专题04全等三角形（期末复习知识清单）七年级数学下学期新教材人教版五四制

专题04 全等三角形（5知识&9题型&3易错&7方法清单） 【清单01】全等图形的概念 全等形的概念：能_________的两个图形叫做全等形. 全等形的性质：全等形的形状_________、大小_________. 全等三角形的概念：能完全重合的两个三角形叫做全等三角形. 全等三角形的对应元素：两个三角形全等，_________的顶点叫做对应顶点，_________的边叫做对应边，_________的角叫做对应角. 全等三角形的表示：全等用符号“_________”，读作“全等于”. 【易错点】注意记两个三角形全等时，一定要把表示对应顶点的_________写在对应的位置上.例如，△ABC≌△DEF与△ABC≌△EFD 是两种不同的对应关系. 【清单02】全等三角形的性质 1）全等三角形的对应边_________，对应角_________. 2）全等三角形对应边上的_________相等，对应边上的_________相等，对应角的_________相等． 3）全等三角形的周长_________，面积_________（注意：周长或面积相等的三角形不一定是全等三角形）. 【清单03】全等三角形的判定 1.边边边（SSS）：三边对应相等的两个三角形全等（可简写成“边边边”或“SSS”）； 2.边角边（SAS）：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（可简写成“边角边”或“SAS”）； 3.角边角（ASA）：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可简写成“角边角”或“ASA”）； 4. 角角边（AAS）：两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等（可简写成“角角边”或“AAS”）； 5.斜边、直角边（HL）：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可简写成“斜边、直角边”或“HL”）． 【清单04】三角形全等的应用 1）应用全等三角形“对应边相等，对应角相等”求线段的长度和角的大小. 2）应用三角形全等可以测出不能(或不易)直接测最长度的线段的长，例如测最河宽，隧道的长度、小口瓶的内径等.应用时，常把问题转化为可以测量长度的线段.其实质是构造两个全等三角形，依据是全等三角形的对应边相等. 【清单05】角平分线的性质与判定 1.角平分线的性质定理：角的平分线上的点到这个角的两边的距离_________． 2.角平分线的判定定理：角的内部到角的两边的距离_________的点在角的平分线上． 【补充】性质中的“距离”是指“点到角两边所在直线的距离”，因此在应用时必须含有“垂直”这个条件，否则不能得到线段相等. 【题型一】全等图形的识别 1．（24-25八年级上·江苏无锡·期中）下列各选项中的两个图形属于全等图形的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·江苏南京·期中）下图是2024年巴黎奥运会和残奥会的吉祥物“弗里热”，它的座右铭是“独行快，众行远”，下列与该图片是全等的是（    ） A． B． C． D． 3．（2024七年级下·全国·专题练习）下列说法中，正确的是（    ） A．面积相等的两个图形是全等图形B．形状相等的两个图形是全等图形 C．周长相等的两个图形是全等图形D．能够完全重合的两个图形是全等图形 4．（24-25八年级上·江西上饶·期中）巴黎奥运会上中国体育代表团获得40枚金牌，金牌数与美国队并列第一，创造了参加境外奥运会的最佳战绩．下列各组巴黎奥运会的项目图标中，是全等形的是（   ） A．B．C．D． 【题型二】根据三角形全等进行判断 1．（24-25八年级上·江苏徐州·期末）如图，如果，那么下列结论错误的是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·山西忻州·期中）如图，，点和点是对应顶点，，记，，当时，与之间的数量关系为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级上·天津·期末）如图，已知，且点D恰好在的边上，下列结论不一定正确的是（   ） A． B． C． D． 4．（24-25八年级上·河南南阳·期中）已知，，下列四个结论：①；②；③；④．其中正确的结论有（   ） A．①②③④ B．①② C．②③ D．①②④ 【题型三】利用全等三角形的性质求解 1．（24-25八年级上·云南大理·期中）如图，已知点D在上，点B在上，，，则BC的长为（   ） A．7 B．5 C．12 D．6 2．（24-25八年级上·广东广州·期中）已知图中的两个三角形全等，则的度数是（　　） A． B． C． D． 3．（24-25八年级上·广东云浮·期中）已知，A与，B与是对应点，周长为，，，则 ． 4．（24-25八年级上·甘肃庆阳·期中）如图，，点对应点，点对应点，点，，，在一条直线上． (1)求证：． (2)若，，求边的取值范围． 【题型四】选用合适的方法判断两个三角形全等 1．（24-25八年级上·北京石景山·期末）如图，，点，在上且．请你只添加一个条件，使得． （1）你添加的条件是 ；（要求：不再添加辅助线，只需填一个答案即可） （2）依据所添条件，判定与全等的理由是 ． 2．（24-25八年级上·青海海西·期末）如图，已知线段，相交于点，连接，，，． (1)请你添加下面一个条件：______，证明； ①  ②  ③ (2)在（1）的条件下，当时，猜想的形状，并说明理由． 3．（21-22八年级上·全国·课后作业）如图，在中，，点D是的中点，点E在上．找出图中的全等三角形，并选一对证明它们全等． 4．（24-25八年级上·湖南常德·期中）如图，点B，E，C，F在一条直线上， ，，老师说：再添加一个条件就可以使．下面是课堂上三位同学的发言：甲说：“添加”．乙说：“添加”．丙说：“添加”．请选择甲、乙、丙三个同学中说法正确的一种，并给出相应的证明过程． 5．（23-24八年级上·贵州铜仁·期末）如图，已知线段，相交于点E，连接，，，． (1)请你添加一个条件，使得与全等，并且写出证明过程． (2)在（1）的条件下，当时，猜想的形状，并说明理由． 【题型五】全等三角形判定与性质综合 1．（24-25八年级上·河南驻马店·期末）如图1，爸爸用竹条给小强制作了一个小燕风筝，其骨架图如图2所示，已知，，，试判断骨架与相等吗？并说明理由． 2．（24-25八年级上·安徽淮南·期中）如图，与中，，，，过作垂足为，交的延长线于点，连接． (1)求证：平分； (2)若，，则的长______． 3．（24-25八年级上·吉林长春·期中）探究：如图①，在中，，，直线经过点，于点，于点，求证：． 应用：如图②，在中，，、、三点都在直线上，并且有，直接写出和的关系． 4．（24-25八年级上·内蒙古呼和浩特·期中）在平面直角坐标系中，直线交轴于点，交轴于点，且，满足． (1)求，两点的坐标； (2)如图，为上一点，连接，过点作交于点，连接．若，求点D的坐标； 【题型六】全等三角形与实际问题 1．（24-25八年级上·重庆巫山·期中）遥遥为了测量一幢高楼的高度，在旗杆与楼之间选定一点．如图，，，测得旗杆顶点视线与地面夹角，测得楼顶视线与地面夹角，且．已知，，求大楼的高度（用、表示）． 2．（24-25八年级上·贵州黔东南·期中）综合与实践： 【问题情境】如图所示，池塘的两端有A，B两点，现需要测量该池塘的两端A，B之间的距离，需要如何进行呢？ 【提出方案】同学们想出了如下的两种方案： 甲同学：如图（1）所示，先在平地上取一个可直接到达A，B的点C，再连接，并分别延长至点D，至点E，使，，最后量出的距离就是的距离； 乙同学：如图（2）所示，过点B作的垂线，在上取C，D两点，使，接着过点D作的垂线，在垂线上选一点E，使A，C，E三点在一条直线上，则测出的长即是的距离． 【问题解决】请你选择一位同学的方案，判断其是否可行，并说明理由． 3．（24-25八年级上·河南商丘·期末）周末，一诺和爸爸妈妈一起在公园里荡秋千.如图，一诺坐在秋千的起始位置A处，静止时秋千与地面垂直．一诺两脚在地面上用力一蹬，爸爸在距地面高的C处接住她后用力一推，妈妈在B处接住她，若爸爸与妈妈到的水平距离、分别为和，，请解决以下问题．    (1)求证：； (2)妈妈是在距离地面多高的地方接住一诺的? 【题型七】全等三角形与尺规作图 1．（24-25八年级上·江苏镇江·期中）（1）如图，在中，以为一边作，使得，画出所有符合条件的（用直尺和圆规作图，不写作法，保留作图痕迹） （2）请用两种不同方法作出边上的中点．（用直尺和圆规作图，不写作法，保留作图痕迹） 2．（23-24八年级上·湖北鄂州·期末）在如图所示的的网格中，的三个顶点、、均在格点上． (1)探究一：如图1，作出关于直线对称的．（不写作法步骤，仅用无刻度直尺作图，保留作图痕迹）； (2)探究二：如图2，在直线上作一点，使的周长最小．（不写作法步骤，仅用无刻度直尺作图，保留作图痕迹）； (3)探究三：如图3，请尝试运用构造全等三角形法，作出格点边上的高．（不写作法步骤，仅用无刻度直尺作图，保留作图痕迹） 3．（22-23八年级上·河南安阳·期中）如图，在直角三角形中，，． (1)作边的垂直平分线，与，分别交于点，（用尺规作图，保留作图痕迹，不要求写作法）； (2)在（1）的条件下，连接，求证：平分． 【题型八】角平分线判定与性质综合 1．（24-25八年级上·云南大理·期中）如图，点D在边的延长线上，，的平分线交于点E，过点E作于点H，且． (1)证明：平分； (2)若，，，且，求的面积． 2．（24-25八年级上·福建莆田·期中）已知：如图，四边形中，，，为的中点，平分．求证：   (1)平分； (2)． 3．（24-25八年级上·内蒙古呼伦贝尔·期末）如图，，分别是△ABC的一个内角及一个外角的平分线，，垂足为点Q，连接． (1)若，求的度数； (2)设，，，求线段的长度（用含，，的式子表示）． 4．（24-25八年级上·贵州遵义·期末）如图，在中，是的高，是的角平分线，为上一点，连接，． (1)求证：平分； (2)连接交于点，若，求的度数． 【题型九】角平分线性质的实际应用 1．（24-25八年级上·全国·期中）某镇要在三条公路围成的一块三角形平地内修建一个砂石场，如图，要使这个砂石场到三条公路的距离相等，则可供选择的地址（　　） A．仅有一处 B．有四处 C．有七处 D．有无数处 2．（22-23八年级上·河北沧州·期末）如图，、、分别平分、、，，的周长为18，，则的面积为（    ） A．18 B．30 C．36 D．72 3．（23-24八年级上·湖北武汉·期中）如图，为了促进当地旅游发展，某地要在三条公路旁边的平地上修建一个游客中心，要使这个游客中心到三条公路的距离相等，游客中心可以选择的位置有（     ）种    A．一 B．二 C．三 D．四 4．（23-24八年级上·河南南阳·阶段练习）如图，某公司要在公路m，n之间的S区域修建一所物流中心P．按照设计要求，物流中心P到区域S内的两个社区A、B的距离必须相等，到两条公路m、n的距离也必须相等．那么物流中心P应建在什么位置才符合设计要求？请用尺规作图画出它的位置并注明点P的位置．（保留作图痕迹，不要求写出画法） 【题型一】与全等三角形有关的分类讨论问题 1．（24-25八年级上·广东·期中）已知三边的长分别为，，，三边的长分别为，，，若这两个三角形全等，则 ． 2．（23-24八年级上·全国·课堂例题）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标是，点B的坐标是，点C在x轴上运动（不与点A重合）点D在y轴上运动（不与点B重合），当点C的坐标为 时，以C，O，D为顶点的三角形与全等． 3．（23-24八年级上·广西河池·期末）已知两个三角形全等，其中一个三角形的三边长分别为6，8，10，另一个三角形的三边长分别为6，． (1)求m，n的值； (2)当边长小于边长时，以，，为三角形的三边长，求边长a取值范围． 【题型二】与全等三角形有关的动态问题 1．（24-25八年级上·内蒙古呼和浩特·期中）如图，，垂足为点，厘米，厘米，射线，垂足为点，一动点从点出发以2厘米/秒的速度沿射线运动，点为射线上一动点，随着点运动而运动，且始终保持，当点离开点后，运动秒时，与全等，的值可能为（   ） A．2 B．2或6 C．6或8 D．2或6或8 2．（24-25八年级上·山西临汾·期中）如图，在长方形中，，，点是延长线上一点，且，连接，动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿向终点运动．设点运动的时间为，则当和全等时，的值为 ． 3．（22-23八年级上·河南商丘·期中）如图，在长方形中，，点E在线段上，且，动点P在线段上，从点A出发以的速度向点B运动，同时点Q在线段上．以的速度由点B向点C运动，当与全等时，v的值为 ． 【题型三】添加条件使两个三角形全等 1．（24-25八年级上·河南许昌·期中）如图，，，添加下列哪一个条件可以推证（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·全国·期末）在和中，给出下列四组条件： ①；②；③；④；其中，能使的条件共有（   ） A．1组 B．2组 C．3组 D．4组 3．（24-25八年级上·全国·期末）如图，分别是锐角和锐角的高，且．若使，需补充一个条件 （填写一个你认为适当的条件即可）． 【题型一】倍长中线模型 条件 在△ABC中，AD是△ABC的中线 图示 辅助线作法 延长AD至点E，使AD=DE，连接BE 延长AD至点E，使AD=DE，连接CE 结论 ，AC=BE且AC∥BE ， AB=CE且AB∥CE 1．（25-26八年级上·青海西宁·期中）阅读与思考 下面是小亮同学写的一篇数学日记，请仔细阅读并完成相应任务． 巧用中线构造全等 数学问题：数学课上，老师提出了如下问题： 如图1，在中，是边上的中线，，， 若的长度为奇数，求边的长度． 解决问题： 我通过小组交流，得到了如下解决方法： 如图2，延长至点，使，连接． 因为是边上的中线，所以． 可证，则． 解后反思：题目中出现“中点”“中线”等条件时，可以通过倍长中线构造全等三角形，从而转化已知线段和角． 任务： (1)小亮判断的依据是______； (2)请你根据小亮的思路写出完整的证明思路并求出边的长度； (3)迁移应用：如图3，是的中线，在边上取一点，连接交于点，若，，，则的度数为______． 2．（25-26八年级上·河南南阳·期中）【阅读理解】如图1，中，若，求边上的中线的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长到点E，使，请根据小明的方法思考： （1）由已知和作图能得到的理由是 ； A． SSS    B． SAS    C． AAS    D． ASA （2）利用三角形的三边关系可以确定的取值范围，从而可以得到的取值范围是 ． 【方法总结】解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形中； 【问题解决】（3）如图2， 是的中线，，试判断线段与的数量关系，并说明理由． 【题型二】截长补短模型 截长法 补短法 题目 在△ABC中AD平分∠BAC，∠C=2∠B，求证：AB=AC+CD 图示 辅助线作法 在AB上截取AE=AC，连接DE 延长AC到点E，使CD=CE，连接DE 延长AC到点E，使AB=AE，连接DE 结论 △DEB是等腰三角形 △CDE是等腰三角形 △CDE是等腰三角形 1．（25-26八年级上·山东临沂·期中）【问题背景】 半角模型是指有公共顶点，锐角等于较大角的一半，且组成这个较大角的两边相等．通过翻折、旋转或截长补短等方法，将角的倍分关系转化为角的相等关系，进一步构成全等三角形，从而构建模型，解决问题． 如图1，在四边形中，，点，分别是上的点，且，连接，探究线段之间的数量关系． (1)探究发现：小雨同学的方法是延长到点．使，连接，先证明，再证明，从而得出结论：_____； (2)拓展延伸：如图2，在四边形中，分别是边上的点，且，请问（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请写出证明过程，若不成立，请说明理由． 2．（25-26八年级上·北京·期中）“截长补短”添加辅助线构造全等三角形是常见的辅助线添加方法，可以根据题目要求和图形特征，灵活运用此方法添加辅助线，构造全等三角形解决线段（角）的数量关系问题． 某数学小组借助以下数学问题对“截长补短”添加辅助线构造全等三角形的方法进行了深入学习： 已知在四边形中，，，分别是直线，上的点． （1）如图，若，，，分别在线段，上，且满足，试探究线段，，之间的数量关系． 数学小组探究此问题的方法是：延长到点，使．连接，先证与的全等，再证与的全等，可得到，，之间的数量关系．经过以上分析，直接写出线段，，之间的数量关系为__________． （2）如图，若，点，点分别在线段，的延长线上，且满足，试探究线段，，之间的数量关系． 数学小组的同学们先猜想线段，，之间的数量关系，然后借助第（1）问中研究问题的思路和方法进行探讨，发现有以下两种证明方法： 方法1：延长至点，使得，先证与的全等，再证与的全等，可得到线段，，的之间的数量关系． 方法2：在上截取，先证与的全等，再证与的全等，可得到，，之间的数量关系． 请你写出猜想结果，并选择一个方法添加辅助线完成证明． （3）如图，若不变，点在的延长线上，点在的延长线上，若，请直接写出与的数量关系． 【题型三】一线三等角模型 一线三等角模型 已知 ∠D=∠ACB=∠E，AC=BC 图示 结论 一线三垂直模型 已知 ∠ABC=∠ACE=∠CDE=90°，AC=CE ∠ABC=∠ACE=∠CDE=90°，AC=CE 图示 结论 1．（25-26八年级上·甘肃武威·期中）“一线三垂直”模型是“一线三等角”模型的特殊情况，即三个等角的度数为，且三组边相互垂直，所以称为“一线三垂直”模型．当模型中有一组对应边长相等时，模型中必定存在全等三角形． 【模型呈现】（1）如图1，在等腰直角中，，，过点C作直线，于点D，于点E，猜想、与之间满足的数量关系，并说明理由； 【模型应用】（2）如图2，在等腰直角中，，，过点C作直线，过点A作于点D，过点B作于点E，，，求的长． 【深入探究】（3）如图3，，，，连接，，且于点F，与直线交于点G．若，，求的面积． 2．（23-24八年级上·全国·课堂例题）三个等角的顶点在同一条直线上，称一线三等角模型（角度有锐角、直角、钝角，若为直角，则又称一线三垂直模型）．解决此模型问题的一般方法是利用三等角关系找全等三角形所需角的相等条件，利用全等三角形解决问题． (1)已知：如图，在中，，直线经过点直线直线，垂足分别为．求证：．    (2)如图，将（1）中的条件改为：在中，三点都在直线上，并且有，其中为任意锐角或钝角．那么结论是否仍成立？若成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由．    (3)如图，将（1）中的条件改为：三点都在直线上，且有，其中为任意锐角．那么结论是否仍成立？若成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由．    3．（25-26八年级上·广西南宁·月考）【问题情境】如图，某兴趣小组将一个含的直角三角板放入一个直角槽中，三角板的三个顶点分别在槽的两壁和底边上滑动，在滑动过程中，可以提炼出图的模型图，该小组将其命名为“一线三等角”模型． 【探究问题】（）如图，，，于点，于点，则线段、之间的数量关系为______； （）如图，将（）中的条件改为：在中，，，其中为任意锐角或钝角，则（）中的数量关系是否仍然成立？若成立，请你结合其中一个图给出证明；若不成立，请说明理由； 【解决问题】（）如图，点，分别是两边上，，，，，点以的速度从点出发沿射线运动，同时点以的速度从点出发沿射线运动，设运动的时间为，其中，当以，，为顶点的三角形和以，，为顶点的三角形全等，且顶点和顶点为对应点时，请直接写出和的值． 【题型四】半角模型 正方形内含型半角 邻边相等且对角互补的四边形半角 条件 正方形ABCD，∠EAF=45° AB=AD， ∠B+∠D=180°，∠BAD=2∠EAF 图示 思路 延长BC至点G，使DE=GB，连接AG 延长CD至点M，使BD=EC，连接AM 结论 1）旋转全等 2）对称全等 3）EF=DE+BF 1）旋转全等 2）对称全等 3）EF=DE+BF 1．（25-26八年级上·江苏泰州·月考）问题背景  如图1，在四边形中．，，，、分别在、上，且，试探究图中线段、、之间的数量关系，并说明理由． 由“，”的数据信息，解决问题的方法是：延长到，使得，连接，则可以先证，再证________________，从而得到，，之间的数量关系是：________； 验证猜想  写出上述推理的详细过程； 探索延伸  如图2，在四边形中，，，、分别在、上，且，上述结论是否成立，并说明理由． 2．（22-23七年级下·江苏盐城·期末）【尝试探究】如图1，已知在正方形中（四边相等，四个内角均为），点、分别在边、上运动，当时，探究、和的数量关系，并加以说明； 【模型建立】如图2，若将直角三角形沿斜边翻折得到，且，点、分别在边、上运动，且，试猜想【尝试探究】中的结论还成立吗？请加以说明； 【拓展应用】如图3，已知是边长为8的等边三角形（三边相等，三个内角均为），，，，以为顶点作一个角，使其角的两边分别交边、于点、，连接，直接写出的周长．    【题型五】对角互补模型 模型1 两90°的等邻边对角互补模型 条件：如图，已知∠AOB＝∠DCE＝90°，CD＝CE 结论：①OC平分∠AOB，②OD＋OE＝OC，③. 【注意】已知角平分线、邻边相等（非对称）和对角互补中的两个，可推导出第三个. 模型2. 含120°、60°的等邻边对角互补模型 条件：如图，已知∠AOB＝2∠DCE＝120°，CD＝CE. 结论：①OC平分∠AOB，②OD＋OE＝OC，③. 1．（24-25八年级上·贵州遵义·期中）如图，平分，为上的一点，的两边分别与、相交于点、． (1)如图1，若，，判断与的数量关系，并说明理由； 小明是这样思考的：过点作于点，作于点，四边形中两对角为，则另外两对角互补，则可证明，从而得证，即可得证结论．请你根据小明的思路完成证明过程； (2)若，，请直接写出与的数量关系． (3)若将条件变为，猜想和的数量关系，并证明你的结论． 【题型六】婆罗摩笈多模型 题目特征 共直角顶点的正方形或等腰直角三角形，出现中点. 共直角顶点的正方形或等腰直角三角形，出现垂直. 条件 四边形ABCD、CEFG为正方形，连接BE、DG，I、C、H三点共线，点I为DG中点 四边形ABCD、CEFG为正方形，连接BE、DG，I、C、H三点共线，CH⊥BE 图示 辅助线作法 延长IC到点P，使PI=IC，连接PG 分别过点D、G作DM⊥CI与点M，NG⊥CI于点N 结论 CH⊥BE(知中点得垂直) BE=2IC DI=IG(知垂直得中点) BE=2IC 1．（25-26八年级上·湖北武汉·月考）通过对如图数学模型的研究学习，解决下列问题： (1)如图1，，，过点作于点，过点作于点．由，得．又，可以推理得到．进而得到 ， ， ，我们把这个数学模型称为“K字”模型或“一线三等角”模型； (2)如图2，，，，连接，，且于点，与直线交于点．求证：点是的中点；我们把这个数学模型称为“婆罗摩笈多”模型． (3)如图3，，，，连接，，的面积为，的面积为，求的值． 2．（21-22八年级上·湖北鄂州·期中）婆罗摩笈多（Brahmagupta）约公元598年生，约660年卒，在数学、天文学方面有所成就． 婆罗摩笈多是印度印多尔北部乌贾因地方人，原籍可能为巴基斯坦的信德． 婆罗摩笈多的一些数学成就在世界数学史上有较高的地位． 例如下列模型就被称为“婆罗摩笈多模型”：如图1，2，3，△ABC中，分别以AB，AC为边作Rt△ABE和Rt△ACD，AB＝AE，AC＝AD，∠BAE＝∠CAD＝90°，则有下列结论： ①图1中S△ABC＝S△ADE； ②如图2中，若AM是边BC上的中线，则ED＝2AM；   ③如图3中，若AM⊥BC，则MA的延长线平分ED于点N． （1）上述三个结论中请你选择一个感兴趣的结论进行证明，写出证明过程； （2）能力拓展：将上述图形中的某一个直角三角形旋转到如图4所示的位置：△ABC与△ADE均为等腰直角三角形，∠BAC＝∠DAE＝90°，连接BD，CE，若F为BD的中点，连接AF，求证：2AF＝CE． 【题型七】与角平分线有关的热考模型 类型 描述 图示 结论 见角平分线，用性质定理 已知BD平分∠ABC，PE⊥BC 作法：过点P作PF⊥AB于点F 角平分线+垂直→三线合一 已知BD平分∠ABC，PE⊥BD 作法：延长PE，交AB于点F 平行线+垂直→等腰△ BD平分∠ABC，PE∥BC BE=PE DF平分∠BDE，DE∥BC BD=BF 1．（25-26八年级上·广东肇庆·期中）【模型解读】角平分线在数学中都占据着重要的地位，需要掌握其各类模型及相应的辅助线作法． (1)【模型证明】 常见模型1 条件：如图，为的角平分线，，垂足为点A，，垂足为点B． 结论：，． 常见模型2 条件：如图，在中，，为的角平分线，过点，垂足为点E． 结论：，且． （当是等腰直角三角形时，有）． 常见模型3 条件：如图，是的角平分线，，于D，于E． 结论：． 根据模型3的条件，请证明上述结论． (2)【模型运用】 如图，，分别为和的平分线，，求证：． (3)【解决问题】 如图，是一个四边形人工湖，，米，米，甲、乙两人同时从点C出发，甲沿方向以2米/秒的速度前进，乙沿方向以1米/秒的速度前进，30秒后，甲、乙分别到达E，F处，此时测得，，此时甲、乙两人的距离为______米． 2．（23-24八年级上·云南昆明·期中）数学活动：探究利用角的对称性构造全等三角形解决问题． 利用角平分线构造“全等模型”解决问题，事半功倍． （1）尺规作图：如图，用直尺和圆规作已知角的平分线的示意图，则说明的依据是三角形全等的判定_________． VSDX   【模型构造】 （2）方法一：巧翻折，造全等 如图①，在中，，是的角平分线，则________．（填“、“或“）    VSDX   在上截取，连接，则． 方法二：构距离，造全等 如图②，在四边形中，，和的平分线，交于点． 若，则点到的距离是_________． 过点作，垂足为点． 则． 【模型应用】 （3）如图③，在中，，，是的两条角平分线，且，交于点．试猜想与之间的数量关系，并说明理由．    学科网（北京）股份有限公22 / 27 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 全等三角形（5知识&9题型&3易错&7方法清单） 【清单01】全等图形的概念 全等形的概念：能完全重合的两个图形叫做全等形. 全等形的性质：全等形的形状相同、大小相等. 全等三角形的概念：能完全重合的两个三角形叫做全等三角形. 全等三角形的对应元素：两个三角形全等，互相重合的顶点叫做对应顶点，互相重合的边叫做对应边，互相重合的角叫做对应角. 全等三角形的表示：全等用符号“≌”，读作“全等于”. 【易错点】注意记两个三角形全等时，一定要把表示对应顶点的字母写在对应的位置上.例如，△ABC≌△DEF与△ABC≌△EFD 是两种不同的对应关系. 【清单02】全等三角形的性质 1）全等三角形的对应边相等，对应角相等. 2）全等三角形对应边上的高线相等，对应边上的中线相等，对应角的角平分线相等． 3）全等三角形的周长相等，面积相等（注意：周长或面积相等的三角形不一定是全等三角形）. 【清单03】全等三角形的判定 1.边边边（SSS）：三边对应相等的两个三角形全等（可简写成“边边边”或“SSS”）； 2.边角边（SAS）：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（可简写成“边角边”或“SAS”）； 3.角边角（ASA）：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可简写成“角边角”或“ASA”）； 4. 角角边（AAS）：两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等（可简写成“角角边”或“AAS”）； 5.斜边、直角边（HL）：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可简写成“斜边、直角边”或“HL”）． 【清单04】三角形全等的应用 1）应用全等三角形“对应边相等，对应角相等”求线段的长度和角的大小. 2）应用三角形全等可以测出不能(或不易)直接测最长度的线段的长，例如测最河宽，隧道的长度、小口瓶的内径等.应用时，常把问题转化为可以测量长度的线段.其实质是构造两个全等三角形，依据是全等三角形的对应边相等. 【清单05】角平分线的性质与判定 1.角平分线的性质定理：角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等． 2.角平分线的判定定理：角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上． 【补充】性质中的“距离”是指“点到角两边所在直线的距离”，因此在应用时必须含有“垂直”这个条件，否则不能得到线段相等. 【题型一】全等图形的识别 1．（24-25八年级上·江苏无锡·期中）下列各选项中的两个图形属于全等图形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是全等形的识别、利用全等图形的概念：能够完全重合的两个图形叫做全等形可得答案． 【详解】解：解：A、两个图形大小不相等，不能完全重合，不是全等图形，不符合题意； B、两个图形大小不相等，不能完全重合，不是全等图形，不符合题意； C、两个图形能够完全重合，是全等图形，符合题意； D、两个图形大小不相等，不能完全重合，不是全等图形，不符合题意； 故选：C． 2．（24-25八年级上·江苏南京·期中）下图是2024年巴黎奥运会和残奥会的吉祥物“弗里热”，它的座右铭是“独行快，众行远”，下列与该图片是全等的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了全等图形的定义，根据全等图形定义直接选择即可． 【详解】解：由题意得，与题中图片形状、大小都相同的全等图形的是D， 故选：D． 3．（2024七年级下·全国·专题练习）下列说法中，正确的是（    ） A．面积相等的两个图形是全等图形 B．形状相等的两个图形是全等图形 C．周长相等的两个图形是全等图形 D．能够完全重合的两个图形是全等图形 【答案】D 【分析】本题考查了全等形的概念，做题时一定要严格紧扣概念对选项逐个验证，这是一种很重要的方法，注意应用． 根据全等图形指的是完全重合的图形，包括边长、角度、面积、周长等，但面积、周长相等的图形不一定全等求解即可． 【详解】解：A、面积相等，但图形不一定能完全重合，说法错误； B、形状相等的两个图形也不一定是全等形，说法错误； C、周长相等的两个图形不一定能完全重合，说法错误； D、符合全等形的概念，正确． 故选：D． 4．（24-25八年级上·江西上饶·期中）巴黎奥运会上中国体育代表团获得40枚金牌，金牌数与美国队并列第一，创造了参加境外奥运会的最佳战绩．下列各组巴黎奥运会的项目图标中，是全等形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据全等形的概念依次判断即可. 本题主要考查了全等形的概念：能够完全重合的两个图形成为全等形.掌握全等形的概念是解题的关键. 【详解】解：A.两个图形不相同，不是全等形，不符合题意； B. 两个图形不相同，不是全等形，不符合题意； C.两个图形完全相同，是全等形，符合题意； D.两个图形不相同，不是全等形，不符合题意； 故选：C. 【题型二】根据三角形全等进行判断 1．（24-25八年级上·江苏徐州·期末）如图，如果，那么下列结论错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了全等三角形的性质．根据全等三角形对应边相等、对应角相等判断结论是否成立． 【详解】解：∵， ∴，，， ∴，，， 不能证明， 故选：A． 2．（24-25八年级上·山西忻州·期中）如图，，点和点是对应顶点，，记，，当时，与之间的数量关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的性质，等腰三角形的性质，平行线的性质，由全等三角形的性质可得，，即得，进而可得，又由平行线的性质得，即可得，据此即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 整理得， 故选：B． 3．（24-25八年级上·天津·期末）如图，已知，且点D恰好在的边上，下列结论不一定正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了全等三角形的性质，能熟记全等三角形的性质是解此题的关键，注意：全等三角形的对应角相等，对应边相等．根据全等三角形的性质得出，，，根据等腰三角形的性质得到，继而得到，从而得解； 【详解】∵ ∴，， ， ∴是等腰三角形， ∴ ∴， 故正确的为：A，B，C，不正确的为D 故选：D 4．（24-25八年级上·河南南阳·期中）已知，，下列四个结论：①；②；③；④．其中正确的结论有（   ） A．①②③④ B．①② C．②③ D．①②④ 【答案】D 【分析】本题考查了全等三角形的性质，熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键． 根据全等三角形的性质解答即可． 【详解】解：∵， ∴，，，， ∴ ， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴正确的结论是：①②④， 故选： D． 【题型三】利用全等三角形的性质求解 1．（24-25八年级上·云南大理·期中）如图，已知点D在上，点B在上，，，则BC的长为（   ） A．7 B．5 C．12 D．6 【答案】A 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质、线段的和与差等知识点，掌握全等三角形的对应边相等是解题的关键． 由全等三角形的性质可得，再根据线段的和差得到即可解答． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选A． 2．（24-25八年级上·广东广州·期中）已知图中的两个三角形全等，则的度数是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了全等三角形的性质，根据两个三角形全等，可知对应相等的两条边的夹角相等，从而求出的度数． 【详解】解：两个三角形全等， 对应相等的两条边的夹角相等， ． 故选：A． 3．（24-25八年级上·广东云浮·期中）已知，A与，B与是对应点，周长为，，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查全等三角形的性质：对应边相等，熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键．由全等三角形对应边相等，可得，，，由已知条件求出即可． 【详解】解：， ，， 的周长为， ． 故答案为：． 4．（24-25八年级上·甘肃庆阳·期中）如图，，点对应点，点对应点，点，，，在一条直线上． (1)求证：． (2)若，，求边的取值范围． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查全等三角形的性质，三角形的三边关系，解题的关键是掌握全等三角形的对应边相等． （1）由全等三角形的性质可得，等式两边同时减去即可得到； （2）由全等三角形的性质可得，再利用三角形三边关系即可求出边的取值范围． 【详解】（1）证明： ， ， ， ； （2）解： ，， ， 在 中，， ，即． 【题型四】选用合适的方法判断两个三角形全等 1．（24-25八年级上·北京石景山·期末）如图，，点，在上且．请你只添加一个条件，使得． （1）你添加的条件是 ；（要求：不再添加辅助线，只需填一个答案即可） （2）依据所添条件，判定与全等的理由是 ． 【答案】 或或；（答案不唯一） 或或（答案不唯一）． 【分析】本题考查三角形全等的判定以及平行线的性质等知识，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． （1）由根据平行线的性质得，由得，根据，，添加相应的条件即可； （2）先证明，再由平行线的性质得，然后证明，即可得出结论． 【详解】解： ， ， 即， ， ， ∴添加的条件是，根据，， 添加的条件是，根据，， 添加的条件是，根据，， 故答案为：或或； （2）方法一：添加的条件是时， ， ， 即， ， ， 在和中， ， ， 故答案为：． 方法二：添加的条件是， ， ， 即， ， ， 在和中， ， ， 故答案为：． 方法三：添加的条件是， ， ， 即， ， ， 在和中， ， ， 故答案为：． 2．（24-25八年级上·青海海西·期末）如图，已知线段，相交于点，连接，，，． (1)请你添加下面一个条件：______，证明； ①  ②  ③ (2)在（1）的条件下，当时，猜想的形状，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)为等边三角形，证明见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定，等腰三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定和等边三角形的判定定理是解题的关键． （1）根据全等三角形的判定定理证明即可； （2）根据得，从而得到，再证明，即可由等边三角形的判定得出结论． 【详解】（1）添加的条件：或或(答案不唯一，任意写一种即可)； 证明：添加：， 在和中， ， ； 添加：， 在和中， ， ∴； 添加：， 在和中， ， ∴； （2）由（1）得：， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴为等边三角形． 3．（21-22八年级上·全国·课后作业）如图，在中，，点D是的中点，点E在上．找出图中的全等三角形，并选一对证明它们全等． 【答案】，，，证明见解析 【分析】由已知条件可分别根据三角形全等的判定定理证得；根据证得；根据证得． 【详解】解：图中的全等三角形有：，，； ∵D是的中点， ∴， ∵，， ∴； ∴， ∵，，， ∴； ∴， ∵，，， ∴． 【点睛】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：、、、、．注意：、不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．做题时从已知结合全等的判定方法开始思考，做到由易到难，不重不漏． 4．（24-25八年级上·湖南常德·期中）如图，点B，E，C，F在一条直线上， ，，老师说：再添加一个条件就可以使．下面是课堂上三位同学的发言：甲说：“添加”．乙说：“添加”．丙说：“添加”．请选择甲、乙、丙三个同学中说法正确的一种，并给出相应的证明过程． 【答案】见解析． 【分析】本题主要考查三角形全等的判定方法，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键； 由可得，再加上已知条件，然后分别根据添加的条件，利用三角形全等的判定方法分别判定甲、乙、丙同学的说法即可，然后选一个证明即可； 【详解】∵， ∴， ∵， ∴添加，条件为，不可以证明； 所以，甲同学中说法不正确， 选乙同学的说法，证明： ∵， ∴． ∵， ∴， 在与中， ， ∴； 选丙同学的说法，证明： ∵， ∴． ∵， ∴， 在与中， ， ∴． 5．（23-24八年级上·贵州铜仁·期末）如图，已知线段，相交于点E，连接，，，． (1)请你添加一个条件，使得与全等，并且写出证明过程． (2)在（1）的条件下，当时，猜想的形状，并说明理由． 【答案】(1)或或（答案不唯一，任意写一种即可），证明见解析 (2)等边三角形，理由见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定 ，等腰三角形的判定．熟练掌握全等三角形的判定和等边三角形的判定定理是解题的关键． （1）根据，，求解即可； （2）根据，得，从而得到，再证明，即可由等边三角形的判定得出结论． 【详解】（1）解：添加的条件：或或（答案不唯一，任意写一种即可） 证明：如图， 在和中， ； 在和中， ； 在和中， ； （注：答案不唯一，任意写一种即可） （2）解：由（1）得：， ， ， ， 为等边三角形． 【题型五】全等三角形判定与性质综合 1．（24-25八年级上·河南驻马店·期末）如图1，爸爸用竹条给小强制作了一个小燕风筝，其骨架图如图2所示，已知，，，试判断骨架与相等吗？并说明理由． 【答案】相等,理由见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，解题的关键是通过角的等量关系推导出与的对应角，进而利用 证明两三角形全等． 利用和公共角，通过等式性质得到；结合已知、，用证明；根据全等三角形对应边相等，得出． 【详解】解：与相等，理由如下： ∵ ， ∴ ， 即． 在 和中，， ∴， ∴， ∴骨架与相等． 2．（24-25八年级上·安徽淮南·期中）如图，与中，，，，过作垂足为，交的延长线于点，连接． (1)求证：平分； (2)若，，则的长______． 【答案】(1)见解析 (2)2 【分析】（1）先过点作于，判定，得出，再根据角平分线的判定定理，得出答案即可； （2）先判定，得出，再根据，求得的面积为，进而得到的长． 【详解】（1）证明：过点作于，如图所示： ∵与中，， ∴， ∴， 又∵， 即， ∴， ∵， ∴点A在的角平分线上， ∴平分； （2）解：∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴ ， ∵，， ∴， ∴的面积为， ∵， ∴， 解得：． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的判定，三角形面积的计算，解决问题的关键是作辅助线构造全等三角形，解题时注意：全等三角形的面积相等． 3．（24-25八年级上·吉林长春·期中）探究：如图①，在中，，，直线经过点，于点，于点，求证：． 应用：如图②，在中，，、、三点都在直线上，并且有，直接写出和的关系． 【答案】探究：见解析；应用： 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，熟练掌握一线三等角模型，是解题的关键： （1）根据同角的余角相等，得到，利用即可证明； （2）证明，得到，根据线段之间的和差关系即可得出结论． 【详解】解：探究：∵于点，于点， ∴， ∴， 在和中 ， ∴； 应用：∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴． 4．（24-25八年级上·内蒙古呼和浩特·期中）在平面直角坐标系中，直线交轴于点，交轴于点，且，满足． (1)求，两点的坐标； (2)如图，为上一点，连接，过点作交于点，连接．若，求点D的坐标； 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质、非负数的性质：算术平方根和绝对值，掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． （1）由题意得：且，则，即可求解； （2）证明和，即可求解． 【详解】（1）解：∵ ∴且， ∴， 当时，， ∴； （2）解：如图，作的角平分线交于点G，设交于点F， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 即点 【题型六】全等三角形与实际问题 1．（24-25八年级上·重庆巫山·期中）遥遥为了测量一幢高楼的高度，在旗杆与楼之间选定一点．如图，，，测得旗杆顶点视线与地面夹角，测得楼顶视线与地面夹角，且．已知，，求大楼的高度（用、表示）． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质的应用，先求出，再证明全等，利用全等三角形的性质得出即可求解． 【详解】解：∵，，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵，， ∴， 故楼高度是． 2．（24-25八年级上·贵州黔东南·期中）综合与实践： 【问题情境】如图所示，池塘的两端有A，B两点，现需要测量该池塘的两端A，B之间的距离，需要如何进行呢？ 【提出方案】同学们想出了如下的两种方案： 甲同学：如图（1）所示，先在平地上取一个可直接到达A，B的点C，再连接，并分别延长至点D，至点E，使，，最后量出的距离就是的距离； 乙同学：如图（2）所示，过点B作的垂线，在上取C，D两点，使，接着过点D作的垂线，在垂线上选一点E，使A，C，E三点在一条直线上，则测出的长即是的距离． 【问题解决】请你选择一位同学的方案，判断其是否可行，并说明理由． 【答案】甲同学方案可行，理由见解析，乙同学方案可行，理由见解析 【分析】本题考查了全等三角形的应用，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．甲同学方案：根据证明，根据全等三角形的性质即可得证；乙同学方案：根据证明，进一步即可得证． 【详解】解：方案①可行，理由如下： 在和中，， ∴， ∴， ∴方案①可行； 方案②可行，理由如下： ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 故方案②可行． 3．（24-25八年级上·河南商丘·期末）周末，一诺和爸爸妈妈一起在公园里荡秋千.如图，一诺坐在秋千的起始位置A处，静止时秋千与地面垂直．一诺两脚在地面上用力一蹬，爸爸在距地面高的C处接住她后用力一推，妈妈在B处接住她，若爸爸与妈妈到的水平距离、分别为和，，请解决以下问题．    (1)求证：； (2)妈妈是在距离地面多高的地方接住一诺的? 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定方法． （1）由题意得，再证，由证得即可； （2）由全等三角形的性质得，先求出，再由，即可得出结果． 【详解】（1）证明：由题意得：， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴； （2）解：由（1）得：， ∴， ∴， 由题意得： ∴， 答：妈妈是在距离地面的地方接住一诺的． 【题型七】全等三角形与尺规作图 1．（24-25八年级上·江苏镇江·期中）（1）如图，在中，以为一边作，使得，画出所有符合条件的（用直尺和圆规作图，不写作法，保留作图痕迹） （2）请用两种不同方法作出边上的中点．（用直尺和圆规作图，不写作法，保留作图痕迹） 【答案】（1）见解析（2）见解析 【分析】（1）结合全等三角形的判定与性质，先以点为圆心，的长为半径画弧，再以点为圆心，的长为半径画弧，在的两侧分别交于点，，连接，，，，则和均满足题意． （2）①作线段的垂直平分线，交于点，则点即为所求；②以点为圆心，的长为半径画弧，再以点为圆心，的长为半径画弧，在的下方交于点，连接，，连接交于点，则点即为所求． 【详解】解：（1）如图所示， 和为所求． 在和中， 在和中， ． （2）如图①所示，点即为所求； 如图②所示，点即为所求；． 如图①，根据线段垂直平分线的定义可得点E是的中点； 如图②，∵，，， ∴， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴，即点E是的中点． 【点睛】本题考查作图—复杂作图、全等三角形的判定与性质、线段垂直平分线的性质、全等三角形的判定与性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 2．（23-24八年级上·湖北鄂州·期末）在如图所示的的网格中，的三个顶点、、均在格点上． (1)探究一：如图1，作出关于直线对称的．（不写作法步骤，仅用无刻度直尺作图，保留作图痕迹）； (2)探究二：如图2，在直线上作一点，使的周长最小．（不写作法步骤，仅用无刻度直尺作图，保留作图痕迹）； (3)探究三：如图3，请尝试运用构造全等三角形法，作出格点边上的高．（不写作法步骤，仅用无刻度直尺作图，保留作图痕迹） 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题考查做出轴对称图形，全等三角形判定及性质． （1）根据点坐标到直线的距离即可得出； （2）作点关于直线对称点，连接，交于点即可； （3）延长交于点，则即为所求，再利用全等三角形判定及性质即可求出． 【详解】（1）解：根据题意以及网格的特点直接作出关于直线对称的，如图所示； （2）作点关于直线对称点，连接，交于点，如图所示； 则的周长 点即为所求； （3）解：延长交于点，则即为所求，如图所示： ．，， ， ， ， ， ． 即为所求边上的高． 3．（22-23八年级上·河南安阳·期中）如图，在直角三角形中，，． (1)作边的垂直平分线，与，分别交于点，（用尺规作图，保留作图痕迹，不要求写作法）； (2)在（1）的条件下，连接，求证：平分． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）分别以B、C为圆心，大于长为半径画弧，使得弧有两个交点，经过两个交点的直线即为的垂直平分线； （2）连接，根据垂直平分线的定义得到，，再根据得到，进而求得，再根据全等三角形的性质可证出结论． 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）证明：如图，连接， ∵垂直平分， ∴，， ∵， ∴， 在和中， ∴（HL）， ∴， ∴平分． 【点睛】本题考查了尺规作图、垂直平分线的定义和全等三角形的性质与判定，解决本题的关键是掌握尺规作图的方法，灵活运用相关的几何定理． 【题型八】角平分线判定与性质综合 1．（24-25八年级上·云南大理·期中）如图，点D在边的延长线上，，的平分线交于点E，过点E作于点H，且． (1)证明：平分； (2)若，，，且，求的面积． 【答案】(1)详见解析 (2)32 【分析】本题考查角平分线的性质与判定、直角三角形两锐角互余、三角形的面积，掌握角平分线的性质与判定定理是解题的关键． （1）过点作于于，根据角平分线的性质定理以及角平分线的定义可得、，即可得到，根据角平分线的判定定理即可解答； （2）根据结合已知条件可得的长，最后运用即可解答． 【详解】（1）解：证明：过点作于于， 平分， ， ， ， ， ， 平分； （2）解：，且， ， ， ， ， 的面积为32． 2．（24-25八年级上·福建莆田·期中）已知：如图，四边形中，，，为的中点，平分．求证：   (1)平分； (2)． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查角平分线的性质和判定，全等三角形的判定和性质： （1）过点作于点，角平分线的性质得到，中点得到，进而得到，平行线的性质，推出，即可得证； （2）证明，得到，同理得到，根据，等量代换即可得出结论． 【详解】（1）证明：过点作于点， ∵， ∴． ∵平分， ∴． ∵为的中点， ∴． ∴． ∵， ∴ ∴． ∵，， ∴平分． （2）由（1）得， ∵，， ∴． ∴． 同理，， ∵， ∴． 3．（24-25八年级上·内蒙古呼伦贝尔·期末）如图，，分别是△ABC的一个内角及一个外角的平分线，，垂足为点Q，连接． (1)若，求的度数； (2)设，，，求线段的长度（用含，，的式子表示）． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了角平分线的性质与判定，全等三角形的性质与判定； （1）过点作，，垂足分别为，．根据角平分线的性质得出，进而可得平分，即可求解； (2)证明得出．同理可得．，．根据全等三角形的性质，即可求解． 【详解】（1）过点作，，垂足分别为，． 平分，平分，， ，． ． 平分． ， （2）平分， ． ，， ． ， ． ． 同理可得．，． ，． 4．（24-25八年级上·贵州遵义·期末）如图，在中，是的高，是的角平分线，为上一点，连接，． (1)求证：平分； (2)连接交于点，若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了全等三角形的证明以及性质运用，角平分线的判定以及基本性质． （1）根据是的角平分线和得，再结合为边上的高得出即可证明； （2）过点F作于点M，于点N，证明，得出，再根据，解出即可证明． 【详解】（1）证明：是的角平分线， ， ， ， ， 为边上的高， ， ， 平分； （2）解：过点F作于点M，于点N， 平分，且，， ， ， ， 平分， ， 在和中，， ， ， ， ， ． 【题型九】角平分线性质的实际应用 1．（24-25八年级上·全国·期中）某镇要在三条公路围成的一块三角形平地内修建一个砂石场，如图，要使这个砂石场到三条公路的距离相等，则可供选择的地址（　　） A．仅有一处 B．有四处 C．有七处 D．有无数处 【答案】A 【分析】本题考查了角平分线的性质．解答此题的关键是熟练掌握角平分线的性质定理． 利用角平分线性质定理：角平分线上的点到这个角两边的距离相等，所以是三个内角平分线的交点有个，所以只有三个内角平分线的交点符合要求． 【详解】解：解：∵砂石场到三条公路的距离相等， ∴该点应该是三个角的角平分线的交点， ∵要求砂石场要在三条公路围成的一块平地上修建， ∴满足条件的只有一处，即为三个内角的角平分线的交点． 故选：A 2．（22-23八年级上·河北沧州·期末）如图，、、分别平分、、，，的周长为18，，则的面积为（    ） A．18 B．30 C．36 D．72 【答案】C 【分析】本题考查了角平分线的性质，过I点作于E，于F，利用角平分线的性质得到，然后根据三角形面积公式得到 ，掌握角平分线的性质是解题的关键． 【详解】解：如图，过I点作于E，于F， 、、分别平分、、， ， ． 故选：C． 3．（23-24八年级上·湖北武汉·期中）如图，为了促进当地旅游发展，某地要在三条公路旁边的平地上修建一个游客中心，要使这个游客中心到三条公路的距离相等，游客中心可以选择的位置有（     ）种    A．一 B．二 C．三 D．四 【答案】D 【分析】本题考查了角平分线的性质．注意掌握角平分线上的点到角两边的距离相等的应用，三角形内角平分线的交点满足条件；然后利用角平分线的性质，可证得三角形两条外角平分线的交点到其三边的距离也相等，这样的点有3个，进而可得可供选择的地址共有4个． 【详解】解：∵内角平分线的交点到三角形三边的距离相等， ∴内角平分线的交点满足条件； 如图：点P是两条外角平分线的交点，    过点P作于，于，于， ∴，， ∴， ∴点P到的三边的距离相等， ∴两条外角平分线的交点到其三边的距离也相等，满足这条件的点有3个； 综上，到三条公路的距离相等的点共有4个， ∴可供选择的地址有4处． 故选：D． 4．（23-24八年级上·河南南阳·阶段练习）如图，某公司要在公路m，n之间的S区域修建一所物流中心P．按照设计要求，物流中心P到区域S内的两个社区A、B的距离必须相等，到两条公路m、n的距离也必须相等．那么物流中心P应建在什么位置才符合设计要求？请用尺规作图画出它的位置并注明点P的位置．（保留作图痕迹，不要求写出画法） 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了角平分线的性质定理以及线段垂直平分线性质定理的实际应用．分别作出公路夹角的角平分线和线段的垂直平分线，它们的交点为P，则P点就是物流中心的位置． 【详解】解：如图，点P即为所求． 【题型一】与全等三角形有关的分类讨论问题 1．（24-25八年级上·广东·期中）已知三边的长分别为，，，三边的长分别为，，，若这两个三角形全等，则 ． 【答案】5 【分析】本题主要考查三角形全等的性质，能够通过全等得到对应边相等并列式是解题关键．利用全等的性质列式计算即可． 【详解】解：∵与全等， ∴或， 当时，，故不符合题意， 当时，，故符合题意， 故答案为：． 2．（23-24八年级上·全国·课堂例题）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标是，点B的坐标是，点C在x轴上运动（不与点A重合）点D在y轴上运动（不与点B重合），当点C的坐标为 时，以C，O，D为顶点的三角形与全等． 【答案】或或 【分析】本题考查了全等三角形的性质，解题的关键是掌握全等三角形对应边相等． 根据点A和点B的坐标得出，根据点C不与点A重合，点D不与点B重合，进行分类讨论：当时；当时；即可解答． 【详解】解：∵点A的坐标是，点B的坐标是， ∴， 当时，点C的坐标为或． 当时， ∵点C不与点A重合，点D不与点B重合， ∴， 故答案为或或． 3．（23-24八年级上·广西河池·期末）已知两个三角形全等，其中一个三角形的三边长分别为6，8，10，另一个三角形的三边长分别为6，． (1)求m，n的值； (2)当边长小于边长时，以，，为三角形的三边长，求边长a取值范围． 【答案】(1)，或； (2)， 【分析】本题考查了全等三角形的性质及三角形三边关系， （1）有两种情况：与8、与10分别是对应边；与10、与8分别是对应边；分别求出m与n即可； （2）根据（1）中结果，确定，；再根据三角形三边关系分析即可． 熟练掌握全等三角形的性质及三角形三边关系是解题关键． 【详解】（1）解：当与8、与10分别是对应边时，则， ∴； 当与10、与8分别是对应边时，则， ∴； 综上，或； （2）因为边长小于边长，所以取，； 当时，以a，m，n为三角形的三边长， 则边长a取值范围为． ∴． 【题型二】与全等三角形有关的动态问题 1．（24-25八年级上·内蒙古呼和浩特·期中）如图，，垂足为点，厘米，厘米，射线，垂足为点，一动点从点出发以2厘米/秒的速度沿射线运动，点为射线上一动点，随着点运动而运动，且始终保持，当点离开点后，运动秒时，与全等，的值可能为（   ） A．2 B．2或6 C．6或8 D．2或6或8 【答案】D 【分析】本题考查三角形全等的性质．首先根据题意可知，本题要分两种情况讨论：①当E在线段上时，②当E在射线上时；再分别分成两种情况，，结合已知，运用即可得出 与全等，然后分别计算的长度即可． 【详解】解：①当E在线段上，时，， ，， ， ， ∴点E的运动时间为（秒）； ②当E在上，时，， ， ， ， ∴点E的运动时间为（秒）； ③当E在线段上，时，， 这时E在B点未动，不合题意舍去； ④当E在上，时，， ， 点E的运动时间为（秒）， 故选：D． 2．（24-25八年级上·山西临汾·期中）如图，在长方形中，，，点是延长线上一点，且，连接，动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿向终点运动．设点运动的时间为，则当和全等时，的值为 ． 【答案】1或7 【分析】本题考查了全等三角形的性质，由题意得，，然后分当时和当时两种情况分析即可，熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键． 【详解】解：由题意得，， 如图，当时， ∴， ∴， ∴； 如图，当时， ∴， ∴， ∴； ∴当的值为或秒时，和全等， 故答案为：或． 3．（22-23八年级上·河南商丘·期中）如图，在长方形中，，点E在线段上，且，动点P在线段上，从点A出发以的速度向点B运动，同时点Q在线段上．以的速度由点B向点C运动，当与全等时，v的值为 ． 【答案】2或/或2 【分析】本题主要考查三角形全等的判定，当与全等时，有两种可能，一种为，；另一种为，，结合三角形全等的性质和路程为时间速度之积的关系即可求的答案． 【详解】解：与全等时 当时，， ∵，， ∴，， ∵点A出发以的速度向点B运动， ∴运动时间为， ∵点Q以的速度由点B向点C运动，时间为2秒， ∴； 当，， 则，， ∵点A出发以的速度向点B运动， ∴运动时间为， ∵点Q以的速度由点B向点C运动，运动时间为秒，运动距离， ∴； 故答案为：2或． 【题型三】添加条件使两个三角形全等 1．（24-25八年级上·河南许昌·期中）如图，，，添加下列哪一个条件可以推证（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查全等三角形的判定．根据题目中的条件，可以得到，，然后即可判断各个选项中添加的条件是否能使得，从而可以解答本题． 【详解】解：， ， ， 又， 添加条件，不能判断，故选项A不符合题意； 添加条件，不能判断，故选项B不符合题意； 添加条件，可以得到，不能判断，故选项C不符合题意； 添加条件，可以得到，故选项D符合题意； 故选：D． 2．（24-25八年级上·全国·期末）在和中，给出下列四组条件： ①；②；③；④；其中，能使的条件共有（   ） A．1组 B．2组 C．3组 D．4组 【答案】C 【分析】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：、、、、．注意：、不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边和一角对应相等时，角必须是两边的夹角．根据全等三角形的判定方法：、、、、结合选项进行判定． 【详解】解：①，，，可根据判定； ②，，，可根据判定； ③，，，可根据判定； ④，，，不能判定； 故选：． 3．（24-25八年级上·全国·期末）如图，分别是锐角和锐角的高，且．若使，需补充一个条件 （填写一个你认为适当的条件即可）． 【答案】或或 【分析】本题考查了直角三角形全等的判定、全等三角形的判定定理以及性质的应用，解题的关键是先利用已知条件通过证明两个直角三角形全等，从而得到对应角相等．先利用证明，得到对应角相等，再结合全等三角形的判定定理（如等），分析需补充的条件使 ． 【详解】解：分别是锐角和锐角的高， 都是直角三角形， 在和中， ， ， ①补充的条件为，则根据“边角边”可得； ②补充的条件为，则根据“角边角”可得； ③补充的条件为，则根据“角角边”可得． 所以可补充的条件为或或． 故答案为：或或． 【题型一】倍长中线模型 条件 在△ABC中，AD是△ABC的中线 图示 辅助线作法 延长AD至点E，使AD=DE，连接BE 延长AD至点E，使AD=DE，连接CE 结论 ，AC=BE且AC∥BE ， AB=CE且AB∥CE 1．（25-26八年级上·青海西宁·期中）阅读与思考 下面是小亮同学写的一篇数学日记，请仔细阅读并完成相应任务． 巧用中线构造全等 数学问题： 数学课上，老师提出了如下问题： 如图1，在中，是边上的中线，，， 若的长度为奇数，求边的长度． 解决问题： 我通过小组交流，得到了如下解决方法： 如图2，延长至点，使，连接． 因为是边上的中线，所以． 可证，则． 解后反思：题目中出现“中点”“中线”等条件时，可以通过倍长中线构造全等三角形，从而转化已知线段和角． 任务： (1)小亮判断的依据是______； (2)请你根据小亮的思路写出完整的证明思路并求出边的长度； (3)迁移应用：如图3，是的中线，在边上取一点，连接交于点，若，，，则的度数为______． 【答案】(1) (2)1或3 (3) 【分析】本题主要考查了三角形的三边关系，全等三角形的判定与性质，三角形的内角和定理等知识点． （1）根据过程可得已知“两边一夹角”，故为； （2）由，得到，则，再由即可求解； （3）先证明，则，，由，得到，则 ，由于，，再由三角形内角和定理求解． 【详解】（1）解：在和中， 因为，，， 所以． 所以． 所以小亮判断的依据是“”， 故答案为：； （2）解：在和中， 因为，，， 所以． 所以． 因为， 所以， 所以， 所以 因为的长度为奇数， 所以可以为1或3； （3）解：延长至点，使得，连接， 同上可证明：， 所以，， 因为， 所以， 所以， 所以， 因为，， 所以， ∴． 2．（25-26八年级上·河南南阳·期中）【阅读理解】 如图1，中，若，求边上的中线的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长到点E，使，请根据小明的方法思考： （1）由已知和作图能得到的理由是 ； A． SSS    B． SAS    C． AAS    D． ASA （2）利用三角形的三边关系可以确定的取值范围，从而可以得到的取值范围是 ． 【方法总结】 解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形中； 【问题解决】 （3）如图2， 是的中线，，试判断线段与的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）B；（2）；（3），理由见解析 【分析】本题考查了中线的应用，三角形全等的判定与性质，平行线的判定与性质． （1）延长到点E，使，连接，证明，根据的是，解答即可； （2）根据，得到，利用三角形三边关系解答即可； （3）延长到点G，使，连接，先证明，再证明即可得证． 【详解】（1）解：延长到点E，使，连接， 是边上的中线， ， 在和中， ， ， 故选：B； （2）， ， ， ， ， ， 故， 故答案为：； （3），理由如下： 延长到点G，使，连接， 是的中线， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ． 【题型二】截长补短模型 截长法 补短法 题目 在△ABC中AD平分∠BAC，∠C=2∠B，求证：AB=AC+CD 图示 辅助线作法 在AB上截取AE=AC，连接DE 延长AC到点E，使CD=CE，连接DE 延长AC到点E，使AB=AE，连接DE 结论 △DEB是等腰三角形 △CDE是等腰三角形 △CDE是等腰三角形 1．（25-26八年级上·山东临沂·期中）【问题背景】 半角模型是指有公共顶点，锐角等于较大角的一半，且组成这个较大角的两边相等．通过翻折、旋转或截长补短等方法，将角的倍分关系转化为角的相等关系，进一步构成全等三角形，从而构建模型，解决问题． 如图1，在四边形中，，点，分别是上的点，且，连接，探究线段之间的数量关系． (1)探究发现：小雨同学的方法是延长到点．使，连接，先证明，再证明，从而得出结论：_____； (2)拓展延伸：如图2，在四边形中，分别是边上的点，且，请问（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请写出证明过程，若不成立，请说明理由． 【答案】(1) (2)（1）中的结论仍然成立．理由见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，熟知全等三角形的性质与判定定理是解题的关键． （1）先证明得到，再证明，得到，再由线段的和差关系可得结论； （2）延长到，使，连接，先导角证明，再证明得到，再接着证明，得到，再由线段的和差关系可得结论． 【详解】（1）解：∵， ∴， 又∵， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴； （2）解：（1）中的结论仍然成立，证明如下： 如图，延长到，使，连接． ，， ， 在与中， ， ， ， ， ． 在和中 ， ． ． 2．（25-26八年级上·北京·期中）“截长补短”添加辅助线构造全等三角形是常见的辅助线添加方法，可以根据题目要求和图形特征，灵活运用此方法添加辅助线，构造全等三角形解决线段（角）的数量关系问题． 某数学小组借助以下数学问题对“截长补短”添加辅助线构造全等三角形的方法进行了深入学习： 已知在四边形中，，，分别是直线，上的点． （1）如图，若，，，分别在线段，上，且满足，试探究线段，，之间的数量关系． 数学小组探究此问题的方法是：延长到点，使．连接，先证与的全等，再证与的全等，可得到，，之间的数量关系．经过以上分析，直接写出线段，，之间的数量关系为__________． （2）如图，若，点，点分别在线段，的延长线上，且满足，试探究线段，，之间的数量关系． 数学小组的同学们先猜想线段，，之间的数量关系，然后借助第（1）问中研究问题的思路和方法进行探讨，发现有以下两种证明方法： 方法1：延长至点，使得，先证与的全等，再证与的全等，可得到线段，，的之间的数量关系． 方法2：在上截取，先证与的全等，再证与的全等，可得到，，之间的数量关系． 请你写出猜想结果，并选择一个方法添加辅助线完成证明． （3）如图，若不变，点在的延长线上，点在的延长线上，若，请直接写出与的数量关系． 【答案】（1）  （2）   （3） 【分析】本题属于三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定以及全等三角形的性质的综合应用，解决问题的关键是作辅助线构造全等三角形，根据全等三角形的对应角相等和对应边相等进行推导变形． （1）延长到点，使，连接，可判定，进而得出，再判定，可得结论； （2）如图2：在上截取，连接，先判定，进而得出，再判定，可得结论； （3）在延长线上取一点，使得，连接，先判定，再判定，得出，最后根据，推导得到，即可得出结论． 【详解】解：（1）结论：． 理由：如图 1，延长到点，使，连接， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ． （2）如图2，， 理由如下： 在上截取，连接， ， ， 在和中 ， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ． （3）结论：． 理由：如图3，在延长线上取一点，使得，连接， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， 在和中 ， ， ， ， ， ， 即， ． 【题型三】一线三等角模型 一线三等角模型 已知 ∠D=∠ACB=∠E，AC=BC 图示 结论 一线三垂直模型 已知 ∠ABC=∠ACE=∠CDE=90°，AC=CE ∠ABC=∠ACE=∠CDE=90°，AC=CE 图示 结论 1．（25-26八年级上·甘肃武威·期中）“一线三垂直”模型是“一线三等角”模型的特殊情况，即三个等角的度数为，且三组边相互垂直，所以称为“一线三垂直”模型．当模型中有一组对应边长相等时，模型中必定存在全等三角形． 【模型呈现】（1）如图1，在等腰直角中，，，过点C作直线，于点D，于点E，猜想、与之间满足的数量关系，并说明理由； 【模型应用】（2）如图2，在等腰直角中，，，过点C作直线，过点A作于点D，过点B作于点E，，，求的长． 【深入探究】（3）如图3，，，，连接，，且于点F，与直线交于点G．若，，求的面积． 【答案】（1），理由见解析；（2）6；（3）63 【分析】本题考查三角形全等的判定与性质：构造全等三角形是解题的关键． （1）证出，由此可得，故可得； （2）证出，可得，再结合几何关系即可求出； （3）过点作直线于点，过点作直线于点，同（1）证出，可得，，，， 进而可得出，，再证出即可．由全等三角形的性质得出，进一步得出，最后根据三角形面积公式求解即可． 【详解】解：（1）与之间满足的数量关系是：，理由如下： 如图1所示： 在中，， ∵于点于点， ， ， ， 在和中，， ， ， ， 即； （2）如图2所示： 在中，， ， 于点于点E， ， ， ， 在和中，， ， ， ， ， ∴， 故答案为：6； （3）过点作直线于点，过点作直线于点，如图3所示： 同（1）证明：， ，，，， ，， ∵，， ∴，， ∵于点P，于点， 在和中，， ， ， ∴， ∴， ∴， ∴ ∴的面积为． 2．（23-24八年级上·全国·课堂例题）三个等角的顶点在同一条直线上，称一线三等角模型（角度有锐角、直角、钝角，若为直角，则又称一线三垂直模型）．解决此模型问题的一般方法是利用三等角关系找全等三角形所需角的相等条件，利用全等三角形解决问题． (1)已知：如图，在中，，直线经过点直线直线，垂足分别为．求证：．    (2)如图，将（1）中的条件改为：在中，三点都在直线上，并且有，其中为任意锐角或钝角．那么结论是否仍成立？若成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由．    (3)如图，将（1）中的条件改为：三点都在直线上，且有，其中为任意锐角．那么结论是否仍成立？若成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由．    【答案】(1)见解析 (2)成立，见解析 (3)不成立，见解析 【分析】（1）证明，由全等三角形的性质得出，，即可得结论； （2）证明，由全等三角形的性质得出，，即可得结论； （3）证明，由全等三角形的性质得出，，进而可以解决问题． 【详解】（1）证明：直线直线， ． ． ， ． ． 在和中， ． ． （2）成立． 证明：， 在和中， ． ． ． （3）不成立． 理由：， ． ， ． 在和中， ． ． ． 【点睛】本题属于三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定与性质，直角三角形的性质的综合应用，证明是解题的关键． 3．（25-26八年级上·广西南宁·月考）【问题情境】如图，某兴趣小组将一个含的直角三角板放入一个直角槽中，三角板的三个顶点分别在槽的两壁和底边上滑动，在滑动过程中，可以提炼出图的模型图，该小组将其命名为“一线三等角”模型． 【探究问题】（）如图，，，于点，于点，则线段、之间的数量关系为______； （）如图，将（）中的条件改为：在中，，，其中为任意锐角或钝角，则（）中的数量关系是否仍然成立？若成立，请你结合其中一个图给出证明；若不成立，请说明理由； 【解决问题】（）如图，点，分别是两边上，，，，，点以的速度从点出发沿射线运动，同时点以的速度从点出发沿射线运动，设运动的时间为，其中，当以，，为顶点的三角形和以，，为顶点的三角形全等，且顶点和顶点为对应点时，请直接写出和的值． 【答案】（）；（）（）中的数量关系仍然成立，证明见解析；（），或， 【分析】（）由余角性质可得，进而由判定定理“”可证，即可求证； （）利用三角形外角性质可得，进而由判定定理“”可证，即可求证； （）当 ，时，以，，为顶点的三角形和以，，为顶点的三角形全等，且顶点和顶点为对应点，再分点在点上方和下方两种情况解答即可求解； 本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形外角性质，余角性质，掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． 【详解】解：（）∵， ∴， ∵于点，于点， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， 故答案为：； （）（）中的数量关系仍然成立，证明如下： ∵，， ∴， 又∵，， ∴， ∴； （）当 ，时，以，，为顶点的三角形和以，，为顶点的三角形全等，且顶点和顶点为对应点， 当点在点上方时，， ∴， 此时，点也位于点上方，， ∴； 当点在点下方时，， ∴， 此时，点也位于点下方，， ∴； 综上，，或，． 【题型四】半角模型 正方形内含型半角 邻边相等且对角互补的四边形半角 条件 正方形ABCD，∠EAF=45° AB=AD， ∠B+∠D=180°，∠BAD=2∠EAF 图示 思路 延长BC至点G，使DE=GB，连接AG 延长CD至点M，使BD=EC，连接AM 结论 1）旋转全等 2）对称全等 3）EF=DE+BF 1）旋转全等 2）对称全等 3）EF=DE+BF 1．（25-26八年级上·江苏泰州·月考）问题背景  如图1，在四边形中．，，，、分别在、上，且，试探究图中线段、、之间的数量关系，并说明理由． 由“，”的数据信息，解决问题的方法是：延长到，使得，连接，则可以先证，再证________________，从而得到，，之间的数量关系是：________； 验证猜想  写出上述推理的详细过程； 探索延伸  如图2，在四边形中，，，、分别在、上，且，上述结论是否成立，并说明理由． 【答案】（1）见解析；（2）成立，理由见解析 【分析】本题考查了常见的全等模型——半角模型，掌握模型的构成条件、辅助线的引入是解题关键． （1）先证，推出，进一步得；再证，即可得； （2）参考（1）中的证明过程即可； 【详解】解：（1）如图所示： ∵，，， ∴； ∴； ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）成立，理由如下： 延长到，使得，连接， ∵， ∴； ∵，， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 2．（22-23七年级下·江苏盐城·期末）【尝试探究】如图1，已知在正方形中（四边相等，四个内角均为），点、分别在边、上运动，当时，探究、和的数量关系，并加以说明； 【模型建立】如图2，若将直角三角形沿斜边翻折得到，且，点、分别在边、上运动，且，试猜想【尝试探究】中的结论还成立吗？请加以说明； 【拓展应用】如图3，已知是边长为8的等边三角形（三边相等，三个内角均为），，，，以为顶点作一个角，使其角的两边分别交边、于点、，连接，直接写出的周长．    【答案】【尝试探究】，证明见解析；【模型建立】成立，证明见解析；【拓展应用】16 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质．解题的关键是通过旋转构造全等三角形．本题主要考查半角模型，平时多归纳，多积累，可以帮助我们快速解题． [尝试探究]：把绕点顺时针旋转90°至，可使与重合，证明即可得出结论； [模型建立] 将绕顺时针旋转的度数，此时，与重合，证明，即可得出结论； [拓展应用] 将绕点旋转，得到，证明，得到，再根据三角形的周长公式进行求解即可． 【详解】解：[尝试探究]． 证明：如图，把绕点顺时针旋转至，可使与重合， ∵， ∴，点、、共线， ∴， 即． 在和中，， ∴， ∴， ∴； [模型建立] 成立，如图， 证明：将绕顺时针旋转的度数，此时，与重合， 由旋转得：，，，， 同理得：点，，在同一条直线上， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴【尝试探究】中的结论还成立，； [拓展应用]∵是边长为8的等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∵，， 将绕点旋转，得到， 则：和重合，，，， ∴， ∴三点共线， 同法，可得：， ∴， ∴的周长． 【题型五】对角互补模型 模型1 两90°的等邻边对角互补模型 条件：如图，已知∠AOB＝∠DCE＝90°，CD＝CE 结论：①OC平分∠AOB，②OD＋OE＝OC，③. 【注意】已知角平分线、邻边相等（非对称）和对角互补中的两个，可推导出第三个. 模型2. 含120°、60°的等邻边对角互补模型 条件：如图，已知∠AOB＝2∠DCE＝120°，CD＝CE. 结论：①OC平分∠AOB，②OD＋OE＝OC，③. 1．（24-25八年级上·贵州遵义·期中）如图，平分，为上的一点，的两边分别与、相交于点、． (1)如图1，若，，判断与的数量关系，并说明理由； 小明是这样思考的：过点作于点，作于点，四边形中两对角为，则另外两对角互补，则可证明，从而得证，即可得证结论．请你根据小明的思路完成证明过程； (2)若，，请直接写出与的数量关系． (3)若将条件变为，猜想和的数量关系，并证明你的结论． 【答案】(1)，理由见解析 (2)，理由见解析 (3)，理由见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的性质，直角三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键； （1）根据角平分线的性质可得，，根据，，得，可得，可证，根据全等三角形的性质即可证明； （2）过点作于点，过点作于点，根据角平分线的性质可得，，可证，得； （3）过点作于点，过点作于点，证明，得出． 【详解】（1）解：，理由如下： 平分，，， ，， ，， ， ， ， 在和中， ， ， ； （2）解：，理由如下． 证明：过点作于点，过点作于点，如图所示： 平分，，， ，， ，， ， ， ， 在和中， ， ， ； （3）解：，理由如下： 理由：过点作于点，过点作于点，如图所示： 平分，，， ，， ， ， ， ， 在和中， ， ， ． 【题型六】婆罗摩笈多模型 题目特征 共直角顶点的正方形或等腰直角三角形，出现中点. 共直角顶点的正方形或等腰直角三角形，出现垂直. 条件 四边形ABCD、CEFG为正方形，连接BE、DG，I、C、H三点共线，点I为DG中点 四边形ABCD、CEFG为正方形，连接BE、DG，I、C、H三点共线，CH⊥BE 图示 辅助线作法 延长IC到点P，使PI=IC，连接PG 分别过点D、G作DM⊥CI与点M，NG⊥CI于点N 结论 CH⊥BE(知中点得垂直) BE=2IC DI=IG(知垂直得中点) BE=2IC 1．（25-26八年级上·湖北武汉·月考）通过对如图数学模型的研究学习，解决下列问题： (1)如图1，，，过点作于点，过点作于点．由，得．又，可以推理得到．进而得到 ， ， ，我们把这个数学模型称为“K字”模型或“一线三等角”模型； (2)如图2，，，，连接，，且于点，与直线交于点．求证：点是的中点；我们把这个数学模型称为“婆罗摩笈多”模型． (3)如图3，，，，连接，，的面积为，的面积为，求的值． 【答案】(1)，， (2)证明见解析 (3)1012.5 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，理解“一线三等角”的全等模型以及该模型的构成条件、证明过程及结论是解题关键． （1）证明，根据全等三角形的判定与性质逐步分析即可解答； （2）过作于，过作于，利用“K字模型”的结论可得故可推出，同理可得，再证即可证明结论； （3）过作于，交于，过作于，过作于，利用“K字模型”的结论可得，，进一步可证，再求解即可． 【详解】（1）解：，， ， ， ， 在和中， ， ，， ， 故答案为：，； （2）证明：如图2，过作于，过作于， 由“字”模型得：， ， 同理：， ， ，， ， 在与中， ， ， ， 点是的中点； （3）解：如图3，过作于，交于，过作于，过作于， ，，， 由“字”模型得：，， ，，， ∴， ，， ， 在与中， ， ， ，且， ， 即， ， 的值为1012.5． 2．（21-22八年级上·湖北鄂州·期中）婆罗摩笈多（Brahmagupta）约公元598年生，约660年卒，在数学、天文学方面有所成就． 婆罗摩笈多是印度印多尔北部乌贾因地方人，原籍可能为巴基斯坦的信德． 婆罗摩笈多的一些数学成就在世界数学史上有较高的地位． 例如下列模型就被称为“婆罗摩笈多模型”：如图1，2，3，△ABC中，分别以AB，AC为边作Rt△ABE和Rt△ACD，AB＝AE，AC＝AD，∠BAE＝∠CAD＝90°，则有下列结论： ①图1中S△ABC＝S△ADE； ②如图2中，若AM是边BC上的中线，则ED＝2AM；   ③如图3中，若AM⊥BC，则MA的延长线平分ED于点N． （1）上述三个结论中请你选择一个感兴趣的结论进行证明，写出证明过程； （2）能力拓展：将上述图形中的某一个直角三角形旋转到如图4所示的位置：△ABC与△ADE均为等腰直角三角形，∠BAC＝∠DAE＝90°，连接BD，CE，若F为BD的中点，连接AF，求证：2AF＝CE． 【答案】（1）①证明见详解；②证明见详解；③证明见详解；（2）证明见详解． 【分析】（1）①取DE中点F，过E作EG∥AD，交射线AF于G，先证△GEF≌△ADF（AAS），得出S△EAD=S△GEA，再证△GEA≌△CAB（SAS）即可； ②取DE中点F，过E作EG∥AD，交射线AF于G，先证△GEF≌△ADF（AAS），得出∠BAC =∠GEA，再证△GEA≌△CAB（SAS），得出∠EAG=∠ABC，AC=AG，由AM是边BC上的中线，得出BM=CM=，三证△EAF≌△ABM（SAS）即可； ③过E作EP⊥MN交MN延长线于O，过D作DO⊥MN于O，先证∠ABM=∠EAP，∠MCA=∠OAD，证明△EAP≌△ABM（AAS），再证△CAM≌△ADO（AAS），三证△EPN≌△DON（AAS）即可． （2）延长AF，使FQ=AF，连接DQ，将△ACE绕点A逆时针旋转90°，得△ARD，由点F为BD中点，可得DF=BF，先证△DQF≌△BAF（SAS），DQ=BA=AC，∠FDQ=∠FBA，可证DQ∥BA，根据△ACE绕点A逆时针旋转90°得△ARD，可得AR=AC=AB=QD，RD=CE，证明R、A、B三点共线，再证△DQA≌△ARD（SAS），即可． 【详解】（1）①图1中S△ABC＝S△ADE； 证明：取DE中点F，过E作EG∥AD，交射线AF于G， ∵点F为DE中点， ∴EF=DF， ∵EG∥AD， ∴∠GEF=∠ADF，∠GEA+∠EAD=180°， 在△GEF和△ADF中， ， ∴△GEF≌△ADF（AAS）， ∴GE=AD，∠G=∠DAF， ∴S△GEF=S△ADF， ∴S△EAD=S△GEA， ∵∠BAE＝∠CAD＝90°， ∴∠BAC+∠EAD=360°-∠BAE-∠CAD=180° ∴∠BAC+∠EAD=∠GEA+∠EAD=180° ∴∠BAC =∠GEA， ∴GE=AD=AC， 在△GEA和△CAB中， ， ∴△GEA≌△CAB（SAS）， ∴S△ABC＝S△GEA=S△ADE； ②如图2中，若AM是边BC上的中线，则ED＝2AM； 证明：取DE中点F，过E作EG∥AD，交射线AF于G， ∵点F为DE中点， ∴EF=DF， ∵EG∥AD， ∴∠GEF=∠ADF，∠GEA+∠EAD=180°， 在△GEF和△ADF中， ， ∴△GEF≌△ADF（AAS）， ∴GE=AD，GF=AF= ∵∠BAE＝∠CAD＝90°， ∴∠BAC+∠EAD=360°-∠BAE-∠CAD=180° ∴∠BAC+∠EAD=∠GEA+∠EAD=180° ∴∠BAC =∠GEA， ∴GE=AD=AC， 在△GEA和△CAB中， ， ∴△GEA≌△CAB（SAS）， ∴∠EAG=∠ABC，AC=AG， ∵AM是边BC上的中线， ∴BM=CM=， 在△EAF和△ABM中， ， ∴△EAF≌△ABM（SAS）， ∴EF=AM， ∵点F为DE中点， ∴DE=2EF=2AM， ③如图3中，若AM⊥BC，则MA的延长线平分ED于点N． 证明：过E作EP⊥MN交MN延长线于O，过D作DO⊥MN于O， ∵∠BAE=90°，∠DAC=90°， ∴∠BAM+∠EAP=90°，∠MAC+∠DAO=90°， ∵AM⊥BC， ∴∠ABM+∠BAM=90°，∠MCA+∠MAC=90° ∴∠ABM=∠EAP，∠MCA=∠OAD， ∵EP⊥MN， ∴∠EPA=90° 在△EAP和△ABM中， ， ∴△EAP≌△ABM（AAS）， ∴EP=AM， ∵DO⊥MN， ∴∠AOD=90°， 在△CAM和△ADO中， ， ∴△CAM≌△ADO（AAS） ∴AM=DO， ∴EP=DO=AM， 在△EPN和△DON中， ∴△EPN≌△DON（AAS）， ∴EN=DN， ∴MA的延长线平分ED于点N． （2）延长AF，使FQ=AF，连接DQ，将△ACE绕点A逆时针旋转90°，得△ARD ∵点F为BD中点， ∴DF=BF， 在△DQF和△BAF中， ∴△DQF≌△BAF（SAS）， ∴DQ=BA=AC，∠FDQ=∠FBA， ∴DQ∥BA， ∵△ACE绕点A逆时针旋转90°得△ARD ∴△ACE≌△ARD，∠RAC=90°， ∴AR=AC=AB=QD，RD=CE， ∵∠CAB=90°， ∴∠RAB=∠RAC+∠CAB=90°+90°=180°， ∴R、A、B三点共线， ∵DQ∥BA， ∴∠QDA=∠RAD， 在△DQA和△ARD中， ∴△DQA≌△ARD（SAS）， ∴AQ=DR， ∴2AF=AG=DR=CE， ∴2AF=CE． 【点睛】本题考查三角形全等判定与性质，三角形面积，中线加倍，三角形中线性质，等腰直角三角形性质，图形旋转变换性质，三点共线，掌握以上知识，尤其是利用辅助线作出准确图形是解题关键． 【题型七】与角平分线有关的热考模型 类型 描述 图示 结论 见角平分线，用性质定理 已知BD平分∠ABC，PE⊥BC 作法：过点P作PF⊥AB于点F 角平分线+垂直→三线合一 已知BD平分∠ABC，PE⊥BD 作法：延长PE，交AB于点F 平行线+垂直→等腰△ BD平分∠ABC，PE∥BC BE=PE DF平分∠BDE，DE∥BC BD=BF 1．（25-26八年级上·广东肇庆·期中）【模型解读】角平分线在数学中都占据着重要的地位，需要掌握其各类模型及相应的辅助线作法． (1)【模型证明】 常见模型1 条件：如图，为的角平分线，，垂足为点A，，垂足为点B． 结论：，． 常见模型2 条件：如图，在中，，为的角平分线，过点，垂足为点E． 结论：，且． （当是等腰直角三角形时，有）． 常见模型3 条件：如图，是的角平分线，，于D，于E． 结论：． 根据模型3的条件，请证明上述结论． (2)【模型运用】 如图，，分别为和的平分线，，求证：． (3)【解决问题】 如图，是一个四边形人工湖，，米，米，甲、乙两人同时从点C出发，甲沿方向以2米/秒的速度前进，乙沿方向以1米/秒的速度前进，30秒后，甲、乙分别到达E，F处，此时测得，，此时甲、乙两人的距离为______米． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)50 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、角平分线的性质定理，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键． （1）由角平分线的性质得到，再证明，即可证明结论； （2）在上截取点，使得，连接，由角平分线的定义可得，证明，得出，，再证明，得出，即可得证； （3）由题意可得米，米，延长至点，使得，连接，证明，得出米，，，再证明，即可得解． 【详解】（1）证明：∵是的角平分线，，， ∴，， ∵， ∴， ∴； （2）证明：如图，在上截取点，使得，连接， ∵平分， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）解：由题意可得：米，米，米，米， ∴米，米， 如图，延长至点，使得，连接， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴米，，， ∵， ， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴米， 即此时甲、乙两人的距离为米． 2．（23-24八年级上·云南昆明·期中）数学活动：探究利用角的对称性构造全等三角形解决问题． 利用角平分线构造“全等模型”解决问题，事半功倍． （1）尺规作图：如图，用直尺和圆规作已知角的平分线的示意图，则说明的依据是三角形全等的判定_________． VSDX   【模型构造】 （2）方法一：巧翻折，造全等 如图①，在中，，是的角平分线，则________．（填“、“或“）    VSDX   在上截取，连接，则． 方法二：构距离，造全等 如图②，在四边形中，，和的平分线，交于点． 若，则点到的距离是_________． 过点作，垂足为点． 则． 【模型应用】 （3）如图③，在中，，，是的两条角平分线，且，交于点．试猜想与之间的数量关系，并说明理由．    【答案】（1）；（2）方法一：；方法二：；（3），理由见解析． 【分析】（1）直接利用证明即可得出； （2）①根据三角形的性质：大边对大角即可解答； ②如图：过点作，垂足为点，利用角平分线的性质证得,即为的中点，进而求得的长即可； （3）在上截取，连接；再证明得到，；再证明，最后利用全等三角形的性质即可解答． 【详解】解：（1）证明：    根据作图可得， 又， ∴， ∴， 即； （2）①∵ ∴大于； 故答案为； ②如图：过点作，垂足为点， 和的平分线，交于点 即 即点到的距离是 故答案为； （3），理由如下： ， ， ，是的两条角平分线，且，交于点． ， ； 在上截取，连接，则， ，， ∵， ， ， ， 又 ， ， 是的角平分线， ， ， ， ， ．    【点睛】本题主要考查了角平分线的作法、性质定理以及全等三角形的判定与性质，灵活运用相关知识成为解答本题的关键． 学科网（北京）股份有限公5 / 5 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $