23.3 一次函数与方程（组）、不等式【七大考点+七大题型】-2025-2026学年八年级下册数学《考点•题型•技巧》精讲与精练高分突破（人教版）

本讲义聚焦一次函数与方程（组）、不等式的关系这一核心知识点，系统梳理利用图像法解一元一次方程、求不等式解集、通过两直线交点解二元一次方程组等内容，构建从“数”到“形”的知识支架，帮助学生理解函数与代数问题的内在联系。 该资料亮点在于考点分类明确，题型探究包含典例与变式，通过图像分析培养学生几何直观（数学眼光），推理计算提升运算能力（数学思维），用函数模型表达数量关系（数学语言）。课中辅助教师系统授课，课后双基达标练习助力学生查漏补缺，强化知识应用。

23.3 一次函数与方程（组）、不等式 【考点梳理】 · 考点一：利用图像法解一元一次方程 · 考点二：已知直线和坐标轴交点求方程的解 · 考点三：利用图像法解一元一次不等式 · 考点四：利用两直线的交点求不等式解集 · 考点五：利用两直线的交点求二元一次方程组 · 考点六：求直线围成的面积 · 考点七：一次函数与方程、不等式的综合问题 【知识梳理】 知识点一：一次函数与一元一次方程 因为任何一个以x为未知数的一元一次方程都可以变形为ax+b=0(a≠0)的形式,所以解一元次方程相当于在某个一次函数y=ax+b的函数值为0时,求自变量x的值。 点拨 从图像上看,这相当于已知直线y=ax+b,确定它与x轴交点横坐标的值。 知识点二：一次函数与一元一次不等式 因为任何一个以x为未知数的一元一次不等式都可以变形为ax+b>0或ax+b<0(a≠0)的形式,所以解一元一次不等式相当于在某个一次函数y=ax+b的值大于0或小于0时,求自变量x的取值范围。 点拨 从图像上看kx+b>0的解集是直线y=kx+b位于x轴上方部分相应x的取值范围；kx+b<0的解集是直线y=kx+b位于x轴下方部分相应x的取值范围。 知识点三：一次函数与二元一次方程(组) 由含有未知数x和y的两个二元一次方程组成的每个二元一次方程组,都对应两个一次函数,于是也对应两条直线。 从“数”的角度看,解这样的方程组,相当于求自变量为何值时相应的两个函数值相等,以及这个函数值是多少。 从“形”的角度看,解这样的方程组,相当于确定两条相应直线交点的坐标.因此,我们可以用画一次函数图像的方法得到方程组的解。 【题型探究】 题型一：利用图像法解一元一次方程 【典例1】．（25-26八年级下·山东潍坊·期中）已知点在直线上，则关于x的方程的解为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵ 点在直线上． ∴ 将代入，得 ． 又∵ 待求解方程为． ∴ 方程的解为． 【变式1】．（25-26八年级下·全国·课后作业）已知直线过点，则关于的方程的解是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了一次函数与一元一次方程的关系．任何一元一次方程都可以转化为（，，为常数，）的形式，所以解一元一次方程可以转化为：当某个一次函数的值为时，求相应的自变量的值．正确理解题意是解题的关键. 方程的解即为函数的值为时对应的值. 由点在直线上，直接可得解. 【详解】解：∵ 直线 过点， ∴ 当时，，即方程 的解为 ， 故选：D． 【变式2】．（24-25八年级下·福建福州·期末）如图，直线过点和点，则方程的解是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数与一元一次方程的关系，熟练掌握该知识点是关键． 先求出一次函数解析式，再计算时方程的解即可． 【详解】解：设直线解析式为，代入点得：， 解得， 直线解析式为， 方程转化为， 当时，， 解得． 故选：D． 题型二：已知直线和坐标轴交点求方程的解 【典例2】．（25-26八年级下·全国·课后作业）画函数的图象时，列表如下，由表可知方程的根最精确的范围是（   ） x 0 1 3 4 y 2 4 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据一次函数与一元一次方程的关系，解答即可． 【详解】解：∵当时，；当时， ∴在之间存在使得，即 ∴方程的根最精确的范围是． 【变式1】．（25-26八年级上·陕西西安·期中）如图，已知一次函数的图象为直线，则关于的方程的解为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了一次函数与一元一次方程，关键是正确利用数形结合的方法从图象中找到答案． 根据函数图象可得与轴交于点，于是得到结论． 【详解】解：由图象知一次函数的图象与轴交于点， ∴关于的方程的解． 故选：B． 【变式2】．（25-26八年级上·福建三明·期中）如图，直线过点和点，则方程的解是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：由题意可知，直线过点和点， 方程的解是， 故选：A． 题型三：利用图像法解一元一次不等式 【典例3】．（25-26八年级下·福建福州·期中）如图，函数的图象过点，则关于的不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：函数的图象向左移动一个单位后， 即为函数的图象，该图象过点， 且函数图像上升， 故关于的不等式的解集为． 【变式1】．（25-26八年级下·内蒙古包头·期中）如图，一次函数的图象经过点，则关于的不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：由函数图象可知，关于的不等式的解集为． 【变式2】．（25-26八年级下·贵州贵阳·期中）已知不等式的解集是，则一次函数的图象可能是（   ） A．B．C．D． 【答案】D 【详解】解：∵不等式， ∴， ∵不等式的解集是， ∴，， ∴一次函数的图象经过一、二、四象限． 题型四：利用两直线的交点求不等式解集 【典例4】．（25-26八年级下·河南郑州·期中）如图，直线：与直线：在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则关于x的不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：由图象可知，关于x的不等式的解集为． 【变式1】．（25-26八年级下·山西太原·期中）已知在平面直角坐标系中，一次函数与图象的交点坐标为．若，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】∵一次函数与图象的交点坐标为， ∴由图象可知，若，则． 故选：B． 【变式2】．（25-26八年级下·江西九江·期中）如图，函数与的图象交于点，不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 的图象在的上方即可得出答案； 【详解】解：∵函数过点， ∴， 解得， ∴交点的坐标为， 由图象可知，当时，函数的图象在函数的图象上方， ∴不等式的解集是． 题型五：利用两直线的交点求二元一次方程组 【典例5】．（2026·河北石家庄·一模）如图，一次函数经过点，与x轴交于点B，与正比例函数交于点，则下列结论正确的是（   ） A． B．方程的解是 C．P为的中点 D．当时， 【答案】C 【详解】解：A、根据图象可知，，， ∴，原选项不符合题意； B、方程的解是，原选项不符合题意； C、∵一次函数经过点，点， 解得： ∴一次函数解析式为，当时，， ∴，， ∴， ∴为的中点，原选项符合题意； D、当时，，原选项不符合题意． 【变式1】．（25-26七年级下·山东淄博·期中）在同一平面直角坐标系中，一次函数与的图象如图所示，小颖根据图象得到如下结论：①在一次函数的图象中，的值随着值的增大而减小；②；③方程的解为；④方程组的解是．其中正确结论的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【详解】解：①∵一次函数的图象从左到右呈下降趋势， ∴，的值随着值的增大而减小，结论①正确； ②∵一次函数的图象与轴交于正半轴，的图象与轴交于负半轴， ∴，，故，结论②错误； ③∵一次函数的图象与轴的交点为， ∴当时，，即方程的解为，结论③正确； ④∵两个一次函数的图象交点坐标为， ∴方程组的解是，结论④正确； 综上，3个结论正确． 【变式2】．（25-26八年级下·四川内江·期中）一次函数与的图象如图，则下列结论：①；②关于的方程的解是；③当时，；④当时，．其中正确的是（   ） A．①③ B．①②④ C．②③ D．①④ 【答案】B 【分析】利用一次函数的性质对①进行判断；利用一次函数的交点问题对②④进行判断；结合函数图象对③进行判断． 【详解】解：直线经过第一、三象限， ， 直线与轴的交点在轴下方， ， ，故①正确； 一次函数与的图象的交点的横坐标为3， 关于的方程的解是， ∴关于的方程的解是，故②正确； 当时，，故③错误； 当时，函数， 一次函数与的图象的交点的横坐标为3， 关于的方程的解是， ， ，故④正确； 综上可知，正确的是：①②④． 题型六：求直线围成的面积 【典例6】．（25-26八年级下·内蒙古呼和浩特·期中）如图，在平面直角坐标系中，过的直线与直线相交于点． (1)求直线的解析式． (2)求的面积． (3)在轴上找一点，使的面积是的面积的时，求出这时点的坐标． 【答案】(1) (2)12 (3)或 【分析】（1）由待定系数法求函数解析式即可； （2）根据三角形面积公式可得的面积； （3）先求出的面积是，设点，根据三角形面积公式得出，求出m的值即可． 【详解】（1）解：设直线的解析式为，将点，代入可得， ，解得：， ∴直线的解析式为； （2）解：由（）知：直线的解析式为， 当时， ∴， ∴， ∴的面积； （3）解：∵的面积是， ∴的面积是， 设点， 则， 解得：或， ∴点M的坐标为或． 【变式1】．（25-26八年级下·广东广州·期中）已知一次函数过，两点． (1)求一次函数解析式； (2)求图象与x轴，y轴的交点A，B的坐标； (3)求面积． 【答案】(1) (2) (3)9 【分析】（1）根据一次函数的图象经过，两点，可以求得此一次函数的解析式； （2）将代入（1）中求得的函数解析式，可以求得此时x的值，即可求得点A的坐标，再将代入（1）中求得的函数解析式，可以求得此时y的值，即可求得点B的坐标； （3）根据（2）中点A、B的坐标可以求得的面积． 【详解】（1）解：设过，两点的函数解析式为， 则， ∴， 即此一次函数的解析式为； （2）解：将代入，得，解得：， 将代入，得， ∴； （3）解：∵， ∴， ∴． 【变式2】．（25-26八年级下·北京西城·期中）已知：直线与轴交于点，与轴交于点． (1)求点，的坐标； (2)画出函数的图象； (3)过点作直线交轴于点，且使，直接写出的面积． 【答案】(1)， (2)见解析 (3)或 【分析】（1）令、，求出对应的、的值，即可求出点，的坐标； （2）根据（1）中点，的坐标画图即可； （3）先求出、的长度，结合已知求出的长度，然后分点在点上方和点在点下方讨论即可. 【详解】（1）解：当时，； 当时，，解得， 所以，； （2）解：如图，直线即为所求， （3）解：∵，， ∴，， ∵， ∴， ∵点在轴上， ∴， 当点在点上方时，， ∴的面积为； 当点在点下方时， ∵， ∴点在轴的负半轴上， ∴， ∴的面积为； ∴的面积为或. 题型七：一次函数与方程、不等式的综合问题 【典例7】．（25-26八年级下·河南郑州·期中）如图，已知直线分别与x，y轴交于点A、B，与直线相交于点，点P为直线上一点． (1)求n和k的值； (2)若点P在射线上，且，求点P的坐标； (3)观察函数图象，请直接写出不等式的解集． 【答案】(1)， (2) (3) 【详解】（1）解：把点代入得：， ∴， ∴， ∴； （2）解：令时，则有，解得：， ∴， ∴， 由（1）可知：， ∴， ∵， ∴点在线段上， ∴， 设点， ∴， 解得：， ∴； （3）解：由图象可知：不等式的解集为． 【变式1】．（25-26八年级下·内蒙古包头·期中）如图，根据图中信息解答下列问题： (1)关于的方程的解是 ； (2)关于的不等式的解集是 ； (3)当为何值时，？ (4)直接写出关于的不等式组的解集． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）直线与x轴的交点的横坐标即为关于的方程的解，据此可得答案； （2）根据函数图象找到一次函数的函数值小于1时自变量的取值范围即可得到答案； （3）找到一次函数的函数图象在一次函数的图象下方或二者的交点处时自变量的取值范围即可得到答案； （4）根据函数图象分别求出不等式和的解集即可得到答案． 【详解】（1）解：由函数图象可知，直线与x轴交于点， ∴关于的方程的解是； （2）解：由函数图象可知，关于的不等式的解集是； （3）解：由函数图象可知，当，； （4）解：由函数图象可知，关于的不等式的解集为， 关于的不等式的解集为， ∴关于的不等式组的解集为． 【变式2】．（25-26八年级上·广东深圳·期末）【新定义】 若两条直线和的交点在x轴上，且直线l分别与直线交于点，与直线交于点（P、Q不与原点重合），则称直线l是和的“美好对应轴”． 例：如图1所示，与相交于点，直线分别与，交于点和点，称直线l是和的“美好对应轴”． （1）若直线l是和的“美好对应轴”，已知直线l与交点为，则另外一个交点Q（____，____）； （2）如图2所示，已知，，请判断是否为和的“美好对应轴”，并说明理由； （3）如图3所示，已知，，若l是和的“美好对应轴”，请求出的函数表达式． 【拓展研究】 （4）如图4所示，，直线l是和的“美好对应轴”，l和交于点P，l和交于点Q，连接、，若的面积和的面积存在两倍关系，请直接写出点P的坐标． 【答案】（1）2，3；（2）是，理由见解析；（3）；（4）点P的坐标为或，， 【详解】解：（1）∵直线l与交点为， ∴另一交点Q的坐标为． 故答案为：2，3． （2）直线l是和的“美好对应轴”，理由如下： ∵解方程组得， ∴直线与直线的交点为，该交点在x轴上； ∵解方程组得， ∴直线与直线的交点为， ∵解方程组得， ∴直线与直线的交点为， ∴是和的“美好对应轴”． （3）∵对于直线，令，则，解得， ∴直线与x轴的交点为， ∵解方程组得， ∴直线与直线的交点为， ∵l是和的“美好对应轴”， ∴直线过点，， 设直线的函数解析式为， ∴，解得， ∴直线的函数解析式为． （4）直线与x轴的交点为， ∴，， ∵l和交于点P， ∴设， ∵l和交于点Q，直线l是和的“美好对应轴”， ∴， ∴， ， ∵的面积和的面积存在两倍关系， ∴或， ①当时，， 解得或， 当时，，则； 当时，，则； ②当时， 解得或， 当时，，则； 当时，，则； 综上所述，点P的坐标为或，，． 【双基达标】 一、单选题 1．（25-26八年级下·北京·期中）已知一次函数（k、b是常数，且），x与y的部分对应值如下表所示，那么方程的解是（    ） 2 3 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先将所求方程变形，得到其对应一次函数的函数值为，再从表格中找到时对应的的值，即可得到方程的解． 【详解】解：方程可变形为， 从表格可知，当时，， ∴方程的解为． 2．（25-26八年级下·山东青岛·期中）如图，一次函数与的图象交于点，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先把点的坐标代入求出的值，确定交点坐标，再将不等式变形为，结合图象找出直线在直线上方时对应的的取值范围即可． 【详解】解：点在一次函数的图象上， ， 解得， 交点的坐标为. 不等式可变形为，即， 由图象可知，当时，直线在直线的上方， 不等式的解集为． 3．（25-26八年级下·全国·课后作业）在平面直角坐标系内，一次函数与的图象如图所示，则关于x，y的方程组的解是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据方程组的解是两条直线的交点的横纵坐标即可得出结果. 【详解】解：由图象可知：关于x，y的方程组即方程组的解为. 4．（25-26八年级下·山西晋中·期中）如图，直线与直线相交于点，与轴交于点，则关于的不等式组的解集是（    ） A． B． C． D．或 【答案】C 【详解】解：把代入，得，解得，∴，当时，， 解得， ∴， ∴由图象可知，关于的不等式组的解集是． 5．（2026·江苏连云港·一模）关于直线（为常数）与直线的交点情况，下列判断一定正确的是（   ） A．有1个交点，且在第一象限 B．有1个交点，且在第二象限 C．有1个交点，且在第三象限 D．有1个交点，但不在第四象限 【答案】D 【详解】解：直线中，，经过一、二、三，不经过第四象限， 因为直线与直线的不相等，所以两直线必有一个交点， 又因为交点必在直线上，所以交点不可能在第四象限， 故选项D符合题意． 6．（25-26八年级下·河南南阳·期中）在同一平面直角坐标系中，一次函数与的图象如图所示，则下列结论错误的是（    ）． A．随的增大而减小 B． C．当时， D．关于的方程组的解为 【答案】B 【分析】从函数图象中获取信息，结合图象，逐一进行判断即可． 【详解】A.由图可知中，随的增大而减小，故A正确，不符合题意； B.与轴的交点为，与轴的交点为，由图可知，故B不正确，符合题意； C.由图可知与的交点为，当时，，故C正确，不符合题意； D.由图可知与的交点为，所以关于的方程组的解为，故D正确，不符合题意． 7．（25-26八年级下·安徽安庆·开学考试）如图，已知一次函数为常数，且的图象与轴、轴分别交于点，，有下列结论： ①图象经过点； ②关于的方程的解为； ③关于的方程的解为； ④当时； 其中正确的结论有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【分析】观察图象知，当时，函数值为正，由此可判断①；当时，由此可判断④；根据函数图象与坐标轴的交点可判断②和③． 【详解】解：由图象知，当时，函数值为正，即当时，函数值为正，不可能为，故①错误； 由图象知，当时，故④正确； 直线与x轴交于点，即关于的方程的解为，故②正确； 直线与y轴交于点，关于的方程的解为，故③正确； 所以正确的结论有②③④3个． 【点睛】数形结合是解题的关键． 8．（25-26八年级上·安徽滁州·期末）已知直线：与直线：都经过点，直线交x轴于点A，交y轴于点，直线交y轴于点C，交x轴于点，直线直线且经过原点，且与直线交于点，点P为x轴上任意一点，连接，，对于以下结论，正确的个数有（    ） 方程组的解为；；；当的值最小时，点P的坐标为 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【详解】解：①直线：与直线：都经过点， 方程组的解为，故①正确； ②把，点代入得， ， 直线：， 直线直线且经过原点， 直线的解析式为， 把代入得，， ， 直线：， 解得， ， 在中，令，则， 解得， ， ，故②正确； ③令，解得：，，，， ，故③错误；； ④直线交y轴于点C， ， 作点C关于x轴的对称点，连接交x轴于P， 此时，的值最小， 设直线的解析式为， ， ， ， 直线的解析式为， 当时，， ，故④正确；； 结论中正确的个数有3个， 故选：C． 二、填空题 9．（2026·江苏南通·一模）已知一次函数和，当时，，则的取值范围是__________． 【答案】 【分析】本题考查一次函数与一元一次不等式的关系，一次函数的交点问题． 联立两个一次函数解析式求出交点横坐标，结合一次函数增减性和已知条件得到交点横坐标的范围，解不等式即可得到的取值范围． 【详解】解：联立两个一次函数解析式得 令，解得， 即两函数交点的横坐标为， 一次函数中，，随增大而增大，一次函数中，，随增大而减小， 当大于交点横坐标时，， 又当时，， ， 不等式两边同乘得：， 移项得：． 10．（25-26八年级下·陕西咸阳·阶段检测）如图，直线与直线的交点坐标为，则不等式的解集为______． 【答案】 【分析】根据图象可得当直线的图象在直线的图象上方时的取值范围即为的解集． 【详解】解：由图象可得：的解集为． 11．（25-26九年级上·安徽马鞍山·期末）已知关于x的一次函数与． （1）这两个函数图象的交点坐标是__________； （2）若这两个函数图象与x轴围成的三角形的面积是2，则___________． 【答案】 2或 【分析】本题考查一次函数的图象和性质，解题的关键是掌握一次函数的图象和性质进行解答． （1）通过联立两个一次函数解析式，解方程得到交点坐标； （2）先求两个函数与轴的交点坐标，再以这两个交点的距离为底边、两函数交点的纵坐标为高表示三角形面积，根据面积等于列方程求解． 【详解】（1）解：联立与， 得， 整理得， 由，解得， 代入得， 故交点坐标为． （2）解：函数与轴交于点， 函数与轴交于点， 两函数交于点． 三角形面积， 由，得， 简化得， 即或， 解得或， 均满足， 故或． 故答案为：；2或． 12．（25-26八年级下·福建福州·期中）已知关于x，y的二元一次方程组的解为．如图，若直线（k，b为常数，且）与直线相交于点P，则点P的坐标为______． 【答案】 【分析】根据方程组的解就是交点坐标即可求解． 【详解】解：∵二元一次方程组的解为， ∴， 解得：， ∴二元一次方程组的解为， ∵二元一次方程组的解就是两个一次函数和图象的交点坐标， ∴点P的坐标为：． 13．（25-26八年级下·山东聊城·期中）一次函数与的图象如图所示，下列结论：①对于函数来说，y随x的增大而减小；②函数的图象不经过第一象限；③；④．其中正确的有______． 【答案】①②③④ 【分析】根据一次函数的图象与性质逐项分析判断即可． 【详解】解：①由图象可知：函数中，随的增大而减小；故①正确； ②由图象可知：， ∴函数的图象经过第二、三、四象限，不经过第一象限；故②正确； ③由图象可知：两直线交点横坐标为，则，整理得；故③正确； ④由可得，， ∵， ∴，即， ∴，故④正确； 综上所述，正确的有①②③④． 14．（25-26八年级下·四川·期中）定义：在平面直角坐标系中，对于任意两点，，若点满足，，那么称点是点的“三分点”．例如：，，当点满足：，，则点是点的“三分点”．已知直线上有一点，恰好是点，的“三分点”，若直线与直线：的交点为整点（横、纵坐标都是整数的点）时，则满足条件的负整数的值为____． 【答案】 【分析】先根据“三分点”的定义，用参数表示出点的横纵坐标，消去参数得到直线的解析式，再联立与的方程，用表示出交点坐标，结合交点为整点，为负整数求解即可. 【详解】解：根据“三分点”的定义，得 ， ， 消去得，代入得 ， 整理得，即直线的解析式为， 联立直线与得方程组， ， 消去得， 整理得， 解得， 将代入得 ， 交点为整点，且为负整数， ∴是的负因数，且， 的负因数有， 当时，，不符合负整数要求，舍去， 当时，，不符合负整数要求，舍去， 当时，，符合要求，此时，，均为整数， 故答案为． 三、解答题 15．（25-26八年级下·广西柳州·期中）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象经过点，与x轴、y轴分别交于A、B两点，且与正比例函数的图象交于点C，点C的横坐标为1． (1)求C点的坐标 (2)求一次函数的解析式． (3)的面积为______． (4)当时，x的取值范围是______ 【答案】(1) (2) (3)6 (4) 【分析】（1）把代入进行求解即可； （2）由（1）可把点C、D的坐标代入进行求解即可； （3）由（2）得出点A的坐标，然后根据三角形面积公式进行求解即可； （4）根据图象可直接进行求解． 【详解】（1）解：由题意得：把代入得：， ∴； （2）解：∵点，在一次函数的图象上， ∴，解得：， ∴一次函数的解析式为； （3）解：由（2）可知：一次函数的解析式为， 令时，则有，解得：， ∴， ∴， ∴； （4）解：由图象可知：当时，x的取值范围是． 16．（25-26八年级下·吉林长春·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线交轴于点，交轴于点，点，的坐标分别为，，直线与直线相交于点； (1)求直线的表达式； (2)求点的坐标； (3)若直线上存在一点，使得的面积是的面积的4倍，求出点的坐标． (4)当时，对于的每一个值，函数（）的值大于一次函数的值，直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2) (3)或 (4) 【分析】（1）利用待定系数法，解方程组解答即可； （2）联立两条直线解析式构成方程组，解方程组得解即为交点坐标； （3）连接，得，计算，确定，设，得到，解答即可． （4）当时，，把代入得，，当与平行时，二线没有，交点，此时，根据直线不平行，则相交，当时，二线在第一象限（或）相交，此时函数小于的值，不符合题意；故；当直线的右侧直线可以满足，当时，对于x得每一个值，函数的值大于一次函数的值，故答案为． 【详解】（1）解：设直线的表达式为， 把点，代入，得， 解得：， ∴直线的表达式为． （2）解：根据题意，联立得方程组， 解得：， ∴点的坐标为． （3）解：连接，如图所示．   ， 故， ∵点的坐标为． ∴， 直线的表达式为，令，则． ∴直线与轴交于点， ∴， 设， ∵的面积是面积的4倍， ∴， ∴， 解得：或， ∴点的坐标是或． （4）解：当时，， 把代入得，，即， 当与平行时，二线没有交点，此时，此时的值恒大于的值，满足条件； 根据直线不平行，则相交，当时，两直线在第一象限（或第四象限）相交，此时不符合题意； 故； 当直线的右侧直线可以满足，当时，对于x的每一个值，函数的值大于一次函数的值， 如图， 综上：． 17．（25-26八年级下·辽宁盘锦·期中）如图，直线：与轴交于点，直线：经过点，与直线交于点，且与轴交于点． (1)写出的值为______，并求直线的函数表达式； (2)根据函数图象，直接写出：当时，的取值范围是______； (3)在直线上是否存在一点，使的面积是面积的？若存在，请求出满足条件的所有点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)3；直线的函数表达式为 (2) (3)存在，或 【分析】（1）将代入得到，即可求出的值，得到，将的坐标代入直线的解析式，得到，求出的值即可； （2）根据图象直接确定即可； （3）先求出点的坐标，从而得出，再根据代入数据进行计算，由题意得出，再由得出或，分别代入中进行计算即可． 【详解】（1）解：在中，当时，， ， 将，代入直线的解析式得：， 解得：， 直线的解析式为； （2）解：∵直线与直线的图象交于点，且时直线的图象在直线图象的上方， ∴当时，的取值范围是； （3）解：在中，当时，，解得：， ， 在中，当时，，解得：， ， ， ； 的面积是面积的， ， ， ， 或， 当时，，解得：，即， 当时，，解得：，即， 综上所述，在上存在一点，使的面积是面积的，或． 18．（25-26八年级下·江西九江·期中）八年级数学社团学生在学习了“一次函数与一元一次方程、不等式的关系”后，尝试解决其他函数的类似问题，他们将函数确定为研究对象．请你根据以下探究过程，解答问题． 观察探究： (1)作出函数的图象． ①列表： 0 1 其中，表格中的值为__________． ②描点连线画出该函数的图象． (2)观察函数的图象． ①当__________时，函数有最大值，最大值为__________． ②方程的解是__________． 拓展应用： (3)在同一平面直角坐标系中，直接画出函数的图像，并结合图象，直接写出不等式的解集__________． 【详解】（1）解：①在中，当时，， ； ②函数图象如图所示； （2）解：①由函数图象可知，当时，函数有最大值，最大值为2； ②由函数图象可知，当时，或， ∴方程的解是或． （3）解：画出直线如图， 观察图象可知，不等式的解集是． 19．（25-26八年级上·山东枣庄·月考）【材料阅读】二元一次方程有无数组解，如：如果我们将方程的解看成一组有序数对，那么这些有序数对可以用平面直角坐标系中的点表示，探究发现：以方程的解为坐标的点落在同一条直线上，如图1所示，同时这条直线上的点的坐标全都是该方程的解．我们把这条直线称为该方程的图象． 【问题探究】 （1）请在图1中画出二元一次方程组中的两个二元一次方程的图象，并直接写出该方程组的解为___________； （2）已知关于的二元一次方程组无解，请在图2中画出符合题意的两条直线，设方程①图象与轴的交点分别是，方程②图象与轴的交点分别是，计算的度数，并直接写出的值． 【拓展应用】 （3）图3中包含关于的二元一次方程组的两个二元一次方程的图象，请直接写出该方程组的解及的值． 【答案】（1）；（2）图象见详解，，；（3）， 【分析】本题考查了二元一次方程的图象，解二元一次方程组，求图象的交点坐标，直角三角形的性质，数形结合是解题的关键． （1）描点画图，解二元一次方程组即可； （2）由二元一次方程组无解，使得两条直线平行，由此可列方程求出k值，再由平行线的性质及直角三角形的两个锐互余可求出； （3）首先判断方程的图象过定点，再判断图象经过第一、三、四象限，求出点也在图象上即可求出m的值． 【详解】解：（1）如图，当时，；当，， 过两点即为方程的图象； 解方程组，两式相加得， 将代入，得， 方程组的解为； 故答案为：； （2）方程组无解， 两直线平行， 方程①化为， 方程②化为， 由， ， 方程①，当时，；当时，， ，直线为方程①的图象，如图2， 方程②，当时，；当时，， ，直线为方程②的图象，如图2， ， 在中，， ； （3）方程变形得，， 当时，， 方程的图象过， 方程的图象经过第一、三、四象限， 把代入得，，， 点在上， ， 解，得． 把代入得，， 解得， 二元一次方程组的解为． 20．（24-25八年级下·甘肃兰州·期末）如图，在平面直角坐标系中，点A在轴的正半轴上，点在轴的正半轴上，且，的长满足． (1)求点，点的坐标； (2)若直线与线段交于点，与轴，轴分别交于，两点，且点，，动点以每秒1个单位长度的速度从点出发，沿射线方向运动，设点的运动时间为秒，连接，设的面积为，求与的函数关系式（请直接写出自变量的取值范围）； (3)在（2）的条件下，在坐标平面内是否存在点，使以A，，，为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2) (3)存在，或或 【分析】（1）根据非负数的性质求出，的长，再根据点A在轴的正半轴上，点在轴的正半轴上，即可得出点的坐标； （2）分两种情况：当时 ， 当时，根据三角形的面积公式求解即可； （3）分两种情况：①当为边时，②当为对角线时，分别利用平行四边形的性质求解即可． 【详解】（1）解：∵ ∴，， ∴，， ∵点A在轴的正半轴上，点在轴的正半轴上， ∴，． （2）解：∵， ∴， 当时 ， ， 当时， ， 综上，． （3）解：如图，连接， 由（1）知，，， 由（2）知，， ， 以、、、为顶点的四边形是平行四边形， ①当为边时，，， 或； ②当为对角线时，点向下平移4个单位，再向右平移2个单位， 点向下平移4个单位，再向右平移2个单位得到点的坐标， ， 即：点的坐标为或或． 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 23.3 一次函数与方程（组）、不等式 【考点梳理】 · 考点一：利用图像法解一元一次方程 · 考点二：已知直线和坐标轴交点求方程的解 · 考点三：利用图像法解一元一次不等式 · 考点四：利用两直线的交点求不等式解集 · 考点五：利用两直线的交点求二元一次方程组 · 考点六：求直线围成的面积 · 考点七：一次函数与方程、不等式的综合问题 【知识梳理】 知识点一：一次函数与一元一次方程 因为任何一个以x为未知数的一元一次方程都可以变形为ax+b=0(a≠0)的形式,所以解一元次方程相当于在某个一次函数y=ax+b的函数值为0时,求自变量x的值。 点拨 从图像上看,这相当于已知直线y=ax+b,确定它与x轴交点横坐标的值。 知识点二：一次函数与一元一次不等式 因为任何一个以x为未知数的一元一次不等式都可以变形为ax+b>0或ax+b<0(a≠0)的形式,所以解一元一次不等式相当于在某个一次函数y=ax+b的值大于0或小于0时,求自变量x的取值范围。 点拨 从图像上看kx+b>0的解集是直线y=kx+b位于x轴上方部分相应x的取值范围；kx+b<0的解集是直线y=kx+b位于x轴下方部分相应x的取值范围。 知识点三：一次函数与二元一次方程(组) 由含有未知数x和y的两个二元一次方程组成的每个二元一次方程组,都对应两个一次函数,于是也对应两条直线。 从“数”的角度看,解这样的方程组,相当于求自变量为何值时相应的两个函数值相等,以及这个函数值是多少。 从“形”的角度看,解这样的方程组,相当于确定两条相应直线交点的坐标.因此,我们可以用画一次函数图像的方法得到方程组的解。 【题型探究】 题型一：利用图像法解一元一次方程 【典例1】．（25-26八年级下·山东潍坊·期中）已知点在直线上，则关于x的方程的解为（   ） A． B． C． D． 【变式1】．（25-26八年级下·全国·课后作业）已知直线过点，则关于的方程的解是（   ） A． B． C． D． 【变式2】．（24-25八年级下·福建福州·期末）如图，直线过点和点，则方程的解是（　　） A． B． C． D． 题型二：已知直线和坐标轴交点求方程的解 【典例2】．（25-26八年级下·全国·课后作业）画函数的图象时，列表如下，由表可知方程的根最精确的范围是（   ） x 0 1 3 4 y 2 4 A． B． C． D． 【变式1】．（25-26八年级上·陕西西安·期中）如图，已知一次函数的图象为直线，则关于的方程的解为（   ） A． B． C． D． 【变式2】．（25-26八年级上·福建三明·期中）如图，直线过点和点，则方程的解是（    ） A． B． C． D． 题型三：利用图像法解一元一次不等式 【典例3】．（25-26八年级下·福建福州·期中）如图，函数的图象过点，则关于的不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【变式1】．（25-26八年级下·内蒙古包头·期中）如图，一次函数的图象经过点，则关于的不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【变式2】．（25-26八年级下·贵州贵阳·期中）已知不等式的解集是，则一次函数的图象可能是（   ） A．B．C．D． 题型四：利用两直线的交点求不等式解集 【典例4】．（25-26八年级下·河南郑州·期中）如图，直线：与直线：在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则关于x的不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【变式1】．（25-26八年级下·山西太原·期中）已知在平面直角坐标系中，一次函数与图象的交点坐标为．若，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【变式2】．（25-26八年级下·江西九江·期中）如图，函数与的图象交于点，不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 题型五：利用两直线的交点求二元一次方程组 【典例5】．（2026·河北石家庄·一模）如图，一次函数经过点，与x轴交于点B，与正比例函数交于点，则下列结论正确的是（   ） A． B．方程的解是 C．P为的中点 D．当时， 【变式1】．（25-26七年级下·山东淄博·期中）在同一平面直角坐标系中，一次函数与的图象如图所示，小颖根据图象得到如下结论：①在一次函数的图象中，的值随着值的增大而减小；②；③方程的解为；④方程组的解是．其中正确结论的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式2】．（25-26八年级下·四川内江·期中）一次函数与的图象如图，则下列结论：①；②关于的方程的解是；③当时，；④当时，．其中正确的是（   ） A．①③ B．①②④ C．②③ D．①④ 题型六：求直线围成的面积 【典例6】．（25-26八年级下·内蒙古呼和浩特·期中）如图，在平面直角坐标系中，过的直线与直线相交于点． (1)求直线的解析式． (2)求的面积． (3)在轴上找一点，使的面积是的面积的时，求出这时点的坐标． 【变式1】．（25-26八年级下·广东广州·期中）已知一次函数过，两点． (1)求一次函数解析式； (2)求图象与x轴，y轴的交点A，B的坐标； (3)求面积． 【变式2】．（25-26八年级下·北京西城·期中）已知：直线与轴交于点，与轴交于点． (1)求点，的坐标； (2)画出函数的图象； (3)过点作直线交轴于点，且使，直接写出的面积． 题型七：一次函数与方程、不等式的综合问题 【典例7】．（25-26八年级下·河南郑州·期中）如图，已知直线分别与x，y轴交于点A、B，与直线相交于点，点P为直线上一点． (1)求n和k的值； (2)若点P在射线上，且，求点P的坐标； (3)观察函数图象，请直接写出不等式的解集． 【变式1】．（25-26八年级下·内蒙古包头·期中）如图，根据图中信息解答下列问题： (1)关于的方程的解是 ； (2)关于的不等式的解集是 ； (3)当为何值时，？ (4)直接写出关于的不等式组的解集． 【变式2】．（25-26八年级上·广东深圳·期末）【新定义】 若两条直线和的交点在x轴上，且直线l分别与直线交于点，与直线交于点（P、Q不与原点重合），则称直线l是和的“美好对应轴”． 例：如图1所示，与相交于点，直线分别与，交于点和点，称直线l是和的“美好对应轴”． （1）若直线l是和的“美好对应轴”，已知直线l与交点为，则另外一个交点Q（____，____）； （2）如图2所示，已知，，请判断是否为和的“美好对应轴”，并说明理由； （3）如图3所示，已知，，若l是和的“美好对应轴”，请求出的函数表达式． 【拓展研究】 （4）如图4所示，，直线l是和的“美好对应轴”，l和交于点P，l和交于点Q，连接、，若的面积和的面积存在两倍关系，请直接写出点P的坐标． 【双基达标】 一、单选题 1．（25-26八年级下·北京·期中）已知一次函数（k、b是常数，且），x与y的部分对应值如下表所示，那么方程的解是（    ） 2 3 A． B． C． D． 2．（25-26八年级下·山东青岛·期中）如图，一次函数与的图象交于点，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级下·全国·课后作业）在平面直角坐标系内，一次函数与的图象如图所示，则关于x，y的方程组的解是（   ） A． B． C． D． 4．（25-26八年级下·山西晋中·期中）如图，直线与直线相交于点，与轴交于点，则关于的不等式组的解集是（    ） A． B． C． D．或 5．（2026·江苏连云港·一模）关于直线（为常数）与直线的交点情况，下列判断一定正确的是（   ） A．有1个交点，且在第一象限 B．有1个交点，且在第二象限 C．有1个交点，且在第三象限 D．有1个交点，但不在第四象限 6．（25-26八年级下·河南南阳·期中）在同一平面直角坐标系中，一次函数与的图象如图所示，则下列结论错误的是（    ）． A．随的增大而减小 B． C．当时， D．关于的方程组的解为 7．（25-26八年级下·安徽安庆·开学考试）如图，已知一次函数为常数，且的图象与轴、轴分别交于点，，有下列结论： ①图象经过点； ②关于的方程的解为； ③关于的方程的解为； ④当时；其中正确的结论有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 8．（25-26八年级上·安徽滁州·期末）已知直线：与直线：都经过点，直线交x轴于点A，交y轴于点，直线交y轴于点C，交x轴于点，直线直线且经过原点，且与直线交于点，点P为x轴上任意一点，连接，，对于以下结论，正确的个数有（    ） 方程组的解为；；；当的值最小时，点P的坐标为 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二、填空题 9．（2026·江苏南通·一模）已知一次函数和，当时，，则的取值范围是__________． 10．（25-26八年级下·陕西咸阳·阶段检测）如图，直线与直线的交点坐标为，则不等式的解集为______． 11．（25-26九年级上·安徽马鞍山·期末）已知关于x的一次函数与． （1）这两个函数图象的交点坐标是__________； （2）若这两个函数图象与x轴围成的三角形的面积是2，则___________． 12．（25-26八年级下·福建福州·期中）已知关于x，y的二元一次方程组的解为．如图，若直线（k，b为常数，且）与直线相交于点P，则点P的坐标为______． 13．（25-26八年级下·山东聊城·期中）一次函数与的图象如图所示，下列结论：①对于函数来说，y随x的增大而减小；②函数的图象不经过第一象限；③；④．其中正确的有______． 14．（25-26八年级下·四川·期中）定义：在平面直角坐标系中，对于任意两点，，若点满足，，那么称点是点的“三分点”．例如：，，当点满足：，，则点是点的“三分点”．已知直线上有一点，恰好是点，的“三分点”，若直线与直线：的交点为整点（横、纵坐标都是整数的点）时，则满足条件的负整数的值为____． 三、解答题 15．（25-26八年级下·广西柳州·期中）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象经过点，与x轴、y轴分别交于A、B两点，且与正比例函数的图象交于点C，点C的横坐标为1． (1)求C点的坐标 (2)求一次函数的解析式． (3)的面积为______． (4)当时，x的取值范围是______ 16．（25-26八年级下·吉林长春·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线交轴于点，交轴于点，点，的坐标分别为，，直线与直线相交于点； (1)求直线的表达式； (2)求点的坐标； (3)若直线上存在一点，使得的面积是的面积的4倍，求出点的坐标． (4)当时，对于的每一个值，函数（）的值大于一次函数的值，直接写出的取值范围． 17．（25-26八年级下·辽宁盘锦·期中）如图，直线：与轴交于点，直线：经过点，与直线交于点，且与轴交于点． (1)写出的值为______，并求直线的函数表达式； (2)根据函数图象，直接写出：当时，的取值范围是______； (3)在直线上是否存在一点，使的面积是面积的？若存在，请求出满足条件的所有点的坐标；若不存在，请说明理由． 18．（25-26八年级下·江西九江·期中）八年级数学社团学生在学习了“一次函数与一元一次方程、不等式的关系”后，尝试解决其他函数的类似问题，他们将函数确定为研究对象．请你根据以下探究过程，解答问题． 观察探究： (1)作出函数的图象． ①列表： 0 1 其中，表格中的值为__________． ②描点连线画出该函数的图象． (2)观察函数的图象． ①当__________时，函数有最大值，最大值为__________． ②方程的解是__________． 拓展应用： (3)在同一平面直角坐标系中，直接画出函数的图像，并结合图象，直接写出不等式的解集__________． 19．（25-26八年级上·山东枣庄·月考）【材料阅读】二元一次方程有无数组解，如：如果我们将方程的解看成一组有序数对，那么这些有序数对可以用平面直角坐标系中的点表示，探究发现：以方程的解为坐标的点落在同一条直线上，如图1所示，同时这条直线上的点的坐标全都是该方程的解．我们把这条直线称为该方程的图象． 【问题探究】 （1）请在图1中画出二元一次方程组中的两个二元一次方程的图象，并直接写出该方程组的解为___________； （2）已知关于的二元一次方程组无解，请在图2中画出符合题意的两条直线，设方程①图象与轴的交点分别是，方程②图象与轴的交点分别是，计算的度数，并直接写出的值． 【拓展应用】 （3）图3中包含关于的二元一次方程组的两个二元一次方程的图象，请直接写出该方程组的解及的值． 20．（24-25八年级下·甘肃兰州·期末）如图，在平面直角坐标系中，点A在轴的正半轴上，点在轴的正半轴上，且，的长满足． (1)求点，点的坐标； (2)若直线与线段交于点，与轴，轴分别交于，两点，且点，，动点以每秒1个单位长度的速度从点出发，沿射线方向运动，设点的运动时间为秒，连接，设的面积为，求与的函数关系式（请直接写出自变量的取值范围）； (3)在（2）的条件下，在坐标平面内是否存在点，使以A，，，为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 2 学科网（北京）股份有限公司 $