专题03三角形（期末复习知识清单）七年级数学下学期新教材人教版五四制

专题03三角形（6知识&12题型&3易错&5方法清单） 【清单01】认识三角形 三角形的定义：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形. 概念 示例 图示 顶点 三角形两边的公共点叫做三角形的顶点. 点A，点B，点C 边 组成三角形的三条线段称为三角形的三条边. 线段AB，线段BC，线段AC 内角 在三角形中，每两条边所组成的角叫做三角形的内角. ∠A，∠B，∠C 三角形的表示：用符号“△”表示，顶点是A、B、C的三角形记作“△ABC”，读作“三角形ABC”，字母的顺序可以自由安排，即∆ABC， ∆ACB等均为同一个三角形. 【清单02】三角形的三边关系 文字表述 数字语言 理论依据 图形 三角形的任意两边之和大于第三边 在△ABC中，a+b＞c，a+c＞b，b+c＞a 两点之间线段最短 【清单03】三角形的高、中线、角平分线 三角形的高 三角形的中线 三角形的角平分线 定义 从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线，顶点和垂足之间的线段． 三角形中，连接一个顶点和它对边中点的线段． 三角形一个内角的平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段． 图示 性质 ∵AD是∆ABC中BC边的高 ∴∠ADB=∠ADC=90° ∵AD是∆ABC中BC边的中线 ∴BD=CD S△ABD=S△ADC=S△ABC ∵AD是∆ABC中∠BAC的角平分线 ∴∠BAD=∠DAC=∠BAC 【清单04】三角形的稳定性 三角形的稳定性: 如果一个三角形三边长确定后，那么三角形的形状和大小就确定不变了，这个性质叫做三角形的稳定性. 【解读】 1）三角形的形状固定是指三角形的三个内角不会改变，大小固定指三条边长不改变． 2）四边形不具有稳定性，也就是说，四边形的四条边的长度确定后，不能确定它的形状，因为它的各个角的大小还可以改变. 因此要使一些图形具有稳定的结构，往往通过作辅助线转化为三角形而获得. 【清单05】三角形的内角和定理 定理：三角形三个内角和等于180°． 表达形式：在△ABC中，∠A+∠B+∠C=180° 【清单06】三角形的外角 三角形外角的定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角. 图中的∠ACD为△ABC的一个外角. 三角形的外角的性质：1）三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和； 2）三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角． 三角形的外角和定理：三角形的外角和为360°． 【题型一】认识三角形 1．（25-26八年级上·江西宜春·月考）观察下列图形，其中是三角形的是（    ）． A． B． C． D． 2．（23-24七年级下·四川眉山·期中）下列说法：①平分三角形内角的射线是三角形的角平分线；②三角形的中线、角平分线、高都是线段；③一个三角形有三条角平分线和三条中线；④直角三角形只有一条高；⑤三角形的中线、角平分线、高都在三角形的内部．其中正确的个数（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．（23-24八年级上·北京·单元测试）如图，下列说法错误的是（     ） A．，，是的内角 B． 是与相邻的角 C． D．的三条边分别是 ，， 4．（25-26八年级上·江苏盐城·期中）如图，、、分别是的高、角平分线、中线，则下列结论中不正确的是（    ） A． B． C． D． 【题型二】三角形的稳定性 5．（25-26八年级上·福建厦门·期中）同安银湖大桥全长约为 米，是连接同安老城与城南片区的交通要道．其桥塔与拉索等结构广泛采用三角形设计来确保这座长约为九百米的大桥的稳固安全．这么做的依据是（    ） A．三角形的内角和是 B．外形美观 C．三角形具有稳定性 D．三角形两边之和大于第三边 6．（25-26八年级上·安徽淮南·期中）下列图形具有稳定性的是（    ） A． B． C． D． 7．（24-25八年级上·北京·期中）下面四个图形中，线段是的高的图是 ．（填序号） 【题型三】等面积法求相关线段 8．（25-26八年级上·青海西宁·期中）在中，，，，，那么点到的距离是（    ） A．3 B．4 C．4.8 D．2.4 9．（25-26八年级上·安徽淮北·期中）如图，在中，点D是边上一点且，过点B作交延长线于点E，过点C作交于点F，若，则的值为（   ）    A．2 B．4 C．6 D．8 10．（25-26七年级上·山东烟台·期中）如图，在中，于点，，，，为边上一动点，连接，则的最小值为 ． 11．（25-26八年级上·江苏南通·期中）如图，是中的角平分线，于点，，，，则长是 ． 【题型四】根据三角形中线求长度 12．（25-26八年级上·贵州遵义·期中）如图，AD是的中线，已知的周长为28cm，AB比AC长6cm，则的周长为（   ） A．34cm B．31cm C．22cm D．20cm 13．（25-26八年级上·浙江绍兴·期中）中，，边上的中线交于点D，中线分两部分的周长差为2，若，则的长为（    ） A．5 B．8或10 C．12 D．8或12 14．（25-26八年级上·安徽安庆·期中）如图，是的中线，是的中线，于点F．若，，则长为 ． 15．（25-26八年级上·安徽·期中）如图，在中，是中线，． (1)求与的周长差； (2)点E在边上，连接．若的周长被分成的两部分的差是，求线段的长． 【题型五】根据三角形中线求面积 16．（25-26八年级上·浙江温州·期中）如图，在中，点D，E，F，分别为，，的中点，，则的值为（    ） A．6 B．8 C．10 D．12 17．（25-26八年级上·安徽合肥·期中）如图，在中，已知D，E，F分别是边的中点，且阴影部分图形的面积为5，则的面积为（    ） A．10 B．15 C．17.5 D．20 18．（25-26八年级上·安徽阜阳·期中）如图，在中，点为中点，连接．点为上一点，连接交于点．若，则 ． 19．（25-26八年级上·河北石家庄·期中）发现与探究：三角形三条中线的交点叫三角形的重心．重心是个物理名词，从效果上看，我们可以认为物体所受重力的合力集中于一点，这一点叫物体的重心．如图，如果取一块均匀的三角形纸板，用一根细线绳从重心O处将三角形提起来，纸板就会处于水平状态．关于三角形的重心还有哪些性质呢？希望你经过下面的探索过程能得到答案． (1)如图，小组成员在三角形薄板上画出中线，可以得到______（填“”“”或“”）； (2)如图，三角形薄板的三条中线，，相交于点O，试判断三角形薄板被三条中线所分成的六个小三角形的面积之间的数量关系，并说明理由； (3)结合（2）中的结论，试猜想，，的值，并说明理由． 【题型六】三角形高、中线、角平分线综合 20．（25-26八年级上·河北廊坊·期中）如图，中，，下列说法不正确的是（   ） A．是的中线 B．若，则 C．若，则互相重合 D． 21．（25-26八年级上·山东威海·期中）如图．在中，，，，，是高，是中线，是角平分线，交于点G，交于点H，给出以下结论错误的是（   ） A． B． C． D． 22．（25-26八年级上·吉林松原·期中）如图，、分别是的中线和高，是的角平分线． (1)若，，则与的周长差为_____； (2)若，，求的度数． 23．（23-24八年级上·云南昆明·期中）如图，在中，分别为的边上的中线和高，为的角平分线． (1)若，，求的大小； (2)若的面积为48，，求的长． 【题型七】三角形的三边关系及应用 24．（25-26八年级上·重庆·期中）已知三角形的两边长分别为1和3，第三边长为整数，则第三边长是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 25．（25-26八年级上·河北邢台·期末）将一根长的铁丝按下列四个选项标记的长度剪开，能围成三角形的是（   ） A．；； B．；； C．；； D．；； 26．（25-26八年级上·安徽合肥·期中）已知的三边长为， (1)若，求边长的取值范围； (2)化简． 27．（25-26八年级上·江西宜春·期中）已知，，是的三边长． (1)若，则___________，化简：___________．___________． (2)若，，满足，试判断的形状，并说明理由． 【题型八】与平行线/角平分线有关的三角形内角和问题 28．（25-26八年级上·吉林延边·期中）如图，直线，等边三角形的顶点在直线上，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 29．（2022八年级上·浙江·专题练习）如图，在中，平分，交于点．若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 30．（23-24八年级上·河南新乡·期中）如图中，、的角平分线交于点，过作交于，交于． (1)若，求的度数； (2)求证：． 31．（25-26八年级上·四川广元·期中）如图，在中，是高，是角平分线，它们相交于点O，，，求的度数． 【题型九】与平行线/角平分线有关的三角形外角问题 32．（24-25八年级上·山东泰安·期末）如图，一束太阳光线平行照射在放置于地面的正五边形上，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 33．（2025·湖南长沙·一模）一只杯子静止在斜面上，其受力分析如图所示，重力的方向竖直向下，支持力的方向与斜面垂直，摩擦力的方向与斜面平行．若斜面的坡角，则摩擦力与重力方向的夹角的度数为（   ） A． B． C． D． 34．（23-24八年级上·河南·期末）如图，平分，交于点，若，，，则的度数为 ． 35．（25-26八年级上·山西阳泉·期中）如图，平分，，，求的度数． 【题型十】三角形内角与外角综合 36．（25-26八年级上·贵州黔东南·期中）如图，在中，，，平分，点是上的一点，连接，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 37．（25-26八年级上·湖北荆州·期中）某平板电脑支架如图所示，，．为了使用的舒适性，可调整的大小．若增大，则的变化情况是（   ） A．增大 B．减小 C．增大 D．减小 38．（25-26八年级上·广东广州·期中）将一副三角板按如图所示的方式放置．，，，F为与的交点．若，则 ． 39．（25-26八年级上·吉林长春·期中）如图，在中，，点D、E在的延长线上，点G是上一点，且，点F是上一点，且．若，则 ． 40．（25-26八年级上·重庆·期中）如图，在中，平分，为线段上的一个动点，交的延长线于点． (1)若，，求的度数； (2)当P点在线段上运动时，猜想，与的数量关系，并证明． 【题型十一】三角板中的角度计算 41．（25-26八年级上·河南周口·期中）用一副分别含有角的直角三角板按如图的方式摆放中，图中A、F、C、E在一条直线上，，则的大小为（   ） A． B． C． D． 42．（25-26八年级上·河南信阳·期中）将一副三角板按照如图方式摆放，点B，C，D共线，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 43．（25-26八年级上·辽宁·期中）生活中到处都存在着数学知识，只要同学们学会用数学的眼光观察生活，就会有许多意想不到的收获．下面用一副三角板中，，；中，，拼接图形．点在上，求的度数；    44．（25-26八年级上·全国·期中）将一块直角三角板放置在上，使得该三角板的两条直角边，恰好分别经过点，． (1)如图，当时，______度，______度． (2)如图，改变直角三角板的位置，使该三角板的两条直角边，仍然分别经过点，，那么的大小是否发生变化？若变化，请举例说明，若没有变化，请探究与的关系． 53．（25-26八年级上·江西宜春·期中）在一个直角三角形中，有一个锐角等于，则另一个锐角的度数是（    ） A． B． C． D． 【题型十二】利用直角三角形的两锐角互余求解 45．（25-26八年级上·重庆·期中）如图，，于点F，若，则（   ） A． B． C． D． 46．（25-26八年级上·重庆合川·期中）如图，直角三角形中，，，，是边上一点，且，过点作，交边于点，则的周长是 ． 【题型一】画三角形的高、中线 1．（25-26八年级上·广东广州·期中）如图，将三角形纸片按下面四种方式折叠，则是的高的是（ ） A．B．C． D． 2.（25-26八年级上·重庆渝北·期中）如图，过的顶点B，作边上的高，以下作法正确的是（   ） A．B．C．D． 3．（25-26八年级上·浙江金华·期中）如图是由边长为1的小正方形组成的网格，点均在小正方形的顶点上． (1)画出的边上的高． (2)画出的边上的中线． (3)求的面积． 【题型二】三角形的三边关系（涉及等腰三角形） 1．（25-26八年级上·广东珠海·期中）等腰三角形的一边长，一边长，则第三边的长（    ） A． B． C．或 D． 2．（25-26八年级上·广东广州·期中）等腰三角形的周长是，其中一边长是，则该等腰三角形的腰长为（） A． B． C． D．或 3．（25-26八年级上·江苏镇江·期中）等腰三角形的周长为，其中一边长为，则该等腰三角形的腰长为 ． 4．（25-26八年级上·浙江绍兴·期中）等腰三角形一腰上的中线将这个等腰三角形的周长分成和两部分，则等腰三角形的底边长为 【题型三】三角形内角和定理的证明 1．（24-25七年级下·山东泰安·期中）在探究证明“三角形的内角和是”时，综合实践小组的同学作了如下四种辅助线，其中不能证明“三角形内角和是”的是（   ） A．如图①所示，过三角形一边上点D作 B．如图②所示，过三角形内部一点P作 C．如图③所示，过点C作于点D D．如图④所示，过三角形外部一点P作 【题型一】A字模型 1．（25-26八年级上·山东·期中）如图，在中，，，则的值为 2．（25-26八年级上·贵州黔东南·期中）在如图所示的三角形纸片中剪去得到四边形，若，则的度数是 3．（2024·湖南·模拟预测）如图，在正六边形中，延长，交于点，则的度数为 ． 【题型二】8字模型 1．（25-26八年级上·山东日照·期中）如图，和的平分线和相交于P点，交叉形成了多个“和谐8字形”，若，，那么的度数是 ． 2．（25-26八年级上·浙江温州·期中）如图，点A，B，C，D在同一条直线上， 与的延长线相交于点，若，则的度数为 ．（请用含的代数式表示） 3．（25-26八年级上·安徽合肥·期中）如图1已知线段，相交于点，连接，，我们把这种图形称之为“8字型”，试解答下列问题： （1），，，之间的等量关系为 ； （2）如图2，和的平分线和相交于点，并与，分别交于点，．若，，则的度数为 ． 【题型三】飞镖模型 1．（25-26八年级上·重庆·期中）如图所示，，，，则 ． 2．（23-24七年级下·江苏无锡·阶段练习）如图，的角平分线交于点P，若，，则的度数为 3．（24-25七年级上·江苏镇江·期末）【模型认识】 如图1，该图形长得像一个飞镖，故曰“飞镖”模型． 【初步探索】 如图1，已知，，，求的度数． 方法借鉴：不妨延长交于点E，将飞镖分解成和 请你根据方法借鉴求的度数．（可标注、等） 【归纳结论】、、和的数量关系是　　　． 【深入探究】如图2，若，，且，求的度数． 【拓展延伸】如图3，若改变飞镖形状，使得、、都小于，，原结论是否发生变化？若变化，写出变化后的结论并证明；若不变，请说明理由． 【题型四】三角形双角平分线模型 1．（25-26八年级上·山东济南·月考）如图，在中，，的平分线与的外角（）的平分线交于点；的平分线与的外角的平分线交于点，…，以此类推，则 （用含的式子表示） 2．（25-26八年级上·山西吕梁·期中）如图，与是的外角，，，若，则 ．（用含、的式子表示） 3．（25-26八年级上·安徽安庆·期中）如图，在中，，的平分线交于点O，． （1）的度数为 ． （2）若CD平分外角，交BO的延长线于点D，点E是的两外角平分线的交点，则的度数为 ． 【题型五】高+角平分线模型与垂线+角平分线模型 1．（24-25八年级上·广东云浮·期中）已知，如图，在中，，分别是的高和角平分线，且始终满足 (1)若，求的度数 (2)直接写出、、的关系，不需证明 2．（25-26八年级上·全国·期中）如图，，分别是的高和角平分线． (1)求证：； (2)如图，若点为上一点，且于点，试推导与，之间的等量关系； (3)当点在的延长线上时，且于点，其余条件都不变，请直接写出与，之间的等量关系． 学科网（北京）股份有限公5 / 5 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 三角形（6知识&12题型&3易错&5方法清单） 【清单01】认识三角形 三角形的定义：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形. 概念 示例 图示 顶点 三角形两边的公共点叫做三角形的顶点. 点A，点B，点C 边 组成三角形的三条线段称为三角形的三条边. 线段AB，线段BC，线段AC 内角 在三角形中，每两条边所组成的角叫做三角形的内角. ∠A，∠B，∠C 三角形的表示：用符号“△”表示，顶点是A、B、C的三角形记作“△ABC”，读作“三角形ABC”，字母的顺序可以自由安排，即∆ABC， ∆ACB等均为同一个三角形. 【清单02】三角形的三边关系 文字表述 数字语言 理论依据 图形 三角形的任意两边之和大于第三边 在△ABC中，a+b＞c，a+c＞b，b+c＞a 两点之间线段最短 【清单03】三角形的高、中线、角平分线 三角形的高 三角形的中线 三角形的角平分线 定义 从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线，顶点和垂足之间的线段． 三角形中，连接一个顶点和它对边中点的线段． 三角形一个内角的平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段． 图示 性质 ∵AD是∆ABC中BC边的高 ∴∠ADB=∠ADC=90° ∵AD是∆ABC中BC边的中线 ∴BD=CD S△ABD=S△ADC=S△ABC ∵AD是∆ABC中∠BAC的角平分线 ∴∠BAD=∠DAC=∠BAC 【清单04】三角形的稳定性 三角形的稳定性: 如果一个三角形三边长确定后，那么三角形的形状和大小就确定不变了，这个性质叫做三角形的稳定性. 【解读】 1）三角形的形状固定是指三角形的三个内角不会改变，大小固定指三条边长不改变． 2）四边形不具有稳定性，也就是说，四边形的四条边的长度确定后，不能确定它的形状，因为它的各个角的大小还可以改变. 因此要使一些图形具有稳定的结构，往往通过作辅助线转化为三角形而获得. 【清单05】三角形的内角和定理 定理：三角形三个内角和等于180°． 表达形式：在△ABC中，∠A+∠B+∠C=180° 【清单06】三角形的外角 三角形外角的定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角. 图中的∠ACD为△ABC的一个外角. 三角形的外角的性质：1）三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和； 2）三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角． 三角形的外角和定理：三角形的外角和为360°． 【题型一】认识三角形 1．（25-26八年级上·江西宜春·月考）观察下列图形，其中是三角形的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的定义，依据三角形的定义，判断所给图形是否为三角形，三角形的定义为在同一平面内，由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形． 【详解】解：A项：选项中是一个角，且只有两条线段没有闭合，所以不是三角形，不符合题意； B项：选项中2条线段没有相接，所以不是三角形，不符合题意； C项：3条线段的端点首尾相接，且为闭合图形，满足三角形的定义，符合题意； D项：有1条线段的端点连接了另一条线段上的一点，所以不是三角形，不符合题意． 故选：C． 2．（23-24七年级下·四川眉山·期中）下列说法：①平分三角形内角的射线是三角形的角平分线；②三角形的中线、角平分线、高都是线段；③一个三角形有三条角平分线和三条中线；④直角三角形只有一条高；⑤三角形的中线、角平分线、高都在三角形的内部．其中正确的个数（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查了三角形的角平分线、高线、中线的定义与性质，是基础题，需熟记．根据三角形的角平分线、高线、中线对各说法分析判断后利用排除法求解． 【详解】解：①三角形的角平分线是线段，不是射线，故说法错误； ②三角形的中线、角平分线、高都是线段，故说法正确； ③一个三角形有三条角平分线和三条中线，故说法正确； ④直角三角形有两条直角边和直角顶点到对边的垂线段共三条高，故说法错误； ⑤三角形的中线、角平分线都在三角形的内部，而钝角三角形的高有两条在三角形外部，故说法错误． 所以正确的有两个． 故选：B． 3．（23-24八年级上·北京·单元测试）如图，下列说法错误的是（     ） A．，，是的内角 B． 是与相邻的角 C． D．的三条边分别是 ，， 【答案】C 【分析】本题主要考查了三角形的相关概念，熟知三角形的相关知识是解题的关键． 【详解】解：A、，，是的内角，原说法正确，不符合题意； B、 是与相邻的角，原说法正确，不符合题意； C、，但不一定等于，原说法错误，符合题意； D、的三条边分别是 ，，，原说法正确，不符合题意； 故选：C． 4．（25-26八年级上·江苏盐城·期中）如图，、、分别是的高、角平分线、中线，则下列结论中不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的角平分线，中线和高，熟练掌握三角形的角平分线，中线和高的意义是解题的关键． 根据三角形的角平分线，中线和高的定义逐一判断即可解答． 【详解】是的中线， 是的高， ， 是的角平分线， ， 故、、都正确，不正确， 故选：． 【题型二】三角形的稳定性 5．（25-26八年级上·福建厦门·期中）同安银湖大桥全长约为 米，是连接同安老城与城南片区的交通要道．其桥塔与拉索等结构广泛采用三角形设计来确保这座长约为九百米的大桥的稳固安全．这么做的依据是（    ） A．三角形的内角和是 B．外形美观 C．三角形具有稳定性 D．三角形两边之和大于第三边 【答案】C 【分析】本题考查了三角形具有稳定性的应用，三角形结构在工程中广泛应用的主要原因是其具有稳定性，能有效抵抗变形，确保结构稳固，掌握三角形具有稳定性是解题的关键． 【详解】解：∵三角形具有稳定性，即在受力时不易变形，能保持结构牢固； ∴大桥采用三角形设计可确保稳固安全， 故选：． 6．（25-26八年级上·安徽淮南·期中）下列图形具有稳定性的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了三角形的性质，根据三角形具有稳定性解答即可． 【详解】解：A、选项中的图形是三角形，故具有稳定性，符合题意； B、选项中的图形没有三角形，不具有稳定性，不符合题意； C、选项中的图形下方的不是三角形，不具有稳定性，不符合题意； D、选项中的图形没有三角形，不具有稳定性，不符合题意． 故选：A． 7．（24-25八年级上·北京·期中）下面四个图形中，线段是的高的图是 ．（填序号） 【答案】③ 【分析】本题主要考查了三角形的高，三角形的高是指从三角形的一个顶点向对边作垂线，连接顶点与垂足之间的线段．根据三角形高的画法知，过点作边上的高，垂足为，其中线段是的高，再结合图形进行判断． 【详解】解：图形①中，与不垂直，线段不是的高； 图形②中，与不垂直，线段不是的高； 图形③中，与垂直，线段是的高； 图形④中，与不垂直，线段不是的高； 故答案为：③． 【题型三】等面积法求相关线段 8．（25-26八年级上·青海西宁·期中）在中，，，，，那么点到的距离是（    ） A．3 B．4 C．4.8 D．2.4 【答案】D 【分析】本题考查三角形的面积，根据题意画出图形，然后作于点D，根据面积法，可以求得CD的长． 【详解】解：作于点D，如右图所示， ∵， ∴， 解得， 故选：D． 9．（25-26八年级上·安徽淮北·期中）如图，在中，点D是边上一点且，过点B作交延长线于点E，过点C作交于点F，若，则的值为（   ）    A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】B 【分析】本题考查了三角形的面积公式的应用，先分析的面积与、面积的关系，再分别表示出与的面积，根据面积关系列出等式并化简，代入已知条件求解的值即可． 【详解】解：∵， ∴， 又∵，，， ∴，， ∴， ∴． 故选：B． 10．（25-26七年级上·山东烟台·期中）如图，在中，于点，，，，为边上一动点，连接，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了垂线段最短，三角形的面积，由垂线段最短可知当时，的值最小，再利用三角形的面积解答即可求解，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】解：如图，当时，的值最小， ， ， ， 即的最小值为， 故答案为： 11．（25-26八年级上·江苏南通·期中）如图，是中的角平分线，于点，，，，则长是 ． 【答案】 【分析】考查角平分线的性质以及三角形的面积公式，掌握角平分线的性质是解题的关键． 过D作于F，根据角平分线性质得到，由， ，，代入即可求解． 【详解】解：过D作于F， ∵是中的角平分线，， ∴， ∵ ∵， ∴ 解得：， 故答案为：． 【题型四】根据三角形中线求长度 12．（25-26八年级上·贵州遵义·期中）如图，AD是的中线，已知的周长为28cm，AB比AC长6cm，则的周长为（   ） A．34cm B．31cm C．22cm D．20cm 【答案】C 【分析】本题主要考查了三角形中线的定义，把三角形的周长的差转化为已知两边的差是解题的关键． 根据三角形中线的定义可得，再表示出和周长的差就是的差，然后计算即可． 【详解】解：∵是边上的中线， ∴， ∴和周长的差， ∵的周长为28cm，比长， ∴周长为：． 故选：C． 13．（25-26八年级上·浙江绍兴·期中）中，，边上的中线交于点D，中线分两部分的周长差为2，若，则的长为（    ） A．5 B．8或10 C．12 D．8或12 【答案】D 【分析】本题考查的是三角形的中线的性质，利用三角形中线的定义，表示出两部分的周长，根据周长差为2建立方程求解． 【详解】解：∵ ，为边上的中线， ∴ ， 设， 则的周长为：， 的周长为：， 两部分的周长差为， ∴， 即或， 解得或． ∴ 的长为8或12． 故选：D． 14．（25-26八年级上·安徽安庆·期中）如图，是的中线，是的中线，于点F．若，，则长为 ． 【答案】3 【分析】本题考查了三角形的面积、三角形的中线的性质等知识，理解三角形高的定义，熟练掌握三角形的面积公式是解题的关键． 由，，推出，再根据三角形的面积公式即可得出答案． 【详解】解：是的中线， ， 是的中线， ， ， 于点 ， ， 即， 解得：， 故答案为：3． 15．（25-26八年级上·安徽·期中）如图，在中，是中线，． (1)求与的周长差； (2)点E在边上，连接．若的周长被分成的两部分的差是，求线段的长． 【答案】(1) (2)线段的长为或 【分析】本题考查了三角形的中线性质，三角形周长的计算，掌握相关知识点是解题的关键． （1）的周长，的周长，由中线的定义可得，即可解答； （2）由图可知三角形的周长，四边形的周长，，进而分当的周长-四边形的周长和四边形的周长-当的周长两种情况讨论求解即可． 【详解】（1）解：的周长，的周长， ∵是中线， ∴， 与的周长差： （2）解：由图可知：的周长，四边形的周长， 当的周长-四边形的周长时， ∵是的中点， ∴， ∴， ∴， 又∵，，， ∴， ∴ ∴； 四边形的周长 的周长时， ∵是的中点， ∴， ∴， ∴， 又∵，，， ∴， ∴ ∴； 综上，线段的长为或． 【题型五】根据三角形中线求面积 16．（25-26八年级上·浙江温州·期中）如图，在中，点D，E，F，分别为，，的中点，，则的值为（    ） A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】B 【分析】本题主要考查了根据三角形中线求三角形的面积，解题的关键是熟练掌握三角形的中线把三角形分成面积相等的两个三角形． 先根据点是的中点，，得出，根据点为的中点，得出，根据点D为的中点，得出． 【详解】解：是的中点，， ∴， 点为的中点， ， ∵点D为的中点， ∴． 故选：B． 17．（25-26八年级上·安徽合肥·期中）如图，在中，已知D，E，F分别是边的中点，且阴影部分图形的面积为5，则的面积为（    ） A．10 B．15 C．17.5 D．20 【答案】D 【分析】本题考查了与中线有关的三角形面积的计算．由是的中点可得，由是的中点可得，，从而得到，再由即可得到答案． 【详解】解：是的中点，， ， 是的中点， ，， ， ， ． 故选：D． 18．（25-26八年级上·安徽阜阳·期中）如图，在中，点为中点，连接．点为上一点，连接交于点．若，则 ． 【答案】18 【分析】本题主要考查了三角形的中线与面积，熟练掌握三角形中线的性质是解题关键．连接，先求出，再根据三角形中线的性质可得，，则可得，，建立方程，解方程可得的值，然后根据求解即可得． 【详解】解：如图，连接， ∵， ∴， ∵点为中点， ∴，， 设，则， ∴， 又∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， 解得， ∴， ∴． 故答案为：18． 19．（25-26八年级上·河北石家庄·期中）发现与探究：三角形三条中线的交点叫三角形的重心．重心是个物理名词，从效果上看，我们可以认为物体所受重力的合力集中于一点，这一点叫物体的重心．如图，如果取一块均匀的三角形纸板，用一根细线绳从重心O处将三角形提起来，纸板就会处于水平状态．关于三角形的重心还有哪些性质呢？希望你经过下面的探索过程能得到答案． (1)如图，小组成员在三角形薄板上画出中线，可以得到______（填“”“”或“”）； (2)如图，三角形薄板的三条中线，，相交于点O，试判断三角形薄板被三条中线所分成的六个小三角形的面积之间的数量关系，并说明理由； (3)结合（2）中的结论，试猜想，，的值，并说明理由． 【答案】(1) (2)三角形薄板被三条中线所分成的六个小三角形的面积相等，理由见解析 (3)，，，理由见解析 【分析】本题考查了三角形中线平分面积． （1）中线将三角形分成两个等底同高的三角形，故面积相等． （2）利用（1）中结论可判断面积相等，面积相等，面积相等，再推导后即可证出六个小三角形面积均相等． （3）利用（2）中结论证明，可推导，用相同方法证明另外两个结论即可． 【详解】（1）解：和的底分别为，高为点到线段的距离，所以两个三角形等底同高，所以面积相等． 故答案为：． （2）解：三角形薄板被三条中线所分成的六个小三角形的面积相等， 理由如下： 是的一条中线， 是的中线， ， 同理可得，，， ，，， ， ， 同理可得，， ． （3）解：，，， 理由如下： 由（2）可知，， ， 的边上的高与的边上的高相同， ， 同理可得，，． 【题型六】三角形高、中线、角平分线综合 20．（25-26八年级上·河北廊坊·期中）如图，中，，下列说法不正确的是（   ） A．是的中线 B．若，则 C．若，则互相重合 D． 【答案】A 【分析】此题考查了三角形的角平分线、中线和高， 根据三角形的角平分线、中线和高的定义，逐项分析判断即可． 【详解】解：∵， ∴是的中线， ∴，不一定是的中线； 故A选项错误，D选项正确． ∵，， ∴点C到的距离为5， ∴． 故B正确； ∵，， ∴是的角平分线， 是的中线， ∵，是的中线， ∴是的角平分线；则互相重合， ∴互相重合， 即互相重合． 故C正确． 综上所述，只有A错误． 故选：A． 21．（25-26八年级上·山东威海·期中）如图．在中，，，，，是高，是中线，是角平分线，交于点G，交于点H，给出以下结论错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了三角形的角平分线、中线和高的性质、三角形内角和定理等知识，熟练掌握三角形的角平分线、中线和高性质、角形内角和定理是解题的关键． 根据三角形中线的性质可判断A选项； 根据角平分线平分角、同角的余角相等，以及对顶角相等可判断B选项；利用等面积法可判断C选项；先说明，，即，即可判断D选项． 【详解】解：A．∵是的线， ∴， ∴ (等底等高的两个三角形面积相等)，故A正确，不符合题意； B．∵是角平分线， ∴， ∵是的高， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，即B选项正确； C．∵， ∴，解得：，即C选项正确； D．∵， ∴， ∵， ∴，即，故D选项，错误，符合题意． 故选：D． 22．（25-26八年级上·吉林松原·期中）如图，、分别是的中线和高，是的角平分线． (1)若，，则与的周长差为_____； (2)若，，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查三角形的中线、高、角平分线，三角形外角的定义及性质，直角三角形两锐角互余，三角形的周长等知识点，掌握三角形的中线、高、角平分线的定义是解题的关键． （1）根据三角形中线的定义得，然后计算即可； （2）根据三角形的高得，根据直角三角形两部角互余得，根据三角形外角的性质得，根据三角形的角平分线得，可得答案． 【详解】（1）解：∵是的中线， ∴， ∵，， ∴ ， ∴与的周长差为， 故答案为：； （2）∵是的高， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∴， 即的度数为． 23．（23-24八年级上·云南昆明·期中）如图，在中，分别为的边上的中线和高，为的角平分线． (1)若，，求的大小； (2)若的面积为48，，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先利用三角形的外角性质计算出，再利用角平分线定义得到，然后根据高的定义和互余两角的性质求出的度数为，最后可求出； （2）先根据三角形中线定义得到，然后利用三角形面积公式求的长． 【详解】（1） ∵为的平分线， ∴ ∵为边的高， ∴， ∴． （2）∵是的中线, ∴ 由题意知： ∴ 【点睛】本题考查了角平分线的性质，三角形外角性质和三角形面积公式．本题的关键是充分应用三角形的角平分线、高和中线的定义． 【题型七】三角形的三边关系及应用 24．（25-26八年级上·重庆·期中）已知三角形的两边长分别为1和3，第三边长为整数，则第三边长是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】本题考查三角形三边关系，设三角形第三边长是x，由三角形三边关系定理得到，由第三边长为整数，即可得到答案． 【详解】解：设三角形第三边长是x， 由三角形三边关系定理得到：， ∴， ∵第三边长为整数， ∴第三边长是3， 故选：B． 25．（25-26八年级上·河北邢台·期末）将一根长的铁丝按下列四个选项标记的长度剪开，能围成三角形的是（   ） A．；； B．；； C．；； D．；； 【答案】D 【分析】本题考查了三角形的三边关系． 根据三角形的三边关系，任意两边之和必须大于第三边．分别计算各选项的三边长度，验证是否满足此条件． 【详解】解：选项A：∵，∴不能围成三角形； 选项B：∵，等于第三边7，∴不能围成三角形； 选项C：∵，∴不能围成三角形； 选项D：∵，，，∴能围成三角形； 故选：D． 26．（25-26八年级上·安徽合肥·期中）已知的三边长为， (1)若，求边长的取值范围； (2)化简． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查三角形的三边关系、化简绝对值、整式的加减运算等知识点，熟练掌握三角形三边关系和绝对值的化简是解题的关键． （1）直接根据三角形的三边关系求解即可； （2）由三角形三边关系定理得到：，则，再化简绝对值，然后运用整式的加减运算法则化简即可． 【详解】（1）解：， ，即． （2）解：∵的三边长为， ， 原式 ． 27．（25-26八年级上·江西宜春·期中）已知，，是的三边长． (1)若，则___________，化简：___________．___________． (2)若，，满足，试判断的形状，并说明理由． 【答案】(1)5，，． (2)为等边三角形，理由见解析 【分析】本题考查非负数的性质，三角形三边关系和等边三角形的判定，结合“三角形三边关系”，判断绝对值内表达式的正负是解题关键． （1）根据非负数的性质和三角形三边关系去绝对值后计算即可； （2）根据非负数的性质可判断出，进而确定的形状． 【详解】（1）解： ， ，， 则； 根据三角形三边关系，，， 则； 且， ， ． 答：5，，． （2）解： ，且，， 可得， 解得， ，为等边三角形． 答：为等边三角形． 【题型八】与平行线/角平分线有关的三角形内角和问题 28．（25-26八年级上·吉林延边·期中）如图，直线，等边三角形的顶点在直线上，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质、平行线的性质、三角形内角和定理等知识点，掌握等边三角形的三个内角都相等，三角形内角和定理是解题的关键． 先根据等边三角形的性质得到，根据三角形内角和定理计算出，再根据平行线的性质得到即可解答． 【详解】解：如图：为等边三角形， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴． 故选：D． 29．（2022八年级上·浙江·专题练习）如图，在中，平分，交于点．若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查三角形内角和定理，角平分线的定义，平行线的性质等知识．求出，，再利用三角形内角和定理即可解决问题． 【详解】解：∵，，， ∴， ∵平分， ∴， 又∵， ∴， ∴． 故选：． 30．（23-24八年级上·河南新乡·期中）如图中，、的角平分线交于点，过作交于，交于． (1)若，求的度数； (2)求证：． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题考查了三角形内角和定理，平行线的性质，等角对等边； （1）根据三角形内角和定理可得，根据角平分线的定义可得，进而根据三角形内角和定理即可求解； （2）根据角平分线的定义可得，，根据平行线的性质可得，，则，，根据等角对等边可得，，进而即可得出结论． 【详解】（1）∵， ∴ ∵、的平分线交于点 ∴， ∴ ∴ （2）∵、的平分线交于点， ∴，， ∵， ∴，， ∴，， ∴，， ∵， ∴． 31．（25-26八年级上·四川广元·期中）如图，在中，是高，是角平分线，它们相交于点O，，，求的度数． 【答案】 【分析】本题考查的是三角形内角和定理、三角形的高和角平分线的定义，解题的关键是掌握三角形内角和定理． 由角平分线的定义先求出的度数，再求出和的度数，即可得答案． 【详解】解：，平分， ； ， ， ， ， ． 【题型九】与平行线/角平分线有关的三角形外角问题 32．（24-25八年级上·山东泰安·期末）如图，一束太阳光线平行照射在放置于地面的正五边形上，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查多边形的内角与外角、平行线的性质．熟练掌握多边形的外角和是是解题的关键．求出正五边形的一个内角和一个外角的度数，得到，，平行线的性质，得到，三角形的外角的性质，得到，进而求出的度数． 【详解】解：如图： 正五边形的一个外角的度数为：， 正五边形的一个内角的度数为：， 即：，， 一束太阳光线平行照射在放置于地面的正五边形上，， ， ， ； 故选：D． 33．（2025·湖南长沙·一模）一只杯子静止在斜面上，其受力分析如图所示，重力的方向竖直向下，支持力的方向与斜面垂直，摩擦力的方向与斜面平行．若斜面的坡角，则摩擦力与重力方向的夹角的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的 外角性质，平行线的性质，由已知得，即得，再根据平行线的性质即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：∵重力的方向竖直向下， ∴， ∴， ∵摩擦力的方向与斜面平行， ∴， 故选：． 34．（23-24八年级上·河南·期末）如图，平分，交于点，若，，，则的度数为 ． 【答案】/60度 【分析】本题考查三角形外角的性质和角平分线的定义，解题的关键是掌握三角形外角的性质和角平分线的定义． 作射线，根据三角形外角的性质和角平分线的定义，再结合题意，即可得到答案． 【详解】解：作射线，如图， 由三角形外角的性质得到：， 又，，， 则， 平分， ， ， 即． 故答案为：． 35．（25-26八年级上·山西阳泉·期中）如图，平分，，，求的度数． 【答案】 【分析】该题考查了平行线的性质，三角形外角的性质，三角形内角和定理，根据，求出，从而求出，根据平分，，求出，再根据三角形外角的性质即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【题型十】三角形内角与外角综合 36．（25-26八年级上·贵州黔东南·期中）如图，在中，，，平分，点是上的一点，连接，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了三角形内角和定理，角平分线的定义，等边对等角，三角形外角的性质． 根据三角形内角和得到，根据平分得到，根据等边对等角得到，根据三角形外角的性质即可求出的度数． 【详解】解：∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：D． 37．（25-26八年级上·湖北荆州·期中）某平板电脑支架如图所示，，．为了使用的舒适性，可调整的大小．若增大，则的变化情况是（   ） A．增大 B．减小 C．增大 D．减小 【答案】D 【分析】本题考查了等边对等角，三角形内角和定理，外角的性质，掌握其计算方法是解题的关键． 根据等边对等角得到，由三角形外角的性质得到，所以当增加时，和各增加，当增加时，减小，由此即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴当增加时，， 即和各增加， ∵， ∴当增加时，减小． 故选：D ． 38．（25-26八年级上·广东广州·期中）将一副三角板按如图所示的方式放置．，，，F为与的交点．若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查三角形内角和定理及其推论，正确理解和应用“三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和”是解题的关键．设交于点H，由，且，，，得，则，于是得到问题的答案． 【详解】解：如图，设交于点H， ∵，且， ∴， ∵，，， ∴， ∴， 故答案为：． 39．（25-26八年级上·吉林长春·期中）如图，在中，，点D、E在的延长线上，点G是上一点，且，点F是上一点，且．若，则 ． 【答案】/10度 【分析】本题考查等腰三角形的性质，三角形外角的定义和性质，三角形内角和定理，通过等量代换得出是解题的关键． 由，，得出，再由三角形的外角的意义得出，，从而得出，进一步求得答案即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵中，，， ∴， ∴． 故答案为：． 40．（25-26八年级上·重庆·期中）如图，在中，平分，为线段上的一个动点，交的延长线于点． (1)若，，求的度数； (2)当P点在线段上运动时，猜想，与的数量关系，并证明． 【答案】(1)的度数是 (2)，证明见解析 【分析】本题考查了三角形的内角和定理及外角性质、角平分线的定义，特别注意第（2）小题，根据第（1）小题的思路即可推导． （1）首先根据三角形的内角和定理求得的度数，再根据角平分线的定义求得的度数，从而根据三角形的内角和定理即可求出的度数，进一步求得的度数； （2）根据第（1）小题的思路即可推导这些角之间的关系． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∵交的延长线于点E， ∴， ∵， ∴， ∴的度数是． （2）解： 证明：∵，平分， ∴， ∴， ∵交的延长线于点E， ∴， ∴， 即． 【题型十一】三角板中的角度计算 41．（25-26八年级上·河南周口·期中）用一副分别含有角的直角三角板按如图的方式摆放中，图中A、F、C、E在一条直线上，，则的大小为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，熟记平行线的判定与性质是解题的关键．结合三角形外角性质，根据平行线的判定定理与性质定理求解即可． 【详解】解：根据题意得，， ， ， ， ， 故选：C． 42．（25-26八年级上·河南信阳·期中）将一副三角板按照如图方式摆放，点B，C，D共线，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了三角形外角的定义及性质，先由三角形外角的定义及性质求出，从而得出，即可得解，熟练掌握三角形外角的定义及性质是解此题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 43．（25-26八年级上·辽宁·期中）生活中到处都存在着数学知识，只要同学们学会用数学的眼光观察生活，就会有许多意想不到的收获．下面用一副三角板中，，；中，，拼接图形．点在上，求的度数；    【答案】 【分析】本题主要考查了三角形的内角和、外角定理，解题的关键是熟练掌握三角形的内角和、外角定理． 在中，由三角形内角和定理先求出，在中，由三角形内角和定理求出，再由外角得到，然后根据角的和差计算求解． 【详解】解：，， ， ，， ， ， ， 44．（25-26八年级上·全国·期中）将一块直角三角板放置在上，使得该三角板的两条直角边，恰好分别经过点，． (1)如图，当时，______度，______度． (2)如图，改变直角三角板的位置，使该三角板的两条直角边，仍然分别经过点，，那么的大小是否发生变化？若变化，请举例说明，若没有变化，请探究与的关系． 【答案】(1)， ； (2)不变化， 【分析】此题主要考查了三角形内角和定理，此题注意运用整体法计算，关键是求出． 在中，利用三角形内角和等于，可求，即可求；同理可求，即可求出答案； 不发生变化，根据三角形内角和定理有 ，则． 【详解】（1）解：， ， ， 故答案为：，； （2）不变化，， ， ， ． 53．（25-26八年级上·江西宜春·期中）在一个直角三角形中，有一个锐角等于，则另一个锐角的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了直角三角形的性质， 根据直角三角形两锐角互余的性质求解． 【详解】解：∵直角三角形两锐角互余， ∴另一个锐角． 故选：C． 【题型十二】利用直角三角形的两锐角互余求解 45．（25-26八年级上·重庆·期中）如图，，于点F，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行线的性质及三角形内角和定理，先根据得出，再利用三角形内角和定理即可求得的值． 【详解】解：∵，， ∴， 又∵， ∴， 由三角形内角和定理可知：． 故选：C． 46．（25-26八年级上·重庆合川·期中）如图，直角三角形中，，，，是边上一点，且，过点作，交边于点，则的周长是 ． 【答案】16 【分析】本题考查了直角三角形的性质，等腰三角形的判定和性质，将的周长转化为的和是解题的关键．由直角三角形的性质可得， 由垂直的定义及平角的定义可得， 再结合等腰三角形的性质可得，，即可证明， 再利用三角形的周长公式可求解． 【详解】解：， ， ， ， ， ， ，， ， ， 的周长为：． 故答案为：16． 【题型一】画三角形的高、中线 1．（25-26八年级上·广东广州·期中）如图，将三角形纸片按下面四种方式折叠，则是的高的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据高是过顶点垂直底面的线段即可判断解答． 本题考查了三角形的角平分线、中线和高的定义，熟练掌握三角形的角平分线、中线和高的定义是解题的关键． 【详解】解：A、将沿折叠后，并不垂直，故此不是的高， B、将沿折叠后，并不垂直，故此不是的高， C、将沿折叠后，垂直，故此是的高， D、将沿折叠后，并不垂直，故此不是的高， 综上所述：C选项符合题意， 故选：C 2.（25-26八年级上·重庆渝北·期中）如图，过的顶点B，作边上的高，以下作法正确的是（   ） A．B．C．D． 【答案】A 【分析】此题考查了三角形的高，从三角形的一个顶点向对边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高． 根据三角形的高的定义判断即可． 【详解】解：边上的高有两个条件：①经过点，②垂直． 只有A符合要求． 故选：A． 3．（25-26八年级上·浙江金华·期中）如图是由边长为1的小正方形组成的网格，点均在小正方形的顶点上． (1)画出的边上的高． (2)画出的边上的中线． (3)求的面积． 【答案】(1)图见解析 (2)图见解析 (3)3 【分析】本题考查画三角形的高线，中线，与三角形的高有关的计算： （1）根据高线的定义，作高即可； （2）取的中点，连接即可； （3）求出的面积，根据中线平分面积求出的面积即可． 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）如图，即为所求； （3）， ∵为中线， ∴． 【题型二】三角形的三边关系（涉及等腰三角形） 1．（25-26八年级上·广东珠海·期中）等腰三角形的一边长，一边长，则第三边的长（    ） A． B． C．或 D． 【答案】A 【分析】本题考查了等腰三角形的性质、三角形的三边关系；关键是根据两边相等，第三边分类讨论； 根据等腰三角形的性质，第三边应为或，分情况进行讨论． 【详解】解：∵ 等腰三角形两边长为和， ∴ 第三边可能为或； 若第三边为，则三边为、、， ∵ ， ∴ 不能构成三角形； 若第三边为，则三边为、、， ∵ ， ∴ 第三边长为； 故答案为：A． 2．（25-26八年级上·广东广州·期中）等腰三角形的周长是，其中一边长是，则该等腰三角形的腰长为（） A． B． C． D．或 【答案】D 【分析】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系．已知给出了其中一边长为，没有明确该边的名称，所以长为5的边可能为腰，也可能为底边，故应分两种情况讨论． 【详解】解：由题意知，应分两种情况： 当腰长为时，则另一腰也为，底边为， ∵， ∴边长分别为3，5，5，能构成三角形； 当底边长为时，腰的长， ∵， ∴边长为4，4，5，能构成三角形，则该等腰三角形的腰长是 综上所述，该等腰三角形的腰长为或， 故选：D． 3．（25-26八年级上·江苏镇江·期中）等腰三角形的周长为，其中一边长为，则该等腰三角形的腰长为 ． 【答案】4或 【分析】本题考查了三角形三边关系，等腰三角形的定义．题中给出的边长可能是腰或底边，需分两种情况讨论，并验证是否满足三角形三边关系，即可作答． 【详解】解：依题意，当为腰时，底边为， 此时，符合三边关系； 当为底边时，腰长为， 此时，符合三边关系， 故答案为：4或 4．（25-26八年级上·浙江绍兴·期中）等腰三角形一腰上的中线将这个等腰三角形的周长分成和两部分，则等腰三角形的底边长为 【答案】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质及中线的定义，设腰长为，底边长为，根据中线分周长的两种情况进行讨论，并检验三角形三边关系． 【详解】解：设等腰三角形的腰长为，底边长为，则腰上的中线将周长分为和两部分， 当且时，解得，，此时三边长为、、，满足三角形三边关系； 当且时，解得，，此时三边长为、、，但，不满足三角形三边关系，故舍去， 因此，底边长为． 故答案为：． 【题型三】三角形内角和定理的证明 1．（24-25七年级下·山东泰安·期中）在探究证明“三角形的内角和是”时，综合实践小组的同学作了如下四种辅助线，其中不能证明“三角形内角和是”的是（   ） A．如图①所示，过三角形一边上点D作 B．如图②所示，过三角形内部一点P作 C．如图③所示，过点C作于点D D．如图④所示，过三角形外部一点P作 【答案】C 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理的证明，平行线的性质，由平行线的性质可得，，则，由平角的定义得到，则，据此可判断A；由平行线的性质可得，同理可得，据此可判断B；设交于O，根据平行线的性质可得，，，， ，再由，即可判断D；C中根据现有条件无法证明． 【详解】解：A、∵， ∴，， ∴， ∵， ∴，故A不符合题意； B、∵ ∴， ∵， ∴同A选项中的证明方法可得， ∴，故B不符合题意； C、根据现有条件无法证明，故C符合题意； D、设交于O， ∵， ∴， ∵， ∴，，， ∵， ∴， ∵， ∴，故D不符合题意； 故选；C． 【题型一】A字模型 1．（25-26八年级上·山东·期中）如图，在中，，，则的值为 【答案】 【分析】本题考查三角形中求角度，涉及三角形内角和定理、角平分线定义等知识，数形结合，准确表示出相关角度的关系是解决问题的关键． 在中，由三角形内角和定理可得，再由，，得到，最后，在中，由三角形内角和定理可得列式计算即可得到答案． 【详解】解：在中，，则由三角形内角和定理可得， ， ，， ， 在中，，则由三角形内角和定理可得， 则的值为， 故答案为：． 2．（25-26八年级上·贵州黔东南·期中）在如图所示的三角形纸片中剪去得到四边形，若，则的度数是 【答案】/230度 【分析】本题考查了三角形的内角和定理，熟练掌握三角形的内角和定理是解题关键．先根据三角形的内角和定理可得，再根据，代入计算即可得． 【详解】解：∵， ∴， ∵，， ∴，， ∴ ． 故答案为：． 3．（2024·湖南·模拟预测）如图，在正六边形中，延长，交于点，则的度数为 ． 【答案】/60度 【分析】本题考查了正六边形的性质，三角形的内角和定理，熟练掌握正六边形的性质是解题的关键．根据正六边形的性质可得，进而得到，最后根据三角形的内角和定理即可求解． 【详解】解：在正六边形中，每个内角的度数为，即， ， ， 故答案为：． 【题型二】8字模型 1．（25-26八年级上·山东日照·期中）如图，和的平分线和相交于P点，交叉形成了多个“和谐8字形”，若，，那么的度数是 ． 【答案】/40度 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，角平分线的定义，对顶角相等的性质，整体思想的利用是解题的关键． 利用三角形的内角和定理表示出与，再根据对顶角相等可得，从而可得，代入数据可得：，根据角平分线定义，得出，，然后利用“8字形”的关系式结合角平分线列式整理即可得解． 【详解】解：∵，， 又∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵、分别是和的角平分线， ∴，， 又∵， ∴； 故答案为：． 2．（25-26八年级上·浙江温州·期中）如图，点A，B，C，D在同一条直线上， 与的延长线相交于点，若，则的度数为 ．（请用含的代数式表示） 【答案】/ 【分析】本题考查了全等三角形的性质，三角形的内角和定理，熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键． 根据全等三角形的性质和三角形的内角和即可得到结论． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 3．（25-26八年级上·安徽合肥·期中）如图1已知线段，相交于点，连接，，我们把这种图形称之为“8字型”，试解答下列问题： （1），，，之间的等量关系为 ； （2）如图2，和的平分线和相交于点，并与，分别交于点，．若，，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查了三角形内角和定理及角平分线的性质，解题的关键是利用“8字型”图形中对顶角相等，结合三角形内角和推导角度关系． （1）利用三角形内角和定理，结合对顶角相等，推导、、、的等量关系； （2）设角平分线分成的角为相等的两部分，结合“8字型”角度关系，联立方程求解 【详解】（1）解：在和中， ∵ （对顶角相等），， ， ∴ ， 故答案为：． （2）解：设，， 由（1）得：， 两式相加得：，代入，，得， 解得， 故答案为：． 【题型三】飞镖模型 1．（25-26八年级上·重庆·期中）如图所示，，，，则 ． 【答案】/76度 【分析】本题主要考查了三角形外角的性质，通过延长交于点，利用三角形外角的性质，逐步推导得出的度数． 【详解】解：延长交于点． ∵是的外角， ∴． ∵，， ∴， ∴． ∵是的外角， ∴． ∵，， ∴， ∴． 故答案为：． 2．（23-24七年级下·江苏无锡·阶段练习）如图，的角平分线交于点P，若，，则的度数为 【答案】/50度 【分析】本题考查了三角形的内角和定理，角平分线的性质．根据角平分线的定义可得，，再根据三角形的内角和定理可得，根据，可推出，又因为，即可求出． 【详解】解：如图， ，的角平分线交于点， ，， 由三角形的内角和定理得，， ， 即， ， ， ， 故答案为：． 3．（24-25七年级上·江苏镇江·期末）【模型认识】 如图1，该图形长得像一个飞镖，故曰“飞镖”模型． 【初步探索】 如图1，已知，，，求的度数． 方法借鉴：不妨延长交于点E，将飞镖分解成和 请你根据方法借鉴求的度数．（可标注、等） 【归纳结论】 、、和的数量关系是　　　． 【深入探究】 如图2，若，，且，求的度数． 【拓展延伸】 如图3，若改变飞镖形状，使得、、都小于，，原结论是否发生变化？若变化，写出变化后的结论并证明；若不变，请说明理由． 【答案】初步探索：；归纳结论：；深入探究：；拓展延伸：不变，理由见解析 【分析】本题主要考查了三角形外角的性质，四边形内角和，解题的关键是熟练掌握三角形外角的性质． 初步探索：根据三角形外角的性质得出，，即可得出结论； 归纳结论：根据初步探究过程可得答案； 深入探究：根据归纳结论得出，即可得出，从而得出答案； 拓展延伸：根据四边形内角和进行求解即可． 【详解】解：初步探索： ∵为的一个外角， ∴， ∵为的外角， ∴， ∴； 归纳结论：根据初步探索可知： 深入探究：根据归纳结论可知：， ∴， ∵，， ∴， ∴； 拓展延伸：不变；理由如下： ∵，， ∴． 【题型四】三角形双角平分线模型 1．（25-26八年级上·山东济南·月考）如图，在中，，的平分线与的外角（）的平分线交于点；的平分线与的外角的平分线交于点，…，以此类推，则 （用含的式子表示） 【答案】 【分析】本题考查三角形外角性质与角平分线规律探究，涉及知识点：三角形外角定理、角平分线的角的数量关系．解题方法是先推导与的关系，再归纳出递推规律；解题关键是利用外角定理建立角的等式，易错点是规律归纳时指数的对应关系．解题思路：先求，再推导，归纳出． 【详解】解：，， ， ， 而， ， ∴， 以此类推得，；， ， 故答案为：． 2．（25-26八年级上·山西吕梁·期中）如图，与是的外角，，，若，则 ．（用含、的式子表示） 【答案】 【分析】本题主要考查了三角形外角的性质，三角形内角和定理，根据三角形外角的性质可得，结合三角形内角和定理可得，再求出，则由三角形内角和定理可得答案． 【详解】解：∵与是的外角， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故答案为：． 3．（25-26八年级上·安徽安庆·期中）如图，在中，，的平分线交于点O，． （1）的度数为 ． （2）若CD平分外角，交BO的延长线于点D，点E是的两外角平分线的交点，则的度数为 ． 【答案】 80° 10° 【分析】（1）根据三角形内角和定理，角的平分线定义解答即可． （2）根据三角形内角和定理，角的平分线定义，三角形外角性质解答即可． 本题考查了三角形内角和定理，三角形外角性质，角的平分线定义，熟练掌握性质和定理是解题的关键． 【详解】（1）解：∵BO平分，CO平分， ∴，. ∵，， ∴， ∴， ∴. （2）解：由（1）知. ∵点E是的两外角平分线的交点， ∴，， ∴ . ∵BO平分，CD平分外角， ∴，. ∵，， ∴ ， ∴. 【题型五】高+角平分线模型与垂线+角平分线模型 1．（24-25八年级上·广东云浮·期中）已知，如图，在中，，分别是的高和角平分线，且始终满足 (1)若，求的度数 (2)直接写出、、的关系，不需证明 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了三角形内角和定理，角平分线的定义，三角形的高，熟练掌握内角和定理是解本题的关键． （1）由三角形内角和定理可求得，由角平分线的性质知，在中，可得，故； （2）由角平分线的定义和三角形内角和定理求得，在中，由，即可求得． 【详解】（1）解：∵，， ∴． ∵是的平分线， ∴． ∵是的高， ∴在中，， ∴； （2）解：，证明如下： ∵， 又∵是的角平分线， ∴， ∵是的高， ∴， 则． 2．（25-26八年级上·全国·期中）如图，，分别是的高和角平分线． (1)求证：； (2)如图，若点为上一点，且于点，试推导与，之间的等量关系； (3)当点在的延长线上时，且于点，其余条件都不变，请直接写出与，之间的等量关系． 【答案】(1)见解析 (2)，理由见解析 (3)，理由见解析 【分析】此题主要考查了三角形的内角和定理，三角形的角平分线和高线，垂线的定义，理解三角形的角平分线和高线，垂线的定义，熟练掌握三角形的内角和定理，平行线的性质是解决问题的关键． 由三角形内角和定理得，由角平分线定义得，再根据即可得出； 过点作于，由得，再证明得，由此可得出与的大小关系； 过点作于，由得，再证明得，由此可得出与的大小关系． 【详解】（1）证明：在中，， 是的平分线， ， 是的高， ， 在中，， ； （2）解：与之间的等量关系是：，理由如下： 过点作于点，如图所示： 由可知：， 于点于点， ， ， ； （3）解：与之间的等量关系是：，理由如下： 过点作于点，如图所示： 由可知：， 于点于点， ， ， ． 学科网（北京）股份有限公5 / 5 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $