专题01 相交线与平行线（期末复习知识清单）七年级数学下学期新教材人教版

专题01 相交线与平行线 相交线的相关概念 1. 相交线的定义 在同一平面内，如果两条直线只有一个公共点，那么这两条直线叫做相交线，公共点称为两条直线的交点。如图1所示，直线AB与直线CD相交于点O。 图1 图2 图3 2. 对顶角的定义 若一个角的两条边分别是另一个角的两条边的反向延长线，那么这两个角叫做对顶角。 如图2所示，∠1与∠3、∠2与∠4都是对顶角。 3. 对顶角的性质：对顶角相等。 4. 邻补角的定义 如果把一个角的一边反向延长，这条反向延长线与这个角的另一边构成一个角，此时就说这两个角互为邻补角。如图3所示，∠1与∠2互为邻补角，由平角定义可知∠1＋∠2＝180°。 垂线 1．垂线的定义：如果两条直线相交所成的四个角中有一个角是直角，那么这两条直线互相垂直，其中的一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足．如下图，两条直线互相垂直，记作或AB⊥CD垂直于点O. 2．垂线的画法：过一点画已知直线的垂线，可通过直角三角板来画，具体方法是使直角三角板的一条直角边和已知直线重合，沿直线左右移动三角板，使另一条直角边经过已知点，沿此直角边画直线，则所画直线就为已知直线的垂线(如图所示)． 3．垂线的性质： （1）在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直． （2）连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短．简单说成：垂线段最短． 4．点到直线的距离： 定义：直线外一点到这条直线的垂线段的长度叫做点到直线的距离． 图4 如图4所示，m 的垂线段PB 的长度叫做点P 到 直线m 的距离。 平行线的定义及画法 1．定义：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线，如果直线a与b平行，记作a∥b． 2.平行线的画法： 用直尺和三角板作平行线的步骤： ①落：用三角板的一条斜边与已知直线重合. ②靠：用直尺紧靠三角板一条直角边. ③推：沿着直尺平移三角板,使与已知直线重合的斜边通过已知点. ④画：沿着这条斜边画一条直线,所画直线与已知直线平行. 同位角，内错角和同旁内角的定义 两条直线被第三条线所截，可得八个角，即“三线八角”，如下图所示。 （1）同位角：可以发现∠1与∠5都处于直线的同一侧，直线、的同一方，这样位置的一对角就是同位角。图中的同位角还有∠2与∠6，∠3与∠7，∠4与∠8。 （2）内错角：可以发现∠3与∠5都处于直线的两旁，直线、的两方，这样位置的一对角就是内错角。图中的内错角还有∠4与∠6。 （3）同旁内角：可以发现∠4与∠5都处于直线的同一侧，直线、的两方，这样位置的一对角就是同旁内角。图中的同旁内角还有∠3与∠6。 平行线判定 判定方法 （1）：两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行 简单说成： 同位角相等，两直线平行。 几何语言： ∵∠1＝∠2 ∴ AB∥CD（同位角相等，两直线平行） 判定方法 （2）：两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行． 简单说成：内错角相等，两直线平行。 ∵∠2＝∠3 ∴ AB∥CD（内错角相等，两直线平行） 判定方法 （3）：两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行 简单说成： 同旁内角互补，两直线平行。 ∵∠4＋∠2＝180° ∴ AB∥CD（同旁内角互补，两直线平行） 平行线性质 性质（1）：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等。 简单说成：两直线平行，同位角相等。 几何语言：∵a∥b ∴∠1=∠5（两直线平行，同位角相等） 性质（2）：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等。 简单说成：两直线平行，内错角相等。 几何语言：∵a∥b ∴∠3=∠5（两直线平行，内错角相等） 性质（3）：两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补。 简单说成：两直线平行，同旁内角互补。 几何语言：∵a∥b ∴∠3+∠6=180°（两直线平行，同旁内角互补） 图形的平移 1.定义：在平面内，将一个图形整体沿某一方向由一个位置平移到另一个位置，图形的这种 移动，叫做平移变换，简称平移。 2.平移三要素：图形的原来位置、平移的方向、平移的距离。 3. 平移的性质 （1）对应点的连线平行(或共线)且相等 （2）对应线段平行(或共线)且相等； （3）对应角相等，对应角两边分别平行，且方向一致。 4.平移作图的步骤和方法：平行线法、对应点连线法、全等图形法 （1）找关键点； （2）过每个关键点作平移方向的平行线，截取与之相等的距离，标出对应点 （3）连接对应点。将原图形的各个特征点按规定的方向平移，得到相应的对称点，再将各对称点进行相应连接，即得到平移后的图形 定义﹑命题﹑定理 1.定义与命题 （1）一般地，对某一名称或术语进行描述或作出规定就叫做该名称或术语的定义． （2）判断一件事情的语句叫做命题． （3）命题的组成：命题是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项． （4）命题的表达形式：命题可以写成“如果……那么……”的形式，“如果”后接的部分是题设，“那么”后接的部分是结论． 2.真命题、假命题 （1）正确的命题叫做真命题． （2）要说明一个命题是正确的，需要根据命题的题设和已学的有关公理、定理进行说明（推理、证明）． （3）要说明一个命题是假命题，只需举一个反例即可． 3.公理与定理 （1）如果一个命题的正确性是人们在长期实践中总结出来的，并把它作为判断其他命题真假的原始依据，这样的真命题叫做公理． （2）如果一个命题可以从公理或其他命题出发，用逻辑推理的方法判断它是正确的，并且可以进一步作为判断其他命题真假的依据，这样的命题叫做定理． （3）公理和定理都是真命题，都可作为证明其他命题是否为真命题的依据． （4）由定理直接推出的结论，并且和定理一样可作为进一步推理依据的真命题叫做推论 对顶角的识别 【例1】（24-25七年级下·湖北宜昌·期末）下面四个图形中，与是对顶角的是（   ） A．B．C．D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了对顶角的定义，观察各个选项中的图形，根据对顶角的定义对各个选项中的与进行判断即可． 【详解】解：∵对顶角的定义是有一个公共顶点，角的两边互为反向延长线， ∴A选项中的与是对顶角，B，C，D选项中的与不是对顶角， 故选：A． 【变式1】（24-25七年级下·甘肃酒泉·期末）甘州古塔位于甘肃省张掖市甘州区，是中国塔和印度塔的融合体．为测量这座古塔外墙底部的底角的度数，李潇同学设计了如下方案：如图，作的延长线，量出的度数，从而得到的度数，这个方案的依据是___________． 【答案】对顶角相等 【分析】本题主要考查了对顶角相等．根据对顶角相等解答即可求解． 【详解】解：根据题意得：与是对顶角， ∴（对顶角相等）， 即这个方案的依据是对顶角相等． 故答案为：对顶角相等． 【变式2】（24-25七年级下·广东广州·期末）下列日常使用的工具或学具中，没有应用到对顶角及其相关知识的是（    ） A．B．C．D． 【答案】D 【分析】本题考查对顶角．根据对顶角的定义以及画一条线段等于已知线段进行判断即可． 【详解】解：选项A，选项B，选项C中的工具，利用了对顶角相等， 而选项D利用的是“画一条线段等于已知线段”， 故选：D． 对顶角和邻补角的有关计算 【例2】（24-25七年级下·陕西渭南·期末）如图，已知直线与交于点，，则的度数为______°． 【答案】98 【分析】本题考查了对顶角，根据对顶角相等得，再利用角的和差关系求的度数即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵，， ∴． 故答案为：98． 【变式1】（24-25七年级下·内蒙古巴彦淖尔·期末）如图，直线相交于点，平分，若，则的度数为________． 【答案】/36度 【分析】本题考查角平分线的定义，邻补角的定义，设，则，，根据列方程，再根据对顶角相等即可求解． 【详解】解：设， 平分，， ，， ， ， ， ， 故答案为：． 【变式2】（24-25七年级下·陕西咸阳·期末）如图，已知直线与相交于点，垂足为平分，若，则的度数为________． 【答案】/35度 【分析】本题考查了垂直的定义，角平分线的定义，以及对顶角相等，由垂直的定义求出，进而可求出，由对顶角的性质求出，然后根据角平分线的定义求出的度数是解题的关键． 【详解】解：， ∴． ， ∴， ， ∵平分， ， 故答案为：． 垂线段最短 【例3】（24-25七年级下·云南昆明·期末）某班数学学习小组在“设计学校田径运动会比赛场地”的项目式学习中，分别设计出了如图所示立定跳远和铅球场地的示意图，点B，E为相应的落地点，则立定跳远和铅球的成绩分别对应的是线段（　　） A．和的长 B．和的长 C．和的长 D．和的长 【答案】C 【分析】此题考查了点到直线垂线段最短和两点之间线段最短，根据点到直线垂线段最短和两点之间线段最短求解即可． 【详解】解：由垂线段最短和两点之间线段最短可知，立定跳远和铅球的成绩分别对应的是线段和的长． 故选：C． 【变式1】（24-25七年级下·河北邯郸·期末）嗨！同学这一学期你参加体育测试了吗？如图是琪琪同学本学期立定跳远的示意图，琪琪从点A起跳，落到了点B处，若米，则琪琪的跳远成绩可能是（    ） A．2.3米 B．2.2米 C．2.1米 D．2.0米 【答案】D 【分析】本题考查了垂线段最短，根据垂线段最短可知米，四个选项中只有D选项符合条件，所以琪琪的跳远成绩是米． 【详解】解：由图可知， 琪琪的跳远成绩应是垂线段的长度， 又， 米， 琪琪的跳远成绩应是米． 故选：D． 平行线的相关概念 【例4】（24-25七年级下·甘肃临夏·期末）下列说法错误的是（    ） A．平面内过一点有且只有一条直线与已知直线平行 B．平面内过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 C．两点之间的所有连线中，线段最短 D．如果，，那么 【答案】A 【详解】解：A、平行公理的内容是：过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，若该点在已知直线上，无法作出与已知直线平行的直线，原说法错误，故选项符合题意； B、同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，符合垂线的性质，原说法正确，故选项不符合题意； C、两点之间的所有连线中，线段最短，是线段的基本性质，原说法正确，故选项不符合题意； D、平行于同一条直线的两条直线互相平行，因此若，，那么，原说法正确，故选项不符合题意； 【变式1】（24-25七年级下·湖南娄底·期末）在同一平面内，如果直线与相交，且直线与平行，则这三条直线中所有交点的个数为（　　） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【分析】本题考查相交线，平行线．根据题意画图即可得到答案． 【详解】解：如图， ∴这三条直线中所有交点的个数为个． 故选：C． 同位角，内错角和同旁内角的定义 【例5】（24-25七年级下·贵州遵义·期末）如图，的内错角是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了内错角的定义，正确记忆内错角的定义是解决本题的关键．根据内错角是在截线两旁，被截线之内的两角，内错角的边构成” “形作答． 【详解】解：的内错角是 故选：D． 【变式1】（24-25七年级下·湖南长沙·期末）如图，与是一对（    ） A．对顶角 B．内错角 C．同旁内角 D．同位角 【答案】A 【分析】本题考查了同位角、内错角、同旁内角、对顶角的鉴别．利用对顶角定义“有一个公共顶点，并且一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，具有这种位置关系的两个角，互为对顶角”判断即可． 【详解】解：如图，与是一对对顶角， 故选：A． 【变式2】（24-25七年级下·河北邯郸·期末）如图，直线a，b被直线所截，则下列说法中正确的是（   ）    A．与互余 B．与是同位角 C．与不是对顶角 D．与是同位角 【答案】D 【分析】此题主要考查了对顶角、同旁内角和同位角．根据对顶角、同旁内角、同位角定义分别分析即可． 【详解】解：A、与是同旁内角，不一定互余，故原题说法错误； B、与是同旁内角，故原题说法错误； C、与是对顶角，故原题说法错误； D、与是同位角，故原题说法正确； 故选：D． 平行线判定 【例6】（24-25七年级下·湖北宜昌·期末）如图，为延长线上一点，下列条件中能判断的是（ ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查平行线的判定，根据平行线的判定方法，逐一进行判断即可． 【详解】解：A、，由内错角相等，两直线平行，能得到，不符合题意； B、，由同旁内角互补，两直线平行，能得到，不符合题意； C、，由内错角相等，两直线平行，能得到，不符合题意； D、，由内错角相等，两直线平行，能得到，符合题意； 故选：D． 【变式1】（24-25七年级下·广东深圳·期末）下列各图形中，，能确定的是（　　） A．B．C． D． 【答案】B 【分析】本题考查平行线的判定，由平行线的判定方法，即可判断，关键是掌握平行线的判定方法：同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行． 【详解】解：A、由能判定，不能判定，故A不符合题意； B、由，结合内错角相等，两直线平行判定，故B符合题意； C、由，不能判定，故C不符合题意； D、由不能判定，故D不符合题意； 故选：B． 【变式1】（24-25七年级下·山西阳泉·期末）如图是刻度尺的一段，为判断有刻度的一边（）与它的对边（）是否平行，启航小组的四位同学分别给出以下四种方案，其中不可行的方案是（   ） A．度量刻度尺左边的两个角是否都是直角，若是，则平行 B．画一条直线，分别与，相交，度量其中一对内错角，若相等，则平行 C．画一条直线，分别与，相交，度量其中一对同位角，若相等，则平行 D．将直角三角板的直角顶点F放置于刻度尺内部，三角板两直角边，分别与刻度尺的两条边，相交于点M，N，度量与，若相等，则平行 【答案】D 【分析】本题考查平行线的判定，关键是掌握同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行． 由平行线的判定方法，即可判断． 【详解】解：A、由同旁内角互补，两直线平行判定，故A不符合题意； B、由内错角相等，两直线平行判定，故B不符合题意； C、由同位角相等，两直线平行判定，故C不符合题意； D、如图所示， ∵与不是同位角，也不是内错角， ∴两角相等不能判定，故D符合题意． 故选：D． 利用平行线性质求角度 【例7】（23-24七年级下·贵州黔东南·期末）某市为了方便市民绿色出行，推出了共享单车服务，图1是某品牌共享单车放在水平地面的 实物图，图2是其示意图，其中，都与地面平行，与平行，若平分，，则的度数为（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行线的性质和三角形的内角和定理，熟练掌握平行线的性质是解题关键．根据可得，根据与平行可得，再根据角平分线的定义即可解答． 【详解】解：∵都与地面平行，， ∴， ∴， ∵与平行， ∴， ∴， ∵平分， ∴． 故选：B． 【变式1】（24-25七年级下·陕西咸阳·期末）如图，，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行线的性质，根据平行线的性质得到，再根据平角的定义即可求解，掌握平行线的性质是解题的关键． 【详解】解：如图： ∵，， ∴， ∴， 故选：C． 【变式2】（24-25七年级下·山东聊城·期末）如图，，若，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是平行线的性质．根据平行线的性质可得，，即可求解． 【详解】解：∵，，， ∴，， ∴， ∴． 故选：C 【变式3】（24-25七年级下·河南郑州·期末）西气东输工程是我国迄今为止距离最长、口径最大的管道运输工程之一，肩负着将西部天然气输送到东部的重要任务．某工程队在管道铺设到某段落的B点时，施工人员遇到了一处无法穿越的地质障碍，不得不调整铺设路线．新的铺设路线在B的南偏东方向上，且，若要回到最初的铺设方向上，必须保证______． 【答案】115 【分析】本题主要考查了方向角的概念、平行线的性质等知识点，熟练掌握方向角的概念、平行线的性质是解题的关键． 如图：过点O作，根据题意可得：、，从而可得、，然后利用平行线的性质可得，从而可得，再利用平行线的性质求解即可． 【详解】解：如图：过点O作， 由题意得：，， ， ， ， ∵， ， ， ， ∵， ． 故答案为：115． 平行线的判定与性质综合 【例8】（24-25七年级下·重庆·期末）如图所示的是一种躺椅及其简化结构示意图，与都平行于，与分别与交于点和点，与交于点，． (1)求证：． (2)若平分，，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据已知结合对顶角相等证明，即可得证； （2）根据平行线的性质可求的度数，进而可得的度数，再由角平分线的性质可得的度数，从而得到的度数，最后根据平行线的性质即可得解． 【详解】（1）证明：，， ， ； （2）解：与都平行于，即， ， ， ， 平分， ， ， ， ． 【变式1】（24-25七年级下·重庆·期末）完成下面的证明并填上推理的根据： 如图，已知，，垂足分别为H，F，．求证：． 证明：，（________）， ，（________）， 即（________）， ， ． ， （________）， ， （________）． 【答案】见解析 【详解】证明：∵，（已知） ∴，（垂直的定义） 即（等量代换）， ， ． ， （同角的补角相等） （两直线平行，同位角相等）． 【变式2】（24-25七年级下·云南玉溪·期中）如图，，． (1)求证：； (2)若，，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据平行线的判定与性质进行证明即可； （2）根据平行线的性质进行计算即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴． ∵， ∴． 又∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． 【变式3】（24-25七年级下·广东潮州·期末）在七年级的“平行线的性质与判定”的学习中，我们常借助于三角板来研究其相关知识，现有一副三角板如图1所示，其中，，，请同学们结合已有的知识及活动经验，解决下列问题： 【初步感知】 (1)如图2，将上述三角板的直角顶点重合在一起，当时，______． 【自主探究】 (2)如图3，当平分时，请写出图中两条平行的直线，并说明理由． 【探究拓展】 (3)将一副三角板如图4所示摆放，直线，若三角板不动，而三角板绕点D以每秒的速度顺时针旋转，设旋转时间为t秒，求当旋转到时，t的值是多少？ 【答案】(1)； (2)，理由见解析； (3)40或． 【分析】本题考查了平行线的判定和性质的应用，角的计算，熟练掌握平行线的性质是解题的关键； （1）根据平行线的性质得到，再结合直角三角板中，求得结果； （2）根据图形，结合角平分线，易得，推出，得到结论； （3）分类讨论当在上方时，和在下方时两种情况下，的度数变化，得到不同的t值． 【详解】（1）解：如图（2），，， ， ， ， ， 故答案为：； （2）解：，理由如下： 平分，， ， ， 即，， ， ， ， ； （3）解：①如图所示，当在上方时，延长交于T， ， ， ， ， ； ②如图所示，当在下方时，延长交于T， ， ， ， ， ， 综上所述，当旋转到时，t的值是40或． 判断命题的真假 【例9】（24-25七年级下·贵州遵义·期末）下列命题中，是真命题的是（    ） A．相等的角是对顶角 B．含有两个未知数的方程叫二元一次方程 C．两点之间，直线最短 D．在实数范围内，一个数不是有理数就是无理数 【答案】D 【分析】本题考查了对顶角、二元一次方程、线段的性质以及实数的分类等知识，解题的关键是熟练掌握相关概念． 依次分析每个选项，根据相关概念判断命题的真假． 【详解】解：A、相等的角不一定是对顶角，例如两直线平行，同位角相等，但同位角不是对顶角，所以该命题是假命题； B、含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的整式方程叫二元一次方程，仅含有两个未知数的方程不一定是二元一次方程，所以该命题是假命题； C、两点之间，线段最短，而不是直线最短，所以该命题是假命题； D、实数包括有理数和无理数，所以在实数范围内，一个数不是有理数就是无理数，该命题是真命题． 故选：D． 【变式1】（24-25七年级下·湖北黄冈·期末）下列命题中，为真命题的是（    ） A．相等的角是对顶角 B．若，则 C．两条直线被第三条直线所截，同位角相等 D．直线在同一平面内，，则 【答案】D 【分析】本题主要考查了真假命题的判定，对顶角的定义，平行线的判定以及性质等知识，根据对顶角的性质、平行线的判定以及性质判断即可． 【详解】解：．相等的角不一定是对顶角，原命题是假命题，故该选项不符合题意； ．若，则或，原命题是假命题，故该选项不符合题意； ．两条平行线被第三条直线所截，同位角相等，原命题是假命题，故该选项不符合题意； ．直线，，在同一平面内，，，则是真命题，故该选项符合题意； 故选：D． 【变式2】（24-25七年级下·广东广州·期末）下列命题是真命题的是（     ） A．在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行 B．两条直线被第三条直线所截，同旁内角互补 C．相等的两个角是对顶角 D．两个锐角的和是钝角 【答案】A 【分析】本题主要考查了平行线的判定、对顶角的定义、角的和差等知识点，掌握相关定义是解题的关键． 根据平行线的判定、对顶角的定义、角的和差等知识逐项判断即可． 【详解】解：A．在同一平面内，若两条直线都垂直于同一条直线，则它们的方向相同，根据平行线判定定理，这两条直线必平行．故A为真命题，符合题意； B．两条直线被第三条直线所截，同旁内角互补的前提是两直线平行．若两直线不平行，同旁内角不互补．因此B是假命题，不符合题意； C．对顶角一定相等，但相等的角未必是对顶角，故C是假命题，不符合题意； D．两个锐角的和可能为锐角（如）、直角（如）或钝角（如），因此D是假命题，不符合题意． 故选：A． 写出命题的题设与结论 【例10】（24-25七年级下·云南玉溪·期末）改写命题“平行于同一直线的两直线平行”：如果______，那么______． 【答案】 两条直线都与第三条直线平行 这两条直线互相平行 【分析】本题考查了命题的改写．任何一个命题都可以改写成“如果…那么…”的形式，“如果”后面接题设，“那么”后面接结论，在改写过程中，不能简单地把题设部分、结论部分分别塞在“如果”、“那么”后面，要适当增减词语，保证句子通顺而不改变原意． 【详解】解：命题可改写为：“如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线互相平行”． 故答案为：两条直线都与第三条直线平行，这两条直线互相平行． 【变式1】（24-25七年级下·北京朝阳·期末）写出命题“如果，那么”的题设和结论，题设是______，结论是______． 【答案】 【分析】此题考查命题与定理，解题关键在于掌握其定义．根据题设和结论的定义进行区分“如果”后是题设，“那么”后是结论，即可． 【详解】解：根据题意可知：题设是，结论是， 故答案为：，． 逻辑与推理 【例11】（24-25七年级下·广东广州·期末）市政部门决定对公园的广场重新整修，按照图中的排列方式重新铺设广场地砖，需要用到两种规格的正方形地砖，其中一种是边长为的大正方形地砖，一种是边长为的小正方形地砖．为节约成本，铺设边缘部分时，可以将大正方形瓷砖分割成相等的两块使用．经过一段时间工作后，工人们已经铺设了一块边长为的正方形场地，那么他至少使用了______块大正方形地砖． 【答案】 【分析】根据已知图形找出基本单元，求解基本单元内大正方形数量，根据场地面积求解其内有几个基本单元，从而得到大正方形的数量． 本题主要考查了推理与论证，根据图形找出基本可重复的最小单元图形是本题解题的关键． 【详解】解：如图： 可以发现，红框部分是一个可重复的基本单元，每个基本单元内大正方形的数量为4个， 红框边长为：， 正方形场地内基本单元的数量为：， 大正方形的数量为：（个） 故答案为： 【变式1】（24-25七年级下·江苏扬州·期末）某班甲、乙、丙、丁四位学生参加安全知识竞赛，在竞赛结果公布前，地理老师预测冠军是甲或乙；历史老师预测冠军是丙；政治老师预测冠军不可能是甲或丁；语文老师预测冠军是乙，而班主任老师看到竞赛结果后说以上只有两位老师说对了，则冠军是________． 【答案】丙 【分析】本题考查了推理和论证，掌握数学推理能力是解题的关键，根据数学推理与论证的关系求解即可； 【详解】解：因为如果语文老师说的正确， 所以地理老师和政治老师的话也都正确， 又只有两个两个老师得话正确， 所以语文老师的话是错误的； 又地理老师的话和历史老师的话和政治老师的话是矛盾，而只有两个老师正确， 故只有历史老师和政治老师的话是正确的； 故冠军一定是丙， 故答案为：丙 图形的平移 【例12】（24-25七年级下·湖南长沙·期末）剪纸是一种民间美术形式，以大胆变形和夸张的手法著称，线条细长、透亮．下面的剪纸图案中，能用其一部分平移得到的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了利用平移设计图案，掌握平移的性质是解题的关键．根据平移的性质：平移不改变图形的形状、大小及方向，判断即可． 【详解】解：∵只有C选项的图形没有改变图形的形状、大小及方向，符合平移的性质， ∴只有C选项的图形是通过平移得到， ∴C选项符合题意， 故选：C． 【变式1】（24-25七年级下·湖南长沙·期末）现实生活中，下列现象不属于平移的是（   ） A．电梯的升降 B．火车在平直的铁轨上行驶 C．飞机起飞前在跑道上滑行 D．卫星绕地球飞行 【答案】D 【分析】本题主要考查了生活中的平移现象，根据平移的定义直接判断即可，熟练掌握平移的定义是解答本题的关键． 【详解】解：、电梯的升降，属于平移，不符合题意； 、火车在平直的铁轨上行驶，属于平移，不符合题意； 、飞机起飞前在跑道上滑行，属于平移，不符合题意； 、卫星绕地球飞行，不属于平移，符合题意； 故选：． 【变式2】（24-25七年级下·广西贺州·期末）下列四个汽车标志中，能用平移得到的是（　　） A．B．C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查平移的定义；根据平移是图形整体沿某一直线方向移动，平移不改变图形的形状和大小，据此求解即可． 【详解】解：四个汽车标志中，只有A选项是由一个圆作为基本图形，经过平移得到的； 故选：A． 利用平移的性质求解 【例13】（24-25七年级下·陕西宝鸡·期末）如图所示，将周长为的直角三角形沿方向平移，得到直角三角形，连接．若，则四边形的周长为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】考查了平移的性质．根据平移的性质可得，，再进一步利用周长公式计算即可. 【详解】解：∵将周长为的直角三角形沿方向平移，得到直角三角形，， ∴，，， ∴四边形的周长 ． 故选A． 【变式1】（24-25七年级下·内蒙古赤峰·期末）如图，三角形沿射线方向平移到了三角形所在的位置（点在线段上），如果，那么平移距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查平移的性质，经过平移，对应点所连的线段平行且相等，对应线段平行且相等，对应角相等，本题关键要找到平移的对应点． 观察图象，发现平移前后，、对应，、对应，根据平移的性质，得平移的距离，进而可得答案． 【详解】解：由题意平移的距离为． 故选：B． 【变式2】（24-25七年级下·四川遂宁·期末）如图，在中，，将沿方向平移得到，若 ， ， 则四边形的周长为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查平移的性质，理解题意，找出线段间的数量关系是解题关键．根据平移的性质得出，即沿方向平移得到，，结合图形求解即可． 【详解】解：，， ，即沿方向平移得到， ， ， 即四边形的周长为． 故选：D． 平移的实际应用 【例14】（24-25七年级下·安徽安庆·期末）如图，雪湖公园有一块长为，宽为的长方形草坪，计划在草坪中间修两条宽度均为的石子路（两条石子路的任何地方的水平宽度都是），剩余阴影区域种植鲜花，则种植鲜花的面积为（　　）． A．24 B．36 C．56 D．48 【答案】D 【分析】本题考查了平移的性质． 用总面积减去石子路面积即可． 【详解】解：种植鲜花的面积为 故选：D 【变式1】（24-25七年级下·天津蓟州·期末）如图，在一块长为，宽为的长方形草地上，有一条弯曲的小路，小路的左边线向右平移就是它的右边线，那么这块草地青草覆盖的面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了生活中的平移现象，熟练掌握平移的性质是解题的关键． 根据平移的性质可得，这块草地可看作是一个长为，宽为的矩形，然后进行计算即可解答． 【详解】解：由题意得： ， 这块草地的绿地面积为， 故选B． 【变式3】（22-23七年级下·河南许昌·期末）如图是某公园里一处长方形风景欣赏区，长米，宽米．为方便游人观赏，公园特意修建了如图所示的小路（图中非阴影部分），小路的宽均为2米，则小明沿着小路的中间，从入口A走到出口B所走的路线（图中虚线）长为（    ） A．140米 B．136米 C．124米 D．100米 【答案】B 【分析】本题考查平移的性质，根据图形可得所走路线长为，进行计算即可． 【详解】解：由图可知，横向距离等于的长，纵向距离等于的2倍， ∴入口A走到出口B所走的路线（图中虚线）长为米； 故选B． 平移-作图 【例15】（24-25七年级下·湖北孝感·期末）在平面直角坐标系中，已知点，，． (1)请画出三角形； (2)将三角形向上平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度，得到三角形，点A、B、C的对应点分别为点、、，请画出平移后的三角形，并写出、、的坐标． 【答案】(1)见解析 (2)作图见解析，，， 【分析】本题考查了作图-平移变换：确定平移后图形的基本要素有两个：平移方向、平移距离．作图时要先找到图形的关键点，分别把这几个关键点按照平移的方向和距离确定对应点后，再顺次连接对应点即可得到平移后的图形． （1）根据点的坐标描点画图即可； （2）根据平移规律画图即可，利用点平移的性质，结合图形写出、、的坐标． 【详解】（1）解：如图所示； （2）如图所示，由图可知，，，． 【变式1】（24-25七年级下·辽宁抚顺·期末）如图，在平面直角坐标系中，线段的端点坐标分别为点，，已知线段的长为5，且点在轴的正半轴上． (1)写出点C的坐标，并画出三角形； (2)将三角形先向左平移2个单位长度，再向下平移5个单位长度得到三角形，点A，B，C的对应点分别为点D，E，F，请画出三角形． 【答案】(1)，作图见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了平移作图，平面直角坐标系内点的坐标， （1）在点B的右侧确定点C，可得坐标，再连接，答案可得； （2）将三个顶点向左平移2个单位长度，再向下平移5个单位长度得到点D，E，F，然后确定坐标，依次连接即可． 【详解】（1）解：如图所示，点，即为所求作； （2）解：如图所示，即为所求作． 【变式2】（24-25七年级下·甘肃武威·期末）如图，三角形的顶点坐标分别为，，，将三角形向右平移个单位，再向上平移个单位得到三角形，其中，，的对应点分别为，，． (1)写出，，的坐标，并画出三角形； (2)已知点在轴上，且的面积是，求点坐标． 【答案】(1)，，，图见解析 (2)点坐标为或 【分析】本题考查的是作图平移变换，坐标系中的面积问题，熟知图形平移不变性的性质是解答此题的关键． （1）利用向右平移个单位，再向上平移个单位，即横坐标加，纵坐标加，即可得到坐标，再画图即可； （2）由点在轴上，得出点坐标为，再利用的面积是，得出，求解即可． 【详解】（1）解：三角形的顶点坐标分别为，，，将三角形向右平移个单位，再向上平移个单位得到三角形， ∴，，， 作图如下： （2）解：∵点在轴上， ∴点坐标为， ∵的面积是， ∴， 解得：或， ∴点坐标为或． 对顶角 / 邻补角混淆 错因：只看大小不看位置，把 “补角” 当成 “邻补角” 垂线概念不清 错因：把 “垂线段” 当成 “距离”；忘记 “垂线段最短” 三线八角识别错误 错因：找不准截线，把内错角看成同位角，位置判断混乱 平行线判定与性质用反 错因：逻辑颠倒 判定：角相等 / 互补 ➜ 线平行 性质：线平行 ➜ 角相等 / 互补 忽略 “同一平面内” 前提 错因：直接说 “不相交就是平行”，漏前提导致概念错误 拐点题不会作辅助线 错因：不会过拐点作平行线，角度无法转化 几何证明跳步、无依据 错因：凭感觉写，每一步必须写：已知 / 对顶角 / 同位角等依据 平移概念误用 错因：认为平移会改变形状、大小；对应点连线不平行也不等 命题改写不规范 错因：不会拆 “题设 + 结论”，假命题不会举反例 计算漏写单位、漏答 错因：角度题只求数不写 °，应用题不写结论 相交线考点 对顶角：相等 邻补角：和 180° 垂直：夹角 90°； 垂线段最短；过一点有且一条垂线 三线八角（识图口诀） ✅ 同位角：F 型 ✅ 内错角：Z 型 ✅ 同旁内角：U 型 平行线判定（角→证平行） 同位角相等 ➜ 两直线平行 内错角相等 ➜ 两直线平行 同旁内角互补 ➜ 两直线平行 平行线性质（已知平行→求角） 两直线平行 ➜ 同位角相等 两直线平行 ➜ 内错角相等 直线平行 ➜ 同旁内角互补 压轴解题技巧 遇拐点、折线题：过拐点作平行线（万能辅助线）搭配：角平分线 + 平行线→直接出相等角 易错扣分点 不平行，不能乱推角相等 / 互补 分清：判定是角推线，性质是线推角，绝不混用 看图先找 “第三条截线”，乱找角必错 学科网（北京）股份有限公3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 相交线与平行线 相交线的相关概念 1. 相交线的定义 在同一平面内，如果两条直线只有一个公共点，那么这两条直线叫做相交线，公共点称为两条直线的交点。如图1所示，直线AB与直线CD相交于点O。 图1 图2 图3 2. 对顶角的定义 若一个角的两条边分别是另一个角的两条边的反向延长线，那么这两个角叫做对顶角。 如图2所示，∠1与∠3、∠2与∠4都是对顶角。 3. 对顶角的性质：对顶角相等。 4. 邻补角的定义 如果把一个角的一边反向延长，这条反向延长线与这个角的另一边构成一个角，此时就说这两个角互为邻补角。如图3所示，∠1与∠2互为邻补角，由平角定义可知∠1＋∠2＝180°。 垂线 1．垂线的定义：如果两条直线相交所成的四个角中有一个角是直角，那么这两条直线互相垂直，其中的一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足．如下图，两条直线互相垂直，记作或AB⊥CD垂直于点O. 2．垂线的画法：过一点画已知直线的垂线，可通过直角三角板来画，具体方法是使直角三角板的一条直角边和已知直线重合，沿直线左右移动三角板，使另一条直角边经过已知点，沿此直角边画直线，则所画直线就为已知直线的垂线(如图所示)． 3．垂线的性质： （1）在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直． （2）连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短．简单说成：垂线段最短． 4．点到直线的距离： 定义：直线外一点到这条直线的垂线段的长度叫做点到直线的距离． 图4 如图4所示，m 的垂线段PB 的长度叫做点P 到 直线m 的距离。 平行线的定义及画法 1．定义：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线，如果直线a与b平行，记作a∥b． 2.平行线的画法： 用直尺和三角板作平行线的步骤： ①落：用三角板的一条斜边与已知直线重合. ②靠：用直尺紧靠三角板一条直角边. ③推：沿着直尺平移三角板,使与已知直线重合的斜边通过已知点. ④画：沿着这条斜边画一条直线,所画直线与已知直线平行. 同位角，内错角和同旁内角的定义 两条直线被第三条线所截，可得八个角，即“三线八角”，如下图所示。 （1）同位角：可以发现∠1与∠5都处于直线的同一侧，直线、的同一方，这样位置的一对角就是同位角。图中的同位角还有∠2与∠6，∠3与∠7，∠4与∠8。 （2）内错角：可以发现∠3与∠5都处于直线的两旁，直线、的两方，这样位置的一对角就是内错角。图中的内错角还有∠4与∠6。 （3）同旁内角：可以发现∠4与∠5都处于直线的同一侧，直线、的两方，这样位置的一对角就是同旁内角。图中的同旁内角还有∠3与∠6。 平行线判定 判定方法 （1）：两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行 简单说成： 同位角相等，两直线平行。 几何语言： ∵∠1＝∠2 ∴ AB∥CD（同位角相等，两直线平行） 判定方法 （2）：两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行． 简单说成：内错角相等，两直线平行。 ∵∠2＝∠3 ∴ AB∥CD（内错角相等，两直线平行） 判定方法 （3）：两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行 简单说成： 同旁内角互补，两直线平行。 ∵∠4＋∠2＝180° ∴ AB∥CD（同旁内角互补，两直线平行） 平行线性质 性质（1）：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等。 简单说成：两直线平行，同位角相等。 几何语言：∵a∥b ∴∠1=∠5（两直线平行，同位角相等） 性质（2）：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等。 简单说成：两直线平行，内错角相等。 几何语言：∵a∥b ∴∠3=∠5（两直线平行，内错角相等） 性质（3）：两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补。 简单说成：两直线平行，同旁内角互补。 几何语言：∵a∥b ∴∠3+∠6=180°（两直线平行，同旁内角互补） 图形的平移 1.定义：在平面内，将一个图形整体沿某一方向由一个位置平移到另一个位置，图形的这种 移动，叫做平移变换，简称平移。 2.平移三要素：图形的原来位置、平移的方向、平移的距离。 3. 平移的性质 （1）对应点的连线平行(或共线)且相等 （2）对应线段平行(或共线)且相等； （3）对应角相等，对应角两边分别平行，且方向一致。 4.平移作图的步骤和方法：平行线法、对应点连线法、全等图形法 （1）找关键点； （2）过每个关键点作平移方向的平行线，截取与之相等的距离，标出对应点 （3）连接对应点。将原图形的各个特征点按规定的方向平移，得到相应的对称点，再将各对称点进行相应连接，即得到平移后的图形 定义﹑命题﹑定理 1.定义与命题 （1）一般地，对某一名称或术语进行描述或作出规定就叫做该名称或术语的定义． （2）判断一件事情的语句叫做命题． （3）命题的组成：命题是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项． （4）命题的表达形式：命题可以写成“如果……那么……”的形式，“如果”后接的部分是题设，“那么”后接的部分是结论． 2.真命题、假命题 （1）正确的命题叫做真命题． （2）要说明一个命题是正确的，需要根据命题的题设和已学的有关公理、定理进行说明（推理、证明）． （3）要说明一个命题是假命题，只需举一个反例即可． 3.公理与定理 （1）如果一个命题的正确性是人们在长期实践中总结出来的，并把它作为判断其他命题真假的原始依据，这样的真命题叫做公理． （2）如果一个命题可以从公理或其他命题出发，用逻辑推理的方法判断它是正确的，并且可以进一步作为判断其他命题真假的依据，这样的命题叫做定理． （3）公理和定理都是真命题，都可作为证明其他命题是否为真命题的依据． （4）由定理直接推出的结论，并且和定理一样可作为进一步推理依据的真命题叫做推论 对顶角的识别 【例1】（24-25七年级下·湖北宜昌·期末）下面四个图形中，与是对顶角的是（   ） A．B．C．D． 【变式1】（24-25七年级下·甘肃酒泉·期末）甘州古塔位于甘肃省张掖市甘州区，是中国塔和印度塔的融合体．为测量这座古塔外墙底部的底角的度数，李潇同学设计了如下方案：如图，作的延长线，量出的度数，从而得到的度数，这个方案的依据是___________． 【变式2】（24-25七年级下·广东广州·期末）下列日常使用的工具或学具中，没有应用到对顶角及其相关知识的是（    ） A．B．C．D． 对顶角和邻补角的有关计算 【例2】（24-25七年级下·陕西渭南·期末）如图，已知直线与交于点，，则的度数为______°． 【变式1】（24-25七年级下·内蒙古巴彦淖尔·期末）如图，直线相交于点，平分，若，则的度数为________． 【变式2】（24-25七年级下·陕西咸阳·期末）如图，已知直线与相交于点，垂足为平分，若，则的度数为________． 垂线段最短 【例3】（24-25七年级下·云南昆明·期末）某班数学学习小组在“设计学校田径运动会比赛场地”的项目式学习中，分别设计出了如图所示立定跳远和铅球场地的示意图，点B，E为相应的落地点，则立定跳远和铅球的成绩分别对应的是线段（　　） A．和的长 B．和的长 C．和的长 D．和的长 【变式1】（24-25七年级下·河北邯郸·期末）嗨！同学这一学期你参加体育测试了吗？如图是琪琪同学本学期立定跳远的示意图，琪琪从点A起跳，落到了点B处，若米，则琪琪的跳远成绩可能是（    ） A．2.3米 B．2.2米 C．2.1米 D．2.0米 平行线的相关概念 【例4】（24-25七年级下·甘肃临夏·期末）下列说法错误的是（    ） A．平面内过一点有且只有一条直线与已知直线平行 B．平面内过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 C．两点之间的所有连线中，线段最短 D．如果，，那么 【变式1】（24-25七年级下·湖南娄底·期末）在同一平面内，如果直线与相交，且直线与平行，则这三条直线中所有交点的个数为（　　） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 同位角，内错角和同旁内角的定义 【例5】（24-25七年级下·贵州遵义·期末）如图，的内错角是（    ） A． B． C． D． 【变式1】（24-25七年级下·湖南长沙·期末）如图，与是一对（    ） A．对顶角 B．内错角 C．同旁内角 D．同位角 【变式2】（24-25七年级下·河北邯郸·期末）如图，直线a，b被直线所截，则下列说法中正确的是（   ）    A．与互余 B．与是同位角 C．与不是对顶角 D．与是同位角 平行线判定 【例6】（24-25七年级下·湖北宜昌·期末）如图，为延长线上一点，下列条件中能判断的是（ ）． A． B． C． D． 【变式1】（24-25七年级下·广东深圳·期末）下列各图形中，，能确定的是（　　） A．B．C． D． 【变式1】（24-25七年级下·山西阳泉·期末）如图是刻度尺的一段，为判断有刻度的一边（）与它的对边（）是否平行，启航小组的四位同学分别给出以下四种方案，其中不可行的方案是（   ） A．度量刻度尺左边的两个角是否都是直角，若是，则平行 B．画一条直线，分别与，相交，度量其中一对内错角，若相等，则平行 C．画一条直线，分别与，相交，度量其中一对同位角，若相等，则平行 D．将直角三角板的直角顶点F放置于刻度尺内部，三角板两直角边，分别与刻度尺的两条边，相交于点M，N，度量与，若相等，则平行 【答案】D 利用平行线性质求角度 【例7】（23-24七年级下·贵州黔东南·期末）某市为了方便市民绿色出行，推出了共享单车服务，图1是某品牌共享单车放在水平地面的 实物图，图2是其示意图，其中，都与地面平行，与平行，若平分，，则的度数为（  ） A． B． C． D． 【变式1】（24-25七年级下·陕西咸阳·期末）如图，，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25七年级下·山东聊城·期末）如图，，若，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【变式3】（24-25七年级下·河南郑州·期末）西气东输工程是我国迄今为止距离最长、口径最大的管道运输工程之一，肩负着将西部天然气输送到东部的重要任务．某工程队在管道铺设到某段落的B点时，施工人员遇到了一处无法穿越的地质障碍，不得不调整铺设路线．新的铺设路线在B的南偏东方向上，且，若要回到最初的铺设方向上，必须保证______． 平行线的判定与性质综合 【例8】（24-25七年级下·重庆·期末）如图所示的是一种躺椅及其简化结构示意图，与都平行于，与分别与交于点和点，与交于点，． (1)求证：． (2)若平分，，求的度数． 【变式1】（24-25七年级下·重庆·期末）完成下面的证明并填上推理的根据： 如图，已知，，垂足分别为H，F，．求证：． 证明：，（________）， ，（________）， 即（________）， ， ． ， （________）， ， （________）． 【变式2】（24-25七年级下·云南玉溪·期中）如图，，． (1)求证：； (2)若，，求的度数． 【变式3】（24-25七年级下·广东潮州·期末）在七年级的“平行线的性质与判定”的学习中，我们常借助于三角板来研究其相关知识，现有一副三角板如图1所示，其中，，，请同学们结合已有的知识及活动经验，解决下列问题： 【初步感知】 (1)如图2，将上述三角板的直角顶点重合在一起，当时，______． 【自主探究】 (2)如图3，当平分时，请写出图中两条平行的直线，并说明理由． 【探究拓展】 (3)将一副三角板如图4所示摆放，直线，若三角板不动，而三角板绕点D以每秒的速度顺时针旋转，设旋转时间为t秒，求当旋转到时，t的值是多少？ 判断命题的真假 【例9】（24-25七年级下·贵州遵义·期末）下列命题中，是真命题的是（    ） A．相等的角是对顶角 B．含有两个未知数的方程叫二元一次方程 C．两点之间，直线最短 D．在实数范围内，一个数不是有理数就是无理数 【变式1】（24-25七年级下·湖北黄冈·期末）下列命题中，为真命题的是（    ） A．相等的角是对顶角 B．若，则 C．两条直线被第三条直线所截，同位角相等 D．直线在同一平面内，，则 【变式2】（24-25七年级下·广东广州·期末）下列命题是真命题的是（     ） A．在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行 B．两条直线被第三条直线所截，同旁内角互补 C．相等的两个角是对顶角 D．两个锐角的和是钝角 写出命题的题设与结论 【例10】（24-25七年级下·云南玉溪·期末）改写命题“平行于同一直线的两直线平行”：如果______，那么______． 【变式1】（24-25七年级下·北京朝阳·期末）写出命题“如果，那么”的题设和结论，题设是______，结论是______． 逻辑与推理 【例11】（24-25七年级下·广东广州·期末）市政部门决定对公园的广场重新整修，按照图中的排列方式重新铺设广场地砖，需要用到两种规格的正方形地砖，其中一种是边长为的大正方形地砖，一种是边长为的小正方形地砖．为节约成本，铺设边缘部分时，可以将大正方形瓷砖分割成相等的两块使用．经过一段时间工作后，工人们已经铺设了一块边长为的正方形场地，那么他至少使用了______块大正方形地砖． 【变式1】（24-25七年级下·江苏扬州·期末）某班甲、乙、丙、丁四位学生参加安全知识竞赛，在竞赛结果公布前，地理老师预测冠军是甲或乙；历史老师预测冠军是丙；政治老师预测冠军不可能是甲或丁；语文老师预测冠军是乙，而班主任老师看到竞赛结果后说以上只有两位老师说对了，则冠军是________． 图形的平移 【例12】（24-25七年级下·湖南长沙·期末）剪纸是一种民间美术形式，以大胆变形和夸张的手法著称，线条细长、透亮．下面的剪纸图案中，能用其一部分平移得到的是（ ） A． B． C． D． 【变式1】（24-25七年级下·湖南长沙·期末）现实生活中，下列现象不属于平移的是（   ） A．电梯的升降 B．火车在平直的铁轨上行驶 C．飞机起飞前在跑道上滑行 D．卫星绕地球飞行 【变式2】（24-25七年级下·广西贺州·期末）下列四个汽车标志中，能用平移得到的是（　　） A．B．C． D． 利用平移的性质求解 【例13】（24-25七年级下·陕西宝鸡·期末）如图所示，将周长为的直角三角形沿方向平移，得到直角三角形，连接．若，则四边形的周长为（    ） A． B． C． D． 【变式1】（24-25七年级下·内蒙古赤峰·期末）如图，三角形沿射线方向平移到了三角形所在的位置（点在线段上），如果，那么平移距离为（   ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25七年级下·四川遂宁·期末）如图，在中，，将沿方向平移得到，若 ， ， 则四边形的周长为（   ） A． B． C． D． 平移的实际应用 【例14】（24-25七年级下·安徽安庆·期末）如图，雪湖公园有一块长为，宽为的长方形草坪，计划在草坪中间修两条宽度均为的石子路（两条石子路的任何地方的水平宽度都是），剩余阴影区域种植鲜花，则种植鲜花的面积为（　　）． A．24 B．36 C．56 D．48 【变式1】（24-25七年级下·天津蓟州·期末）如图，在一块长为，宽为的长方形草地上，有一条弯曲的小路，小路的左边线向右平移就是它的右边线，那么这块草地青草覆盖的面积是（    ） A． B． C． D． 【变式3】（22-23七年级下·河南许昌·期末）如图是某公园里一处长方形风景欣赏区，长米，宽米．为方便游人观赏，公园特意修建了如图所示的小路（图中非阴影部分），小路的宽均为2米，则小明沿着小路的中间，从入口A走到出口B所走的路线（图中虚线）长为（    ） A．140米 B．136米 C．124米 D．100米 平移-作图 【例15】（24-25七年级下·湖北孝感·期末）在平面直角坐标系中，已知点，，． (1)请画出三角形； (2)将三角形向上平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度，得到三角形，点A、B、C的对应点分别为点、、，请画出平移后的三角形，并写出、、的坐标． 【变式1】（24-25七年级下·辽宁抚顺·期末）如图，在平面直角坐标系中，线段的端点坐标分别为点，，已知线段的长为5，且点在轴的正半轴上． (1)写出点C的坐标，并画出三角形； (2)将三角形先向左平移2个单位长度，再向下平移5个单位长度得到三角形，点A，B，C的对应点分别为点D，E，F，请画出三角形． 【变式2】（24-25七年级下·甘肃武威·期末）如图，三角形的顶点坐标分别为，，，将三角形向右平移个单位，再向上平移个单位得到三角形，其中，，的对应点分别为，，． (1)写出，，的坐标，并画出三角形； (2)已知点在轴上，且的面积是，求点坐标． 对顶角 / 邻补角混淆 错因：只看大小不看位置，把 “补角” 当成 “邻补角” 垂线概念不清 错因：把 “垂线段” 当成 “距离”；忘记 “垂线段最短” 三线八角识别错误 错因：找不准截线，把内错角看成同位角，位置判断混乱 平行线判定与性质用反 错因：逻辑颠倒 判定：角相等 / 互补 ➜ 线平行 性质：线平行 ➜ 角相等 / 互补 忽略 “同一平面内” 前提 错因：直接说 “不相交就是平行”，漏前提导致概念错误 拐点题不会作辅助线 错因：不会过拐点作平行线，角度无法转化 几何证明跳步、无依据 错因：凭感觉写，每一步必须写：已知 / 对顶角 / 同位角等依据 平移概念误用 错因：认为平移会改变形状、大小；对应点连线不平行也不等 命题改写不规范 错因：不会拆 “题设 + 结论”，假命题不会举反例 计算漏写单位、漏答 错因：角度题只求数不写 °，应用题不写结论 相交线考点 对顶角：相等 邻补角：和 180° 垂直：夹角 90°； 垂线段最短；过一点有且一条垂线 三线八角（识图口诀） ✅ 同位角：F 型 ✅ 内错角：Z 型 ✅ 同旁内角：U 型 平行线判定（角→证平行） 同位角相等 ➜ 两直线平行 内错角相等 ➜ 两直线平行 同旁内角互补 ➜ 两直线平行 平行线性质（已知平行→求角） 两直线平行 ➜ 同位角相等 两直线平行 ➜ 内错角相等 直线平行 ➜ 同旁内角互补 压轴解题技巧 遇拐点、折线题：过拐点作平行线（万能辅助线）搭配：角平分线 + 平行线→直接出相等角 易错扣分点 不平行，不能乱推角相等 / 互补 分清：判定是角推线，性质是线推角，绝不混用 看图先找 “第三条截线”，乱找角必错 学科网（北京）股份有限公3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $