专题05 不等式与不等式组（期末复习知识清单）七年级数学下学期新教材人教版

专题05 不等式与不等式组 不等式 （1）不等式：用不等号表示不相等关系的式子，叫做不等式，例如： 等都是不等式． （2） 常见的不等号有５种：“≠”、“＞”、“＜”、“≥”、“≤”． 不等式的性质 基本性质１：不等式两边都加上(或减去)同一个数(或式子)，不等号方向不变． 如果，那么 如果，那么 基本性质２：不等式两边都乘以(或除以)同一个正数，不等号的方向不变． 如果，并且，那么(或) 如果，并且，那么(或) 基本性质３：不等式两边都乘以(或除以)同一个负数，不等号的方向改变． 如果，并且，那么(或) 如果，并且，那么(或) 不等式的互逆性：如果，那么；如果，那么． 不等式的传递性：如果，，那么． 易错点：①不等式两边都乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变． ②在计算的时候符号方向容易忘记改变． 一元一次不等式（组） （1）只含有一个未知数，未知数的次数是一次的不等式，叫做一元一次不等式，例如，是一个一元一次不等式． （2）一元一次不等式组：由几个同一未知数的一元一次不等式所组成的一组不等式。 解一元一次不等式组 解一元一次不等式组的步骤： （1）求分解，分别解不等式组中的每一个不等式，并求出它们的解； （2）画公解，将每一个不等式的解集画在同一数轴上，并找出它们的公共部分； （3）写组解，将（2）步中所确定的公共部分用不等式表示出来，就是原不等式组的解集。 含参数类不等式组的问题 方法步骤总结： ① 解出不等式（组）的解集——用含参数的表达式表示； ② 根据题目要求，借助数轴，确定参数表达式的范围，必在两个相邻整数之间； ③ 由空心、实心判断参数两边边界哪边可以取“=”，哪边不能取“=”。（不等式组则由解集的判断口诀来决定哪边界可以取“=”）； ④ 解出参数所在不等式（组）的解集，得参数字母的值或范围。 一元一次不等式组的应用 步骤如下： （1）审：审清题意，找出已知量和未知量； （2）设：设出适当的未知数（只能设一个未知数）； （3）找：找出反映题目数量关系的不等关系； （4）列：用代数式表示不等关系中的量，列不等式组； （5）解：解不等式组，并用数轴上表示它的解集； （6）写出答案（包括单位名称）。 题型1 不等式的定义 【例1】（24-25七年级下·四川乐山·期末）“大于”用不等号表示为（   ） A． B． C． D． 【变式1】（24-25七年级下·山东泰安·期末）如图是小明与爸爸乘坐私家小轿车在济泰高速路上看到的交通标志牌，如果他们小轿车速度为，那么小明提醒爸爸车速应控制的范围用不等式表示正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25八年级下·广东清远·期末）在下列数学式子：①，②，③，④，⑤中，是不等式的有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【变式3】（24-25七年级下·安徽六安·期末）与之和的平方不大于5，用不等式表示为（　　） A． B． C． D． 题型2 不等式的解集 【例2】（24-25七年级下·云南临沧·期末）已知是某不等式的一个解，这个不等式可以是（   ） A． B． C． D． 【变式1】（23-24七年级下·河北保定·期末）下列说法中，正确的是（   ） A．是不等式的解 B．是不等式的唯一解 C．是不等式的解集 D．是不等式的一个解 题型3 不等式的性质 【例3】（24-25七年级下·湖北武汉·期末）若，则下列不等式不一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【变式1】（24-25七年级下·贵州遵义·期末）已知，下列选项一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25七年级下·四川乐山·期末）已知三个数、、满足，则下列正确的是（   ） A． B． C． D． 题型4 一元一次不等式的定义 【例4】（24-25七年级下·青海玉树·期末）下列不等式中，属于一元一次不等式的是（   ） A． B． C． D． 【变式1】（24-25七年级下·湖南衡阳·期末）下列选项中是一元一次不等式的是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25七年级下·辽宁营口·期末）若是关于x的一元一次不等式，则m的值为（   ） A． B．1 C． D．0 题型5 求一元一次不等式的解集 【例5】（24-25七年级下·吉林白山·期末）解不等式：，并把解集在数轴上表示出来． 【变式1】（24-25七年级下·陕西安康·期末）不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25七年级下·河北沧州·期末）小图和小林在讨论某一元一次不等式，根据图中的对话信息，推测出不等式可能是（　　） 不等式在求解的过程中需要改变不等号的方向 不等式的解集为 A． B． C． D． 题型6 一元一次不等式解实际问题 【例6】（24-25七年级下·山西长治·期末）根据年山西中考体育新政策，体育统一测试环节分值提高为分，增加了专项运动技能测试，分值为分．学生可选择足球、篮球、排球其中项专项运动技能进行测试，各市可根据实际情况增设难度相近的选测项目为了训练，某中学决定购买一定数量的篮球和足球供学生使用．已知购买个篮球和个足球需花费元，购买个篮球和个足球需花费元． (1)购买一个篮球和一个足球各需花费多少元？ (2)如果学校购买篮球和足球的总费用不超过元，且购买篮球和足球共个，那么最多可以购买多少个篮球？ 【变式1】（24-25七年级下·吉林长春·期末）一次智力测验，有道选择题，评分标准为：对题给分，错题扣分，不答题不给分也不扣分，小明有道题未答，则他至少要答对几道题，总分才不会低于分？ 【变式2】（24-25七年级下·陕西榆林·期末）研究发现人身体每天消耗的热量主要由碳水化合物和脂肪（不考虑蛋白质及其他有机物）提供，碳水化合物和脂肪分解时释放的热量如下表所示： 分解的营养物质 热量/千焦 1克碳水化合物 15 1克脂肪 45 (1)若小明计划平均每餐所吃碳水化合物释放的热量不超过6000千焦，则他每餐最多吃多少克碳水化合物？ (2)已知小祺骑脚踏车每分钟消耗热量20千焦，快走每分钟消耗热量27 千焦，小祺某天骑脚踏车和快走共1小时，若要消耗完40克碳水化合物与20 克脂肪分解后释放的热量，小祺至少需要分配多少分钟进行快走？（精确到1分钟） 题型7 解一元一次不等式组 【例7】（24-25七年级下·甘肃天水·期末）解不等式组： 【变式1】（24-25七年级下·安徽六安·期末）解不等式组：，并在数轴上表示它的解集． 【变式2】（24-25七年级下·山西长治·期末）解决下列问题： (1)下面是课堂上某同学的解不等式的过程，请认真阅读并完成相应任务． 问题：解不等式 过程如下： 解：去分母，得．第一步 去括号，得．第二步 移项，得．第三步 合并同类项得，．第四步 两边都除以，得．第五步 任务一：填空： ①以上求解过程中，去分母的依据是______； ②以上求解过程中，从第______步开始处出现错误； 任务二：请直接写出该不等式的正确解集：______； 任务三：除纠正上述错误外，请你根据平时学习经验，就在解不等式时还需要注意的事项给其他同学提一条建议； (2)解不等式组并把它的解集在数轴上表示出来． 题型8 由一元一次不等式组的解集求参数 【例8】（24-25七年级下·陕西西安·期末）若关于的不等式组恰好有3个整数解，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式1】（24-25七年级下·江苏淮安·期末）已知不等式组有解，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25七年级下·四川资阳·期末）若不等式组的解集是，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式3】（23-24七年级下·内蒙古通辽·期末）关于x的不等式组的整数解仅有4个，则m的取值范围是（　　） A． B． C． D． 题型9 不等式组与方程组的结合问题 【例9】（24-25七年级下·湖北十堰·期末）已知，且，则k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式1】（24-25七年级下·江西宜春·期末）关于，二元一次方程组的解满足，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25七年级下·四川乐山·期末）已知关于、的方程组 (1)若，求这个方程组的解； (2)若该方程组的解满足、均为正数，求的取值范围． 题型10 一元一次不等式组的实际应用 【例10】（24-25七年级下·广东汕头·期末）根据以下信息，探索完成任务： 素材1 某酒店提供三种标准房供顾客入住；单人间、双人间、三人间，已知三人间每间 每晚400元； 素材2 4间单人间和3间双人间每晚共需付房费1700元， 3间单人间和4间双人间每晚共需要付房费1800元． 素材3 某旅游团共33人入住该酒店时，由于正值游客高峰期，该酒店双人间均已住满，只剩下单人间和三人间． 问题解决 任务1 （1）单人间和双人间每晚每间房费分别是多少元？ 任务2 （2）该旅游团为节省经费，安排每间客房均住满，且计划每晚总房费不超过4800元，则该旅游团有哪几种入住方案？ 【变式1】（24-25七年级下·江苏无锡·期末）某玩具店老板计划购进甲、乙两种玩具．已知购进甲种玩具2件和乙种玩具3件共需80元；购进甲种玩具1件和乙种玩具2件共需50元． (1)求甲、乙两种玩具每个的进价分别是多少元？ (2)为满足市场需求，玩具店需购进甲、乙两种玩具共60件，要求购买两种玩具的总费用不超过1080元，并且购买甲种玩具数量的3倍少于乙种玩具的数量，请问该玩具店老板有哪几种购买方案？ 乘除负数忘变号 错因归因：混淆了方程与不等式的运算规则，对不等式性质 3（乘除负数需改变不等号方向）理解不牢。 去分母漏乘常数项 错因归因：只给含分母的项乘公分母，忘记给不含分母的常数项也乘，本质是对 “不等式两边所有项都要同乘” 的规则理解不完整。 数轴空心/实心混淆 错因归因：没搞清楚不等号与数轴标记的对应关系，或把方向画反。 一元一次不等式解法技巧 1.去分母避坑法 1）先把所有项（包括常数项）圈出来，每一项都乘以公分母，避免漏乘； 2）若公分母为负数，乘完后立刻检查不等号方向，确保变号。 2.系数化 1 “零失误” 技巧 1）若未知数系数为负数，优先移项把含未知数的项移到右边，避免直接除以负数 2）若必须除以负数，写完后立刻用 “反向代入法” 验证 3.数轴解集速画口诀 1）有等号画实心，无等号画空心； 2）大于向右走，小于向左走； 3）画完用 “端点代入法” 验证，避免画反方向 不等式组解集速判: 同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到 含参问题技巧 先解后定参，边界点单独验证 应用题技巧 1.关键词转化速记表 （1）至少、不低于、不少于 对应符号：≥ （2）至多、不超过、不高于 对应符号：≤ （3）超过、大于、多于 对应符号：＞ （4）不足、小于、少于 对应符号：＜ 2.设元技巧 （1）优先设 “关键量”（如题目问 “最多买多少件”，就设件数为x）； （2）复杂问题用 “间接设元”（如行程问题设速度，再表示路程），避免列复杂不等式； （3）注意单位统一（如 “分钟” 和 “小时” 要先换算再列不等式）。 3.方案选择问题通用步骤 （1）设未知数，列不等式组； （2）解不等式组，确定未知数的整数取值； （3）分别计算每种方案的费用 / 利润，对比选出最优方案。 学科网（北京）股份有限公3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 不等式与不等式组 不等式 （1）不等式：用不等号表示不相等关系的式子，叫做不等式，例如： 等都是不等式． （2） 常见的不等号有５种：“≠”、“＞”、“＜”、“≥”、“≤”． 不等式的性质 基本性质１：不等式两边都加上(或减去)同一个数(或式子)，不等号方向不变． 如果，那么 如果，那么 基本性质２：不等式两边都乘以(或除以)同一个正数，不等号的方向不变． 如果，并且，那么(或) 如果，并且，那么(或) 基本性质３：不等式两边都乘以(或除以)同一个负数，不等号的方向改变． 如果，并且，那么(或) 如果，并且，那么(或) 不等式的互逆性：如果，那么；如果，那么． 不等式的传递性：如果，，那么． 易错点：①不等式两边都乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变． ②在计算的时候符号方向容易忘记改变． 一元一次不等式（组） （1）只含有一个未知数，未知数的次数是一次的不等式，叫做一元一次不等式，例如，是一个一元一次不等式． （2）一元一次不等式组：由几个同一未知数的一元一次不等式所组成的一组不等式。 解一元一次不等式组 解一元一次不等式组的步骤： （1）求分解，分别解不等式组中的每一个不等式，并求出它们的解； （2）画公解，将每一个不等式的解集画在同一数轴上，并找出它们的公共部分； （3）写组解，将（2）步中所确定的公共部分用不等式表示出来，就是原不等式组的解集。 含参数类不等式组的问题 方法步骤总结： ① 解出不等式（组）的解集——用含参数的表达式表示； ② 根据题目要求，借助数轴，确定参数表达式的范围，必在两个相邻整数之间； ③ 由空心、实心判断参数两边边界哪边可以取“=”，哪边不能取“=”。（不等式组则由解集的判断口诀来决定哪边界可以取“=”）； ④ 解出参数所在不等式（组）的解集，得参数字母的值或范围。 一元一次不等式组的应用 步骤如下： （1）审：审清题意，找出已知量和未知量； （2）设：设出适当的未知数（只能设一个未知数）； （3）找：找出反映题目数量关系的不等关系； （4）列：用代数式表示不等关系中的量，列不等式组； （5）解：解不等式组，并用数轴上表示它的解集； （6）写出答案（包括单位名称）。 题型1 不等式的定义 【例1】（24-25七年级下·四川乐山·期末）“大于”用不等号表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查不等号的认识，掌握知识点是解题的关键． 根据“大于”用不等号表示为，即可解答． 【详解】解：“大于”用不等号表示为． 故选A． 【变式1】（24-25七年级下·山东泰安·期末）如图是小明与爸爸乘坐私家小轿车在济泰高速路上看到的交通标志牌，如果他们小轿车速度为，那么小明提醒爸爸车速应控制的范围用不等式表示正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了用不等式表示，根据图示可知车速不低于60，不超过120，再用不等号连接即可． 【详解】解：根据题意，得． 故选：C． 【变式2】（24-25八年级下·广东清远·期末）在下列数学式子：①，②，③，④，⑤中，是不等式的有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】本题考查了不等式的定义， 根据不等式的定义，用不等号（如）连接的式子属于不等式，逐一判断每个式子是否符合条件． 【详解】解：① 使用了“<”，是不等式； ② 使用了“>”，是不等式； ③ 是等式，不是不等式； ④ 是代数式，不含不等号，不是不等式； ⑤ 使用了“≥”，是不等式． 故选：B． 【变式3】（24-25七年级下·安徽六安·期末）与之和的平方不大于5，用不等式表示为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了由实际问题抽象出不等式，与之和可表示为：；与之和的平方可表示为；不大于可表示为：，由此可得出不等式． 【详解】解：根据题意得：与之和的平方不大于5，用不等式表示为， 故选：C． 题型2 不等式的解集 【例2】（24-25七年级下·云南临沧·期末）已知是某不等式的一个解，这个不等式可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了不等式的解集，熟练掌握不等式的运算法则是解本题的关键． 将代入各个不等式，即可得到答案． 【详解】解：对于选项A：，不成立； 对于选项B：，不成立； 对于选项C：，不成立； 对于选项D：，成立． 故选：D． 【变式1】（23-24七年级下·河北保定·期末）下列说法中，正确的是（   ） A．是不等式的解 B．是不等式的唯一解 C．是不等式的解集 D．是不等式的一个解 【答案】D 【分析】本题考查了不等式，解集，唯一解，一个解的定义的知识，熟练掌握以上知识是解题的关键． 所有满足不等式的数的全体称为这个不等式的解集，(是不等式解集中的一个数)我们仅可以说它是满足这个不等式的一个解，所有解的全体称为解集，解集中的一个数称为不等式的一个解，当不等式的解有且只有一个时，则称它为这个不等式的唯一解，根据解集，唯一解，一个解的定义，以此判断四个选项即可选出正确答案． 【详解】解：解不等式， 可得． A.由于，故不是不等式的解，故选项错误； B.由于，故是不等式的一个解，但不是唯一解，故选项错误； C.由于，故不是不等式的一个解，但不是解集，故选项错误； D.由于，故不是不等式的一个解，故选项正确； 故选D． 题型3 不等式的性质 【例3】（24-25七年级下·湖北武汉·期末）若，则下列不等式不一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：若，两边同时减去得，则A成立，不符合题意， 由得，则B成立，不符合题意， 若，两边同时乘以得，则C成立，不符合题意， 若，当时，，则D不一定成立，符合题意． 【变式1】（24-25七年级下·贵州遵义·期末）已知，下列选项一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了不等式的性质，解题的关键是熟练掌握不等式的基本性质． 根据不等式的基本性质，对每个选项进行分析判断． 【详解】选项A：仅知道，但不知道、的具体值，无法确定与的大小关系，该选项不一定正确； 选项B：不等式两边同时乘以同一个负数，不等号方向改变．因为，两边同时乘以，不等号方向改变，所以，该选项一定正确； 选项C：可变形为，已知，但无法确定一定大于，该选项不一定正确； 选项D：不等式两边同时乘以同一个负数，不等号方向改变．可变形为，两边同时乘以，不等号方向改变，得到，与已知矛盾，该选项错误． 故选：B． 【变式2】（24-25七年级下·四川乐山·期末）已知三个数、、满足，则下列正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了不等式的性质，熟练掌握不等式的性质是解题的关键．注意：不等式的两边同时乘以或除以同一个负数，不等号的方向改变．根据不等式的基本性质对各选项分析判断后利用排除法求解． 【详解】解：A：由，两边同时减，根据不等式的性质，不等号方向不变，即，因此A错误； B：由，根据不等式的性质，当时，两边乘以负数，不等号方向改变，即，因此，B错误； C：当时，，则，则错误，因此，C错误； D：由得，，则，因此，D正确． 故选D． 题型4 一元一次不等式的定义 【例4】（24-25七年级下·青海玉树·期末）下列不等式中，属于一元一次不等式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查一元一次不等式的定义，熟练掌握其定义是解题的关键． 含有一个未知数，未知数的次数是1的不等式，叫做一元一次不等式，据此进行判断即可． 【详解】解：A、中含有2个未知数，故该选项不符合题意， B、符合一元一次不等式的定义，故该选项符合题意， C、是方程，故该选项不符合题意， D、，不含有未知数，故该选项不符合题意， 故选：B 【变式1】（24-25七年级下·湖南衡阳·期末）下列选项中是一元一次不等式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了一元一次不等式的定义， 根据一元一次不等式的定义逐个判断，即只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是1的不等式，叫做一元一次不等式. 【详解】解：因为不是一元一次不等式，所以A不符合题意； 因为是二元不等式，所以不符合题意； 因为是二次不等式，所以C不符合题意； 因为是一元一次不等式，所以D符合题意. 故选：D. 【变式2】（24-25七年级下·辽宁营口·期末）若是关于x的一元一次不等式，则m的值为（   ） A． B．1 C． D．0 【答案】A 【分析】根据一元一次不等式的定义，根据一元一次不等式的定义得到，求解即可． 【详解】解：∵是关于x的一元一次不等式， ∴， ∴． 故选：A 题型5 求一元一次不等式的解集 【例5】（24-25七年级下·吉林白山·期末）解不等式：，并把解集在数轴上表示出来． 【答案】；数轴见解析 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式，在数轴上表示不等式的解集，按照去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1的步骤求出不等式的解集，再在数轴上表示出不等式的解集即可． 【详解】解： ， 解得 ∴原不等式的解集为， 数轴表示为： 【变式1】（24-25七年级下·陕西安康·期末）不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查解一元一次不等式，移项，合并，系数化为1，解不等式即可． 【详解】解：， ， 即， 解得； 故选D． 【变式2】（24-25七年级下·河北沧州·期末）小图和小林在讨论某一元一次不等式，根据图中的对话信息，推测出不等式可能是（　　） 不等式在求解的过程中需要改变不等号的方向 不等式的解集为 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了解一元一次不等式，在数轴上表示不等式的解集，正确求出不等式的解集是解题的关键． 分别求出每一个不等式的解集即可判断在数轴上表示的解集是否正确． 【详解】解：A、，解得，故本选项符合题意； B、，解得，故本选项不符合题意； C、，解得，故本选项不符合题意； D、，解得，故本选项不符合题意； 故选：A． 题型6 一元一次不等式解实际问题 【例6】（24-25七年级下·山西长治·期末）根据年山西中考体育新政策，体育统一测试环节分值提高为分，增加了专项运动技能测试，分值为分．学生可选择足球、篮球、排球其中项专项运动技能进行测试，各市可根据实际情况增设难度相近的选测项目为了训练，某中学决定购买一定数量的篮球和足球供学生使用．已知购买个篮球和个足球需花费元，购买个篮球和个足球需花费元． (1)购买一个篮球和一个足球各需花费多少元？ (2)如果学校购买篮球和足球的总费用不超过元，且购买篮球和足球共个，那么最多可以购买多少个篮球？ 【答案】(1)购买一个篮球需花费元，购买一个足球需花费元； (2)最多可以购买个篮球． 【分析】设购买一个篮球需花费元，购买一个足球需花费元，根据购买个篮球和个足球需花费元，购买个篮球和个足球需花费元，列出二元一次方程组，解方程组即可； （2）设购买个篮球，则购买足球个，根据学校购买篮球和足球的总费用不超过元，列出一元一次不等式，解不等式即可． 【详解】（1）解：设购买一个篮球需花费元，购买一个足球需花费元， 依题意得， 解得， 答：购买一个篮球需花费元，购买一个足球需花费元． （2）解：设购买个篮球，则购买足球个， 依题意得， 解得：， 答：最多可以购买个篮球． 【变式1】（24-25七年级下·吉林长春·期末）一次智力测验，有道选择题，评分标准为：对题给分，错题扣分，不答题不给分也不扣分，小明有道题未答，则他至少要答对几道题，总分才不会低于分？ 【答案】小明至少答对道题，总分才不会低于分 【分析】设小明答对道题，则答错道题，利用总分答对题目数答错题目数，结合总分不低于分，可列出关于的一元一次不等式，解之取其中的最小值，即可得出结论． 【详解】解：设小明答对道题，则答错道题， 根据题意得：， 解得：， 的最小值为． 答：小明至少答对道题，总分才不会低于分． 【变式2】（24-25七年级下·陕西榆林·期末）研究发现人身体每天消耗的热量主要由碳水化合物和脂肪（不考虑蛋白质及其他有机物）提供，碳水化合物和脂肪分解时释放的热量如下表所示： 分解的营养物质 热量/千焦 1克碳水化合物 15 1克脂肪 45 (1)若小明计划平均每餐所吃碳水化合物释放的热量不超过6000千焦，则他每餐最多吃多少克碳水化合物？ (2)已知小祺骑脚踏车每分钟消耗热量20千焦，快走每分钟消耗热量27 千焦，小祺某天骑脚踏车和快走共1小时，若要消耗完40克碳水化合物与20 克脂肪分解后释放的热量，小祺至少需要分配多少分钟进行快走？（精确到1分钟） 【答案】(1)他每餐最多吃克碳水化合物 (2)小祺至少需要分配43分钟进行快走 【分析】本题主要考查一元一次不等式的实际应用，理解数量关系，正确列出一元一次不等式是关键． （1）设小明每餐吃克碳水化合物碳，由小明计划平均每餐所吃碳水化合物释放的热量不超过6000千焦，列一元一次不等式求解即可； （2）设小祺分配分钟进行快走，则分配分钟骑脚踏车，由此列不等式求解，结合题意即可求解． 【详解】（1）解：设小明每餐吃克碳水化合物碳， 根据题意：， 解得：， 答：他每餐最多吃克碳水化合物； （2）解：设小祺分配分钟进行快走，则分配分钟骑脚踏车， 根据题意，得， 解得， ∵结果精确到1分钟， ∴的最小值为43， 答：小祺至少需要分配43分钟进行快走． 题型7 解一元一次不等式组 【例7】（24-25七年级下·甘肃天水·期末）解不等式组： 【答案】 【分析】本题考查了一元一次不等式组的解法．根据一元一次不等式的解法分别解出两个不等式，根据不等式的解集的确定方法得到不等式组的解集． 【详解】解：解不等式，得：， 解不等式，得：， ∴该不等式组的解集为． 【变式1】（24-25七年级下·安徽六安·期末）解不等式组：，并在数轴上表示它的解集． 【答案】，数轴见解析 【分析】本题考查解一元一次不等式组，先通过移项、合并同类项、系数化为1求出两个不等式的解集，再求出公共解，最后在数轴上表示出来即可，注意在表示解集时“”，“”要用实心圆点表示；“”，“”要用空心圆圈表示． 【详解】解：， 解不等式，得：， 解不等式，得：， 因此不等式组的解集为， 在数轴上表示为： ． 【变式2】（24-25七年级下·山西长治·期末）解决下列问题： (1)下面是课堂上某同学的解不等式的过程，请认真阅读并完成相应任务． 问题：解不等式 过程如下： 解：去分母，得．第一步 去括号，得．第二步 移项，得．第三步 合并同类项得，．第四步 两边都除以，得．第五步 任务一：填空： ①以上求解过程中，去分母的依据是______； ②以上求解过程中，从第______步开始处出现错误； 任务二：请直接写出该不等式的正确解集：______； 任务三：除纠正上述错误外，请你根据平时学习经验，就在解不等式时还需要注意的事项给其他同学提一条建议； (2)解不等式组并把它的解集在数轴上表示出来． 【答案】(1)任务一：①不等式的性质2∶不等式的两边乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；②一；任务二：；任务三：在解一元一次不等式时，不等式两边乘以或除以同一个负数，不等号的方向改变（答案不唯一）； (2)；数轴见解析． 【分析】（1）任务一根据不等式的性质即可得出答案； 根据题干中的解题步骤进行判断即可； 任务二：将错误之处改正并解不等式即可； 任务三：根据解不等式需要注意的细节写出一条即可； （2）解各不等式得出对应的解集后再求得它们的公共部分，然后在数轴上表示出其解集即可． 【详解】（1）解：任务一由解题过程可得去分母的依据是不等式的性质2：不等式的两边乘以或除以同一个正数，不等号的方向不变， 故答案为：不等式的性质2：不等式的两边乘以或除以同一个正数，不等号的方向不变； 由解题步骤可得从第一步开始出错； 任务二：原不等式去分母得， 去括号得， 移项得， 合并同类项得， 两边都除以得； 任务三：在解一元一次不等式时，不等式两边乘以或除以同一个负数，不等号的方向改变； （2）解不等式得， 解不等式得， 故原不等式组的解集为， 在数轴上表示其解集如下图所示： ． 题型8 由一元一次不等式组的解集求参数 【例8】（24-25七年级下·陕西西安·期末）若关于的不等式组恰好有3个整数解，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元一次不等式组的整数解，解一元一次不等式组的应用．熟练掌握解一元 一次不等式组，是解题的关键． 先求出不等式组中每个不等式的解集，得到不等式组的解集，再根据整数解的个数确定m的范围． 【详解】解：解第一个不等式， 得． 解第二个不等式， 移项得， 两边除以（不等号方向改变）， 得． ∴不等式组的解集为． ∵题目要求恰好有3个整数解， ∴整数解为4、5、6． 当时，解集为，整数解为4、5、6，符合条件． 当接近7但小于7时（如），解集为，整数解仍为4、5、6． 若，解集包含整数7，导致整数解超过3个，不符合条件． ∴的取值范围是． 应选项B． 【变式1】（24-25七年级下·江苏淮安·期末）已知不等式组有解，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查利用不等式组的解求参数，熟练掌握不等式组的解是解题的关键，首先解两个不等式，确定各自的解集，再根据不等式组有解的条件，确定参数的取值范围． 【详解】解： 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∵不等式组有解， ∴与有公共部分， ∴， 故选：C． 【变式2】（24-25七年级下·四川资阳·期末）若不等式组的解集是，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了解一元一次不等式组，首先分别解两个不等式，再根据解集的交集确定m的取值范围． 【详解】解：解不等式，得， 解不等式，得， ∵不等式组的解集是， ∴， 故选：B． 【变式3】（23-24七年级下·内蒙古通辽·期末）关于x的不等式组的整数解仅有4个，则m的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由一元一次不等式组的整数解的情况求参数，解一元一次不等式组，由题意求得，根据不等式组的整数解仅有4个，可得，即可求解． 【详解】解：由题意得，， 解得， ∵不等式组的整数解仅有4个， 则其整数解为2、1、0、， ∴， ∴， 故选：A． 题型9 不等式组与方程组的结合问题 【例9】（24-25七年级下·湖北十堰·期末）已知，且，则k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了解二元一次方程组，解不等式（组），熟练掌握解二元一次方程组的方法是关键． 先根据加减消元法解二元一次方程组，再将值代入，求不等式组即可得出答案． 【详解】解：， ，得 解得：， 将代入①，得， 解得：， ， ， ， ． 故选A． 【变式1】（24-25七年级下·江西宜春·期末）关于，二元一次方程组的解满足，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查根据方程组的解的情况求参数的范围，解一元一次不等式， 将两个方程相减得到的值，整体代入不等式中，解不等式即可． 【详解】解： 由得：， ∵， ∴， 解得： 故选C． 【变式2】（24-25七年级下·四川乐山·期末）已知关于、的方程组 (1)若，求这个方程组的解； (2)若该方程组的解满足、均为正数，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组和一元一次不等式组，熟练掌握解二元一次方程组的一般方法，是解题的关键． （1）将m看作已知数，x、y看作未知数解方程组，得出，然后将代入得出方程组的解即可； （2）根据方程组的解为且该方程组的解满足、均为正数，列出不等式组，解不等式组即可． 【详解】（1）解：由方程组得：， 把代入得：； （2）解：∵方程组的解为， 又、均为正数， ， 解不等式组得：． 题型10 一元一次不等式组的实际应用 【例10】（24-25七年级下·广东汕头·期末）根据以下信息，探索完成任务： 素材1 某酒店提供三种标准房供顾客入住；单人间、双人间、三人间，已知三人间每间 每晚400元； 素材2 4间单人间和3间双人间每晚共需付房费1700元， 3间单人间和4间双人间每晚共需要付房费1800元． 素材3 某旅游团共33人入住该酒店时，由于正值游客高峰期，该酒店双人间均已住满，只剩下单人间和三人间． 问题解决 任务1 （1）单人间和双人间每晚每间房费分别是多少元？ 任务2 （2）该旅游团为节省经费，安排每间客房均住满，且计划每晚总房费不超过4800元，则该旅游团有哪几种入住方案？ 【答案】（1）200元，300元；（2）3种，方案见解析． 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式组的应用，找准等量关系和不等关系，正确列出二元一次方程和一元一次不等式组是解题的关键． （1）设单人间每晚每间房费是x元，双人间每晚每间房费是y元，根据题意列出二元一次方程组求解即可； （2）设该旅游团入住三人间m间，则单人间为间，根据题意列出一元一次不等式组求解即可． 【详解】解：（1）设单人间每晚每间房费是x元，双人间每晚每间房费是y元， 由题意可得： 解得： 答：单人间每晚每间房费是200元，双人间每晚每间房费是300元． （2）设该旅游团入住三人间m间，则单人间为间， 由题意可得： 解得： 为正整数 的取值为：9、10、11． 该旅行团共有3种入住方案，分别如下： ①三人间9间，单人间为6间， ②三人间10间，单人间为3间， ③三人间11间，单人间为0间． 【变式1】（24-25七年级下·江苏无锡·期末）某玩具店老板计划购进甲、乙两种玩具．已知购进甲种玩具2件和乙种玩具3件共需80元；购进甲种玩具1件和乙种玩具2件共需50元． (1)求甲、乙两种玩具每个的进价分别是多少元？ (2)为满足市场需求，玩具店需购进甲、乙两种玩具共60件，要求购买两种玩具的总费用不超过1080元，并且购买甲种玩具数量的3倍少于乙种玩具的数量，请问该玩具店老板有哪几种购买方案？ 【答案】(1)甲种玩具每个的进价为10元，乙种玩具每个的进价为20元 (2)一共有三种方案，具体见解析 【分析】本题考查二元一次方程组的应用、一元一次不等式组的应用，理解题意，正确列出方程组和不等式组是解答的关键． （1）设甲种玩具每个的进价为x元，乙种玩具每个的进价为y元，根据题意，列出方程组求解即可； （2）设购买甲种玩具m个，则购买乙种玩具件，根据题意列出不等式组求解m的取值，进而可得满足条件的购买方案． 【详解】（1）解：设甲种玩具每个的进价为x元，乙种玩具每个的进价为y元， 由题意得，， 解得， 答：甲种玩具每个的进价为10元，乙种玩具每个的进价为20元； （2）解：设购买甲种玩具m个，则购买乙种玩具件， 由题意得，， 解得， ∵m为整数， ∴m可取12，13，14， ∴当时，， 当时，， 当时，， ∴一共有三种方案：方案一，购买甲种玩具12件，购买乙种玩具48件；方案二，购买甲种玩具13件，购买乙种玩具47件；方案三、购买甲种玩具14件，购买乙种玩具46件． 乘除负数忘变号 错因归因：混淆了方程与不等式的运算规则，对不等式性质 3（乘除负数需改变不等号方向）理解不牢。 去分母漏乘常数项 错因归因：只给含分母的项乘公分母，忘记给不含分母的常数项也乘，本质是对 “不等式两边所有项都要同乘” 的规则理解不完整。 数轴空心/实心混淆 错因归因：没搞清楚不等号与数轴标记的对应关系，或把方向画反。 一元一次不等式解法技巧 1.去分母避坑法 1）先把所有项（包括常数项）圈出来，每一项都乘以公分母，避免漏乘； 2）若公分母为负数，乘完后立刻检查不等号方向，确保变号。 2.系数化 1 “零失误” 技巧 1）若未知数系数为负数，优先移项把含未知数的项移到右边，避免直接除以负数 2）若必须除以负数，写完后立刻用 “反向代入法” 验证 3.数轴解集速画口诀 1）有等号画实心，无等号画空心； 2）大于向右走，小于向左走； 3）画完用 “端点代入法” 验证，避免画反方向 不等式组解集速判: 同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到 含参问题技巧 先解后定参，边界点单独验证 应用题技巧 1.关键词转化速记表 （1）至少、不低于、不少于 对应符号：≥ （2）至多、不超过、不高于 对应符号：≤ （3）超过、大于、多于 对应符号：＞ （4）不足、小于、少于 对应符号：＜ 2.设元技巧 （1）优先设 “关键量”（如题目问 “最多买多少件”，就设件数为x）； （2）复杂问题用 “间接设元”（如行程问题设速度，再表示路程），避免列复杂不等式； （3）注意单位统一（如 “分钟” 和 “小时” 要先换算再列不等式）。 3.方案选择问题通用步骤 （1）设未知数，列不等式组； （2）解不等式组，确定未知数的整数取值； （3）分别计算每种方案的费用 / 利润，对比选出最优方案。 学科网（北京）股份有限公3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $