23.2.1 正比例函数【八大考点+八大题型】-2025-2026学年八年级下册数学《考点•题型•技巧》精讲与精练高分突破（人教版）

本讲义聚焦初中数学正比例函数核心知识点，从定义（形如y=kx,k≠0）出发，系统梳理参数求解、图像（过原点的直线）、性质（k正负影响象限及增减性），延伸至与几何、规律交汇的综合应用，构建从基础到综合的学习支架。 该资料亮点在于题型分层设计，典例结合变式，如匀速运动中路程与时间的关系（数学眼光），通过比较大小问题培养推理能力（数学思维），用函数图像和解析式表达数量关系（数学语言）。课中辅助教师突破重难点，课后双基达标帮助学生巩固，查漏补缺。

23.2.1 正比例函数 【考点梳理】 · 考点一：正比例函数的定义 · 考点二：由定义求正比例函数参数 · 考点三：正比例函数的图像 · 考点四：正比例函数的性质 · 考点五：正比例函数比较大小问题 · 考点六：利用正比例函数的图像和性质求参数 · 考点七：正比例函数与几何、规律交汇问题 · 考点八：正比例函数的综合问题 【知识梳理】 知识点1：正比例函数的定义：一般地,形如y=kx(k是常数,k≠0)的函数,叫做正比例函数,其中k叫做比例系数.例如y=-0.1x,y=2x都是正比例函数。 注意：(1)正比例函数y=kx必须满足两个条件：①比例系数k≠0,②自变量x的次数是1 (2)在判断一个函数是否是正比例函数时,只要看其是否满足y=kx(k≠0)的形式即可;若求函数的解析式,只要求出比例系数k的值,解析式就可以确定了。 (3)求正比例函数解析式采用待定系数法,即设所求解析式为y=kx,将图像上的点的坐标代入解析式,求出k即可。 知识点2：正比例函数的图像与性质 正比例函数y=kx(k是常数,k≠0)的图像是一条经过原点与点(1,k)的直线,我们称它为直线y=kx，其图像和性质如下表： y=kx k＞0 k＜0 图像 性质 (1)直线经过第一、第三象限； (2)y随x的增大而增大 (1)直线经过第二、第四象限； (2)y随x的增大而减小 (3)自变量x的取值范围是全体实数； (4)正比例函数y=kx中│k│越大，直线y=kx越靠近y轴，即直线与x轴正半轴的夹角越大；│k│越小，直线y=kx越靠近x轴，即直线与x轴正半轴的夹角越小 【题型探究】 题型一：正比例函数的定义 【典例1】．（25-26八年级下·辽宁大连·期中）下列y关于x的函数中，是正比例函数的是（      ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查正比例函数的定义，根据正比例函数的定义判断各选项的函数形式即可得到答案． 【详解】解： 选项A：的常数项为，属于一次函数，不是正比例函数， A不符合题意； 选项B：符合的形式，， B是正比例函数； 选项C：，不符合正比例函数的形式， C不符合题意； 选项D：，不符合正比例函数的形式， D不符合题意． 【变式1】．（25-26八年级下·全国·课后作业）下列关系中，是正比例函数关系的是（    ） A．淘气看一本书，已看的页数和剩下的页数 B．总价一定时，数量和单价 C．三角形的面积一定时，一边长和该边上的高之间的关系 D．匀速运动中，速度一定时，路程和时间之间的关系 【答案】D 【分析】根据正比例函数的定义（两种相关联的量，相对应的两个数的比值为定值且不为，即形如，是不为的常数），逐一分析各选项的变量关系． 【详解】解：、已看页数与剩下页数的和为定值，比值不是定值，不符合正比例函数关系，不符合题意； 、数量单价总价（定值），二者乘积为定值，是反比例关系，不是正比例函数关系，不符合题意； 、一边长该边上的高三角形面积（定值），二者乘积为定值，是反比例关系，不是正比例函数关系，不符合题意； 、路程时间速度（定值且不为），符合正比例函数的形式，是正比例函数关系，符合题意． 【变式2】．（25-26八年级下·山东潍坊·期中）下列变化过程中，一个变量与另一个变量成正比例函数关系的是（   ） A．正方形的面积S随边长a的变化而变化 B．用长的绳子围成一个矩形，其中一边长y随它邻边x的变化而变化 C．圆的周长C随半径r的变化而变化 D．汽车在行驶过程中，油箱的剩余油量Q随行驶路程s的变化而变化 【答案】C 【分析】根据正比例函数的定义（为常数，），写出各选项的函数关系式，再判断是否符合定义即可． 【详解】解：A．正方形面积与边长的函数关系式为，不符合的形式， ∴不是正比例函数关系，故A不符合题意； B．矩形周长为，可得，整理得，不符合的形式， ∴不是正比例函数关系，故B不符合题意； C．圆的周长与半径的函数关系式为，其中是不为的常数，符合的形式， ∴是正比例函数关系，故C符合题意； D．剩余油量与行驶路程的函数关系式为 （为初始油量，为单位耗油量，均为非零常数），不符合的形式， ∴不是正比例函数关系，故D不符合题意． 题型二：由定义求正比例函数参数 【典例2】．（25-26八年级下·广西南宁·期中）已知函数是正比例函数，则的值为（    ） A．1 B．3 C．5 D．3或5 【答案】B 【详解】∵是正比例函数，根据正比例函数定义可得， 解得：或，即或， ∵，即， ∴， 解得：， ∴． 【变式1】．（25-26八年级上·陕西汉中·期末）若函数（m为常数）是正比例函数，则m的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了根据正比例函数求参数，解题的关键是掌握正比例函数的定义． 根据正比例函数的定义（形如，且为常数的函数），需让原函数的二次项系数为0，同时一次项系数不为0，进而求解的值． 【详解】解：∵函数是正比例函数， ∴， 由，解得， ∵当时，，满足条件， ∴， 故选：D． 【变式2】．（25-26八年级上·陕西渭南·期中）已知函数（为常数，且）是正比例函数，则当时，的值为（   ） A．1 B．2 C． D．5 【答案】C 【详解】解：∵ 函数 是正比例函数， ∴， ∴ ∴函数为， ∴当时，． 故选：C 题型三：正比例函数的图像 【典例3】．（2026八年级下·全国·专题练习）如图为正比例函数，，在同一平面直角坐标系中的图象，则比例系数k，m，n的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】正比例函数，的图象经过第一、三象限， ，， 的图象比的图象上升得快， ， 的图象经过第二、四象限， ， ． 【变式1】．（25-26八年级上·江苏淮安·期末）正比例函数图象经过第一、三象限，则k的值可能是（   ） A． B． C．3 D．或3 【答案】C 【分析】本题考查正比例函数的图象性质，需根据函数图象经过的象限确定k的取值范围，再从选项中选取符合条件的数值即可． 【详解】解：∵正比例函数的图象经过第一、三象限 ∴ 观察选项，只有3满足的条件． 故选C． 【变式2】．（25-26八年级上·山西运城·期末）四个正比例函数的图象如图所示，则下列结论正确的是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：由图象可知： 的图象都经过第一、三象限，所以，且的图象更靠近y轴，所以； 的图象都经过第二、四象限，所以，且的图象更靠近y轴，所以，所以 综上所述：； 故选D． 题型四：正比例函数的性质 【典例4】．（25-26八年级下·北京西城·期中）下列关于正比例函数的说法中，正确的是（   ） A．自变量的取值范围是 B．它的图象是一条经过原点的射线 C．它的图象不经过第三象限 D．随的增大而增大 【答案】D 【详解】解：∵正比例函数的自变量可以取任意实数，图象是过原点的一条直线， ∴A选项自变量取值范围是的说法错误；B选项图象是经过原点的射线的说法错误； ∵该函数的比例系数， ∴函数图象经过第一，三象限，且随的增大而增大，因此C选项图象不经过第三象限的说法错误，D选项说法正确． 【变式1】．（25-26八年级下·广西崇左·开学考试）已知函数，则下列说法错误的是（  ） A．该函数的图象经过第二、第四象限 B．y随x的增大而增大 C．原点在该函数的图象上 D．y随x的增大而减小 【答案】B 【分析】根据正比例函数的性质，结合系数的符号判断各选项正误即可． 【详解】解：∵函数是正比例函数，系数， ∴该函数的图象经过第二，第四象限，且随的增大而减小，因此A，D说法正确，B说法错误； 当时，， ∴函数图象经过原点，原点在该函数图象上，C说法正确； 综上，说法错误的是B． 【变式2】．（25-26八年级下·全国·课后作业）关于正比例函数，下列结论正确的是（    ） A．图象经过点 B．图象经过第一、第三象限 C．函数值随的增大而增大 D．图象经过原点 【答案】D 【分析】根据正比例函数的性质，结合中的情况，逐一判断每个选项的结论是否正确． 正比例函数的图象必经过原点；当时，图象经过第二、四象限，且随的增大而减小． 【详解】解：A、当 时，，故A错误，不符合题意； B、∵正比例函数中， ∴图象经过第二、四象限，故B错误，不符合题意； C、∵， ∴随的增大而减小，故C错误，不符合题意； D、正比例函数图象必经过原点，故D正确，符合题意． 故选：D． 题型五：正比例函数比较大小问题 【典例5】．（2026·陕西榆林·模拟预测）已知正比例函数的图象上有两点，，当时，，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据给定条件判断函数增减性，再结合正比例函数性质列不等式求解的范围即可． 【详解】解：∵当时，， ∴随的增大而减小， 对于正比例函数，当随增大而减小时，， ∴， 解得． 【变式1】．（25-26八年级下·北京·开学考试）已知正比例函数的图象上两点，当时，有，那么的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵正比例函数中，当时，，∴y随x的增大而减小， ∴，移项得， ∴． 【变式2】．（25-26九年级上·陕西西安·期末）已知点，都在正比例函数的图象上．则y1与y2的大小关系是（　　） A． B． C． D．无法确定 【答案】A 【详解】解：∵正比例函数解析式为， ∴随的增大而减小 ∵点，都在该函数图象上，且 ∴， 故选：A． 题型六：利用正比例函数的图像和性质求参数 【典例6】．（25-26八年级下·上海徐汇·期中）如果函数是正比例函数，且其图像经过第二、四象限，那么的值是______． 【答案】 【详解】解：∵是正比例函数，且图像在第二、四象限内， ∴且， ∴． 【变式1】．（25-26八年级下·全国·课后作业）已知正比例函数，当时，对应的y的取值范围是，且y随x的增大而增大，则k的值为_____． 【答案】 【分析】本题主要考查了正比例函数的性质．根据正比例函数的增减性可得当时，，即可求解． 【详解】解：∵当时，对应的y的取值范围是，且y随x的增大而增大， ∴当时，， 把，代入得：， ∴． 故答案为： 【变式2】．（25-26八年级上·上海·期中）已知正比例函数，当自变量的取值范围，相应的函数值的范围，则这个正比例函数的解析式为___________． 【答案】 【详解】解：当时，y随x的增大而减小， ∴自变量取最小值时函数值取最大值，自变量取最大值时函数值取最小值． 由题意，当时，；当时，． 代入，得 ，解得 ； ，解得 ． 值一致，符合题意． 当 时，代入端点值时值不一致，故舍去． 因此正比例函数解析式为， 故答案为：． 题型七：正比例函数与几何、规律交汇问题 【典例7】．（24-25八年级上·河北保定·期中）如图，在平面直角坐标系中，函数和的图象分别为直线，，过点作轴的垂线交于点，过点作轴的垂线交于点，过点作轴的垂线交于点，过点作轴的垂线交于点，…依次进行下去，则点的坐标为_____． 【答案】 【详解】解：∵过点作轴的垂线交于点， ∴， 把代入得，即， 把代入得，即， 同理可得，， ∵点在4条射线上运动，， ∴点在第四象限， ∵，，， ∴第四象限的点的规律为：， ∴． 故答案为：． 【变式1】．（24-25八年级上·上海·阶段检测）已知正比例函数经过点，点P在第二象限，且在该正比例函数的图象上，点B的坐标为，且，则点P的坐标为______． 【答案】 【详解】解：设正比例函数为， ∵正比例函数经过点， ∴， 解得， ∴正比例函数的解析式为：． 设 如图所示， ， 解得， ∴； 故答案为． 【变式2】．（24-25八年级上·山东济南·期中）如图，一次函数的图象与轴交于点，点是线段OA上一点．过点作轴的垂线，直线l与一次函数的图象交于点，与正比例函数的图象交于点．当点与点关于轴对称时，______． 【答案】/ 【分析】本题考查的是一次函数与坐标轴的交点坐标问题，轴对称的性质，正比例函数的性质，先求解，设，可得，再结合一次函数的性质可得的值，从而可得答案. 【详解】解：∵一次函数的图象与与抽交于点， ∴当时，， ∴， ∵在正比例函数的图象上， 设， ∵点与点关于轴对称， ∴， ∴， 解得：， ∴， ∴， 故答案为：. 题型八：正比例函数的综合问题 【典例8】．（25-26八年级下·上海·期中）已知，且y是关于x的正比例函数． (1)求y关于x的函数关系式； (2)已知点，点B在该函数图象上，若的面积为4，求点B的坐标． 【答案】(1) (2)点的坐标为或 【详解】（1）解：是关于的正比例函数， ， 由得， 解得 又，即， 代入得； （2）由题意得，为坐标原点，， ， 设点的坐标为， ， ，代入得， 解得，即或， 当时，代入得， 解得，此时； 当时，代入得， 解得，此时． 综上，点的坐标为或． 【变式1】．（25-26八年级下·上海闵行·期中）已知正比例函数的图像经过点，且点的横坐标为2． (1)求点的坐标； (2)已知点在轴上，且，求点的坐标． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）将点的横坐标代入解析式即可； （2）根据三角形的面积列方程求解． 【详解】（1）解：当时，， ∴； （2）解：如图，设， 则有， 解得， ∴点的坐标为或． 【变式2】．（25-26八年级上·陕西西安·期中）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，与正比例函数的图象交于点，且． (1)的长为______，的长为______； (2)求m的值及正比例函数的表达式； (3)若点P在该正比例函数的图象上，Q是x轴正半轴上一动点，若以O、P、Q为顶点的三角形与全等，求点P的坐标． 【答案】(1)4；2 (2)； (3)或 【详解】（1）解：在中，当时，，当时，，解得， ∴点A的坐标为，点B的坐标为， ∴； （2）解：在中，当时，，解得， ∴点C的坐标为，即， 把点C的坐标代入得，解得， ∴正比例函数的表达式为； （3）解：∵点P在正比例函数图象上， ∴与一定不垂直，即， ∵以O、P、Q为顶点的三角形与全等，且， ∴或， 如图所示，当时， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴； 设点P的坐标为， ∴， ∴或（舍去）， ∴点P的坐标为； 如图所示，当时，同理可证明， ∴此时， ∴， ∴点P的坐标为； 综上所述，点P的坐标为或． 【双基达标】 一、单选题 1．（25-26八年级下·上海闵行·期中）下列函数中，是的正比例函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据正比例函数的定义（形如（其中为常数，且）的函数是的正比例函数）对各选项逐一判断即可得到答案． 【详解】解：A、符合正比例函数的定义，符合题意； B、是一次函数，常数项不为，不是正比例函数，不符合题意； C、是反比例函数，不符合正比例函数的形式，不符合题意； D、中未说明，当时不是正比例函数，不符合题意． 1．（25-26八年级下·全国·周测）若函数是正比例函数，则的值是（    ） A．2 B． C．2或 D． 【答案】B 【分析】本题考查了正比例函数的定义，熟知一般地，形如（是常数，）的函数叫做正比例函数是解此题的关键． 根据正比例函数的定义即可得解． 【详解】解：∵ 函数是正比例函数， ∴ 且 ， 解得 ，即 或 ， 又 ∵ ，即 ， ∴ . 因此，m 的值为 故选：B． 3．（25-26八年级下·福建泉州·期中）已知y是x的正比例函数，且当时，，当时，y的值为（   ） A．6 B． C．9 D． 【答案】C 【分析】先根据正比例函数定义设出函数解析式，再利用已知条件求出比例系数，最后代入x的值计算y即可． 【详解】解：∵y是x的正比例函数， ∴设函数解析式为， 将代入解析式得：， 解得， ∴函数解析式为， 当时，． 4．（2026·陕西榆林·一模）已知点为正比例函数的图象上的一点，若且，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据点在正比例函数的图象上，可得，再结合且，进而求出的值． 【详解】解：点是正比例函数图象上的点， 将代入解析式得， ， 移项整理得 ， 将代入， 得， ， ，两边同时除以得 ． 5．（2026·安徽芜湖·一模）我们把弹簧所受的拉力与伸长量的比值称为弹簧的弹性系数．某学生将甲、乙、丙、丁四根弹簧（在弹性限度内）的拉力和伸长量进行测量记录，如图所示，则弹性系数最大的是（    ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】A 【分析】根据正比例函数的性质解答即可． 【详解】解：作出辅助线，如图， 根据题意得， ∴， 根据正比例函数的意义，值越大，图象越陡，值越大， ∴观察图象，弹性系数最大的是甲． 6．（25-26八年级上·山东济南·期末）在平面直角坐标系中，点，点均在直线上．若，则该直线经过的点的坐标可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一次函数的性质，由点A，B的坐标及可得出y随x的增大而增大，进而可得出，利用一次函数的性质，可得出直线经过第一、三象限，再对照四个选项中点的坐标，即可确定结论． 【详解】解：∵点在直线上，且，， ∴随的增大而增大， ∴，该直线经过第一、三象限， ∵选项A位于第三象限，符合直线经过的象限； 选项B不在直线上； 选项C位于第二象限，不符合直线经过的象限； 选项D位于第四象限，不符合直线经过的象限； 故选：A． 7．（25-26八年级下·全国·课后作业）已知，是正比例函数的图象上的两点，则，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了正比例函数的性质（增减性）及函数值的计算，解题关键是利用函数增减性或直接计算函数值来比较大小． 先根据正比例函数的性质判断函数的增减性，再代入点的横坐标求出、的值，进而比较大小． 【详解】解：正比例函数中，， ∴随的增大而增大． 将、代入函数： ，， 比较大小即：． A、，与计算结果不符，不符合题意； B、，与计算结果一致，符合题意； C、，与计算结果不符，不符合题意； D、，与计算结果不符，不符合题意． 故选：B． 8．（25-26八年级上·陕西西安·月考）关于函数，下列判断正确的是（   ） A．图像经过第一、三象限 B．无论为何值，总有 C．图像经过点 D．随的增大而减小 【答案】D 【分析】本题考查了正比例函数的图像与性质，由函数是正比例函数，，根据性质，图像经过第二、四象限，随增大而减小，逐一判断选项即可，掌握正比例函数的图像与性质是解题的关键． 【详解】解：、∵函数中， ∴图像经过第二、四象限，该选项错误，不符合题意； 、当时，，该选项错误，不符合题意； 、当时，，图像不经过，该选项错误，不符合题意； 、∵函数中， ∴随的增大而减小，该选项正确，符合题意； 故选：． 9．（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·期末）如图，在平面直角坐标系中，点都在轴上，点在直线上，，都是等腰直角三角形，如果，则点坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由得到点的坐标，然后利用等腰直角三角形的性质得到点的坐标，进而得到点的坐标，然后找出规律得到点的坐标． 【详解】解： 点的坐标为， 是等腰直角三角形， ， 是等腰直角三角形， ， 为等腰直角三角形， ， ， 同理可得， 故选B． 二、填空题 10．（25-26八年级上·陕西咸阳·期末）若正比例函数的图象经过点，则m的值是______． 【答案】1 【详解】解：∵正比例函数的图象经过点， ∴， 解得， 故答案为：1． 11．（25-26八年级上·宁夏银川·期末）关于正比例函数的图像：①点在这个图像上；②函数值随自变量的增大而减小；③当增加1时，增加2；④图像经过一、三象限．以上叙述错误的是（只填序号）___________． 【答案】② 【分析】本题主要考查正比例函数的图像与性质，熟练掌握正比例函数的图像与性质是解题的关键；因此此题可根据正比例函数的图像与性质进行排除选项即可． 【详解】解：由正比例函数可知：，则该函数图像经过第一、三象限，且y随x的增大而增大，故②错误，④正确； 当时，则，所以点在这个图像上；故①正确； 当增加1时，则有，所以增加2；故③正确； 综上所述：只有②是错误的； 故答案为②． 12．（25-26八年级上·江苏连云港·期末）如图是四个正比例函数的图象，则，，，的大小关系是_____________； 【答案】/ 【分析】本题考查了正比例函数的图象与性质，解题的关键是熟练掌握正比例函数的图象与性质． 先由正比例函数的图象与性质得到，，然后通过取点作垂线求解即可． 【详解】解：∵直线经过第一、三象限， ∴； ∵直线经过第二、四象限， ∴， 在直线上任取一点，过点作轴，交直线，轴于点， 设，则， ∵，且， ∴； 在直线上任取一点，过点作轴，交直线，轴于点， 设，则， ∵，且， ∴； ∴， 故答案为：． 13．（25-26八年级下·全国·课后作业）已知正比例函数（k为常数，且），y随x的增大而减小．当时，函数有最大值5，则k的值是________． 【答案】 根据正比例函数的性质，随的增大而减小，当时，取最小值时取得最大值，代入函数解析式求解． 【详解】解：∵ 中随的增大而减小， ∴当时，时最大，最大值为． 将,代入， 得， 解得． 故答案为：． 14．（25-26八年级下·宁夏银川·阶段检测）在平面直角坐标系中，正三角形的顶点的坐标为，点在第一象限内，将沿直线的方向平移至的位置，此时点的横坐标为5，则点的坐标为__________． 【答案】 【详解】解：过点A作于点D， 是等边三角形，B的坐标是， 、， ， 的坐标是， 设直线的解析式为， 把代入得：， 解得， 直线的解析式为， 点在直线上，且横坐标为5， 将代入得：， 的坐标为， 点A向右平移3个单位，向上平移个单位得到， 的坐标为， 即的坐标为． 三、解答题 15．（25-26八年级下·河北石家庄·期中）已知正比例函数的图象经过点． (1)求这个函数的解析式； (2)在如图所示的平面直角坐标系中画出这个函数的图象； (3)判断点，是否在这个函数的图象上． 【详解】（1）解：∵正比例函数的图象经过点， ∴， 解得， ∴这个函数的解析式； （2）解：当时，， 当时，， ∴经过点，，描点画出图象如下： （3）解：∵正比例函数的解析式为， ∴当时，， ∴点不在这个函数的图象上． 16．（25-26八年级下·上海徐汇·阶段检测）已知关于的正比例函数． (1)若函数图象经过第一、三象限，求的取值范围； (2)若随的增大而减小，求的取值范围； (3)若点在该函数的图象上，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）解：函数图象经过第一、三象限， ， 解得：； （2）解：正比例函数中随的增大而减小， ， 解得：； （3）解：点在该函数的图象上， ， 解得：． 17．（24-25八年级下·四川宜宾·期中）定义：我们把一次函数的图象与正比例函数的图象的交点称为一次函数图象的“亮点”，例如，求一次函数图象的“亮点”时，解方程组，得，则一次函数图象的“亮点”为． (1)求一次函数图象的“亮点”； (2)若一次函数图象的“亮点”为，求、的值； (3)若一次函数的图象分别与轴、轴交于点、，且一次函数的图象上没有“亮点”，点在轴上，，求所有满足条件的点的坐标． 【答案】(1)； (2)，； (3)点的坐标为或． 【详解】（1）解：由题意联立得： ， 解得：， ∴一次函数图像的“亮点”是； （2）解：∵一次函数图象的“亮点”为， ∴把代入，得：， 解得：， ∴一次函数，“亮点”为， 把代入，得：， 解得：； （3）解：∵一次函数的图象上没有“亮点”， ∴与平行， ∴， ∴， 当时，， ∴， ∴， 当时，， 解得：， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵点在轴上， ∴设点， ∴ ∴， 解得：或， ∴点的坐标为或． 18．（24-25八年级下·广东珠海·期中）已知点A是第二象限的一点，点P是x轴上一动点，以为边作正方形； (1)如图1，当点A的坐标为，点P的坐标为时，则点C的坐标为______； (2)如图2，若点P与原点O重合，与y轴交于点E，连接，点F是线段上一点，连接，，若，①求证；②设的面积为，的面积为，若，求的值（用表示）； (3)如图3，点若A的坐标为，点D的坐标为，在点P的运动过程中，请直接写出的最小值______． 【详解】（1）解：过点作轴，过点作轴， 根据题意可得， ∴， ∴， ∴， ∵点A的坐标为，点P的坐标为， ∴， ∴， ∴点C的坐标为． （2）解：①过点作交于点，交于点， 根据题意可得， ∴四边形是矩形，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴． ②∵，，∵四边形是矩形，， ， ， ．∵，∴， ∴，∵， ∴，∴． （3）解：如图，连接，过点作轴， ∵点A的坐标为，点D的坐标为，∴轴，， 根据题意可得，∴， ∴，∴，∵， ∴，∴是等腰直角三角形，∴， 故点C在直线上运动， 作点D关于直线的对称点， 则， 故， 当点三点共线时，最小，即最小， 过点A作轴于点H， 则， ∴， 即的最小值为． 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 23.2.1 正比例函数 【考点梳理】 · 考点一：正比例函数的定义 · 考点二：由定义求正比例函数参数 · 考点三：正比例函数的图像 · 考点四：正比例函数的性质 · 考点五：正比例函数比较大小问题 · 考点六：利用正比例函数的图像和性质求参数 · 考点七：正比例函数与几何、规律交汇问题 · 考点八：正比例函数的综合问题 【知识梳理】 知识点1：正比例函数的定义：一般地,形如y=kx(k是常数,k≠0)的函数,叫做正比例函数,其中k叫做比例系数.例如y=-0.1x,y=2x都是正比例函数。 注意：(1)正比例函数y=kx必须满足两个条件：①比例系数k≠0,②自变量x的次数是1 (2)在判断一个函数是否是正比例函数时,只要看其是否满足y=kx(k≠0)的形式即可;若求函数的解析式,只要求出比例系数k的值,解析式就可以确定了。 (3)求正比例函数解析式采用待定系数法,即设所求解析式为y=kx,将图像上的点的坐标代入解析式,求出k即可。 知识点2：正比例函数的图像与性质 正比例函数y=kx(k是常数,k≠0)的图像是一条经过原点与点(1,k)的直线,我们称它为直线y=kx，其图像和性质如下表： y=kx k＞0 k＜0 图像 性质 (1)直线经过第一、第三象限； (2)y随x的增大而增大 (1)直线经过第二、第四象限； (2)y随x的增大而减小 (3)自变量x的取值范围是全体实数； (4)正比例函数y=kx中│k│越大，直线y=kx越靠近y轴，即直线与x轴正半轴的夹角越大；│k│越小，直线y=kx越靠近x轴，即直线与x轴正半轴的夹角越小 【题型探究】 题型一：正比例函数的定义 【典例1】．（25-26八年级下·辽宁大连·期中）下列y关于x的函数中，是正比例函数的是（      ） A． B． C． D． 【变式1】．（25-26八年级下·全国·课后作业）下列关系中，是正比例函数关系的是（    ） A．淘气看一本书，已看的页数和剩下的页数 B．总价一定时，数量和单价 C．三角形的面积一定时，一边长和该边上的高之间的关系 D．匀速运动中，速度一定时，路程和时间之间的关系 【变式2】．（25-26八年级下·山东潍坊·期中）下列变化过程中，一个变量与另一个变量成正比例函数关系的是（   ） A．正方形的面积S随边长a的变化而变化 B．用长的绳子围成一个矩形，其中一边长y随它邻边x的变化而变化 C．圆的周长C随半径r的变化而变化 D．汽车在行驶过程中，油箱的剩余油量Q随行驶路程s的变化而变化 题型二：由定义求正比例函数参数 【典例2】．（25-26八年级下·广西南宁·期中）已知函数是正比例函数，则的值为（    ） A．1 B．3 C．5 D．3或5 【变式1】．（25-26八年级上·陕西汉中·期末）若函数（m为常数）是正比例函数，则m的值为（   ） A． B． C． D． 【变式2】．（25-26八年级上·陕西渭南·期中）已知函数（为常数，且）是正比例函数，则当时，的值为（   ） A．1 B．2 C． D．5 题型三：正比例函数的图像 【典例3】．（2026八年级下·全国·专题练习）如图为正比例函数，，在同一平面直角坐标系中的图象，则比例系数k，m，n的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【变式1】．（25-26八年级上·江苏淮安·期末）正比例函数图象经过第一、三象限，则k的值可能是（   ） A． B． C．3 D．或3 【变式2】．（25-26八年级上·山西运城·期末）四个正比例函数的图象如图所示，则下列结论正确的是（  ） A． B． C． D． 题型四：正比例函数的性质 【典例4】．（25-26八年级下·北京西城·期中）下列关于正比例函数的说法中，正确的是（   ） A．自变量的取值范围是 B．它的图象是一条经过原点的射线 C．它的图象不经过第三象限 D．随的增大而增大 【变式1】．（25-26八年级下·广西崇左·开学考试）已知函数，则下列说法错误的是（  ） A．该函数的图象经过第二、第四象限 B．y随x的增大而增大 C．原点在该函数的图象上 D．y随x的增大而减小 【变式2】．（25-26八年级下·全国·课后作业）关于正比例函数，下列结论正确的是（    ） A．图象经过点 B．图象经过第一、第三象限 C．函数值随的增大而增大 D．图象经过原点 题型五：正比例函数比较大小问题 【典例5】．（2026·陕西榆林·模拟预测）已知正比例函数的图象上有两点，，当时，，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式1】．（25-26八年级下·北京·开学考试）已知正比例函数的图象上两点，当时，有，那么的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式2】．（25-26九年级上·陕西西安·期末）已知点，都在正比例函数的图象上．则y1与y2的大小关系是（　　） A． B． C． D．无法确定 题型六：利用正比例函数的图像和性质求参数 【典例6】．（25-26八年级下·上海徐汇·期中）如果函数是正比例函数，且其图像经过第二、四象限，那么的值是______． 【变式1】．（25-26八年级下·全国·课后作业）已知正比例函数，当时，对应的y的取值范围是，且y随x的增大而增大，则k的值为_____． 【变式2】．（25-26八年级上·上海·期中）已知正比例函数，当自变量的取值范围，相应的函数值的范围，则这个正比例函数的解析式为___________． 题型七：正比例函数与几何、规律交汇问题 【典例7】．（24-25八年级上·河北保定·期中）如图，在平面直角坐标系中，函数和的图象分别为直线，，过点作轴的垂线交于点，过点作轴的垂线交于点，过点作轴的垂线交于点，过点作轴的垂线交于点，…依次进行下去，则点的坐标为_____． 【变式1】．（24-25八年级上·上海·阶段检测）已知正比例函数经过点，点P在第二象限，且在该正比例函数的图象上，点B的坐标为，且，则点P的坐标为______． 【变式2】．（24-25八年级上·山东济南·期中）如图，一次函数的图象与轴交于点，点是线段OA上一点．过点作轴的垂线，直线l与一次函数的图象交于点，与正比例函数的图象交于点．当点与点关于轴对称时，______． 题型八：正比例函数的综合问题 【典例8】．（25-26八年级下·上海·期中）已知，且y是关于x的正比例函数． (1)求y关于x的函数关系式； (2)已知点，点B在该函数图象上，若的面积为4，求点B的坐标． 【变式1】．（25-26八年级下·上海闵行·期中）已知正比例函数的图像经过点，且点的横坐标为2． (1)求点的坐标； (2)已知点在轴上，且，求点的坐标． 【变式2】．（25-26八年级上·陕西西安·期中）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，与正比例函数的图象交于点，且． (1)的长为______，的长为______； (2)求m的值及正比例函数的表达式； (3)若点P在该正比例函数的图象上，Q是x轴正半轴上一动点，若以O、P、Q为顶点的三角形与全等，求点P的坐标． 【双基达标】 一、单选题 1．（25-26八年级下·上海闵行·期中）下列函数中，是的正比例函数的是（   ） A． B． C． D． 1．（25-26八年级下·全国·周测）若函数是正比例函数，则的值是（    ） A．2 B． C．2或 D． 3．（25-26八年级下·福建泉州·期中）已知y是x的正比例函数，且当时，，当时，y的值为（   ） A．6 B． C．9 D． 4．（2026·陕西榆林·一模）已知点为正比例函数的图象上的一点，若且，则的值为（   ） A． B． C． D． 5．（2026·安徽芜湖·一模）我们把弹簧所受的拉力与伸长量的比值称为弹簧的弹性系数．某学生将甲、乙、丙、丁四根弹簧（在弹性限度内）的拉力和伸长量进行测量记录，如图所示，则弹性系数最大的是（    ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 6．（25-26八年级上·山东济南·期末）在平面直角坐标系中，点，点均在直线上．若，则该直线经过的点的坐标可以是（    ） A． B． C． D． 7．（25-26八年级下·全国·课后作业）已知，是正比例函数的图象上的两点，则，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 8．（25-26八年级上·陕西西安·月考）关于函数，下列判断正确的是（   ） A．图像经过第一、三象限 B．无论为何值，总有 C．图像经过点 D．随的增大而减小 9．（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·期末）如图，在平面直角坐标系中，点都在轴上，点在直线上，，都是等腰直角三角形，如果，则点坐标是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 10．（25-26八年级上·陕西咸阳·期末）若正比例函数的图象经过点，则m的值是______． 11．（25-26八年级上·宁夏银川·期末）关于正比例函数的图像：①点在这个图像上；②函数值随自变量的增大而减小；③当增加1时，增加2；④图像经过一、三象限．以上叙述错误的是（只填序号）___________． 12．（25-26八年级上·江苏连云港·期末）如图是四个正比例函数的图象，则，，，的大小关系是_____________； 13．（25-26八年级下·全国·课后作业）已知正比例函数（k为常数，且），y随x的增大而减小．当时，函数有最大值5，则k的值是________． 14．（25-26八年级下·宁夏银川·阶段检测）在平面直角坐标系中，正三角形的顶点的坐标为，点在第一象限内，将沿直线的方向平移至的位置，此时点的横坐标为5，则点的坐标为__________． 三、解答题 15．（25-26八年级下·河北石家庄·期中）已知正比例函数的图象经过点． (1)求这个函数的解析式； (2)在如图所示的平面直角坐标系中画出这个函数的图象； (3)判断点，是否在这个函数的图象上． 16．（25-26八年级下·上海徐汇·阶段检测）已知关于的正比例函数． (1)若函数图象经过第一、三象限，求的取值范围； (2)若随的增大而减小，求的取值范围； (3)若点在该函数的图象上，求的值． 17．（24-25八年级下·四川宜宾·期中）定义：我们把一次函数的图象与正比例函数的图象的交点称为一次函数图象的“亮点”，例如，求一次函数图象的“亮点”时，解方程组，得，则一次函数图象的“亮点”为． (1)求一次函数图象的“亮点”； (2)若一次函数图象的“亮点”为，求、的值； (3)若一次函数的图象分别与轴、轴交于点、，且一次函数的图象上没有“亮点”，点在轴上，，求所有满足条件的点的坐标． 18．（24-25八年级下·广东珠海·期中）已知点A是第二象限的一点，点P是x轴上一动点，以为边作正方形； (1)如图1，当点A的坐标为，点P的坐标为时，则点C的坐标为______； (2)如图2，若点P与原点O重合，与y轴交于点E，连接，点F是线段上一点，连接，，若，①求证；②设的面积为，的面积为，若，求的值（用表示）； (3)如图3，点若A的坐标为，点D的坐标为，在点P的运动过程中，请直接写出的最小值______． 2 学科网（北京）股份有限公司 $