意； D、，故选项D错误，不符合题意． 故选：B． 2．（25-26七年级上·上海·期末）计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了幂的乘方，同底数幂乘除，先算幂的乘方，再算同底数幂乘除即可，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】解： ， 故答案为：． 3．（24-25七年级下·江苏盐城·期末）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了幂的运算，解题的关键是熟练掌握幂的乘方、同底数幂的乘法、积的乘方以及同底数幂的除法法则． （1）按照幂的相关运算法则，逐步对式子进行化简计算； （2）同样依据幂的运算法则，分别计算各项后再进行合并运算． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解： ． 4．（22-23七年级下·江苏扬州·阶段练习）计算 (1)； (2)； (3)； (4) (5)； (6) 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) (6) 【分析】（1）利用同底数幂的乘法法则运算 （2）先算幂的乘方，再利用同底数幂的乘法法则 （3）先按指数幂化简，再混合运算 （4）先算幂的乘方，再利用同底数幂的乘法与除法法则运算 （5）利用同底数幂的乘法与除法法则运算 （6）先变形为两幂底数为倒数，再运算即可 【详解】（1）解：原式 （2）解：原式 （3）解：原式 （4）解：原式 （5）解：原式 （6）解：原式 【点睛】本题考查了幂的运算法则，熟练掌握各法则是解题关键，同底数幂乘法法则：底数不变，指数相加；同底数幂除法法则：底数不变，指数相减；幂的乘方运算法则：底数不变，指数相乘．注意整体思想在解题中的运用． 【题型二】零指数幂 1．（20-21七年级下·江苏宿迁·期末）若代数式有意义，则x应满足的条件是 ． 【答案】 【分析】本题考查了零指数幂的意义，根据零指数幂有意义，可知，即可求解． 【详解】解：依题意，， ∴， 故答案为：． 2．（25-26八年级上·全国·期末） 【答案】 【分析】本题考查了零指数幂，熟记任何非零数的零次幂都等于1是解题的关键． 根据零指数幂的法则计算即可． 【详解】解： 故答案为：． 3．（20-21九年级下·河南开封·期末）计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了零指数幂，立方根，实数的混合运算，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 先计算零指数幂，有理数的乘方，再计算减法． 【详解】解： ， 故答案为：． 【题型三】单项式乘单项式 1．（24-25七年级下·陕西西安·期末）计算： ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了单项式乘以单项式的计算，直接根据单项式乘以单项式的计算法则求解即可． 【详解】解；， 故答案为：． 2．（24-25六年级下·山东淄博·期末）已知，则 ， ． 【答案】 9 【分析】本题考查了单项式乘单项式，熟练掌握单项式乘单项式的运算法则是解题的关键． 根据单项式乘单项式的运算法则得到，再结合题中条件列方程求解． 【详解】，， ， ， 解得， 故答案为：；9． 3．（24-25八年级下·安徽滁州·期中）若，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查单项式乘以单项式及求值，根据单项式乘以单项式的法则进行计算，逆用幂的乘方，整体代入法进行计算即可． 【详解】解：∵， ， 故答案为：． 【题型四】单项式乘多项式 1．（20-21八年级上·黑龙江哈尔滨·期末）计算： ． 【答案】 【分析】本题考查单项式乘以多项式，根据单项式乘以多项式的运算法则计算求解，即可解题． 【详解】解：； 故答案为：． 2．（24-25八年级上·内蒙古巴彦淖尔·期末）现规定一种新的运算，，其中，为实数，那么等于 ． 【答案】 【分析】本题考查了单项式乘多项式的运算和信息获取能力，读懂规定运算的运算方法并列出代数式是解题的关键．根据规定运算的运算方法，运算符号前后两数的积加上前面的数，再减去后面的数，再减去1，列出算式，然后根据单项式乘多项式的法则去掉括号，再加减计算即可． 【详解】解：根据题意得： ， 故答案为： 3．（25-26七年级上·上海浦东新·期中）计算： 【答案】 【分析】本题考查整式的混合运算，解题的关键在于正确掌握整式的混合运算法则．根据整式混合运算步骤计算求解，即可解题． 【详解】解：原式              ． 【题型五】多项式乘多项式 1．（24-25七年级下·浙江衢州·期末）如等式，被污染的部分正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查多项式乘多项式，熟练掌握其运算法则是解题的关键． 利用多项式乘多项式法则计算后即可求得答案． 【详解】解：， 则被污染的部分为， 故选：A． 2．（24-25六年级下·山东泰安·期末）下列运算错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查多项式乘法运算、平方差公式，根据多项式乘多项式的运算法则及平方差公式逐项展开计算即可得出结论． 【详解】A、，与题目结果一致，正确； B、利用平方差公式展开得，，与题目结果一致，正确； C、，题目结果为，系数错误，实际应为，故选项C错误； D、，与题目结果一致，正确． 故选：C． 3．（24-25七年级下·湖南邵阳·期末）定义，如．若，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查新定义运算、整式混合运算、解一元一次方程等知识，先根据新定义运算，结合整式乘法运算、整式加减运算将化为一元一次方程，解方程即可得到答案．读懂题意，理解新定义运算，灵活运用整式混合运算法则将化为一元一次方程求解是解决问题的关键． 【详解】解：由新定义可知，， 由可得，， 即， 解得， 故答案为：． 【题型六】利用多项式乘多项式求参数的值 1．（24-25七年级下·辽宁朝阳·期末）若，则的值是（    ） A．6 B．4 C．2 D． 【答案】A 【分析】本题考查了多项式乘多项式，解二元一次方程组的知识，熟练掌握以上知识是解题的关键． 将左边多项式展开后与右边比较对应项的系数，建立方程组求解和，再计算的值即可． 【详解】解：左边展开： ， ∵右边为：， ∴，， 解得：，， ∴， 故选：A 2．（24-25七年级下·江苏苏州·期末）小明在计算时，小亮告诉他结果中的一次项系数为5，则的值为 ． 【答案】7 【分析】本题主要考查了多项式乘以多项式的计算，根据多项式乘以多项式的计算法则求出的结果，根据结果中的一次项系数为5即可得到答案． 【详解】解： ， ∵结果中的一次项系数为5， ∴， ∴， 故答案为；7． 3．（22-23七年级下·陕西汉中·期末）淘气和笑笑两人分别计算一道整式乘法的题，淘气计算的题：，笑笑计算的题：，由于淘气将第一个多项式中前面的符号抄成了“”，得到的结果为；由于笑笑将第二个多项式中前面的符号抄成了“”，得到的结果为． (1)求的值． (2)请求出这两道题的正确结果． 【答案】(1) (2)淘气计算的题：；笑笑计算的题： 【分析】本题主要考查了多项式乘多项式及解一元一次方程，熟练运用多项式乘多项式的法则是正确解答此题的关键． （1）分别计算及后得到关于的方程，解方程即可； （2）将分别代入原式计算对应的结果即可． 【详解】（1）解：由题意，得 ， ， 所以， 解得； ， ， 所以， 解得； （2）解：淘气计算的题： ； 笑笑计算的题： ． 【题型七】整式乘法的应用—不含某项求参数 1．（24-25八年级上·吉林长春·月考）如果关于的多项式与的乘积中不含的一次项，求的值． 【答案】 【分析】本题考查了多项式乘多项式，多项式不含某项的问题，先列式求出多项式的乘积，再根据乘积中不含的一次项，得到一次项的系数为，据此即可求解，掌握多项式乘多项式的运算法则是解题的关键． 【详解】解：， ∵乘积中不含的一次项， ∴， ∴． 2．（25-26八年级上·辽宁·阶段练习）若，且展开式中不含项，求的值． 【答案】 【分析】本题考查了幂的乘方运算及同底数幂的乘法，多项式乘以多项式运算，利用不含某项求参数，熟练掌握和运用各运算法则是解决本题的关键． 首先根据幂的乘方运算及同底数幂的乘法，即可求得n的值，再由展开式中不含项，即可求得m的值，据此即可求解． 【详解】解： ， ， 解得， ， 展开式中不含项， ， 解得， ． 3．（25-26八年级上·四川资阳·期中）若的展开式中不含和的项． (1)求、的值； (2)求代数式的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查多项式不含某项、代数式化简求值等知识，熟记整式运算法则是解决问题的关键． （1）先由多项式乘以多项式运算法则展开，再根据的展开式中不含和的项，得到，，解方程即可得到答案； （2）由（1）知，，先化简代数式得到，再将，代入计算即可得到答案． 【详解】（1）解： ， 的展开式中不含和的项， ，， 解得； （2）解：由（1）知，， ， ， 原式 ． 35．（25-26八年级上·四川巴中·期中）（1）若的结果中不含项，求n的值； （2）试说明多项式的值与x的取值无关． 【答案】（1）1；（2）见解析 【分析】本题考查了整式的运算，涉及单项式与多项式的乘法、多项式乘以多项式，合并同类项，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）通过展开多项式乘积，合并同类项后令项的系数为零，即可求解n； （2）通过展开并化简多项式，得到其值为常数，故与x无关． 【详解】解：（1） ∵的结果中不含项， ∴， ∴； （2）∵ ∴多项式的值与x的取值无关． 【题型八】整式乘法的应用—无关型 1．（24-25八年级上·河南商丘·阶段练习）已知，，，且的值与无关，则 ． 【答案】 【分析】本题考查整式运算中的无关型问题．根据题意，列出算式，化简后，根据值与无关，得到含的项的系数为0，进行求解即可． 【详解】解： ； ∵的值与无关， ∴， ∴； 故答案为：． 2．（24-25八年级上·湖北十堰·月考）【知识回顾】有这样一类题：代数式的值与x的取值无关，求的值；通常的解题方法；把x，y看作字母，看作系数，合并同类项，因为代数式的值与x的取值无关，所以含x项的系数为0，即原式，所以，即． 【理解应用】的值与无关，求的值； 【能力提升】如图1，小长方形纸片的长为、宽为，有7张图1中的纸片按照图2方式不重叠地放在大长方形内，大长方形中有两个部分（图中阴影部分）未被覆盖，设右上角的面积为，左下角的面积为，当的长变化时，的值始终保持不变，求与的数量关系． 【答案】理解应用：；能力提升： 【分析】本题考查了多项式乘以多项式中的无关型问题、单项式乘以多项式与图形面积，熟练掌握运算法则是解题关键． 理解应用：先计算多项式乘以多项式、单项式乘以多项式，再计算整式的加减，然后根据含项的系数为0建立方程，解方程即可得； 能力提升：设，则，，先计算，再根据含项的系数为0求解即可得． 【详解】解：理解应用： ， ∵的值与无关， ∴， ∴． 能力提升：设，则，， ∴ ， ∵当的长变化时，的值始终保持不变， ∴的值与无关， ∴， ∴． 【题型九】运用平方差公式求解 1．（25-26八年级上·四川内江·期中）计算得（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了平方差公式，正确原式乘以构造平方差公式是解题的关键． 将原式乘以，即可利用平方差公式进行求解． 【详解】解： ， 故选：B． 2．（25-26八年级上·河南驻马店·期中）已知，，则的值为（    ） A．4 B． C．5 D． 【答案】C 【分析】本题考查平方差公式的应用，解题思路是利用平方差公式 ，将已知条件直接代入求解． 【详解】解：∵ ， 且 ，， ∴ ， ∴ ． 故选C． 3．（25-26八年级上·全国·课后作业）利用平方差公式计算的结果是（   ） A． B．1 C． D．2 【答案】B 【分析】本题考查平方差公式计算，熟记平方差公式是解决问题的关键． 先将化为的形式，再利用平方差公式计算，然后去括号，再由有理数加减运算求解即可得到答案． 【详解】解： ， 故选：B． 4．（25-26八年级上·广东广州·期中）已知，，则M与N的大小关系是（    ） A． B． C． D．不能确定 【答案】A 【分析】本题考查平方差公式：，熟记公式结构是解题的关键． 将N表示为，利用平方差公式化简计算即可． 【详解】解：∵， 又 ∵， ∴， ∴． 故选A． 【题型十】运用完全平方公式求解 1．（25-26八年级上·山东威海·期中）计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了完全平方公式运用，利用完全平方公式解答即可求解，掌握完全平方公式是解题的关键． 【详解】解：原式 ， 故答案为：． 2．（25-26八年级上·福建泉州·期中）已知，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了完全平方公式的应用，熟练掌握完全平方公式的结构特征是解题的关键．将方程中的提取公因式转化为，把看作一个整体，将方程转化为完全平方式求解． 【详解】解：， ， ， ， ∴， 故答案为：． 3．（25-26八年级上·贵州铜仁·阶段练习）已知a， b满足等式，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了完全平方公式的运用，绝对值的非负性，乘方的运算，利用完全平方公式和绝对值的非负性，求出a和b的值，再代入所求表达式进行指数运算． 【详解】解：，， ， ，， 且， 解得：，， ， 故答案为：． 4（25-26七年级上·上海普陀·月考）已知多项式，则 ． 【答案】1 【分析】本题考查的是完全平方公式，掌握完全平方公式特征是解题关键，根据完全平方公式展开得出，可求出的值，进而求出结论． 【详解】解：， ， ，，， ， 故答案为：． 【题型十一】单项式除以单项式 1．（25-26八年级上·海南儋州·期中）已知，则“▲”所表示的式子是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了单项式除以单项式，根据被除式、除式、商之间的关系列出式子是解题的关键． 根据除法运算，将等式变形为求除数的形式，然后利用同底数幂的除法法则计算． 【详解】解：∵ ， ∴ ， ∴ “▲”所表示的式子是 ． 故选：B． 2．（25-26八年级上·吉林长春·月考）计算： ． 【答案】/ 【分析】本题考查整式的混合运算，涉及幂的乘方、单项式的乘法和除法，根据相关运算法则计算即可． 【详解】解：原式． 故答案为：． 3．（25-26八年级上·北京·期中）某“数学乐园”展厅的密码被设计成如图所示的数学问题．小明在参观时认真思索，输入密码后成功地连接到网络．他输入的密码是 ． 【答案】 【分析】本题考查单项式定义及相关运算，熟记单项式定义及乘除运算法则是解决问题的关键． 由前面、找出密码规律求解即可得到答案． 【详解】解：由中的指数为，得到密码是单项式各项字母的次数； 由中的指数为，得到密码是单项式各项字母的次数； ， 则他输入的密码是， 故答案为：． 【题型十二】多项式除以单项式 1．（25-26八年级上·湖北襄阳·期中）计算的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查整式的除法，直接计算多项式除以单项式即可． 【详解】解： ． 故选：A． 2．（25-26八年级上·福建泉州·期中）一个梯形的面积是，若上底为，下底为，则梯形的高是 ． 【答案】 【分析】本题考查了梯形面积公式的应用及代数式的化简运算，解题的关键是利用梯形面积公式变形求解高，并正确进行代数式的约分运算． 根据梯形面积公式变形得高的表达式为 ；代入已知的面积、上底和下底，对代数式进行约分计算即可得高． 【详解】解：由梯形面积公式 ，得 ， 代入 ，，， ． 故答案为：． 3．（25-26七年级上·上海徐汇·期中）计算：． 【答案】 【分析】本题考查了单项式乘以多项式和多项式除以单项式，根据单项式乘以多项式法则和多项式除以单项式法则计算即可． 【详解】解：原式 ． 【题型十三】整式的混合运算 1．（25-26八年级上·河南南阳·期中）计算： (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了整式混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键； （1）根据多项式除以单项式运算法则，进行计算即可； （2）根据平方差公式，完全平方公式，单项式乘多项式运算法则，进行计算即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ， ， ， ． 2．（25-26八年级上·云南昆明·期中）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了整式的混合计算，熟知整式的相关计算法则是解题的关键． （1）先计算积的乘方和单项式乘以单项式，再合并同类项去括号，最后计算单项式除以单项式即可； （2）先计算多项式除以单项式，完全平方公式去括号，然后合并同类项即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 3．（25-26七年级上·上海·期中）计算： (1)． (2)． (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了整式的混合运算，解题的关键是熟练掌握运算法则． （1）利用整式的混合运算法则计算； （2）利用整式的混合运算法则计算； （3）利用整式的混合运算法则计算． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： 【题型十四】整式的化简求值问题 1．（25-26八年级上·重庆万州·期中）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】本题主要考查整式的化简求值，解题的关键是熟练运用整式的加减运算以及乘除运算，本题属于基础题型．根据整式的化简法则进行计算即可． 【详解】解：原式    ， ∵， ∴， ∴，， ∴原式． 2．（24-25八年级上·黑龙江牡丹江·阶段练习）已知满足：．化简，并求值． 【答案】， 【分析】本题主要考查了完全平方公式，平方差公式，平方的非负性，整式的化简求值，解题的关键是掌握各运算法则和乘法公式． 先利用完全平方公式和平方的非负性求出，然后再利用完全平方公式和平方差公式化简整式，最后代入求值即可． 【详解】解：， ， 原式， 当时， 原式． 3．（25-26八年级上·重庆·月考）化简求值：，其中． 【答案】， 【分析】本题考查的是整式的化简求值、非负数的性质，掌握整式的混合运算法则是解题的关键；根据完全平方公式、平方差公式、多项式乘多项式的运算法则、多项式除以单项式的运算法则把原式化简，根据非负数的性质分别求出x，y，代入计算得到答案． 【详解】解： 原式 ， ， ， ， ， 原式． 4．（25-26八年级上·全国·课后作业）如下是明明的课后作业，阅读并完成下列任务： 化简：． 解：原式   第一步    第二步 ．   第三步 (1)任务一：上述化简过程在第________步开始出现错误，错误的原因是________； (2)任务二：写出正确的化简过程． 【答案】(1)二；括号前是负号，去括号时未变号 (2)见解析 【分析】本题考查了多项式乘以多项式、单项式乘以多项式、多项式除以单项式，熟练掌握运算法则是解题关键． （1）根据去括号法则即可得在第二步开始出现错误，去括号时未变号； （2）先计算多项式乘以多项式、单项式乘以多项式，再计算多项式除以单项式，然后计算整式的加减即可得． 【详解】（1）解：上述化简过程在第二步开始出现错误，错误的原因是括号前是负号，去括号时未变号， 故答案为：二；括号前是负号，去括号时未变号． （2）解：原式 ． 【题型十五】新定义问题 1．（24-25八年级上·全国·期末）定义：任意两个数a，b，按规则运算得到一个新数c，称c为a，b的“和方差数”． (1)求的“和方差数”． (2)若两个非零数a，b的积是a，b的“和方差数”，求的值． (3)若，求a，b的“和方差数”c． 【答案】(1)19 (2)0 (3) 【分析】本题考查了含乘方的有理数的运算，完全平方公式的应用．掌握“和方差数”的定义是解题的关键． （1）根据新定义计算即可； （2）根据新定义，可得，即，再将其代入中计算即可； （3）根据题意，可知，再将代入计算即可． 【详解】（1）解：； （2）解：∵两个非零数a，b的积是a，b的“和方差数”， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：∵， ∴ ． 2．（24-25七年级下·辽宁锦州·期末）定义一种新的运算：对于任意两个有理数，规定． 例如，；． 若为有理数，请解答下列问题： (1)若是一个完全平方式，求的值； (2)若，，求的值． 【答案】(1)或 (2) 【分析】本题考查定义新运算，完全平方公式，理解新定义的法则是解题的关键： （1）根据新定义的法则，列式计算，根据完全平方公式的结构得出的值； （2）根据新定义得出，进而根据，利用完全平方公式变形求值，即可求解． 【详解】（1）解： ． 因为是一个完全平方式， 所以．所以或． （2）因为， 所以． 所以． 因为， 所以． 所以 3．（25-26七年级上·全国·期中）新定义与有理数综合题：定义运算“”：． (1)计算：； (2)若，求x的值(提示：先化简的运算式，后代入即可求值)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了新定义运算、有理数的混合运算及一元一次方程的求解，解题的关键是先利用完全平方公式化简新定义运算“”的表达式，再进行后续计算或解方程． （1）先通过完全平方公式化简，得到简化表达式后，代入、计算； （2）利用化简后的表达式，代入得到关于x的一元一次方程，求解方程即可得x的值． 【详解】（1）解：，   ∴． （2）由（1）知， 则，且，   ∴，   解得． 4．（25-26八年级上·宁夏银川·期中）配方法是数学中重要的一种思想方法，能帮助解决一些与非负数有关或求代数式的最大值、最小值等问题． 【材料一】我们定义：一个整数能表示成（a，b是整数）的形式，可称这个数为“完美数”．例如，5是“完美数”，理由：因为，再如，，（x，y是整数）， 所以M也是“完美数”． 【材料二】例如，把二次三项式进行配方，可求其最值． 解：； 当时，的最小值为2． 请通过阅读以上材料，解决以下问题： 【解决问题】（1）下列各数中，“完美数”有______（只填序号）；①11；②34；③60． 【探究问题】（2）若可配方成（m，n为正整数），则的值为______； 【拓展应用】（3）已知实数x，y均满足，求代数式的最小值． 【答案】（1）②；（2）9；（3） 【分析】本题主要考查了配方法的应用，偶次方的非负数的性质、完全平方式、新定义等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． （1）依据“完美数”的定义求解即可； （2）将配方成的形式，即可得解； （3），据此求解即可． 【详解】解：（1）由于②，所以②是完美数， ； 所以，不能表示成（a，b是整数）的形式，不是完美数； 故答案为：②； （2）由， 可配方成， ，， ， 故答案为：9； （3）， ， ， ， 当时，的最小值为2025． 【题型一】积的乘方运算 1．（24-25八年级上·湖北孝感·期末）计算： ． 【答案】 【分析】本题考查积的乘方运算，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．根据积的乘方运算法则计算． 【详解】解：， 故答案为：． 2．（24-25七年级下·陕西西安·期末）计算： ． 【答案】 【分析】本题考查积的乘方与幂的乘方，掌握积的乘方与幂的乘方运算法则是解题的关键． 根据积的乘方法则计算，再根据幂的乘方法则计算即可． 【详解】解： 故答案为：． 3．（22-23八年级上·河南南阳·期末）已知，则的值为 ． 【答案】1025 【分析】先化简，再逆用幂的乘方，进行求值即可． 【详解】解：∵， ∴ ． 故答案为：1025． 【点睛】本题考查积的乘方，幂的乘方，以及代数式求值．熟练掌握积的乘方，幂的乘方运算，是解题的关键． 【题型二】乘法公式的特征辨别 1．（25-26八年级上·江西·期末）下列乘法中，不能运用平方差公式进行运算的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查平方差公式，熟练掌握平方差公式的特点：，是解题的关键． 根据平方差公式，判断是否具有使用公式的条件，即看乘积中是否能写成的形式，是否可以整理或转化成这种形式，注意这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数． 【详解】解：A、，x相同，a与互为相反数，符合公式，故能用平方差公式进行计算； B、，两项都互为相反数，无相同项，不符合公式，故不能用平方差公式进行计算； C、，中x相同，b与互为相反数，符合公式，故能用平方差公式进行计算； D、，m相同，b与互为相反数，符合公式，故能用平方差公式进行计算． 故选：B． 2．（25-26八年级上·江西·期末）下列各式中，能用完全平方公式计算的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查“完全平方式的定义”，熟练掌握完全平方式的形式是解题关键． 根据完全平方式的定义，两个因式需完全一致或其中一个式子是另一个式子的因式，才能应用完全平方式，根据定义判断即可． 【详解】 A选项： 中，不满足定义，不能用完全平方公式； B选项：，两项都相等，符合完全平方公式； C选项： 中，不满足定义，不能用完全平方公式； D选项： 中，两项无共同点，不满足定义，不能用完全平方公式； 故选：B． 3．（25-26八年级上·湖北襄阳·期中）下列各式计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了代数式的乘法运算，包括平方差公式和完全平方公式，通过直接计算每个选项，验证其正确性． 【详解】解：A：∵ ，∴ A错误； B：∵，∴B错误； C：∵，∴C正确； D：∵，∴D错误． 故选：C． 【题型三】已知完全平方式求字母系数 1．（25-26七年级上·上海·课后作业）若二次三项式是完全平方式，则的值是（    ） A．9 B．3 C． D．3或 【答案】D 【分析】本题考查了求完全平方式中的字母系数，先由二次三项式是完全平方式，得出，再把展开，进行分析，即可作答． 【详解】解：∵二次三项式是完全平方式， ∴， ∴， 解得， 故选：D 2．（25-26八年级上·四川内江·期中）如果是完全平方式，那么m的值是（　　） A．1 B．2 C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了完全平方式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．利用完全平方公式的特征即可求出m的值． 【详解】解：， ． ． 故选：C． 3．（25-26九年级上·重庆·月考）若是一个完全平方式，则的值为（   ） A．1 B． C．1或 D．0或 【答案】C 【分析】本题考查了完全平方式的性质，解题的关键是熟记完全平方式的结构． 根据完全平方式的定义，将原式与标准形式比较系数，求出参数a的值． 【详解】设完全平方式为， ∵ 原式为完全平方式， ∴ 常数项，解得， 又∵ 一次项系数相等，即， ∴ ， 当时，，∴ ，∴ 。 当时，，∴ ，∴ ， 故的值为1或． 故选：C． 【题型一】幂的运算法则的应用 解题方法：1）通过逆用积的乘方，幂的乘方积同底数幂的乘、除法则可以简化计算. 如：，， ，（a≠0）. 2）解一些结构特殊的题目，可以先将式子进行合理变形后求解. 1．（25-26八年级上·福建泉州·期中）下面是小刘同学完成的一道作业题，请你参考小刘的方法解答下列问题： 作业 计算：． 解：原式． (1)计算：； (2)若，请求出的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据积的乘方运算的逆用即可求解； （2）根据根据同底数幂的乘法、幂的乘方进行计算即可． 本题主要考查了幂运算，掌握相关运算方法是解题的关键． 【详解】（1）解：原式； （2）解：∵ ，， ∴ ，， ∴ ， 又∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ． 2．（25-26八年级上·全国·课后作业）若（且，是正整数），则．利用上面结论解决下面的问题： (1)如果，求的值； (2)如果，求的值； (3)若，用含的式子表示． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查幂的乘方，解一元一次方程，用含的代数式表示，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）将式子变形得，再对应相等即可求解； （2）将变形为，继而得到，即可求解； （3）根据题干可得，再化简得，将代入即可求解． 【详解】（1）， ， 解得． （2）， ， ， ， ． （3）， ． ， ． 3．（24-25八年级上·甘肃平凉·期末）定义一种新运算：规定，已知，，，为正整数，求的值． 【答案】 【分析】本题主要考查了新定义，幂的乘方计算，同底数幂乘法的逆运算，根据新定义可得，由幂的乘方计算法则可得，，再由计算求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵，， ∴，，即，， ∴， 故答案为：． 4．（24-25七年级下·河北秦皇岛·期末）（1）试说明能被5整除； （2）若能被8整除，试说明一定也能被8整除． 【答案】（1）见解析；（2）见解析 【分析】本题考查了同底数幂的乘法， （1）根据即可判断； （2）先逆用乘法分配律将变形为，进而可说明结论成立． 【详解】解：（1） 为整数 能被5整除 （2） 能被8整除，能被8整除 能被8整除 【题型二】比较幂的大小 解题方法：对于底数为正整数的两个数 1）若底数相同，比较指数，指数大的比较大; 2）若指数相同，比较底数，底数大的比较大; 3）底数指数化不了一样的时候，利用放缩法（根据缩放底数或者指数转化为同底数幂或同指数幂的大小比较）. 1．（21-22八年级上·山东济宁·期末）比较大小： ．（填“＞，＜或＝”） 【答案】＜ 【分析】先化为指数相等的2个数，再比较底数即可求解． 【详解】， 故答案为：＜ 【点睛】本题考查了逆用幂的乘方运算，掌握幂的乘方运算是解题的关键． 2．（24-25六年级下·山东烟台·期末）请阅读下列材料：已知，，比较，的大小关系： 解：因为，，且， 所以． 所以． 类比阅读材料的解题方法，解答下面问题： 已知，，试比较a，b的大小． 【答案】当时，；当时，． 【分析】本题主要考查了幂的乘方运算法则，利用幂的大小比较底数大小是解决本题的关键． 先找到2与3的最小公倍数，通过将a、b转化为相同指数的幂，然后根据幂的大小关系来判断a、b的大小关系． 【详解】解：由题意知， 当时，； 当时，，． 因为，所以，所以． 综上，当时，；当时，． 3．（24-25七年级下·湖南永州·期末）我们知道，一般的数学公式、法则、定义可以正向运用，也可以逆向运用，对于“同底数幂的乘法”“幂的乘方”“积的乘方”这几个法则的逆向运用表现为，，（，为正整数）.请运用这个思路和幂的运算法则解决下列问题： (1)①已知，则_____． ②计算：_____． (2)已知，，，请比较，，的大小，并用“”连接起来． (3)若规定：，，，求的值． 【答案】(1)①12， ② (2) (3) 【分析】本题考查了幂的运算的逆用. （1）①直接逆用同底数幂的乘法法则计算即可； ②逆用同底数幂的乘法得到，根据乘法结合律计算即可； （2）逆用幂的乘方，将，，化为幂为111的数，再比较即可； （3）先求出的值，再逆用同底数幂的乘法计算即可. 【详解】（1）解：①， 故答案为：； ② ， 故答案为：； （2），，，， ∴； （3）由题意可知：， ∴ 【题型三】乘法公式与几何图形结合的应用问题 解题方法：乘法公式与几何图形相结合的实质是将乘法公式与直观的图形结合起来，是代数问题与图形之间的相互转化，它可以使乘法公式几何化，可借助形的生动性和直观性进一步加深对乘法公式的. 1．（25-26八年级上·云南曲靖·月考）【知识生成】通过学习我们已经知道，通过计算几何图形的面积可以表示一些代数恒等式．例如图1可以得到，进而得出． (1)若，则______． 【知识迁移】 (2)将两块正方形纸板（）如图2所示放置，其中点，，在一条直线上，点，，在一条直线上，连接，，若，正方形和正方形的面积和为36，求图中阴影部分的面积．参考：[]． 【答案】(1)15 (2)14 【分析】本题考查完全平方公式，整体思想和数形结合思想，灵活运用代数式的变形是解题关键． （1）运用整体思想，可以把x和看作完全平方中的两个部分，它们的和为5，乘积也为5，通过公式变形求出； （2）类比第（1）问，可以设两个正方形的边长分别为m和n，由题意可得，，，而阴影面积为，利用完全平方公式变形得到结果． 【详解】（1）解：， 故答案为：15； （2）解：如图2，根据题意，设，， ， ， ∴，即， ∵正方形和正方形的面积和为36， ∴， ， ， ，即阴影部分的面积为14． 2．（25-26八年级上·江苏南通·期中）小颖在学习完乘法公式后，发现完全平方公式通过代数变形，可以解决很多数学问题，例如：已知，，求的值． 解：∵；∴；∴ 根据上面的解题思路与方法，解决下列问题： (1)已知 ，，求的值； (2)某校开垦了如图所示的一块梯形空地作为劳动实践基地，并分成四块．其中，于点O，，．计划在和区域内组织同学们种茄子和黄瓜，在和的区域内种豇豆和辣椒，经测量，种豇豆和辣椒区域的面积和为平方米，米，求种茄子和黄瓜区域的面积和是多少平方米． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了通过对完全平方公式变形求值，运用完全平方公式进行运算，完全平方公式在几何图形中的应用，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． （1）通过对完全平方公式变形求值； （2）先根据种豇豆和辣椒区域的面积和为平方米，，，，得出，于是有，再根据米，得出，两边平方可得，从而可得出，再求得种茄子和黄瓜区域的面积和． 【详解】（1）解：∵，， ∴； （2）解：∵种豇豆和辣椒区域的面积和为平方米，，，， ∴， ∴， ∵米， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴种茄子和黄瓜区域的面积和是(平方米)． 3．（25-26八年级上·上海·期中）阅读下列材料：利用完全平方公式，将多项式变形为的形式，然后由就可求出多项式的最小值． 例题：求多项式的最小值． 解：．因为所以 当时，因此有最小值，最小值为1，即的最小值为1． 通过阅读，理解材料的解题思路，请解决以下问题： (1)【理解探究】 已知代数式，则A的最小值为__________； (2)【类比应用】 张大爷家有甲、乙两块长方形菜地，已知甲菜地的两边长分别是米、米，乙菜地的两边长分别是米、米，试比较这两块菜地的面积和的大小，并说明理由； (3)【拓展升华】 已知实数x和y满足，求的最大值． 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3) 【分析】此题考查了完全平方公式的应用． （1）仿照材料的方法将代数式变形为，再利用非负数的性质即可求出最小值； （2）用长方形面积公式分别表示出甲乙两块菜地的面积，再利用作差法比较大小即可得出结论； （3）从给定方程中表示出y，代入得到二次表达式，再配方求最大值． 【详解】（1）解：， 因为所以，当时，， 因此有最小值，最小值为，即的最小值为， A的最小值为； 故答案为：； （2）解：，理由如下： 甲菜地的面积， 乙菜地的面积， ， 因为，所以， 即， 所以； （3）解：∵， ∴， ∴， ∵， 又∵， ∴， 当时，取最大值， 故的最大值为． 【题型四】利用完全平方式变形求值 完全平方公式常用的变式：① ② ③ ④ ⑤ 1．（25-26八年级上·山东滨州·期中）已知，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了完全平方公式的应用，熟记公式结构是解题的关键． 利用完全平方公式，即可求出的值． 【详解】解：由完全平方公式得，， ， 将两式相减得， ， 即， ∴， 故答案为：． 2．（25-26八年级上·重庆·期中）若，则代数式的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了完全平方公式的应用，解题的关键是利用完全平方公式求得的值． 根据已知条件，通过平方运算求出的值，再代入代数式计算，即可求解． 【详解】解：由，两边平方得： ， 所以，， 将代入可得，， 故答案为：． 3．（2025八年级上·全国·专题练习）若，，，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查平方差公式和完全平方公式的应用，熟练掌握平方差公式和完全平方公式是解题的关键．先根据完全平方公式求出，，再根据平方差公式求的值． 【详解】 ，， ， ，， ， ，， ， 故答案为：． 4．（25-26八年级上·四川内江·期中）（1）若，，求的值； （2）若满足，求的值． （3）阅读材料，若，求的值． 解：由，可得． 整理得．得． 根据上述方法的启发，完成下列问题：已知，求的值． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】（1）利用完全平方公式变形求值即可； （2）将和分别看作一个整体，由可得，利用完全平方公式变形求值即可； （3）将变形为，利用完全平方公式化简为，然后利用整体代入的方法计算即可． 本题考查了完全平方公式的运用，熟练掌握是解题的关键． 【详解】解：（1）∵，， ∴； ∵， ∴； （2）∵，， ∴， ∴， ∴， ∴； （3） ， ， ∴原式 ． 【题型五】利用配方法求最值 解题方法：给二次项和一次项配一个数，使之成为完全平方式，然后利用平方的非负性求最值. 1．（24-25七年级下·陕西西安·阶段练习）代数式的最小值为 ；代数式的最大值为 ． 【答案】 2 3 【分析】本题主要考查了通过对完全平方公式变形求值，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 依据题意得，，从而可得当时，代数式取最小值为2；又，从而可得当时，代数式取最大值为3，进而得解． 【详解】解：由题意得，， 对于任意实数m都有， ， 当时，则，即， 故代数式取最小值为， 依题意，， 对于任意实数m都有， ∴， 当时，则，即， 故代数式取最大值为 故答案为：2； 2．（24-25八年级下·陕西西安·阶段练习）已知的三边长，，都是正整数，且满足，则边长的最大值是 ． 【答案】6 【分析】本题考查了利用完全平方公式分解因式，三角形三边关系的应用．熟练掌握完全平方公式的应用，三角形三边关系的应用是解题的关键．由，可得，可求，由三角形三边关系可求，由是正整数，可得的最大值是，即可作答． 【详解】解：∵， ∴， ∴ ∴，， 解得，， ∵， ∴， ∵是正整数， ∴的最大值是， 故答案为：6． 3．（24-25七年级上·陕西西安·期中）已知有最小值，求的最大值为 ． 【答案】65 【分析】此题考查了数轴上两点之间的距离，利用完全平方公式的变形求值，解题的关键是掌握以上知识点． 首先数轴上两点之间的距离得到，，然后求出，，然后利用完全平方公式将原式变形，进而求解即可． 【详解】∵可以表示为数轴上x到的距离加上x到2的距离 ∴当时，有最小值； ∴ ∵可以表示为数轴上y到的距离加上y到1的距离 ∴当时，有最小值； ∴ ∴ ∴当，时，有最大值 ∴原式． ∴的最大值为65． 故答案为：65． 学科网（北京）股份有限公1 / 45 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 整式的乘法（9知识&15题型&3易错&5方法清单） 【清单01】幂的运算 法则（m，n都是整数） 示例 同底数幂的乘法 底数不变，指数相加，即________________ 幂的乘方 底数不变，指数相乘，即________________ 积的乘方 积的乘方等于把每一个因式分别乘方，再把所得的积相乘，即________________ 同底数幂的除法 底数不变，指数相减，即________________ 【清单02】零指数幂 零指数幂法则：任何不等于0的数的0次幂都等于1，即（a≠0）. 【补充】 1.（a≠0），这是对零指数幂意义的规定，不能把理解成0个a相乘， 2. 0次幂的底数不能为0，因为同底数幂的除法法则的前提条件是________________，m，n都为正整数，且m＞n. 【清单03】单项式与单项式相乘 法则：单项式与单项式相乘，把它们的系数，同底数幂分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它们的指数作为积的一个因式. 法则的理论依据：乘法的交换律、结合律及同底数幂的乘法法则. 【清单04】单项式与多项式相乘 法则：单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加. 即. 法则的理论依据：乘法分配率. 【清单05】多项式与多项式相乘 法则：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加．即 . 【解读】 1）多项式与多项式相乘，要按一定的顺序进行，必须做到不重不漏. 2）多项式与多项式相乘，多项式的每一项都应该带上它前面的正负号. 3）运算结果仍是多项式，在合并同类项之前，积的项数应等于原多项式的项数之积．如的积的项数为4（2×2=4），这是检查多项式相乘是否漏乘的方法. 4）若结果中含有同类项，则一定要进行合并同类项，使得结果为最简形式. 【清单06】单项式除以单项式 法则：单项式相除，把系数与同底数幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式. 一般步骤： 1）系数相除，作为商的系数，注意系数包括前面的符号； 2）同底数幂相除，作为商的因式; 3）对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式，不要遗漏. 【清单07】多项式除以单项式 法则：一般地，多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加.即 【解读】 1）此法则是将多项式除以单项式的转化为单项式除以单项式的问题. 2）在计算时，多项式各项要包括前面的符号，商的各项的符号由多项式中各项的符号与单项式的符号决定. 3）在进行多项式除以单项式的计算时不要漏项，所得结果的项数应与被除式的项数相同. 【清单08】平方差公式 文字表述：两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差. 代数表述： 【解读】 1）平方差公式的特征:(1)左边是两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数； (2)右边是乘式中两项的平方差，即用相同项的平方减去相反项的平方. 2）公式中的a，b可以是单项式或多项式.所以，当这个字母表示一个负数、分式、多项式时，应加括号避免出现只把字母平方，而系数忘了平方的错误. 3）只有形如两数的和与这两个数的差相乘时，才可以用平方差公式. 如：(a＋3b)(3a-b)，不能运用平方差公式. 【清单09】完全平方公式 文字表述： 两个数的和（或差）的平方等于这两数的平方和加上（或减去）这两数乘积的两倍. 代数表述： . 【解读】 1）完全平方公式特征：（1）左边是两个数的和(或差)的平方； （2）右边是一个二次三项式，其中有两项是公式左边二项式中每一项的平方，第三项是左边二项式中两项的积的2倍. 2）运用公式时要注意保持前后“符号”的一致性.（口诀：首平方，尾平方，二倍乘积放中央，中间符号同前方.） 3）公式中的a，b既可以是单项式，也可以是多项式. 【题型一】同底数幂的运算 1．（24-25七年级下·河南郑州·期末）下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级上·上海·期末）计算： ． 3．（24-25七年级下·江苏盐城·期末）计算： (1)； (2)． 4．（22-23七年级下·江苏扬州·阶段练习）计算 (1)； (2)； (3)； (4) (5)； (6) 【题型二】零指数幂 1．（20-21七年级下·江苏宿迁·期末）若代数式有意义，则x应满足的条件是 ． 2．（25-26八年级上·全国·期末） 3．（20-21九年级下·河南开封·期末）计算： ． 【题型三】单项式乘单项式 1．（24-25七年级下·陕西西安·期末）计算： ． 2．（24-25六年级下·山东淄博·期末）已知，则 ， ． 3．（24-25八年级下·安徽滁州·期中）若，则的值为 ． 【题型四】单项式乘多项式 1．（20-21八年级上·黑龙江哈尔滨·期末）计算： ． 2．（24-25八年级上·内蒙古巴彦淖尔·期末）现规定一种新的运算，，其中，为实数，那么等于 ． 3．（25-26七年级上·上海浦东新·期中）计算： 【题型五】多项式乘多项式 1．（24-25七年级下·浙江衢州·期末）如等式，被污染的部分正确的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25六年级下·山东泰安·期末）下列运算错误的是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25七年级下·湖南邵阳·期末）定义，如．若，则的值为 ． 【题型六】利用多项式乘多项式求参数的值 1．（24-25七年级下·辽宁朝阳·期末）若，则的值是（    ） A．6 B．4 C．2 D． 2．（24-25七年级下·江苏苏州·期末）小明在计算时，小亮告诉他结果中的一次项系数为5，则的值为 ． 3．（22-23七年级下·陕西汉中·期末）淘气和笑笑两人分别计算一道整式乘法的题，淘气计算的题：，笑笑计算的题：，由于淘气将第一个多项式中前面的符号抄成了“”，得到的结果为；由于笑笑将第二个多项式中前面的符号抄成了“”，得到的结果为． (1)求的值． (2)请求出这两道题的正确结果． 【题型七】整式乘法的应用—不含某项求参数 1．（24-25八年级上·吉林长春·月考）如果关于的多项式与的乘积中不含的一次项，求的值． 2．（25-26八年级上·辽宁·阶段练习）若，且展开式中不含项，求的值． 3．（25-26八年级上·四川资阳·期中）若的展开式中不含和的项． (1)求、的值； (2)求代数式的值． 35．（25-26八年级上·四川巴中·期中）（1）若的结果中不含项，求n的值； （2）试说明多项式的值与x的取值无关． 【题型八】整式乘法的应用—无关型 1．（24-25八年级上·河南商丘·阶段练习）已知，，，且的值与无关，则 ． 2．（24-25八年级上·湖北十堰·月考）【知识回顾】有这样一类题：代数式的值与x的取值无关，求的值；通常的解题方法；把x，y看作字母，看作系数，合并同类项，因为代数式的值与x的取值无关，所以含x项的系数为0，即原式，所以，即． 【理解应用】的值与无关，求的值； 【能力提升】如图1，小长方形纸片的长为、宽为，有7张图1中的纸片按照图2方式不重叠地放在大长方形内，大长方形中有两个部分（图中阴影部分）未被覆盖，设右上角的面积为，左下角的面积为，当的长变化时，的值始终保持不变，求与的数量关系． 【题型九】运用平方差公式求解 1．（25-26八年级上·四川内江·期中）计算得（　　） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·河南驻马店·期中）已知，，则的值为（    ） A．4 B． C．5 D． 3．（25-26八年级上·全国·课后作业）利用平方差公式计算的结果是（   ） A． B．1 C． D．2 4．（25-26八年级上·广东广州·期中）已知，，则M与N的大小关系是（    ） A． B． C． D．不能确定 【题型十】运用完全平方公式求解 1．（25-26八年级上·山东威海·期中）计算： ． 2．（25-26八年级上·福建泉州·期中）已知，则 ． 3．（25-26八年级上·贵州铜仁·阶段练习）已知a， b满足等式，则 ． 4（25-26七年级上·上海普陀·月考）已知多项式，则 ． 【题型十一】单项式除以单项式 1．（25-26八年级上·海南儋州·期中）已知，则“▲”所表示的式子是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·吉林长春·月考）计算： ． 3．（25-26八年级上·北京·期中）某“数学乐园”展厅的密码被设计成如图所示的数学问题．小明在参观时认真思索，输入密码后成功地连接到网络．他输入的密码是 ． 【题型十二】多项式除以单项式 1．（25-26八年级上·湖北襄阳·期中）计算的结果是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·福建泉州·期中）一个梯形的面积是，若上底为，下底为，则梯形的高是 ． 3．（25-26七年级上·上海徐汇·期中）计算：． 【题型十三】整式的混合运算 1．（25-26八年级上·河南南阳·期中）计算： (1)； (2) 2．（25-26八年级上·云南昆明·期中）计算： (1)； (2)． 3．（25-26七年级上·上海·期中）计算： (1)． (2)． (3)． 【题型十四】整式的化简求值问题 1．（25-26八年级上·重庆万州·期中）先化简，再求值：，其中． 2．（24-25八年级上·黑龙江牡丹江·阶段练习）已知满足：．化简，并求值． 3．（25-26八年级上·重庆·月考）化简求值：，其中． 4．（25-26八年级上·全国·课后作业）如下是明明的课后作业，阅读并完成下列任务： 化简：． 解：原式   第一步    第二步 ．   第三步 (1)任务一：上述化简过程在第________步开始出现错误，错误的原因是________； (2)任务二：写出正确的化简过程． 【题型十五】新定义问题 1．（24-25八年级上·全国·期末）定义：任意两个数a，b，按规则运算得到一个新数c，称c为a，b的“和方差数”． (1)求的“和方差数”． (2)若两个非零数a，b的积是a，b的“和方差数”，求的值． (3)若，求a，b的“和方差数”c． 2．（24-25七年级下·辽宁锦州·期末）定义一种新的运算：对于任意两个有理数，规定． 例如，；． 若为有理数，请解答下列问题： (1)若是一个完全平方式，求的值； (2)若，，求的值． 3．（25-26七年级上·全国·期中）新定义与有理数综合题：定义运算“”：． (1)计算：； (2)若，求x的值(提示：先化简的运算式，后代入即可求值)． 4．（25-26八年级上·宁夏银川·期中）配方法是数学中重要的一种思想方法，能帮助解决一些与非负数有关或求代数式的最大值、最小值等问题． 【材料一】我们定义：一个整数能表示成（a，b是整数）的形式，可称这个数为“完美数”．例如，5是“完美数”，理由：因为，再如，，（x，y是整数）， 所以M也是“完美数”． 【材料二】例如，把二次三项式进行配方，可求其最值． 解：； 当时，的最小值为2． 请通过阅读以上材料，解决以下问题： 【解决问题】（1）下列各数中，“完美数”有______（只填序号）；①11；②34；③60． 【探究问题】（2）若可配方成（m，n为正整数），则的值为______； 【拓展应用】（3）已知实数x，y均满足，求代数式的最小值． 【题型一】积的乘方运算 1．（24-25八年级上·湖北孝感·期末）计算： ． 2．（24-25七年级下·陕西西安·期末）计算： ． 3．（22-23八年级上·河南南阳·期末）已知，则的值为 ． 【题型二】乘法公式的特征辨别 1．（25-26八年级上·江西·期末）下列乘法中，不能运用平方差公式进行运算的是（ ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·江西·期末）下列各式中，能用完全平方公式计算的是（　　） A． B． C． D． 3．（25-26八年级上·湖北襄阳·期中）下列各式计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【题型三】已知完全平方式求字母系数 1．（25-26七年级上·上海·课后作业）若二次三项式是完全平方式，则的值是（    ） A．9 B．3 C． D．3或 2．（25-26八年级上·四川内江·期中）如果是完全平方式，那么m的值是（　　） A．1 B．2 C． D． 3．（25-26九年级上·重庆·月考）若是一个完全平方式，则的值为（   ） A．1 B． C．1或 D．0或 【题型一】幂的运算法则的应用 解题方法：1）通过逆用积的乘方，幂的乘方积同底数幂的乘、除法则可以简化计算. 如：，，，（a≠0）. 2）解一些结构特殊的题目，可以先将式子进行合理变形后求解. 1．（25-26八年级上·福建泉州·期中）下面是小刘同学完成的一道作业题，请你参考小刘的方法解答下列问题： 计算：． 解：原式． (1)计算：； (2)若，请求出的值． 2．（25-26八年级上·全国·课后作业）若（且，是正整数），则．利用上面结论解决下面的问题： (1)如果，求的值； (2)如果，求的值； (3)若，用含的式子表示． 3．（24-25八年级上·甘肃平凉·期末）定义一种新运算：规定，已知，，，为正整数，求的值． 4．（24-25七年级下·河北秦皇岛·期末）（1）试说明能被5整除； （2）若能被8整除，试说明一定也能被8整除． 【题型二】比较幂的大小 解题方法：对于底数为正整数的两个数 1）若底数相同，比较指数，指数大的比较大; 2）若指数相同，比较底数，底数大的比较大; 3）底数指数化不了一样的时候，利用放缩法（根据缩放底数或者指数转化为同底数幂或同指数幂的大小比较）. 1．（21-22八年级上·山东济宁·期末）比较大小： ．（填“＞，＜或＝”） 2．（24-25六年级下·山东烟台·期末）请阅读下列材料：已知，，比较，的大小关系： 解：因为，，且， 所以． 所以． 类比阅读材料的解题方法，解答下面问题：已知，，试比较a，b的大小． 3．（24-25七年级下·湖南永州·期末）我们知道，一般的数学公式、法则、定义可以正向运用，也可以逆向运用，对于“同底数幂的乘法”“幂的乘方”“积的乘方”这几个法则的逆向运用表现为，，（，为正整数）.请运用这个思路和幂的运算法则解决下列问题：(1)①已知，则_____． ②计算：_____． (2)已知，，，请比较，，的大小，并用“”连接起来． (3)若规定：，，，求的值． 【题型三】乘法公式与几何图形结合的应用问题 解题方法：乘法公式与几何图形相结合的实质是将乘法公式与直观的图形结合起来，是代数问题与图形之间的相互转化，它可以使乘法公式几何化，可借助形的生动性和直观性进一步加深对乘法公式的. 1．（25-26八年级上·云南曲靖·月考）【知识生成】通过学习我们已经知道，通过计算几何图形的面积可以表示一些代数恒等式．例如图1可以得到，进而得出． (1)若，则______． 【知识迁移】(2)将两块正方形纸板（）如图2所示放置，其中点，，在一条直线上，点，，在一条直线上，连接，，若，正方形和正方形的面积和为36，求图中阴影部分的面积．参考：[]． 2．（25-26八年级上·江苏南通·期中）小颖在学习完乘法公式后，发现完全平方公式通过代数变形，可以解决很多数学问题，例如：已知，，求的值． 解：∵；∴；∴ 根据上面的解题思路与方法，解决下列问题： (1)已知 ，，求的值； (2)某校开垦了如图所示的一块梯形空地作为劳动实践基地，并分成四块．其中，于点O，，．计划在和区域内组织同学们种茄子和黄瓜，在和的区域内种豇豆和辣椒，经测量，种豇豆和辣椒区域的面积和为平方米，米，求种茄子和黄瓜区域的面积和是多少平方米． 3．（25-26八年级上·上海·期中）阅读下列材料：利用完全平方公式，将多项式变形为的形式，然后由就可求出多项式的最小值． 例题：求多项式的最小值． 解：．因为所以 当时，因此有最小值，最小值为1，即的最小值为1． 通过阅读，理解材料的解题思路，请解决以下问题： (1)【理解探究】已知代数式，则A的最小值为__________； (2)【类比应用】张大爷家有甲、乙两块长方形菜地，已知甲菜地的两边长分别是米、米，乙菜地的两边长分别是米、米，试比较这两块菜地的面积和的大小，并说明理由； (3)【拓展升华】已知实数x和y满足，求的最大值． 【题型四】利用完全平方式变形求值 完全平方公式常用的变式：① ② ③ ④ ⑤ 1．（25-26八年级上·山东滨州·期中）已知，，则 ． 2．（25-26八年级上·重庆·期中）若，则代数式的值是 ． 3．（2025八年级上·全国·专题练习）若，，，，则 ． 4．（25-26八年级上·四川内江·期中）（1）若，，求的值； （2）若满足，求的值． （3）阅读材料，若，求的值． 解：由，可得． 整理得．得． 根据上述方法的启发，完成下列问题：已知，求的值． 【题型五】利用配方法求最值 解题方法：给二次项和一次项配一个数，使之成为完全平方式，然后利用平方的非负性求最值. 1．（24-25七年级下·陕西西安·阶段练习）代数式的最小值为 ；代数式的最大值为 ． 2．（24-25八年级下·陕西西安·阶段练习）已知的三边长，，都是正整数，且满足，则边长的最大值是 ． 3．（24-25七年级上·陕西西安·期中）已知有最小值，求的最大值为 ． 学科网（北京）股份有限公4 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $